A Resolução de Problemas na Aprendizagem dos Logaritmos no Ensino Médio

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1 A Resolução de Problemas na Aprendizagem dos Logaritmos no Ensino Médio Aline Franco de Brito 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio Com este trabalho pretendemos apresentar o projeto de uma pesquisa de Mestrado Profissional que está em desenvolvimento junto ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo/SP. O objetivo é analisar uma abordagem diferenciada para o ensino de logaritmos através da Resolução de Problemas. Nesta metodologia considera-se o problema como ponto de partida e orientação para a construção da aprendizagem. A pesquisa será de natureza qualitativa. Os métodos que julgamos mais apropriados para o desenvolvimento deste projeto são a observação participante e a análise documental: os documentos serão as atividades, trabalhos e avaliações produzidas pelos alunos. Será realizada gravação em vídeo e áudio de todas as atividades realizadas e as falas dos alunos serão transcritas e analisadas. A pesquisa será realizada com alunos do primeiro ano do Ensino Médio, matutino, de uma Escola Estadual localizada na zona sul da cidade de São Paulo, onde a pesquisadora atua como professora de Matemática e Física. Palavras-chave: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Logaritmos. Ensino-Aprendizagem. Justificativa No decorrer dos meus anos como professora nos Anos Iniciais, Anos Finais e Ensino Médio tenho observado que alguns conteúdos matemáticos são deixados, pelos professores de Matemática, para serem abordados no final do ano. Isto ocorre, por vezes, pela falta de domínio, pelo educador, do conteúdo ou da forma de trabalhar o conteúdo em questão. Sendo assim, esses conteúdos matemáticos considerados difíceis são trabalhados de forma apressada e superficial ou, até, nem são trabalhados, deixando lacunas na aprendizagem matemática de muitos alunos. Isso é o que tem acontecido, com frequência, com o ensino de logaritmos. Também me incluo nesse grupo de professores que sente a necessidade de 1 Universidade Cruzeiro do Sul, alinegfb@hotmail.com.br, orientadora: Profª. Dra. Norma Suely Gomes Allevato

2 encontrar uma forma de transmitir esse conteúdo de forma clara e compreensível aos alunos, proporcionando-lhes, assim, a oportunidade de compreenderem o tema e de vivenciarem uma aprendizagem, entendendo sua importância na resolução de problemas diversos e na continuação de seus estudos. Essas observações me levaram a relembrar minhas experiências como aluna. Também fui ensinada de modo a evitar os logaritmos, de tal forma que muitas vezes optei por lecionar em outras séries para, de mesmo modo, evitar o insucesso no ensino desse conteúdo. Entretanto, nos últimos anos fui levada a lecionar para o primeiro ano do Ensino Médio, o que me obrigou a procurar meios de ensinar de forma mais eficiente, tentando ajudar os alunos a experimentarem uma aprendizagem efetiva desse conteúdo. De acordo com Romberg (1992), algo essencial para uma pesquisa é o interesse particular do pesquisador por um tema; ele é o ponto de partida para um trabalho de pesquisa e determina fortemente o desenvolvimento de uma investigação. Hoje, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional-LDBEN nº 9394/96 (BRASIL, 1996) mudou o foco do ensino brasileiro, anteriormente colocado no ensino, para garantir o direito de aprender. Com muito maior especificidade, também temos os Parâmetros Curriculares Nacionais PCNEM (BRASIL, 1999) que recomendam o trabalho escolar baseado em competências, e sugerem que a escola e o professor indiquem em seus planos o que o aluno deve aprender. Assim, cabe ao professor não apenas indicar o que pretende ensinar, mas sim o que o aluno precisa aprender. (SÃO PAULO, 2010) Os PCNEM de Matemática (BRASIL, 1999) sugerem que o aluno deve adquirir competências e habilidades que sirvam para o exercício de intervenções e julgamentos práticos. Como competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática temos: Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc). Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. Formular hipóteses e prever resultados. Selecionar estratégias de resolução de problemas. Interpretar e criticar resultados numa situação concreta. Distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos. Discutir idéias e produzir argumentos convincentes. Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1999, p. 45) Essas competências vêm ao encontro de uma necessidade evidente de se trabalhar com resolução de problemas de modo intenso e consciente. E a sala de aula de Matemática constitui-se num contexto bastante propício a esse trabalho. O Currículo do Estado de São

