CONSELHO EDITORIAL - EDIÇÕES LEITURA CRÍTICA Ezequiel Theodoro da Silva (Coordenador Geral), Universidade Estadual de Campinas. Carlos Humberto Alves

Transcrição

1

2 CONSELHO EDITORIAL - EDIÇÕES LEITURA CRÍTICA Ezequiel Theodoro da Silva (Coordenador Geral), Universidade Estadual de Campinas. Carlos Humberto Alves Corrêa, Universidade Federal do Amazonas. Carolina Cuesta, Universidade Nacional de La Plata - Argentina. Juan Daniel Ramirez Garrido, Universidade Pablo de Olavide - Espanha. Regina Zilberman, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Rodney Zorzo Eloy, Universidade Paulista. Rubens Queiroz de Almeida, Centro de Computação da Unicamp.

3 Organizadores: Alessandro Jacques Ribeiro Francisco José Brabo Bezerra Vivilí Maria Silva Gomes FORMAÇÃO DE PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA E A ÁLGEBRA DA EDUCAÇÃO BÁSICA: um projeto desenvolvido na Universidade Federal do ABC no âmbito do Observatório da Educação

4 Copyright 2017 Elaboração da ficha catalográfica Gildenir Carolino Santos (Bibliotecário) Tiragem 500 exemplares Editoração e acabamento Edições Leitura Crítica Rua Carlos Guimarães, Cambuí Campinas SP silvasilva1948@gmail.com Catalogação na Publicação (CIP) elaborada por Gildenir Carolino Santos CRB-8ª/5447 F765 Formação de professores que ensinam Matemática e a Álgebra da Educação Básica: um projeto desenvolvido na Universidade Federal do ABC no âmbito do Observatório da Educação / organizadores: Alessandro Jacques Ribeiro, Francisco José Brabo Bezerra, Vivilí Maria Silva Gomes. - Campinas, SP: Edições Leitura Crítica, p. ISBN: Formação de professores. 2. Matemática Estudo e ensino. 3. Álgebra Estudo e ensino. I. Ribeiro, Alessandro Jacques. II. Bezerra, Francisco José Brabo. III. Gomes, Vivilí Maria Silva. IV. Título a CDD Impresso no Brasil 1ª edição Dezembro ISBN: Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto n.º de 20 de dezembro de Todos os direitos para a língua portuguesa reservados para o autor. Nenhuma parte da publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer meio, seja eletrônico, mecânico, de fotocópia, de gravação, ou outros, sem prévia autorização por escrito do Autor. O código penal brasileiro determina, no artigo 184: Dos crimes contra a propriedade intelectual: violação do direito autoral art. 184; Violar direito autoral: pena detenção de três meses a um ano, ou multa. 1º Se a violação consistir na reprodução por qualquer meio da obra intelectual, no todo ou em parte para fins de comércio, sem autorização expressa do autor ou de quem o represente, ou consistir na reprodução de fonograma ou videograma, sem autorização do produtor ou de quem o represente: pena reclusão de um a quatro anos e multa. Todos direitos reservados e protegidos por lei. Proibida a reprodução total ou parcial da obra de acordo com a Lei 9.610/98. DIREITOS RESERVADOS PARA LÍNGUA PORTUGUESA: Edições Leitura Crítica Fone: (19) Campinas, SP - Brasil silvasilva1948@gmail.com

5 Sumário Prefácio... 7 Agradecimentos... 9 Capítulo 1 Caminhos e percalços de um projeto de pesquisa desenvolvido por um grupo trabalhando em colaboração e em cooperação...11 Alessandro Jacques Ribeiro Capítulo 2 Conhecimentos algébricos manifestados a partir das macroavaliações e das compreensões conceituais de professores e de estudantes...41 Regina Lucia da Silva, Francisco José Brabo Bezerra, Vivilí Maria Silva Gomes, Evonir Albrecht Capítulo 3 Tarefas de aprendizagem profissional sobre os números racionais em um curso de formação continuada de professores...85 Henrique Rizek Elias, Debora da Silva Souza, Francisco José Brabo Bezerra Capítulo 4 O perfil conceitual de equação como uma estratégia de desenvolvimento de tarefas de aprendizagem profissional do professor que ensina Matemática Karina Aguiar Alves, Marcia Aguiar

6 Capítulo 5 Tarefas de aprendizagem profissional sobre o conceito de função: análise de uma intervenção com professores que ensinam Matemática na Educação Básica Caroline Miranda Pereira Lima, Vinícius Pazuch Capítulo 6 Ensino de polinômios na Educação Básica: relato de uma experiência de formação continuada de professores Etienne Lautenschlager, Alessandro Jacques Ribeiro Capítulo 7 Matemática nos Anos Iniciais e o desenvolvimento do pensamento algébrico Miriam Criez Nobrega Ferreira, Miguel Ribeiro, Thais Helena Inglêz Silva Sobre os autores...193

7 Prefácio É um prazer para mim escrever algumas linhas a fim de apresentar o assunto, o escopo e os objetivos deste livro. Fico particularmente satisfeito por ser um dos seus colaboradores internacionais, ainda que tenha dado uma pequena contribuição no projeto que gerou esta publicação. Durante o período de desenvolvimento do projeto, o Professor Doutor Alessandro Jacques Ribeiro fez um pós-doutorado comigo e estudamos alguns textos sobre a teoria de perfis conceituais, que era nova para mim, e sobre a teoria cultural-historical activity theory (CHAT). Também visitei a UFABC e palestrei por lá, além de ter tido o prazer de trabalhar com alguns estudantes, como Bárbara Oliveira e William Silva. Mais importantemente, este fruto intelectual, resultado de quase quatro anos de trabalho de uma equipe com trinta e nove pesquisadores e professores de vários estágios de formação, aborda e destaca os conhecimentos desenvolvidos por professores ao ensinarem Álgebra na Educação Básica. A Álgebra é uma chave essencial para entrar no edifício da Matemática avançada. Sem uma compreensão da Álgebra os estudantes não podem estudar com êxito as demais ferramentas matemáticas, que permitem a 7

8 eles alcançar, além de várias áreas importantes e lindas da Matemática, os conhecimentos nas áreas das Ciências, Tecnologias e Engenharias, que também são úteis para uma atuação como cidadãos críticos na sua sociedade. Para a Álgebra ser útil à cidadania e ao estudo da Matemática e das Ciências, Tecnologias e Engenharias, ela tem que ser ensinada e aprendida. O ensino e a aprendizagem da Álgebra foi o alvo deste projeto coordenado pelo Professor Alessandro, cuja especialidade é o uso das teorias de perfis conceituais para a Álgebra e o conhecimento de Matemática para o ensino (CME) da Álgebra. Através de sua liderança, quatro objetivos nortearam a pesquisa da equipe de pesquisadores e professores. Esses objetivos aparecem elencados no primeiro capítulo do livro. Além do primeiro capítulo, no qual Alessandro apresenta as ideias principais do projeto e as estatísticas sobre aqueles que colaboraram e cooperaram com o trabalho que resultou numa produção impressionante da equipe em termos de apresentações nacionais e internacionais e publicações, o livro é composto por mais seis capítulos. Parabenizo toda a equipe por sua dedicação e pelos novos conhecimentos que oferecem à comunidade de Educação Matemática através da publicação deste importante livro. Espero que a sua distribuição seja ampla, pois sei que o conteúdo da obra constitui um importante instrumento para professores que ensinam a Matemática, e para estudantes e pesquisadores de Educação Matemática. Arthur B. Powell Rutgers, The State University of New Jersey Newark/NJ - USA Novembro de

9 Agradecimentos À Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) que, por meio do Programa Observatório da Educação (OBEDUC), financiou o projeto de pesquisa Conhecimento matemático para o ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais e, com isso, proporcionou o desenvolvimento profissional e acadêmico dos integrantes da equipe e contribuiu para que o grupo pudesse realizar os estudos e apresentar os resultados de diversas e diferentes investigações acerca da formação do professor que ensina Matemática e a Álgebra na Educação Básica. À Universidade Federal do ABC (UFABC) e ao Centro de Matemática, Computação e Cognição (CMCC), que nos ofereceram infraestrutura para a realização de nossas pesquisas e acolheram em suas instalações o grupo de professores, estudantes e pesquisadores. A todos os membros do grupo de pesquisa FORMATE - Formação Matemática para o Ensino - que, ao longo de quatro anos, mantiveram-se unidos e trabalhando em colaboração e cooperação - trabalho esse que gerou diversas produções, veiculadas por meio de trabalhos em eventos, artigos em revistas acadêmicas 9

10 e, em especial, que resultou nesta obra que ora compartilhamos com a comunidade de educadores matemáticos. Registramos um agradecimento especial aos professores Marcia Aguiar e Vinícius Pazuch, que envidaram muitos esforços e desenvolveram um trabalho árduo e de excelência na revisão dos capítulos deste livro. 10

11 Capítulo 1 Caminhos e percalços de um projeto de pesquisa desenvolvido por um grupo trabalhando em colaboração e em cooperação Alessandro Jacques Ribeiro Das primeiras investigações a um projeto longitudinal: motivações que nos envolveram com os processos de ensino e aprendizagem da Álgebra A preocupação com os percalços nos processos de ensino e de aprendizagem da Álgebra, identificados ao longo de mais de dez anos de estudos e investigações (RIBEIRO, 2001; RIBEIRO; 2007; RIBEIRO; 2012, RIBEIRO; 2013), motivaram-me a idealizar, organizar e desenvolver um projeto de pesquisa que buscasse caminhos alternativos para repensar o que e como discutir a Álgebra escolar, da Educação Básica ao Ensino Superior. Para além de minha experiência como pesquisador, identificou-se, à época, que, apesar de os resultados de macroavaliações como a Prova Brasil e o Exame Nacional do Ensino Médio apontarem melhorias nos indicativos de desempenho dos estudantes em Matemática, muitas competências matemáticas ainda precisavam - e precisam - ser desenvolvidas e construídas pelos estudantes. A Álgebra acabou por ser elencada para assumir um dos papéis principais nesse projeto de pesquisa, ao se observar que, apesar da ênfase dada nesta área da Matemática na Educação 11

12 Básica, os resultados de tais avaliações mostravam as deficiências dos estudantes em conhecimentos algébricos. Levando-se em conta a divulgação dos resultados da Prova Brasil/SAEB (2011), por exemplo, observávamos que, ainda que os índices apontassem para um crescimento no desempenho dos estudantes, os quais obtiveram notas de 250,6 e de 273,6 numa escala que vai até 400 ao final dos Ensinos Fundamental e Médio, respectivamente, identificava-se uma grande lacuna na formação desses estudantes em Matemática. No caso específico da Álgebra, a partir dos resultados apresentados pelo Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), observou-se que os estudantes não dominavam competências como (1) identificar um sistema de equações do 1º grau, que expressa um problema; (2) resolver equações do 1º grau com uma incógnita; (3) resolver problemas que envolvam equação do 2º grau; (4) identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau; (5) identificar, em um gráfico de função, o comportamento de crescimento/decrescimento; (6) identificar o gráfico de uma reta, dada a sua equação; dentre outras. Preocupado com tais resultados e numa perspectiva de superar tais deficiências, uma vez que a Álgebra, assim como a Matemática, pode ser mais e melhor explorada quando seus significados são articulados com outras áreas do conhecimento (KILPATRICK; HOYLES; SKOVSMOSE, 2005), propôs-se um projeto de pesquisa, que ora vinha sendo organizado e que tinha como intenção principal possibilitar a ampliação daqueles significados que se fazem presentes nas ideias, ações e discursos de alunos e de professores da escola básica ao ensino superior. Somado a esse contexto, inseria-se um forte desejo de organizar o trabalho colaborativamente - isto nos parecia um meio apropriado para desenvolver, de maneira articulada, a formação inicial e continuada do professor de Matemática (GAMA; FIORENTINI, 2009). Na busca de mais evidências de que essa preocupação era legítima, foram identificados, na revisão de literatura, resultados 12

13 que apontavam: i) que o ensino e a aprendizagem de Álgebra pareciam ser superficiais e procedimentais (RIBEIRO, 2001; AT- TORPS, 2003); ii) para a potencialidade da abordagem de diferentes significados de conceitos científicos e conceitos matemáticos no ensino e aprendizagem de alunos e de professores (COELHO; CARVALHO, 2006; COUTINHO; MORTIMER; EL-HANI, 2007; RIBEIRO, 2010, 2013); iii) para a urgência de pesquisas sobre os conhecimentos algébricos e da prática do professor que ensina Álgebra (ARTIGUE; ASSUDE; GRUGEON; LENFANT, 2001; DOERR, 2004; RIBEIRO, 2012). Assim, ao se alinhar a experiência com a temática de investigação acumulada pelo pesquisador coordenador aos resultados que emergiram da literatura, chegou-se a uma problemática que acabou por gerar o projeto de pesquisa Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais, o qual foi organizado em torno do objetivo principal, qual seja investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar Álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem de ensino baseada em perfis conceituais. Nesse sentido, pretendia-se compreender se e como uma abordagem de ensino fundamentada em perfis conceituais poderia contribuir para a constituição e/ou ampliação do conhecimento matemático para o ensino de conceitos da Álgebra junto aos professores envolvidos na pesquisa. A partir do objetivo geral acima explicitado articulou-se quatro objetivos específicos, os quais foram delineados para serem os norteadores e balizadores do processo de pesquisa. Foram objetivos específicos do estudo: I. Investigar diferentes significados de conceitos matemáticos do campo da Álgebra, que emergem nos processos de ensino e de aprendizagem de Matemática, no âmbito dos Ensinos Fundamental, Médio e Superior; II. Compreender o papel de tarefas de aprendizagem matemática que contemplem perfis conceituais de conceitos matemáticos do campo da Álgebra, na formação inicial 13

14 e/ou continuada dos professores envolvidos com a/na pesquisa; III. Identificar e mapear os diferentes conhecimentos algébricos que emergem na interação dos professores com as tarefas indicadas no item II acima; IV. Desenhar um esboço teórico de quais são e como são os diferentes conhecimentos algébricos identificados no item III acima que possam compor o Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra. Com o intuito de operacionalizar os objetivos acima apresentados, elegeu-se a abordagem qualitativa como a mais apropriada para o desenvolvimento da pesquisa, uma vez que a mesma poderia orientar a produção de dados de forma a privilegiar a compreensão dos significados que os professores produzem em relação aos conhecimentos algébricos contemplados, quando esses professores estão ensinando na Educação Básica. No que se refere aos recursos humanos, organizou-se uma equipe envolvendo professores universitários, professores da Educação Básica, alunos de doutorado e de mestrado, e alunos de graduação, todos engajados em elaborar, desenvolver e analisar tarefas de aprendizagem matemática que contemplavam diferentes significados de conceitos algébricos trabalhados na Álgebra Escolar (da Educação Básica ao Ensino Superior). Os espaços de formação dos professores envolviam universidades do Brasil, dos Estados Unidos, do Canadá e de Portugal, por meio de parcerias com pesquisadores associados destes países; por sua vez, a produção de dados se desenvolveu em escolas dos municípios de Santo André, São Bernardo do Campo e São Paulo. No tocante aos elementos teóricos que subsidiaram essa proposta de pesquisa, destacam-se os conceitos de Conhecimento Matemático para o Ensino (CME) (BALL; THOMAS; PHELPS, 2008) e de Perfil Conceitual (PC) (MORTIMER, 1994). Em linhas gerais, o Conhecimento Matemático para o Ensino - modelo teórico fundamentado no Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (SHULMAN, 1986) - é composto pelo CCK (conhecimento 14

15 comum do conteúdo), pelo SCK (conhecimento especializado do conteúdo), pelo KCS (conhecimento do conteúdo e dos estudantes), pelo KCT (conhecimento do conteúdo e do ensino) e pelo CK (conhecimento curricular do conteúdo). Por seu lado, Mortimer (1994) propôs o modelo Perfil Conceitual, que possibilita discutir quais conceitos polissêmicos, como o de átomo por exemplo, admitem a elaboração de perfis conceituais. Os perfis conceituais são compostos de diferentes zonas que correspondem a diferentes formas pelas quais os indivíduos veem, representam e dão significado ao mundo. As zonas são utilizadas pelas pessoas em diferentes contextos e podem conviver simultaneamente num mesmo indivíduo. Enquanto o conceito de CME auxiliou na compreensão dos conhecimentos que são produzidos e mobilizados pelos professores, o conceito de PC permitiu investigar os refinamentos de diferentes significados de conceitos algébricos que são compartilhados nos espaços das escolas e das universidades envolvidas em nossa pesquisa. Feita a apresentação das motivações que fundamentaram a constituição do grupo de pesquisa e a organização do projeto que foi desenvolvido, cujos resultados traz-se para apresentar e discutir nesse livro, dou continuidade ao Capítulo1 mostrando como o projeto foi sendo desenvolvido ao longo de mais de quatro anos de trabalho; também apresento todos os colegas que participaram dessa jornada, os quais se tornaram parceiros e coautores dos resultados que conseguimos alcançar. Um breve relato histórico do grupo e do projeto: da constituição da equipe aos resultados alcançados Iniciamos a caminhada através da formação de um grupo que sempre trabalhou em colaboração e em cooperação 1, 1 Os termos colaboração e cooperação são tomados pelos sentidos usuais destas palavras. Entende-se colaboração como co-laborar, ou seja, trabalhar em conjunto. Por seu lado, cooperação é entendido como co-operar, ou seja, operar, operacionalizar algo em parceria. Assim foi desenvolvido 15

16 composto por pesquisadores, professores (de diferentes níveis de ensino) e estudantes universitários (de graduação e de pós- -graduação), todos preocupados e envolvidos com a compreensão acerca de como eram concebidos os processos de ensino e de aprendizagem de Álgebra, da Escola Básica ao Ensino Superior. Nossa jornada, em 2013, começou com um grupo de mais de vinte integrantes e, ao longo de mais de quatro anos, foi se alterando, se moldando, havendo entradas e saídas, idas e vindas, mas nunca foi perdido o espírito de trabalho em cooperação e em colaboração. A Tabela 1 indica os participantes que fizeram parte dessa longa e produtiva história. Tabela 1: Participantes do Projeto (2013 a 2017) 2 Nome Função Instituição Período Alessandro Ribeiro Coordenador UFABC 05/2013 a 11/2017 Alejandro Martin P.U.C. Université de Montréal 05/2013 a 11/2017 Anderson Lucas P.EB.B. Sesi 07/2016 a 11/2017 Arthur Powell P.U.C. Rutgers University 05/2013 a 11/2017 Barbara Oliveira E.M.B. UFABC 05/2013 a 02/2015 Camila Santos E.G.B. UFABC 05/2013 a 03/2015 Caroline Lima E.G.V. UFABC 03/2015 a 11/2017 Claudia Lozada PD.B.C. UFABC 12/2014 a 01/2016 o trabalho do grupo ao longo dos quatro anos: trabalhando em conjunto e desenvolvendo todas operações sempre em parceria, discutindo e decidindo as ações de forma combinada e coordenada. 2 P: Professor; E: Estudante; PD: Pós-Doutorando; U: Universitário; EB: Educação Básica; G: Graduação; M: Mestrado; D: Doutorado; B: Bolsista; C: Colaborador; V: Voluntário; UFABC: Universidade Federal do ABC; UEL: Universidade Estadual de Londrina; SME-SP: Secretaria Municipal de Educação de São Paulo; SEE-SP: Secretaria Estadual de Educação de São Paulo. 16

17 Daniela Saito E.G.B. UFABC 05/2013 a 03/2015 Débora Souza E.M.B./P.EB.B. UFABC 05/2013 a 11/2017 Erlan Silva P.EB.B. E. E. Senador Lacerda Franco 05/2013 a 11/2017 Etienne Lautenschlager E.D.B./P.U.C. UFABC/SME-SP 06/2013 a 11/2017 Evonir Albrecht PD.B.C./P.U.C. UFABC 01/2014 a 11/2017 Francisco Bezerra P.U.C. UFABC 05/2013 a 11/2017 Francisco Gomes P.EB.B. E.E. Prof. Pércio Puccini 10/2014 a 05/2016 Henrique Elias E.D.V./P.U.C. UEL 07/2015 a 11/2017 Higor Venancio E.G.B. UFABC 09/2013 a 02/2014 Josevaldo Lago E.G.V. UFABC 03/2015 a 02/2017 Juliana Paulin PD.B.C. UFABC 02/2017 a 11/2017 Karina Alves E.G.B./E.M.V. UFABC 05/2013 a 11/2017 Leticia Fagundes P.EB.B. E.E. Prof. Esther Medina 05/2013 a 04/2015 Lídia Cruz P.EB.V. SEE-SP 03/2014 a 07/2014 Maitê Campbell E.G.B. UFABC 05/2014 a 07/2014 Marcia Aguiar P.U.C. UFABC 12/2015 a 11/2017 Márcio Soares P.EB.B. E.E. Dr. Generoso Alves de Siqueira 05/2013 a 12/2013 Marco Amaral E.G.B. UFABC 05/2013 a 08/2013 Maria de Fátima Sbrana P.EB.B./E.M.V. E. M. E. B. Mauricio R. da Rosa 04/2015 a 02/2016 Marieli Almeida E.M.V. UFABC 09/2013 a 08/2015 Marina Souza E.G.B. UFABC 05/2013 a 04/

18 Michel Dias P.EB.B. E. E. Dr Caetano de Campos 05/2013 a 03/2015 Miguel Ribeiro P.U.C. Unicamp 03/2015 a 11/2017 Miriam Ferreira E.M.B. UFABC 03/2015 a 11/2017 Monica Rossetto P.EB.B. E.E. Prof. Waldomiro Guimarães 05/2013 a 01/2015 Rafael Almeida E.G.B./E.G.V. UFABC 10/2014 a 02/2017 Regina Silva P.EB.B. E.E. Padre Aristides Greve 05/2013 a 11/2017 Thais Silva E.M.B./P.EB.B. UFABC 05/2013 a 11/2017 Vinícius Pazuch PD.B.C./P.U.C. UFABC 02/2016 a 11/2017 Vivilí Gomes P.U.C. UFABC 05/2013 a 11/2017 William Silva E.G.B. UFABC 05/2013 a 03/2015 Ao longo dos mais de quatro anos de desenvolvimento do projeto, de acordo com o que se verifica na Tabela 1, foram 40 colaboradores que circularam pelos espaços de convivência e de trabalho. Com isso, foi sendo construída a história do grupo e, ao longo daquele que foi o primeiro ano de vida, deu-se início a um trabalho de base, constituído por (i) estudos teóricos, (ii) análise de questões de macroavaliações, (iii) palestras, seminários e reuniões de trabalhos com professores visitantes. Tudo isso possibilitou ao grupo construir os fundamentos teóricos e metodológicos necessários para o bom andamento das próximas etapas da pesquisa. Ainda assim, apesar de se estar apenas no primeiro ano do que vinha sendo planejado, já foi possível produzir: (a) oito trabalhos completos publicados e apresentados em eventos nacionais e internacionais, (b) seis projetos de pesquisa para os alunos de graduação (iniciação científica), (c) três projetos de dissertação de mestrado, (d) um projeto de tese de doutorado, e (e) um projeto de pós-doutorado, financiado 18

19 na época pelo Programa Nacional de Pós-Doutorado (PNPD/ CAPES). Seguiu-se então o ano de 2014, segundo ano de desenvolvimento do projeto, momento no qual o grupo foi amadurecendo, enquanto que paralelamente aprofundava-se os estudos de base e dava-se início à etapa de trabalho de campo. Ao chegar o final do segundo ano do projeto, registrou-se a continuidade de algumas das atividades, como os estudos teóricos e as análises de questões de macroavaliações, ao mesmo tempo em que se iniciava o desenvolvimento dos roteiros e eram realizadas entrevistas, com professores universitários e da Educação Básica, acerca do que eles entendiam por Álgebra e seu ensino. Naquele momento notava-se que a produção do grupo ia tomando corpo e, ao final de 2014, tinham sido finalizados outros trabalhos completos que foram publicados e apresentados em eventos nacionais. Observou-se avanços também na formação continuada de vários membros do grupo, ao se perceber o interesse dos professores da Educação Básica, por exemplo, em ingressar no mestrado em ensino na UFABC, o que de forma semelhante acontecia com os alunos que finalizavam a graduação. Também foi importante para o grupo a possibilidade que eu, enquanto coordenador do projeto, vivenciei passando quatro meses num estágio de pós-doutorado (financiado pela FAPESP) com um dos colaboradores internacionais de nosso OBEDUC, o Professor Doutor Arthur Powell. Seguiu-se rumo ao terceiro ano de desenvolvimento do projeto, mas, infelizmente, uma situação não programada e não desejada levou o grupo a uma tremenda reviravolta. Devido a cortes financeiros na Capes, a partir de junho de 2015 foram suprimidas todas as seis bolsas de graduação, duas bolsas de mestrado e uma bolsa de professor da Educação Básica. É fato que naquele momento o grupo compreendia a necessidade de ajustes aos projetos OBEDUC vigentes, devido ao novo orçamento da Capes. No entanto, teve-se que envidar grandes esforços para manter a equipe completa, unida e produtiva, apesar da significa- 19

20 tiva perda sofrida no número de bolsas do projeto. Enfim, apesar do cenário desfavorável à época, ainda assim foram produzidos e publicados novos trabalhos, posteriormente apresentados em eventos nacionais e internacionais. Iniciou-se também a elaboração de artigos científicos com os resultados parciais do projeto, os quais seriam posteriormente publicados em importantes revistas científicas nacionais e internacionais. Finalmente, ao chegar o início do ano de 2016, caminhava- -se rumo às últimas atividades do projeto e, certamente, a uma das principais etapas da pesquisa, ou seja, o momento de produzir dados junto a professores da Educação Básica e a seus alunos. Tinha-se programado, desde o início do projeto, que tal etapa seria realizada por meio de um processo de formação continuada, no formato de um curso de extensão 3, na Universidade Federal do ABC 4. Ao final do quarto ano de desenvolvimento do projeto, o grupo envolvido nas atividades ia concluindo seus estudos teóricos, finalizava as análises de questões de Matemática das provas 3 O referido curso de extensão teve a duração de 9 meses, de março a dezembro de 2016, e contou com o apoio da Pró-Reitoria de Extensão e Cultura (PROEC) da UFABC. O curso foi oferecido na modalidade Curso de Aperfeiçoamento de 180 horas e possibilitou, para além de produção de dados de nosso projeto, um importante momento de formação continuada para professores da Educação Básica de Santo André e região. Com o intuito de favorecer uma Formação Matemática para o Ensino da Álgebra Escolar, o curso teve uma grande adesão; em seu início, no entanto, por questões pessoais e profissionais, muitos professores não conseguiram concluir a formação oferecida. Podemos dizer que, na maior parte do tempo de realização do curso, tivemos a participação de 44 professores da região do ABC paulista e também da cidade de São Paulo. 4 Destacamos que, apesar do foco inicial do projeto de pesquisa ter sido os Ensinos Fundamental e Médio, em função do envolvimento de participantes com interesses diversos daqueles outrora planejados, pudemos avançar também com nossa investigação nos anos iniciais do Ensino Fundamental por meio de um curso de extensão para professores deste segmento de ensino. Isto será abordado no sexto capítulo. 20

21 do SAEB e do ENEM, análises estas que tiveram por finalidade geral dar suporte à compreensão do que era considerado como relevante nos processos de ensino e de aprendizagem de Álgebra nas macroavaliações. Com isso, a partir do espírito de trabalhar em colaboração e em cooperação, o grupo concluiu a produção de novos trabalhos científicos e oficinas pedagógicas agora com a participação mais efetiva dos professores da Educação Básica. O material produzido foi apresentado em importantes eventos nacionais da área da Educação Matemática, bem como aplicado internamente junto à comunidade da nossa universidade. Certamente, com a conclusão das diferentes etapas de realização do projeto e dos diversos subprojetos que foram desenvolvidos em paralelo, chegava-se aos momentos finais do percurso com novas produções (artigos em revistas, trabalhos em eventos, dissertações e teses), com especial destaque para este livro do qual o presente capítulo faz parte. Na próxima seção é apresentado um panorama mais detalhado das diferentes produções que foram desenvolvidas e socializadas com a comunidade acadêmica da área da Educação Matemática. Muitos dos trabalhos apenas citados nesta seção serão retomados. Produções do grupo: um espaço coletivo de discussão e organização dos resultados Dentre as principais preocupações e anseios do grupo, sempre esteve presente a necessidade de compartilhar os resultados alcançados de modo que, ao mesmo tempo em que isso realimentava o grupo, percebia-se que um bom caminho vinha sendo construído, haja vista a aceitação das conquistas do projeto. Como já colocado anteriormente, o grupo sempre teve por lema a proposta de trabalhar em cooperação e em colaboração e, com isso, as produções, sempre que possível, buscavam contemplar, na sua constituição, as ideias de todos os seus integrantes. 21

22 Ao mesmo tempo, as sínteses e a organização dos diferentes textos contavam com a participação de professores e de estudantes que compunham o grupo. Tal dinâmica tinha por pressuposto a preocupação de que as diferentes vozes que ecoavam no projeto sempre tivessem lugar nas produções elaboradas. A Tabela 2 mostra uma síntese numérica das produções 5 - síntese esta que será mais bem explorada posteriormente. Tabela 2: Produções do grupo ao longo dos quatro anos de projeto Tipo de produção Incidência Trabalhos em eventos 37 Artigos em periódicos 13 Livros/capítulos de livros 03 Relatórios de iniciação científica 02 Dissertações de mestrado 06 Teses de doutorado 02 Relatórios de pós-doutorado 02 TOTAL 65 Ao lado da socialização da quantidade de produções do projeto, decidi por compartilhar aqui alguns dados e informações importantes, que podem servir como estímulo e como convite para que o leitor conheça com mais profundidade os diferentes trabalhos que organizamos ao longo dos anos. Optei por agrupar diferentes tipos de produção em dois quadros, de modo que o leitor possa buscar pelo tipo de texto que mais lhe interesse. O Quadro 1 apresenta informações sobre os trabalhos em eventos. O Quadro 2 organiza os dados sobre os artigos em periódicos e de 5 Além das produções que indicamos na Tabela 2, já publicadas, o grupo ainda possui sete artigos que foram submetidos a revistas científicas e estão em processo de avaliação. Ressaltamos também que uma das teses de doutorado foi desenvolvida em processo de coorientação e defendida no PPG em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina. 22

23 livros/capítulos de livros, nessa ordem. Completando, o Quadro 3 mostra os dados relacionados aos relatórios de iniciação científica, de pós-doutorado, assim como os dados sobre dissertações de mestrado e de teses de doutorado. Quadro 1: Trabalhos produzidos pelo grupo e publicados em eventos 6 7 Título A realidade social dos números racionais: a busca de contextos significativos Conhecimento matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais Uma nova abordagem sobre gráficos com o apoio de um campeonato interclasses: Um relato de experiência em uma escola estadual do município de Santo André-SP Conhecimento matemático para o ensino, formação de professores e o ensino de Álgebra: uma análise e possíveis relações na Educação Básica Autor/es Francisco Bezerra; Alessandro Ribeiro Alessandro Ribeiro Local de publicação 6 Ano IV SHIAM 2013 XI ENEM 2013 Marina Souza XI ENEM 2013 Alessandro Ribeiro VII CIBEM Seminário Nacional de Histórias e Investigações de/em Aulas de Matemática (SHIAM); Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM); Congresso Iberamericano de Educação Matemática (CIBEM); Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática (EBRAPEM); Encontro Paulista de Educação Matemática (EPEM); Colóquio de Educação Matemática (CEMA); Congresso Internacional de Educação em Ciências (CIEC); Encontro Paranaense de Educação Matemática (EPREM); Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEMAT); Encontro Mineiro de Educação Matemática (EMEM); Encontro de Educação Matemática nos Anos Iniciais (EEMAI); Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM); Conferência Interamericana de Educação Matemática (CIAEM); Seminário de Investigação em Educação Matemática (SIEM) 7 23

24 Análise dos conceitos mobilizados pelos professores de Matemática da Educação Básica no ensino de simetria: um estudo baseado na análise dos resultados das provas Brasil/SAEB A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais Relação do estudo de perfil conceitual e a elaboração de avaliação sobre equações A (re)construção do conhecimento pedagógico do conteúdo dos professores de Matemática Reflexões sobre diferentes concepções de Álgebra na Matemática escolar A Prova Brasil/2011: identificando dificuldades relacionadas às concepções de Álgebra por meio dos descritores Compreender que concepções de Álgebra surgem em questões das macroavaliaçoes: ENEM 2011 Bárbara Oliveira Débora Souza Thaís Silva Etienne Lautenschlager William Silva; Camila Santos; Bárbara Oliveira; Michel Dias Karina Aguiar; Letícia Fagundes; Monica Rossetto; Thaís Silva; Vivilí Gomes Daniela Saito; Débora Souza; Regina Silva; Francisco Bezerra XVII EBRAPEM XVII EBRAPEM XVII EBRAPEM XVII EBRAPEM XII EPEM 2014 XII EPEM 2014 XII EPEM

25 Uma compreensão de Álgebra construída pelo olhar das concepções de professoras de ensino superior Números decimais: reflexões sobre o ensino e a aprendizagem dos estudantes Interfaces da Física com a Matemática: uma necessidade real Análise dos conceitos mobilizados pelos professores de Matemática da Educação Básica no ensino de simetria: um estudo baseado na análise dos resultados das provas Brasil/ SAEB A formação do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais Relação do estudo de perfil conceitual e a elaboração de avaliação sobre equações Perfil conceitual de equação: investigações acerca das concepções de alunos de Licenciaturas em Matemática A (re)construção do conhecimento pedagógico do conteúdo dos professores de Matemática Diferentes compreensões sobre a Álgebra da/na Educação Básica e suas relações/implicações na/para a formação do professor Erlan Silva; Marina Souza; Thaís Silva; Alessandro Ribeiro Francisco Bezerra XII EPEM 2014 IV CEMA 2014 Evonir Albrecht II CIEC 2014 Bárbara Oliveira Débora Souza Thaís Silva Marieli Almeida Etienne Lautenschlager Alessandro Ribeiro; Etienne Lautenschlager XVIII EBRAPEM XVIII EBRAPEM XVIII EBRAPEM XVIII EBRAPEM XVIII EBRAPEM XII EPREM

