2ª AVALIAÇÃO TRADICIONAL/2017 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA RESOLUÇÃO

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Sérgio de Figueiredo Oliveira
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1 2ª AVALIAÇÃO TRADICIONAL/2017 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR PROVA DISCURSIVA MATEMÁTICA ATENÇÃO! Duração total das provas discursivas + REDAÇÃO: 5 1/2 horas 1

2 MATEMÁTICA 1ª Questão (Adriano) Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Uma certa tribo indígena celebra o Ritual do Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias e o Ritual da Terra de 30 em 30 dias. A partir dessas informações, responda aos itens a seguir. a) Considerando que, coincidentemente, os três rituais ocorram hoje, determine a quantidade mínima de dias para que os três rituais sejam celebrados juntos novamente. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. b) Hoje é segunda-feira. Sabendo que, daqui a dias, os três rituais acontecerão no mesmo dia, determine em que dia da semana ocorrerá tal coincidência. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução deste item. a) Calculando o mínimo múltiplo comum (MMC) dos três números dados: MMC Assim, como o MMC é igual a 660, então apenas daqui a 660 dias os três rituais serão celebrados juntos novamente. b) Sabendo-se que os dias da semana se repetem de 7 em 7, pode-se dividir o intervalo dado por 7 (número de semanas completas) e depois verificar o resto. Ou seja: (semanas int eiras) e resto 5 dias Assim, iniciando-se pela segunda-feira (dia 0), no quinto dia ocorrerá novamente a coincidência citada, portanto no sábado (dia 5). 2ª Questão (Alessandro) Os 87 alunos do 3 0. ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis, e todos os alunos aprovados na universidade A foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Sabendo que: 51 alunos foram aprovados na universidade A; 65 alunos foram aprovados na universidade B; dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. 2

3 Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. a) Quantos alunos foram aprovados nas universidades B e C, mas não foram aprovados na universidade A? b) Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Observe a figura a seguir: Classificando os 87 alunos segundo o diagrama, temos os seguintes dados do problema (representamos por **X o número de elementos do conjunto X): a) u+29 = 50 (**B C = 50) Logo teremos 21 alunos b) 1) x+y+z+v+u+w+29 = 87 (**A B C = 87) 2) z = 0 (A B C) 3) v+w+z+29 = 51 (**A = 51) 4) u+29 = 50 (**B C = 50) 5) v+29 = w+29 (**A B = **A C) Queremos x + y + z. De (2) temos z = 0, o que nos dá x + y + z = x + y. Substituindo (4) em (1) e subtraindo (3), obtemos x+y+21=87-51=36. Logo, x + y + z = = 15 alunos. 3

4 3ª Questão (Wagner) Seja ABC um triângulo com lado AC medindo 1 m. Sejam α, β e θ as medidas dos ângulos internos BAC, ABC e ACB, respectivamente. Seja D o ponto do lado AB tal que CD é a bissetriz interna de ABC relativa ao vértice C. Sabe-se que 2α = β = θ, calcule. a) α, β e θ; b) As medidas dos ângulos internos do triângulo BCD; c) A medida do lado BC; d) Sen(18 ). Resolução: 4

5 4ª Questão (Ewerton) A tabela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez a) Calcule a média, a(s) moda(s) e a mediana. b) Calcule a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série. c) Calcule o desvio médio dessa série. d) Sabe-se que, em janeiro de 2017, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro de 2016 até janeiro de 2017) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um número inteiro de bilhões de US$ como média mensal. Calcule a média dessa nova série. e) Calcule o desvio padrão dessa nova série. Resolução: a) A média: x xi i1 A moda: São os valores: 16, 17, 18 e 22, pois estes valores aparecem duas vezes cada na séria representada acima. A mediana: Colocando os números em ordem crescente, temos: (16,16,17,17,18,18, 20, 21, 22, 22, 23, 24) Logo, Md 19 2 b) Maior taxa mensal de crescimento Ocorreram aumentos entre: JAN e FEV ,28% MAR e ABR % 20 Portanto, a maior taxa mensal de crescimento ocorreu entre Março e Abril. c) Desvios da série: Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez 1,5 4,5 0,5 3,5 2,5 2,5-1,5-2,5-3,5-2,5-3,5-1,5 5

6 Desvio médio. D. M. 1, 5 + 4, 5 + 0, 5 + 3, 5 + 2, 5 + 2, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 1, 5 = 12 d) A média da nova série: D. M. = 2, x 234 x x xi i1 número inteiro. A mediana: Em ordem crescente, e sabendo que a mediana é 18, temos que em Jan de 2014 o valor é menor ou igual a 18. Portanto, considerando estes fatos, temos que x vale, pois dará um número divisível por. Observe: (,16,16,17,17,18,18, 20, 21, 22, 22, 23, 24) que nos dá mediana 18 E média mensal: x xi 19 i1 e) O desvio padrão da nova série Tabela de desvios Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Jan Cálculo da variância. VAR = (2)2 + (5) 2 + (1) 2 + (4) 2 + (3) 2 + (3) 2 + ( 1) 2 + ( 2) 2 + ( 3) 2 + ( 2) 2 + ( 3) 2 + ( 1) 2 + ( 6) 2 VAR = 128 Cálculo do desvio padrão. σ = VAR σ = σ = 6

5ª Questão (Solimar) Com objetivo de diminuir o consumo de energia elétrica, uma concessionária adotou faixas de preço relativas ao consumo mensal: para os primeiros 200 kwh consumidos, o preço de

7 5ª Questão (Solimar) Com objetivo de diminuir o consumo de energia elétrica, uma concessionária adotou faixas de preço relativas ao consumo mensal: para os primeiros 200 kwh consumidos, o preço de cada kwh é R$ 0,25; para os 300 kwh seguintes consumidos, o preço de cada kwh é R$ 0,36; o preço de cada kwh consumido acima de 500 kwh é R$ 0,72. a) Calcule o valor a ser pago para quem consumir 300 kwh; P(300) = 0, ( ). 0, 36 P(300) = 86,00 b) Escreva uma função P (x) que forneça o preço em reais referente ao consumo mensal de x kwh com 0 x 1000 Para x kwh, temos 0, 25. x se 0 x 200 P(x) = { 0, (x 200). 0, 36 se 200 < x 500 0, , (x 500). 0, 72 se 500 < x , 25. x se 0 x 200 P(x) = { 0, 36x 22 se 200 < x 500 0, 72x 202 se 500 < x 1000 c) Esboce abaixo o gráfico da função encontrada no item (b) 7

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