3 Paulo (SÃO PAULO, 2010) determina como habilidades relacionadas com os logaritmos, compreender significado dos logaritmos, conhecer as propriedades dos logaritmos e resolver equações e inequações envolvendo logaritmos. Sendo assim, gostaríamos de elaborar um conjunto de atividades para analisar se podem auxiliar os alunos a aprenderem logaritmos durante a resolução de problemas. Pretende-se propiciar a compreensão necessária para a valorização do conteúdo pelo aluno e, também, da Matemática. Sendo assim, a partir das experiências pessoais aqui relatadas e das orientações oficiais consultadas, escolhi os logaritmos e como ensiná-los como tema para minha pesquisa de mestrado. Questão Geral de Pesquisa Com base nessas justificativas, orientaremos nossa pesquisa pela seguinte questão: Como os alunos aprendem logaritmos através da Resolução de Problemas? Assim, com este trabalho de pesquisa, pretendemos analisar como os alunos aprendem logaritmos, suas características, propriedades e aplicações utilizando a Resolução de Problemas. Tendo esta questão como parâmetro e com base no Curriculo do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2010), elaboramos algumas questões específicas que nos ajudarão a responder a questão geral: Como os alunos percebem a relação da função logarítmica com a função exponencial? Como os alunos compreendem a relação entre os logaritmos e suas principais propriedades? Como os alunos conseguem resolver problemas que envolvem equações e inequações simples utilizando logaritmos? A Resolução de Problemas é eficiente para promover a aprendizagem de logaritmos?

4 Metodologia de Pesquisa Segundo Bogdan e Biklen (1994), Lüdke e André (1986) e Allevato (2008), a pesquisa qualitativa tem as seguintes características, que podem ou não estar presentes em sua totalidade em uma pesquisa qualitativa: 1- O investigador tem contato direto com o ambiente no qual fará sua pesquisa, produzindo uma análise pessoal e interpretativa de todos os dados obtidos. Com a inserção do pesquisador no meio onde fará sua pesquisa, fica mais fácil compreender e interpretar os fatos. 2-O material produzido será detalhadamente descrito para uma maior compreesão do estudo e pesquisa que está sendo desenvolvida. 3-O pesquisador está mais preocupado com o processo do que com o produto seu interesse é voltado a compreender como algo se manisfeta dentro de um contexto. 4-É feita uma análise indutiva, partindo de uma questão maior até chegar a perceber, nos dados, aspectos de maior relevância. 5-Para obter um resultado de real e relevante valor busca-se o ponto de vista dos envolvidos na pesquisa, compara-se com o de outros pesquisadores e comparam-se pontos de vista diferentes, objetivando manter um diálogo entre todos os envolvidos na pesquisa. Com relação a esse quinto ponto, Allevato (2008) destaca que na pesquisa qualitativa a compreensão de um fenômeno só é possível quando se compreende as inter-relações entre os envolvidos na pesquisa. Os dados coletados, registros de falas, documentos produzidos, observações feitas, vídeos e fotos serão detalhadamente descritos; as relações interpessoais serão valorizadas. Os métodos e recursos empregados na coleta dos dados permitirão que fatos relevantes sejam relatados, apresentados a partir de fontes diferentes para resultarem em uma análise coerente, que poderá ser indutiva. Observação participante A observação é uma parte vital de uma pesquisa qualitativa; deve ser bem planejada, programada e registrada, para produzir um produto confiável e válido para o meio científico. Para nossa pesquisa, a observação participante é um método bem apropriado, pois permite que o pesquisador envolva-se com o processo desde o início, podendo produzir uma análise

