Sessão Técnica de Sistemas Dinâmicos. Programação

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1 Sessão Técnica de Sistemas Dinâmicos Coordenação: Claudio Aguinaldo Buzzi Programação Qua 25/04 Qui 26/04 Sex 27/04 14h00-14h20 P. R. Silva A. J. Santana T. Carvalho 14h20-14h40 L. F. Martins T. Ferraiol T. Rodrigues 14h40-15h00 C. Pessoa P. H. Baptistelli P. Cardin 15h00-15h20 W. Pereira L. G. Oliveira M. Dumett 15h20-15h30

2 Resumos Título: Structural stability of constrained systems on compact manifold. Autor: Paulo Ricardo da Silva. Resumo: We consider constrained systems and impasse regular regular curves on S 2. We study the structural stability and present the Peixoto s theorem for constrained systems on S 2. Moreover we make a global analysis of the systems A(x).ẋ = F(x), x IR 3, A M(3), F : IR 3 IR 3 in the Poicaré ball (i.e. in the compactification of IR 3 with the sphere S 2 of the infinity)

3 Título: Folheações singulares de dimensão 2 construídas a partir de retratos de fase de campos de vetores. Autor: Luciana de Fátima Martins. Resumo: Nesta apresentação exibiremos um método de construção de folheações singulares no toro sólido S 1 xd 2 a partir de campos de vetores X em D 2 dados por seu retrato de fase. Algumas das folheações são obtidas fazendo a suspensão do campo X. Uma tal folheação F têm a propriedade que as folhas da folheação de dimensão 1 obtida nos discos Σ = {θ} D 2 fazendo a interseção das folhas de F com Σ são precisamente as órbitas de X. Reciprocamente, para uma família de folheações singulares em S 1 xd 2, mostramos que as folheações induzidas nos discos Σ como acima (ou em uma perturbação do disco) são orientáveis e bem caracterizadas.

4 Título: Ciclicidade de gráficos em do tipo Lips em duas e três dimensões. Autor: Claudio Gomes Pessoa. Resumo: Nesta apresentação falaremos dos resultados conhecidos envolvendo bifurcações de uma classe de gráficos, chamados de lips (i.e. lábios), que ocorrem genericamente em famílias infinitamente diferenciaveis a três parâmetros de campos de vetores em variedades de dimensão dois. Os lábios consistem de um conjunto de gráficos formados por duas selas-nó, uma atratora e outra repulsora, conectadas pelas separatrizes dos setores hiperbólicos e por órbitas comuns aos interiores dos setores nodais das selas-nó. Também discutiresmos as possíveis extensões deste problema para dimensão três.

5 On the reversible quadratic polynomial vector fields on S 2 Claudio Pessoa, Weber F. Pereira, Depto de Matemática, IBILCE, UNESP, , São José do Rio Preto, SP pessoa@ibilce.unesp.br, weberf@ibilce.unesp.br Abstract: In this work, we study a class of quadratic reversible polynomial vector fields on S 2 with (3, 2)-type reversibility. We classify all isolated singularities, symmetric and nonsymmetric, and we prove the nonexistence of limit cycles for this class. Our study provides tools to determine the phase portrait for these vector fields.

