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1 Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuição de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicação Defesa de Tese de Doutorado Ricardo Poley Martins Ferreira DCC - UFMG Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.1/42

2 Sumário Introdução - O Problema de Atribuição de Capacidades e Roteamento de Fluxos Problema bifurcado Formulação bifurcada Algoritmos com desempenho garantido e experimentos Problema não-bifurcado Formulação não-bifurcada Algoritmo e experimentos Problema de Expansão de Capacidades e Roteamento de Fluxos Formulação discreta Algoritmo de enumeração implícita e experimentos Conclusões e Perspectivas Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.2/42

3 Principais contribuições extensão da formulação proposta por Luna e Mahey para o problema de expansão de capacidades e roteamento de fluxos de uma para múltiplas expansões de capacidade e para considerar estratégias de roteamento não-bifurcadas; desenvolvimento de algoritmos com desempenho garantido e de uma algoritmo exato para solução do problema de atribuição de capacidades e roteamento de fluxos; demonstração, através de experimentos, de que as metodologias propostas, envolvendo tanto a formulação como o algoritmo, são eficientes na solução dos problemas propostos. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.3/42

4 Introdução O problema de atribuição de capacidades e roteamento de fluxos Conhecendo: a topologia da rede, os custos de instalação e operação de capacidade, o vetor de demandas máximas, o custo de fluir uma unidade de fluxo por um arco, o custo de uma unidade de atraso (unidade de custo/tempo). Determinar: as capacidades dos arcos e o roteamento de fluxos que minimizem o custo total da rede. Variáveis: os fluxos e as capacidades nos arcos. Sujeito a: os arcos são capacitados, satisfazer todas as demandas, as restrições de rede. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.4/42

6 " $, #. - / $ &,. 9 5 $ Novo modelo e formulação Caso bifurcado * &+ ++ & () '& "! " * &+ ++ & " " * &+ ++ & () 243 & 1 01 * &+ ++ & 8 / & * &+ ++ & 7 6 & " NB. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.6/42

7 ?? & + ++ E H D L K M M K L N K Função de custos integrados A & = A A >= & ; < &+ ++ & = < < >= '& :; C 2B = 2B = 2B '& custo relacionado com a qualidade de serviço no arco para uma linha de tipo ; DGF D I D I J D custo operacional, onde o custo unitário calculado para cada unidade de fluxo passando pelo arco ; custo da atribuição da capacidade do tipo arco. I D é I D ao Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.7/42

8 O Função de custos integrados T(, c 0 )+ 0 + T(, c 1 )+ 1 + T(, c 2 )+ 2 + c 0 c 1 c 1 c 2 c 0 Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.8/42

9 O ; ; ;,P ; Q ; Q ; 5,P ; Q ; 5,P S A ;, + & & Hipóteses adotadas para a função * &+ ++ & () 0 & & A 0 & < 0 & * &+ ++ & () & & ( < & '& A '& 2 3 '& * &+ ++ & () & & ( <? & < = '& R 2 3? = 2 3 '& R * &+ ++ () U B& 0 &+ ++ & (T A & R Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.9/42

10 W W c X ij E b M h gh Y D X W c X qj E J E p W M h gh k Y D D j j r Aproximação convexa Proposição 1: Suponha que cada função seja limitada inferiormente e que o problema apresentado possua solução ótima com valor ótimo. Então: ] Z\[ f Ded a ^`_ V D V D é um limite inferior do valor ótimo, i.e.. Mais ainda, V D V D lm ^on f D d Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.10/42

11 s O O Casca convexa da função T(, c 0 )+ 0 + T(, c 1 )+ 1 + } conv f c 0 c 1 0 c 0 1 Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.11/42

12 u t t t W t X t Garantindo desempenho O desempenho garantido de uma heurística para um problema de minimização é ( ) se necessariamente o algoritmo fornece uma solução cujo valor é no máximo vezes maior que o valor ótimo global:. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.12/42