5 mais adequada do processo e do comportamento dos envolvidos. Para validar a observação, o pesquisador deve delimitar o quê e como observar; com isso poderá perceber quais aspectos do problema cobrirá, provendo a compreensão do tema. Deve preparar o ambiente, escolher quais formas de registros usará, como encontrará os dados mais relevantes, como organizará os dados selecionados, quais métodos serão utilizados para validar seus registros e conclusões. Cabe ao observador participante decidir o grau de envolvimento e também a duração do período da observação. Segundo Lüdke e André (1986), as observações devem ser formadas por uma parte descritiva e uma parte reflexiva. A parte descritiva decorre das observações que ocorrem no campo a ser pesquisado e inclui: Descrição dos sujeitos: sua aparência física, seus maneirismos, seu modo de vestir, de falar e de agir. O que os diferencia dos demais. Reconstrução de diálogos: as palavras, os gestos, os depoimentos, as observações feitas entre os sujeitos ou entre estes e o pesquisador devem ser registrados: se possível utilizar as suas próprias palavras. Descrição de locais: o ambiente onde é feita a observação deve ser descrito. Descrição das atividades: descrever as atividades e os comportamentos dos observados, na sequência em que ocorrerem. Comportamento do observador: suas atitudes, ações e conversas com os participantes durante a pesquisa. Como parte reflexiva, que inclui as observações pessoais do pesquisador, apresentaremos: Reflexões analíticas: registro do que está sendo aprendido, isto é, temas, associações e relações entre as partes, novas ideias surgidas. Reflexões metodológicas: estratégias e procedimentos metodológicos utilizados, os problemas encontrados durante a coleta dos dados e como foram resolvidos. Mudança na perspectiva do observador: anotar expectativas, opiniões, preconceitos e conjecturas do observador e sua evolução durante o estudo. Esclarecimentos necessários: pontos a serem esclarecidos, aspectos que parecem confusos, elementos que necessitam de maior exploração.

6 Pelo fato de muitos detalhes influenciarem nas observações, todas as anotações deverão ser feitas o mais próximo possível da observação para manter a integridade e a fidelidade dos dados construídos. No caso da minha pesquisa, eu mesma, como pesquisadora e professora dos alunos participantes, serei a responsável pela elaboração, aplicação e observação das atividades de resolução de problemas sobre logaritmos. Os participantes serão meus alunos de 2º ano do Ensino Médio, de uma escola Estadual da cidade de São Paulo. Análise documental É uma técnica, entre os métodos qualitativos, onde são feitas as análises dos documentos obtidos na pesquisa. As autoras Lüdke e André (1986) destacam que essa técnica é uma valiosa abordagem para a pesquisa qualitativa, pois busca identificar informações factuais nos documentos. Eles constituem uma fonte estável e rica, podem ser consultados várias vezes e fornecem evidências que fundamentam as afirmações, declarações e percepções do pesquisador, indicando o que precisa ser melhor trabalhado. Enfim, a análise documental, quando bem feita, poderá dar a forma e a validação ou não da pesquisa em andamento, além de indicar quais parâmetros poderão ser atingidos ou deverão ser substituídos, fornecendo o por que das inferências e interferências necessárias. Como os alunos participantes da pesquisa que pretendo desenvolver serão envolvidos em atividades de resolução de problemas, os documentos analisados serão as resoluções escritas produzidas por eles, para os problemas propostos; bem como para as atividades de avaliação e outras que julgarmos necessárias no decurso da investigação. Resolução de Problemas A Resolução de Problemas é uma metodologia de ensino que oferece subsídios no sentido de incrementar a aprendizagem, melhorando os processos de ensino e as práticas dos professores de Matemática. Segundo Onuchic (1999), que cita Klein (1892), as universidades deveriam se preocupar com o ensino preparatório nas escolas, dando ênfase à boa educacação dos professores. O ensino de Matemática não deve, mais, ser desenvolvido por memorização; precisa, agora, levar os alunos a pensar, ou seja, a aprender com compreensão, a entender o que estão fazendo.

