Exercícios da semana 5 - vídeoaulas 17 e 18

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1 Curso de Engenharia - UNIVESP Disciplina Matemática Bimestre 1 Exercícios da semana 5 - vídeoaulas 17 e 18 RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO) Caro aluno, Nesta semana, a sua avaliação para as Aulas 17 e 18 será composta por duas entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir: A) Para avaliação das aulas 17 e 18 da Semana 5 da disciplina, escreva um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel da Matemática na compreensão da realidade. Publique sua resposta no Portfólio da disciplina. B) Os exercícios das aulas 17 e 18, foram formuladas a partir de pequenos textos (Texto A, Texto B, Texto C etc.). Para avaliação das aulas 17 e 18, escolha pelo menos UM (1) Texto (A, B, C etc.) e resolva os exercícios relacionados ao texto. As respostas devem ser enviadas pelo Portfólio da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e aprofunde, até onde for possível, os outros textos e seus exercícios. Lembre-se - Nesta semana você também deverá postar a resolução de alguns exercícios referentes às videoaulas 19 e 20 que estão disponíveis na Organização Didática da semana 5 e no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso. 1

2 ***** Exercícios das vídeo aulas 17 e 18 Matemática Resumo: A otimização da produção busca, em outras palavras, a melhoria das condições produtivas para que possa ser encontrado o ponto ótimo, ponto este onde o lucro pode ser maximizado e os desperdícios (despesas, custos, perdas, etc.) podem ser minimizados. Isto posto, foram descritos pelo professor alguns passos a serem tomados para chegarmos a estas soluções: 1. É imprescindível traduzir o enunciado que possui uma linguagem cotidiana, uma linguagem que evidencia uma situação-problema, para uma linguagem com situações matemáticas. 2. É preciso transpor o enunciado para uma tabela transformando-o no que é chamado, matematicamente falando, numa matriz. 3. É necessário criar expressões matemáticas que traduzam a necessidade exposta no problema, para a linguagem matemática. 4. Simplificar os coeficientes dessas expressões quando possível. 5. Executar e verificar os dados numéricos primeiramente. 6. Reproduzir, no plano cartesiano, cada uma dessas expressões, a fim de representar a área de viabilidade e obter o ponto ótimo. Texto A Achar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é encontrar a melhor solução possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados, até chegar à solução. 2

3 PROBLEMA (problema 3 da aula) Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo: Produtos >> Materiais A B Estoque I II III Lucro unitário >> 4 reais 6 reais Lucro Total L (Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2 unidades de II e 1 unidade de III) Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o Lucro Total seja máximo ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO 1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo? Resposta: L = 4x + 6y 2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às condições da produção? Resposta: x + 3y menor ou igual a 10 2x+ 2y menor ou igual a 12 0x + 1y menor ou igual a 4 3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática? 3

4 Resposta: x + 3y 10 x + y 6 y 4 4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y 10. Resposta: 5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y 12 (material II) e y 4 (material III). Resposta: 6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente todas as condições do enunciado. Resposta: 7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0). Resposta: L = 4x +6y... L = (4 X 6) + (4 X 0)... L = 24 reais 8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V. Resposta: 9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3). Resposta: L = 4x +6y... L = (4 X 0) + (4 X 10/3)... L = 20 reais 10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela. Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x +6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado. Texto B 4