26 Contribuições de professores formadores sobre o conhecimento profissional docente em Álgebra Concepções de Álgebra: uma tentativa de construir um quadro de referência por integrantes de um grupo colaborativo Perspectivas na formação do professor de Matemática: a abordagem dos perfis conceituais como um caminho para o desenvolvimento do conhecimento especializado do conteúdo Uma proposta de análise vertical: investigando o conhecimento matemático para o ensino de professores da Educação Básica Álgebra nos anos iniciais: primeiras reflexões à luz de uma revisão de literatura Investigando o que pensam os professores da Educação Básica sobre Álgebra A Álgebra que se aprende e a Álgebra que se ensina: encontros e desencontros na visão dos professores Karina Alves; Marieli Almeida; Thaís Silva; Evonir Albrecht Regina Silva; Daniela Saito; Débora Souza; Francisco Bezerra Alessandro Ribeiro Marieli Almeida; Karina Alves; Thais Silva; Regina Silva Miriam Ferreira; Alessandro Ribeiro Débora Souza; Regina Silva; Alessandro Ribeiro Alessandro Ribeiro IV SIPEMAT IV SIPEMAT IV SIPEMAT VII EMEM 2015 III EEMAI 2015 V SHIAM 2015 XIV CIAEM

27 Conhecimentos matemáticos dos professores e o ensino de equações: uma investigação acerca do planejamento de aulas para a educação básica Um estudo analítico acerca da solução de problemas algébricos envolvendo professores e estudantes Reflexões sobre o processo de ensino e aprendizagem de Álgebra A Álgebra da Educação Básica vista por alunos concluintes do ensino médio Corta, multiplica cruzado, mudou de lado, muda de sinal : o conhecimento do horizonte acerca dos números racionais de uma professora da Educação Básica Analisando como alunos do 9º ano da rede pública respondem e interpretam questões de Álgebra Pensamento algébrico nos anos iniciais: uma abordagem baseada nas operações e sua propriedades Alessandro Ribeiro; Felipe Oliveira Regina Silva; Etienne Lautenschlager; Josevaldo Lago; Alessandro Ribeiro Francisco Bezerra; Francisco Gomes; Caroline Lima Maria de Fátima Sbrana; Karina Alves; Marieli Almeida; Vivilí Gomes Henrique Elias; Ângela Savioli 7 ; Alessandro Ribeiro Erlan Silva; Debora Souza; Evonir Albrecht; Miriam Ferreira Miriam Ferreira; Lilian Barboza VI SIPEM 2015 XII ENEM 2016 XII ENEM 2016 XII ENEM 2016 XII ENEM 2016 XII ENEM 2016 XIII EPEM Pesquisadora da UEL, orientadora da tese de doutorado de Henrique Rizek Elias. 27

28 Uma análise das diferentes abordagens de resolução de uma situação matemática com base no perfil conceitual de equação Conhecimento profissional docente e o ensino de equação: uma reflexão baseada na prática Conhecimentos mobilizados por professores quando preparam atividades matemáticas para o ensino de polinômios na escola básica Karina Alves; Regina Silva; Vivilí Gomes Marcia Aguiar; Karina Alves; Alessandro Ribeiro Etienne Lautenschlager; Alessandro Ribeiro XIII EPEM 2017 VIII CIBEM 2017 XXVII SIEM 2017 Quadro 2: Artigos e livros/capítulos produzidos pelo grupo Título Potencialidades de desenvolvimento do conhecimento profissional docente em um grupo cooperativo. O conceito de simetria e o ensino de Álgebra: analisando materiais curriculares da Educação Básica. Mapeamento de concepções de Álgebra: uma alternativa para compreender seus diversos significados. Autor/es Thaís Silva; Alessandro Ribeiro Bárbara Oliveira; Alessandro Ribeiro; Arthur Powell Alessandro Ribeiro; Francisco Bezerra; Regina Silva Dados da publicação Educação Matemática em Revista (EMR), v. 52, p Boletim GEPEM (Online), v. 69, p Acta Scientiae (ULBRA), v. 18, p Ano

29 Álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental: primeiras reflexões à luz de uma revisão de literatura. A Álgebra que se aprende e a Álgebra que se ensina: encontros e desencontros na visão dos professores. Álgebra e seu ensino: dando eco às múltiplas vozes da Educação Básica. Concepções de Álgebra presentes nas macroavaliações; os casos da Prova Brasil e do ENEM de Investigando a construção do conceito de polinômio: uma abordagem envolvendo teorias das Ciências Cognitivas. Conhecimento profissional de professores de Matemática e o conceito de função: uma revisão de literatura. Miriam Ferreira; Alessandro Ribeiro; Miguel Ribeiro Alessandro Ribeiro Alessandro Ribeiro Débora Souza; Thaís Silva; Vivilí Gomes; Francisco Bezerra Etienne Lautenschlager; Alessandro Ribeiro; Yossi Zana 8 Vinícius Pazuch; Alessandro Ribeiro Revista Educação e Fronteiras On-line, v. 6, p Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, v. 15, p Revista de Ensino de Ciências e Matemática (REnCiMa), v. 7, p Revista de Ensino de Ciências e Matemática (REnCiMa), v. 8, p Vidya (Santa Maria. Online), v. 37, p Educação Matemática Pesquisa, v. 19, p Pesquisador da UFABC, co-orientador da tese de doutorado de Etienne Lautenschlager. 29

30 Formação de professores de Matemática e o ensino de polinômios. Álgebra nos anos iniciais do ensino fundamental: uma análise dos documentos curriculares nacionais. Conhecimento matemático para ensinar Álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Números racionais e estrutura algébrica corpo: problematizando o currículo da formação inicial de professores de Matemática. Conhecimento matemático do professor dos anos iniciais com foco no pensamento algébrico: contribuições a partir de um curso de extensão. Etienne Lautenschlager; Alessandro Ribeiro Miriam Ferreira Miriam Ferreira; Miguel Ribeiro; Alessandro Ribeiro Henrique Elias; Ângela Savioli; Alessandro Ribeiro Miriam Ferreira; Alessandro Ribeiro; Miguel Ribeiro Educação Matemática Pesquisa, v. 19, p Revista de Ensino de Ciências e Matemática (REnCiMa), v. 8, n. 4. Revista Zetetiké, UNICAMP, v. 25, n. 3. Educação Matemática em Pesquisa (EMP), v. 19, n. 3. Práticas de colaboração em contextos de formação continuada de professores que ensinam Matemática. Curitiba: CRV, p

31 Políticas públicas e a formação de professores que ensinam Matemática. Formação de professores que ensinam Matemática e a Álgebra da Educação Básica: um projeto desenvolvido na Universidade Federal do ABC no âmbito do Observatório da Educação. Ettiène Guérios; Alessandro Ribeiro; Dolores Follador Alessandro Ribeiro; Francisco Bezerra; Vivili Gomes (Orgs.) Práticas e Pesquisas no Campo da Educação Matemática. Curitiba: CRV, p Campinas: Edições Leitura Crítica Quadro 3: Trabalhos acadêmicos produzidos no grupo Título Investigação sobre as orientações propostas aos professores no currículo do estado de São Paulo quanto ao conceito de equação. Analisando questões da Prova Brasil: um estudo com professores da Educação Básica. O conceito de simetria na Álgebra escolar: um estudo baseado na análise de documentos oficiais e de manuais de professores. Autor/es William Silva. Alessandro Ribeiro (Orient.) Karina Alves. Alessandro Ribeiro (Orient.) Bárbara Oliveira. Alessandro Ribeiro (Orient.); Arthur Powell (Coorient.) Dados da publicação Iniciação Científica (UFABC) Iniciação Científica (UFABC) Dissertação de Mestrado (UFABC) Ano

32 Conhecimento do professor de Matemática sobre equações: analisando o processo avaliativo sob o olhar de um modelo de perfil conceitual. Formação inicial do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais. Perfil conceitual de equação: investigações acerca das concepções de alunos de licenciaturas em Matemática. Álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental: uma análise do conhecimento matemático acerca do pensamento algébrico. Perfil conceitual de equação e a sala de aula da Educação Básica: uma análise do conhecimento profissional docente. Thaís Silva. Alessandro Ribeiro (Orient.); Alejandro Gonzalez (Coorient.) Débora Souza. Francisco Bezerra (Orient.) Marieli Almeida. Alessandro Ribeiro (Orient.); Evonir Albrecht (Coorient.) Miriam Ferreira. Alessandro Ribeiro (Orient.); Miguel Ribeiro (Coorient.) Karina Alves. Alessandro Ribeiro (Orient.); Márcia Aguiar (Coorient.) Dissertação de Mestrado (UFABC) Dissertação de Mestrado (UFABC) Dissertação de Mestrado (UFABC) Dissertação de Mestrado (UFABC) Dissertação de Mestrado (UFABC)

33 Conhecimento matemático para o ensino de polinômios na Educação Básica. Fundamentos teórico-metodológicos para o ensino do corpo dos números racionais na formação de professores de Matemática. Etienne Lautenschlager. Alessandro Ribeiro (Orient.); Yossi Zana (Coorient.) Henrique Elias. Ângela Savioli (Orient.); Alessandro Ribeiro (Coorient.) Claudia Lozada. Alessandro Ribeiro (Sup.) Vinicius Pazuch. Alessandro Ribeiro (Sup.) Tese de Doutorado (UFABC) Tese de Doutorado (UEL) Relatório de estágio de pós-doutorado. Pós- Doutorado (UFABC) Relatório de estágio de pós-doutorado. Pós- Doutorado (UFABC) Como é possível notar, o grupo de participantes do projeto se manteve bastante produtivo e sempre com o espírito muito vivo de trabalhar em colaboração e em cooperação. Na próxima seção deste capítulo, concluo a reflexão tendo o prazer de apresentar, de maneira panorâmica, a última contribuição do projeto, ou seja, os seis capítulos seguintes do presente livro. Conclusão do projeto e panorama geral deste livro Depois de quatro anos de trabalho em colaboração e em cooperação, chegou-se ao final do projeto com a coroação de todo o esforço, dedicação e empenho em prol de busca por melhoria nos processos de ensino e aprendizagem da Álgebra, da Escola Básica ao Ensino Superior. Passo agora a apresentar os diferentes 33

34 capítulos deste livro e, ao mesmo tempo, convidar você, leitor, para viajar conosco pelos caminhos que percorremos durante esse longo e prazeroso período em que nos dedicamos ao desenvolvimento do projeto de pesquisa Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais. Iniciamos a viagem pelo segundo capítulo, intitulado Conhecimentos algébricos manifestados a partir das macroavaliações e das compreensões conceituais de professores e de estudantes, no qual são apresentadas sínteses dos estudos diagnósticos realizados pelo grupo, que se relacionavam às três vertentes construídas e consideradas na pesquisa. Inicialmente, as macroavaliações, como a Prova Brasil e o ENEM; num segundo momento, os professores da Educação Básica e do Ensino Superior; finalmente, os estudantes da Educação Básica. Em sintonia com a temática da pesquisa desenvolvida pelo grupo, o intuito em cada uma dessas vertentes era identificar os conhecimentos algébricos manifestados nesses âmbitos e, no tocante aos professores em específico, fossem do Ensino Superior ou da Educação Básica, acessar o que pensavam sobre Álgebra e sobre seu ensino. As análises dos dados produzidos durante essa etapa diagnóstica de nosso projeto possibilitaram a categorização das respostas dadas pelos sujeitos em seus respectivos contextos, tendo por base as concepções teóricas previamente estudadas pelo grupo e presentes na literatura. As análises realizadas ainda fundamentaram a construção de um Quadro Teórico de Referência, próprio para categorias de Álgebra, visando a abordagem de perfis conceituais, em acordo ao projeto que estava se desenvolvendo. Trazendo para a discussão os números racionais e seus processos de ensino e de aprendizagem, o terceiro capítulo, Tarefas de aprendizagem profissional sobre os números racionais em um curso de formação continuada de professores, apresenta aspectos do conhecimento matemático para o ensino dos números racionais na Educação Básica, buscando discutir com os professores 34

35 participantes os diferentes significados dos números racionais, questões sobre o ensino e a aprendizagem desses números, bem como algumas relações com o tratamento mais formal dos mesmos via corpo dos números racionais. Para tanto, os encontros foram planejados e desenvolvidos por meio de tarefas de aprendizagem profissional, tarefas preparadas e organizadas para atingir um objetivo específico para a aprendizagem de professores (no caso, favorecer o desenvolvimento do conhecimento matemático para o ensino dos números racionais), levando em consideração o conhecimento prévio e as experiências que os professores traziam para os encontros. São essas tarefas que são apresentadas e discutidas ao longo do capítulo, ilustrando parte do que foram os encontros destinados à discussão sobre os números racionais em um curso de extensão. Acredita-se que esses encontros, organizados por meio de tarefas, criaram um ambiente propício para discussões e aprendizagens profissionais, no sentido de que os professores pudessem explicitar seus conhecimentos acerca do conceito de número racional (Conhecimento Comum do Conteúdo), refletir sobre dificuldades de seus estudantes ao lidarem com os números racionais (Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes), debater estratégias para o ensino das operações com esses números (Conhecimento do Conteúdo e do Ensino), e relacionar os números racionais a outro conteúdo matemático (equações polinomiais do primeiro grau com uma incógnita), estabelecendo uma conexão com a estrutura algébrica corpo (Conhecimento do Conteúdo no Horizonte). O quarto capítulo apresenta reflexões sobre uma Tarefa de aprendizagem profissional do professor que ensina Matemática envolvendo o conceito de equação sob a perspectiva do perfil conceitual. Nele, as autoras abordaram uma Tarefa de Aprendizagem Profissional (TAP) desenvolvida num curso de extensão, que envolveu o conceito de equação a partir de uma abordagem de ensino diferenciada: a abordagem dos perfis conceituais. Nesta TAP os professores participantes elaboraram planos de aula 35

36 para o 9º ano do Ensino Fundamental e para o 3º ano do Ensino Médio, planos esses que envolveram o conceito de equação sob a perspectiva do perfil conceitual. Os planos foram analisados e selecionados pelos próprios professores do curso de extensão, de forma negociada, para que fossem desenvolvidos em salas de aulas da Educação Básica. Essas aulas foram videogravadas e retornaram ao curso para serem analisadas pelos professores participantes. Neste capítulo as autoras apresentam as análises das tarefas resolvidas pelos estudantes nas aulas ministradas pelos professores voluntários do curso de extensão. Com isso, percebe-se que conceitos que foram mobilizados pelos estudantes na resolução das tarefas propostas e, a partir das discussões com os professores participantes sobre a TAP, conseguiram corroborar a potencialidade desta TAP para a formação continuada de professores que ensinam Matemática no que se refere ao conceito de equação e suas possibilidades de abordagem na Educação Básica. No capítulo cinco é a vez de discutir o conceito de função. Em Tarefas de aprendizagem profissional sobre o conceito de função: análise de uma intervenção com professores que ensinam Matemática da Educação Básica, os autores apresentam as tarefas trabalhadas com professores da Educação Básica durante o mesmo curso de extensão a partir do qual os dados dos capítulos três e quatro foram produzidos. A estruturação teórico-metodológica baseou-se na organização do curso em encontros, na caracterização das TAP e nas articulações que essas TAP possibilitaram para o ensino do conceito de função na Educação Básica. A perspectiva era a de que fosse possível aos professores estabelecerem relações com o conceito, produzirem materiais, além de debaterem aspectos de suas práticas docentes de/com outros professores. No capítulo foram relatadas quatro das TAP desenvolvidas no curso de extensão, tendo cada uma delas as seguintes abordagens: (1) lista de fórmulas que pode ser utilizada para evidenciar conhecimentos prévios dos estudantes sobre o conceito de função 36

37 e também de equação por meio da dialogicidade; (2) questões interdisciplinares, que caracterizam a dinâmica de coletividade no ensino por meio do intercâmbio entre as Ciências da Natureza e a Matemática, com base no processo de resolução de problemas para construir o conceito de função; (3) estudo de documentos e de exames, que proporcionou aos professores um momento de estudo das macroavaliações e dos documentos que constituem o currículo escolar, sendo também considerado um instrumento para a prática da escrita em Matemática; e (4) análise de questões e resoluções de estudantes, que diz respeito à definição de função e seus vínculos com os conhecimentos matemáticos para o ensino. Salienta-se que as TAP podem ser aprofundadas, tendo como base as tendências teórico-metodológicas em Educação Matemática a fim de contribuir para a formação continuada de professores que ensinam Matemática. No sexto capítulo, Ensino de polinômios na Educação Básica: relato de uma experiência de formação continuada de professores, os autores partem de questões como: para que ensinamos polinômios nas escolas? Os conhecimentos dos estudantes e dos professores sobre os polinômios também incluem uma dimensão conceitual ou se limitam ao procedimental? O conjunto de respostas conduzia a uma possibilidade de se discutir os polinômios adequadamente na formação dos professores para que os conhecimentos daí gerados fossem úteis quando esses professores estivessem ensinando na Educação Básica. Com isso em mente, os autores propõem que sejam discutidos e refletidos os resultados de pesquisas que tematizam os problemas anunciados e apontam caminhos para se repensar o ensino e a aprendizagem do conceito de polinômio, da Educação Básica ao curso de Formação de Professores. A partir das TAP que foram elaboradas dentro da problemática considerada, os autores puderam identificar a urgência de investigações na formação continuada do professor da Educação Básica, investigações essas que considerem a articulação entre aspectos procedimentais e conceituais de temas da 37

38 Matemática da Educação Básica, como é o caso dos polinômios. Além disso, os resultados destacados podem ajudar na elaboração de um design para a formação de professores, ou seja, um processo de formação continuada que contemple a necessidade de se trabalhar, com equidade, os diferentes tipos de domínios do conhecimento profissional docente. Mereceu destaque ainda a preocupação dos autores com o fato de as produções dos professores durante o curso de extensão indicarem a falta de domínio conceitual sobre os polinômios, ficando o trabalho dos professores basicamente em nível procedimental. Ao final, os autores nos deixam reflexões fundamentadas nos resultados atingidos no sentido de que seja repensado o currículo da formação em Matemática, para que seja possível a construção de domínio conceitual no conhecimento dos professores, de modo que estes possam ajudar seus alunos a superar uma aprendizagem puramente mecânica. Por fim, mas não menos relevante, o sétimo capítulo, intitulado Matemática nos anos iniciais e o desenvolvimento do pensamento algébrico discute os resultados das intervenções diagnosticadas anteriormente pelos pesquisadores, em um curso de extensão voltado para professores que ensinam Matemática nos anos iniciais. No capítulo são apresentadas as intervenções propostas aos professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental, tendo o pensamento algébrico por temática central. Discutiu-se, nesse âmbito, o papel do pensamento algébrico nos anos iniciais, tomando-se por referência a literatura da área, para que fossem identificados os principais elementos a serem considerados em uma abordagem da temática em sala de aula. As perspectivas teóricas advindas da literatura foram discutidas com professores dos anos iniciais no curso de extensão; isto permitiu o desenvolvimento de tarefas de aprendizagem profissional com o intuito de ilustrar e debater elementos do pensamento algébrico para os primeiros anos da escolaridade. Três dessas tarefas foram apresentadas no capítulo - sobre elas são feitas considerações 38

39 quanto às potencialidades do pensamento algébrico na formação de professores e na prática docente. Assim, os seis capítulos que compõem a parte principal do livro debatem, de forma diferenciada mas complementar, as possibilidades, os caminhos e as implicações de se conhecer e se considerar questões relativas aos processos de ensino e de aprendizagem de Álgebra para a prática dos professores da Educação Básica. Desejamos a todos uma ótima leitura e que o livro possibilite boas reflexões acerca da temática abordada. Referências ARTIGUE, M.; ASSUDE, T.; GRUGEON, B.; LENFANT, A. Teaching and learning algebra: approaching complexity through complementary perspectives. In: CHICK, H.; STACEY, K.; VINCENT, J. (Eds.). The future of the teaching and learning of algebra (Proceedings of the 12 th ICMI Study Conference, pp ). Melbourne, Australia: The University of Melbourne, ATTORPS, I. Teachers images of the equation concept. European Research in Mathematics Education, n.3, Disponível em: < ermeweb.free.fr/cerme3/ groups/ tg1/ tg1_ list_html>. Acesso em: 15/12/06. BALL, D. L.; THOMAS, M.; PHELPS, G. Content knowledge for teaching: what makes it special? Journal of Teacher Education, n. 59, p , COELHO, M. P. & CARVALHO, D. L. O estudo do discurso em educação matemática: a problematização de significados hegemônicos sobre resolução de problemas. Paradigma, n. 27, p , COUTINHO, F. A.; MORTIMER, E.; EL-HANI, C. Construção de um perfil conceitual para o conceito biológico de vida. IEC, n. 12, p , DOERR, H. M. Teachers knowlege and teaching of Algebra. In: STAN- CEY, K.; CHICK, H.; KENDAL, M. (Eds.). The future of the teaching and learning of algebra. New York: Springer, 2004, p

40 GAMA, R. P. & FIORENTINI, D. Formação continuada em grupos colaborativos: professores de matemática iniciantes e as aprendizagens da prática profissional. EMP, n. 11, p , KILPATRICK, J.; HOYLES, C.; SKOVSMOSE, O. (Eds.). Meaning in mathematics education. New York: Springer, MORTIMER, E. F. Evolução do atomismo em sala de aula: mudanças de perfis conceituais. Tese (Doutorado em Educação). FE/USP, São Paulo, RIBEIRO, A J. Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). PUC/SP, São Paulo, Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico. Tese (Doutorado em Educação Matemática). PUC/SP, São Paulo, Uma proposta de construção de perfil conceitual de equação: implicações para a Educação Matemática. Boletim GEPEM, n. 56, p , Equação e conhecimento matemático para o ensino: relação e potencialidades para a Educação Matemática. BOLEMA, n. 26, p , Elaborando um perfil conceitual de equação: desdobramentos para o ensino e a aprendizagem de Matemática. Ciência & Educação, n. 19, n.1, p , SHULMAN, L. Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4-14,

41 Capítulo 2 Conhecimentos algébricos manifestados a partir das macroavaliações e das compreensões conceituais de professores e de estudantes Regina Lucia da Silva Francisco José Brabo Bezerra Vivilí Maria Silva Gomes Evonir Albrecht Introdução Este capítulo trata de três vertentes diagnósticas construídas na pesquisa do grupo e que envolveram, inicialmente, as macroavaliações como a Prova Brasil e o ENEM; num segundo momento, os professores da Educação Básica e do Ensino Superior; e finalmente os estudantes da Educação Básica. As avaliações em larga escala no Brasil, chamadas macroavaliações, iniciam-se a partir da publicação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) (RABELO; PLAZA, 2011), que, em seu artigo 9º, inciso VI, atribui à União a avaliação do rendimento escolar em todos os níveis, com o objetivo de melhorar a qualidade do ensino no país (BRASIL, 1996). Assim, as macroavaliações teriam também, sob o ponto de vista de seus propositores, um caráter formativo-diagnóstico, na medida em que se inserem em um projeto educativo nacional e identificam as dificuldades 41

42 no processo de ensino e aprendizagem em várias escalas desde a individual, passando pela regional até a nacional. Por serem realizadas em larga escala, teriam, ainda, o intuito de contribuir com a reorganização de políticas públicas voltadas à área de educação. Cabe enfatizar o destaque que recebe a Álgebra na Educação Básica e os resultados das macroavaliações, como a Prova Brasil/SAEB (INEP, 2011a; 2011b) e os dados do Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), que evidenciam as deficiências dos estudantes em seus conhecimentos algébricos e enfatizam uma melhor compreensão teórica a respeito das diferentes concepções na área da Álgebra. Esse entendimento conceitual, ao qual o grupo de pesquisa se dedicou, aliado à sua emergência em sala de aula a partir da prática do professor no sentido de estimular aprendizagens que envolvam diferentes concepções, é que levou à busca de respostas para os questionamentos levantados no grupo, os quais serão abordados no decorrer dos capítulos deste livro. Outro ponto importante a esclarecer, discutido no grupo de pesquisa, e dada a temática do projeto relacionada a investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores ao ensinarem álgebra na Educação Básica, foi a opção por realizar entrevistas com professores do Ensino Superior, formadores de professores, bem como professores da Educação Básica. O intuito foi o de averiguar e entender o que pensam e como pensam esses educadores ao debaterem o que é Álgebra e seu ensino. Assim, para além do olhar inicial que buscava investigar o conhecimento do professor, o interesse se desloca para investigar as aprendizagens de Álgebra por parte dos estudantes. Esse interesse pelas concepções de Álgebra de estudantes da Educação Básica decorreu, em princípio, da necessidade de identificar uma compreensão de Álgebra própria do grupo, visando a construção de um quadro teórico sobre as diversas concepções de Álgebra com base em perfis conceituais. As várias discussões teóricas realizadas inicialmente e que levaram à construção desse 42

43 quadro ao longo dos quatro anos de pesquisa exigiram a identificação dessas variadas concepções no lócus onde se origina, a sala de aula com seus estudantes, já que, além de uma construção teórica, tem-se como meta o entendimento pelos professores de que ensinar Álgebra envolve a compreensão de que o pensamento algébrico não é único e nem restrito. Esses direcionamentos resultaram em publicações em anais de eventos e em periódicos, cuja síntese é feita neste capítulo através dos tópicos que se seguem. Macroavaliações: a Prova Brasil e o ENEM Para o levantamento dos conhecimentos algébricos foram utilizados os dados das avaliações em larga escala desenvolvidas pelo Ministério da Educação (MEC), a Prova Brasil/SAEB no que tange ao Ensino Fundamental (EF), mais precisamente o 9º ano, e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) referente ao Ensino Médio (EM). A Prova Brasil teve sua primeira edição em 2005 e tem como objetivo avaliar a qualidade do ensino, contribuir para o seu desenvolvimento em todos os níveis educacionais, reduzir as desigualdades, contribuir para a democratização da gestão do ensino público nos estabelecimentos oficiais e possibilitar informações sistemáticas sobre as unidades escolares. A avaliação centra-se em habilidades e competências (INEP, 2011c) que compõem doze níveis, divididos em uma escala que varia de 0 a 425. Cada nível refere-se a um conjunto de competências que o aluno deveria atingir. A comunidade escolar administrativa também é avaliada através de questionários aplicados a professores e diretores a fim de coletar dados demográficos, perfis profissionais e informações sobre condições de trabalho e infraestrutura. Após o processo de avaliação, os resultados são divulgados pelo INEP, fornecendo médias de desempenho por aluno, escola participante, município e estado. Esses dados oferecem subsídios para o cálculo do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) que, por sua vez, 43

44 serve como parâmetro para comparar diferentes regiões do país e direcionar os investimentos em educação de acordo com o Plano de Desenvolvimento da Educação (INEP, 2011d). O ENEM, criado em 1998, tem o objetivo de avaliar o desempenho do estudante ao final da Educação Básica, ou seja, ao término do Ensino Médio (EM). Podem participar do ENEM alunos que estão concluindo o EM ou que já tenham concluído o curso em anos anteriores. Além disso, desde 2009, o ENEM é utilizado como critério de seleção para os estudantes que pretendem concorrer a uma bolsa no Programa Universidade para Todos (ProUni) (BRASIL, 2015), além do fato de que cerca de 500 universidades já utilizam o seu escore como critério de seleção para o ingresso do estudante no Ensino Superior, seja complementando ou substituindo o vestibular. Também a partir de 2009 o exame passou a ter caráter de certificação para o EM em casos específicos, como por exemplo a não conclusão dessa etapa de ensino na idade apropriada. Desde sua criação, o ENEM tem passado por várias alterações, dado o interesse crescente nessa macroavaliação, cujo resultado tem assumido um caráter eliminatório e/ou classificatório para o ingresso de estudantes em universidades públicas federais, facilitado pelo regime de cotas destinadas a alunos de escolas públicas da Educação Básica. O exame tem periodicidade anual e ocorre, normalmente, no mês de outubro de cada ano. A Prova Brasil A Prova Brasil tem periodicidade bienal e é aplicada em anos ímpares por uma equipe capacitada e treinada para manter os critérios e a padronização dos testes em âmbito nacional. O agendamento das datas e horários para a realização das provas é feito pelos aplicadores no segundo semestre. Durante a prova os aplicadores fazem apenas a leitura das orientações do teste, sendo responsabilidade dos alunos lerem os procedimentos para preenchimento do formulário de respostas e a interpretação das 44

45 questões. O tempo total estipulado para a realização das provas é de 2 horas e 30 minutos. A prova de Matemática é composta por sete blocos de 13 questões cada um, sendo os mesmos definidos apenas no momento da prova (INEP, 2011e). A avaliação dos alunos é realizada por meio das competências e habilidades descritas na Matriz de Referência (INEP, 2011c) - um documento oficial que apresenta todas as informações referentes à prova. O conteúdo a ser avaliado está dividido em quatro temas - que são as competências - e trinta e sete descritores que são as habilidades. Trabalhamos com os descritores 29 ao 35, que estão inseridos no Tema III - Números e Operações/ Álgebra e Funções, apresentados no Quadro 1. Quadro 1 - Descritores de álgebra Descritor D 29 D 30 D 31 D 32 D 33 Descrição Abrange o conceito de resolver um problema que envolva grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. Resolução de problemas envolvendo equações do 2 grau. Verificar a expressão algébrica correspondente ao problema descrito na questão, sendo sequências de números ou padrões. Identificar uma equação ou uma inequação de primeiro grau que expressa um problema. D 34 Identificar um sistema de equações do primeiro grau que expressa um problema. D 35 Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações de primeiro grau Fonte: Alves et al. (2014, p. 79) As provas, as escolas, municípios e estados são classificados em doze níveis, a partir de uma escala gradativa de desempenho que varia de 0 a 425 e, de acordo com a ONG Todos pela Educação, a pontuação desejável seria de 300 (NOVA ESCOLA, 2011). 45

46 O município de Santo André, SP, local de estudo deste projeto, teve desempenho na edição de 2011 de 247,37, que corresponde ao nível 5, em que o aluno deveria ter desenvolvido as seguintes habilidades: Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, desenhado em malha quadriculada; Reconhecer e utilizar as regras do sistema de numeração decimal, tais como agrupamentos e trocas na base 10 e o princípio do valor posicional; Calcular o resultado de uma adição por meio de uma técnica operatória; Ler informações e dados apresentados em tabelas; Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas, desenhadas em malhas quadriculadas; Resolver problemas; Utilizar a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. Como esta pesquisa interessa-se pelo levantamento de dados relacionados à Álgebra, apenas as questões referentes aos descritores anteriormente listados foram levadas em consideração nesta análise. Foram encontradas treze questões distribuídas entre seis dos sete blocos existentes, relacionadas aos descritores D29 a D35. Da junção dos dados dos primeiro e segundo blocos respondidos por cada aluno, além do levantamento da quantidade de alunos que respondeu cada um dos sete blocos existentes, foi possível identificar os percentuais de acertos e erros para cada uma das questões analisadas, conforme apresentados na Figura 1, a seguir. 46

47 Figura 1 - Porcentagem de acertos e erros nas questões de Álgebra da Prova Brasil/2011. Os códigos abaixo de cada par de barras indicam o bloco (B), a questão (Q) e o descritor (D) para cada dado apresentado. Fonte: Alves et al. (2014, p. 81) A finalidade deste levantamento era identificar alguma relação entre os percentuais de acertos e os descritores relacionados às questões. No entanto, pôde-se observar que apenas os descritores, em alguns casos, não são suficientes para identificar dificuldades na aprendizagem dos alunos, como no caso do descritor 29, presente nos blocos 1, 2, 3 e 7, com questões com percentuais de acerto, respectivamente iguais a 35,8%, 36,7%, 63,0% e 59,8%. A provável causa desta variação nos percentuais de acertos de questões relacionadas ao mesmo descritor é o modelo de avaliação segundo o TRI, uma vez que é característica deste sistema o uso de questões com diferentes níveis de dificuldade. Sendo assim, torna-se muito difícil identificar as dificuldades sem ter acesso às questões propriamente ditas. Outro dado importante é que cerca de 15% dos alunos de Santo André foram avaliados em Álgebra através de uma única questão, correspondente ao descritor 33. Isso porque, uma vez que o Bloco 5 não possui questões de Álgebra, os alunos que receberam os Blocos 5 e 6 responderam à única questão presente neste segundo bloco. Evidentemente, esse aspecto não afeta os 47

48 propósitos da Prova Brasil, uma vez que seu intuito é mapear de forma geral a aprendizagem de Matemática, mas isto compromete parcialmente a investigação deste trabalho. Em virtude da extensão da investigação realizada, apresentaremos uma análise parcial, relacionando as concepções de educação algébrica apresentadas a dois descritores. Foram selecionados os descritores D30 e D31, por estarem relacionados às questões de menor percentual de acerto na edição de Esta análise aparece sintetizada no Quadro 2. D 30 - Calcular o valor numérico de uma equação algébrica e D 31 Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau Quadro 2 - Os descritores D30 e D31 relacionados com as concepções de educação algébrica Fonte: Alves et al. (2014, p. 82) Concepção de educação algébrica Fiorentini et al. (1993) Linguística Pragmática Usiskin (1995) Como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas Lins e Gimenez (2001) Modelagem Matemática ou Facilitadora Justificativa Estuda as expressões algébricas seguido do uso das equações para resolução de problemas. Atividades que envolvam incógnitas, com o objetivo de simplificar e resolver. A Educação Algébrica se dá na medida em que a produção de conhecimento algébrico serve ao propósito de iluminar ou organizar uma situação. Como exemplo da concepção facilitadora, temos o uso de balança de dois pratos para representar uma equação. 48

49 Observamos que os descritores D30 e D31 correspondem às mesmas concepções de educação algébrica. Também observamos que ambos requerem a resolução de equações algébricas. Percebemos, contudo, que os alunos não apresentam, pelo menos nesta prova, tanta dificuldade na identificação de equações que caracterizam um problema, dados os percentuais de acerto dos descritores D32 e D33. Podemos atribuir esse baixo percentual de acerto dos descritores D30 e D31 a dificuldades de assimilação do procedimento de resolução de equações. É importante destacar que outros descritores envolvem as mesmas concepções procedimentais de educação algébrica apresentadas no quadro anterior (ALVES et al., 2014, p ). Entretanto, dada a amplitude dos descritores, a concepção de educação algébrica a eles relacionada pode ser justificada por diferentes razões. Por exemplo, o descritor D31, que categorizamos, conforme Lins e Gimenez (2001), em duas concepções contrárias, tanto pode se encaixar em uma como em outra concepção, dependendo da questão elaborada. Salientamos, mais uma vez, que a inacessibilidade à prova inviabiliza uma análise mais profunda das relações dos descritores com as concepções aqui apresentadas. Vale, por fim, destacar que a maior parte das concepções que a Prova Brasil contempla dá ênfase às resoluções procedimentais. ENEM 2011 A questão norteadora para essa análise foi: quais as questões do ENEM 2011 estão contidas no campo da Álgebra? Ao fazermos alguns levantamentos teóricos sobre as concepções de Álgebra, verificamos que aparecem várias concepções que envolvem esse tema. Com isto, reflexões surgiram sobre a relevância de compreender estes significados e, assim, ampliar os estudos. O primeiro passo foi selecionar as questões que consideramos estar no campo da Álgebra, e nesta busca identificamos nove questões. Das nove questões identificadas, optamos por 49

