RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA PARA O ENSINO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA PARA O ENSINO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS G7 - Ensino e Aprendizagem de Matemática no Ensino Médio e no Ensino Superior Maria Ilíria Rossi (MP-2012)/ iliria@fatecsp.br Norma Suely Gomes Allevato/ normallev@uol.com.br Resumo Neste trabalho fazemos um relato de algumas atividades que foram elaboradas para auxiliar o avanço na aprendizagem dos alunos de Cálculo Diferencial e Integral II, utilizando a metodologia de ensino através da Resolução de Problemas. A atividade aqui narrada teve como objetivo provocar os alunos, por meio de problemas, a construírem seu próprio conhecimento, fazendo também uma parceria professor-aluno na construção colaborativa do pensamento matemático. A metodologia de pesquisa utilizada foi a qualitativa e os procedimentos metodológicos aplicados foram a pesquisa participante, a observação participante e a análise documental. O problema aqui apresentado, foi escolhido visando preencher a necessidade de repensar em como buscar novas formas de ensino de Cálculo, para que possamos responder às indagações de como ter uma melhor visualização e compreensão dos conceitos e melhorar a aprendizagem. Com a intenção de preparar o aluno para as diferentes etapas de sua vida que, de uma forma ou de outra, encontrará provas, concursos e testes, atualmente quase todos elaborados para que não usem algoritmos, fórmulas e memorização, buscamos na metodologia de ensino através da resolução de problemas atividades que levassem os alunos a terem motivação e confiança em seus conhecimentos prévios, conduzindo-os para a construção de novo conhecimento durante as atividades. Palavras-chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Ensino de Cálculo Introdução Ao longo do tempo os professores tentam ajudar os alunos a serem mais eficientes quando eles se deparam com resolução de problemas. Assim como a Matemática, a resolução de problemas antes era somente possível para alguns iniciados, restrita a um grupo privilegiado de alunos. Embora esse quadro esteja mudando, alguns professores ainda levam aos alunos rituais e regras para a resolução de problemas, marginalizando sua criatividade. A metodologia de ensino através de resolução de problemas reforma e desmistifica esse trabalho. Com ela, aos poucos, as dificuldades iniciais encontradas no decorrer do problema são contornadas até encontrar um caminho de resolução. A liberdade concedida ao aluno e sua criatividade, durante a 1

2 aplicação dessa metodologia de ensino, fazem com que se chegue a uma solução de uma maneira mais natural, melhorando o convívio humano, entre os próprios alunos e entre os alunos e o professor, de forma civilizada e colaborativa durante a resolução. Assim, neste trabalho analisamos algumas atividades que foram elaboradas para auxiliar na aprendizagem de alunos de Cálculo Diferencial e Integral II, utilizando a metodologia de ensino através da Resolução de Problemas. Contexto e Metodologia de Pesquisa A pesquisa aqui relatada faz parte da dissertação de mestrado de Rossi (2012), desenvolvida com alunos de um curso superior de tecnologia, que estavam cursando a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, uma vez que as atividades apresentadas necessitavam de conhecimentos já trabalhados no Cálculo Diferencial e Integral I. Preparamos atividades para cinco encontros e tivemos em média 17 estudantes por encontro. Para a elaboração dos problemas foram consultados livros usualmente adotados nos cursos de Cálculo, como o de Hallett et al (1997), entre outros. Para uma melhor adequação ao que pretendíamos fazer, foi escolhida a pesquisa qualitativa para organização e condução do trabalho. Segundo Bogdan e Biklen (1999), essa metodologia possui, entre outros traços distintos, a característica de que o investigador é o principal instrumento, sendo determinante o local da pesquisa. Além disso, Flick (2009) considera que a triangulação é importante para superar demarcações limitadas por um único método, facilitando a flexibilidade e conexões entre os métodos. Desse modo, os métodos aplicados foram a pesquisa participante, a observação participante e a análise documental. Foi elaborado um diário de campo onde foram feitas anotações; áudio-gravações registraram os diálogos; e foram registrados alguns momentos com fotografia. O pesquisador fez parte ativa durante a pesquisa, não sendo somente um observador ou um coletor de dados, mas estando integrado aos processos como realizador da pesquisa. A pesquisa participante foi um ponto central da pesquisa que realizamos. Da mesma forma, a observação participante faz com que o pesquisador colete os dados fazendo parte na vida do grupo, observando, compartilhando e interpretando (GOLDENBERG, 2007). 2

