Introduzione a Matlab

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1 Introduzione a Matlab Ana Alonso Dipartimento di Matematica - Università di Trento settembre 2013

2 Matlab Calcolatrice (3+1) cos ( π 4 ) e 2 Variabili who, whos a = 3 b = 4 c = a + b

3 Esempi >> a=realmax >> b=realmax/2 >> c=(a+b)/7 >> c=a/7+b/7 >> a=1, while a>0, a=a/2, end >> d= 333*332*(1/332-1/333) >> format long >> d >> a=10^20 >> a+1-a

4 Numeri floating point = = π = Tutti i numeri reali, tranne lo zero, si possono rappresentare (in base β) nel seguente modo: ±0.a 1 a 2 a 3 a 4... β e a a r β 1 e Z Il numero zero ha una rappresentazione a se stante. Al calcolatore bisogna fissare una certa quantità finita t di cifre significative, un valore minimo L e un valore massimo U dell esponente. ±0.a 1 a 2 a 3 a 4...a t β e a a r β 1 L e U.

5 I numeri macchina ±0.a 1 a 2 a 3 a 4...a t β e a a r β 1 L e U. Chiamiamo F(β, t, L, U) all insieme (finito) di questi numeri e lo zero. Matlab usa F(2, 53, 1021, 1024) Il più piccolo numero positivo: β 1 β L = β L 1. realmin. Il numero massimo: t i=1 (β 1)β i β U = (1 β t )β U realmax. Distanza fra il numero 1 = 0.1 β 1 e il numero macchina successivo: β t β = β 1 t. eps.

6 Rappresentazione dei numeri reali al calcolatore Dato il numero reale x = ±β e i=1 a i β i il suo rappresentante in F(β, t, L, U) è { ±β e t i=1 fl(x) = a iβ i se a t+1 < β/2 ±β e ( t i=1 a iβ i + β t) se a t+1 β/2 L errore relativo che si commette è limitato da x fl(x) x 1 2 β t β e β 1 β e = 1 2 β1 t.

7 MATrixLABoratory Un numero è una matrice 1 1. A=[1 2 3; ] b=[1;2] c=[0, -1, 2] AA=[ ; ; ; ] La notazione : v=0:5 v=1:2:8 v=5:-3:-8 v è un vettore riga.

8 Come si trovano gli elementi di una matrice: A(1,2) l elemento a 1,2 della matrice A. A(1,:) la prima riga (tutte le colonne) della matrice A. AA(1,2:4) elementi della della matrice AA nella prima riga e nella colonne da 2 a 4. BB=AA(1:3,2:3) elementi della della matrice AA nelle righe da 1 a 3 e nelle colonne 2 e 3. C=A(:,2:3) colonna 2 e colonna 3 di A.

9 Operazioni con matrici Prodotto per uno scalare M=3*A Somma di matrice (delle stesse dimensioni) N=A+M Prodotto di matrici (numero di colonne della prima uguale a numero di colonne della seconda) C*A Operazioni componente a componente A*M Errore A ed M sono matrici 2 3. F=A.*M F è una matrice 2 3. f i,j = a i,j m i,j. E=A ˆ2 Errore Non si può fare A A perche A non è quadrata. E=A.ˆ2 E è una matrice 2 3. e i,j = a 2 i,j. G=A./M G è una matrice 2 3. g i,j = a i,j m i,j. m i,j 0.

10 Il grafico di una funzione in un intervallo x=linspace(-1, 1) y=x.ˆ2; plot(x,y) fplot( x.ˆ2,[-1 1]) x è un vettore di 100 componenti equispaziate da -1 a 1. ; vuol dire non stampare il risultato. Un altro esempio. x=linspace(0,2,10); y=sin(pi*x); plot(x,y) xx=linspace(0,2); yy=sin(pi*xx); plot(x,y, r*,xx,yy)

11 Esercizio Disegnare il grafico della funzione { e x se 1 x 0 f (x) = 1 x 3 se 0 < x 1

12 Esercizio Disegnare il grafico della funzione { e x se 1 x 0 f (x) = 1 x 3 se 0 < x 1 x1=[-1:0.1:0]; y1=exp(-x1); x2=[0:0.1:1]; y2=1-x2.^3; x=[x1 x2]; y=[y1 y2]; plot(x,y) % Concatenazione di due vettori

13 Scripts Uno script è un file che contiene comandi di Matlab. Deve avere estensione.m. Se il file si trova in una delle cartelle dove Matlab cerca i propri comandi scrivendo dopo il prompt di Matlab il nome del file vengono eseguiti i comandi scritti nel file. Tutte le variabili usate in uno script sono variabili della sessione di lavoro.

14 Esercizio Scrivere uno script di Matlab per disegnare il grafico della funzione { e x se 1 x 0 f (x) = 1 x 3 se 0 < x 1

15 Esercizio Scrivere uno script di Matlab per disegnare il grafico della funzione { e x se 1 x 0 f (x) = 1 x 3 se 0 < x 1 x1=linspace(-1,0); y1=exp(-x1); x2=linspace(0,1); y2=1-x2.^3; x=[x1 x2]; y=[y1 y2]; plot(x,y)

16 Esercizio Scrivere uno script di Matlab che calcoli il fattoriale di 7.

17 Esercizio Scrivere uno script di Matlab che calcoli il fattoriale di 7. N=7; fatt=1; for i=1:n fatt=fatt*i; end fatt

18 I cicli in Matlab Ciclo for: ripete le istruzioni presenti nel ciclo per tutti i valore dell indice contenuti in un certo vettore riga. N=7; fatt=1; for i=1:n fatt=fatt*i; end fatt Ciclo while: ripete le istruzioni presenti nel ciclo fintanto che una certa espressione logica è vera. N=7; fatt=1; cont=1; while cont <= N fatt=fatt*cont; cont=cont+1; end fatt

19 Funzioni Una funzione è scritta in un file con estensione.m, che ha lo stesso nome della funzione stessa ad esempio nome.m. La prima riga del file deve essere function [out1,out2,...,outn]=nome(in1,in2,...,inm) out1,...,outn sono le variabili in uscita, i risultati. in1,...,inm son le variabili in ingresso, gli argomenti. Tutte le variabili definite in una funzione sono locali. Una funzione viene chiamata dopo il prompt di Matlab ma bisogna dare (fra parentesi tonde) i sui argomenti.

20 Esercizio Scrivere una funzione di Matlab che calcoli il fattoriale di un numero naturale N.

21 Esercizio Scrivere una funzione di Matlab che calcoli il fattoriale di un numero naturale N. function fatt=fattoriale(n) fatt=1; for i=1:n fatt=fatt*i; end return

22 Stabilità Si supponga di calcolare I n = 1 x n 0 x+5 dx tramite la seguente formula ricorsiva I o = log(6/5) I n = 1 n 5I n 1 per n 1 È soddisfacente il risultato ottenuto? Questa procedura è instabile.

23 Stabilità Anche la somma può essere instabile x + y (fl(x) + fl(y)) x + y = x δ 1 + y δ 2 x + y = x + y (x(1 + δ 1) + y(1 + δ 2 )) x + y x x + y δ 1 + y x + y δ 2. Esempio: x = 1/n, y = 1/(n + 1), s = 1 n 1 n+1. Siccome n (n + 1) s = 1 abbiamo s s s format long for k=1:20 n=10^k; aux=n*(n+1)*(1/n-1/(n+1)) end = 1 n (n + 1) s.