Um Olhar na Formação dos Conceitos de Divisão

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1 Um Olhar na Formação dos Conceitos de Divisão Alexsandra Senna 1 GD1 Educação Matemática nos Anos Iniciais Neste estudo apresentamos a análise preliminar das estratégias de divisão como partilha (distribuir em partes iguais ou partitiva) ou medida (quanto cabe ou divisão quotativa) empregadas pelas 26 crianças da 3ª série/4º ano - de 9 a 11 anos - de uma escola da rede de ensino municipal de Vitória. Trata-se de um recorte de uma pesquisa de mestrado em andamento de natureza qualitativa, na modalidade de estudo de caso que tem por objetivos identificar, compreender e analisar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de atividades matemáticas que envolvem a divisão. Trabalhamos com os alunos uma sequência didática composta por quatro atividades assim distribuídas: dinâmica de divisão dos alunos em diversos grupos, divisão com material concreto, divisão com dinheiro falso e resolução de problemas. Também exploramos as duas ideias de divisão trabalhando a compreensão dos conceitos de divisão. No texto, apresentamos a análise preliminar das estratégias desenvolvidas por alguns alunos. Os resultados revelam que, embora os alunos tenham utilizado estratégias de resolução respondendo às situações propostas, o ensino de divisão deve ser pautado na construção de conceitos e na resolução de problemas. Palavras-chave: Divisão. Conceitos. Ensino Fundamental. Matemática. Educação Matemática. Introdução Neste estudo apresentamos parte de uma pesquisa referente às estratégias espontâneas de alunos na resolução de situações de divisão. Para ampliar o debate a respeito dessa abordagem, neste artigo apresentaremos aspectos teóricos da literatura em educação matemática sobre a construção de conceitos, as ideias da divisão e nossas interpretações preliminares das estratégias dos alunos. A construção de conceitos matemáticos Para compreender as relações matemáticas presentes no dia a dia, o trabalho pedagógico na sala de aula precisa estar pautado na compreensão dos diferentes significados dos conceitos matemáticos. Dentro desta abordagem, alguns autores (FAYOL, 2012; ONUCHIC & ALLEVATO, 2005; PIRES, 2012; SKEMP,1976) apontam que existem dois significados referentes à palavra compreender em matemática que podem ocorrer durante a aprendizagem: a compreensão instrumental ou procedimental e a compreensão relacional ou conceitual. Na compreensão instrumental, o aluno domina uma coleção isolada de regras e algoritmos aprendidos por meio da repetição, sem estabelecer relações entre 1 Universidade Federal do Espírito Santo, Prefeitura Municipal de Vitória, alexsandrasenna@gmail.com, orientadora: Dra. Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner, profvaniasantoswagner@gmail.com

2 conceitos. Esses conhecimentos relacionados à compreensão instrumental são usados segundo Onuchic e Allevato (2005) para executar tarefas rotineiras e poucas relações cognitivas são necessárias para se ter o conhecimento de um procedimento (p. 220). Skemp (1976) comenta que no outro tipo de compreensão denominado de relacional ou conceitual, o que se pretende é saber tanto o que fazer, como fazer e por que fazer. Esse autor também fala que é através da interação professor/aluno e aluno/aluno que ocorre a construção do conhecimento. A troca de experiências, o diálogo e a valorização dos conhecimentos prévios ajudarão para que essa compreensão relacional seja construída. É fundamental salientar que os dois tipos de compreensão são necessários, contudo, compreendemos que, quando o aluno se aproxima da compreensão relacional, a sua capacidade de resolver atividades com criatividade, segurança, autonomia e inteligência se amplia. Desse modo, é imperativo que o professor investigue e compreenda como os alunos agem diante de atividades elaboradas por ele e que estratégias os alunos utilizam para resolver as tarefas matemáticas. Aprender