Parte 1 Conceitos básicos de MATLAB

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1 Métodos Numéricos e Computacionais I SME0305 ICMC-USP Lista 1: MATLAB e Ponto Flutuante GABARITO de questões selecionadas Parte 1 Conceitos básicos de MATLAB 2) (a)f, (b)f, (c)v, (d)f, (e)v, (f)v, (g)f, (h)f, (i)f, (j)v, (k)f, (l)v, (m)f. 3) A = [ ; ] # 3a A( 2, 1 ) = 18 # 3b A = [A; [ 3 0, 21, 19, 1 ] ] # 3c A( 2, 3 ) = 16 # 3d B = A( 1 : 2, 2 : 4 ) # 3e Ao final, A = , B = ( 10 7 ) ) v = 31:2:75 5) x = [ ] x = x + 16 # 5a x ( [ 1, 3 ] ) = x ( [ 1, 3 ] ) + 13 # 5b sqrt ( x ) # 5c ( ou x.^(1/2) ) x.^2 # 5d 6) x = [ ] y = [ ] x + y # 6a x.^ y # 6b y. / y # 6c z = x. y # 6d w = sum( z ) # 6e 1

2 Ao final x *y é o produto interno, que está calculado em w de forma braçal. 8) A = rand ( 4, 4 ) A = A( [ 1, 3, 4 ], : ) A = A( [ 1, 2 ], : ) 9) # 8a # 8b v = 0 : : 1 A = [ sin ( v ), cos ( v ), v. ^ 2 ] Parte 2 Scripts e funções MATLAB 2) (a) Verdade. A função f permuta linhas se k==1 e colunas se k==0. (b) Falso. A função g retorna um vetor linha com a soma dos elementos das colunas de B. (c) Verdadeiro. (d) Falso. (e) Falso. (f) Verdadeiro. (g) Verdadeiro. A função h ordena as colunas por ordem crescente de soma da coluna. Foi passado A como parâmetro. (h) Falso. A tem só uma coluna, então B==A. Depois g(b) soma os elementos da coluna. (i) Verdadiro. 3) A função poderia ter no corpo apenas a linha z = x+y, mas seguindo a lógica do exercício... Os erros estão comentados. function z = Soma( x, y ) # f a l t o u d e c l a r a r a entrada da funcao ( x, y ) n = length ( x ) ; # n nao f o i c a l c u l a d o z = ones ( n ) ; for i =1:n z ( i ) = x ( i ) + y ( i ) ; # f a l t o u ( i ) para se r e f e r i r ao elemento de y end end 2

3 4) Há um erro de tipografia na declaração das funções. A função f4 deveria retornar as raízes da equação do segundo grau de coeficientes a, b e c pela fórmula de Bháskara, mas faltou o expoente ˆ no e o parênteses para o numerador ficar correto. A função correta seria: function r1=f 4 ( a, b, c ) r1 = [( b+sqrt ( b^2 4 a c ) ) / ( 2 a ) ( b sqrt ( b^2 4 a c ) ) / ( 2 a ) ] ; end A função m4 retorna a média aritmética dos elementos do vetor. Com estas correções, as saídas serão 5) [3 2] (as raízes de x 2 5x + 6 = 0) = 50.5 (o vetor é [1, 4, 7,..., 97, 100], cuja média é ) function B = f 5 (A) [m, n ] = size (A) ; # c a l c u l a o tamanho de A B = A( [ 1,m 1 ], [ 2, n ] ) ; end 6) Salve o script abaixo no arquivo Aortogonal.m 1 ; ## Assume que a matriz e s t e j a na v a r i a v e l A [ dim1, dim2 ] = size (A) ; lprim = A( 1, : ) ; l u l t = A( dim1, : ) ; # as l i n h a s sao o r t o g o n a i s se o produto e s c a l a r f o r zero. i f ( lprim l u l t == 0. 0 ) disp ( "ORTOGONAIS" ) ; disp ( "NAO ORTOGONAIS" ) ; 7) Usarei o mesmo algoritmo de ordenação da função h do exercício 2. O for externo regula o final do for interno. O laço interno faz com que o maior elemento de 1 a n i vá para o final (na posição n i + 1). Salve a função abaixo no arquivo ordena.m 3

