MODELAGEM MATEMÁTICA DO COMPORTAMENTO TÉRMICO DE PIEZORESISTORES DE POLISILÍCIO

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA DO COMPORTAMENTO TÉRMICO DE PIEZORESISTORES DE POLISILÍCIO Rodrigo Couto Moreira 1, Marina Geremia 2, Alberto Moi 3, Luiz Antônio Rasia 4 1 Unjuí, Ijuí, Brasil, jpceditors@msn.com 2 Unijuí, Ijuí, Brasil, marinageremia@yahoo.com.br 3 Unijuí, Ijuí, Brasil, betomoiii@gmail.com 4 Unijuí, Ijuí, Brasil, rasia@unijui.edu.br Resumo: Neste trabalho empregam-se modelos matemáticos de segunda ordem para explicar o comportamento da resistência do silício policristalino em função da variação dopantes e da temperatura. Foram comparados os resultados experimentais com os resultados de simulações matemáticas empregando modelos de segunda ordem visando aperfeiçoar as propriedades térmicas dos piezoresistores usados nos processos de fabricação de sensores piezoresistivos integrados. Palavras chave: modelagem matemática, elementos sensores, piezoresistores, coeficientes térmicos. 1. INTRODUÇÃO A piezoresistividade consiste na mudança reversível da resistividade que um material apresenta devido a um stress mecânico aplicado [5]. Aplicando-lhe uma diferença de potencial pode se medir a sua resistência e relacionar estas alterações com as deformações provocadas no material pela tensão aplicada. A resistividade de um sólido não estressado é isotrópica, caso de estruturas cúbicas, já a variação de resistividade com strain elástico é anisotrópica e descrita pela Eq. (1). (1) Uma deformação num dado material exercida ao longo de uma determinada direção provoca sempre alterações em todas as dimensões. Desta forma deve-se reescrever o GF de acordo com a Eq. (4). Onde é o coeficiente de Poisson e o termo representa a alteração geométrica nas dimensões do material. Em alguns materiais semicondutores o efeito piezoresistivo, (4) prevalece ao efeito geométrico o qual produz um GF elevado permitindo medir pequenas deformações. Por outro lado, estes semicondutores apresentam uma forte sensibilidade a variação de temperatura. Existem diferentes tipos de estruturas de bandas semicondutoras com diferentes formas de superfícies de energia no espaço de onda K. Essas superfícies se modificam e promovem uma mudança na resistividade do material. No caso do silício o modelo de superfície de energia que parece ocorrer, para a banda de condução elétrica, é ilustrado na Fig. 1 e Fig. 2, cujo processo físico é denominado intervales (Intervalley), [6]. O tensor de piezoresistência tem a forma da Eq. (2). (2) ( ) ( ) A sensibilidade dos materiais piezoresistivos é chamada de gauge factor (GF) dos strain gauges ou elementos sensores. O GF, que se define como o quociente da variação relativa da resistência pela deformação,, aplicada, conforme a Eq. (3). (3) Fig. 1. Ilustração de superfície de energia para o Silício Não Estressado no momento de espaço K em relação ao eixo cristalográfico do material semicondutor

