PESQUISA E ANÁLISE DA MODELAGEM MATEMÁTICA DE PIEZORESISTORES DE POLISILÍCIO

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1 PESQUISA E ANÁLISE DA MODELAGEM MATEMÁTICA DE PIEZORESISTORES DE POLISILÍCIO Rodrigo Couto Moreira jpceditors@msn.com Marina Geremia marina.geremia@unoesc.edu.br Alberto Moi betomoiii@gmail.com Luiz Antônio Rasia rasia@unijui.edu.br Unijuí - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Rua do Comércio, 3000, Bairro Universitário CEP Ijuí/RS Brasil Resumo. Neste trabalho empregam-se modelos matemáticos de segunda ordem para explicar o comportamento da resistência do silício policristalino em função da variação dopantes e da temperatura. Foram comparados os resultados experimentais com os resultados de simulações matemáticas empregando modelos de segunda ordem visando aperfeiçoar as propriedades térmicas dos piezoresistores usados nos processos de fabricação de sensores piezoresistivos integrados. Palavras chave: modelagem matemática, elementos sensores, piezoresistores, coeficientes térmicos. 1. INTRODUÇÃO O efeito da piezoresistividade consiste na alteração da resistência elétrica de um material quando sobre ele é aplicada uma determinada tensão mecânica. A descoberta deste fenômeno deve-se ao matemático, físico e engenheiro britânico Lord Kelvin, que em 1856 verificou que a resistência de fios de cobre e ferro aumentava quando sobre eles era aplicada uma determinada tensão mecânica (Rasia, 1997). Atualmente, o efeito piezoresistivo vem sendo estudado em materiais semicondutores e está bem estabelecido para o silício, em especial, nos dispositivos fabricados com a tecnologia de filmes finos. A piezoresistividade consiste na mudança reversível da resistividade que um material apresenta devido a um stress mecânico aplicado (Rasia, 1997). Aplicando-lhe uma diferença de potencial pode se medir a sua resistência e relacionar estas alterações com as deformações provocadas no material pela tensão aplicada. A resistividade de um sólido não estressado é isotrópica, caso de estruturas cúbicas, já a variação de resistividade com strain elástico é anisotrópica e descrita pela Eq. (1). (1) O tensor de piezoresistência tem a forma da Eq. (2).

2 (2) ( ) ( ) A sensibilidade dos materiais piezoresistivos é chamada de gauge factor (GF) dos strain gauges ou elementos sensores. O GF, que se define como o quociente da variação relativa da resistência pela deformação,, aplicada, conforme a Eq. (3). (3) Uma deformação num dado material exercida ao longo de uma determinada direção provoca sempre alterações em todas as dimensões. Desta forma deve-se reescrever o GF de acordo com a Eq. (4). (4) Onde é o coeficiente de Poisson e o termo representa a alteração geométrica nas dimensões do material. Em alguns materiais semicondutores o efeito piezoresistivo,, prevalece ao efeito geométrico o qual produz um GF elevado permitindo medir pequenas deformações. Por outro lado, estes semicondutores apresentam uma forte sensibilidade a variação de temperatura. Para o desenvolvimento de elementos sensores é necessário compreender como se comportam as propriedades físicas do silício, no qual a rede cristalina é considerada simétrica. Nestes materiais os mecanismos mais importantes e que limitam a mobilidade, μ, de portadores livres de cargas elétricas são o espalhamento pelas impurezas ionizadas e o espalhamento pelas vibrações da rede (Rasia, 1997). Em materiais semicondutores existem diferentes tipos de estruturas de banda com diferentes formas de superfícies de energia no espaço de onda, K. Estas superfícies se modificam e promovem uma mudança da resistividade, ρ, do material. Para o silício o modelo de superfície de energia que parece ocorrer, para a banda de condução elétrica, é a ilustrada na Figura 1 e Figura 2 (Moi, 2014), cujo processo físico é denominado intervales (intervalley) (Vlack, 1973). Figura 1 - Ilustração de superfície de energia para o Silício Não Estressado no momento de espaço K em relação ao eixo cristalográfico do material semicondutor