6 Conjugação topológica de fluxos em sistemas de controle e grupos de Lie Alexandre J. Santana ( ajsantana@uem.br) Universidade Estadual de Maringá, Maringá, Paraná, Brasil 1 Resumo Considere dois fluxos Φ e Ψ em espaços topológicos M e N. Num contexto geral, conjugação topológica visa estabelecer condições para estes fluxos no intuito de encontrar homeomorfismos entre M e N que levam Φ-trajetórias em Ψ-trajetórias, preservando a parametrização pelo tempo. Neste contexto, o principal objeto desta palestra é a conjugação topológica de fluxos. Em particular, nós generalizamos o resultado clássico que, no caso de hiperbolicidade, duas equações diferenciais autônomas lineares são topologicamente conjugadas, se e só se as dimensões dos subespaços estáveis coincidem. Para provar este resultado, a existência de domínios fundamentais homeomorfos, um para cada fluxo, é essencial para construir a conjugação. Nesta palestra nós primeiro falaremos de fluxos de sistemas de controle afim em R d, depois de fluxos de campos vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie. No caso de sistemas de controle, nós consideramos sistemas da forma ẋ = A 0 x + a 0 + m u i (t)[a i x + a i ], u = (u 1,..., u m ) U, (1) i=1 onde A i gl(d, R), a i R d, e U := {u L (R, R m ), u(t) U para todo t R} é o conjunto das funções de controle adimissíveis com valores no conjunto U R m. Nós denotamos as soluções com condição inicial x(0) = x 0 R d por ψ(t, x 0, u), t R. O sistema de controle (1), chamado sistema de controle afim, define um sistema dinâmico (ou fluxo) em U R d por Ψ : R U R d U R d, Ψ t (u, x) = (θ t u, ψ(t, x, u)), (2) onde (θ t u)(s) := u(t + s), s R, é o shift em U. De fato, Ψ satisfaz as propriedades de fluxo Ψ 0 = id e Ψ t+s = Ψ t Ψ s para t, s R. Se U é compacto e convexo, o conjunto U de funções de controle adimissíveis é um espaço metrizável compacto com a topologia fraco de L e Ψ é um fluxo produto contínuo. Neste trabalho, nós assumimos que conjugações topológicas de tais fluxos respeitem a estrutura produto; i.e., também para conjugações topológicas nos fibrados vetoriais U R d a primeira componente deve ser independente da segunda componente. Com isto nós estudamos, no contexto mais geral de fluxo afim em fibrados vetoriais, a existência de soluções únicas. Como resultados principais desta parte, nós provamos que fluxos lineares são topologicamente conjugados a sua parte linear, com uma hipótese adicional de continuidade. Em particular, usando a classificação de sistemas de controles lineares nós obtemos uma classificação de sistemas de controles afins. Por fim trataremos de fluxos de campos vetoriais invariantes a esquerda em grupos de Lie. Lembramos que no caso clássico de sistemas dinâmicos, os fluxos são dados por matrizes em gl(d, R). Sabendo que este conjunto é a álgebra de Lie do grupo de Lie Gl(d, R) e sabendo da relação entre elementos hiperbólicos e a decomposição de Iwasawa de grupos de Lie semissimples, é natural pensar no resultado acima no caso de grupos de Lie semissimples. Considerando o grupo de Lie semissimples G, o principal resultado desta parte da palestra estabelece que os fluxos em G de campos nilpotentes ou hiperbólicos são topologicamente conjugados. A técnica usada na demonstração consiste em mostrar a existência de seções transversais em G, associadas a tais campos. Finalmente, nós consideramos o produto semidireto G = H V, onde H é um grupo de Lie arbitrário e V é isomorfo a R n. Nós mostramos que a conjugação topológica de fluxos em G, induzidos por elementos (A, b) da álgebra de Lie g = h V, não depende de b. 1

7 Expoentes de Lyapunov para Fibrados Principais e Associados Thiago Ferraiol ( tfferraiol@uem.br) Universidade Estadual de Maringá Resumo Nesta apresentação pretendo mostrar uma generalização dos expoentes de Lyapunov de cociclos lineares para uma classe de fluxos em fibrados principais, conforme proposta em [2]. O contexto será o de fluxo de endomorfismos de um G- fibrado principal, onde G é um grupo de Lie semissimples, e de seus fluxos induzidos nos fibrados Flag associados. O caso clássico de expoentes em fibrados vetoriais se recupera desta generalização tomando o fluxo induzido no fibrado Flag cuja fibra é o espaço projetivo. Em [3], mostra-se a versão do teorema ergódico multiplicativo para o nosso contexto, além de uma propriedade de estabilidade estrutural a partir da relação entre os espectros de Morse e de Lyapunov. Além dos resultados já citados acima, pretendo mostrar como essa estabilidade estrutural pode fornecer condições para a regularidade dos expoentes de Lyapunov por pequenas perturbações do fluxo, generalizando, por exemplo, o resultado apresentado em [1], que fornece a analiticidade dos expoentes de Lyapunov para uma classe de fluxos em fibrados vetoriais que deixam um cone invariante. Palavras-chave: Expoentes de Lyapunov, Fibrados Principais, Fibrados Flag. Referências [1] David Ruelle. Analycity Properties of the Characteristic Exponents of Random Matrix Products Advances in Mathematics, v.32, p.68-80, [2] Lucas Seco and Luiz San Martin. Morse and Lyapunov spectra and dynamics on flag bundles, Ergodic Theory and Dynamical Systems, v.26, p , [3] Luciana Alves and Luiz San Martin. Multiplicative Ergodic Theorem on Flag Bundles for Flows on Principal Bundles of Reductive Lie Groups. Artigo submetido,