a compreender o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos pode favorecer nas decisões pedagógicas de ensino e avaliação que precisam ser feitas pelo professor (SANTOS, 1997). Essas escolhas certamente refletirão na atuação do professor em sala de aula e servirão de bônus na aprendizagem dos alunos. Por isso, é importante promover entre os profissionais da educação procedimentos de açãoreflexão da prática pedagógica de modo a discutir as prioridades do ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos relacionados às operações fundamentais. Em busca dessas reflexões e de aprendizagem a respeito dos procedimentos de ação-reflexão, a autora participa desde 2011 de um grupo de estudos 2 de educação matemática. Segundo Serrazina e Oliveira (2010, p. 56) as discussões realizadas por professores de matemática na formação continuada são essenciais 2 O Grupo de Estudos em Educação Matemática do Espírito Santo, GEEMES está cadastrado no CNPq. Os membros do GEEMES se reúnem semanalmente desde Este grupo de estudos é coordenado pela professora Dra. Vânia Maria P. dos Santos-Wagner e Dra. Sandra Aparecida Fraga da Silva. O grupo é formado por professores da educação básica, do ensino médio e superior e tem como objetivos: a) refletir sobre o conhecimento matemático e práticas pedagógicas em sala de aula de matemática, b) estudar e discutir estratégias de ensino e autores que abordam matemática e educação matemática e avaliação de modo a contribuir para que ocorram avanços nos processos de ensino, aprendizagem matemática, c) propiciar desenvolvimento profissional dos membros do grupo.

3 por criarem um ambiente propício à partilha de conhecimento sobre o pensamento matemático dos alunos e à construção de sequências de tarefas matemáticas conducentes a um ensino efectivo e, também, por permitirem a construção de um suporte social e emocional para lidar com a incerteza. As ideias básicas da divisão A essência do ensino da divisão bem como de multiplicação durante muito tempo foi a de decorar a tabuada e trabalhar direto com os algoritmos. Pires (2012, p. 130) corrobora com esse argumento ao dizer que: Nas décadas de 1950 e 1960, o ensino da multiplicação e da divisão centrava-se no decorar resultados. As tabuadas de multiplicação e de divisão eram muito importantes e os professores passavam grande tempo fazendo com que os alunos decorassem esses resultados, sem a necessária compreensão. Muitas vezes, usavam métodos voltados à memorização e alguns deles, ainda hoje, estão na lembrança de muitas pessoas, que sofreram diferentes castigos pelo fato de não conseguirem decorar as tabuadas. Ou seja, em décadas passadas, a aprendizagem de resolução de problemas de multiplicação e divisão só era explorada com as crianças depois que estas soubessem com fluência recitar de cor a tabuada. No entanto, sabe-se que a tabuada deve ser apresentada aos alunos para que estes compreendam a construção da mesma e saibam efetuar as operações com rapidez e eficiência. Porém, o professor precisa pensar em estratégias de ensino variadas, prazerosas e apropriadas para que os alunos de hoje aprendam os fatos numéricos das tabuadas como algo que os ajude nos cálculos. Convém lembrar que é importante priorizar neste trabalho com a tabuada a construção das relações matemáticas entre as operações. As situações que envolvem divisão contêm duas ideias diferentes. Por exemplo, se é preciso distribuir 30 figurinhas entre três crianças (nós temos duas grandezas de tipos diferentes: figurinhas/crianças) e é preciso determinar quantas figurinhas por criança, esta situação problema é chamada de divisão por partição ou partitiva ou equitativa ou como partilha (porque conhecemos o número total de elementos - 30 figurinhas que deverão ser distribuídos em um número de partes iguais para as 3 crianças, devendo ser calculado o tamanho de cada parte (10 figurinhas). Por outo lado, se nós temos uma outra situação com 30 figurinhas e queremos distribuir 5 figurinhas para cada criança (mesma grandeza: figurinhas), e é preciso determinar o número de crianças que irão receber as figurinhas, essa divisão é uma outra situação que é chamada de medida ou quantos cabe ou quotativa (o todo conhecido - 30 figurinhas -