50 analisar três delas, que a nosso ver contemplam a grande maioria. O segundo passo enfatizou os estudos sobre as concepções de Álgebra, através dos quais formamos um conjunto de teorias com seus principais aspectos, tendo por base a bibliografia sugerida, a Matriz de Referência (BRASIL, 2011) e a consulta dos Microdados no INEP do ENEM 2011 (INEP, 2011e). Para analisar as questões, nos baseamos em três critérios, a saber: identificar os conteúdos algébricos presentes nas questões; verificar as habilidades necessárias para a resolução de cada questão; e, por último, reconhecer em cada questão a concepção de Álgebra envolvida. Ao analisar as questões do ENEM 2011, tivemos por objetivo observar quais conteúdos, habilidades e concepções de Álgebra aparecem nesta avaliação. No primeiro momento notamos que, das 44 questões de Matemática e suas Tecnologias, nove questões fazem referência à Álgebra. Selecionamos para análise três dessas questões. Os motivos de nossa escolha foram: o primeiro, questão 139 está situada na competência II capacidade de compreender fenômenos (no caso, outra disciplina recorrendo ao instrumental matemático adequado); o segundo, a questão 153 se localiza na competência III- Enfrentar situações-problema (interpretar os dados e tomar decisões); o terceiro, na questão 160 percebemos a competência I Dominar Linguagens [as linguagens da Matemática (linguagem natural sendo transposta para linguagem algébrica)]. Neste caso, estudos indicam que pode haver uma boa leitura, mas não garante a transposição adequada entre as linguagens, além de surgirem dois objetos do conhecimento algébrico: função e equação. Apresentaremos a seguir as três questões escolhidas, e em torno de cada uma fazemos uma discussão a respeito da habilidade descrita na matriz de referência do ENEM, bem como qual das concepções a questão se caracteriza melhor e, finalmente, qual conteúdo algébrico se faz presente. A primeira questão a ser analisada é a de número 139, presente na prova amarela de 2011, conforme identificada na Figura 2. 50

51 Figura 2 Questão 139 do ENEM-2011 e sua resolução sugerida pelo nosso Grupo Fonte: Questão 139 da prova Amarela do ENEM 2011 Este problema, conforme apresentado na Figura 2, abrange o conteúdo algébrico de função logarítmica e as propriedades dos logaritmos que se fazem presentes no ensino de Matemática do EM. A nosso ver, a questão está diretamente relacionada com a habilidade de número 21, que diz: resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. Quanto à concepção de Álgebra que a caracteriza, reconhecemos que a segunda concepção de Usiskin (1995) é a que melhor se aproxima, pois ela é tida como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, e ainda podemos relacioná-la à primeira concepção de Fiorentini et al. (1993), a linguístico-pragmática, na qual prevalece a crença de que a aquisição do conhecimento se dá de maneira procedimental, sendo o uso de técnicas requeridas pelo transformismo algébrico necessário e suficiente para que o aluno conseguisse manipular a Álgebra. 51

52 Na questão apresentada na Figura 3, abaixo, podemos destacar que o conteúdo algébrico evidenciado foi o das equações. Acreditamos que a resolução da mesma está relacionada à habilidade de número 23, pois trata de avaliar a proposta de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos algébricos. A fórmula para resolução da mesma é apresentada juntamente com a questão, cuja variável é funcional (altura). A característica desta questão consiste em relacionar conhecimentos matemáticos à realidade cotidiana. Após a resolução, o aluno poderá realizar a interpretação de seu resultado, analisando se o IMC ou o IAC se encontra em níveis normais ou não. Em relação à concepção de Álgebra, identificamos que a terceira concepção de Lins e Gimenez (2001), que relata a Modelagem Matemática, pode ser adequada, e mesmo a concepção de Lee (2001), que afirma ser a álgebra uma atividade. Além dessas possibilidades, poderíamos também classificá-la dentro da segunda concepção de Usiskin (1995), que a concebe como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas. Figura 3 Questão 153 do ENEM 2011 e sua resolução sugerida pelo nosso Grupo Fonte: Questão 153 da prova Amarela do ENEM

53 Na questão de número 160, representada na Figura 4, abaixo, consideramos que o conteúdo algébrico abordado faz referência ao conceito de Função Afim, uso de sistemas lineares com a resolução de uma equação na variável n. A princípio, a questão contempla a linguagem natural que deverá ser transposta para a linguagem algébrica. Neste caso, o aluno deverá expressar a resolução em uma equação. A questão pode ser enquadrada na habilidade 5, que aborda a avaliação de propostas de intervenção na realidade, utilizando os conhecimentos numéricos. A questão foi por nós classificada dentro das concepções de Fiorentini et al. (1993), como sendo fundamentalista estrutural, pois ocorreu a introdução de propriedades estruturais das operações, que justificassem logicamente cada passagem presente no transformismo algébrico. Também a classificamos dentro da quarta concepção de Usiskin (1995), que considera a Álgebra como estudo das estruturas, e nesse caso temos os produtos notáveis, fatoração, operações com monômios e polinômios e as instruções chaves são manipular e justificar. Figura 4 Questão 160 do ENEM 2011 e sua resolução sugerida pelo nosso Grupo Fonte: Questão 160 da prova Amarela do ENEM

54 Essa análise preliminar e limitada, com base nas macroavaliações no sentido de identificar as concepções de álgebra mobilizadas pelos respondentes, nos direcionou para uma investigação sobre as concepções de Álgebra evidenciadas por professores que a ensinam, a serem descritas na próxima seção. A voz dos professores: Ensino Superior e Educação Básica Partindo da ideia de como seria difícil definir Álgebra, o que se confirma pelos estudos teóricos, nosso pensamento levou- -nos a recorrer a pesquisas no campo daqueles que se envolvem no cotidiano com o processo de ensino da Álgebra. Assim, foi sugerido pelo coordenador do projeto que fizéssemos entrevistas com professores do Ensino Superior que atuam na formação de professores de Matemática e professores que ensinam Matemática na Educação Básica, tendo como roteiro um questionário que foi elaborado e discutido pelo grupo de pesquisa. Vamos trilhar caminhos na busca de respostas para a pergunta inicial O que é Álgebra? no âmbito do diagnóstico. As perguntas que nortearam essa busca foram as seguintes: I) Junto aos formadores de professores de Matemática, quais concepções de Álgebra aparecem em comum?; II) Que relações estes professores percebem e constroem no ensino de Álgebra para os licenciandos?; III) O que professores que atuam na Educação Básica pensam a respeito das mesmas questões apresentadas para os professores do Ensino Superior? Dessa maneira, num primeiro momento entrevistamos professores formadores do Ensino Superior e, num segundo momento, professores da Educação Básica. Os dados levantados se iniciaram com entrevistas semiestruturadas, que fornecem uma abertura para dialogar com os entrevistados. Ao construir as questões, levamos em conta a literatura estudada, as concepções de Álgebra dos autores, assim como questões que nos auxiliassem no entendimento que esses profissionais possuem sobre a 54

55 Álgebra e seu ensino. Os profissionais selecionados pertenciam a instituições particulares e públicas. As falas foram gravadas e transcritas. A meta foi comparar as respostas dos entrevistados entre si e, da mesma maneira, suas respostas com as concepções de Álgebra citadas neste trabalho e apresentadas em detalhe nos capítulos subsequentes. Apresentamos, nos Quadros 3 e 4, o conjunto de questões apresentadas aos entrevistados. Quadro 3 - Questionário utilizado para os professores do Ensino Superior Fonte: Ribeiro (2016, p. 8) Quadro 4 - Questionário utilizado para os professores da Educação Básica Fonte: Ribeiro (2016, p. 9) 55

56 Apresentamos a caracterização de quatro professores do Ensino Superior (Quadro 5). No Quadro 6 aparece representada a caracterização de três professores da Educação Básica por apresentarem um perfil diferenciado, ainda que tivéssemos entrevistado vinte seis professores pertencentes a este nível. As informações levantadas através do questionário nos proporcionou subsídios para fazer as escolhas. Quadro 5 - Perfil dos quatro professores formadores 9 Fonte: Ribeiro (2016, p. 9) Quadro 6- Perfil dos três professores da Educação Básica 10 Fonte: Ribeiro (2016, p. 10) 9 PES aqui significa Professor do Ensino Superior 10 PEB aqui significa Professor da Educação Básica 56

57 Com base nos dados produzidos nas entrevistas, sintetizamos as informações: Tanto os professores do Ensino Superior como os professores da Educação Básica revelam visões diferenciadas sobre o entendimento de Álgebra. Alguns dizem que a abordagem da Álgebra deve ocorrer de forma diferente nos cursos de licenciatura e nos demais cursos de graduação, assim como aquela ministrada em sala de aula. Outros, poucas distinções conseguem expressar em suas falas e revelam que a Aritmética faz parte da Álgebra; Outros, ainda, dizem que para aprender Álgebra o sujeito tem que possuir um bom conhecimento de Aritmética na prática. Essa ideia surge tanto na fala dos professores do Ensino Superior como nos da Educação Básica; Outra característica notada vem do fato de que os professores da Educação Básica enfatizam que a Álgebra tem somente por base um valor desconhecido a ser determinado; Os professores do Ensino Superior discorrem sobre o dever de compreender o que é e como utilizar as estruturas algébricas, suas técnicas e manipulações. Acreditamos que esta observação se baseia na ideia de Shulman (1986) Conhecimento específico do conteúdo, que afirma que o professor tem que ter o domínio de fatos, conceitos, estruturas substantivas e sintáticas, ou seja, o professor necessita ter um conhecimento diferenciado sobre o assunto a ser ensinado. Com essas constatações, somos levados ao entendimento de que há uma contradição nas falas dos professores do Ensino Superior, pois revelam uma forte incidência nos conteúdos apesar de afirmarem que, ao ensinarem Álgebra em diferentes cursos, a abordagem tem que ter uma diferenciação. Notamos esse detalhe no que se refere ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo a partir do qual Shulman (1986) defende que existe uma ligação que é indissociável entre o conhecimento do conteúdo e os co- 57

58 nhecimentos pedagógicos para o o ensino desse conteúdo. O autor declara que o Conhecimento do Conteúdo é tão importante quanto a habilidade de ensinar. Ao relacionar as respostas dos professores com as concepções de Álgebra dos autores estudados no grupo de pesquisa, destacamos: (I) a álgebra como estudo das estruturas relacionadas às concepções fundamentalista-estrutural (FIORENTINI; MIORIN; MIGUEL, 1993) e aos estudos das estruturas (USISKIN, 1995); (II) a Álgebra como forma de resolver problemas que nos parecem se relacionar com as concepções linguístico- -pragmática e fundamentalista-analógica (FIORENTINI; MIORIN; MIGUEL, 1993), aos estudos de procedimentos para resolver certos tipos de problemas (USISKIN, 1995), e a letrista-facilitadora (LINS; GIMENEZ, 2001); (III) a álgebra como extensão da aritmética que relacionamos à aritmética generalizada (USISKIN, 1995; LEE, 2001). Temos também em destaque a visão de Álgebra como linguagem que se relaciona apenas com a concepção de Lee (2011). Para finalizar, ressaltamos que a visão de álgebra como linguagem, relacionada com a concepção de Lee (2001), surge como uma forte característica entre os professores por nós investigados. Na seção seguinte, passamos à análise dos dados coletadas sobre as aprendizagens de estudantes no tocante à Álgebra. Discussão sobre as aprendizagens dos estudantes Os dados aqui apresentados e discutidos resultaram de uma investigação que ocorreu com estudantes de diversas escolas, e que estavam cursando o 9º ano do EF ou o 3º ano do EM. Para realizar tais investigações, partimos do seguinte esquema: em um primeiro momento, aplicamos um questionário que possibilitasse identificar o perfil dos estudantes - idade, afinidade com 58

59 a Matemática, histórico de escolaridade, entre outros. Numa segunda etapa, esses estudantes responderam a um questionário com cinco questões propostas para os alunos do 9º ano do EF e para os alunos do 3º ano do EM. Os estudantes de cada turma se organizaram em grupos com no máximo cinco pessoas 11. As questões sobre Álgebra contidas no questionário foram extraídas das macroavaliações (SILVA; SOUZA; BEZERRA, 2014) e da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP, 2015), cuja característica comum era a possibilidade de resolvê-las de diferentes maneiras. As atividades foram realizadas em três escolas. Inicialmente, foi proposta aos participantes a realização de um brainstorming, isto é, uma dinâmica de grupo, em que os alunos deveriam expressar os seus conhecimentos a respeito do termo equação. Todas as ideias sobre a palavra equação foram por nós consideradas, sem qualquer julgamento de valor (certo ou errado). Participaram desta ação 54 alunos do 9º ano do EF e 41 alunos do 3º ano do EM. Todas as discussões aconteceram nos 17 grupos formados pelos alunos do 9º ano do EF. Nos terceiros anos formaram-se 12 grupos, em sua maioria compostos com quatro integrantes cada. Após a finalização dos dois encontros, classificamos e organizamos as respostas de cada grupo de estudantes conforme as Concepções de Álgebra com base nos referenciais teóricos, subdividindo-os conforme as categorias do Quadro de Referência, (tais categorias podem ser encontradas no Anexo a este capítulo). O objetivo foi identificar e analisar os conhecimentos algébricos dos estudantes e as manifestações de categorias de Álgebra apontadas por eles, presentes no quadro teórico contido no trabalho de Silva, Saito, Souza e Bezerra (2015, p. 2622) e no Anexo a este capítulo, que viessem a contribuir com o ensino de Álgebra na escola. 11 Os estudantes tiveram participação voluntária e como em sua maioria eram menores de idade, buscou-se o consentimento dos seus responsáveis quanto à participação na pesquisa, por via de um Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE). 59

60 Para melhor compreensão dos resultados sintetizados neste capítulo, organizamos sua apresentação em duas categorias: estudantes do 9º ano do EF e estudantes do 3º ano do EM, sendo os detalhes da construção dos dados apresentados segundo sua pertinência em cada uma das categorias. Após a apresentação dos resultados observados nos diferentes níveis de ensino, realizamos uma comparação entre os dois grandes grupos. A seguir, apresentamos as questões que foram o foco da análise (Figuras 5 a 9). Figura 5 - Questão 1 Fonte: Branco et al. (2011) Figura 6- Questão 2 Fonte: Questão adaptada da OBMEP (2015) 60

61 Figura 7 - Questão 3 Fonte: GEPEMA 12 Figura 8 - Questão 4 Fonte: Situação adaptada de BOOTH, L. R. (1995) Figura 9 - Questão 5 Fonte: Adaptação da questão do Caderno da Prova Brasil 2011, referente ao D 34 (INEP, 2011d) As questões inseridas acima serão referenciadas nas análises que se seguem, tendo como base as respostas dos estudantes. Investigação com estudantes do 9º ano do EF Para compor o cenário do ensino da Álgebra, desenvolvemos entrevistas junto aos alunos do 9º ano do EF de três escolas parceiras do projeto. A seguir, apresentaremos os resultados obtidos através da análise das produções dos alunos envolvidos no processo. 12 GEPEMA - Grupo de Estudo e Pesquisa em Educação Matemática e Avaliação UEL-PR. 61

62 A entrevista com os alunos ocorreu em três encontros distintos: o primeiro encontro teve a duração de uma aula (aproximadamente 50 minutos); neste encontro houve a entrega do TCLE que os alunos, por serem menor de idade, levaram para casa e devolveram preenchido no encontro seguinte. Responderam também a um Questionário de identificação dos estudantes, com perguntas referentes a sua escolaridade (se em escola pública ou privada, possíveis retenções, etc.) e a sua preferência pelas disciplinas. Para encerrar o encontro, os alunos foram questionados acerca das ideias associadas à palavra Equação. As falas dos alunos foram registradas na lousa e possibilitaram a construção da Figura 10. No segundo encontro foi entregue um questionário contendo cinco atividades matemáticas, que foram o foco desta análise. Para responder ao questionário, os alunos foram divididos em grupos, com 4 estudantes cada, sendo que neste trabalho cada grupo é designado por G acompanhado de um número. Apesar de ser apresentada como uma atividade opcional, todos os estudantes dela participaram. Figura 10- Imagem retirada da lousa após o brainstorming dos alunos. Fonte: Silva et al. (2016) 62

63 No intuito de gerar mais subsídios, algumas discussões de alguns grupos (em torno de três em cada turma) foram gravadas com o objetivo de recuperar ideias acerca das questões não retratadas no papel. No terceiro momento ocorreu a devolutiva do trabalho aos alunos. Ao final, tivemos ao todo dezessete grupos de alunos realizando as atividades matemáticas. Das cinco questões contidas no questionário, optamos por analisar as questões com o maior número de acertos e com o maior número de erros. Porém, ao analisarmos os dados, percebemos que a maioria dos grupos não conseguiu responder corretamente nenhuma das questões e nenhum grupo respondeu todas corretamente. A questão que os grupos mais acertaram foi a questão 2 e a que menos acertaram foi a questão 5. Analisamos também a questão 1, já que foi a segunda com o menor número de acertos e que gerou muitas dúvidas aos alunos. As análises foram enquadradas de acordo com as categorias que constam no Quadro de Referência do Anexo. Questão 1: O objetivo da questão é observar e identificar as estratégias de resolução dos estudantes. Ela se enquadra nas concepções 3 e 4, Relações e Estruturação, respectivamente, segundo a avaliação do grupo de pesquisa. Os grupos G8 e G9 responderam por meio de procedimentos específicos para abordar problemas por métodos algorítmicos, se enquadrando assim na concepção 6, Manipulação, como pode se constatar no protocolo da Figura

64 Figura 11 - Protocolo do G9. Fonte: Silva et al. (2016) Os grupos G14 e G17 apresentaram resoluções que compartilham do mesmo erro, subtraindo os pesos um do outro. O protocolo do G14 é apresentado na Figura

65 Figura 12 - Protocolo do G14. Fonte: Silva et al. (2016) Em relação às respostas apresentadas pelos grupos participantes, podemos observar que os processos algébricos estão em construção. Para os grupos G14 e G17, parece que a questão não foi completamente compreendida pelos alunos, tendo eles optado por um processo aritmético. Questão 2: Seu objetivo é identificar se os estudantes reconhecem padrões numéricos e conseguem generalizá-los. A mesma se enquadra na concepção 2, Generalização. Os grupos G2, G10 e G17 utilizaram a radiciação para responder a questão, como podemos observar no protocolo da Figura 13. Figura 13 - Protocolo do G2. Fonte: Silva et al. (2016) O G6 utilizou o método de tentativa e erro, se enquadrando na concepção 1, Pré-Álgebra, o que pode ser observado no protocolo da Figura

66 Figura 14 - Protocolo do G6. Fonte: Silva et al. (2016) O G5 e o G9 até fazem por radiciação, mas dizem que o número está entre as linhas 44 e 45 (ver Figura 15). Figura 15 - Protocolo do G5. Fonte: Silva et al. (2016) 66

67 Novamente, nessas respostas, mesmo sendo a questão com o maior número de acertos, a Generalização parece ainda estar em construção e necessita de um maior aprofundamento em investigações mais específicas que enfoquem a passagem do conhecimento aritmético para o algébrico. Questão 5: Seu objetivo é relacionar os procedimentos de resolução dos estudantes com os procedimentos identificados pelos professores (que neste capítulo não são apresentados). A mesma se enquadra nas concepções 2 e 1, Generalização e Pré- -Álgebra, segundo a avaliação do grupo de pesquisa. O G9 é o único grupo que acerta. O G13, cujo protocolo pode ser visto na Figura 16, erra, pois não consegue compreender o enunciado. Figura 16 - Protocolo do G13. Fonte: Silva et al. (2016) O G17 também erra, pois os alunos levam em consideração que o número de meninas é maior que o número de meninos, tendo interpretado o enunciado de maneira errônea, o que pode ser visto no protocolo da Figura

68 Figura 17 - Protocolo do G17. Fonte: Silva et al. (2016) Em consonância com aquilo que foi observado nas outras duas questões, parece que os processos algébricos não estão completamente construídos. Este aspecto pode ter colaborado para que as respostas às questões assim se apresentassem. Nas análises das questões, os áudios foram de grande valia, visto que possibilitaram perceber que alguns grupos despenderam muito tempo respondendo determinadas questões e, em outros momentos, os integrantes do grupo de pesquisa tiveram que ler as questões para os alunos de modo que as mesmas fossem entendidas. Comparando as questões respondidas com o Quadro de Referência (Anexo), pudemos observar as seguintes concepções de Álgebra: Pré-Álgebra, Generalização, Relações, Estruturação e Manipulação. Com destaque maior para a Pré-Álgebra e Generalização, onde as competências identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema e resolver equações do 1º grau com uma incógnita aparecem com mais frequência. No intuito de avaliar o avanço nas aprendizagens de Álgebra dos estudantes ao longo do processo de escolarização, abarcando concepções de Álgebra além das identificadas no EF, passaremos à análise das respostas de estudantes do EM. 68

69 Investigação com estudantes do 3º ano do EM Os estudantes do 3º ano do EM estão matriculados em três escolas públicas da região metropolitana do estado de São Paulo, sendo duas localizadas na cidade de Santo André e uma na cidade de São Bernardo do Campo. Nessas turmas também aplicamos os mesmos esquemas já descritos, ou seja, o brainstorming com a palavra equação, o questionário e a resolução de questões previamente selecionadas. Foram reunidos em grupos de três a quatro estudantes, num total de oito grupos. Foram selecionadas as questões 2 e 3 do questionário. Essa seleção assim ocorreu por apresentarem em torno de 50% de acertos na totalidade dos grupos junto dos quais foram resolvidas, o que nos leva a inferir que elas possuem um grau de dificuldade razoável, pelo menos em princípio. Como todas as questões contidas na sequência proposta, essas duas questões também possibilitavam a sua resolução através de diferentes abordagens matemáticas. Um dos nossos objetivos foi verificar se, com o amadurecimento matemático desses estudantes, por estarem no 3º ano do EM, também encontraríamos resoluções mais aprimoradas em relação àquelas demonstradas pelas turmas de 9º ano do EF, cujos resultados foram apresentados no item anterior. Posteriormente, apresentaremos uma articulação entre esses resultados e as resoluções desenvolvidas no 9º ano do EF. A questão 2 se originou de uma adaptação da última prova da 11ª edição da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP, 2015) e sua escolha deveu-se à variedade de resoluções possíveis que abarcam diferentes conceitos matemáticos, como: identificação de padrões, reconhecimento de quadrados perfeitos e suas propriedades, como também uma possível generalização a partir da afirmação a linha n contém 2n - 1 termos e termina com o número 2n, o que pode ser verificado através do Princípio de Indução Finita. A variedade de conceitos matemáticos contemplados por essa questão estimula o desenvolvimento de pensamentos aprimorados sobre representações algébricas. 69

70 Apresentamos duas resoluções com abordagens distintas para cada uma das duas questões. Na primeira resolução, mostrada no protocolo do G7 na Figura 18, vemos uma tentativa equivocada de aplicar a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética (P.A.). A abordagem dessa resolução nos evidencia o reconhecimento de um padrão numérico de crescimento da sequência, o que provavelmente foi confundido pelos respondentes ao considerar a razão da progressão como n = 2, ou seja, como o número de elementos que se acrescenta em cada linha, diferentemente da definição de razão em uma P.A. que podemos escrever como r = (a n a 1 )/(n-1). Observamos na Figura 18 que há uma tentativa de empregar os conceitos trabalhados no EM nessa questão e que, provavelmente, a definição de progressão se confunde com a de sequência, demonstrando que há uma certa noção do conceito trabalhado. Figura 18- Protocolo do G7 Fonte: Sbrana et al. (2016) A categoria em que essa resolução melhor se enquadra é a de Manipulação uma vez que os estudantes tentam aplicar uma fórmula de maneira algoritmizada, sem se ater ao significado da expressão e as implicações da utilização dessa estratégia visando a resolução da questão. 70

71 No segundo protocolo, mostrado na Figura 19 e elaborado pelo G5, encontramos uma descrição dos procedimentos adotados ao resolver a questão, de modo literal, com linguagem coloquial. Destacamos na frase não buscamos o número nas 5 linhas acima, mas em uma linha x, o conceito de incógnita como um valor desconhecido a ser encontrado, ainda que não haja por parte dos estudantes nenhuma intenção explícita de uma transposição da linguagem natural para uma linguagem matemática. Tal resolução apresentada se assemelha às demais resoluções encontradas nos oito grupos investigados. Figura 19 Protocolo do G5 Fonte: Sbrana et al. (2016) A questão 3 foi retirada de um trabalho desenvolvido pelo GEPEMA e nela podemos encontrar características interessantes nas resoluções dos estudantes investigados. Foram selecionadas duas resoluções que contemplam abordagens previstas por Buriasco, Cyrino e Soares (2004) em suas propostas para a correção de questões do tipo aberta. Cabe salientar que o intuito não é aplicar o método desenvolvido pelos autores, mas sim nos basearmos em seus estudos e detectarmos indícios de uma abordagem algébrica para a resolução da questão. Embora tal atividade possua uma gama de objetivos variados a serem analisados, nosso enfoque concentrava-se na 71

72 manifestação das categorias de Generalização e Modelagem, onde esperávamos identificar se os estudantes fariam: (i) transposição da linguagem natural para uma linguagem algébrica; (ii) procedimentos de resolução; e (iii) aplicação da fórmula como um tipo de generalização. Esta última categoria é denominada por Usiskin (1995) como Estudo das relações entre grandezas. No protocolo do G5 da Figura 20, encontramos uma abordagem algébrica relacionada à tentativa de transposição da linguagem para uma equação polinomial de primeiro grau. Um dos grupos observados sistematiza as informações dos cinco dias ao lado, considerando x como o número de telegramas a serem entregues. O emprego da incógnita é utilizado de maneira apropriada, mas há um equívoco: o de não considerar que a cada dia que se passou houve um acréscimo de 7 telegramas ao valor do dia anterior. Isto pode ter ocorrido por distração no momento da leitura ou uma falha de compreensão na proposta da atividade. Ao considerar a resposta final como 20 telegramas entregues por dia, o grupo encontra uma resposta coerente com o sistema equivocado de resolução proposto, já que são 20 telegramas em 5 dias - isso resulta num total de 100 telegramas na semana. Embora a compreensão da atividade possa ter comprometido a resolução, verificamos que há uma transposição algébrica e a resolução procedimental da equação se dá de forma correta, manifestando assim as categorias previstas inicialmente. Figura 20 Protocolo do G5 Fonte: Sbrana et al. (2016) 72

73 No protocolo da Figura 21, outro grupo (G6) identifica e transpõe a equação apropriada para a resolução da questão, utilizando conceitos aprendidos e trabalhados nos anos finais do EF. Observamos que há um domínio na identificação da equação que expressa o problema, como também na resolução desta. Uma abordagem matemática mais próxima dos conteúdos trabalhados no Ensino Médio era esperada, como a aplicação da fórmula do termo geral de uma P.A. e de sua soma. Destacamos o conteúdo das autoras ao observar a demonstração de uma abordagem algébrica e sua compreensão para a resolução da questão. Figura 21 Protocolo do G6 Fonte: Sbrana et al. (2016) Passaremos, a seguir, à análise comparativa das resoluções de estudantes do EF e EM. Comparando as resoluções dos estudantes do EF e EM Ao compararmos as respostas dos estudantes, constatamos que havia atividades que, apesar de apresentarem algum dado escrito, não expressavam necessariamente um significado, desenvolvimento ou processo aritmético e/ou algébrico. Observamos que tais respostas não se enquadravam nas categorias de Álgebra por nós estipuladas. A seguir, analisaremos duas das cinco questões presentes no questionário proposto e que foram resolvidas pelos estudantes dos dois níveis de ensino. Os protocolos obtidos nos auxiliam a compreender e classificar em qual categoria 73

74 algébrica tal resolução melhor se adequa e também acompanhar a evolução das resoluções ao longo do processo de escolarização. Foram escolhidas a questão 1 e a questão 3. As resoluções para a questão1 de dois grupos, G4 e G9, são apresentadas pelos protocolos das Figuras 22 e 23, para o 3º ano do EM e 9º ano do EF, respectivamente denominados G4EM e G9EF. Figura 22 - Protocolo G4EM Fonte: Bezerra et al. (2016) Figura 23 - Protocolo G9EF Fonte: Bezerra et al. (2016) 74

75 Ao analisar as estratégias de resolução apresentadas pelos estudantes do EF, identificamos que dois grupos, G9EF e G17EF, cuja resolução do primeiro é apresentada na Figura 23, recorrem a operações aritméticas na tentativa de passar de uma linguagem formal para uma linguagem algébrica, buscando encontrar caminhos que tornem a situação concreta, do ponto de vista algébrico. Categorizamos esse procedimento como Pré-Álgebra, dentre as categorias de Álgebra do referencial teórico. Por outro lado, os grupos G4EM e G10EM, cuja resolução do primeiro é apresentada na Figura 22, buscam transformar a linguagem equacionando o problema, e elaboram um sistema de equações, resolvendo-o pelos métodos da adição e substituição. Ao resolverem a questão utilizando-se da categoria aritmética generalizada, eles indicam as grandezas, e neste caso podemos classificar como uma generalização. Comparando as respostas dos grupos pesquisados nos dois níveis de ensino, a partir das situações propostas aos mesmos, podemos afirmar que as estratégias adotadas são diferentes, o que era esperado em razão da etapa de ensino em que se encontram. Ficou evidente que todos os grupos, no início, recorrem à Aritmética como um dos recursos para a resolução do problema proposto. As resoluções para a questão 3 são apresentadas nas Figuras 24 e 25. A Figura 24 mostra o protocolo do G17 do 9º ano do EF (G17EF). A Figura 25 mostra o protocolo do G10 do 3º ano do EM (G10EM). Figura 24 - Protocolo G17EF Fonte: Bezerra et al. (2016) 75

76 Figura 25 - Protocolo G10EM Fonte: Bezerra et al. (2016) O protocolo do G17EF da Figura 24 revela que o grupo, ao se reportar à Aritmética, estabelece alguns valores, para então comparar os resultados obtidos através de tentativas e erros, reforçando que a Pré-Álgebra se fez presente novamente. Analisando as resoluções de outro grupo (G9EF), não explicitada em uma figura, observamos que os estudantes apresentam uma estratégia de resolução onde as operações matemáticas são aplicadas, mas logo percebem que há divergências ao compararem os resultados obtidos, bem como na transformação da linguagem. Posteriormente, apresentam o resultado sem fazer uma descrição do método utilizado. Esta situação se enquadra, sob nosso ponto de vista, na Pré-Álgebra. Voltando a atenção para a resolução dada pelo G10EM, que pode ser vista no protocolo da Figura 25, observamos que o grupo efetuou a manipulação das operações aritméticas, não realizando a transformação da linguagem formal para a linguagem algébrica. Mesmo assim, apresentam um raciocínio dedutivo e revelam outra interpretação do problema, se enquadrando também na categoria da Pré-Álgebra. Outro grupo (G4EM), cujo protocolo visualizamos em uma figura, apresentou uma resolução onde se nota a transformação da linguagem formal para uma linguagem algébrica, equacionando o problema e desenvolvendo o processo de resolução, enquadrando-se na categoria de Generalizações. De um modo geral, os grupos recorrem, inicialmente, às operações aritméticas, e buscam de alguma maneira conduzir a 76

77 situação do problema à efetivação do cálculo algébrico. Algumas vezes os estudantes não verificam se a solução obtida condiz com o enunciado proposto. Os estudantes percebem como um obstáculo o processo de tradução de uma linguagem natural para uma linguagem algébrica. Ademais, é possível inferir que os mesmos desenvolvem melhores estratégias de resolução quando há uma provocação e um acompanhamento por parte do professor. De qualquer forma, existe uma evolução das resoluções ao longo do processo de escolarização. Considerações finais Os estudos diagnósticos realizados pelo grupo de pesquisa aqui apresentados foram de fundamental importância para os estudos subsequentes do grupo, apresentados nos próximos capítulos deste livro. Quanto ao diagnóstico sobre a situação do desempenho de estudantes na Prova Brasil e no ENEM, a partir dos resultados das provas do ano de 2011 (nosso foco de estudo), retomamos as questões norteadoras da pesquisa, que queríamos responder mais detalhadamente com as devidas considerações. Com relação à primeira questão, Como se apresentam as diferentes concepções de Álgebra estudadas pelo grupo nas duas avaliações em questão?, percebemos, pelas análises apresentadas e pela análise das demais questões das duas macroavaliações, que há o predomínio das concepções associadas ao transformismo algébrico e ao cálculo literal as concepções letrista, de Lins e Gimenez (2001), e linguístico-pragmática, de Fiorentini (1993). Além de modelagem (LINS; GIMENEZ, 2001) e o estudo de procedimentos para resolver certos problemas (USISKIN, 1995), estes principalmente na prova do ENEM Outras concepções, como a fundamentalista-estrutural, de Fiorentini (1993) e o estudo das estruturas (USISKIN, 1995) também estão presentes, principalmente na prova do ENEM