13 X c c X v ij E b E M h gh M h gh Y D X c v E Y v X X v j j Garantindo desempenho Proposição 2: Suponha que seja a solução ótima do problema convexo aproximado. Então f D d V D ] Z\[ Y J X D f D d a ^`_ V D. Seja valor da função objetivo considerando o roteamento e a função objetivo original não-convexa: f D d V D. é a solução obtida aplicando uma das J X D o heurísticas propostas, deste modo resultando., Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.13/42

14 Garantindo desempenho Proposição 3: As heurísticas propostas necessariamente retornam uma solução cujo valor é no máximo t vezes o valor do limite inferior t X. j X X Y w X X w X E u w J X t Y u w Y u x X y t X Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.14/42

15 J E V Algoritmos com desempenho gara tido Método cíclico de melhoria: O primeiro algoritmo é um método cíclico entre a atribuição de capacidades e a aplicação de um algoritmo de roteamento (de busca local). Método de solução por partes: O segundo algoritmo baseia-se em uma estratégia de solução por partes (piecewise strategy), com a aplicação direta do método de desvios de fluxos (Flow Deviation method) na função objetivo não convexa. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.15/42

16 Experimentos numéricos Topologia da rede N5, 5 nós, 6 arcos, 10 pares-od Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.16/42

17 Experimentos numéricos Topologia da rede N100, 100 nós, 950 arco, 2000 pares-od Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.17/42

18 z ˆ c ƒ} }~ Experimentos numéricos Tabela 1: Capacidades disponíveis e seus respectivos custos Capacidade Custo de instalação { n { n Š { d n Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.18/42

19 Œ Experimentos numéricos Comparação entre os desempenhos do ótimo global resultados heurísticos, e G Ž B na rede (N5), dos Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.19/42

20 Œ Experimentos numéricos Comparação entre os desempenhos do ótimo global resultados heurísticos, e G Ž B na rede (N5), dos Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.20/42

21 Experimentos numéricos Comparação entre os resultados diferentes tamanhos de mensagens, Ž B, para Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.21/42

22 Experimentos numéricos Comparação entre resultados, Ž B, G diferentes parâmetros de custos de congestionamento para Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.22/42

24 9. " & - 1 " $. / :. 9 5 " Problema não-bifurcado Formulação não-bifurcada As seguintes restrições são adicionadas na formulação anterior forçando roteamento sem bifurcação * &+ ++ & 8 / & * &+ ++ & * &+ ++ & * & " " * &+ ++ & 8 / & * &+ ++ & C * & 0 & B Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.24/42

25 Œ Experimentos numéricos Comparação entre os resultados da rede N100: não-bifurcado, Ž B bifurcado e bifurcado para diferentes tamanhos de mensagens resultado limite superior do Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.25/42

26 Œ Experimentos numéricos Comparação entre os resultados da rede N100: não-bifurcado, Ž B bifurcado e bifurcado para diferentes tamanhos de mensagens resultado limite superior do Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.26/42

28 Problema de Expansão de Capac dades e Roteamento de Fluxos E f Y E D E K H Y M š N Formulação discreta I D I J D D I D I J D D F Y f J D Š D F V D D F Š I d onde: u F Frr r u F f D Š D Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.28/42

29 Método de enumeração implícita O método de enumeração implícita avalia sistematicamente todas as soluções possíveis sem avaliar explicitamente todas elas. Por exemplo, suponha que uma solução viável esteja disponível com um valor igual a 100. Suponha que algumas das variáveis inteiras foram fixadas e que as demais estejam livres. Suponha o problema relaxado nas variáveis livres. Imagine que o valor da função objetivo obtida resolvendo o problema parcialmente relaxado seja 120. Se o mínimo estiver sendo procurado todas as soluções que possuam variáveis com os mesmos valores que as variáveis que foram fixadas podem ser ignoradas. Todas elas possuem um valor da função objetivo superior a 100. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.29/42