5 Problemas que envolvem a determinação do valor mínimo de uma função podem ser resolvidos de maneira análoga ao de valor máximo, com a permuta de desigualdades do tipo ax + by < c por outras do tipo ax + by > c. Para praticar mais um pouco a solução de problemas lineares de otimização, vamos agora tratar de um problema de minimização. O roteiro será mais simplificado, nos exercícios que seguem, mas a ideia é basicamente a mesma dos problemas já resolvidos até este ponto. Uma informação complementar, apenas para ativar a curiosidade: problemas de máximos e de mínimos relacionam-se intimamente com frequência. A busca do máximo lucro pode estar associada ao mínimo custo, por exemplo. Uma ideia interessante é pensar nessa dualidade, ao enfrentar problemas concretos. PROBLEMA (problema 4 da aula) Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente pelo menos as quantidades de vitaminas B1 e B2 indicadas na tabela abaixo. Por razões de saúde, a dieta deve incluir apenas os alimentos I e II, acondicionados em pacotes de 100g. Determine o número de pacotes de cada tipo de alimento que deve ser ingerido de modo que as prescrições médicas sejam cumpridas e o custo da alimentação seja o menor possível. alimento I pacote de 100g tem: alimento II pacote de 100g tem: prescrição médica (mínimo diário) vitamina B1 1,00 mg 0,50 mg 4,00 mg vitamina B2 0,60 mg 1,20 mg 6,00 mg preço do pacote 6,00 reais 4,00 reais Custo Total: C Roteiro para a Resolução 1. Devemos determinar o número x de pacotes do alimento I e o número y de pacotes do alimento II a serem consumidos de modo a o custo total C, da alimentação, ser mínimo, satisfeitas as condições da dieta. Expresse o custo C em função de x e y. 2. Expresse as condições impostas pela dieta em termos de x e y. 5

6 3. Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem a desigualdade 2x + y 8, os que satisfazem a desigualdade 6x + 12y 60, e a região de viabilidade para o problema 4. Determine o ponto de interseção das retas correspondentes a B1 e B2. 5. Calcule o custo da dieta em um ponto qualquer da região de viabilidade, por exemplo, o ponto (10; 0). Mostre que o custo mantém esse valor constante ao longo de uma reta. Represente essa reta no plano cartesiano. 6. Calcule o custo da alimentação no ponto (8; 0), mostre que ele é constante ao longo de uma reta paralela à do custo C = 60, mas que se situa abaixo dessa reta. 7. Mostre que a reta que corresponde ao custo mínimo é a que passa pelo ponto mais baixo da região de viabilidade, ou seja, pelo ponto de interseção das retas correspondentes a B1 e B2, calculado 6

7 anteriormente. O valor mínimo do custo é o valor de C = 6x + 4y nesse ponto. Determine tal valor. TEXTO C Problemas de otimização constituem uma permanente fonte de interesse. Muitas das técnicas estudadas em disciplinas matemáticas servem de base à resolução de tais problemas. Os cursos de Cálculo Diferencial são apenas um exemplo, um ponta pé inicial na busca de soluções ótimas. Os problemas e exercícios aqui resolvidos não foram numerosos, apenas buscaram ilustrar uma forma especial de abordar problemas desse tipo, no caso de envolverem apenas funções que descrevem processos lineares. Ao longo do curso, muitas situações similares irão, sem dúvida, ocorrer. Faça uma pesquisa na rede www sobre processos de otimização na natureza ou nas empresas, na ciência ou na gestão. Você encontrará um espectro amplo de situações que envolvem o máximo ou o mínimo das grandezas envolvidas. Os processos naturais estão associados a mínimo esforço, máximo rendimento, ou ideias semelhantes. Os corpos abandonados sob a ação da gravidade buscam uma posição em que a energia potencial é mínima. Não se preocupe em entender tudo o que é dito, nem compreender as eventuais soluções propostas: apenas assista ao que apresentado, como se fosse um comercial, uma propaganda. Converse com os colegas e faça uma lista de situações, em diferentes contextos, que envolvem a ideia de otimização. Muitas dessas situações estarão presentes em disciplinas que serão estudadas ao longo de sua formação profissional, especialmente no que tange à organização da produção. Ver link: pdf 7

8 Referências Bibliográficas Cadernos do Professor de Matemática (28 volumes). Secretaria de Estado de Educação de São Paulo, Especialmente o volume 1 da 3ª Série do Ensino Médio, p UNIVESP/MATEMÁTICA Atividades Complementares Aulas X1 e X2 (Nilson) Expoentes e Logaritmos... Texto A Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associandoos a números menores. Em vez de 10 7 ou 10-7, penso nos expoentes 7 ou no - 7. O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa o valor de N: log N = n quer dizer que 10 n = N. Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se N = a x então x = logaritmo de N na base a = log a N. De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a 8

9 grande maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os valores aproximados de tais expoentes. 1. Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a tabela abaixo: N N = 10 n n (log N) 1 1 = = 10 0,30 0, = 10 0, = = = = =