78 Para nossa segunda questão: Que concepção(ões) está(ão) mais presente(s) na Prova Brasil e no ENEM 2011?, ambas as avaliações privilegiam as concepções associadas à resolução e à simplificação de problemas, frequentemente usando variáveis. A avaliação do ENEM consegue explorar uma gama um pouco maior de concepções, o que é desejável, uma vez que, nessa etapa de ensino, devem ter sido não só solidificados os conceitos aprendidos no EF, como ampliados e revisitados à luz de novas perspectivas. Assim, as concepções que apareciam na Prova Brasil continuam a ser identificadas na prova do ENEM, se não intencionando, ao menos possibilitando a continuidade da abordagem da álgebra na Educação Básica. Para além disso, outras concepções passam a aparecer na prova do ENEM, também possibilitando que as concepções de Álgebra sejam mais profundamente trabalhadas nessa etapa de ensino, atendendo à nossa questão Que relações entre as questões presentes nas duas macroavaliações podem ser inferidas do ponto de vista das concepções de álgebra identificadas? Ainda sobre este terceiro questionamento, nossas análises nos permitiram perceber que as mesmas questões muitas vezes se enquadravam nas concepções de mais de um autor, o que nos indicou um caminho para perceber as confluências das mesmas e reorganizá-las de modo a criar o Quadro de Referência para o grupo (Anexo). Quanto às entrevistas realizadas com os professores do Ensino Superior e da Educação Básica, as perguntas norteadoras buscaram respostas sobre as concepções de Álgebra que esses professores possuem e aquelas que os professores possuem em comum, além de compreender as relações que os professores formadores percebem e constroem no ensino de Álgebra para os licenciandos, assim como os professores da Educação Básica em relação seus alunos. Percebemos dissonâncias nos entendimentos dos professores sobre álgebra. Para uns, a Álgebra é uma linguagem, enquanto para outros, a álgebra transcende a própria linguagem, a qual, de fato, é componente de um todo mais amplo e robusto, compreendido como pensamento algébrico. Outro aspecto que 78

79 merece destaque refere-se às possíveis relações entre a álgebra da licenciatura e a álgebra da Educação Básica. Entendemos que tanto para os professores formadores como para aqueles que atuam na Educação Básica, embora a primeira seja fundamental para a consolidação da segunda, nem sempre tais conexões são feitas de maneira clara e objetiva. Ao analisar as respostas dos estudantes do EF e do EM, passamos a compreender melhor os processos de ensino e aprendizagem da Álgebra no contexto da sala de aula. Acreditamos que a realização de atividades exploratórias e/ou investigativas, que pretendam instigar os estudantes a propor soluções segundo o seu próprio pensar em diversos níveis e modalidades, pode vir a ser um caminho significativo para o crescimento do pensamento e da linguagem algébrica dos estudantes. As questões selecionadas para análise nos trouxeram resultados muito relevantes quanto à aplicação do Quadro de referência, que contempla diversas manifestações matemáticas possíveis, privilegiando a abordagem algébrica de resoluções. Acreditamos que os resultados aqui apresentados sejam evidências de prováveis dificuldades encontradas na aprendizagem de conceitos algébricos apontada na literatura. Neste contexto, a carência de abordagens matemáticas mais maduras, relacionando os conteúdos trabalhados na Educação Básica e sua (não) assimilação pelos estudantes como uma ferramenta prática para abordagem e resolução de problemas, enfatiza a resistência de muitos estudantes no que diz respeito à ampliação e significação desses conceitos. Essa aparente resistência dos estudantes pode ter relação com a forma como se ensina Álgebra, considerando que ser professor implica em ter desenvolvido uma história como aluno, da Educação Básica ao Ensino Superior. A proposição do Quadro de referência, que decorreu dos estudos do grupo e que se baseou nos estudos diagnósticos aqui apresentados, satisfez anseios e as buscas do grupo, que visou ampliar sua própria compreensão de Álgebra, bem como iden- 79

80 tificar como seria possível tratar essas diferentes concepções na Educação Básica. As análises aqui apresentadas permitiram que o grupo pudesse caminhar no sentido de propor as suas próprias intervenções e constituir um repertório para elaborar as suas próprias atividades, priorizando as concepções de Álgebra que ainda não se apresentaram ou pouco se apresentaram nas resoluções até então estudadas, sempre com o intuito de auxiliar o professor da Educação Básica na execução do seu trabalho docente. Referências ALVES, K. A.; FAGUNDES, L. V. N.; ROSETTO, M. C. do N.; SILVA, T. H. I.; GOMES, V. M. S. A prova Brasil/2011: identificando dificuldades relacionadas às concepções de álgebra por meio dos descritores. Encontro Paulista de Educação Matemática, XII, Anais... Birigui, SP, Brasil, 2014, p BEZERRA, F.J.B.; GOMES, F.E.R.; LIMA, C.M.P. Reflexões sobre o processo de ensino e aprendizagem de álgebra. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, XIII, 2016, São Paulo. Anais... São Paulo, São Paulo, Brasil, p BRANCO, N. J. P. Álgebra na formação de professores dos primeiros anos: uma experiência de formação. Indagatio Didactica, Portugal, v. 3, n. 1, BOOTH, L.R. Dificuldades das crianças que se iniciam em Álgebra. In: COXFORD, A. F. & SHULTE, A. P. (Orgs.). As ideias da Álgebra. Traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1995, p BRASIL. Lei nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, Disponível em: < Acesso em: 05/02/ Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP) Disponível em: < gov.br/web/enem/enem >. Acesso em: 12/07/ Matriz de Referência ENEM Disponível em: < ceps.ufpa.br/daves/ps%202012/ps%202012%20enem.pdf>. Acesso em: 06/08/

81 BURIASCO, R.L.C.; CYRINO, M.C.C.T.; SOARES, M.T.C. Um estudo sobre a construção de um manual para correção das provas com questões abertas de matemáticas - AVA Encontro Nacional de Educação Matemática, VIII, 2004, Recife. Anais... Recife, Pernambuco, Brasil, 2004, p FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. MIGUEL, A. Contribuição para um repensar a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, Campinas - SP, v. 4, n. 1, p , março INEP. Escalas da Prova Brasil e SAEB, 2011a. Disponível em: < portal.inep.gov.br/web/saeb/escalas-da-prova-brasil-e-saeb>. Acesso em: 14/02/ Histórico do SAEB, 2011b. Disponível em: < gov.br/web/saeb/historico>. Acesso em: 05/02/ Matrizes de referência, 2011c. Disponível em: < Acesso em: 07/02/ As avaliações e o Ideb, 2011d. Disponível em: < Acesso em: 12/02/ Aplicação, 2011e. Disponível em: < web/saeb/aplicacao>. Acesso em: 08/02/2014. LEE, L. Early - but which algebra? The future of the teaching and learning of algebra. ICMI Study Conference. Melbourne, Austrália, LINS, R. C. & GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, NOVA ESCOLA. Como interpretar os resultados da Prova Brasil. Nova Escola, n. 222, abril OBMEP. Olimpíada brasileira de Matemática das escolas públicas: Banco de questões Disponível em: < bq/bq2015.pdf>. Acesso em: 29/03/2016. RABELO, M. H. M. & PLAZA, E. M. Avaliação na educação básica: um estudo teórico sobre a Prova Brasil. Conferência Interamericana de Educação Matemática, 2011, Recife. Anais... Recife, Pernambuco, Brasil, p

82 RIBEIRO, A.J. A. Álgebra e seu ensino: dando eco à múltiplas vozes da Educação Básica. REnCiMa, São Paulo, Edição Especial: Educação Matemática, v. 7, n. 4, p. 1-14, RIBEIRO, A.J.; BEZERRA, F.J.B.; SILVA, R.L. Mapeamento de concepções de Álgebra: uma alternativa para compreender seus diversos significados. Acta Scientiae, Canoas, v.18, n. 2, p , SBRANA, M.F.C; ALVES, K.H.; ALMEIDA, M.V.R.; GOMES, V.M.S. A educação algébrica vista por alunos do Ensino Médio. Encontro Nacional de Educação Matemática, XIII, 2016, São Paulo. Anais... São Paulo, São Paulo, Brasil, p SOUZA, D.; SILVA, R. L.; RIBEIRO, A. J. Investigando o que pensam os professores da Educação Básica sobre Álgebra. Seminário Nacional de Histórias e Investigações de/em Aulas de Matemática, V, 2015, Campinas. Anais... Campinas, São Paulo, Brasil, p SILVA, E. A.; SOUZA, D. S.; ALBRECHT, E.; FERREIRA, M. C. N. Analisando como alunos do 9º ano da rede pública respondem e interpretam questões de Álgebra. Encontro Nacional de Educação Matemática, XIII, 2016, São Paulo. Anais... São Paulo, São Paulo, Brasil, p SILVA, R. L.; SAITO, D. S.; SOUZA, D.; BEZERRA, F. J. B. Concepções de álgebra: uma tentativa de construir um quadro de referência por integrantes de um grupo colaborativo. Simpósio Internacioanl de Pesquisa em Educação Matemática. Anais... Ilheús, Bahia, Brasil, p SILVA, R. L.; SOUZA, D. S.; BEZERRA, F. J. B. Que concepções de álgebra surgem nas questões de macroavaliações: o caso do ENEM Encontro Paulista de Educação Matemática, XII, Birigui. Anais... Birigui, São Paulo, Brasil, 2014, p SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational Researcher, v. 15, n. 2, p. 4-14, USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Alberto P. (Orgs.). As idéias da álgebra. São Paulo: Atual,

83 ANEXO - Quadro de referência de nossa compreensão acerca da álgebra Categorias de Álgebra 1. Álgebra inicial Generalizações Principais ideias/características» Manipulação de somas, produtos e potências aritméticas» Resolução de problemas aritméticos como um caminho para a introdução do pensamento algébrico» Aritmética generalizada» Estrutura de representação formal do concreto (através da abstração)» Atribuição de grau de abstração e generalidade aos símbolos linguísticos 3. Relação funcional» Ideia de dependência entre duas grandezas (conceito de função, por exemplo)» Estudo das estruturas e propriedades atribuídas 4. Relação estrutural às operações com números reais e polinômios» Linguagem simbólica/variável como símbolo arbitrário» Iluminação ou organização de uma situação 5. Modelagem como ferramenta» Construção da atividade e exercícios de modelagem» Modelagem de situações a partir de situaçõesproblema» Conjunto de técnicas ou procedimentos específicos para abordar problemas por métodos algorítmicos 6. Manipulação» Capacidade de efetuar e expressar transformações algébricas primordialmente simbólicas» Atividades que envolvam incógnitas com o objetivo de simplificar ou resolver Fonte: Ribeiro et al. (2016, p.431) 13 Early Algebra é o termo utilizado na literatura internacional para se referir aos processos de ensino e aprendizagem de Álgebra desde os anos iniciais do Ensino Fundamental (nomenclatura utilizada no Brasil para estudantes de 6 a 10 anos de idade). 83

84

85 Capítulo 3 Tarefas de aprendizagem profissional sobre os números racionais em um curso de formação continuada de professores Henrique Rizek Elias Debora da Silva Souza Francisco José Brabo Bezerra Introdução Quando se fala em dificuldades de estudantes da Educação Básica na aprendizagem de conceitos matemáticos, os números racionais estão entre os primeiros temas que vêm à cabeça de qualquer professor de Matemática. As causas dessas dificuldades podem ser diversas: a complexidade intrínseca ao conceito, o ensino baseado em regras e algoritmos, o esforço que sua aprendizagem demanda por parte do estudante (BEHR; LESH; POST; SILVER, 1983), sua conexão com diversos outros conteúdos matemáticos, etc. Não por acaso, o tema números racionais é foco de muitas pesquisas na Educação Matemática. Kieren (1976, 1980), ao apresentar o que chamou de subconstrutos dos números racionais, possibilitou uma vasta discussão acerca dos diferentes significados atribuídos a esses números (parte-todo, razão, operador, medida, quociente). O grupo The 85

86 Rational Number Project (RNP) 14 contribuiu amplamente para as discussões, trazendo considerações que são, por diversas vezes, citadas em trabalhos que tratam dos números racionais: os conceitos associados aos números racionais estão entre as ideias mais complexas e importantes que os estudantes encontram ao longo dos primeiros anos de escolarização (BEHR et al., 1983). Cabe observar, na linha apresentada por Behr et al. (1983), que os números racionais são um tema que atravessa toda a Educação Básica: nos anos iniciais do Ensino Fundamental algumas noções intuitivas de fração (como a de parte-todo) e de número decimal são tratadas, bem como a comparação e a ordenação dos racionais positivos; nos anos finais do Ensino Fundamental são aprofundadas as operações de adição e subtração de frações; são discutidas a multiplicação e a divisão; outros significados das frações são trabalhados (parte-todo, quociente, medida, operador e razão); o conjunto dos números racionais é definido e são revisitadas as noções de comparação e ordenação de frações. A noção de equivalência de frações também permeia esses estudos; no Ensino Médio, cada vez mais os números racionais se aproximam de outras áreas, como a Física, a Química, a Geografia, principalmente nos estudos de grandezas e medidas. Ainda sobre as pesquisas em Educação Matemática acerca dos números racionais, Fávero e Neves (2012) destacam que diversos trabalhos se fundamentam em Raymond Duval [por exemplo, DUVAL (1993)] para discutir os diferentes registros de representações semióticas, outra característica desses números. Os números racionais, além de diferentes significados, podem ser representados de diferentes formas, de acordo com o contexto no qual aparecem representação fracionária, decimal, percentual. Junto às pesquisas que explicitam a complexidade dos números racionais, relacionada aos seus diferentes significados e diferentes representações, e que destacam sua relevância na aprendizagem 14 Para maiores detalhes, acesse: 86

87 de tópicos matemáticos mais avançados pelos estudantes, temos aquelas que se debruçam em discutir o conhecimento matemático necessário ao professor para ensinar os números racionais, com vistas a proporcionar um ensino mais significativo e menos baseado em regras e algoritmos. Zakaryan e Ribeiro (2016), Pinto e Ribeiro (2013) e Rangel, Giraldo e Filho (2014) são alguns exemplos de autores que nos permitem conhecer mais profundamente aspectos desse conhecimento matemático que é específico para o ensino dos números racionais e, portanto, diferente do conhecimento matemático de outros profissionais que não o professor. Com esse amplo espectro de pesquisas em mãos, levamos o tema números racionais para a discussão no curso de formação continuada realizado na Universidade Federal do ABC em Santo André, estado de São Paulo. Nosso objetivo, naquela etapa do curso de extensão, foi trabalhar aspectos do conhecimento matemático para o ensino dos números racionais na Educação Básica, buscando discutir com os professores participantes os diferentes significados dos números racionais, questões sobre o ensino e a aprendizagem desses números, bem como algumas relações com o tratamento mais formal desses números, via corpo dos números racionais. Para tanto, os encontros foram planejados e desenvolvidos por meio de tarefas de aprendizagem profissional (BALL; COHEN, 1999; SMITH, 2001) - tarefas preparadas e organizadas para atingir um objetivo específico para a aprendizagem de professores (no caso, favorecer o desenvolvimento do conhecimento matemático para o ensino dos números racionais), levando em consideração o conhecimento prévio e as experiências que os professores traziam para os encontros. São essas tarefas que apresentamos neste texto, ilustrando parte do que foram os encontros destinados à discussão sobre os números racionais no curso de extensão. Descrição dos encontros e das tarefas desenvolvidas Dos 40 encontros realizados ao longo de todo o curso de extensão, cinco deles foram destinados a discussões sobre os 87

88 números racionais. Os temas abordados nos cinco encontros foram previamente pensados, mas as tarefas de aprendizagem profissional foram organizadas durante os encontros, de acordo com o andamento das discussões junto aos professores. Os encontros, de 4 horas e meia cada um, foram planejados conforme consta do Quadro 1. Quadro 1: Planejamento dos encontros referentes aos números racionais Primeiro encontro Objetivos do encontro - Conhecer as concepções dos professores participantes acerca dos números racionais e, a partir disso, discutir os diferentes significados dos números racionais. Data do Material de apoio encontro 01/07/2016 KIEREN, T. E. The rational number construct its elements and mechanisms. In: KIEREN, T. (Ed.) Recent Research on Number Learning. Columbus: Eric/Smeac, 1980, p ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S.G. As diferentes personalidades do número racional trabalhadas através da resolução de problemas. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 31, p , CYRINO, M. C. C. T. et al. Formação de professores em comunidades de prática: frações e raciocínio proporcional. Londrina: UEL, SOUZA, D. S. Formação inicial do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais Dissertação (Mestrado em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática) Universidade Federal do ABC, Santo André

89 Segundo encontro Terceiro encontro - Propor tarefas e solicitar que os professores construam outras e nas discussões buscar ampliar o conceito de frações e alcançar os 5 subconstructos. Sempre voltado ao ensino e à aprendizagem (discutir o que levar para a sala de aula, e o que os alunos resolvem e como, e ainda como os professores pensam e resolvem essas atividades). - Explorar, junto aos professores, a abordagem via medição de segmentos (CA- RAÇA, 1951) para os números racionais. A partir de tal abordagem, discutir as noções de segmentos comensuráveis e incomensuráveis. - Propor uma discussão a respeito da densidade dos números racionais. 22/07/2016 DAMICO, A. Uma investigação sobre a formação inicial de professores de Matemática para o ensino de números racionais no ensino fundamental. Tese (Doutorado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, /07/2016 CARAÇA, B, J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia Matemática, MONTEIRO, M. S. Notas de aula MAT Introdução à Análise Real. Notas de Aula. Disponível em: br/~martha/, último acesso em 03 de novembro de

90 - Conhecer, compartilhar e construir estratégias para o ensino de operações com frações. 05/07/2016 LOPES, A. J. O que nossos alunos podem estar deixando de aprender sobre frações, quando tentamos lhes ensinar frações. Bolema: Rio Claro, Ano 21, nº 31, p. 1-22, Quarto encontro Quinto encontro - Estabelecer comparações entre algumas propriedades do conjunto dos números inteiros (debatidas em encontros anteriores) e o conjunto dos números racionais, levando à noção de corpo dos números racionais. Apoiados nas discussões de Wasserman (2014, 2016), discutir sobre a valorização da coletividade dos axiomas de corpo, sugerindo formas de justificar algoritmos de operações com números racionais na forma fracionária a partir de equações de primeiro grau com uma variável. Fonte: Elaborado pelos autores. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. As diferentes personalidades do número racional trabalhadas através da resolução de problemas. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 31, p , /07/2016 WASSERMAN, N. H. Introducing Algebraic Structures through Solving Equations: Vertical Content Knowledge for K-12 Mathematics Teachers. PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies, Filadélfia, v. 24, n. 3, p , WASSERMAN, N. H. Abstract Algebra for Algebra Teaching: Influencing School Mathematics Instruction. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, Ontário, v. 16, n. 1, p , Tanto a condução dos encontros como as tarefas de aprendizagem profissional preparadas para cada um deles foram pau- 90

91 tadas no quadro teórico do Conhecimento Matemático para o Ensino 15 (MKT), de Ball, Thames e Phelps (2008), um modelo teórico baseado na prática docente, a partir das demandas matemáticas para o ensino. Ball, Thames e Phelps (2008) propõem que o conhecimento matemático para o ensino é composto pelos subdomínios: (i) Conhecimento Comum do Conteúdo é o conhecimento do conteúdo necessário, mas não exclusivo ao ensino. Reconhecer uma resposta incorreta é uma tarefa do professor, mas um engenheiro também é capaz de reconhecer quando o resultado de uma multiplicação está incorreto; (ii) Conhecimento Especializado do Conteúdo é o conhecimento matemático não tipicamente necessário para outros fins além do ensino. Avaliar rapidamente a natureza de um erro, especialmente um erro não familiar, é um exemplo do Conhecimento Especializado do Conteúdo; (iii) Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes é o conhecimento que combina saber sobre os estudantes e saber sobre Matemática. Os professores devem antecipar a forma como seus alunos podem pensar e as dificuldades que podem encontrar em determinadas situações matemáticas. Ter familiaridade com os erros comuns e saber a razão disso fazem parte deste conhecimento; (iv) Conhecimento do Conteúdo e do Ensino é o conhecimento que combina saber sobre o ensino e sobre Matemática. Professores precisam estabelecer uma sequência específica do conteúdo para o ensino, escolher exemplos mais pertinentes para introduzir um conceito e que levem os alunos a se aprofundarem no conteúdo; (v) Conhecimento do Conteúdo e do Currículo é o conhecimento sobre a maneira como a Matemática está organizada ao longo do currículo; (vi) Conhecimento do Conteúdo no Horizonte é o conhecimento matemático que permite ao professor ter uma consciência de como temas matemáticos estão relacionados ao longo do currículo. Por exemplo, professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental precisam saber como a Matemática que ensinam está relacionada com o que os alunos irão aprender em anos posteriores. 15 No original: Mathematical Knowledge for Teaching MKT. Ao longo do texto, usaremos a sigla MKT quando nos referirmos ao Conhecimento Matemático para o Ensino. 91

92 Longe de tomarmos a abordagem do MKT como uma prescrição do que o professor precisa saber para ensinar, assumimos essa proposta como um quadro de referência que nos permite compreender e pesquisar a ação docente e (re)pensar os cursos de formação de professores que ensinam Matemática. Voltando a falar das tarefas de aprendizagem profissional, ao longo dos cinco encontros foram propostas diversas delas aos professores, com diferentes objetivos. Neste texto, vamos apresentar três tarefas de aprendizagem profissional. A primeira delas, realizada no primeiro encontro do curso de extensão, visou conhecer como os professores participantes compreendem os números racionais, por meio de questões mais diretas sobre as concepções desses professores acerca do conceito de número racional ou de questões que buscavam uma reflexão a respeito do ensino e da aprendizagem desses números. Para ilustrar o desenvolvimento dessa tarefa, trouxemos trechos transcritos das respostas ou protocolos produzidos por professores participantes. A segunda tarefa de aprendizagem que apresentamos, realizada no quarto encontro do curso, se refere a diferentes refere a diferentes e estratégias para se abordar, em sala de aula, a divisão entre frações ( ).. Detalhamos duas dessas abordagens, que foram geradoras de debates entre os participantes do curso e que possuem potencial para uso em sala de aula. A terceira tarefa de aprendizagem, realizada no quinto encontro, buscou proporcionar aos professores uma discussão acerca da importância da coletividade dos axiomas de corpo (WASSERMAN, 2014, 2016) ao trabalhar os números racionais de forma conectada ao processo de resolução de equação do primeiro grau com uma variável com com ). Na sequência, vamos detalhar cada uma dessas três tarefas de aprendizagem profissional. Primeira tarefa de aprendizagem profissional O primeiro encontro teve como objetivo principal conhecer a forma como os professores compreendem o conceito de número racional, além de conhecer se e como esses professores reconhecem dificuldades de seus estudantes ao lidarem com es- 92

93 ses números. Nesse sentido, a primeira tarefa de aprendizagem profissional, intitulada Conhecendo como os professores participantes compreendem os números racionais, visou propiciar aos participantes não só a discussão sobre o conceito, mas, também, estabelecer conexões entre o conteúdo e seu ensino e o conteúdo e seus estudantes. Em um primeiro momento, a tarefa, composta por quatro questões, foi proposta para ser desenvolvida individualmente e, num segundo momento, a discussão foi aberta para todo o grupo. Neste texto, apresentamos, no Quadro 2, duas das quatro questões que perfaziam a tarefa. Quadro 2: Conhecendo como os professores participantes compreendem os números racionais (Questão 1) Na figura abaixo, temos dezesseis números. a) Circule os números que pertencem ao conjunto dos números racionais; b) Dentre os números apresentados, quais você acredita que os estudantes têm mais dificuldade em identificar como sendo um número racional? Por quê? (Questão 4) Escreva um pequeno texto que contemple os seguintes aspectos: a) O que você entende por número racional? b) Quais as principais dificuldades que seus alunos apresentam quando lidam com este conceito? c) Que dificuldades você, enquanto professor, percebe ter ao ensinar números racionais ou ao trabalhar situações que envolvam estes números? Fonte: Elaborado pelos autores. 93

94 Das produções escritas dos professores (no dia havia 11 professores), notamos aspectos do Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes e do Conhecimento do Conteúdo e do Ensino, como podemos observar nas Figuras 1 e 2. A Figura 1 mostra a percepção de um professor sobre as dificuldades de seus estudantes ao lidarem com o conceito de número racional. Figura 1: Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes evidenciado por um professor Fonte: Protocolo produzido por um professor participante Já a Figura 2 ilustra a dificuldade que um professor encontra ao buscar propor situações contextualizadas diferentes daquelas já consagradas e recorrentes no ensino dos números racionais. Figura 2: Conhecimento do Conteúdo e do Ensino evidenciado por um professor Fonte: Protocolo produzido por um professor participante 94

95 Por outro lado, com base em Bezerra, Elias e Souza (2017, no prelo), discutimos as respostas de outros três desses onze professores. Nesses casos, suas produções escritas indicaram fragilidades na compreensão do conceito, sugerindo que o Conhecimento Comum do Conteúdo dos números racionais precisaria ser reelaborado. O que nos levou a essa conclusão foram respostas como Números racionais é todo número que pode ser representado na forma de com com ou Número racional é um número com fração ; além de, na Questão 1 item a do Quadro 2, não incluírem o zero como um número racional. Segunda tarefa de aprendizagem profissional No quarto encontro, dentre as tarefas propostas aos professores, destacamos a tarefa intitulada Discutindo diferentes estratégias para o ensino da divisão entre frações de números inteiros, em que lançamos um questionamento para promover uma discussão sobre a divisão entre frações ( ):: Quando se trata de ensinar divisão de frações ( ou )é é comum a explicação por meio da regra: multiplica o primeiro pelo inverso do segundo (i) Como podemos justificar tal procedimento? Por que ele é válido? (ii) Que outras estratégias podemos pensar para dar mais sentido a essa divisão? Nessa tarefa de aprendizagem profissional, além de tentar resolver uma tarefa matemática, os professores poderiam investigar e propor diferentes estratégias para a divisão entre frações de números inteiros, relacionando, inclusive, a representação fracionária com a representação gráfica. No sentido do MKT, trata-se de trabalhar o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino. Contudo, a partir das questões levantadas, percebemos que os professores não conheciam uma justificativa para tal regra. 95

96 Foi então que apresentamos duas formas de conduzir o trabalho com essa operação a fim de proporcionar reflexões sobre aquela famosa regra enraizada nas práticas de ensino de frações. Primeira estratégia 16 (Ideia de dividir) Quero dividir igualmente meia barra de chocolate entre duas pessoas. Que parte da barra cada pessoa vai receber? (Ideia de medir) Quantas vezes litro de leite? dde litro de leite cabe em Resposta: dde litro cabe vezes em meio litro de leite. Agora, vamos considerar a seguinte divisão: :.. O resultado será maior ou menor do que? Por quê? Após as respostas, concluímos que caberá mais do que uma vez em. 16 Essa estratégia foi baseada em um material encontrado na internet, de título Divisão de números fracionários - Educacional, do site sem referência da fonte primeira. 96

97 Na sequência, podemos pensar graficamente essa divisão: Para compararmos quantas vezes cabe em, os inteiros deverão ser do mesmo tamanho e estarem divididos em partes iguais. Sendo assim, podemos dividir o inteiro em 6 partes, em 12 partes, em 18 partes, ou seja, em um número de partes que seja múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo tempo. Neste caso, podemos dizer que o menor múltiplo comum ajuda, mas não é a única saída. Escolheremos, então, dividir o inteiro em seis partes iguais Podemos, agora, verificar quantas vezes cabe em.. Pelo desenho, note que em.. Isto significa que cabe uma vez e meia (1,5) ou ou: 97

98 Após compreender essa ideia por meio da representação gráfica, os estudantes podem perceber que, trocando as frações dadas por frações equivalentes de mesmo denominador, a divisão entre os denominadores será sempre um e, portanto, o quociente será a divisão entre os numeradores. Como todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo, Assim, em momentos posteriores do ensino dessa operação, pode-se pensar da seguinte maneira. Considere a divisão.. Vamos fazer o divisor se transformar em 1. Assim, vamos multiplicar pelo seu inverso.. Mas, para não alterar o resultado, temos que multiplicar o dividendo também: ( ) ( ) ( ) ) Desse modo, a regra usual pode ser apresentada. Segunda estratégia A segunda estratégia trabalhada com os professores foi retirada de Lopes (2008). Segundo esse autor, a regra apresentada foi construída em uma interação entre estudantes de uma turma de 7 o ano 17 em 1994 e fora feita a partir de duas ideias chave: a divisão como operação inversa da multiplicação, e o conceito de frações equivalentes. Quando o professor passou: 98?, a resposta foi: 17 Segundo o autor, a interação e os diálogos apresentados em seu artigo ocorreram em uma turma de 6ª série da Escola da Vila, SP, no ano de Uma versão da aula está documentada no livro da 6ª série da coleção Matemática Hoje é Feita Assim, FTD, de Antonio José Lopes Bigode (LOPES, 2008, p. 18).

99 Aluno 1: Ué a divisão não é a operação inversa da multiplicação? Verificação do aluno:. Mas, como você faria no caso? Aluna 2: Aluna 3: Mas, não é fração. Aluna 2: Mas, dá pra achar a fração equivalente: Aluno 4: Mas, e se for uma divisão bem encrencada, como, por exemplo,? Aluna 2: Humm! Neste caso acho que o melhor é achar uma fração equivalente a que dê para aplicar minha regra. Tem que ser uma fração em que tanto o numerador como o denominador tem que ter os fatores 5 e 7. é equivalente a.. Se é equivalente a, então deve ser igual a. Aluna 2: Agora vai dar. Verificando o resultado:, que simplificando dá. Assim, segundo Lopes (2008), por mais que os alunos não tivessem utilizados uma linguagem mais formal, haviam generalizado uma regra: 99

100 Se e são números inteiros e e. Dada a divisão e sabendo que é equivalente a, pode-se efetuar a operação do seguinte modo: Tanto a estratégia 1 como a estratégia 2 foram apresentadas aos professores participantes do curso com o objetivo debater a viabilidade de seus usos em sala de aula e o papel que elas poderiam ter na aprendizagem dos estudantes. Terceira tarefa de aprendizagem profissional No quinto e último encontro, quando já havíamos apresentado aos professores o anel dos inteiros ) e o corpo dos números racionais ), fizemos uso dos trabalhos de Wasserman (2014, 2016) sobre a valorização da coletividade dos axiomas de corpo para apresentarmos uma justificativa para a adição de frações utilizando a equação do primeiro grau com uma variável com ). Esta tarefa de aprendizagem profissional, intitulada Explorando o conhecimento dos números racionais no horizonte, se conecta com a segunda tarefa de aprendizagem profissional apresentada, na medida em que permite aos professores conhecerem e discutirem outras estratégias para a adição e divisão entre frações de números inteiros por meio de um conteúdo matemático, as equações polinomiais do primeiro grau com uma incógnita, que, muitas vezes, não são apresentadas para este fim. Essas estratégias foram apresentadas aos professores com o intuito de gerar discussões acerca de sua viabilidade para o ensino das operações envolvendo os números racionais na forma fracionária. Compreender que um número racional é qualquer número que satisfaz, com e inteiros e, permite que o estudante entenda, por exemplo, uma maneira de chegar ao algoritmo da adição de frações da seguinte maneira: sejam e 100

101 , então e. Queremos mostrar que. Multiplicando ambos os lados de por e ambos os lados de por, temos: e. Somando essas duas equações, temos: ) ) Assim,.. Essa explicação acima, baseada em Kieren (1976), permite que o professor vá além do uso mecânico da adição, fornecendo- -lhe um outro olhar para justificar essa regra. Algo no mesmo sentido pode ser pensado para a divisão de frações. Tomando, novamente, que um número racional é qualquer número que satisfaz, com e inteiros e,, de modo que, se e, então e.. Seja tal que, ou,.. De Como e,, então queremos mostrar que., temos: Multiplicando ambos os lados por, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ) Isto é:.. 101

102 As três tarefas de aprendizagem profissional acima apresentadas foram exemplos daquelas trabalhadas com os professores no contexto dos números racionais. Smith (2001) sugere que uma maneira de projetar as tarefas de aprendizagem profissional é considerar o ciclo do trabalho do professor e a natureza das atividades que os professores se envolvem na medida em que passam pelo ciclo. Esse ciclo, segundo a autora, envolve o planejamento das aulas, o ensino propriamente dito e a reflexão sobre a aula e sobre os próprios passos visando a aprendizagem dos estudantes. A matéria bruta para a organização dessas tarefas de aprendizagem profissional podem ser tarefas matemáticas, episódios de ensino ou trechos de explicações (orais ou escritas) de estudantes acerca de suas formas de pensar (SMITH, 2001). As tarefas de aprendizagem profissional que apresentamos envolvem tanto tarefas matemáticas como também episódios de ensino (como a segunda estratégia para a divisão de frações) que permitiram aos professores debaterem as resoluções apresentadas por estudantes. No que se refere ao ciclo trabalho docente, tentamos explorar, em alguns momentos, o planejamento de aulas, mas demos mais ênfase às reflexões sobre as aulas. A primeira tarefa permitiu aos professores explicitarem suas próprias concepções acerca do conteúdo matemático, mas também possibilitou que os mesmos refletissem sobre estas perguntas: que dificuldades meus estudantes encontram ao lidar com os números racionais? Que dificuldades eu, enquanto professor, tenho para ensinar esse conceito? Já a segunda e a terceira tarefas possibilitaram aos professores analisar e discutir a viabilidade das estratégias apresentadas para abordar as operações envolvendo frações de números inteiros, levantando questionamentos como: que oportunidades para aprender Matemática são oferecidas pelas abordagens? Que conhecimento prévio e experiência os alunos precisam para participar da tarefa com sucesso? Essas abordagens poderiam ser utilizadas em que momento do ensino de números racionais? 102

103 Por fim, tecemos alguns comentários finais sobre nossa experiência com essa etapa do curso de extensão, destacando algumas limitações e potencialidades percebidas ao longo da intervenção que realizamos. Comentários finais Acreditamos que os encontros, organizados por meio de tarefas, criaram um ambiente propício para discussões e aprendizagens profissionais no sentido de que os professores pudessem explicitar seus conhecimentos acerca do conceito de número racional (Conhecimento Comum do Conteúdo), refletir sobre dificuldades de seus estudantes ao lidarem com os números racionais (Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes), debater estratégias para o ensino das operações com esses números (Conhecimento do Conteúdo e do Ensino), e relacionar os números racionais a outro conteúdo matemático (equações polinomiais do primeiro grau com uma incógnita), estabelecendo uma conexão com a estrutura algébrica corpo (Conhecimento do Conteúdo no Horizonte). De modo geral, a estrutura pensada para os cinco encontros do curso, conforme apresentada no Quadro 1, foi: trabalhar os diferentes significados de números racionais, discutir aspectos do ensino e da aprendizagem desses números, estabelecer comparações entre algumas propriedades do conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais, levando à noção de corpo dos números racionais. Entretanto, nossas expectativas de abordar conteúdos mais avançados (como a estrutura algébrica corpo) se mostrou pouco relevante na medida em que fomos percebendo, pelas produções escritas, que alguns professores não dominavam aspectos básicos do conceito de número racional, levando-nos a rever algumas ações planejadas e gerando reflexões acerca de cursos de formação (inicial ou continuada) de professores e a maneira como têm sido abordados os números racionais. 103