3 Após a participação tanto da construção e condução da pesquisa como da observação das atividades realizadas, analisamos as produções escritas dos alunos, que foram registradas após a aplicação das atividades de resolução de problemas durante os encontros realizados. A análise documental também faz parte da pesquisa qualitativa. Ela valoriza e aprimora as informações, revelando novos problemas e nos levando, assim, a uma fonte rica de dados. (LÜDKE E ANDRÉ, 1986). Os documentos analisados foram as resoluções escritas dos problemas propostos aos alunos. O Ensino e a aprendizagem do Cálculo Discutir como ensinar, como avaliar e como os alunos aprendem, tem sido preocupação de vários pesquisadores, como vemos em Frota (2007) e Rezende (2003), entre outros, buscando desenvolver reflexões sobre as dificuldades com o Cálculo Diferencial e Integral. No decorrer de nossa vida acadêmica, muitas vezes não analisamos detalhes do que estamos fazendo, se existe algo diferente ou digno de nota ; porque, no desenrolar de nossas aulas, estamos tão preocupados em cumprir programas de conteúdos, carga horária e um certo tipo de burocracia administrativa, que não enxergamos fatos importantes. Foi o que aconteceu comigo: somente após algumas leituras, me dei conta de que utilizava as representações múltiplas em minhas aulas, sem nunca ter parado para enxergar sua força na aprendizagem. As representações múltiplas fazem parte do meu repertório, tanto quanto dos meus alunos. Mas tive de tomar conhecimento dos escritos de Borba (1994), Allevato (2005), Villarreal (1999) e outros para posicionar, em seu merecido lugar, as representações múltiplas e entender o quanto elas reformulam os pensamentos, desafiam e criam ambientes propícios para a aprendizagem, estimulam e flexibilizam o pensamento, ao transitar da tabela para o gráfico e para o numérico. Mesmo com a incorporação de novas tecnologias, podemos vislumbrar que faltam recursos metodológicos a serem desenvolvidos. Precisamos de um dinamismo e renovação que incremente a prática e ofereça novas alternativas para o ensino aprendizagem de Cálculo. Nesse sentido propomos uma atividade fundamentada na Metodologia de Ensino de Matemática através de Resolução de Problemas. 3

4 A Resolução de Problemas como Metodologia de Ensino A resolução de problemas reflete desafios que exigem julgamento, compreensão e esforço intelectual no desenvolvimento matemático dos estudantes. Renovam-se, assim, as significações sobre resolução de problemas, já usada com muitas conotações desde Polya (1995) 1 até Allevato e Onuchic (2009). Na busca de uma proposta para colocar em prática essa metodologia em sala de aula, encontramos Allevato e Onuchic (2009), que apresentam, como sugestão, as seguintes etapas: 1. Preparação do problema. É o planejamento da atividade, não perdendo o foco do que é a realidade do aluno e aonde queremos chegar em relação ao conteúdo. 2. Leitura individual solicitar que cada aluno faça a leitura do problema. 3. Leitura em conjunto podemos organizar os alunos em pequenos grupos e solicitar uma releitura; e, se ainda houver dificuldade, fazer uma nova leitura com toda a classe. 4. Resolução do problema - nesse momento os alunos usarão seus conhecimentos prévios e as técnicas que escolherem, desenvolvendo processos e conceitos, usando as habilidades que possuem para resolver o problema proposto. 5. Observar e incentivar - cabe ao professor não dizer completamente como resolver, mas somente orientar e incentivar. 6. Registro das resoluções na lousa - após a resolução, os alunos serão convidados a colocar na lousa os resultados obtidos pelo grupo, para que possam ser feitas comparações e discussões. Todas as conclusões serão compartilhadas, tanto as certas como as erradas. 7. Plenária - nesse momento cada grupo explicará a toda a classe o porquê da sua resolução, o que o levou a resolver daquele modo. O professor deve intermediar, questionar, promover reflexões sobre o que foi apresentado. 8. Busca do consenso. O professor deve decidir, com a classe, qual resolução está certa e analisar o porquê. 1 A versão consultada, em português, do livro A Arte de Resolver Problemas, de George Polya, é de 1995, mas a obra original é de