4 dividido em partes previamente estabelecidas - 5 figurinhas - devendo-se calcular o número de partes - 6 crianças). A operação de divisão é de grande complexidade a nível cognitivo, quando esta é relacionada a situações de modelagem e não apenas do ponto de vista estritamente do cálculo. Alguns estudiosos (FISCHBEIN, DERI e MARINO 3, 1985 apud SELVA, 1998) enfatizam que o professor deve iniciar propondo problemas de partição onde o tamanho das partes deve ser encontrado - porque envolve a ação de repartir elementos em partes iguais. Maldaner (2011) comenta em seu texto que existem autores que não apoiam essa ideia (DICKSON; BROWN; GIBSON, ) afirmando que problemas de medida em que deve ser calculado o número de partes em que o todo foi dividido - podem ser compreendidos mais facilmente pelas crianças. Estratégias de divisão As estratégias de divisão como partilha ou medida estão relacionadas com a representação mental que as crianças fazem das situações, podendo fazer uso de materiais manipuláveis ou estratégia espontâneas ou imagens mentais. Porém, é fundamental que a criança possa explorar suas próprias estratégias de resolução com liberdade e possa confrontar as suas soluções com as dos colegas. A criança precisa vivenciar uma variedade de situações de divisão antes da apresentação do algoritmo onde possa verbalizar o que fez, como pensou e além disso, a professora ou o professor deve dialogar com os alunos a respeito de seus raciocínios, estratégias e hipóteses. Para análise dos dados, usaremos as estratégias descritas. Procedimento metodológico Este artigo é parte de uma pesquisa de mestrado de natureza qualitativa e interpretativa, onde se procurou compreender as estratégias utilizadas pelos alunos da 3ª série (4º ano) de uma escola da rede municipal de Vitória. São alunos na faixa etária de 9 11 anos (sendo 12 meninos e 14 meninas) incluindo uma aluna de 17 anos. Os alunos têm sete aulas semanais no currículo de matemática, todas com 50 minutos de duração. A pesquisa num 3 FISCHBEIN, E.; DERI, M.; MARINO, M. The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division, Journal for Research in Mathematics Education 16, 1985, pp DICKSON, L.; BROWN, M. e GIBSON, O. Children learning mathematics. Londres: Cassel for the Schools Council, 1984.

5 primeiro momento foi de observação colaborativa, participando das aulas de matemática com algumas intervenções pedagógicas. A professora pesquisadora observou, participou e atuou com a professora regente durante treze dias num total de trinta e uma aulas de junho a setembro de Após este período de observação, a professora pesquisadora aplicou uma sequência didática organizada em quatro atividades para introduzir as ideias do conceito de divisão. Para a aplicação do planejamento sobre divisão foram necessárias cinco aulas de 50 minutos cada. Para análise dos dados, selecionamos as soluções dos alunos que frequentaram todas as aulas propostas pela professora pesquisadora. Ao aplicarmos as atividades na turma, os alunos ainda não tinham o algoritmo formal da divisão como ferramenta para resolver as situações problema. Por isso, eram incentivados a desenvolver estratégias próprias. Outro ponto que queremos esclarecer é que ao propormos situações de distribuição exata e inexata na mesma atividade apostamos no fato de que as crianças lidam com situações em que sobram unidades, como, por exemplo, na divisão de balas ou brinquedos. A fim de que pudéssemos registrar os diálogos com os alunos e suas respectivas soluções para as tarefas, observamos, gravamos e usamos o diário de bordo de modo a acompanhar efetivamente os alunos. Neste texto trazemos detalhes de quatro atividades resolvidas por