104 Equívocos como não incluir o zero entre os números racionais ou incluir o e o como elementos de nos levaram a repensar os encontros, dando menos ênfase aos aspectos mais formais da construção do conjunto dos números racionais. Referências BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content knowledge for teaching: what makes it special? Journal of Teacher Education, n. 59, p , BALL, D. L. & COHEN, D. K. Developing practice, developing practioners: toward a practice-based theory of professional education. In: SYKES, G. & DARLING-HAMMOND, L. (Orgs.). Teaching as the learning profession: handbook of policy and practice. San Francisco: Jossey Bass, 1999, p BEHR, M. J.; LESH, R.; POST, T. R.; SILVER, E. A. Rational number concepts. In: LESH, R. & LANDAU (Eds.). Acquisition of mathematics concepts and process. New York: Academic Press, 1983, p BEZERRA, F. J. B.; ELIAS, H. R.; SOUZA, D. D. Conhecimento matemático para o ensino dos números racionais: discussão na/da formação de professors. Congresso Iberoamericano de Educação Matemática, 2017, Madrid. Anais... Madrid, (no prelo) CARAÇA, B, J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Tipografia Matemática, CYRINO, M. C. C. T. et al. Formação de professores em comunidades de prática: frações e raciocínio proporcional. Londrina: UEL, DAMICO, A. Uma investigação sobre a formação inicial de professores de Matemática para o ensino de números racionais no Ensino Fundamental. Tese (Doutorado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, DUVAL, R. Registres de représentation sémiotique et fonctionnements cognitifs de la pensée. Annales de Didactique et Sciences Cognitives IREM-ULP, Strasbourg, v. 5, p , FÁVERO, M. H. & NEVES, R. S. P. A divisão e os racionais: revisão bibliográfica e análise. Zetetiké, Campinas, v. 20, n. 37, KIEREN, T. E. On the mathematical, cognitive, and instructional foundations of rational numbers. In: LESH, R. (Ed.) Number and 104

105 measurement: papers from a research workshop. Columbus, Ohio: Eric/ Smeac, 1976, p KIEREN, T. E. The rational number construct its elements and mechanisms. In: KIEREN, T. (Ed.). Recent Research on Number Learning. Columbus: Eric/Smeac, 1980, p LOPES, A. J. O que nossos alunos alunos podem estar deixando de aprender sobre frações, quando tentamos lhes ensinar frações. Bolema, Rio Claro, ano 21, n. 31, p. 1-22, MONTEIRO, M. S. Notas de aula MAT Introdução à Análise Real. Notas de Aula. Disponível em: < mat0315/reais.pdf >. Acesso em: 03/11/2017. ONUCHIC, L. R. & ALLEVATO, N. S.G. AS diferentes personalidades do número racional trabalhadas através da resolução de problemas. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, n. 31, p , PINTO, H. & RIBEIRO, M. Conhecimento e formação de futuros professores dos primeiros anos o sentido de número racional. Da investigação às práticas, v.33, n. 1, p , RANGEL, L.; GIRALDO, V.; FILHO, N. M. Conhecimento de Matemática para o ensino: um estudo colaborativo sobre números racionais. Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática, São Paulo, v.8, n. 2, SMITH, M. S. Practice-based professional development for teachers of Mathematics. Reston, Virginia: National Council of Teachers of Mathematics, SOUZA, D. S. Formação inicial do professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico dos números racionais Dissertação (Mestrado em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática) - Universidade Federal do ABC, WASSERMAN, N. H. Introducing algebraic structures through solving equations: vertical content knowledge for K-12 Mathematics teachers PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies, Filadélfia, v. 24, n. 3, p , Abstract Algebra for Algebra teaching: influencing school mathematics instruction. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, Ontário, v. 16, n. 1, p ,

106 ZAKARYAN, D. & RIBEIRO, M. Conocimiento de la enseñanza de números racionales: una ejemplificación de relaciones. Zetetiké, Campinas, SP, v. 24, n. 3, p ,

107 Capítulo 4 O perfil conceitual de equação como uma estratégia de desenvolvimento de tarefas de aprendizagem profissional do professor que ensina Matemática Karina Aguiar Alves Marcia Aguiar Introdução Neste capítulo discutiremos as etapas envolvidas no desenvolvimento de Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP) (BALL; COHEN, 1999), realizadas num curso de extensão destinado a professores da Educação Básica. No curso em questão, o conceito de equação foi trabalhado com os participantes a partir de uma estratégia de ensino diferenciada: o perfil conceitual de equação (PCEq) (RIBEIRO, 2013). Apresentaremos uma síntese de todas as etapas envolvidas na TAP, quais sejam: o processo de elaboração dos planos de aula, a seleção dos planos que foram desenvolvidos, as aulas ministradas, a reflexão dos professores participantes a partir das aulas assistidas e, por fim, a devolutiva dos estudantes a partir das tarefas propostas. A TAP sobre equações, realizada no curso de extensão O ensino de álgebra na Educação Básica, desenvolveu-se em 107

108 cinco encontros de 4h30min cada, nos quais foram discutidas, planejadas e analisadas as intervenções realizadas. No Quadro 1, a seguir, observamos o tema e o referencial teórico que norteou cada encontro. Quadro 1: Descrição das intervenções realizadas, para nossa pesquisa, no curso de extensão Fonte: Elaborado pelas autoras. Como resultado de uma das etapas desenvolvidas nessa TAP, o plano de aula, posteriormente desenvolvido em sala de aula, contou com a proposição de uma tarefa aos estudantes, elaborada pelos professores participantes do curso de extensão. Adotaremos neste capítulo o conceito de TAP, definida por Ball e Cohen (1999) como as atividades elaboradas por formadores de professores para serem desenvolvidas em processos formativos. Adotamos também o termo tarefa como ferramenta de mediação no ensino e na aprendizagem da Matemática (PONTE, 2014). Destacamos que nossa intenção neste capítulo não é aprofundar nossas discussões sobre os referenciais que nortearam cada uma das etapas de construção dos dados, mas sim propiciar ao leitor uma primeira aproximação a esses referenciais que foram aprofundados em trabalhos desenvolvidos por nosso grupo de pesquisa e que podem ser consultados na bibliografia deste capítulo. 108

109 Apresentaremos ainda as análises de dois episódios das aulas ministradas por dois professores participantes do curso de extensão. A teoria do Perfil Conceitual e o modelo teórico do Perfil Conceitual de Equação A teoria dos perfis conceituais tem sido amplamente utilizada no ensino de ciências (MORTIMER, 2001; COUTINHO; MORTIMER; EL-HANI, 2007; NICOLLI; MORTIMER, 2012; entre outros) com o intuito de propor modelos heterogêneos de significados. A partir da premissa de que conceitos polissêmicos assumem diferentes interpretações em diferentes contextos, temos a teoria dos perfis conceituais como um aporte para validar a coexistência dessas diferentes significações e propiciar aos atores de ensino perspectivas de como abordar esses conceitos, muitas vezes oriundos do cotidiano do estudante em sala de aula. Os modelos de como trabalhar a teoria dos perfis conceituais em sala de aula concentram-se, até o momento, no levantamento das múltiplas significações que determinado conceito possa assumir. Temos um número considerável de conceitos já perfilados, mas um número não muito expressivo de como esse modelo se comporta em sala de aula. A teoria do perfil conceitual reside na importância de se dar voz aos conhecimentos que o estudante possui, a validar a experiência extra-escolar como um conhecimento válido, permitindo ao estudante ser o agente construtor de seu conhecimento. Mais importante do que propor zonas de significações de determinado conceito, o perfil conceitual permite a professores e educandos um espectro de possibilidades na abordagem desse conceito. Alicerçado nestes elementos constituintes de um modelo baseado em perfil conceitual, Ribeiro (2013) propôs, a partir da junção de estudos do domínio macrogenético (história e epistemologia do conceito) e microgenético (estudos realizados com professores e estudantes), o perfil conceitual de equação. Este 109

110 modelo é constituído de cinco zonas de apropriação de diferentes significados que o conceito de equação teve ou possa ter no desenvolvimento das atividades matemáticas curriculares. Cabe destacar que as zonas não seguem uma hierarquização e não são obtidas ou desveladas de forma linear. O modelo proposto pode ser observado no quadro a seguir. Quadro 2: O Perfil Conceitual de Equação Categoria Pragmática Geométrica Estrutural Processual Aplicacional Breve descrição Equação interpretada a partir de problemas de ordem prática. Equação admitida como uma noção primitiva. Busca pela solução predominantemente aritmética. Equação interpretada a partir de problemas geométricos. Busca pela solução predominantemente geométrica. Equação interpretada a partir de sua estrutura interna. Busca pela solução predominantemente algébrica. Equação interpretada a partir de processos de resolução. Busca pela solução aritmética ou algébrica. Equação interpretada a partir de suas aplicações. Busca pela solução aritmética ou algébrica. Fonte: Retirado de Ribeiro (2013, p. 69) Em estudos realizados posteriormente com o perfil conceitual de equação com diferentes atores do ensino, quais sejam estudantes, professores, licenciandos e professores em formação continuada (SILVA, 2015; ALMEIDA, 2016), observou-se a pouca mobilização das zonas geométrica, estrutural e aplicacional do modelo proposto. A fim de compreendermos a razão pela qual tais zonas são negligenciadas no ensino de equações, propusemos aos professores participantes do curso de extensão que elaborassem quatro planos de aulas (dois destinados ao 9º ano do Ensino Fundamental e dois destinados a 3º ano do Ensino Médio). 110

111 Construindo um plano de aula sobre equação sob a perspectiva do perfil conceitual O grupo de professores participantes do curso de extensão era constituído por 11 professores, atuantes na Educação Básica e por 3 professores ainda não atuantes; neste grupo também contávamos com a participação de duas pedagogas atuantes nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Fora proposto aos participantes que se dividissem em grupos de até 4 membros para a elaboração do plano de aula; tivemos a formação de 4 grupos, sendo dois responsáveis pela elaboração do plano de aula do 9º ano e dois do 3º ano do Ensino Médio. Esses anos foram escolhidos por serem anos finais que concluem os respectivos ciclos de ensino, fundamental e médio. Acreditávamos que nesses anos os estudantes já conseguissem mobilizar conhecimentos inerentes ao conceito de equação, o que propiciaria a mobilização de mais elementos constituintes das zonas. Cada grupo elaborou o plano de aula solicitado e, posteriormente, todos foram apresentados aos participantes presentes no dia. Após essa etapa, todos os professores analisaram e selecionaram os planos de aulas que seriam ministrados nas salas de aula. Fora escolhido um plano de aula para o 9º ano e outro para o 3º ano do Ensino Médio. Dentro do curso tivemos dois professores que se voluntariaram para ministrar essas aulas: John e Paul 18. As aulas foram videogravadas no intuito de apresentarmos aos demais participantes do curso cada aula de 100 minutos - esta dividida em alguns episódios que capturassem e retratassem o ocorrido, e também fomentassem discussões acerca de elementos teóricos e pedagógicos ocorridos em aula. A seleção dos episódios baseou-se na noção de Powell, Francisco e Maher (2004); estes autores consideram que 18 Nomes fictícios, selecionados com o intuito preservar a identidade dos professores participantes. 111

112 (...) eventos podem ser descritos como sequências conectadas de expressões e ações que, dentro do contexto de nossas - a priori ou a posteriori - questões de pesquisa, requerem explicação por nós, pelos estudantes ou por todos (POWELL; FRANCISCO; MAHER, 2004, p. 104, grifos dos autores). Apresentaremos separadamente a produção dos dados e os protocolos dos estudantes sobre as aulas videogravadas e depois faremos as considerações finais, relacionando as atividades desenvolvidas. Descreveremos, ao final deste capítulo, os avanços e obstáculos dessa TAP em um curso de formação continuada de professores que ensinam Matemática. Iniciaremos com a discussão da aula de Paul, que ministrou o plano de aula para os alunos do 9º ano, enquanto que John ministrou a aula do 3º ano do Ensino Médio. A aula do 9º ano do Ensino Fundamental O professor responsável pela condução do plano de aula do 9º ano, aqui denominado Paul, tinha, na época da aplicação, 39 anos de idade. Até o momento da aplicação contava com uma formação em licenciatura e bacharelado em Matemática, mestrado em Educação Matemática e também graduação em Pedagogia que acabara de concluir. Embora possua experiência em sala de aula como professor, atualmente trabalha em processos de formação continuada com professores da rede SESI/SP de ensino. A aula ministrada por Paul teve duração de pouco mais de 120 minutos, cedida pela professora de Matemática responsável e com a permissão da direção do colégio para a realização da atividade. A infraestrutura da escola remonta aos antigos grupos escolares da década de 50, nos quais concentravam-se todos os ciclos de ensino em um mesmo estabelecimento. Portanto, a escola conta com um amplo espaço de convívio entre professores e estudantes, e mantém essa característica ao agrupar todos os ciclos de ensino (Fundamental Anos Iniciais, Finais e Ensino Médio) e também a Educação Especial. 112

113 O estabelecimento conta com um corpo de 100 funcionários, laboratórios didáticos, de informática, pátios abertos e fechados. Cabe destacar que, por se localizar em uma região de transição entre São Paulo e a região metropolitana, existe o agrupamento de comunidades menos favorecidas ao redor da escola, o que acaba influenciando no grande fluxo de estudantes e numa maior concentração de estudantes por sala. A turma em que a tarefa fora aplicada contava com 38 estudantes no dia, agrupados em uma sala sem ventilação adequada, sem cortinas e com ventiladores quebrados. No dia da aplicação, fazia muito calor na cidade de São Paulo - ao final da tarefa era visível o suor escorrendo no rosto do professor voluntário e nos dos estudantes. Embora não estejamos interessados em avaliar o impacto que esses fatores extraordinários possam ter, é importante a contextualização do ambiente de pesquisa. A aula de Paul para o 9º ano foi dividida em 8 episódios que versavam sobre a utilização da técnica de fatoração, usada pelos babilônios, conhecida como completando quadrados. Cabe salientar que o objetivo do planejamento dessas aulas concentrava-se na utilização do conceito de equação a partir de suas outras perspectivas, quais sejam: geométrica, estrutural e aplicacional. Também não intentávamos utilizar a contextualização do método a partir de sua abordagem histórica como metodologia de ensino, abordagem essa já utilizada em outros trabalhos (FRAGOSO, 2000). O plano de aula do 9º ano contava com a utilização de um jogo que contém peças que podem ser agrupadas de forma a representar equações polinomiais de segundo grau. Como, por exemplo, no início da atividade, Paul propôs aos estudantes que agrupassem as peças tendo em mente a seguinte configuração: 113

114 Figura 1: Peças do jogo Fonte: Dados da pesquisa A partir da familiarização dos estudantes com as peças e como elas se relacionariam e se agrupariam para a construção de um quadrado, foi proposto que os estudantes resolvessem, a partir da confecção de um quadrado, a equação x²+2x+1=0. O intuito era a utilização da fatoração de quadrados; a pergunta norteadora dessa tarefa foi: Qual é o lado do quadrado que possui área x²+2x+1? Figura 2: Tarefa proposta Fonte: Dados da pesquisa Nesta tarefa tivemos a configuração de dois quadrados diferentes, mas equivalentes ao polinômio a ser fatorado, como podemos verificar na transcrição do diálogo do professor com a sala: 114

115 (o professor desenha o quadrado da Configuração 1 na lousa) P: E o outro e o outro ficou assim ó, né?! Onde que eu vi o outro que ficou diferente? (Se direciona ao grupo que produziu a configuração diferente e pega a folha). Muito bem! Beleza! ó me ajuda aqui na lousa, esse quadradão aqui tem área quanto? (o professor desenha na lousa o quadrado da configuração 2) P: Eu já conversei com a maioria de vocês, e aí ó a maioria de vocês foi fazendo isso daqui, né? (apontando para a lousa). Foi colocando aqui as medidas de quanto mede em volta do quadrado. E a gente quer saber isso daqui ó, né?!(utilizando o desenho do quadrado ao lado) E aqui a mesma coisa, aqui, aqui, aqui, aqui. O que nós queremos é saber a medida do lado do quadrado. E aí apareceu uma dúvida assim que eu fui conversando com alguns. O que acontece se eu somar x com 1? Aí a gente foi conversando, tem gente que achou que era 1x e outros que acharam que era x+1. Daí eu fui explicando a diferença, né? A diferença de 1x e de x+1. É diferente pra vocês? ESTUDANTE: É... é o contrário. (estudante no fundo da sala) P: 1x é diferente de 1+x? ESTUDANTE: É eu acho que sim. 115

116 Neste trecho observamos uma dúvida frequente dos estudantes, desse nível de ensino, com relação ao valor da peça retangular. Na verdade, observamos que alguns estudantes têm a noção de que a área do retângulo é base.altura, mas na hora de transpor esse conceito para álgebra evidenciam-se alguns equívocos. Observamos que os estudantes demonstram certa insegurança no entendimento de operações de adição e multiplicação com incógnitas; quando questionados sobre a diferença entre 1x e 1 + x, notamos que a noção de operação não está construída, como também não parecem relacionar o conceito de área à operação e muito menos construir a relação visual a partir da manipulação das peças ao conceito geométrico. Identificamos aqui um gap conceitual frequente entre estudantes do ensino fundamental: a constante dificuldade de atribuir significado a operações com entes abstratos, quando o enfoque deveria se concentrar na operação e não em seus entes participantes. Os estudantes não parecem apresentar com clareza que a área do retângulo é x, muito menos que tenham compreendido que a pergunta norteadora da tarefa volta-se para a área do quadrado de área x 2 + 2x + 1. Quando observamos a resolução do grupo 1 (G1), notamos a preferência na utilização do método algoritmo na resolução da equação, mesmo o grupo tendo demonstrado o entendimento da tarefa exploratória de completar quadrados. Figura 3: Protocolo G1 Fonte: Dados da pesquisa 116

117 Nesta resolução fica evidente a aplicação do método dissociado de seu entendimento. O grupo não demonstra compreender qual é o significado da incógnita (x) na equação e como esse valor desconhecido pode ser encontrado. A postura evidenciada pelo grupo em questão mobiliza um entendimento dissociado entre algoritmos e conceitos; efetua-se os algoritmos com eficiência, mas a compreensão do significado conceitual parece comprometida. O significado da operação acaba encoberto por ela mesma, como se resolver a questão fosse mais importante do que compreendê-la. É neste encalço que acreditamos que a exploração da zona geométrica na introdução do conceito de equação se faz de suma importância, ou seja, explorar e trabalhar as diferentes significações que entes matemáticos possam assumir é oferecer ferramentas aos estudantes para que eles possam transitar com segurança entre as diferentes zonas, e isto pode proporcionar a eles uma visão global e não fragmentada da Matemática. A partir de uma análise geral da aplicação da tarefa, observamos a mobilização da turma na resolução das tarefas propostas com seu viés geométrico; em contrapartida, encontramos a resistência de dois grupos que mantiveram-se fiéis à utilização da fórmula de Baskhara, não abandonando o método algoritmo. Essa resistência pode ser um indício de que essa atividade seria mais profícua na introdução do assunto e não quando os estudantes tiveram contato com esse tipo de resolução. Com relação ao perfil conceitual de equação, esperávamos que os estudantes mobilizassem outros conhecimentos para abarcar as atividades propostas. Acreditávamos que, por se tratar de um método intuitivo de resolução, teríamos um maior envolvimento dos estudantes. Na seção seguinte apresentaremos os dados, as análises e discussões da tarefa proposta aos estudantes do 3º ano do Ensino Médio. 117

118 A aula do 3º ano do Ensino Médio O professor responsável por ministrar essa aula é John. Na época da aplicação ele tinha 21 anos de idade e estava cursando o último semestre do Curso de Licenciatura em Matemática, em uma faculdade privada da cidade de Guarulhos, na região metropolitana de São Paulo. Até aquele momento ele não tinha experiência em sala de aula, mas trabalhava como plantonista em um colégio particular de Guarulhos e havia sido monitor da disciplina de Álgebra na faculdade. A aula do 3º ano ocorreu em uma escola da rede estadual de ensino localizada na cidade de Santo André, pertencente à região metropolitana de São Paulo. Neste dia, havia 35 estudantes que foram divididos em grupos de até 4 membros. Fora distribuído para cada grupo de estudantes uma folha com a tarefa impressa. Eles tiveram duas aulas de cinquenta minutos cada uma para a realização da aula ministrada por John. Como recomendação, contida no plano de aula, John revisitou alguns conceitos que poderiam ser úteis à resolução da tarefa proposta. Para a análise dessa aula, além de contarmos com os protocolos escritos, as ações foram gravadas e videogravadas. As análises das tarefas desenvolvidas por John nesta aula podem ser complementadas com Alves, Silva e Gomes (2017). Após o professor John ter revisitado os conceitos estipulados no plano de aula, o professor entregou a situação matemática proposta para a sala de aula nos termos que apresentaremos a seguir: 118

119 Figura 4: Tarefa proposta Fonte: Dante (2011, p. 68) Como o nosso objetivo era analisar quais resoluções desta atividade dialogavam com as zonas de perfil conceitual, observamos que a zona que se sobressaiu nas resoluções dos grupos está na categoria Pragmática, cuja característica tem por base procedimentos aritméticos. Tal observação também pôde ser verificada em trabalhos anteriores envolvendo estudantes e professores da Educação Básica (BARBOSA, 2009; DORIGO, 2010). Queremos apresentar para a nossa discussão o registro do Grupo G3, cuja resolução dialogou com a zona geométrica. A resolução do Grupo G3 parte da ideia de representar no plano cartesiano as coordenadas da localização das quatro cidades citadas na situação (A, B, C e D). Os alunos localizam os pontos médios respectivos aos segmentos AAAAAAAA e. CCCCCCCC Em cada um desses pontos, eles traçam as retas mediatrizes aos segmentos AAAAAAAA e CCCCCCCC, respectivamente. O encontro das retas mediatrizes é o local onde deve ser instalada a torre de transmissão. Em decorrência de notarem, pelo desenho mostrado na Figura 5, o posicionamento da intersecção das retas mediatrizes, conseguem verificar que as coordenadas desta intersecção são (25,25). A representação geométrica está contida na Figura

120 Figura 5: Protocolo G3 Fonte: Dados da pesquisa Em um segundo momento, G3 apresenta uma descrição sobre sua compreensão da proposta da situação apresentada na Figura Essa representação escrita é mostrada na Figura 6. Figura 6: Protocolo G3 Fonte: Dados da pesquisa 19 A transcrição desse registro para facilitar a leitura é a seguinte: 1-Observamos no enunciado que certas cidades precisam estar na mesma distância da torre. 2-) Após decobrirmos os pontos médios entre as cidades que necessitavam ter a mesma distância, observamos que uma reta com coeficiente angular oposto ao da reta que se forma nos dois pontos se cruzaram e esse seria o ponto médio. 120

121 Dois aspectos notados nos protocolos (Figura 5 e Figura 6) indicam que os estudantes utilizam a definição de reta mediatriz de um segmento e a propriedade da mediatriz, que diz que todos os pontos da mediatriz são equidistantes das extremidades do segmento, mas não conseguem denominá-la. Percebem também que o ponto de intersecção das retas mediatrizes é o local onde a torre deve ser instalada. Com essa resolução, o grupo privilegia a Geometria Plana, sendo que esta tem por base a resolução a partir de conhecimentos da Geometria Analítica. Desta forma, o raciocínio dessa situação tem toda a sua evolução dentro dos conhecimentos geométricos, caracterizando a zona geométrica. Com relação aos outros grupos participantes da pesquisa, notamos que existe uma interpretação e compreensão da situação-problema apresentada. De maneira geral, todos os grupos transpõem da linguagem natural (Figura 4) para uma linguagem gráfica, marcando os pontos das coordenadas das cidades no plano cartesiano. Por meio desta representação gráfica os grupos percebem que existe uma intersecção entre as mediatrizes relativas ao segmento e ao segmento, isto é, no ponto de intersecção das mediatrizes aparece a localização da torre. Surgem também operações aritméticas para calcular o ponto médio entre as cidades. Notou-se uma postura reflexiva dos estudantes quando chegavam a um resultado. Isto ficou caracterizado na escrita de alguns grupos quando interpretam o resultado numérico para a representação gráfica, descobrindo que aquele resultado não era coerente com a proposta da tarefa. Destacamos, como um aspecto positivo do grupo investigado, que os estudantes procuraram escrever suas ideias deixando em evidência seu raciocínio e demonstrando que possuíam uma noção mais ampla da Matemática que não se restringe somente aos cálculos. Nessa situação-problema fica claro que os estudantes que obtiveram sucesso na resolução se apoiaram em conhecimen- 121

122 tos já construídos e conseguem transpor os seus conhecimentos para outras áreas da Matemática. Este ponto, para nós pesquisadores, foi um dos aspectos mais relevantes, uma vez que a aula ministrada antes da resolução dos estudantes baseava-se em conceitos da Geometria Analítica. Acreditávamos que a influência da aula seria facilmente verificada na resolução dos estudantes, mas o que pudemos perceber é que o grupo de estudantes investigados optou por estratégias diferenciadas de resolução. Considerações finais No decorrer do capítulo já apontamos alguns encaminhamentos que acreditamos ser relevantes para a melhoria das tarefas propostas, tais como, na aula ministrada por Paul, a escolha da turma poderia ser repensada, já que o conhecimento prévio dos estudantes sobre o método de resolução se mostrou um empecilho para alguns no desenvolvimento das tarefas. No entanto, considerando a aula expositiva sobre conceitos oriundos da Geometria Analítica que a turma do 3º ano do Ensino Médio teve, observamos que os estudantes já possuem certa autonomia na escolha de seus métodos de resolução e que a compreensão geométrica desses estudantes ultrapassa a mera aplicação de fórmulas, demonstrando uma maturidade e segurança matemática. Os planos de aulas executados foram propostos por professores que posteriormente analisaram o desempenho de seus colegas em sala de aula. Essa reflexão coletiva, dos proponentes com os aplicadores e o olhar de professores atuantes em outros ciclos de ensino, propiciou uma riquíssima atividade de desenvolvimento profissional docente. Não entraremos em maiores detalhes em função do espaço deste capítulo, mas uma parte dessas reflexões pode ser encontrada em Aguiar, Alves e Ribeiro (2017). Referências AGUIAR, M.; ALVES, K. A.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento profissional docente e o ensino de equação: uma reflexão baseada na prática. VIII 122

123 Congreso Iberoamericano de Educación Matemática (VIII CIBEM), 2017, Madri. Anais... Madri: SMPM, 2017, p ALMEIDA, M. V. R. Perfil conceitual de equação: investigações acerca das concepções de alunos de licenciaturas em Matemática Dissertação (Mestrado em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática) - Universidade Federal do ABC, Santo André, ALVES, K. A.; SILVA, R. L; GOMES, V. M. S. Uma análise das diferentes abordagens de resolução de uma situação matemática com base no perfil conceitual de equação. XIII Encontro Paulista de Educação Matemática, 2017, São Paulo. Anais... São Paulo: Sbem/SP, 2017, p BALL, D. L. & COHEN, D. K. Developing practice, developing practioners: toward a practice-based theory of professional education. In: SYKES, G. & DARLING-HAMMOND, E, L. (Orgs.) Teaching as the learning profession: handbook of policy and practice. San Francisco: Jossey Bass, 1999, p BARBOSA, Y. O. Multisignificados de equação: uma investigação sobre as concepções de professores de Matemática Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, COUTINHO, F. A.; MORTIMER, E. F.; EL-HANI, C. N. Construção de um perfil para o conceito biológico de vida. Investigações em Ensino de Ciências, p , DORIGO, M. Investigando as concepções de equação de um grupo de alunos do ensino médio Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Bandeirantes de São Paulo, São Paulo, FRAGOSO, C. W. Uma abordagem histórica da equação do 2º grau. Revista do professor de matemática, v. 43, p , MORTIMER, E. F. Perfil Conceptual: formas de hablar y pensar en las clases de ciencias. Infancia y Aprendizaje, Madrid, v. 24, n.4, p , NICOLLI, A. A. & MORTIMER, E. F. Perfil conceitual e a escolarização do conceito de morte no ensino de Ciências. Educar em Revista, Curitiba, n. 44, p.19-35, abr./jun

124 PONTE, J. P. Tarefas no ensino e na aprendizagem da Matemática. In: PONTE, J. P. (Org.). Práticas profissionais dos professores de Matemática, Lisboa: IE/UL, 2014, p POWELL, A. B.; FRANCISCO, J. M.; MAHER, C. A. Uma abordagem da análise de dados de vídeo para investigar o desenvolvimento de idéias e raciocínios matemáticos de estudantes. (A. Olimpio Junior Trans.). Bolema, Rio Claro, 17(21), , RIBEIRO, A. J. Elaborando um perfil conceitual de equação: desdobramentos para o ensino e a aprendizagem de Matemática. Ciência & Educação, Bauru, v. 19, n. 1, p , SILVA, T. H, I. Conhecimento do professor de Matemática sobre equações: analisando o processo avaliativo sob o olhar de um modelo de perfil conceitual Dissertação Mestrado em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática) - Universidade Federal do ABC Santo André,

125 Capítulo 5 Tarefas de aprendizagem profissional sobre o conceito de função: análise de uma intervenção com professores que ensinam Matemática na Educação Básica Caroline Miranda Pereira Lima Vinícius Pazuch Introdução Neste capítulo, o objetivo central é apresentar as tarefas sobre o conceito de função como possíveis meios para a mobilização de conhecimentos docentes. Sendo assim, apresentamos as tarefas na perspectiva do ensino, e alguns resultados e/ou desdobramentos das próprias tarefas na ótica dos professores que ensinam Matemática. Para tanto, assumimos a noção de Tarefa de Aprendizagem Profissional (TAP), a qual envolve artefatos da prática, como materiais curriculares, vídeos, episódios de aula e trabalho dos estudantes (BALL; COHEN, 1999; SILVER; CLARK; GHOUSSEINI; CHARALAMBOUS; SEALY, 2007). As TAP são produtos do curso de extensão O Ensino de Álgebra para a Educação Básica Módulo II, apresentado no início da Seção III, desenvolvido junto a professores de Matemática da 125

126 Educação Básica, com o objetivo de discutir/estudar conceitos de Álgebra. As TAP foram elaboradas pelos formadores do curso de extensão (autores desde capítulo). Nesse sentido, buscamos mostrar que as TAP podem mobilizar conhecimentos docentes para o ensino do conceito de função na Educação Básica. Desta forma, organizamos o capítulo em três eixos: (i) encaminhamento metodológico, que apresenta um quadro dos encontros do curso de extensão e as respectivas TAP desenvolvidas; (ii) descrição e análise das TAP, que contempla as TAP produzidas e/ou vivenciadas e alguns protocolos de resolução das TAP dos próprios professores, assim como uma análise segundo a perspectiva teórica de cada TAP; e (iii) um fechamento elaborado a partir das tendências teórico-metodológicas para a abordagem do conceito de função na Educação Básica. No próximo tópico, discutiremos o encaminhamento metodológico que sustenta a apresentação das TAP sobre o conceito de função. 1. Encaminhamento metodológico Dentre as atividades e as discussões promovidas nessa parte do curso de extensão, conforme descrito na apresentação deste livro, resgatamos um acervo de TAP envolvendo o conceito de função, com suas respectivas intenções pedagógicas para a abordagem em sala de aula, tendo como participantes professores que ensinam Matemática na Educação Básica. Elaboramos o Quadro 1, que sintetiza a organização dos encontros, compreendendo a data, a nomeação da TAP e o objetivo da mesma. Quadro 1 - Síntese de TAP trabalhadas no curso de extensão Data do encontro Tarefas de Aprendizagem Profissional 26/08/2016 Lista de fórmulas sobre os conceitos de função e equação. Objetivo da TAP Refletir sobre as diferenças e semelhanças entre os conceitos de função e equação. 126

127 02/09/2016 Questões interdisciplinares (Matemática, Física, Química e Biologia). 09/09/2016 Leitura de um texto sobre os documentos e os exames que abordam o ensino de equações e de funções. 16/09/2016 Método de completamento dos quadrados. 23/09/2016 Análise de questões e/ou resoluções de estudantes sobre o conceito de função. 30/09/2016 Análise de questões e/ou resoluções sobre a lei de formação de uma função. Fonte: Elaborado pelos autores. Discutir quais dificuldades os estudantes poderiam ter no estudo dos tipos de funções. Discutir uma das questões envolvendo o conceito de função e planejar como essa questão poderia ser trabalhada na Educação Básica. Refletir sobre a estruturação algébrica e aritmética. Resolver e debater sobre as soluções e apontamentos vinculados ao ensino de função na Educação Básica. Resolver e debater sobre as soluções e apontamentos vinculados ao ensino de função na Educação Básica. Partindo do quadro anterior, apresentamos as TAP, algumas 20 contendo protocolos e indicativos teórico-metodológicos de utilização das mesmas no ensino do conceito de função na Educação Básica. 2. Descrição das TAP desenvolvidas: uma discussão teóricometodológica Neste tópico, apresentamos quatro TAP sobre o conceito de função: (1) lista de fórmulas; (2) resolução de problemas interdisciplinares; (3) estudo de documentos e de exames; e (4) análise de questões e resoluções de estudantes. Nas três últimas TAP apresentamos protocolos e resoluções das mes- 20 Tendo em vista o número de páginas destinado para este Capítulo, não é possível contemplar protocolos de todas as TAP. 127

128 mas, fazendo uma interlocução com os pressupostos teórico- -metodológicos. 2.1 TAP 1 - Lista de fórmulas A presente TAP foi utilizada com o objetivo de delimitar os conhecimentos prévios dos professores que ensinam Matemática na Educação Básica sobre os conceitos de equação e de função e a identificação dos mesmos em fórmulas matemáticas utilizadas no ensino da Matemática e da Física. Figura 1 TAP 1 TAREFA DE APRENDIZAGEM PROFISSIONAL A partir da tabela abaixo, responda: Quais fórmulas (expressões matemáticas) podem ser classificadas como equações e/ou funções? Marque na coluna ID. (identificação): e para identificar as expressões consideradas como equações e/ou f para as classificadas como funções ou n.d.a para nenhuma das opções anteriores. Após a realização dos passos anteriores, indique quais foram os critérios utilizados para as respostas: Fonte: Curso de Extensão 128