7 A Resolução de Problemas mostra-se adequada para isso, pois promove a aprendizagem através da resolução e problemas, fazendo conexão com os PCN (BRASIL, 1998, 1999), que apontam para o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas como um dos propósitos do Ensino de Matemática. Atualmente, os professores têm enormes desafios: promover a compreensão dos estudantes, atender o currículo prescrito, avaliar de forma adequada e, com isso, garantir acesso dos alunos à Matemática. Para atingir esses objetivos, a Resolução de Problemas é uma possibilidade importante, pois tem como característica principal demonstrar que a aprendizagem é fruto de uma atividade colaborativa, por meio de participações efetivas de todos os envovidos e tendo como resultado uma Matemática sem os traumas causados pelo ensino tradicional. Essa metodologia de ensino dá ao educador a oportunidade de mudar sua atuação, podendo selecionar e elaborar problemas que, simultaneamente, promovem a aprendizagem e a avaliação de conteúdos novos e presentes. Segundo Van de Walle (2009), a Resolução de Problemas torna os professores de Matemática mais eficientes, pois os capacita a fazer matemática, compreender como os alunos aprendem, a planejar e selecionar atividades que realmente promovam a aprendizagem. Vemos que a Resolução de Problemas não é uma metodologia engessada, mais sim flexível, e para auxiliar em sua aplicabilidade podemos seguir algumas etapas, sugeridas por Allevato e Onuchic (2009): Preparação do problema: cabe ao educador escolher ou aceitar que os alunos escolham o problema que usará para construir um novo conceito, lembrando que o conteúdo matemático necessário na resolução ainda não deve ter sido trabalhado. Leitura individual: cada aluno deve ter uma cópia para que faça a leitura do problema individualmente. Leitura em grupo: formar grupos de alunos, pedir uma nova leitura do problema, agora em grupo. Se for preciso, o professor poderá auxiliar na leitura do texto, caso apareça palavras desconhecidas é permitido o uso do dicionário.

8 Resolução do problema: eliminadas as dúvidas em relação ao enunciado, os alunos em grupo deverão buscar resolver o problema, o professor os conduzirá à construção do conteúdo matemático desejado. Observar e incentivar: o professor observa, analisa o comportamento dos alunos, incentiva os alunos a usarem seus conhecimentos do modo que for preciso. O professor acompanha e, se for necessário, ajuda com dicas e questionamentos para que os alunos possam dar continuidade à atividade. Registros das resoluções na lousa: os alunos serão convidados para registrar na lousa suas resoluções, sejam certas ou não, feitas por processos diferentes. Plenária: É o momento onde os alunos discutem as diferentes resoluções registradas, cada grupo deve defender seus pontos de vista e esclarecer dúvidas; é um momento rico para a aprendizagem. Busca do consenso: Após a exposição dos pontos de vistas diferentes, o professor tenta, com toda classe, chegar a um consenso sobre o resultado correto. Formalização do conteúdo: O professor registra na lousa uma apresentação formal, padronizando o resultado correto obtido através da Resolução de Problema, dando atenção às técnicas operatórias, à linguagem, às definições, às demonstrações e aos conceitos matemáticos desejados. Segundo Cai e Lester (2012), incorporar a resolução de problemas na prática do professor proporcionará a melhoria do entendimento matemático dos alunos, pois, por meio de desafios, o interesse e a curiosidade surgirão consolidando e estimulando a aprendizagem. Se queremos que os alunos sejam solucionadores de problemas, não apenas aplicadores de fórmulas, é preciso inovar nas aulas de Matemática. Com o ensino através da Resolução de Problemas os alunos desenvolverão habilidades lentamente, mas passarão a ter confiança, encontrarão estratégias que justificarão suas ações e generalizarão suas escolhas, tudo isso proporcionará uma aprendizagem matemática sólida e aplicável em sua vida, dentro ou fora da escola. Segundo Van de Walle (2009), a maioria se não todos os conceitos e procedimentos matemáticos podem ser ensinados e, trabalhados com a resolução de problemas, produzindo bons resultados, envolvendo os alunos, levando-os a pensar e a desenvolver a Matemática que eles precisam entender.