quatro alunos. Análise preliminar das estratégias A atividade 1 teve a duração de uma aula e foi realizada em duas etapas. A primeira etapa era para que os alunos formassem subgrupos entre si de acordo com o comando da professora pesquisadora. Foram sugeridas distribuições do todo - 22 alunos - em grupos com 11 pessoas, com 7, com 5 e com 2 pessoas. As situações apresentadas foram planejadas a fim de explorar inicialmente as estratégias de solução dos alunos com a ideia de medida porque acreditamos que essas sejam mais fáceis de serem compreendidas por eles. As situações problema envolvendo esta ideia apontam diretamente para a estratégia de subtração repetida onde os dividendos e os divisores são quantidades que fazem parte da mesma espécie e são da mesma grandeza ou família. A própria questão ao ser enunciada é mais simples: quantas vezes o cinco está contido no dez? Ilustramos, como exemplo, uma situação que foi solicitada aos alunos, de que eles deveriam se organizar em grupos com onze pessoas. Os alunos deveriam perceber quantas vezes o grupo com onze pessoas cabia dentro do grupo maior de vinte e duas pessoas. A segunda etapa era o registro na lousa. Salientamos que ao fazermos os registros na lousa com notação icônica (desenho de

6 bolinhas, por sugestão de alguns alunos, para representar as pessoas) detalhamos os cálculos escrevendo por extenso as estratégias 5 possíveis sem fazer uso do algoritmo formal da divisão e suas relações com o dividendo, divisor, quociente e resto, da seguinte forma: Vinte e duas pessoas distribuídas em grupos de onze pessoas (O O O O O O O O O O O) (O O O O O O O O O O O) 22 pessoas dividido por 11pessoas é igual a 2 grupos com 11 pessoas e não fica ninguém de fora dos grupos. Percebemos que, para alguns alunos, não ficou claro o que foi solicitado pela professora pesquisadora. Embora alguns alunos tenham demonstrado relutância em formar grupos com os colegas, notamos que faltou compreensão em organizar grupos com quantidades iguais fixas. Um grupo com onze alunos foi formado e o restante dos alunos se distribuiu em dois grupos menores. Observamos que alguns alunos ficaram juntos por afinidades. Questionamos os alunos dos dois grupos menores sobre o que foi solicitado na situação. Os alunos sabiam que o grupo não estava completo, mas não percebiam como cumprir a proposta. É provável que esses alunos não tenham compreendido ou não tenham ficado estimulados em participar da dinâmica. Observamos que o grupo com onze alunos foi formado ao irem acrescentando os colegas no círculo predominando as relações aditivas de contagens feitas por alguns alunos do grupo. A atividade 2 também aconteceu em uma aula e foi planejada com materiais manipuláveis para trabalhar as ideias de divisão partitiva (equitativa ou partes iguais) e quotativa (de medidas ou quantos cabe) com resto igual ou maior que zero. Os alunos fizeram distribuições de materiais concretos organizados em kits diferentes arrumados em sacolas. Cada dupla recebeu dentro das sacolas duas situações problema diferentes (uma com a ideia de divisão em partes iguais e outra com a ideia de divisão quantos cabe ) registradas no papel. Os alunos deveriam calcular a divisão utilizando os materiais concretos e efetuar o registro por escrito. Durante o tempo em que os alunos resolviam os problemas que foram propostos, a professora pesquisadora circulava pela sala, observando as soluções das crianças e tirando suas dúvidas. Para esta atividade, fizemos a opção pelo trabalho em 5 Palhares (2004) diferencia estratégia e algoritmo. Segundo o autor, estratégia é um conjunto de técnicas a serem dominadas pelo solucionador e que o ajudam a esmiuçar o problema ou a progredir no sentido de obter a sua solução (p. 24) e algoritmo é definido como uma sequência de passos para fazer cálculos por meio de processo sistemático e mecanizado (PALHARES, Pedro (Org). Elementos de matemática para professores do ensino básico. Lisboa: Lidel, 2004).