4 function v = ordena ( u ) v = u ; n = length ( v ) ; for i =1:n 1 for j =1:n i i f ( v ( j ) > v ( j +1)) # aqui o elemento maior v a i adiante t = v ( j ) ; v ( j ) = v ( j +1); v ( j +1) = t ; Agora, execute o que o exercício pede: n = [ 1 0, 50, 100, 150, 200] t_ordena = zeros ( 1, 5 ) ; t_sort = zeros ( 1, 5 ) ; for i =1:5 v = rand ( 1, n ( i ) ) ; # c a l c u l a tempo de ordena t i c ( ) ; w = ordena ( v ) ; t_ordena ( i ) = toc ( ) ; # c a l c u l a tempo de sort, com a mesma entrada t i c ( ) ; w = sort ( v ) ; t_sort ( i ) = toc ( ) ; # p l o t a os d o i s v e t o r e s no mesmo g r a f i c o plot (n, t_ordena, " r ",n, t_sort, "b" ) # vendo a magnitude dos u l t i m o s elementos t_sort ( 5 ) t_ordena ( 5 ) Os dois últimos comandos dão saída e

5 8) Salve o script abaixo no arquivo triang.m 1 ; # c l a s s i f i c a c a o de t r i a n g u l o s a = input ( " D i g i t e o lado 1 : " ) ; b = input ( " D i g i t e o lado 2 : " ) ; c = input ( " D i g i t e o lado 3 : " ) ; l a d o s = sort ( [ a, b, c ] ) ; # eh t r i a n g u l o se o lado maior e s t i v e r e n t r e # a d i f e r e n c a e a soma dos o utors l a d o s eh_triang = or ( c>b a, c<b+a ) ; i f ( eh_triang ) ## v e r i f i c a se eh retangulo, acutangulo ou o b t u s a n g u l o expr = c^2 a^2 b^2; i f ( abs ( expr ) < 5 eps ) # e v i t a n d o erro de maquina disp ( " Triangulo r e t a n g u l o " ) ; e l s e i f ( expr <0) disp ( " Triangulo acutangulo " ) ; disp ( " Triangulo obtusangulo " ) ; ## v e r i f i c a se eh e q u i l a t e r o, i s o s c e l e s ou e s c a l e n o l a d o s _ i g u a i s = ( l a d o s ( 1 : 2 ) == l a d o s ( 2 : 3 ) ) ; i f (min( l a d o s _ i g u a i s ) == 1) disp ( " Triangulo e q u i l a t e r o " ) ; e l s e i f (max( l a d o s _ i g u a i s ) == 0) disp ( " Triangulo e s c a l e n o " ) ; disp ( " t r i a n g u l o i s o s c e l e s " ) disp ( "Nao forma t r i a n g u l o " ) ; 9) Faremos só o 1. ln(2 + t + t 2 ): function v = f9_1 ( t ) v = log ( 2 + t + t.^2 ) ; 5

6 10) 1 ; disp ( " D i g i t e numeros e t e c l e ENTER. Para quando e n t r a r 0. " ) ; n = input ( "" ) ; M = n ; while (n>0) printf ( "Maior ate agora : %f \n",m) ; n = input ( "" ) ; i f (n>m) M = n ; endwhile 11) function p = p e r f e i t o ( n ) v = 1 : n 1; # o v e t o r d contem i n d i c e s 1 ou 0, # dependendo se o r e s t o da d i v i s a o eh 0 d = (mod(n, v ) == 0 ) ; # v ( d ) dah os elementos de v correspondentes a p o s i c o e s com 1 # ( i s s o se chama l o g i c a l i n d e x i n g ) d i v i s o r e s = v ( d ) ; p = ( n == sum( d i v i s o r e s ) ) ; 12) Depois do exercício 11, agora fica fácil. Lembrar de incluir os negativos. function d i v s = d i v i s o r e s ( n ) i f (n<1) d i v s = [ ] ; n = floor ( n ) ; v = 1 : n ; d = (mod(n, v ) == 0 ) ; d i v s = v ( d ) ; # i n c l u i n d o d i v i s o r e s n e g a t i v o s # f l i p l r i n v e r t e a ordem no s e n t i d o esq d i r d i v s = [ f l i p l r ( d i v s ), d i v s ] ; 6