129 A fim de utilizar a TAP 1 com estudantes do Ensino Médio, sugerimos que na prática docente os conceitos de equação e de função possam ser estudados por meio de uma dinâmica interdisciplinar. As fórmulas envolvem conteúdos estudados na disciplina de Física e podem provocar um diálogo com os estudantes com a finalidade de constituir critérios abordados em suas respostas. O diálogo é considerado como um modo de interação, considerando o ponto de vista epistemológico e interpessoal (ALRØ; SKOVSMOSE, 2010). Por isso, enfatizamos que a lista de fórmulas precisa vir acompanhada de um diálogo sobre as diferenças conceituais entre os conceitos de equação e de função (WAGNER, 1981; CARRAHER; SCHLIEMANN; BRIZUELA; EARNEST, 2006). 2.2 TAP 2 - Resolução de problemas e a dinâmica interdisciplinar A TAP 2 foi constituída por quatro questões, abrangendo o conteúdo de funções, em que situações-problema envolviam o trabalho com funções exponenciais e/ou funções logarítmicas a fim de possibilitar uma dinâmica interdisciplinar (com as Ciências da Natureza) e no tratamento de resolução de problemas como uma estratégia metodológica. Para o estudo das quatro questões, os professores haviam sido instruídos a apresentar argumentos e perspectivas metodológicas para a escolha de questões com panoramas interdisciplinares e a utilização de resolução de problemas para o ensino de funções. Na sequência, apresentamos a Questão 1, visto que essa tarefa demandou mais tempo e participação dos professores por conta da apresentação da tabela e, consequentemente, a possibilidade de os estudantes inferirem uma resolução e uma análise linear ao observarem os dados. 129

130 Figura 2 TAP 2 TAREFA DE APRENDIZAGEM PROFISSIONAL (Questão 1) (ADAPTADA: Vunesp SP) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22h. Às 22h30min o médico da polícia chegou e imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5 ºC. Uma hora mais tarde, tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5 ºC. A temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5 ºC. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36,5 ºC e suponha que, segundo a lei do resfriamento de Newton, a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por D(t) = D 0.2 ( 2αt), em que t é o tempo em horas, D 0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer (ambas as medidas dadas em Celsius) e α é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte: t =? t = 1 t = 0 Hora Temperatura do corpo ( C) Temperatura do quarto ( C) Diferença de temperatura ( C) Morte 36,5 16,5 D(t) = 20 22h30min 32,5 16,5 D(0) = D 0 = 16 23h30min 31,5 16,5 D(1) = 15 Considerando os valores aproximados log 2 5 = 2,3 e log 2 3 = 1,6. Determine: a) a constante α; b) a hora em que a pessoa morreu. Fonte: Curso de Extensão 130

131 Os professores participantes do Curso de Extensão responderam aos itens propostos na TAP 2. As respostas são apresentadas no Protocolo 1, a seguir. Protocolo 1 - Grupo de professores 131

132 Fonte: Encontro do Curso de Extensão - 02/09/2016 A orientação dada aos professores também permitiu a manifestação do conhecimento dos docentes em relação aos recursos didáticos para seguirem a sugestão de utilizar aspectos históricos no ensino de funções exponenciais. Destaca-se que, de acordo com as instruções, a TAP não requisitava a resolução das questões; no entanto, os professores argumentaram que a partir da solução poderiam estabelecer os pré-requisitos (e/ou conteúdos estudados previamente) para a aplicação de tal atividade com os estudantes, propondo assim uma revisão das propriedades da função exponencial e dos logaritmos. Segundo Barreiro, Guerrini e Mascarenhas (2004), a interdisciplinaridade pode ser instruída por meio de: integração de conteúdos; transformação de concepções fragmentadas para concepções unitárias do conhecimento; superação da dicotomia entre ensino e pesquisa, considerando o estudo e a pesquisa a partir da contribuição das diversas ciências; a visão de que os processos de ensino, de aprendizagem e de avaliação transitam por toda vida. Sendo assim, ao utilizar o conceito de função juntamente com os conceitos estudados nas áreas das Ciências da Nature- 132

133 za (Biologia, Química e Física) e ampliar o objeto de estudo, a interdisciplinaridade propõe interfaces que colaboram para a abrangência e a consistência do conhecimento em diferentes áreas. Na sequência, apresentaremos a TAP TAP 3 - Estudo de documentos e de exames A TAP 3 apresentou como objetivo a leitura e a análise de documentos, de exames e de produções que envolviam o conceito de função e de equação. Neste texto, nos reportamos somente ao conceito de função. Na sequência, apresentaremos a TAP 3, no formato em que foi disponibilizada aos professores participantes do Curso. Figura 3 TAP 3 TAREFA DE APRENDIZAGEM PROFISSIONAL A partir da leitura e da análise do capítulo: RIBEIRO, A. J.; CURY, H. N. Os documentos, os exames e as produções que abordam o ensino de equações e de funções. In: RIBEIRO, A. J.; CURY, H. N. Álgebra para a formação do professor: explorando os conceitos de equação e função. Belo Horizonte: Autêntica. p , ) Indique as principais ideias do capítulo. 2) Selecione uma das questões de conteúdo matemático apresentada no capítulo. Destaque a importância dessa questão para a aprendizagem dos estudantes e os possíveis caminhos de resolução da mesma. Fonte: Curso de Extensão. Selecionamos uma das respostas dos professores participantes em relação ao item 2 da TAP 3. O professor descreveu da seguinte forma: 133

134 Figura 4 Resposta do professor da Educação Básica A questão selecionada é a de número 158 do caderno amarelo, que consta da edição 2012 do ENEM. No texto, ela se encontra na página 64. Trata-se de uma questão contextualizada, relacionada à competência de área 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação, bem como aos seguintes descritores do referido exame: H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências. H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. A questão traz um contexto que pode ser interessante para os estudantes, especialmente aqueles que já se encontrarem habituados a determinados termos do mercado financeiro, amplamente divulgados pela mídia. Além disso, requer conhecimentos diversos relacionados às funções e comparação de um gráfico com uma tabela, a fim de que possa se chegar às conclusões exigidas. Por essa razão, pode-se afirmar que a questão suscita articulação com conteúdos do bloco Tratamento da Informação, aos quais os estudantes têm acesso desde o Ensino Fundamental. Um encaminhamento possível para a solução é determinar o capital adquirido por cada investidor, comparando os horários de compra e venda da tabela com os valores das ações mostrados no gráfico e efetuando as operações. Assim, temos: Investidor 1: comprou às 10:00 h, quando as ações valiam R$ 150,00, e vendeu às 15:00 h, quando as ações valiam R$ 460,00. Capital adquirido: R$ 310,00. Investidor 2: comprou às 10:00 h, quando as ações valiam R$ 150,00, e vendeu às 17:00 h, quando as ações valiam R$ 200,00. Capital adquirido: R$ 50,00. Investidor 3: comprou às 13:00 h, quando as ações valiam R$ 380,00, e vendeu às 15:00 h, quando as ações valiam R$ 460,00. Capital adquirido: R$ 80,00. Investidor 4: comprou às 15:00 h, quando as ações valiam R$ 460,00, e vendeu às 16:00 h, quando as ações valiam R$ 100,00. Capital adquirido: R$ - 360,00. Investidor 5: comprou às 16:00 h, quando as ações valiam R$ 100,00, e vendeu às 17:00 h, quando as ações valiam R$ 200,00. Capital adquirido: R$ 100,00. Dessa forma, conclui-se que foi o Investidor 1 que fez o melhor negócio, por ter o maior valor de capital adquirido na transação. Portanto, a primeira alternativa. Fonte: Professor da Educação Básica do Curso de Extensão - 09/09/

135 A TAP 3 objetivou o processo de leitura, de seleção, de resolução e de escrita sobre uma das questões propostas no capítulo. Entendemos que a escrita em Matemática é um instrumento de avaliação, não só do conhecimento dos estudantes, mas da própria prática docente (POWELL; BAIRRAL, 2006). Nesse caso, a escrita concretizou uma ação docente mobilizada em um processo de formação continuada de professores de Matemática. 1.4 TAP 4 - Análise de questões e resoluções de estudantes Na sequência, apresentaremos a TAP 4, a qual foi elaborada previamente com o foco no Conhecimento Matemático para o Ensino MKT (Mathematical Knowledge for Teaching), de Ball, Thames e Phelps (2008). Primeiramente, sinalizando o conhecimento do conteúdo, em particular, na definição de função. Em um segundo momento, no conhecimento pedagógico do conteúdo, em que os professores necessitavam mobilizar como explicariam a definição de função aos seus estudantes. Figura 5 TAP 4 TAREFA DE APRENDIZAGEM PROFISSIONAL Descreva, com suas próprias palavras, o conceito matemático de função. [Questão adaptada de Bisognin, Bisognin e Cury (2010)] Estudantes elaboraram definições para o conceito de função, listadas a seguir: Resposta 1: Uma função é uma relação entre uma variável independente e uma variável dependente. Se x é a variável independente e y a variável dependente, chama-se função a relação que a cada x corresponde um único y, ou seja, se Resposta 2: É uma relação de dependência dos elementos y pelos elementos de x, onde cada elemento x possui um e somente um correspondente y. Resposta 3: Função é quando para cada valor atribuído a x temos um valor correspondente a y, assim uma variável depende de outra. Resposta 4: Vem ser uma relação entre valores reais, em que um determinado valor está intimamente relacionado a outro valor, estabelecendo uma dependência. 135

136 Resposta 5: É uma relação entre valores reais, em que um certo valor está relacionado a um outro. Resposta 6: Função é algo onde cada uma das minhas variáveis depende do valor da outra. É algo que possui domínio, imagem, contradomínio. Pode ser aplicada a várias situações do nosso dia-a-dia. Tarefa para discutir em grupo: 1) Distribua as respostas dos estudantes em três categorias: a) Aquela(s) em que o respondente mostra saber que a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y. b) Aquela(s) em que o respondente expressa a mesma característica, mas de forma incompleta, não citando a unicidade. c) Aquela(s) em que o respondente expressa sua definição de forma equivocada, sem mencionar os aspectos que definem, matematicamente, uma função. Você, como professor da Educação Básica, como justificaria matematicamente as definições do conceito de função que você considerou equivocadas. Quais outras definições você apresentaria para o conceito de função? Fonte: Curso de Extensão Apresentamos, na sequência, um dos protocolos, que expressa as resoluções dos professores. 136

137 Protocolo 2 - Grupo de professores Fonte: Encontro do Curso de Extensão - 23/09/2016 Bisognin, Bisognin e Cury (2010) informam que a Resposta 4: Vem ser uma relação entre valores reais, em que um determinado valor está intimamente relacionado a outro valor, estabelecendo uma dependência sobre a definição de função é equivocada, enquanto o grupo de professores também percebeu que não cita a unicidade, ou seja, o fato de que cada x corresponde a um único y. Isto, em termos do conhecimento específico do conteúdo. Já em relação ao segundo aspecto da questão 2 da TAP, não houve um 137

138 encaminhamento ou a mobilização de um conhecimento para a definição de função por parte dos professores. No próximo tópico, contemplaremos o fechamento, englobando uma discussão sobre as TAPs e sobre as tendências teórico-metodológicas em Educação Matemática. 3. TAP sobre o conceito de função: um fechamento a partir de perspectivas teórico-metodológicas em Educação Matemática O objetivo central do capítulo foi apresentar as TAP relativas ao conceito de função. Para tanto, consideramos protocolos e resoluções de professores que ensinam Matemática na Educação Básica, participantes de um processo de formação continuada de professores - Curso de Extensão. Em particular, a TAP 1 pode ser um dos materiais didáticos para evidenciar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre o conceito de função e também de equação e, consequentemente, possíveis dificuldades podem ser antecipadas; a TAP 2 pode caracterizar o exemplo de trabalho coletivo de professores das Ciências da Natureza e da Matemática na dinâmica interdisciplinar, trabalhando na formulação de problemas que possam usar o conceito de função no processo de resolução de problemas; a TAP 3 pode permitir aos professores o conhecimento das macroavaliações (Exame Nacional do Ensino Médio, Prova Brasil, Provinha Brasil, SARESP) e dos documentos que constituem o currículo escolar, ao mesmo tempo em que permite a avaliação de questões pertinentes para o trabalho com os seus estudantes. Além disso, salientamos que essa TAP é um material didático para a prática da escrita em Matemática. A TAP 4, que trata especificamente da definição de função, passando pela análise de respostas de estudantes sobre a referida definição, é também uma proposição de diferentes formas de definir o conceito de função. Essa última TAP permite eluci- 138

139 dar conhecimentos matemáticos para o ensino. Na sequência, apresentaremos a Figura 6 por meio de um esquema-síntese das TAP trabalhadas em consonância com tendências teórico- -metodológicas em Educação Matemática. Figura 6 - Esquema das TAPs trabalhadas Fonte: Elaborado pelos autores Com base nesse esquema, reafirmamos a potencialidade das TAP dentro de um processo de formação de professores que ensinam Matemática. Ponte (2014) afirma que as TAP podem ou não incorrer em uma atividade de ensino. Ou seja, em alguns momentos, a TAP não desencadeia processos de aprendizagem. Por outro lado, as TAP podem ser produzidas com o uso de diferentes tendências teórico-metodológicas e proporcionar reflexões em torno de um mesmo conceito matemático. As TAP possibilitaram um ambiente de discussão, reflexão e interação entre os professores, além de permitirem trabalhar a comunicação, o raciocínio e o registro, na perspectiva do conhecimento matemático para o ensino. Destacamos que as abordagens teórico-metodológicas (Figura 6) podem contribuir com os conhecimentos dos professores - conhecimentos relevantes e/ou necessários para ensinar Matemática na Educação Básica. 139

140 Entendemos que as TAP mostraram-se como possibilidades de aprendizagem profissional em relação ao conceito de função; por isso, passaremos a discutir cada um dos aspectos do esquema anterior. Em particular, destacamos os conhecimentos prévios, os quais podem permitir a compreensão conceitual, principalmente quando se considera o contexto sociocultural dos estudantes. Um exemplo disso é a pesquisa produzida por Maciel e Cardoso (2014), que aborda a importância dos conhecimentos prévios na produção de vídeos sobre a história do conceito de função. A utilização de TAP, na perspectiva da exploração da investigação matemática e da resolução de problemas, como proposto por Meneghetti e Redling (2012), visa estabelecer um intercâmbio entre o pensamento e a linguagem algébrica sobre o conceito de função. Dessa forma, a construção do conceito de função pode ocorrer de maneira menos sistemática, expressando uma natureza mais investigativo-exploratória (PONTE, 2005). Nesse sentido, ao trabalharmos em processos de formação com TAP, segundo Ponte (2014), a natureza da aula será distinta justamente porque o currículo escolar não é pensado somente tendo como centralidade os roteiros de exercícios, mas a partir da exploração e da investigação, como norteadoras da aprendizagem matemática. Logo, entende-se que o processo de avaliação necessita ser contínuo, perpassando a própria resolução e discussão da TAP em si e as possibilidades de aprendizagem matemática envolvidas no conceito de função. A proposta de trabalho com TAP também pode ter como escopo a utilização dos princípios da interdisciplinaridade e da contextualização para o ensino da Matemática, buscando romper com o isolamento e com a fragmentação dos conteúdos. Segundo Tomaz e David (2008), no momento em que as práticas escolares são desenvolvidas, a interdisciplinaridade configura-se pela participação dos estudantes e dos professores, partindo dos vínculos entre as disciplinas e das interações dos 140

141 sujeitos no ambiente, ressaltando os elementos de uma prática comunicativa. Em suma, destacamos que o encaminhamento das potencialidades de uso das tendências teórico-metodológicas em consonância com os princípios das TAP gerou reflexões sobre o conhecimento matemático para o ensino do conceito de função. Avalia-se que o processo de formação continuada com base nas TAP permitiu aos professores estabelecer relações com o conceito de função, produzir materiais sobre o conceito de função, além de debater as práticas docentes de outros professores. Por fim, salienta-se que as TAP se configuram como materiais alternativos que podem ser usados por outros professores, mas indubitavelmente necessitam estar associadas ao contexto escolar dos estudantes. Referências ALRØ, H. & SKOVSMOSE, O. Diálogo e aprendizagem em Educação Matemática. (2ª ed.) Belo Horizonte: Autêntica, BALL, D. L. & COHEN, D. K. Developing practice developing practioners: toward a practice-based theory of professional education. In: YKES, G. & DARLING-HAMMOND, L. (Orgs.). Teaching as the learning profession: handbook of policy and practice. San Francisco: Jossey Bass, 1999, p BALL, D.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content knowledge for teaching: what makes it special? Journal of Teacher Education, Thousand Oaks, v. 59, n. 5, p , BARREIRO, A. C. M.; GUERRINI, I. M.; MASCARENHAS, Y. P. As interfaces possíveis em um estudo sobre interdisciplinaridade na formação inicial e contínua de professores. Jaboticatubas, MG: IX Encontro de Pesquisa em Ensino de Física, Anais... Jaboticatubas, MG, 2004, p BISOGNIN, E.; BISOGNIN, V.; CURY, H. N. Conhecimentos de professores da educação básica sobre o conceito de função. Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador. Anais... Brasília: SBEM, p

142 CARRAHER, D. W.; SCHLIEMANN, A. D.; BRIZUELA, B. M.; EAR- NEST, D. Arithmetic and Algebra in early Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education, Reston, v. 37, n. 2, , MACIEL, P. R. C. & CARDOSO, T. F. L. A história do conceito de função em vídeo: uma proposta para a aprendizagem. Bolema, Rio Claro (SP), v. 28, n. 50, p , dez MENEGHETTI, R. C. G. & REDLING, J.P. Tarefas alternativas para o ensino e a aprendizagem de funções: análise de uma intervenção no Ensino Médio. Bolema, Rio Claro (SP), v. 26, n. 42A, p , abr PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In: GTI (Org.). O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, Tarefas no ensino e na aprendizagem da Matemática. In: PON- TE, J. P. (Org.). Práticas profissionais dos professores de Matemática. Lisboa: IE/UL, 2014, p POWELL, A. B. & BAIRRAL, M. A. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas, SP: Papirus, RIBEIRO, A. J. & CURY, H. N. Álgebra para a formação do professor explorando conceitos de equação e de função. Belo Horizonte: Autêntica, TOMAZ, V. S. & DAVID, M. M. M. S. Interdisciplinaridade e aprendizagem da Matemática em sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, WAGNER, S. Conservation of equation and function under transformations of variable. Journal for Research in Mathematics Education, Reston, v. 12, n. 2, ,

143 Capítulo 6 Ensino de polinômios na Educação Básica: relato de uma experiência de formação continuada de professores Etienne Lautenschlager Alessandro Jacques Ribeiro Apresentação Para quê ensinamos polinômios nas escolas? Os conhecimentos dos estudantes e dos professores sobre os polinômios também incluem uma dimensão conceitual, ou se limitam ao procedimental? Os polinômios são discutidos adequadamente na formação dos professores, de maneira que tais conhecimentos sejam úteis para quando o professor for ensinar na Educação Básica? Estas e outras questões têm sido combustível para nossas inquietações e nossas pesquisas. Com isso em mente, propomos nesse capítulo trazer, para discussão e reflexão, resultados de uma pesquisa que tematiza os problemas acima anunciados e busca apresentar alguns caminhos para repensar o ensino e a aprendizagem do conceito de polinômio, da Educação Básica à Formação de Professores. Assim, nesta seção propomo-nos a construir um panorama sobre os processos de ensino e de aprendizagem de Álgebra, mais especificamente sobre o ensino dos polinômios, indicando 143

144 as principais dificuldades encontradas por professores de Matemática, conforme presentes na literatura e durante a realização de atividades propostas no decorrer de um processo de formação continuada 21. Primeiramente, consideramos necessário retomar, na literatura disponível, pesquisas que proporcionam reflexões sobre o assunto e que discutem os processos de ensino e de aprendizagem de Álgebra. A Álgebra tem sido reconhecida como um marco fundamental na aprendizagem matemática dos estudantes; assim, pesquisadores em Educação Matemática e educadores de maneira geral têm investido crescentes esforços para caracterizar o conhecimento matemático dos professores em contextos de ensino e de aprendizagem, bem como auxiliar os estudantes na compreensão dos conceitos algébricos (ARTIGUE et al., 2001; DOERR, 2004; RIBEIRO, 2012). Em Kaput (1999, p. 2), a Álgebra é descrita como a porta de entrada para a Matemática superior, e não compreender Álgebra implicaria comprometer o entendimento das suas aplicações que são necessárias e amplamente utilizadas em outras áreas da Matemática (GOOS; STILLMAN; VALE, 2007). Ensinar Álgebra da forma que o estudante possa compreender os conceitos e seus procedimentos tem sido, para a maioria dos professores de Matemática, um enorme desafio. Investigações envolvendo especificamente professores e o ensino de Álgebra apontam uma falta de articulação entre os conhecimentos algébricos e a prática do professor que ensina Álgebra, como também retratam o impacto desses conhecimentos (ou a falta deles) na aprendizagem em sala de aula (ATTORPS, 2003; ARAÚJO, 2008; LAUTENSCHLAGER; RIBEIRO, 2014; 21 Ao longo do capítulo contextualizaremos adequadamente o processo de formação continuada oferecido por nosso grupo a professores que ensinam Matemática na Educação Básica. 144

145 BARBOSA; RIBEIRO, 2013; PONTE; BRANCO, 2013; RIBEIRO, 2012; RIBEIRO; CURY, 2015; RIBEIRO; OLIVEIRA, 2015) Tais pesquisas sinalizam que os processos de ensino e de aprendizagem da Álgebra não podem ser reduzidos ao procedimento de reprodução dos passos ou das técnicas, privilegiando a mera memorização e aplicação de técnicas e procedimentos, os quais, na maior parte das vezes, são desprovidos da compreensão conceitual sobre os processos envolvidos na resolução de atividades e exercícios (AGUIAR, 2014; LAUTENSCHLAGER; RIBEIRO, 2014; RIBEIRO; CURY, 2015). Vale ressaltar que, mesmo tendo um estudo centrado em regras e procedimentos durante boa parte da sua escolarização, os estudantes ainda não conseguem compreender, por exemplo, o que significa fatorar polinômios ou resolver equações polinomiais do 1º grau 22. Embora possamos observar que os estudantes operam razoavelmente bem com a Aritmética, eles não conseguem relacionar essas operações e propriedades com as operações algébricas e, como consequência, acabam resolvendo as operações algébricas a partir de regras sem significado para eles (AGUIAR, 2014). Ao evidenciarmos o ensino de conteúdos matemáticos pautado numa abordagem metodológica que emprega a mera memorização de procedimentos operatórios, isso nos leva a refletir sobre o quanto o papel do professor é importante para que a construção do conhecimento conceitual seja realmente favorecida. Um aspecto comum que parece existir entre todos os trabalhos pautados na formação do professor que ensina Matemática é a convergência para o ideário de que os conhecimentos neces- 22 Um panorama institucional sobre tal situação pode ser obtido consultando-se os resultados de macroavaliações organizadas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), no sitio gov.br. Além disso, discussões mais aprofundadas sobre a temática podem ser encontradas no Capítulo 2 deste mesmo livro, assim como em Souza, Silva, Gomes e Bezerra (2017). 145

146 sários para o ensino incluem muito mais do que o conhecimento e compreensão dos conceitos matemáticos (BALL; THAMES; PHELPS, 2008; CHAZAN; YERUSHALMY, 2003; DAVIS, SIMMT, 2006; FIORENTINI, OLIVEIRA, 2013). Baseados em Albuquerque e Gontijo (2013), entendemos que seja mesmo urgente proporcionar uma formação que ofereça condições de apropriação de elementos que constituirão o saber docente para que, além de dominar o conhecimento matemático por meio da construção desse conhecimento específico, o professor consiga transformá-lo em conhecimento matemático escolar. Diante disso e considerando a importância de favorecer momentos para que o professor de Matemática tenha oportunidades de refletir sobre e ampliar sua visão sobre a Álgebra e as suas finalidades, identificando-a como uma das áreas de pesquisa mais importantes em Matemática, mas funcionando também como um fio unificador entre vários outros estudos matemáticos, submetemos o tema polinômios para a discussão num curso de extensão realizado na Universidade Federal do ABC (UFABC), em Santo André, no estado de São Paulo. Almejando discutir mais especificamente o ensino dos polinômios, trazemos uma contextualização sobre as pesquisas que abordam o tema e, em seguida, apresentaremos uma das atividades que foram propostas aos professores que participaram do referido curso de extensão. Sobre os polinômios na Educação Básica: reflexões sobre os processos de ensino e de aprendizagem No Brasil, o início do ensino de polinômios acontece nos Anos Finais do Ensino Fundamental (estudantes com idades entre 12 e 14 anos), quando também se inicia a sistematização do pensamento algébrico e são ministrados conteúdos matemáticos, tais como: expressões algébricas, equação polinomial do 1. grau, sistemas de equações, inequação do 1º grau, poli- 146

147 nômios, produtos notáveis, fatoração de polinômios, função, entre outros. A pesquisa realizada por Ibrahim (2015) vem ratificar a nossa preocupação com o ensino de polinômios, uma vez que a autora aponta os polinômios como um dos mais importantes conceitos trabalhados no campo da Álgebra nos Anos Finais do Ensino Fundamental nas escolas brasileiras. A pesquisadora, ao analisar um plano de aula de uma professora de Matemática que atuava no 9 o ano em uma escola pública do estado de Minas Gerais, percebeu a presença de um ensino de Álgebra voltado principalmente para a resolução das atividades sugeridas pelo livro didático, além de algumas propostas elaboradas pela própria professora, com ênfase na operação técnica dos polinômios. Observamos ainda que, nos últimos 20 anos, parece ter havido, no currículo da escola da Educação Básica em outros países, uma nítida redução na ênfase aos tópicos relacionados ao ensino de polinômios (EISENBERG; DREYFUS, 1994). Isso nos remete a um fato preocupante se considerarmos que as macroavaliações 23 apontam, na maior parte das vezes, que a maioria dos estudantes apresenta grande dificuldade em entender não apenas os conceitos, as definições, os teoremas, as aplicações envolvendo polinômios, mas também o processo de fatoração e sua relação com as raízes de polinômios. Ainda em relação à pesquisa de Ibrahim (2015), observamos que o livro didático é uma ferramenta decisiva para as ações docentes e, muitas vezes, é a única diretriz para o professor em suas salas de aula. Koerich (2000), após realizar uma análise dos livros didáticos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, em relação ao 23 SARESP: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, que tem por objetivo produzir um diagnóstico da situação da escolaridade básica paulista, visando orientar os gestores do ensino no monitoramento das políticas voltadas para a melhoria da qualidade educacional. Disponível em: < Acesso em: 19/dez./

148 estudo de Álgebra e, mais especificamente, linguagem algébrica e polinômios, concluiu que na maioria dos livros didáticos por ela analisados quase não há tarefas sobre a parte mais conceitual de polinômios e os exercícios tratam, em sua maioria, de expressões algébricas. Tarefas envolvendo área e volume de figuras são muito utilizados, objetivando a construção dos polinômios. Esse é, pois, o cenário que se descortina sobre o ensino da Álgebra e nos evidencia a necessidade de elucidar quais são e como são os conhecimentos dos professores sobre o conceito de polinômio de modo que estes possam ensinar na Educação Básica e dessa forma promover a aprendizagem de seus estudantes. O ensino de polinômios, tema deste capítulo, assim como o de outros conceitos matemáticos por suposto, exige professores capazes de: selecionar os conteúdos de acordo com os diferentes níveis escolares; fazer analogias, ilustrações; dar exemplos e explicações; saber resolver exercícios e problemas; saber utilizar notações e termos corretamente; compreender e identificar aspectos do tratamento da definição de polinômios presentes nos livros didáticos, quais sejam, polinômio como uma sequência 24 de elementos de anel 25 e polinômios como uma função polinomial (JACOMELLI, 2003). 24 Chamamos de sequência toda função definida no conjunto N*. Uma função f : N A também é chamada sequência de elementos de A, sendo A um anel. Se a i indica a imagem do elemento genérico i N, através da aplicação (sequência) f, tal sequência é indicada por f = (a 0, a 1, a 2,..., a n,...). Os elementos a 0, a 1, a 2,...,,... são chamados termos da sequência (DOMINGUES; IEZZI, 1982, p. 145). 25 Anel: um conjunto não vazio A munido de duas operações binárias + e, chamadas de adição e multiplicação; é um anel quando as seguintes condições são verdadeiras: elemento neutro (a + 0 = 0 + a = a); elemento oposto (a + b = b + a = 0); associatividade [(a + b) + c = a + (b + c)]; comutatividade (a + b = b + a); distributividade de adição em relação à multiplicação [(a+b) c = (a c) + (b c)]; distributividade da multiplicação em relação à adição [a (b + c) = (a b) + (a c)]; comutatividade: (a b = b a) e elemento identidade ( 1 a = a 1 = a); associatividade [(a b) c = a (b c)]. 148

149 Tudo isso nos faz refletir sobre a importância de os professores não trabalharem exaustivamente a memorização de procedimentos ou de fórmulas, mas sim darem ênfase ao desenvolvimento de conceitos matemáticos construídos com suporte na contextualização, na compreensão e no significado, ampliando o modo como ele é geralmente trabalhado nas escolas. Assim sendo, chamamos a atenção para a necessidade de determinar os conhecimentos que o professor deve elaborar/ mobilizar durante sua formação inicial ou continuada para que possa ter êxito em seu ofício docente. Muitos modelos vêm sendo desenvolvidos apoiados na premissa de que existe um conjunto de conhecimentos base para o ensino (SHULMAN, 1986). Para discutir os conhecimentos necessários ao professor de Matemática, optamos por utilizar o modelo do Conhecimento Especializado do Professor de Matemática (MTSK, sigla em inglês Mathematics Teachers Specialized Knowledge), que será detalhado mais adiante. Evidenciamos que no Brasil esse modelo ainda é pouco abordado, abrindo possibilidades para a realização de investigações futuras nessa direção. Na Tabela 1 buscamos estabelecer relações entre o modelo do MTSK (CARRILO et al., 2013) e o ensino dos polinômios - relações que deram suporte à elaboração e à organização das atividades que foram desenvolvidas no decorrer de nosso curso do extensão. 149

150 Conhecimento Matemático MK Tabela 1: O modelo teórico MKST, seus subdomínios 26 e as relações com os polinômios Subdomínio Definição Exemplo Conhecimento Saber definir polinômios e sobre os conteúdos dar exemplos e contraexemmáticos mateplos; Compreender e saber a serem justificar as propriedades dos KoT ensinados. polinômios; Explicar a neces- sidade para a utilização dos polinômios; Saber efetuar as operações de soma e produto de polinômios; Reconhecer o grau de um polinômio. KSM KAM Fonte: Lautenschlager (2017, p. 137) Conhecimento que engloba as conexões entre tópicos avançados elementares, prévios futuros. Conhecimento sobre os aspectos da comunicação Matemática, raciocínio e prova, elementos que estruturam uma demonstração. Mostrar as semelhanças estruturais entre inteiros e polinômios ou traçar um paralelo entre os inteiros e anéis de polinômios. Ter conhecimento sobre como proceder para fazer uma demonstração (por exemplo: demonstrar que todo o polinômio de coeficientes reais de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real), incluindo elementos que a estruturam e são necessários em seu esquema argumentativo. 26 Optamos por utilizar as siglas do modelo teórico MKST e seus subdomínios, em inglês, seguindo a tendência da literatura internacional. No entanto, vale apresentar, por extenso, a nomenclatura de cada um dos subdomínios, a saber: MK: Mathematical Knowledge; KoT: Knowldge of Topics; KSM: Knowledge of Structure of Mathematics; KAM: Knowledge About Mathematics. 150

151 A formação continuada: nosso contexto de estudos e da pesquisa O processo de formação continuada que oferecemos aos professores, denominado aqui curso de extensão, tinha como título O ensino da Álgebra para a Educação Básica, e priorizou a realização de estudo, análise e discussão de diferentes tarefas envolvendo a Álgebra e seu ensino, sobretudo no que se refere às estruturas algébricas e suas possíveis conexões com a Álgebra Escolar. Este processo de formação continuada reuniu, preferencialmente, professores de Matemática da rede pública do estado São Paulo, além de estudantes da pós-graduação (bolsistas do projeto Observatório da Educação/OBEDUC, financiado pela Capes 27 ) e professores universitários. Para participar do curso de extensão o professor deveria: a) ser licenciado em Matemática por uma instituição de Ensino Superior; b) estar em exercício na Educação Básica como professor regular (não substituto); c) possuir tempo mínimo de atuação como professor, igual ou superior a 2 anos. O curso teve 69 inscritos para 40 vagas. Porém, somente os primeiros 40 inscritos que atenderam aos critérios de inclusão foram selecionados. Destes 40 selecionados, somente 10 permaneceram até a fase final do primeiro módulo do curso. Dos 10 participantes, 8 eram do sexo masculino. A idade média registrada foi de 37 anos. Todos obtiveram a licenciatura em instituições de Ensino Superior privadas, localizadas no estado de São Paulo. Quatro participantes declararam possuir um curso de especialização e 3 possuíam título de mestre em Matemática ou ensino de Matemática. O curso foi oferecido nas dependências da Universidade Federal do ABC (UFABC), no estado de São Paulo, nos meses 27 Projeto de pesquisa Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais, desenvolvido no âmbito do Programa Observatório da Educação (OBEDUC), com apoio da Capes (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), protocolo 1600/