7 duplas, pois segundo Piaget (1971) 6 citado por Maldaner (2011), o desejo da criança de fazer-se compreender pelos outros faz com que ela se sinta estimulada a pensar sobre outros pontos de vista em relação ao seu próprio. Desta maneira, conseguimos gerar um conflito cognitivo, no qual os alunos argumentaram, trocaram ideias, questionaram e estabelecem novas relações. Apresentamos a seguir um dos problemas resolvido por três duplas. As transcrições das soluções apresentadas pelas duplas foram feitas na íntegra mantendo a escrita dos alunos. Em nenhuma das três soluções apresentadas foi usado notação icônica. É provável que as duplas não sentissem esta necessidade porque foram disponibilizados os materiais manipuláveis para contagem. Dupla 1 Situação problema Solução Fábio/José Distribuam as casinhas entre 20 peças. 2 pessoas. 10 para cada vocês. Quantas peças ao todo? um. Quantas pessoas? Quantas peças por pessoa? Usaram como estratégia a subtração. Provavelmente, por ser um número pequeno, foi possível para a dupla avaliar a própria estratégia utilizando a operação inversa de adição, mentalmente. Só confirmaremos esta hipótese ao conversarmos com a dupla, o que não foi feito ainda. Dupla 2 Situação problema Solução Caio/Nadir São 30 brinquedos para serem divididos entre duas pessoas. Quantos brinquedos cada pessoa irá receber? 15 peças. Contamos de 1 em 1 até acaba. Optaram pela distribuição equitativa, fazendo a correspondência termo a termo (brinquedo/criança) em que cada elemento - brinquedo corresponde a outro elemento - criança. Por ser uma estratégia simples e de fácil controle, a dupla não teve dificuldades em chegar ao resultado da questão. Dupla 3 Situação problema Solução Vera/Luís Distribuam as 16 fichas entre crianças. Quantas fichas cada 6 PIAGET, J. Aprendizagem e desenvolvimento. In: Pancella J. R., Ness J. S. V., Studying e teaching. Prentice Hall, 1971.

8 criança vai receber? 2 Notamos que a dupla tenta esboçar um algoritmo talvez a partir de experiências anteriores registrando um esquema próprio de divisão. Ao ouvirmos o diálogo gravado entre a dupla e a professora pesquisadora, foi relatado que inicialmente distribuíram as fichas subtraindo 1 ficha de cada vez das 16 fichas fazendo a correspondência termo a termo (ficha/criança) até finalizar a quantidade de fichas. A dupla conhece a forma horizontal de representar a operação e o sinal gráfico de divisão. A atividade 3 teve a duração de 1 aula. Organizados em duplas os alunos receberam uma quantia de dinheiro falso representada em cédulas de 100, 10 e 1 correspondente ao sistema de numeração decimal posicional. Cada dupla deveria fazer a distribuição da quantia recebida entre duas pessoas. Exemplificando uma situação de uma dupla que recebeu três cédulas de 100, três cédulas de 10 e quatro cédulas de 1 real. Neste caso, esperava-se que os alunos percebessem a necessidade de trocar a cédula de 100 por dez cédulas de 10 reais e uma cédula de 10 por dez cédulas de 1 real para fazerem a divisão em partes iguais. Quando fosse necessário, a dupla deveria ir até à professora pesquisadora que na atividade representava o caixa, para fazer trocas de cédulas. Após a distribuição, a dupla deveria fazer o registro por escrito representando a experiência. Durante a atividade, algumas duplas solicitavam trocas de notas de 100 reais por duas notas de 50. Nossa intenção era estimular os alunos a elaborarem mentalmente as trocas dentro do sistema de numeração decimal posicional. Um dos instrumentos utilizados para coletar informações foi a gravação em áudio. Durante a atividade, a professora pesquisadora circulava pela sala para atender as duplas que requeriam trocas de cédulas. Transcrevemos um dos diálogos entre a dupla e a professora pesquisadora na íntegra, mantendo a linguagem coloquial entre os interlocutores: Dupla: A gente quer que você troque a nossa nota de 100 reais por duas de 50. P.P.: Mas eu não tenho. Só tenho de 100, 10 e 1. Dupla: Não tem como você trocar pra gente de 50 de 1 real para mim e 50 de 1 real para ele? P.P.: Posso sim. Dupla: Ah, mas espera! Vai ficar muita nota. Me dá em notas de 10. P.P.: Quantas notas de 10? Dupla: (contou nos dedos de 10 em 10, ficou confusa). P.P.: (foi colocando sobre a mesa as notas de 10 e a dupla foi fazendo a contagem.) Dupla: (No final a dupla contou quantas notas deu o total 100.) P.P.: E agora, dá para dividir entre vocês dois? Dupla: Sim, agora dá.