5 9. Formalização do conteúdo. Após o consenso quanto à resolução do problema, o professor desenvolverá formalmente o conteúdo matemático previsto para a aula, apresentando a teoria e relacionando-a com o problema que foi resolvido. Aqui temos a construção do conhecimento sobre o alicerce formado pela resolução de problemas e pelas reflexões realizadas. O conteúdo matemático, então, terá sentido para o aluno. Apresentação e análise dos dados. Preocupada em buscar um problema que trabalhasse com representações múltiplas (gráfica, numérica e algébrica) e ao mesmo tempo mantivesse elevado o interesse dos alunos, encontrei uma aplicação da Lei de Newton do Aquecimento e Resfriamento, que se encaixava na minha busca por uma questão que fosse de interesse dos alunos: Newton sugeriu que a temperatura de um objeto quente diminui a uma taxa proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Da mesma forma, um objeto frio se aquece a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente Problema Quando é cometido um assassinato, o corpo, originalmente a 37 C, esfria de acordo com a Lei do Resfriamento de Newton. Suponha que após duas horas a temperatura seja de 35 C, e que a temperatura ambiente permaneça constante e igual a 20 C. a) Determine a temperatura T do corpo em função do tempo t em horas desde que o assassinato foi cometido. b) Monte uma tabela de com a temperatura variando de 20 C a 37 C. c) Esboce o gráfico da temperatura em função do tempo. d) O que acontece a longo prazo com a temperatura? Mostre isto no gráfico e algebricamente. e) Se o corpo foi encontrado às 4 horas da tarde com a temperatura de 30 C, quando o assassinato foi cometido? Fonte: Adaptado de Hallett et al.(1997) Seguindo rigorosamente a sequência da Metodologia de Ensino através da Resolução de Problemas, após entregar a folha com o problema para cada aluno do grupo, e uma a mais em que transcreveriam a resolução que me seria entregue para fazer parte da documentação, pedi que os alunos lessem com calma, item por item. Após a leitura expliquei que teriam de montar a equação a ser estudada, como havia sido feito nos encontros anteriores. Lembrei que faríamos uma plenária após o primeiro item estar pronto, para que, assim, todos pudessem seguir tranquilamente para os itens restantes. Com essa diretriz, muitos alunos foram buscar apoio nas anotações do caderno, das aulas e encontros anteriores. Notei confiança nos integrantes dos grupos, e fui caminhando entre eles, sempre incentivando, pedindo mais e procurando nunca 5

6 influenciar ou dar a resposta, apesar de ser difícil segurar esse lado tradicional de professora. Observei que eles tiveram necessidade de fazer mais de uma leitura. Aliás, fizeram várias leituras conjuntas e também individuais. Eles demoraram mais tempo do que o previsto, mas a alegria da conquista foi visível, quando o grupo chegou a um acordo sobre a expressão da temperatura T em função do tempo t. Em seguida, a discussão recomeçou em torno da dúvida sobre como achar o valor da constante K, se seria positivo ou negativo, porque a temperatura pode diminuir ou subir. Fizemos a plenária, eles expuseram todas as dúvidas que encontraram no decorrer da resolução, mas foi uma vitória para eles verem na lousa as resoluções que tinham feito e constatar que não havia grandes diferenças entre elas. O próximo passo foi a montagem da tabela e, para facilitar a correção, solicitei que começassem os valores de t a partir de 10 horas, usando intervalo de 10 em 10. O item (c) utilizava a tabela completada no item (b) para montagem do gráfico, que não apresentou dificuldades para os alunos. O item (d) foi logo entendido como limite quando leram a expressão a longo prazo, no enunciado da questão. Foi um encontro muito rico em discussão, com intenso movimento de relembrar propriedades e buscá-las nas anotações. Apesar da facilidade para obter a equação diferencial, alguns alunos tiveram dificuldade nas transformações exigidas no item (e). Apresentamos algumas resoluções do problema: 6