152 de março a dezembro de 2016 e foi conduzido por professores universitários integrantes do programa Observatório da Educação (OBEDUC). Teve como carga horária 180 horas, distribuídas em dois módulos de 90 horas cada. No total, foram realizados 31 encontros presenciais e nove sessões a distância, sendo cada uma com duração de 4 horas e 30 minutos, nos quais foram discutidos os temas: (1) grupos colaborativos; (2) conjuntos dos números naturais, conjunto dos números inteiros, definição da estrutura algébrica de anéis e anéis de polinômios, conjunto dos números racionais e a noção de corpo dos racionais; (3) estudo de equações e de funções e corpo dos reais. Dos 40 encontros promovidos pelo curso, nove foram destinados ao estudo da estrutura algébrica anel. Desses 9 encontros, 3 foram destinados à discussão sobre o ensino de polinômios. As Tarefas de Aprendizagem Profissional 28, doravante TAP, desenvolvidas no curso quando da tematização sobre o ensino dos polinômios, tinham por objetivo analisar a estrutura da base de conhecimentos mobilizados pelos professores de Matemática durante a formação sobre o ensino de polinômios para a Educação Básica, utilizando-se da perspectiva teórica MTSK, elaborada por Carrillo e seus colaboradores (2013). A Tabela 2 apresenta o planejamento dos encontros referentes aos processos de ensino e de aprendizagem dos polinômios. 28 Estamos utilizando o termo tarefas, no sentido de Ponte (2005), para as situações matemáticas elaboradas pelos professores-participantes e que foram desenvolvidas junto aos alunos da Educação Básica. Por outro lado, utilizamos tarefas de aprendizagem profissional, no sentido de Ball e Cohen (1999), para as tarefas propostas pelos formadores e que foram desenvolvidas com os professores-participantes durante o processo formativo. 152

153 Tabela 2: Tarefas de Aprendizagem Profissional realizadas com os professores Encontro 1 Encontro 2 Encontro 3 Objetivo do encontro Elaborar uma sequência didática 28 com o objetivo de ensinar polinômios para um grupo de estudantes da Educação Básica. Discutir o conhecimento matemático para o ensino de polinômios (utilizando-se do modelo do MTSK) Reelaboração da sequência didática com o objetivo de ensinar polinômios para um grupo de estudantes da Educação Básica. O que esperamos... Observar a concepção do professor sobre o que é ensinar e aprender polinômios, o seu conhecimento matemático a respeito do tema proposto. Esta atividade também evidencia quais conteúdos os professores julgam ser relevantes e os modelos presentes nos livros que utiliza, o seu conhecimento daquilo que os estudantes sabem. Ampliar o repertório (ou repertoriar) o professor para o aprimoramento dos seus conhecimentos e formas de ensinar polinômios. Observar se os estudos promovidos possibilitaram alterações na concepção do professor sobre o que é ensinar e aprender polinômios. A proposta de trabalho que se assumiu ao longo dos encontros, em especial no encontro que gerou a atividade que relataremos nesse capítulo, deu-se da seguinte maneira: foi solicitado aos professores que, com base no roteiro indicado na Tabela 3, elaborassem uma sequência didática com o objetivo de ensinar polinômios para um grupo de estudantes da Educação Básica. A partir daí, fizemos uma discussão sobre os polinômios (do ponto de vista da Álgebra acadêmica e escolar). Após todas essas discussões e estudos foi solicitado aos professores que reelaborassem a sequência didática. Tal TAP teve por objetivo verificar se as sequ- 29 Utilizamos o termo sequência didática como sinônimo de sequência de aulas, plano de aula, planos de ensino, uma vez que, de fato, estamos interessados nas produções que os professores organizaram como sendo propostas de atividades matemáticas para serem desenvolvidas em salas de aula da Educação Básica. 153

154 ências didáticas elaboradas pelos professores sofreriam alterações após sua participação no processo de formação continuada. Vale destacar que, em ambos os momentos, os professores poderiam consultar todos os materiais que julgassem necessários para a elaboração da sequência didática, desde que indicassem, ao final, a bibliografia consultada. O roteiro, pensado com a finalidade de orientá-los sobre os elementos que poderiam constar em suas sequências didáticas, é apresentado a seguir. Tabela 3 Roteiro para elaboração da sequência didática 1. Seu objetivo é ensinar sobre polinômios para um grupo de alunos. 2. Qual o público alvo? Para qual ano da Educação Básica essa aula será ministrada? 3. Qual o número de aulas necessárias? 4. Quais são os conhecimentos prévios dos alunos para que eles possam compreender e participar nessa aula? 5. Quais estratégias que serão empregadas? 6. Quais recursos que serão utilizados? 7. Quais questionamentos serão feitos? (ou pretende fazer?) 8. Dê exemplos de atividades que serão propostas para a turma. 9. Da atividade proposta, qual(is) seria(m) a(s) possível(is) solução(ões) que os alunos fariam? Qual seria a solução que você faria? Existem outras soluções? Se sim, apresente-as. Se não, por quê? 10. Há alguma explicação que você considere indispensável ser dada? Qual? 11. Quais as dificuldades que os alunos poderiam apresentar, em relação ao conceito matemático abordado em sua aula? E na resolução da situação matemática? 12. O conceito matemático abordado no plano de aula será/deverá ser retomado, posteriormente, em outro ano da Educação Básica? Tal conceito será/ poderá ser utilizado como conhecimento prévio para a aprendizagem de outro conceito matemático? Fonte: Lautenschlager (2017, p.75) 154

155 Discussão dos dados: desvelando os conhecimentos dos professores sobre o conceito de polinômio Uma vez que desenvolvemos nossas análises a partir dos dados produzidos no decorrer do curso, organizamos nosso processo de análise da seguinte forma: (i) primeiramente apresentamos e discutimos as sequências didáticas elaboradas pelos professores no início do processo; (ii) em seguida, analisamos as sequências (re)elaboradas no segundo momento; (iii) por fim, buscamos apresentar algumas comparações entre as sequências produzidas, com a finalidade de identificar se elas sofreram alterações após o processo de formação continuada e, em caso afirmativo, como isso se deu. Vale destacar que nossas análises não tinham como propósito julgar se as propostas dos professores estavam bem ou mal elaboradas. Nosso objetivo foi trazer à luz, a partir da análise das sequências didáticas, elementos dos conhecimentos mobilizados pelos professores, que consideramos fundamentais no/para o ensino dos polinômios na/para a Educação Básica. Iniciamos com a análise da primeira sequência didática desenvolvida pelos professores, apresentando os registros de maior ocorrência, elaborados por eles, buscando relacioná-las com os domínios do MTSK (CARRILLO et al., 2013). Assim, temos a seguinte configuração: 155

156 Tabela 4. Modelo do MTSK, seus subdomínios 30 e as questões 31 Subdomínio Conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK 31 ) KMT KFLM KMLS Envolve... Conhecimento de como o ensino pode ou deve ser realizado. Estratégias diversas de ensino que auxiliem o estudante no desenvolvimento de suas capacidades procedimentais e conceituais em Matemática. Realizar a seleção de exemplos ou escolher um livro. O conhecimento de como os estudantes aprendem os conteúdos matemáticos, as características desse processo de compreensão, erros comuns, dificuldades, obstáculos e a linguagem normalmente usada pelos estudantes ao lidar com cada conceito. A identificação das características da aprendizagem matemática. Conhecimento das especificações curriculares envolvendo o que está previsto em cada etapa da educação escolar em termos de conteúdos e competências (conceituais, procedimentais, atitudinais e de raciocínio Matemática nos diversos momentos educativos), normas mínimas e as formas de avaliação que possibilitam a progressão de um ano para outro. Questões 4, 5, 6, 7 e 9 8 e Ratificamos nossa opção por utilizar as siglas do modelo teórico MKST e seus subdomínios, como explicado anteriormente, e apresentamos agora a nomenclatura dos subdomínios: KMT: Knowledge of Mathematics Teaching; KFLM: Knowledge of Features of Learning of Mathematics; KMLS: Knowledge of Mathematics Learning Standards. 31 Consideramos que as questões 3 e 11 estão relacionadas ao conhecimento que engloba as conexões entre tópicos avançados elementares, prévios futuros, pertencente ao subdomínio KSM, e por essa razão não farão parte desta análise. 32 PCK, sigla em inglês para Pedagogical Content Knowldge, refere-se ao amálgama entre conhecimento específico do conteúdo e conhecimento pedagógico do conteúdo, como proposto por Shulman (1986). 156

157 Na primeira questão do roteiro sugerido, observamos que todos os professores indicam o 8º ano como sendo o momento adequado na escolaridade básica para a introdução ao estudo dos polinômios. O conhecimento que sustenta as ações dos professores no sentido de indicarem o que está previsto em cada etapa da educação escolar em termos de conteúdos e competências insere-se no subdomínio KMLS e, em nossa interpretação, os professores foram capazes de mobilizar tal forma de conhecimento e adequarem o estudo dos polinômios ao momento escolar correspondente. Vimos que há uma alta incidência da aplicação do recurso didático que chamamos de cálculo da área do retângulo, assim como o uso de situações-problema relacionadas ao dia a dia, como estratégia para o ensino dos polinômios. Por outro lado, observamos que a maioria (9 em 10) dos professores por nós investigados segue um roteiro (que parece previamente consolidado) para o ensino dos polinômios, uma vez que 8 dentre os 10 professores optam por iniciar pela definição de monômios e de polinômios e, em seguida, passam a abordar as operações envolvendo polinômios. Evidência de tais resultados pode ser observada na Figura 1. Este cenário parece ratificar aquilo que Koerich (2000) aponta em sua pesquisa, no que se refere à forma como o conceito de polinômio é apresentado nos livros didáticos e como os professores organizam as suas propostas de aulas. Por seu lado, Ibrahim (2015) evidencia que geralmente, nos livros didáticos, a proposta para o estudo dos polinômios segue a seguinte ordem: expressões algébricas, monômios, polinômios, operação com polinômios, produtos notáveis e fatoração de polinômios. Ressaltamos ainda que, na bibliografia utilizada pelos professores, nos chamou atenção o fato de cinco deles terem consultado o livro Praticando Matemática, de Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos, da Editora do Brasil Este livro faz parte de uma coleção aprovada e recomendada pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD), o que pode ter sido uma justificativa para a alta incidência de sua referência. Além disso, conjecturamos, considerando a idade média dos professores, que eles mesmos possam ter usado o 157

158 Figura 1. Roteiro para o ensino dos polinômios elaborado por um professor Fonte: Dados da pesquisa Este cenário parece ir na mesma direção de outras pesquisas, como as de Kieran (1992), a qual evidencia que os estudantes sentem dificuldades com a Álgebra ensinada por seus professores; estes, por sua vez, ensinam a Álgebra que é apresentada nos livros didáticos. Assim, um dos fatores que parece estar contribuindo para/com as dificuldades de aprendizagem dos estudantes, bem como de ensino dos professores, pode ser atribuído à forma como os conteúdos da Álgebra estão dispostos na maioria dos livros didáticos. O conhecimento que permite aos professores escolherem um livro e optarem por uma série particular de (contra)exemplos, ao invés de usar outros recursos e materiais, para ajudar os estudantes a compreenderem o significado de algum tópico matemático, faz parte do subdomínio KMT. A partir de nossos dados e de nossas análises, notamos a falta de estratégias variadas, tais como o uso de atividades para modelar diferentes situações (por exemplo, no mercado de ações; para descrever a trajetória livro enquanto estudantes da Educação Básica. É fato que a edição utilizada pelos professores é atual, mas trata-se de um livro dos anos

159 de um projétil, entre outras), as quais poderiam possibilitar uma compreensão do conceito de polinômio, por parte dos estudantes, que rompesse com a simples manipulação de métodos e técnicas de resolução. Em assim sendo, os dados nos sugerem limitações do conhecimento dos professores no que tange a este subdomínio. De acordo com nossas análises, identificamos que os professores mencionam em suas sequências didáticas que os estudantes apresentam dificuldades em operar com polinômios; enxergar a expressão algébrica como uma possível resposta de um exercício; identificar o grau do polinômio. O conhecimento que permitiu a identificação das dificuldades apresentadas pelos estudantes faz parte do KFLM. Com relação às tarefas propostas pelos professores, notamos que a maioria deles, na organização de suas sequências, oportuniza situações para a aplicação de fórmulas e procedimentos (conforme Figura 2). Isso nos leva a conjecturar que, em suas aulas, os professores privilegiam o desenvolvimento de habilidades algorítmicas e a memorização de regras, deixando para um segundo plano a atenção ao desenvolvimento do conhecimento conceitual, se é que o fazem. Tal evidência reforça os resultados de pesquisas que indicam que os processos de ensino e de aprendizagem da Álgebra não podem ser reduzidos ao mero procedimento de reprodução dos passos ou das técnicas ensinadas por nós professores (ARAÚJO, 2008; AGUIAR, 2014; LAUTENSCHLAGER; RIBEIRO, 2015; RIBEIRO, 2016; LAU- TENSCHLAGER; RIBEIRO, 2017). Para além disso, as evidências retratadas na Figura 2 (assim como nos dados de nossa pesquisa de maneira geral) parecem sugerir que os professores possivelmente ensinem tal conteúdo da mesma maneira como aprenderam, isto é, sem atribuir sentido aos conceitos matemáticos, e de maneira mecanizada. Compartilhamos a visão de Wu (2002), que estabelece, a partir de seus resultados de pesquisa, que muitos professores normalmente não conseguem estabelecer relações que ultrapassem o abismo 159

160 existente entre o que lhes ensinaram na universidade e o que eles, futuramente, irão ensinar nas escolas, porque a sua formação inicial não elucida os aspectos essenciais que serão desenvolvidos em sala de aula. Figura 2 Exemplo de tarefa elaborada por um professor Fonte: Dados da pesquisa Indícios de que os professores desconhecem os conteúdos estudados ao longo dos anos de ensino e de que não conseguem estabelecer conexões entre os conteúdos da Álgebra abordada nas Séries Finais do Ensino Fundamental e os do Ensino Médio ou entre os conteúdos da Álgebra acadêmica 34 e da Álgebra escolar 35 são revelados quando apontam que os conceitos estudados na sequência didática poderão ser utilizados na continuidade dos conteúdos do Ensino Médio e, dependendo do curso, no Ensino Superior, mas não fazem menção à maneira como poderão ser utilizados de modo mais específico. O conhecimento que permite a identificação das possíveis conexões entre tópicos avançados elementares, prévios futuros faz parte do KSM. 34 Conhecimento produzido e percebido pelos matemáticos profissionais. 35 Relacionada ao processo de educação escolar básica da Matemática. 160

161 Figura 3: Exemplo de resposta obtida na questão 12 Fonte: Dados da pesquisa A fim de verificar se e como os estudos realizados durante o processo de formação continuada proporcionaram uma reflexão acerca do ensino dos polinômios ou a ampliação e/ou aprofundamento dos conhecimentos necessários para o ensino de polinômios na Educação Básica, solicitamos aos professores que olhassem novamente para a sequência didática que eles tinham produzido e, se julgassem adequado, realizassem modificações em suas produções. Dos dez professores participantes da pesquisa, quatro mantiveram a mesma sequência, justificando que não havia necessidade de nenhuma alteração. Isso nos chamou a atenção, uma vez que era esperado, ou ao menos desejado, que, após o processo de formação, os professores repensassem sua proposta de aula e, de certa forma, refletissem sobre sua própria prática de sala de aula e organizassem uma nova sequência de atividades para propor a seus estudantes. A Tabela 5 busca sintetizar o que identificamos em relação aos conhecimentos mobilizados pelos professores ao analisarmos as sequências produzidas por eles no 1o encontro (início do processo de formação) e logo após o processo de formação continuada que discutiu, dentre outros aspectos, questões ligadas ao conceito de polinômios. Vejamos, 161

162 Tabela 5. Quadro-síntese dos registros obtidos nas sequências didáticas Podemos observar na primeira sequência didática... Alta incidência da aplicação do recurso didático que chamamos de cálculo da área do retângulo e do uso de situações-problema relacionadas ao dia-a-dia como estratégias para o ensino dos polinômios. 8 dentre os 10 professores optam por iniciar pela definição de monômios e de polinômios e, em seguida, passam a abordar as operações envolvendo polinômios. Os professores ensinam a Álgebra que é apresentada nos livros didáticos. Ausência de estratégias variadas, tais como uso em atividades para modelar diferentes situações. A maioria dos professores oportuniza atividades para a aplicação de fórmulas e procedimentos. Fonte: Adaptado de Lautenschlager (2017, p. 116) Podemos observar na segunda sequência didática... Inclusão de tarefas envolvendo material manipulativo para o cálculo da área de figuras planas. Um professor modificou toda a estrutura de sua sequência didática, alterando, inclusive, o público-alvo de alunos do Ensino Fundamental para alunos do Ensino Médio. Observamos a ocorrência de uma proposta de atividade sobre a construção de diversos gráficos, variando-se os parâmetros, as raízes e o grau do polinômio, considerando a fatoração de polinômios e a utilização de um aplicativo informático para sua construção. Quatro professores mantiveram a mesma sequência, justificando que não havia necessidade de nenhuma alteração. Ainda existe a preocupação em iniciar pela definição de monômios e polinômios. Também não observamos emprego de estratégias variadas. Dos professores que refletiram acerca das sequências produzidas no início do curso e consideraram a importância de reorganizar a proposta de ensino que eles utilizariam em suas aulas sobre polinômios, destacaremos a seguir o caso de dois 162

163 professores (A) e (J). Vale ressaltar que o professor A terminou a licenciatura em 2002 e o professor J em 2001, e que ambos possuem mestrado na área de Ensino da Matemática. Acompanhemos as análises logo abaixo. Tanto o professor A como o professor J, na primeira sequência elaboraram, assim como os demais, tarefas destinadas ao 8º ano do Ensino Fundamental. Nela, observamos o emprego de atividades procedimentais envolvendo o cálculo de área e operações com polinômios. No entanto, já na segunda versão, os dois professores optaram por modificar toda a estrutura de suas sequências didáticas, alterando, inclusive, os estudantes para os quais a sequência seria destinada (de estudantes do Ensino Fundamental para estudantes do Ensino Médio). Notamos que o professor A busca incorporar tarefas mais dinâmicas nas quais o professor deverá dialogar com os estudantes ao propor uma roda de conversa sobre o conteúdo estudado. Percebemos ainda que o professor A menciona atividades de construção e exploração do conteúdo (Figura 4). Figura 4 - Registro elaborado pelo professor (A) na 2ª versão da sequência didática Fonte: Dados da pesquisa O professor J, por sua vez, propôs tarefas sobre a construção de diversos gráficos, variando os parâmetros, as raízes e o grau do polinômio, considerando a fatoração de polinômios e a utilização de um aplicativo informático para sua construção; isto sugere uma ampliação do conhecimento do ensino de Matemática após a participação no processo de formação continuada (Figura 5). 163

164 Figura 5: Exemplo de tarefa proposta pelo professor J Fonte: Dados de pesquisa A alteração realizada pelos outros 5 professores foi a inclusão de tarefas envolvendo material manipulativo para o cálculo da área de figuras planas, o que nos remete ao KMT. Evidenciamos aqui que os professores A e J, dentre os demais participantes, foram os únicos que demonstraram conhecer o conceito de polinômio. Consideramos que possuir o conhecimento matemático seja necessário para que o professor possa ter uma maior autonomia e autoconfiança no processo da reconstrução do saber. Observamos que isso não ocorreu com a maioria dos professores participantes dessa pesquisa e conjecturamos que isso se deve ao fato de os participantes desconhecerem procedimentos (e suas justificativas) para operar com polinômios, uma vez que cometeram muitos equívocos nas operações. Algumas conclusões e observações finais Iniciamos nossa caminhada procurando identificar e compreender as principais dificuldades encontradas por professores que ensinam Matemática - fizemos isto por meio de uma revisão da literatura - e quisemos também observar se tais resultados também se manifestavam ao longo dos encontros e das atividades que desenvolvemos em nosso processo de formação continuada: o nosso curso de extensão sobre a Álgebra e seu ensino. Trouxemos para discussão e reflexão no presente capítulo os resultados de uma das Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP) que desenvolvemos no curso de extensão, a saber, a 164

165 elaboração de uma sequência didática por parte dos professores participantes. A partir das produções dos mesmos e tomando o modelo MTSK como base teórica, identificamos e analisamos os subdomínios desse modelo que foram mobilizados pelos professores de Matemática durante a formação. Nesta parte de conclusões, entendemos ser relevante destacar que encontramos, de maneira mais explícita, três subdomínios do modelo MTSK e, embora tenhamos apresentado duas sequências didáticas elaboradas pelos professores, foi possível associar certos conhecimentos a determinados subdomínios: Conhecer dúvidas dos estudantes sobre o conteúdo que podem se tornar dificuldades de aprendizagem, como por exemplo as dificuldades em operar com polinômios, em enxergar a expressão algébrica como uma possível resposta de um exercício, em identificar o grau do polinômio evidenciam assim uma mobilização do subdomínio conhecimento das características da aprendizagem matemática KFLM ; Conhecer os diversos métodos ou tipos de abordagem para propiciar o estudo, como por exemplo, utilizar uma determinada representação (como a utilização do cálculo de área de figuras planas), ao propor o ensino de polinômios e suas operações, pertence ao subdomínio conhecimento do ensino de Matemática KMT. Conhecer o momento, no currículo escolar, em que o conceito de polinômio deve ser ensinado está relacionado ao conhecimento das normas da aprendizagem de Matemática KMLS. Estes indícios evidenciados em nossa pesquisa nos apontam a necessidade de serem investigadas continuamente a formação do professor da Educação Básica, o desenvolvimento profissional para a docência, a formação pedagógica do professor e a avaliação dos processos de formação. Além disso, nossos resultados podem ajudar na elaboração de um design para a formação de 165

166 professores, ou seja, pode fundamentar modelos de processos de formação no que se refere à necessidade de se trabalhar com equidade os diferentes tipos de conhecimentos, como aqueles que são contemplados no modelo do MTSK. Ainda merece destaque o fato de que as resoluções dos exercícios realizadas pelos professores indicam a falta de domínio de conhecimentos sobre os polinômios, mesmo depois de terminarem a Licenciatura em Matemática. Desse modo, conjecturamos que a formação inicial desse professor aconteceu de maneira superficial e mecanicista, não o envolvendo em situações que pudessem levá-los à construção do conhecimento conceitual. Fundamentados em nossas análises, julgamos relevante reforçar a importância e a urgência de se repensar o currículo da formação de professores de Matemática. Não podemos continuar com cursos de Licenciatura em Matemática que permanecem formando profissionais que não possuam um domínio conceitual, que não os tornem capazes de ajudar os seus estudantes a serem agentes de sua formação (BRITO, 2007). Referências AGUIAR, M. O percurso da didatização do pensamento algébrico no Ensino Fundamental: uma análise a partir da transposição didática e da teoria antropológica do didático. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade de São Paulo, ALBUQUERQUE, L. C. & GONTIJO, C. H. A complexidade da formação do professor de Matemática e suas implicações para a prática docente. Revista Espaço Pedagógico, v. 20, n. 1, ARAUJO, Elizabeth Adorno. Ensino de álgebra e formação de professores. Educação Matemática Pesquisa, v. 10, n. 2, ARTIGUE, M.; ASSUDE, T.; GRUGEON, B.; LENFANT, A. Teaching and learning algebra: approaching complexity through complementary perspectives. The future of the teaching and learning of Algebra. Proceedings of 12 th ICMI Study Conference, The University of Melbourne, Australia, p ,

167 ATTORPS, I. Teachers images of the equation concept. European Research in Mathematics Education, v. 3, Disponível em: < ermeweb.free.fr/cerme3/groups/tg1/tg1_list_html>. Acesso em: 31/12/2016. BALL, D. L. & COHEN, D. K. Developing practice developing practioners: toward a practice-based theory of professional education. In: SYKES, G. & DARLING-HAMMONG, L. (Eds.). Teaching as the learning profession: handbook of policy and practice. San Francisco: Jossey Bass, 1999, p BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content knowledge for teaching: What makes it special?. Journal of teacher education, 59(5), , BARBOSA, Y. O. & RIBEIRO, A. J. Multisignificados de equação: uma investigação acerca das concepções de professores de Matemática. Educação Matemática Pesquisa (Online), v. 15, p , BRITO, M. R. F. ENADE 2005: Perfil, desempenho e razão da opção dos estudantes pelas Licenciaturas. Campinas - Sorocaba, SP, v.12, n.3, p , CARRILLO, J.; CLIMENT, N.; CONTRERAS, L. C.; MUÑOZ-CATA- LÁN, M. C. Determining specialized knowledge for mathematics teaching. Proceedings of the CERME, v. 8, p , CHAZAN, D. & YERUSHALMY, M. On appreciating the cognitive complexity of school algebra: research on algebra learning and directions of curricular change. In: KILPATRICK, J.; MARTIN, W. G.; SHIFTER, D. (Eds.). A research companion to principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM, 2003, p DAVIS, B. & SIMMT, E. Mathematics-for-teaching: an ongoing investigation of the mathematics that teachers (need to) know. Educational Studies in Mathematics, vol. 61, n. 3, p , Springer, DOERR, H. M. Teachers knowledge and the teaching of algebra. The future of the teaching and learning Algebra. The 12 th ICMI Study (p ). Springer Netherlands, DOMINGUES, H. H. & IEZZI, G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual,

168 EISENBERG, T. & DREYFUS, T. Os polinômios no currículo da Escola Média. In: COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Alberto P. (Orgs.). As ideias de Álgebra. Traduzido por Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, FIORENTINI, D. & OLIVEIRA, A. T. O lugar das matemáticas na Licenciatura em Matemática: que matemáticas e que práticas formativas? Bolema, Rio Claro, SP, v. 27, n. 47, p , GOSS, M.; STILLMAN, G.; VALE, C. Teaching Secondary School mathematics. Crowns West: Allen & Unwin, IBRAHIM, S. A. A apropriação dos significados de polinômios: um estudo na perspectiva da teoria histórico-cultural. Dissertação (Mestrado) Universidade de Uberaba. Programa de Mestrado em Educação, JACOMELLI, K. Z. Polinômios de saber a ensinar a saber ensinado em 7ª série. TCC (Graduação) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Curso de Matemática, KAPUT, J. Teaching and learning a new algebra with understanding. In: FENNEMA, E. & ROMBERG, T. (Orgs.). Mathematics classrooms that promote understanding. Mahwah, NJ: Erlbaum, 1999, p KIERAN, C. The learning and teaching of algebra. Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan, 1992, P KOERICH, A. C. Um estudo sobre polinômios e sua abordagem no ensino. TCC (Graduação) Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Departamento de Matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, LAUTENSCHLAGER, E. Conhecimento matemático para o ensino de polinômios na Educação Básica. Tese (Doutorado em Neurociência e Cognição) Universidade Federal do ABC, Santo André, LAUTENSCHLAGER, E. & RIBEIRO, A. J. Reflexões acerca do impacto do conhecimento matemático dos professores no ensino: a Álgebra da Educação Básica, Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática, 7(3), Formação de professores e o ensino de polinômios. Educ. Mat. Pesq., São Paulo, v.19, n. 2, p ,

169 PONTE, J. P. Gestão curricular em Matemática. In: GTI (Ed.). O professor e o desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, PONTE, J. P. & BRANCO, N. Pensamento algébrico na formação inicial de professores. Educar em Revista, Curitiba, Brasil, n. 50, p , out./dez RIBEIRO, A. J. Equação e conhecimento matemático para o ensino: relações e potencialidades para a Educação Matemática. Bolema, Rio Claro (SP), 26(42B), , Álgebra e seu ensino: dando eco às múltiplas vozes da Educação Básica. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, 7(4), 1-14, RIBEIRO, A. J. & CURY, H. N. Álgebra para a formação do professor: explorando os conceitos de equação e de função. Educação Matemática em Revista, 83-84, RIBEIRO, A. J. & OLIVEIRA, F. A. P. V. S. Conhecimentos mobilizados por professores ao planejarem aulas sobre equações. Zetetiké, Campinas, v. 23, n. 44, p , SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching. CERAS: School of Education, Stanford University, SOUZA, D. S.; SILVA, T.H. I.; GOMES, V. M. S.; BEZERRA, F. J. B. Concepções de álgebra presentes nas macroavaliações: os casos da Prova Brasil e do ENEM de REnCiMa, v. 8, n. 1, p , WU, H. What is so difficult about the preparation of mathematics teachers. CBMS National Summit on the Mathematical Education of Teachers,

170

171 Capítulo 7 Matemática nos Anos Iniciais e o desenvolvimento do pensamento algébrico Miriam Criez Nobrega Ferreira Miguel Ribeiro Thais Helena Inglêz Silva Introdução Quem faz parte do contexto educacional dos primeiros anos do Ensino Fundamental sabe quão grande é a preocupação com a alfabetização das crianças desde o início da escolaridade. Saber ler e escrever é uma das ferramentas imprescindíveis que abre um universo de conhecimentos, saberes e experiências para o jovem aprendiz. Na ausência deste conhecimento, a socialização das crianças estará negativamente condicionada e seu sucesso escolar e profissional, certamente comprometido. Porém, no mesmo nível de importância do letramento, como ferramenta indispensável, encontra-se a numeracia, relacionada com as habilidades envolvendo, entre outros, os números e as operações matemáticas que compõem um conhecimento importante para que o aluno consiga fazer frente às exigências acadêmicas, profissionais e do dia a dia. Se, por um lado, a Matemática permite resolver problemas do cotidiano e melhor en- 171

172 tender o mundo que nos rodeia, além das implicações no mundo do trabalho, se apresentando como ferramenta poderosa para a aprendizagem de outras áreas do conhecimento, por outro, se constitui como instrumento fomentador de capacidades intelectuais e de estruturação do pensamento. Dada a ampla relevância desses conhecimentos, torna-se importante investigar como a Matemática vem sendo ensinada. Tendo em vista especificamente seu ensino nos Anos Iniciais, algumas pesquisas (por exemplo, CURI, 2004) têm demonstrado um foco excessivo nos procedimentos (referenciado no ensino de técnicas operatórias) em detrimento dos conceitos que estão postos nas operações e também no Sistema de Numeração Decimal. O ensino do algoritmo - que na maioria das vezes é apresentado aos alunos como uma sequência definida e finita de passos, mas sem uma justificativa que permita entender cada um deles - e a busca pela resposta correta aos problemas parecem ser ainda a oferta de ensino predominante no cotidiano das salas de aula dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Pouca atenção tem sido dada aos porquês matemáticos que fundamentam os algoritmos das operações e o Sistema de Numeração Decimal. Considerando que a formação inicial do professor dos Anos Iniciais pouco tem contribuído para a aprendizagem deste profissional no que se refere aos fundamentos da Matemática (CURI, 2004; NACARATO; MENGALI; PASSOS, 2009), quando este profissional se depara com a necessidade de ensinar os conteúdos matemáticos, muitas vezes retoma a forma como originariamente aprendeu Matemática a fim de ensinar seus alunos. Neste sentido, é criado um círculo no qual vai se perpetuando o ensino tradicional da Matemática, focado nas quatro operações e no trabalho com resolução de problemas de forma repetitiva, o que leva o aluno a não refletir sobre as ideias matemáticas postas na situação e a recorrer ao professor perguntando qual seria o sinal da operação (é de mais?, de menos?). 172

173 Com o objetivo de contribuir para a discussão sobre o papel do conhecimento matemático do professor, aliado a um aspecto da Matemática relativamente novo dos documentos oficiais brasileiros (FERREIRA, 2017), qual seja o desenvolvimento do Pensamento Algébrico, apresentamos neste trabalho alguns resultados de pesquisa realizada num curso de extensão. Primeiramente, apresentamos ao leitor elementos que dizem respeito à necessidade e à viabilidade de se trabalhar com o Pensamento Algébrico nos Anos Iniciais. Em seguida, contextualizamos uma formação realizada nos moldes de um curso de extensão, intitulada Matemática nos anos iniciais e o desenvolvimento do pensamento algébrico, do qual extraímos alguns dados que compõem o presente trabalho. São apresentadas três tarefas de aprendizagem profissional (BALL; COHEN, 1999), as quais são debatidas à luz dos fundamentos matemáticos que lhe são subjacentes, tendo em vista sua relevância para o trabalho com o Pensamento Algébrico. Por fim, tecemos uma breve conclusão na qual se evidencia aspectos da necessidade premente de uma formação docente que faça frente aos desafios de ir além de uma Matemática que privilegia a busca de resultados. O pensamento algébrico nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental Segundo alguns autores (BLANTON; KAPUT, 2005; CA- NAVARRO, 2007; FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993), o Pensamento Algébrico é uma forma de pensar a Matemática que pode (e deve) ser desenvolvida desde a Educação Infantil. Pesquisas internacionais apontam que muitos países, como Estados Unidos, Portugal e Nova Zelândia, já trabalham com Álgebra nos Anos Iniciais, justificando que o seu ensino possibilita tanto aprofundar a aprendizagem da própria Aritmética, propiciando as referidas discussões sobre o Sistema de Nume- 173

174 ração Decimal e as propriedades das operações, como contribui para uma aprendizagem da Álgebra com maior fundamentação e compreensão. Mas, em que constitui o Pensamento Algébrico e qual o seu significado para o ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental? Para Blanton e Kaput (2005, p. 413), o Pensamento Algébrico é um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas de um conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio do discurso de argumentação e expressam-nas, cada vez mais, em caminhos formais e apropriados a sua idade. Desta maneira de encarar o Pensamento Algébrico podemos abstrair duas ideias centrais: o papel desempenhado pela generalização e o discurso de argumentação e sua expressão de acordo com as capacidades dos alunos, considerando a adequação ao seu conhecimento (associando-o à idade dos estudantes). A ação de generalizar pressupõe analisar uma ideia ou situação matemática e verificar se esta mesma situação pode ser aplicada para todos os casos similares, constituindo, pois, uma regularidade, consubstanciada em uma lei de formação (regra geral). Para Molina (2006), a generalização da Aritmética é um dos aspectos fundamentais da Álgebra, existindo uma relação direta entre estas duas áreas da Matemática (Aritmética e Álgebra). Em outras palavras, da mesma forma que os aspectos da Álgebra são construídos a partir de estruturas aritméticas, o trabalho com a Aritmética também pode criar oportunidades de simbolizar e generalizar, características próprias do Pensamento Algébrico. Segundo Mason (2005), existe um ciclo de generalização que pressupõe um trabalho ativo do aluno junto às tarefas matemáticas: perceber a generalização; expressar a generalização; elucidar uma regra geral, verbal ou numérica para gerar uma sequência; expressar simbolicamente a generalização e manipular a generalização. Não se trata de trabalhar a generalização como mais um tópico a ser ensinado aos alunos, mas antes levar os alunos 174

175 a perceberem, nas ideias matemáticas, leis que se traduzem em regularidades. Para isso, faz-se necessário fomentar um discurso matemático de argumentação em sala de aula, que incentive a troca de ideias matemáticas que, embora não sendo formas exclusivas de trabalho com o Pensamento Algébrico, facilitam seu desenvolvimento. Está aqui presente a ideia de que o desenvolvimento do pensamento algébrico se coaduna bem com uma organização de aula em que os alunos têm oportunidade de trabalhar autonomamente sobre a tarefa proposta e que posteriormente confrontam as suas produções, retirando daí aprendizagens colectivas e crescendo para o apurar de generalizações amplas colectivamente construídas (CANAVARRO, 2007, p.111). Mas para que o Pensamento Algébrico possa ser desenvolvido em sala de aula, cabe ao professor um determinado conhecimento de modo que este possa, além de fazer propostas condizentes com o conteúdo, conseguir enxergar nas ideias dos alunos as devidas correspondências e incoerências com o que está sendo tratado. Tal como refere Ma (1999, p. 86), O conhecimento dos professores sobre uma matéria pode não produzir automaticamente métodos de ensino promissores ou novas concepções de ensino. Mas sem um apoio sólido desse conhecimento, métodos promissores ou novas concepções não podem ser realizados com sucesso. Sendo o professor detentor de tal conhecimento, é possível preparar e explorar tarefas e situações que tenham por finalidade promover a capacidade e conhecimento de chegar a uma generalização por parte dos alunos. Essas tarefas, e objetivos associados, devem permitir expandir o tipo de conhecimento que vem sendo trabalhado no âmbito dos algoritmos das quatro operações e na resolução de problemas que muitas vezes não provocam nos alunos efetivos desafios que os levem a se utilizar de um pensamento que consiga, ao partir do particular, buscar a regularidade matemática. Com essa perspectiva teórica em mente, propusemos um 175

176 curso intitulado Matemática nos anos iniciais e o desenvolvimento do pensamento algébrico, sobre o qual passamos a discorrer. Contexto da formação: Curso de Extensão A formação, para a qual foram selecionadas as tarefas apresentadas neste trabalho, foi destinada a professores que lecionavam nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental e foi conduzida por integrantes do projeto de pesquisa Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais, vinculado ao Programa Observatório da Educação (OBEDUC), financiado pela Capes 36. Tal formação foi oferecida nas dependências da Universidade Federal do ABC, campus de São Bernardo do Campo, São Paulo, nos meses de maio a julho de Contou com uma carga horária de 32 horas, divididas em aulas presenciais (20 horas) e atividades a distância (12 horas). O curso teve mais de cento e cinquenta inscritos para vinte e cinco vagas. As vagas foram ofertadas apenas a professores que estavam, no momento do curso, lecionando nos Anos Iniciais, independentemente de sua formação. Importante ressaltar que o grande número de interessados, dentro do curto prazo em que ficaram abertas as inscrições, pode denunciar, entre outras conjecturas, a necessidade premente de cursos nesta área de conhecimento. Porém, dos inicialmente inscritos, apenas quatorze terminaram o curso e a frequência média girou em torno de doze professores por encontro. A formação discutiu os aspectos centrais do pensamento algébrico, associados ao desenvolvimento de um trabalho com as propriedades dos números e das operações, o sinal de igualdade como equivalência, sequências e padrões, enfatizando os elementos que compõem, principalmente, a Aritmética Generalizada (Quadro 1). 36 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. 176

177 Quadro 1. Planejamento dos encontros. Encontro Objetivos do encontro Tarefas a distância Apresentar o curso e a pesquisa; Levantar os conhecimentos prévios dos professores (Questionário); Introduzir conceitos referentes ao desenvolvimento do Pensamento Algébrico. Discutir teórica e metodologicamente Álgebra para os Anos Iniciais (Pensamento Algébrico). Elaborar uma tarefa de ensino que tenha por objetivo o trabalho com o Pensamento Algébrico. 177 Leituras dos textos: A introdução do pensamento algébrico nos níveis elementares e A generalização de relações numéricas das operações (MESTRE, 2014). Elaborar uma questão (dúvida) sobre cada texto. Leitura do texto: A concepção relacional do sinal de igual, (MES- TRE, 2014). Leitura do Artigo: Caminhos discursivos multimodais na aprendizagem da Álgebra no primeiro ano do Ensino Fundamental (LUNA; SOUZA; SOUZA, 2015). Realizar a experiência de ensino e preparar uma apresentação da atividade realizada com os alunos; Discutir a tarefa de ensino. Leitura do texto Relações, (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009). Sistematizar as aprendizagens; Avaliar os encontros. Elaboração de relatório de aprendizagem. Fonte: Curso Matemática nos anos iniciais e o desenvolvimento do pensamento algébrico Com a intenção de aprofundar os conhecimentos matemáticos, elaboramos a formação ainda que curta e com necessidade de aprofundamento com tarefas de aprendizagem profissional a partir da perspectiva ação-reflexão-ação que pudessem, a partir da vivência de sala de aula dos professores, trazer elementos de reflexão e de apropriação dos conhecimentos matemáticos.