8 Teoria invariante no estudo de campos de vetores reversíveis-equivariantes Patricia Hernandes Baptistelli Universidade Estadual de Maringá Maringá, PR Resumo A presença de simetrias e antissimetrias em um sistema dinâmico pode levar ao aparecimento de soluções múltiplas, além de afetar a genericidade da ocorrência de bifurcações locais. Simetrias e antissimetrias em um sistema de equações diferenciais são transformações do retrato de fase que levam trajetórias sobre outras trajetórias, incluindo uma reversão no tempo para as antissimetrias. Quando ambas ocorrem simultaneamente, o sistema é chamado reversível-equivariante e o conjunto Γ de todos estes elementos tem estrutura de grupo. Neste caso, a existência de um homomorfismo σ : Γ { 1,1} implica na existência de um subgrupo normal de índice 2, formado apenas pelas simetrias de Γ e denotado por Γ +. Neste trabalho, usamos ferramentas da teoria invariante algébrica para obter a forma geral de campos de vetores Γ reversíveis-equivariantes a partir da teoria invariante para Γ +. Este trabalho foi desenvolvido em colaboração com Miriam Manoel (ICMC/USP). 1

9 Expansões Periódicas de Frações Contínuas e Equações Quadráticas Leonardo G. de Oliveira (leonardogonoli@hotmail.com) Túlio O. Carvalho (tcarvalho@uel.br) Departamento de Matemática - Universidade Estadual de Londrina, CP 6001, Londrina, PR, de março de 2012 Resumo Neste artigo, expomos brevemente parte da teoria sobre frações contínuas, estudo que o primeiro autor faz dentro de suas atividades do PICME. Distinguimos o comportamento das expansões em frações contínuas de números racionais e irracionais e suas diferenças quanto à unicidade, por exemplo. A aplicação de Gauss é usada para demonstrar que toda expansão periódica ou pré-periódica representa um número irracional que é raiz de uma equação do segundo grau. Palavras-chave: Frações contínuas, aplicação de Gauss. 1 Introdução

10 Título: Campos de vetores suaves por partes em R 2 A singularidade Dobra-Sela. Autor: Tiago de Carvalho. Resumo: Nesta apresentação trataremos da análise de bifurcações locais numa vizinhança de uma singularidade típica de campos de vetores suaves por partes em IR 2. Nosso principal objetivo é descrever o desdobramento da singularidade dobra-sela através da variação de três parâmetros. Formas normais e diagramas de bifurcação serão exibidos.

11 Título: O Fractal de Rauzy. Autores: Prof.Dr. Jefferson L.R.Bastos UNESP (Campus: São José do Rio Preto) e Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues - UNESP (Campus:Bauru). Resumo: O Fractal de Rauzy é um subconjunto do plano complexo que foi definido por G. Rauzy em Este assunto tem aplicações em diversas áreas: sistemas dinâmicos, teoria dos números, teoria dos azulejamentos, sistemas de numeração, entre outras. O objetivo desta palestra é apresentar um método para a construção do Fractal de Rauzy, suas propriedades topológicas, geométricas e aritméticas. Também mostrar a relação entre a fronteira deste Fractal e as propriedades aritméticas e algébrias da α-representação de um número complexo.

12 Título: Problemas de perturbação singular com descontinuidades. Autor: Pedro Toniol Cardin. Resumo: Neste trabalho consideramos problemas de perturbação singular, também conhecidos como sistemas lento rápido, para o qual o fluxo lento é dado por um sistema do tipo Filippov (sistemas que apresentam descontinuidades no lado direito). Investigamos sobre quais condições os resultados da Teoria Geométrica das Perturbações Singulares obtidos em [1] continuam válidos para estes tipos de sistemas. Apresentamos alguns resultados nesta direção. Co autores: Marco Antonio Teixeira e Paulo Ricardo da Silva. Bibliografia [1] Fenichel, N., Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Diff. Equations 31 (1979), [2] Filippov, A. F., Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1988).

13 Título: Caos estável no ciclo biótico do ferro da pirita pela bactéria Acidithiobacillus ferrooxidans. Autores: Miguel Dumett (UFPR, Depto. de Matemática, James Keener (University of Utah, Dept. of Mathematics). Resumo: O ciclo do ferro da pirita é uma coleção de reações químicas que produz ácido sulfúrico no meio (ph 1) na presença de água e oxigênio. A bactéria Acidithiobacillus ferrooxidans acelera um milhão de vezes a oxidação de íon ferroso para íon férrico, utilizando o elétron tomado para gerar água dentro de seu citoplasma e para produzir ATP. Tem sido observadas oscilações no ph e na população dessa bactéria por diversos autores. Propomos um modelo de sistemas dinâmicos que trata de explicar a presença de soluções periódicas sem introduzir variações sazonais de água e oxigênio. As velocidades de reação, assim como a dinâmica da população da bactéria, foram tomadas da literatura existente em microbiologia. Encontram-se bifurcações de Hopf, homoclínicas, SNP e de duplo período, assim como a presença de órbitas periódicas estáveis e caos estável para uma faixa de valores do parâmetro de metabolismo da bactéria. As implicações biológicas disto permitem considerar a possibilidade de que a bactéria sobreviva num estado em que produza menos ácido.