7 Figura 2: Resolução correta dos itens (a), (b) e (c) Fonte: Resolução elaborada pelos alunos Figura 1: Resolução correta do item (a), (b), (c), (d) e (e) Fonte: Resolução elaborada pelos alunos 7

8 Figura 2: Resolução com finalização imprecisa do item (e) Fonte: Resolução elaborada pelos alunos Todas as dúvidas e os erros cometidos inicialmente foram discutidos em plenária e os alunos se mostraram bastante satisfeitos com as compreensões que desenvolveram e com os conhecimentos construídos. Considerações Finais A metodologia de ensino através da Resolução de Problemas possibilitou o crescimento dos alunos, a satisfação por terem entendido e resolvido a questão, e a construção de conhecimento significativo sobre equações diferenciais. O uso das representações múltiplas levou os alunos a pesquisarem no caderno e em outras anotações, indo, assim, buscar no que já tinham estudado aquilo que no momento precisavam; foram buscar teorias e exercícios para realizarem a atividade. O professor orientou, demarcou limites e houve um movimento em que os alunos criaram, apareceram e transformaram seus modos de se relacionar com a disciplina (o Cálculo), com os colegas e com o professor. E, acima de tudo, eles perceberam essa modificação que estava acontecendo, essa alteração de um estado estático, sem movimento, para uma situação dinâmica e ágil de aprendizagem. Os alunos discutiram, foram em busca da teoria, criaram suas próprias definições; foram elaborando, manipulando, como uma 8

9 pequena bolha, essa criação que cada grupo fazia e, então, nas plenárias, essa bolha se rompe, fazendo surgir alunos mais seguros do seu conhecimento, mais ativos e conscientes do que aprenderam. Referências ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas fechados: Análise de uma experiência, 2005, 378f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro, ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando matemática na sala de aula através da resolução de problemas. Boletim Gepem/Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, RJ, n.55, jul./dez. 2009, p , BOGDAN, R; BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Lisboa: Porto Editora, p. BORBA, M. C. Computadores, Representações Múltiplas e Construção de Idéias Matemáticas. Bolema, Rio Claro, ano 9, especial 3, p , FLICK, U. Introdução à Pesquisa Qualitativa. 3. ed. Porto Alegre: Artmed, p. FROTA, M. C. R. Teoria e Prática na Aprendizagem de Cálculo. Bolema, Rio Claro, ano 20, n 28, p.21-38, GOLDENBERG, M. A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em Ciências Sociais. 10. ed. Rio de Janeiro: Record, p. HALLETT, H et al. Cálculo. Tradução: CAMELIER R. G.; ALBUQUERQUE, I. Rio de Janeiro: LTC, v.ii, p. LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 2. Ed., p. REZENDE, W. M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica, 2003, 340f. Tese (Doutorado em Educação-Área de Ciências e Matemática) Faculdade de Educação, USP, São Paulo, ROSSI, M. I. A Aprendizagem das Aplicações das Integrais Indefinidas em Equações Diferenciais Através da Resolução de Problemas, 2012, 142f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática), Universidade Cruzeiro do Sul São Paulo, VILLARREAL, M. E. O pensamento matemático de estudantes universitários de Cálculo e tecnologias informáticas, 1999, 402p. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Instituto de Geociências e Ciências Exatas, UNESP, Rio Claro,