7 13) function r = ehprimo ( n ) # c a l c u l a d i v i s o r e s e x c e t o 1 e n v = 2 : n 1; d = (mod(n, v ) == 0 ) ; d i v s = v ( d ) ; r = (sum( d i v s )==0); 14) function m = meuhilb ( n ) m = zeros (n, n ) ; # m tem que for i =1:n for j =1:n m( i, j ) = 1/( i+j 1); s e r uma matriz 15) Há um erro na fórmula no enunciado, em que o correto é começar com k = 0, isto é, n ( 1 4 π 16 k 8k k k ) 8k + 6 k=0 function p = pibbp ( n ) p = 0. 0 ; fo r k=0:n p = p + 16^( k ) ( 4/(8 k+1) 2/(8 k+4) 1/(8 k+5) 1/(8 k+6) ) ; Parte 3 noções básicas de ponto flutuante 1) = ( ) 2 e = (100011, ) 2 (período de 20 dígitos) 2) ( ) 2 = = e ( ) 2 = 57 8 =

8 3) x = (33) 4 = = 15 = 3 5 = (30) 5 y = (0.31) 4 = = 13 = (0.4012) z = (21.013) 4 = = = ( ) ) a) = 192 números. b) O menor é m = ( ) = 2 4 = O maior é M = ( ) 2 2 = 31 = c) A precisão da máquina é m. 5) Escolhi retornar vetor de digitos, com 8 marcando a posição da vírgula. function bin = b i n a r i o ( x ) # retorna um v e t o r dos d i g i t o s, v i r g u l a eh marcada com 8 # p a r t e i n t e i r a, a l g o r i t m o dado em s a l a de aula n = floor ( x ) ; r = mod(n, 2 ) ; q = (n r ) / 2 ; bin = r ; while ( q>0) n = q ; r = mod(n, 2 ) ; q = (n r ) / 2 ; bin = [ r, bin ] ; # a c r e s c e n t a d i g i t o s aa esquerda endwhile p r e c i s a o = 20 length ( bin ) ; # p a r t e f r a c i o n a r i a x = x floor ( x ) ; i f ( x>0) bin = [ bin, 8 ] ; # 8 = v i r g u l a while ( and ( p r e c i s a o >0,x>0)) p r e c i s a o = p r e c i s a o 1 ; x = 2 x ; r = floor ( x ) ; bin = [ bin, r ] ; a c r e s c e n t a d i g i t o s aa d i r e i t a x = x r ; endwhile 8

9 6) Escolhi que a entrada eh vetor de digitos 0 ou 1, com 8 marcando a posicao da virgula. Por exemplo, [ ] representa (110.01) 2. function x = base10 ( dig ) # v eh v e t o r de d i g i t o s, 8 eh v i r g u l a # v e r i f i c a posicao da v i r g u l a ( se eh que tem ) i = 1 ; while ( i<=length ( dig ) ) i f ( dig ( i )==8) break ; i = i + 1 ; endwhile # p a r t e i n t e i r a p a r t e _ i n t e i r a = dig ( 1 : ( i 1)); # expoentes de 2 : 0, 1,..., i 2, mas na ordem i n v e r s a pow = ( i 2): 1:0; x = 2.^pow p a r t e _ i n t e i r a ; # somatorio como produto de m a t r i z e s # p a r t e f r a c i o n a r i a p a r t e _ f r a c i o n a r i a = dig ( ( i +1):( length ( dig ) ) ) ; # expoentes de 2 : 1, 2,..., n pow = ( 1 : ( length ( p a r t e _ f r a c i o n a r i a ) ) ) ; x = x + 2.^pow p a r t e _ f r a c i o n a r i a ; 9