9 A dupla demonstrou inicialmente a compreensão de efetuar trocas da divisão equitativa com grandezas discretas. Numa situação real seria possível a troca solicitada pela dupla com cédulas de 50 e isto nos dá pistas de que eles conseguem desenvolver cálculos envolvendo o sistema monetário dentro do sistema de numeração decimal posicional. A dupla faz a contagem utilizando os dedos que embora não seja uma estratégia convencional, é uma forma correta de desenvolver cálculos utilizada por crianças e até mesmo adultos (FAYOL, 2012, p. 24). Constatamos que os alunos são capazes de explicar como fazer uma troca de uma centena por dez dezenas e de uma dezena por dez unidades. A atividade 4 teve a duração de duas aulas e elaboramos três problemas de quotas envolvendo grandezas discretas sem resto. Estes problemas deveriam ser resolvidos individualmente com registro a lápis. Os problemas com grandezas discretas são quando não tem sentido continuar a divisão. Os dados dos dividendos e dos divisores representam grandezas da mesma natureza. As situações problema apresentaram números com dois algarismos no dividendo e um algarismo no divisor. Foi dada uma quantidade inicial que deveria ser dividida em quantidades preestabelecidas, devendo-se encontrar o número de quotas. Na aplicação da atividade 4, alguns alunos usaram materiais escolares para representar a solução problema. A seguir, apresentamos na íntegra, mantendo a ortografia própria dos alunos, a solução de quatro alunos referentes ao problema 1 dessa atividade 4. Tenho 15 balas e vou entregar 3 balas para cada criança. Quantas crianças participarão da distribuição? Aluno 1 Fábio Solução Inicialmente o Fábio registrou corretamente a resposta escrita. É provável que não tenha compreendido o significado da questão ou ignorou o contexto do problema apenas se concentrando no procedimento. Esboçou representando para cada criança as três balas,

10 totalizando cinco crianças que ele preferiu marcar com as iniciais. A notação icônica dá pistas de que ele já conhecia a relação de 3 balas para cada criança, situação presente em problemas de quotição (divisão com ideia de quantos cabe ou de medida) e nos revela que ele compreende a noção de agrupamento e do senso numérico. Aluno 2 Solução Rui É possível perceber pelas marcas apagadas no original que o aluno Rui calculou 15-3=12. Questionamos o sentido do resultado em relação com a questão do problema. Depois se ancorou em uma notação gráfica em forma de risquinhos fazendo a correspondência termo a termo, um risquinho para cada bala e formou 5 grupos de 3 balas cada um. Usou estratégia semelhante ao aluno Fábio. No diálogo com a professora pesquisadora, o aluno relatou que fez conta de menos, que é correto. É provável que mentalmente ele tenha feito algumas subtrações, mas representou corretamente a resposta com o símbolo icônico e também com um algoritmo próprio semelhante ao da divisão. Por esse algoritmo, Rui demonstra que tem na memória alguma experiência com o algoritmo da operação de divisão ou já viu o mesmo em algum momento. Aluno 3 Solução Selma Só vai dá 5 crianças A aluna Selma desenvolve uma estratégia aditiva por meio de parcelas iguais correspondente ao resultado a fim dela própria verificar se a soma confere com o valor do todo. Aluno 4 Caio Solução 15 OOO,OOO,OOO,OOO,OOO 5 criarçãs