10 Texto B Escala Richter para medir intensidade de Terremotos A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que R = log(a/a o ) onde a razão A/A o representa a comparação, medida por um aparelho chamado sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com uma amplitude de referência A o. Como esta razão costuma ser um número muito grande, ele é expresso por uma potência de 10; o expoente de tal potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida R em graus na escala Richter. A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a amplitude das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para relacionar o valor da medida R e o montante da Energia destruidora E: R = 0,67.log E 3,25. A consequência prática é o fato de que a cada grau a mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes. Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do que um terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de potências de 10; entretanto, a energia correspondente é 31,6 vezes maior a cada grau R a mais. Os exercícios seguintes explorarão tais fatos. 1. Complete a tabela abaixo: Escala Richter (graus) Amplitude (n x valor de referência) Energia (n x valor de referência) , ,6 2 = 1000 (aprox.)

11 8 9 Texto C A fórmula química da água é H 2 O; entretanto, mesmo a mais pura, contém cátions H + dissociados de ânions OH -. A quantidade de tais íons dissociados é relativamente pequena: cerca de 1 íon grama de H + para cada 10 7 litros de água. (Apenas para comparação, uma caixa d água costuma ter 1000 litros de água; existiria, então, 1 íon grama de H + para cada caixas d água...) É a atividade dos H + que corresponde à sensação de acidez, quando se ingere um líquido, por exemplo. Para baixas concentrações, tal atividade pode ser identificada com a concentração de tais íons. Numa limonada, que é mais ácida do que a água, existe cerca de 1 íon grama de H + para cada 10 2 litros. Em uma substância básica, usada para combater a acidez, como o leite de magnésia, ou um sal de frutas, existe muito menos: cerca de 1 íon grama para cada litros. Ao se ingerir uma substância básica, o efeito produzido é o da diluição dos H +, com a diminuição da acidez. O que se chama ph (potencial hidrogeniônico) é, então, o expoente de 10 na concentração de H +. O logaritmo é negativo, nessa concentração, uma vez que, no caso da água, por exemplo, temos a razão 1/10 7, ou 10-7 como concentração de H +. Na prática, no entanto, constrói-se uma escala que vai de 0 a 14, ou seja, caracteriza-se a acidez pelo simétrico da concentração de H +. Em tal escala, a água encontra-se no meio, tendo ph igual a 7. Entre 0 e 7, encontram-se as substâncias ácidas; entre 7 e 14, as básicas. Os exercícios abaixo exploram tais fatos. 1. Complete a tabela abaixo: Medida de Acidez: ph Natureza: Substância Ácida ou Básica 1 10 Concentração de H + 1 H + para cada...litros 11

12 Neutra Texto D A ideia de logaritmo é igualmente fecunda qualquer que seja a base em que calculamos os expoentes. Na base 10, os logaritmos (decimais) são representados simplesmente por log; se outra for a base escolhida, tal escolha precisa ser indicada. Somente interessam nos cálculos bases positivas e diferentes de 1, uma vez que as potências de base 1 são repetitivas... Se escolhemos uma base qualquer a, nessas condições, temos, então: N = a x, então x = log a N. Uma base particularmente importante nos dias atuais é a base 2, em razão de seu uso intenso no projeto e na utilização de computadores. Naturalmente, uma questão que se coloca é a de como determinar os logaritmos em uma base b, diferente de a, quando são conhecidos os logaritmos na base a. Tal mudança de base resultará de uma conta simples: para obter-se o logaritmo na base nova, basta dividir o logaritmo na base velha pelo logaritmo da base nova (na base velha): log b N = log a N / log a b (por exemplo, log 2 N = log N / log 2) A justificativa e a exploração de tal fato será objeto dos exercícios seguintes. 1. Sendo dado log N, encontrar o log 2 N. 12

13 2. Demonstre que, sendo a e b números positivos e diferentes de 1, temos: log b N = log a N / log a b 3. Sendo dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 calcule log 2 3 e log Complete a tabela abaixo: (os cálculos podem ser apenas indicados) N log N log 2 N log 3 N log 6 N ,30 3 0, Referências Bibliográficas ***** Cadernos do Professor de Matemática (28 volumes). Secretaria de Estado de Educação de São Paulo, Especialmente o volume 3 da 1ª Série do Ensino Médio, p