2 Fig. 2. Ilustração de superfície de energia para o Silício Estressado no momento de espaço K em relação ao eixo cristalográfico do material semicondutor Fig. 3. Coeficiente de Piezoresistência para o material tipo N [3] 2. SILÍCIO TIPO N E TIPO P Os semicondutores são do grupo de materiais elétricos possuindo condutividade elétrica, σ, intermediária entre metais e isolantes. A magnitude desta propriedade pode ser variada em quantidades controladas através da mudança do nível de concentração de impurezas, temperatura e excitação óptica, durante os processos de fabricação. Um número variado de materiais semicondutores tem sido investigado para o uso em dispositivos sensíveis à pressão. Sendo, atualmente, o silício o material mais utilizado nestas aplicações devido ao domínio dos processos de fabricação e a combinação de excelentes propriedades físicas e químicas. O silício é subdividido em monossilício e polissilício, os quais possuem propriedades piezoresistivas importantes, cada um com suas particularidades descritas a seguir. O monossilício está limitado a trabalhar em ambientes de temperatura não muito elevada devido aos efeitos de junção. Os sensores fabricados com este tipo de material apresentam um fator de sensibilidade muito elevado quando comparados aos metais, polisilício e outros. O polissilício não apresenta efeitos de junção porque os piezoresistores ficam isolados por uma camada de óxido. Desse modo, podem trabalhar em altas temperaturas e ter um bom fator de sensibilidade aos esforços mecânicos. A concentração de impurezas, N, é usada para alterar a condutividade dos semicondutores de modo que os mesmos podem se tornar materiais tipo N ou tipo P, dependendo do dopante como sugere [3]. Os coeficientes piezoresistivos,, para material tipo P e tipo N, estão relacionados com os níveis de concentração de impurezas, orientação cristalográfica do material, temperatura e, consequentemente, com o tipo de condutividade, [1], conforme ilustra a Fig. 3 e Fig. 4, onde os coeficientes piezoresistivos e a concentração de dopantes são analisados utilizando-se da variação de temperatura entre -75 C à 175 C. Fig. 4. Coeficiente de Piezoresistência para o material tipo P [3] Estes parâmetros são importantes para os processos tecnológicos de fabricação dos dispositivos sensores e atuadores uma vez que estão relacionados com a sensibilidade dos dispositivos [2, 4, 5]. A concentração de impurezas N é dada pela Eq. (4), onde,, representa a resistividade do material,, a mobilidade dos elétrons neste material e,, é a carga elétrica elementar [3]. (5) Fig. 5. Modelo físico de um piezoresistor. Num elemento sensor, como o mostrado na Fig. 5, a mudança da resistividade é descrita pela mudança relativa da resistência elétrica do resistor quando submetido a um estresse mecânico externo aplicado. Dessa forma, o modelo

3 Resistência ( ) matemático que descreve esta variação da resistência elétrica pode ser reescrito e relacionado com os componentes longitudinais e transversais do estresse mecânico e com os respectivos coeficientes piezoresistivos do material do qual é feito o elemento sensor, de acordo com a Eq. (6). (6) Sendo que e são os coeficientes piezoresistivos longitudinais e transversais, e, e são os esforços mecânicos longitudinais e transversais ao eixo de aplicação da força sobre o cristal semicondutor. As propriedades elétricas são importantes quando se deseja configurar piezoresistores, como sensores de pressão. A pressão pode causar um aumento ou uma diminuição da resistividade, dependendo do tipo de material e da direção sobre o qual é aplicada [5]. Em geral, a relação que existe entre a variação da resistência com os componentes do esforço mecânico pode ser expressa pela Eq. (7) e a Eq. (8). ( ) (7) ( ) (8) Fig. 6. Gráfico da resistência elétrica em função da temperatura para o piezoresistor tipo P. Segundo [5] o coeficiente piezoresistivo transversal descreve a variação da resistência a um esforço mecânico que possui direção perpendicular ao fluxo da corrente. Desse modo a Fig. 7 mostra a relação entre a resistência elétrica e o coeficiente piezoresistivo transversal DESCRIÇÃO DO MODELO UTILIZADO O modelo utilizado neste trabalho é dado pela Eq. (9). ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] (9) Onde, é a pressão aplicada, é a temperatura, é a resistência sem esforço mecânico na temperatura de referência (300 K), é o coeficiente piezoresistivo de cisalhamento no plano x-y e é o esforço mecânico de cisalhamento médio [5]. 4. RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES Na Fig. 6 as curvas extrapolam os valores medidos e compreendem uma faixa de temperatura de -60 ºC a 400 ºC, enquanto que, as curvas experimentais estão na faixa de 30 ºC a 270 ºC Transversal (m²/n) x Fig. 7. Resistência por ( ) A Fig. 8 mostra a relação existente entre a resistência elétrica e o coeficiente piezoresistivo longitudinal, ( ).