11 Caio relatou à professora pesquisadora que foi distribuindo até chegar ao total de balas. Ele foi contando 3 balas para cada criança e adicionando os totais. Resolveu o problema com uma notação gráfica em forma de bolinhas associando uma bolinha para cada bala e formou 5 grupos de 3 balas cada um. Considerações Finais Neste trabalho encontramos variedades de estratégias de solução que os alunos da 3ª série/4º ano do ensino fundamental desenvolveram para os problemas de divisão que lhes foram propostos. Diante das soluções elaboradas pelos alunos confirmamos a importância de embasar o ensino de divisão por meio da construção dos conceitos e da resolução de problemas. Os registros efetuados pelos alunos nos oferecem pistas de que eles se apoiam no conhecimento intuitivo para desenvolver estratégias e resolver problemas de divisão. Os exemplos que trouxemos mostram que os alunos estão realizando a divisão corretamente = nas situações apresentadas neste artigo, sem utilizar o algoritmo formal da divisão, que nem foi ensinado ainda para eles. Acreditamos que valorizar o uso de estratégias próprias para resolver situações de divisão é fundamental para os alunos. Porque esse tipo de procedimento favorece a capacidade do aluno em compreender e controlar várias estratégias de acordo com as circunstâncias das situações problema propostas. A análise das respostas dos alunos destacou que, de modo geral, quando solicitados para resolver situações de divisão, os alunos utilizavam recursos auxiliares como lápis e papel, no qual traçavam riscos ou bolinhas e efetuavam contagens com os dedos das mãos. Observamos que os alunos controlavam os resultados com adições e também iam fazendo subtrações a partir do total inicial e subtotais, o que é considerado natural e correto. Referências ANDRÉ, M. E. D. A. de. Estudo de caso em pesquisa e avaliação educacional. Brasília: Liberlivros, FAYOL, M. Numeramento: aquisição das competências matemáticas. São Paulo, SP: Parábola Editora, MALDANER, A. Educação matemática: fundamentos teóricos-práticos para professores dos anos iniciais. Porto Alegre, RS: Mediação, 2011.

12 ONUCHIC, L. de La R., ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensinoaprendizagem de matemática através da resolução de problemas. IN: BICUDO, M. A. V. e BICUDO, M. de C. B. (Org). Educação matemática: pesquisa em movimento. 2 ed. Revisada. São Paulo: Cortez, p PALHARES, P. Elementos de matemática para professores do ensino médio. Lisboa: Lidel, PIAGET, J. Aprendizagem e desenvolvimento. In: Pancella J. R., Ness J. S. V. Studying and teaching. Prentice Hall, PIRES, C. M. C. Educação matemática: conversas com professores dos anos iniciais. São Paulo, SP: Zé-Zapt Editora, SANTOS, V. M. P. dos (org.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática: métodos alternativos. Rio de Janeiro: Projeto Fundão, Instituto de Matemática, UFRJ, SERRAZINA, L. & OLIVEIRA, I. Trajectória de aprendizagem e ensinar para a compreensão. Em GTI Grupo de Trabalho de Investigação (Ed.), O professor e o programa de matemática do ensino básico. Lisboa: Associação de professores de matemática, p , SELVA, A. C. V. Discutindo o uso de materiais concretos na resolução de problemas de divisão. In: Schliemann & Carraher (Orgs.) A compreensão de conceitos aritméticos. Campinas, SP: Papirus, SKEMP, R. R. Relational Understanding and Instrumental Understanding. In: Skemp, R.R. Mathematics teaching, 77, p , 1976.