3 Figura 2 - Ilustração de superfície de energia para o Silício Estressado no momento de espaço K em relação ao eixo cristalográfico do material semicondutor. 2. SILÍCIO TIPO N E TIPO P Os semicondutores são do grupo de materiais elétricos possuindo condutividade elétrica, σ, intermediária entre metais e isolantes. A magnitude desta propriedade pode ser variada em quantidades controladas através da mudança do nível de concentração de impurezas, temperatura e excitação óptica, durante os processos de fabricação. O silício é subdividido em monossilício e polissilício, os quais possuem propriedades piezoresistivas importantes, cada um com suas particularidades. O monossilício está limitado a trabalhar em ambientes de temperatura não muito elevada devido aos efeitos de junção. Os sensores fabricados com este tipo de material apresentam um fator de sensibilidade muito elevado quando comparados aos metais, polisilício e outros. O polissilício não apresenta efeitos de junção porque os piezoresistores ficam isolados por uma camada de óxido. Desse modo, podem trabalhar em altas temperaturas e ter um bom fator de sensibilidade aos esforços mecânicos. A concentração de impurezas, N, é usada para alterar a condutividade dos semicondutores de modo que os mesmos podem se tornar materiais tipo N ou tipo P, dependendo do dopante como sugere (Kanda, 1982). Os coeficientes piezoresistivos,, para material tipo P e tipo N, estão relacionados com os níveis de concentração de impurezas, orientação cristalográfica do material, temperatura e, consequentemente, com o tipo de condutividade (Akbar, 1991), conforme ilustra a Fig. 3 e Fig. 4 (Kanda, 1982). Fig. 3. Coeficiente de Piezoresistência para o material tipo N

4 Fig. 4. Coeficiente de Piezoresistência para o material tipo P Estes parâmetros são importantes para os processos tecnológicos de fabricação dos dispositivos sensores e atuadores uma vez que estão relacionados com a sensibilidade dos dispositivos (Gniazdowiski; Kowalski, 1998). A concentração de impurezas N é dada pela Eq. (5), onde,, representa a resistividade do material,, a mobilidade dos elétrons neste material e,, é a carga elétrica elementar (Kanda, 1982). (5) Neste trabalho, serão estudados elementos sensores com substrato de silício e deposição em diferentes filmes finos semicondutores, conforme o modelo físico mostrado na Fig. 5 (Moi, 2014). Fig. 5. Modelo físico de um piezoresistor. Num elemento sensor, como o mostrado na Fig. 5, a mudança da resistividade é descrita pela mudança relativa da resistência elétrica do resistor quando submetido a um estresse mecânico externo aplicado. Dessa forma, o modelo matemático que descreve esta variação da resistência elétrica pode ser reescrito e relacionado com os componentes longitudinais e transversais do estresse mecânico e com os respectivos coeficientes piezoresistivos do material do qual é feito o elemento sensor, de acordo com a Eq. (6). (6)

5 Sendo que e são os coeficientes piezoresistivos longitudinais e transversais, e, e são os esforços mecânicos longitudinais e transversais ao eixo de aplicação da força sobre o cristal semicondutor. As propriedades elétricas são importantes quando se deseja configurar piezoresistores, como sensores de pressão. A pressão pode causar um aumento ou uma diminuição da resistividade, dependendo do tipo de material e da direção sobre o qual é aplicada (Rasia, 1997). Em geral, a relação que existe entre a variação da resistência com os componentes do esforço mecânico pode ser expressa pela Eq. (7) e a Eq. (8). ( ) (7) ( ) (8) 3. CONTROLE DA ESTRUTURA DOS FILMES SEMICONDUTORES Normalmente, os filmes são formados por grãos monocristalinos dispostos em várias direções cristalográficas. O tamanho dos grãos depende das condições da deposição e dos tratamentos térmicos posteriores e os grãos com dimensões maiores, geralmente, estão associados a temperaturas maiores de processamento. A rugosidade de um filme está relacionada com o tamanho dos grãos. A densidade de um filme pode dar informações sobre sua estrutura física e densidades menores que a da substância bruta indica que os filmes possuem porosidade (Furnal, 1997) 4. PROPRIEDADES MECÂNICAS 4.1. Coeficientes Elásticos dos Filmes Em muitos casos os esforços mecânicos são componentes ao longo do eixo do cristal semicondutor empregado para fabricação de elementos sensores, porém, em outros casos, trabalha-se em um sistema de coordenadas orientadas arbitrariamente, de modo que, deve ser usada a Lei de Hooke generalizada para determinar os coeficientes de deformação elásticas,, expressados através da Eq. (10): Sendo que, é um tensor de quarta ordem de constantes de deformações elásticas do substrato ou filme considerado. O conhecimento das constantes é fundamental para produzir diafragmas a partir de um determinado material, uma vez que, é possível determinar as relações que existem entre o esforço mecânico e a deformação mecânica e, consequentemente, o comportamento de um piezoresistor que venha a ser fabricado sobre um determinado substrato, cujos valores fundamentais ao longo dos eixos do cristal são: (10)