30 c š Método de enumeração implícita Esse procedimento gera uma seqüência nãoredundante de soluções parciais, tentativas que terminam somente quando todas as ( número de arcos) soluções já tiverem sido enumeradas implicitamente. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.30/42

31 Experimentos numéricos Topologia da rede CNET, 19 nós e 34 arcos Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.31/42

32 Ÿ ² d f Š Experimentos numéricos Tabela 2: Problema teste CNET, caso D œž ǹ «Deman ª z z Número de produtos, d z, d z ±, µ Š Š ³ Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.32/42

33 Ÿ ² ¹ Š Experimentos numéricos Tabela 3: Problema teste CNET, caso D œ ǹ «Deman ª z z Número de produtos, d z, d z ±, = º Š Š ³ Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.33/42

35 Conclusões O objetivo principal do trabalho que foi estudar a formulação proposta por Luna e Mahey para o problema de expansão de capacidades e roteamento de fluxos foi alcançado. O uso de uma formulação contínua para um problema combinatório forçou o desenvolvimento de algoritmos específicos para lidar com a nova formulação. As metodologias propostas são eficientes e eficazes na solução do problema de atribuição de capacidades e roteamento de fluxos. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.35/42

36 Perspectivas Futuras Modelos e formulações analíticas de qualidade de serviço em redes. O estudo da estimativa de custos de congestionamento em redes de comunicação. Roteamento multiproduto não-bifurcado. Redes integradas de serviço. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.36/42

37 J E J E D ¼ Y Problema Contínuo Modelo e algoritmo para o problema contínuo de atribuição de capacidades e roteamento de fluxos H D D½F J H D E» D f D d H F Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.37/42

38 Problema Contínuo Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.38/42

39 D J E J E ¼ Y D D Problema Contínuo H D½F H D ¾ D (1) D j H D Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.39/42

40 J E D D ¹ J E À Ã Y D ¼ j H ¾ D Problema Contínuo O mínimo de H D F em é dado por: H D f ÂÁ D j H D (2) Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.40/42

41 u Ä f Š Š Ÿ Ÿ Å Ç Ç Î ƒ} ƒ} ƒ} ƒ} ƒ} ƒ} f Š Ÿ Å f Š Ç Ð Tabela 4: Comparação dos resultados obtidos com o algoritmo FD aplicado no problema e com a aplicação do método de desvio de fluxos no problema Rede Æ Å Æ ÈÍ ÈÊÉÌË È>Í ARPA RING N Æ Å melhor resultado obtido em média dos resultados obtidos em desvio padrão execuções com o algoritmo FD execuções com o algoritmo FD Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.41/42

42 Retrospectiva A hybrid approach for global optimization, R.P.M Ferreira e R.L.U.F. Pinto, III Metaheuristic International Conference. Virus infections for acceleration of genetic algorithms, M.C. Goldbarg, R.P.M Ferreira e H.P.L. Luna,III Metaheuristic International Conference. Otimização da eficiência térmica dos "no-breaks" da Engetron, R.P.M Ferreira, G. Miranda Jr. e H.P.L. Luna, Relatório Técnico. Discrete Capacity and Flow Assignment Algorithms with Performance Guarantee,, R.P.M Ferreira, e H.P.L. Luna, Computer Communications, ACEITO. Discrete Capacity and Flow Assignment Algorithm in Nonbifurcated Backbone Communication Networks, R.P.M. Ferreira R.P.M., J.A.S. Monteiro e H.P.L. Luna, ALIO-EURO An Optimal Method for Tree Network Design With Congestion Costs, G. Miranda Jr., H.P.L. Luna e R.P.M Ferreira, submetido. Modelos e Algoritmos para o Problema de Atribuio de Capacidades e Roteamento de Fluxos em Redes de Comunicao p.42/42