178 As tarefas exploradas no curso e os objetivos associados No decorrer do curso foram implementadas e discutidas algumas tarefas das quais três foram elencadas para a presente discussão. Em particular, a primeira tarefa teve por foco o trabalho nas propriedades das operações, no qual os cursistas puderam, além de resolver e justificar a veracidade de quatro expressões matemáticas, analisar protocolos de alunos ao resolver a mesma tarefa. A segunda também enfocou as propriedades das operações, porém detalhando uma das propriedades da multiplicação, nomeadamente a distributiva, discutindo a necessidade do trabalho com a composição e decomposição dos números. E a terceira buscou analisar a importância do sinal de igualdade, considerando seus diferentes significados. Tarefa 1 - Propriedades das operações Esta tarefa de aprendizagem profissional dividiu-se em duas partes, ambas realizadas no segundo encontro da formação, cujo objetivo foi o de discutir os aspectos teóricos e metodológicos da Álgebra para os Anos Iniciais no que se refere aos elementos constituintes do pensamento algébrico bem como as suas formas de abordagem. Na primeira parte a tarefa solicitava que os cursistas resolvessem expressões numéricas relacionadas ao pensamento algébrico, nomeadamente as que envolviam propriedades das operações (Figura 1). A tarefa continha quatro expressões para as quais os professores deveriam assinalar verdadeiro ou falso, justificando suas escolhas. Essas expressões foram selecionadas por terem, em sua estrutura, algumas das propriedades das operações: a primeira refere-se à propriedade comutativa; a segunda, à propriedade associativa; terceira, ao elemento neutro da multiplicação; e a última ao elemento neutro da adição. 178

179 = = 27 χ Figura 1 Tarefa matemática Parte 1 Fonte: Adaptado de Mestre e Oliveira (2011) V F Justificativa Esta mesma atividade foi realizada, alguns dias antes de um dos encontros do curso de extensão, por estudantes de um quinto ano do Ensino Fundamental, com o objetivo de selecionar respostas que, quando discutidas com os professores na formação, pudessem suscitar reflexões acerca das propriedades das operações e consequentemente do pensamento algébrico de forma que os professores atribuíssem sentido a elas (JAKOBSEN et al., 2014). Neste sentido, a segunda parte da presente tarefa consistiu na análise pelos cursistas das respostas dos estudantes (Figura 2). Figura 2 Tarefa matemática Parte 2 Porque é o mesmo resultado Só mudou a ordem. Contas não são feitas, o resultado nunca tem multiplicação. Por tanto está errado! Está errado porque dá 0 e sobra o 46 que é o resultado 179

180 Porque = dá 79 e 79 menos 27 dá 46. Tudo x 1 é igual ao primeiro número O quadradinho é o zero por isso dá o resultado quadradinho 1 - Quais conteúdos, conceitos matemáticos estão presentes nas questões respondidas pelos alunos? 2 - Qual a coerência da justificativa dos alunos, tendo por base os conceitos matemáticos envolvidos? 3 - Para cada resposta dos alunos, que intervenções você faria de forma a propiciar uma reflexão mais aprofundada da questão? Fonte: Dados da aplicação da tarefa matemática realizada pelos estudantes e questões elaboradas pela primeira autora. Dentre a atribuição de sentido dos professores às respostas dos estudantes, uma das que suscitou bastante discussão, do ponto de vista da apropriação de conhecimentos matemáticos, diz respeito à expressão = , quando os alunos responderam Contas não são feitas, o resultado nunca tem multiplicação. Por isso está errado. Um grupo de professores (Transcrição 1), ao analisar esta resposta (FERREIRA, RIBEIRO, RIBEIRO, 2017) não entendeu, de pronto, qual tinha sido o raciocínio dos alunos, mas foi, durante a discussão, percebendo que os alunos não «aceitaram» que ao lado direito do sinal de igualdade poderia haver outra 180

181 operação a ser realizada. Os professores chegaram à conclusão que o ensino focado na busca de soluções provoca nos alunos este não entendimento do sinal de igualdade na perspectiva de equivalência. Transcrição 1 Análise das respostas dos alunos P2 Então o resultado para ele..., o resultado não tem que ter isso aqui (apontando para o ), o resultado tem que acabar aqui (apontando para o número 37). P1 É verdade! P2 O resultado nunca tem multiplicação, ou não tem adição; portanto, tá errado. P1 Entendi... P2 No sentido de que depois do igual é só um número. P1 E aí, como é uma expressão, ele confundiu. P2 Aí, como tem dois (dois números depois do igual), tá errado. Como pode ter dois? P1 É isso mesmo! P2 Não é isso? P1 Como que o resultado pode ser outra conta? Né? Nossa, que judiação... Que nó na cabeça dessa criança! Que professora má rsrsrsrs... É verdade! Fonte: Dados de pesquisa O uso do sinal de igualdade enquanto operador predomina nos procedimentos de ensino nos Anos Iniciais, se manifestando em tarefas nas quais os alunos devem resolver, calcular ou efetuar (TRIVILIN; RIBEIRO, 2015). Esse mesmo enfoque foi também tema de discussão na atribuição de sentido às produções dos alunos para a expressão para a qual uma dupla resolveu a adição e posteriormente a subtração, enquanto outra, fazendo uso da propriedade associativa, reconheceu que = 0 e sobra 46 que é o resultado. O raciocínio da primeira dupla segue a sequência operacional, enquanto que a segunda encontra uma generalidade subtrair de um número ele próprio e dela faz uso, inclusive reconhecendo que o zero não alteraria o resulta- 181

182 do final. (Esta tarefa, associada ao conhecimento do professor relativamente ao sinal de igualdade, foi retomada na Tarefa 3.) Este exemplo, recorrendo às propriedades das operações e sentidos do sinal de igualdade, ilustra como o pensamento algébrico pode ser trabalhado em atividades cotidianas e já comuns à prática docente dos Anos Iniciais. Note-se que não estamos argumentando aqui sobre a exclusão de atividades que se centrem nos algoritmos ou no cálculo, mas enfatizando a necessidade de que essas tarefas, e atividades associadas, busquem promover discussões que permitam desenvolver nos alunos um conhecimento acerca de, por exemplo, elementos generalizantes e das propriedades das operações. Tarefa 2 Propriedades da multiplicação Em outra tarefa, ocorrida no segundo encontro da formação, solicitamos que os professores, em grupos de três ou quatro, resolvessem a questão: Martinique tem seis caixas de doces, com 23 doces em cada caixa. Quantos doces Martinique tem ao todo? Imagine as várias possibilidades de resolução deste problema. 37 Após os grupos pensarem em diferentes possibilidades de resolver o problema, apresentamos a resposta de uma aluna Elena, seguida de um questionamento. Elena: Eu fiz vinte e depois três. Seis grupos de 20 são 120; seis grupos de 3 são18. Ou seja, 120 mais 18, ou 138 doces. O que Elena fez? A opção pela inclusão desta produção da Elena relacionase com o fato de ela ter usado um entendimento intuitivo da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição para resolver o problema: 6 x 23 = (6 x 20) + (6 x 3). Este é um tipo de conhecimento essencial para um conhecimento profundo da 37 Questão retirada do livro Developing essential understaning of algebraic thinking (BLANTON et al., 2011). 182

183 Aritmética, podendo se traduzir num ponto de partida importante para o desenvolvimento do entendimento algébrico via generalização. A forma de resolver de Elena está diretamente relacionada a um domínio do funcionamento do sistema de numeração decimal e ao sentido de número, que poderão ser potencializados quando se dá oportunidades aos alunos para resolverem as operações de maneira própria, sem que sejam induzidos a usar o algoritmo. Porém, vale lembrar que este tipo de conhecimento dos números e do sistema decimal não é ainda, comumente, parte do conhecimento dos alunos (pelo menos no início de escolarização). O trabalho de decomposição, 23 = , muitas vezes tem por objetivo trabalhar algumas propriedades do Sistema de Numeração Decimal, quando se pede que se faça a decomposição em dezena e unidade, conforme atesta a discussão de dois professores do curso. Quadro 2 - Transcrição de diálogo do Grupo 1 P1 Eu lembro direitinho...que fazia...chamava de QVL quadro de valor de lugar, aí ele colocava mesmo, centena, dezena unidade... o negócio que frisa muito... sempre começa pela unidade, nunca pode começar pela centena, nunca dezena, mas quando você vai... tipo... fazer o cálculo mental, você pega cento e vinte mais duzentos e quarenta, aí você faz cem mais duzentos, trezentos... P2 Você faz o contrário... P1 Vinte mais quarenta, sessenta, não necessariamente você faz na ordem. Fonte: Dados da pesquisa Como os professores destacam o trabalho de decomposição é muitas vezes feito de forma mecânica, priorizando o procedimento - sempre começa pela unidade, nunca pode começar pela centena - em detrimento do significado e de maneira desvinculada do sentido numérico e de operação, que sustentam o entendimento de cada um dos passos dos algoritmos das operações. Com relação à multiplicação, muitas vezes seu ensino se resume em transmitir aos alunos um conjunto de passos (ensino tradi- 183

184 cional ), sem uma preocupação de permitir que o aluno entenda o que faz e porque o faz a cada momento: coloque o número menor embaixo do maior, depois multiplique unidade por unidade, aquilo que ultrapassar dez fica em cima da dezena e assim sucessivamente. Desta maneira, as características do sistema de numeração, da operação e as propriedades das operações (aqui a distributiva) ficam ocultas nos procedimentos e seus significados não são compreendidos pelos alunos. Por outro lado, o trabalho único e exclusivo com os algoritmos tradicionais pode levar os alunos a desistirem dos seus próprios raciocínios, como mostra a fala de um dos participantes do curso que, na sua tentativa de trabalhar com outras representações de uma situação matemática, explica que os alunos não conseguiam ir além do algoritmo. Quadro 3 Transcrição da fala de P1 sobre as diferentes representações matemáticas P1 No começo do ano eu falava pra eles... ó, cada um vai resolver os problemas do jeito que achar melhor, se quiser fazer por meio do desenho, por meio da continha...e a maioria não conseguia fazer o desenho, não conseguia se expressar de outra forma a não ser a continha, o algoritmo... Fonte: Dados da pesquisa Essa afirmação está diretamente ligada à ênfase e à forma repetitiva com que são trabalhados o algoritmo, levando o aluno a executar os procedimentos de determinada forma e minando a sua proatividade no sentido de pensar em outras possíveis formas de resolução, tal como usar a operação inversa ou decompor o número de modo a agrupar explorar essas possibilidades permitirá que o aluno veja sentido naquilo que está fazendo, indo para além da cadeia cálculo/reagrupamento, algo ainda usual na exploração do algoritmo. Neste sentido, proporcionar momentos nos quais os alunos possam falar sobre as ideias matemáticas, fomentando a discussão e a expressão dessas ideias (uma das formas que contribuem para 184

185 o desenvolvimento do pensamento algébrico) pode colaborar para que as mesmas possam circular nas salas de aula, indo além das atividades exclusivamente procedimentais, contribuindo para a não consolidação da falsa ideia de que na Matemática há uma maneira única de chegar a uma resposta válida para uma situação ou problema. Tarefa 3 Sinal de igualdade Um dos aspectos que está presente na Aritmética Generalizada, que segundo Blanton e Kaput (2005) constitui uma das categorias do pensamento algébrico, diz respeito ao trabalho com o sinal de igualdade. Os estudos de Trivilin e Ribeiro (2015) apontam para o pouco conhecimento ou, ainda, para o desconhecimento por parte dos professores dos diferentes significados do sinal de igualdade (operacional, equivalência e relacional). Tal pesquisa evidencia que os professores focam em seu trabalho de sala de aula o significado do sinal de igualdade enquanto busca de uma resolução (no sentido operacional). Considerando a importância do sinal de igualdade para o desenvolvimento do pensamento algébrico, foi proposto aos cursistas também no segundo encontro do curso - que analisassem um estudo proposto por Falkner et al. (1999) no qual os professores propunham aos alunos a resolução do seguinte problema: = _ + 5 (Figura 3). Considerando que a limitação do significado de igualdade para apenas o operacional pode causar dificuldades quando o aluno se encaminha para a aprendizagem da álgebra formal (SÁ;FOSSA, 2008), foi proposta uma tarefa na qual os cursistas se agruparam em subgrupos para buscar respostas ao seguinte desafio: Analise as respostas dos alunos e responda por que embora o problema pareça trivial para muitos professores, a maior parte dos alunos não deu a resposta correta.. 185

186 Figura 3 Apresentação dos resultados do estudo para o problema = _ + 5 Fonte: Falkner et al. (1999) Após esta discussão, também foi apresentada aos cursistas a resposta de duas alunas, Lucy e Gina. Prof. Podes dizer-me qual o número que é necessário colocar no espaço vazio para tornar esta expressão verdadeira? Lucy (depois de uma breve pausa) Doze. Prof. Como sabes que é 12? Lucy Porque é a resposta, oito e quatro são 12. Eu contei 8, 9, 10, 11, 12. São 12. Prof. E o que acontece ao cinco? Lucy Fica aí. Prof. Precisas fazer alguma coisa com ele? Lucy Não. Só está lá. Não tem nada a ver com o oito e o quatro. Prof. O que pensas que significa? Lucy Eu não sei. Penso que não significa nada. Se calhar só está lá para nos confundir. Sabes, às vezes, a minha professora põe números a mais na história dos problemas para nos fazer pensar sobre o que temos de adicionar ou subtrair. A de Gina: Gina (muito depressa) Sete. Prof. Como sabes que é sete? 186

187 Gina Bem, eu vi que o cinco aqui (apontando para o cinco na expressão) é mais um do que o quatro aqui (apontando para o quatro na expressão), então o número no espaço vazio tinha de ser menos um do que oito. É sete. Prof. Isso é muito interessante. Vamos tentar com outra: = Gina (quase imediatamente) É fácil. É 59. Prof. Foi rápido! Gina Sim. É como a outra. É apenas dois mais porque 84 é menos dois. E o questionamento: Qual a diferença do entendimento de Lucy e Gina para o problema: = _ + 5?. A resposta de Lucy foi incluída na discussão, pois nos revela que uma visão exclusivamente operacional do sinal de igualdade inviabiliza a compreensão da expressão matemática em sua totalidade. Assim, ela compreende que a resposta possível para preencher a lacuna é 12, porque = 12, não dando significado para o restante da expressão. Serve também de alerta para o registro que se faz em situações que envolvem adições sucessivas, por exemplo. Se em dada situação, onde se adiciona 8 à 4 e, depois, se adiciona 5, registra-se: Essa sentença matemática é incorreta e fortalece a ideia do sinal de igualdade exclusivamente como um operador. Por outro lado, a resposta de Gina revela uma concepção do sinal que considera as relações e o significado de equivalência, numa perspectiva de que o que está representado de um lado, em sua totalidade, deve também estar do outro. Além disso, Gina, ao perceber essas relações, descarta a necessidade de fazer qualquer conta, possibilitando um cálculo mais ágil e fundamentado nas propriedades das operações e no significado da igualdade. Durante a discussão da tarefa, um dos cursistas questiona se a ideia que Gina usou para a adição funcionaria para a subtração. 187

188 Esse é um exemplo de questão que amplifica as potencialidades e abrangência da tarefa, pois permite buscar limites das generalizações propostas e explorar as regularidades em outras operações, desenvolvendo assim diferentes tipos de conexões (MONTES; RIBEIRO; CARRILLO; KILPATRICK, 2016). Na situação em questão, o aumento de um dos valores no membro à direita tornaria necessário um aumento equivalente do outro valor para que se mantivesse a equivalência, e não uma diminuição, como no caso da adição. Considerações finais O pensamento algébrico é um tema que apenas recentemente aparece na BNCC 38 (Base Nacional Comum Curricular), ficando, portanto, à margem das próprias propostas de formação de professores inicial ou continuada. Nesse sentido, buscando potencializar que os estudantes desenvolvam o pensamento algébrico em diferentes dimensões desde os Anos Iniciais, tornase premente o desenvolvimento do conhecimento do professor relativamente a este tema. Essa é uma necessidade evidente e que se associa, também, a uma mudança de visão dos próprios objetivos do ensino da Matemática, superando uma perspectiva na qual essencialmente se ensina a regra na direção de uma realidade (ainda distante) na qual se busca possibilitar que os alunos entendam o que fazem e porque o fazem, a cada momento. Faz-se necessário vencer o círculo vicioso no qual o professor reproduz o ensino que teve, o qual, em nossa visão, pode ser quebrado com formações que permitam que o professor consiga vislumbrar outras formas de compreender e consequentemente de ensinar Matemática, dando profundidade aos conteúdos a serem desenvolvidos. O trabalho com os algoritmos, por ser ainda um dos focos essenciais dos Anos Iniciais, torna-se um dos contextos onde a 38 Documento oficial nacional que irá definir o que é essencial que cada aluno aprenda nos diferentes anos de escolaridade, ainda em fase de elaboração. 188

189 discussão das bases sustentadoras e formas de encarar e desenvolver o pensamento algébrico poderá se sustentar, buscando possibilitar uma passagem para a discussão informal das propriedades em detrimento das regras. Nesse sentido, torna-se essencial também o desenvolvimento de um conhecimento especializado que permita ver a estrutura e não apenas os resultados numéricos. A opção por ter como ponto de partida a discussão de produções de estudantes como gênese para o desenvolvimento do conhecimento do professor no tema do pensamento algébrico permite também ampliar essa capacidade de ver a estrutura, associada ao ouvir o que os alunos dizem ou fazem (RIBEIRO; MELLONE; JAKOBSEN, 2016). Este tipo de conhecimento sustenta aquilo que se configura como um dos elementos centrais da prática daquele professor que persegue o objetivo de poder partir dos raciocínios e argumentos dos alunos (ouvir no sentido de efetivamente entender) para que os seus alunos entendam o que fazem e porque o fazem em cada momento, perspectivando também aprendizagens futuras quando poderá ocorrer a institucionalização e formalização dos elementos base do pensamento algébrico. Referências BALL, D. L. & COHEN, D. K. Developing practice developing practioners: toward a practice-based theory of professional education. In: SYKES, G. & DARLING-HAMMOND, L. (Eds.). Teaching as the learning profession: handbook of policy and practice. San Francisco: Jossey Bass, 1999, p BLANTON, M. & KAPUT, J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 36(5), p , BLANTON, M. et al. Developing essential understanding of algebric thinking for teaching mathematics in grades 3-5. Reston Va: NCTM National Council Teachers Of Mathematics, CANAVARRO, A. P. O pensamento algébrico na aprendizagem da Matemática nos primeiros anos. Quadrante, Lisboa-Portugal, v. XVI, n. 2, p ,

190 CURI, E. Formação de professores polivalentes: uma análise dos conhecimentos para ensinar Matemática e das crenças e atitudes que interferem na constituição desses conhecimentos Tese (Doutorado em Educação Matemática) - PUC/SP, São Paulo, FALKNER, K. P.; LEVI, L.; CARPENTER, T. P. Children s understanding of equality: a foundation of algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), , FERREIRA, M. C. N. Álgebra nos anos iniciais do ensino fundamental: uma análise dos documentos curriculares nacionais REnCiMa, v. 8, n. 5, p FERREIRA, M. C. N.; RIBEIRO, C. M.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento matemático para ensinar álgebra nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, Zetetiké, v.25, n. 3, p , FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar... a Educação Algébrica Elementar. Pro-posições, Campinas, SP, v. 7, n. 1, p , mar JAKOBSEN, A.; RIBEIRO, C. M.; MELLONE, M. Norwegian prospective teachers MKT when interpreting pupils productions on a fraction task. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(3-4), p , LUNA, A. V. A.; SOUZA, E. G.; SOUZA, C. C. C. F. Caminhos discursivos multimodais na aprendizagem da Álgebra no primeiro ano do Ensino Fundamental. In: BORBA & GUIMARÃES (Orgs.). Pesquisa e atividades para o aprendizado matemático na Educação Infantil e nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Coleção SBEM, v.8, 11 22, MA, L. Saber e ensinar: Matemática Elementar. Lisboa: Gradiva, MASON, J. (with GRAHAM, A. & JOHNSTON-WILDER, S.). Developing thinking in algebra. London: Sage MESTRE, C. M. M. V. O desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos do 4ª ano de escolaridade: uma experiência de ensino Tese (Didática da Matemática) - Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, Lisboa, MESTRE, C. & OLIVEIRA, H. O pensamento algébrico e a capacidade de generalização de alunos do 3.º ano de escolaridade do ensino básico. 190

191 In: GUIMARÃES, C. & REIS, P. (Orgs.) Professores e infâncias: estudos e experiências. São Paulo: Junqueira & Marin Editores, 2011, p MOLINA, M. Uma propuesta de cambio curricular: integración del pensamento algebraico em educación primaria. PNA, 3(3), p , NACARATO, A. M.; MENGALI, B. L. S.; PASSOS, C. L. B. A Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. (2ª ed.) Belo Horizonte: Autêntica, PONTE, J.; BRANCO, N.; MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. Portugal: Ministério da Educação, Direção Geral de Integração e de Desenvolvimento Curricular (DGIDC), RIBEIRO, M.; MELLONE, M.;JAKOBSEN, A. Interpreting students non standard reasoning: insights for mathematics teacher education practices. For the Learning of Mathematics, 36(2), SÁ, P. F.; FOSSA, J. A. Uma proposta de distinção entre problemas aritméticos e algébricos. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, , Santos. Anais... São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, TRIVILIN, L. R. & RIBEIRO, A. J. Conhecimento matemático para o ensino de diferentes significados do sinal de igualdade: um estudo desenvolvido com professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Bolema, Rio Claro, São Paulo,

192

193 Sobre os autores Alessandro Jacques Ribeiro é licenciado em Matemática e Doutor em Educação Matemática pela PUC/SP. Atualmente é professor na Universidade Federal do ABC (UFABC). Foi Presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) no período de 2013 a Seus principais interesses de pesquisa são: o ensino e a aprendizagem de Álgebra e a formação de professores que ensinam Matemática. Coordenou o projeto de pesquisa Observatório da Educação (OBEDUC), contexto a partir do qual a presente obra foi produzida. Caroline Miranda Pereira Lima é aluna de graduação do curso Bacharelado em Ciência e Tecnologia (BC&T), com aspiração de curso específico para a Licenciatura em Matemática e Engenharia de Automação, Instrumentação e Robótica, na Universidade Federal do ABC (UFABC). Atualmente realiza pesquisa de Iniciação Científica estudando as perspectivas interdisciplinares para o ensino de funções por meio da resolução de problemas. Foi bolsista de extensão do projeto de Produção de Materiais Didáticos para o Ensino de Ciências e Matemática (PMD) e atuou como voluntária no projeto de pesquisa Observatório da Educação (OBEDUC) entre 2015 e

194 Debora da Silva Souza é licenciada e bacharel em Matemática e Mestre em Ensino e História das Ciências e Matemática pela Universidade Federal do ABC (UFABC). Atualmente é professora da Educação Básica nas redes pública e privada, nos Ensinos Fundamental e Médio. Participou do Projeto OBEDUC/UFABC como bolsista de mestrado (Capes), trabalhando com a formação de professores que ensinam números racionais e a importância desse conteúdo quando se ensina Álgebra. Etienne Lautenschlager é Doutora em Neurociência e Cognição pela Universidade Federal do ABC (2017). Mestre em Educação Matemática pela Universidade Bandeirante de São Paulo (2012). Bacharel e Licenciada em Matemática pela Universidade Braz Cubas (2003). Professora de Matemática da rede municipal de ensino de São Paulo, onde atualmente é Assistente Técnico Educacional na Divisão Pedagógica da Prefeitura Municipal de São Paulo (DRE MP). Tem interesse pelos seguintes temas: cálculo, Educação Matemática, educação algébrica, neurociência aplicada à educação, modelagem matemática em educação, formação de professores que ensinam Matemática e dificuldades de aprendizagem em Matemática (DAM). É integrante dos grupos de pesquisa: Núcleo Interdisciplinar de Neurociência Aplicada e Formação de Professores de Matemática: conhecimento profissional e desenvolvimento curricular (UFABC), atuando na seguinte linha de pesquisa: Formação de professores de Matemática - conhecimento profissional para a docência. 194

195 Evonir Albrecht é Licenciado em Matemática com habilitação em Física pela Universidade do Oeste de Santa Catarina. Especialista em Psicopedagogia e Ensino de Física; Mestre e Doutor em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Cruzeiro do Sul. Foi professor das redes públicas municipais e estaduais de Educação Básica nos estados de Santa Catarina e São Paulo. Atualmente é Professor Adjunto na Universidade Federal do ABC na graduação e pós-graduação. Atua junto ao Programa de Pós-Graduação da UFABC, nas linhas de pesquisa: ensino, aprendizagem, currículo, CTS, estágio supervisionado, ensino de Astronomia. Francisco José Brabo Bezerra é licenciado em Ciências e Matemática, Mestre em Educação Matemática pela PUC/SP e Doutor em Educação pela Unicamp. Atualmente é professor na Universidade Federal do ABC (UFABC). Seus principais interesses de pesquisa são: o ensino e aprendizagem dos números e a formação de professores que ensinam Matemática. Atuou como colaborador no projeto de pesquisa Observatório da Educação (OBEDUC). Henrique Rizek Elias é licenciado e bacharel em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP) e Doutor em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL). Atualmente é professor na Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), campus de Londrina. Tem interesses de pesquisa na área de Formação de Professores que Ensinam Matemática, em particular a Álgebra na formação desses professores. Colaborou com o projeto de pesquisa Observatório da Educação (OBE- DUC) da Universidade Federal do ABC durante o período em que desenvolveu o Doutorado Sanduíche no País (SWP) nesta instituição. 195

196 Karina Aguiar Alves é bacharel, licencianda em Matemática e mestre em Ensino e História das Ciências e Matemática pela Fundação Universidade Federal do ABC. Possui interesse na área de formação de professores de Matemática com ênfase em seus conhecimentos algébricos. Atualmente integra o grupo de pesquisa FORMATE. Participou do OBEDUC desde sua implementação na UFABC, onde desenvolveu sua pesquisa de iniciação científica e, posteriormente, a pesquisa de mestrado. Marcia Aguiar é licenciada em Matemática e Mestre em Matemática ambos pelo IME-USP. Mestre e Doutora em Educação pela FE-USP. Professora adjunta da Universidade Federal do ABC. Possui os seguintes interesses de pesquisa em Educação Matemática: formação de professores que ensinam matemática e em ensino e aprendizagem de Álgebra. Participou como colaboradora do Projeto OBEDUC/UFABC. Miriam Criez Nóbrega Ferreira é Pedagoga, com especialização em Alfabetização e Letramento e Gestão Escolar pela Universidade de São Paulo (USP) e Mestre em Ensino e História das Ciências e Matemática pela Universidade Federal do ABC (SP), tendo pesquisado o desenvolvimento do pensamento algébrico nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Doutoranda em Educação, com ênfase na Didática da Matemática pela Universidade de Lisboa. Participa do grupo de pesquisa FORMA- TE - Formação Matemática para o Ensino. Atualmente é diretora de escola da Prefeitura Municipal de São Bernardo do Campo. Tem experiência em formação de professores, atuando como formadora nos Programas PROFA e PNAIC do Ministério da Educação. 196

197 Miguel Ribeiro é licenciado em Ensino de Matemática pela Universidade da Beira Interior e Mestre em Matemática pela Universidade de Coimbra (Portugal). É Mestre e Doutor em Educação Matemática pela Universidade de Huelva (Espanha). Atualmente é professor na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). É membro do Comitê Internacional (IC) do International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME) em representação do Brasil e Co-Chair do IPC do Congress of European Research in Mathematics Education (CERME 11). Tem como principais interesses de pesquisa o conhecimento interpretativo e especializado do Professor que Ensina Matemática desde a Educação Infantil, incluindo o formador de professores e tarefas para a formação de professores. Regina Lucia da Silva é licenciada em Matemática e Mestre em Educação Matemática pela PUC/SP. Atualmente é professora efetiva da rede estadual paulista e também professora em um curso de Licenciatura de Matemática de uma faculdade paulista. Suas pesquisas têm por base: o Ensino e a Aprendizagem em Álgebra e a Formação de professores que ensinam Matemática. No período de 2013 a 2017, participou do projeto de pesquisa Observatório da Educação (OBEDUC- UFABC). 197

198 Thais Helena Inglêz Silva é mestra em Ensino, História e Filosofia das Ciências e Matemática e Licenciada em Matemática e Bacharel em Ciência e Tecnologia pela Universidade Federal do ABC (UFABC). Foi bolsista como aluna de mestrado e como professora da Educação Básica e também colaboradora do programa Observatório da Educação. Participou, até maio de 2017, de grupo de pesquisas sobre Formação de Professores e Educação Matemática, ainda na UFABC. Atualmente é licencianda em Pedagogia na Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP) e professora de Matemática nas redes particular e municipal de ensino, atuando também em instituição preparatória para a universidade. Vinícius Pazuch é licenciado em Matemática e doutor em Ensino de Ciências e Matemática. Professor adjunto da Universidade Federal do ABC. Possui os seguintes interesses de pesquisa em Educação Matemática: formação de professores que ensinam matemática, ensino de Geometria e tecnologias digitais. Participou como colaborador do Projeto OBEDUC/UFABC. Vivilí Maria Silva Gomes é licenciada em Física pela Faculdade de Educação da USP, bacharel em Física e Doutora em Ciências pelo Instituto de Física da USP. Atualmente é professora e pesquisadora do Centro de Matemática, Computação e Cognição CMCC da UFABC, na área de Ensino de Matemática com ênfase em currículo, formação de professores e dificuldades de aprendizagem em Matemática. Coordena a área interdisciplinar do PIBID/CAPES e foi colaboradora nos dois projetos de pesquisa do OBEDUC/CAPES desenvolvidos na UFABC. 198