4 Resistência ( ) Resistência ( ) Resistência ( ) Longitudinal (m²/n) x Fig. 8. Resistência por ( ) Variação de Dopantes N (cm³) Fig. 10. Gráfico da resistência elétrica em função da concentração de dopantes para piezoresistor tipo P. A partir da Eq. (9) obtiveram-se os valores da variação da resistência com a temperatura para um piezoresistor de Silício tipo P cujo resultado possibilitou gerar o gráfico mostrado na Fig Temperatura (ºC) Figura 9. Gráfico da resistência elétrica em função da temperatura. Na Fig. 10 é mostrada a relação entre a resistência e a variação de dopantes para piezoresistores de silício tipo P. Os valores da resistência foram gerados utilizando-se a Eq. (9) e os valores da variação de dopantes foram obtidos a partir da Eq. (5). 5. ANÁLISE DOS RESULTADOS Observa-se na Fig. 7 que a variação na resistência elétrica diminui ao passo que o coeficiente piezoresistivo, ( ), aumenta. O comportamento linear decrescente apresentado na figura esta de acordo com os valores sugeridos pela literatura. A partir da Fig. 8, pode-se verificar que a resistência elétrica aumenta de forma proporcional ao aumento do coeficiente piezoresistivo longitudinal, ( ). Esse aumento de ambas as grandezas se deve ao fato de que o campo elétrico e a corrente estão na mesma direção do esforço mecânico, ocorrendo assim à relação entre o esforço mecânico e a mudança na resistividade. A análise dos resultados simulados e mostrados na Fig. 9 e Fig. 10 sugerem que, dependendo do nível de dopantes e dos processos de fabricação, o piezoresistor tende a assumir um valor médio constante de resistência elétrica. O comportamento elétrico em função da concentração de dopantes, observado na Fig. 10, é característico para filmes finos de silício e está de acordo com os resultados mostrados por [4], na Fig. 4. Observa-se, ainda, na Fig. 10 que a dependência da magnitude da resistência com a temperatura é minimizada se o silício possuir alta concentração de impurezas, mas que em contrapartida a utilização do silício com alta concentração de impurezas resulta em uma redução na resistividade e isso é uma desvantagem para aplicações em sensores, pois diminui o fator de sensibilidade. O comportamento exponencial em função da temperatura observada na Fig. 9 e Fig. 10 são característicos para piezoresistores de silício. 6. CONCLUSÃO As análises dos resultados simulados mostram que o modelo matemático desenvolvido e utilizado na simulação é eficaz, pois os resultados obtidos coincidem com os já estabelecidos na literatura. Observa-se que dependendo do nível de dopantes, faixa de temperatura considerada e dos processos de fabricação o piezoresistor tende a assumir um

5 valor médio constante de resistência elétrica em conformidade com os modelos matemáticos descritos. Verifica-se também que a dependência da resistência elétrica diminui à medida que a concentração de impurezas aumenta. REFERÊNCIAS [1] AKBAR, Muhammad. Interface circuit for piezoresistive pressure sensors. Dissertation. Department of Electrical Engineering. University of Michigan, [2] GNIAZDOWISKI Z.; KOWALSKI P., Practical approach to extraction of piezoresistance coefficienta. Institute of Electron Technology, Warsaw (Poland);1998. [3] KANDA, Y.; A Graphical Representation of the Piezoresistance Coefficients in Silicon. IEEE Transactions on electron devices, vol. Ed-29, no. 1, january [4] MAISEL, LI e GLANG, R., "Handbook of thin fiim technology". McGraw-Hillbook Company, [5] RASIA, L. A. Elementos Piezoresistivos para Sensores de Pressão com Tecnologia CMOS. São Paulo, 1997 Dissertação de Mestrado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. [6] VLACK, L. H. van, Propriedades de Materiais Cerâmicos. Edgard Blücher, São Paulo