6 , e :. Na forma matricial, a Eq. (10) pode ser escrita da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) (11) Normalmente, para o silício escolhe-se para a fabricação de sensores a orientação cristalográfica (100) (Akbar, 1991). A literatura fornece informações sobre muitas das propriedades dos materiais, porém, cabe ao projetista avaliar e determinar aquelas que são importantes para um projeto específico. Neste trabalho pretende-se fazer avaliações e levantar experimentalmente as características relevantes para um projeto de transdutor piezoresistivo de pressão e determinar o fator de sensibilidade dos diferentes materiais usados em consonância com a metodologia proposta. O diagrama ilustrado na Fig. 6 (Próprio Autor) mostra como um material com propriedades semicondutora se comporta em termos elétricos, mecânicos e térmicos. A partir desta análise inicia-se o projeto de um transdutor. Figura 6. Diagrama dos efeitos cruzados em materiais semicondutores De acordo com o diagrama descrito e considerando que o sinal e a magnitude do efeito piezoresistivo está associada com o tipo de dopante, temperatura, orientação e qualidade cristalográfica (Maisel; Glang, 1983) exige-se um alinhamento dos piezoresistores sobre diafragmas com uma grande precisão de posicionamento nas regiões de máximo esforço mecânico (Furnal, 1997) para aperfeiçoar os efeitos resultantes.

7 Conhecendo-se os momentos de flexão no diafragma analisa-se a distribuição do esforço mecânico sobre o mesmo. As equações que permitem fazer estas análises são dadas pelas Eq (12) e (13). ( ) (12) ( ) (13) Na Fig. 7, é ilustrada esta distribuição de esforços para o eixo x em um diafragma de relação cuja pressão aplicada é e espessura. As coordenadas servem para posicionamento dos piezoresistores em região de esforço mecânico médio. (Rasia, 1997). Figura 7. Distribuição de esforços mecânicos nos eixos (xoy) Coeficientes de Rigidez Elásticas ou Coeficiente de Elasticidade Os esforços mecânicos em filmes podem ser escritos, de outro modo, em função das deformações mecânicas usando a Eq. (14), Onde,, são as constantes de rigidez elásticas. Como não existe uma representação espacial para os tensores de quarta ordem, é conveniente escrever a Eq. (14) de forma, matricial (Rasia, 1997). (14) ( ) ( ) ( ) (15)

8 Resistência ( ) XVII Encontro de Modelagem Computacional Nessas equações, os índices e ficaram condensados, assumindo valores entre 1 e 6, devido à simetria dos tensores. Deste modo, é possível de se fazer uma permutação entre índices sem alterar a propriedade dos mesmos Propriedades térmicas De forma geral, as propriedades térmicas, procuram descrever os efeitos associados à variação da resistência elétrica dos piezoresistores em função da variação da temperatura à qual os mesmos estão submetidos. Não existe, praticamente, uma propriedade física associada a elementos sensores piezoresistivos integrados que seja completamente independente da temperatura. Portanto; qualquer característica já atribuída aos elementos sensores piezoresistivos é sensível ao efeito da temperatura. Uma medida que venha a ser feita com e em um elemento sensor pode ser afetada pela temperatura e, portanto, sua influência deve ser considerada. Os efeitos da temperatura afetam os sensores e a medida por eles realizados de várias formas (Furlan, 1997). 5. DESCRIÇÃO DO MODELO UTILIZADO O modelo utilizado neste trabalho é dado pela Eq. (16). ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] (16) Onde, é a pressão aplicada, é a temperatura, é a resistência sem esforço mecânico na temperatura de referência (300 K), é o coeficiente piezoresistivo de cisalhamento no plano x-y e é o esforço mecânico de cisalhamento médio (Rasia, 1997). 4. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES Na Fig. 8 (Moi, 2014) é mostrada a relação entre a resistência e a variação de dopantes para piezoresistores de silício tipo P. Os valores da resistência foram gerados utilizando-se a Eq. (9) e os valores da variação de dopantes foram obtidos a partir da Eq. (5) Variação de Dopantes N (cm³) Figura 8 - Gráfico da resistência elétrica em função da concentração de dopantes para piezoresistor tipo P.