9 Não raro, o professor ensina e os alunos apenas praticam uma Matemática sem sentido, pois é apenas mostrada ou dita ; a Matemática é quase mística. Mas a resolução de problemas pode mudar esse perfil da Matemática e do educador. Ela permite que os alunos procurem formas diferentes de aprender e de resolver as atividades escolhidas previamente pelo professor, que não são resolvidas apenas pelo uso de fórmulas, mas conhecendo e apresentando justificativas de se resolver algo deste ou daquele modo. A busca pelo conhecimento para a resolução é que diferencia essa metodologia, pois tal atividade transforma os alunos em seres pensantes e atuantes em sua busca pelo conhecimento. Quanto a esse ponto, Van de Walle (2009) admite que ensinar usando a resolução de problemas não é fácil, pois exige do educador uma mudança em seu modo de ser, e suas aulas exigirão uma preparação mais detalhada, pois as tarefas devem ser selecionadas de acordo com as necessidades dos alunos e do curriculo. Mas, segundo Van de Walle (2009), há boas razões para o uso desta metodologia: Concentra a atenção dos alunos sobre as ideias e em dar sentido às mesmas. Desenvolve nos alunos a convicção de que eles são capazes de fazer Matemática e de que a Matemática faz sentido. Fornece dados contínuos para a avaliação, que podem ser usados para tomar decisões educacionais, ajudar os alunos a ter bom desempenho e manter os pais informados. Possibilita um ponto de partida para uma ampla gama de alunos, ou seja, cada aluno dá um significado pessoal ao que está aprendendo, pois usa suas próprias ideias. Envolve os estudantes, de modo que ocorrem menos problemas de disciplina. Desenvolve o potencial matemático. É divertido. O ensino através da Resolução de Problemas mudará a atitude do professor tornando-o exímio na escolha de tarefas envolventes e, para os alunos, poderá proporcionar o desenvolvimento da confiança em suas habilidade, da perseverança no fazer, e do gosto pela Matemática. Pesquisas como as de Jinfa Cai e Lester (2012), Allevato e Onuchic (2009) e Van de Walle (2009) sugerem que a resolução de problemas deve ser ensinada como parte integrante da aprendizagem matemática, pois, além de desenvolver habilidades de pensamento de ordem

10 superior dos alunos, reforça atitudes positivas e leva à construção de conhecimento matemático claro, consciente e aplicável. Considerações Finais Neste trabalho, foram apresentadas as linhas gerais do projeto de pesquisa que pretendemos desenvolver com o objetivo de ensinar logaritmos, utilizando o ensino através da resolução de problemas. O próximo passo será elaborarmos os problemas e organizarmos as atividades de coleta de dados em que tais problemas serão desenvolvidos com os alunos, enquanto aprofundamos nossas leituras sobre Metodologia de Pesquisa e sobre Resolução de Problemas. O material recolhido dessa aplicação será analisado para que possa ser transformado em fonte de dados e conhecimento, que poderá ajudar os professores em suas práticas, com vistas a melhorar a aprendizagem de seus alunos, tornando os logaritmos e a Matemática objeto atrativo e interessante para eles. Referências ALLEVATO, N. S. G. O modelo de Romberg e o percurso metodológico de uma pesquisa qualitativa em educação matemática. BOLEMA, Rio Claro, v. 21, n. 29, p , ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na Sala de Aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 55, BOGDAN, Roberto C.; BIKLEN Sari, K. Investigação qualitativa em educação. Portugal: 1994 BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 3. ed. Brasília: MEC, BRASIL. Ministério da Educação. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional n. 9394, de 20 de Dezembro de Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Brasília: MEC, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC, CAI, J.; LESTER, F. Por que o Ensino com Resolução de Problemas é Importante para a Aprendizagem do Aluno? In: Boletim GEPEM. Trad: BASTOS, A. S. A. M.; ALLEVATO, N. S. G., Rio de Janeiro, n. 60, p LÜDKE, Menga; ANDRE, Marli E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: Bicudo, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, cap.12, p ROMBERG, T. A. Perspectivas sobre o Conhecimento e Métodos de Pesquisa. Tradução: ONUCHIC, L. R.; BOERO, M. L. In: BOLEMA Boletim de Educação Matemática. Rio Claro. Unesp, n. 27, p , 2007.

11 SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Curriculo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias. SÃO PAULO: SEE, VAN de WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula: 6 ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.