9 Com os valores do ( ) e os resultados encontrados através da Eq. (5) é possível verificar a relação entre ( ) e a variação de dopantes na Fig. 9 (Moi, 2014). Figura 9 - Variação de dopantes N por A Fig. 10 (Moi, 2014) mostra o comportamento do coeficiente piezoresistivo tipo P com a temperatura. O valor do varia entre e e a temperatura varia de -75ºC até 175ºC. Figura 10 - Coeficiente Piezoresistivo por Temperatura. 5. ANÁLISE DOS RESULTADOS A análise dos resultados simulados e mostrados na Fig. 8 sugerem que, dependendo do nível de dopantes e dos processos de fabricação, o piezoresistor tende a assumir um valor médio constante de resistência elétrica. O comportamento elétrico em função da concentração de dopantes, observado na Fig. 8, é característico para filmes finos de silício e está de acordo com os resultados mostrados por Maisel e Glang (1983), na Fig. 4. Observa-se, ainda, na Fig. 8 que a dependência da magnitude da resistência com a temperatura é minimizada se o silício possuir alta concentração de impurezas, mas que em contrapartida a utilização do silício com alta concentração de impurezas resulta em uma redução na resistividade e isso é uma desvantagem para aplicações em sensores, pois diminui o fator de sensibilidade.

10 O comportamento exponencial em função da temperatura observada na Fig. 8 e Fig. 10 são característicos para piezoresistores de silício. Na Fig. 9 verifica-se que o em função da variação de dopantes geram resultados aproximados com os estabelecidos na literatura, sendo que a medida da variação de dopantes é proporcional aos experimentos obtidos em testes laboratoriais. Estes valores são importantes para processos de fabricação de piezoresistores difundidos ou implantados. Pode-se observar que ao aumentar a temperatura o valor do irá diminuir, mostrando sua dependência com a temperatura e o comportamento exponencial para piezoresistores de silício tipo P. 6. CONCLUSÃO As análises dos resultados simulados mostram que o modelo matemático desenvolvido e utilizado na simulação é eficaz, pois os resultados obtidos coincidem com os já estabelecidos na literatura. Observa-se que dependendo do nível de dopantes, faixa de temperatura considerada e dos processos de fabricação o piezoresistor tende a assumir um valor médio constante de resistência elétrica em conformidade com os modelos matemáticos descritos. Verifica-se também que a dependência da resistência elétrica diminui à medida que a concentração de impurezas aumenta. REFERÊNCIAS Akbar, Muhammad. Interface circuit for piezoresistive pressure sensors. Dissertation. Department of Electrical Engineering. University of Michigan, Gniazdowiski, Z.; Kowalski, P., Practical approach to extraction of piezoresistance coefficienta. Institute of Electron Technology, Warsaw (Poland);1998. Kanda, Y.. A Graphical Representation of the Piezoresistance Coefficients in Silicon. IEEE Transactions on electron devices, vol. Ed-29, no. 1, january Maisel, L.; Glang, R., "Handbook of thin fiim technology". McGraw-Hillbook Company, Moi, Alberto. Validação de modelos matemáticos de sensores piezoresistivos baseados em filmes finos: p. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Departamento de Ciências Exatas e Engenharias, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, Rasia, L. A. Elementos Piezoresistivos para Sensores de Pressão com Tecnologia CMOS. São Paulo, 1997 Dissertação de Mestrado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Vlack, L. H. van, Propriedades de Materiais Cerâmicos. Edgard Blücher, São Paulo Furlan, H.; Proposta de implementação de membranas em sensores de pressão a elementos piezoresistivos utilizando a técnica de pós-processamento. São Paulo, 1997 Dissertação (Mestrado) EPUSP. Abstract. This paper employ a mathematical model of second order to explain the behavior of the polycrystalline silicon resistance due to the doping and temperature variation. Experimental results with the results of mathematical model simulations were compared using a second order aiming to improve the thermal properties of piezoresistores used in manufacturing integrated piezoresistive sensors. Keywords: mathematical modeling, sensor elements, piezoresistors, thermal coefficients.