UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Física Experimental IV. Relatório de atividade experimental LINHAS DE TRANSMISSÃO

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física Física Experimental IV Relatório de atividade experimental LINHAS DE TRANSMISSÃO Porto Alegre, 19 de Março de Vítor Sudbrack Resumo: Os cabos coaxiais transmitem sinais através de ondas de tensão e de corrente. Neste relatório, são demonstrados três métodos para se determinar a velocidade de propagação do sinal pelo cabo, e então é apresentada uma metodologia para mensurar as propriedades necessárias para os cálculos. Os resultados mostram que a velocidade de propagação do sinal é 2/3 da velocidade da luz no vácuo, resultado coerente com o encontrado na bibliografia. INTRODUÇÃO Na era da informação, os meios e fenômenos físicos que permitem codificá-la em sinais, passar a emitir, propagar e recebêlos, para então os descodificar novamente em informação, constituem atualmente áreas de intensa pesquisa e grandes progressos. Em 1880, o engenheiro e matemático inglês Oliver Heaviside patenteou uma de suas criações: o cabo coaxial. Um cabo desenvolvido para transmitir sinais de tensão e corrente de baixa frequência. Heaviside também foi pioneiro no desenvolvimento de terminologias do eletromagnetismo (como impedância, permissividade, entre outros), e suas contribuições à engenharia (em especial telecomunicações) foram tantas que em 1922 ganhou a Medalha Faraday. Este relatório tem como objetivo analisar o sinal de tensão e corrente produzido em um cabo coaxial, muito usado, por exemplo, nas residências para receber o sinal de antenas de TV. Primeiramente será demonstrada a equação diferencial da onda que representa o sinal propagado pelo cabo matematicamente, comparando-a com as já conhecidas ondas eletromagnéticas. Então, a partir das características do meio, será possível determinar a velocidade de propagação, que também será medida por um método direto, a fim de comparar e discutir os resultados finais. A estrutura física de um cabo coaxial consiste no seguinte esquema mostrado na Figura 1, onde pode se observar que o cabo consiste em um capacitor cilíndrico preenchido com um material dielétrico. Ao aplicar uma tensão sobre a parte metálica condutora, gera-se também uma corrente elétrica que por sua vez gera uma força eletromotriz contrária a tensão aplicada (Lei de Faraday-Lenz): Figura 1 Estrutura do cabo coaxial. Na imagem pode ser observado em cinza as partes metálicas e em laranja as partes com um dielétrico (p. ex. plástico), vistos com um corte transversal em (a) ou com uma visão lateral do cabo desencapado em (b). Também é possível visualizar as características estruturais que caracterizam o cabo: o raio do fio interno e o raio do fio externo. Os cabos conectados a uma fonte são submetidos a uma tensão em função do tempo.

2 2 Onde é a indutância por comprimento do cabo. Dividindo a equação por e tomando o limite, obtém-se a seguinte equação diferencial: O mesmo procedimento pode ser aplicado primeiramente em (2), inserindo a equação (1) para, e então se encontra que: Por outro lado, a redução da tensão gera uma redução da carga ( ) no capacitor cilíndrico formado pelo cabo, dada por: Definido como a capacitância por unidade de comprimento. Dividindo a equação acima por, e novamente tomando o limite, chega-se a uma nova equação diferencial: Agora é possível manipular as equações acopladas e a fim de se obter a equação diferencial parcial (EDP) de segunda ordem da onda, estudada por grandes nomes da matemática, como d Alembert e Euler, que modelam fisicamente ondas vibracionais, sonoras, eletromagnéticas e em interfácies de fluídos. Assim, para uma onda unidimensional, que se propaga com uma velocidade, então ela satisfaz: Para tanto, parte-se da premissa de que as funções e são funções contínuas, finitas, e, pelos menos, duas vezes diferenciáveis, para que então satisfaçam que. Também se supõe que o cabo é homogêneo em todo seu comprimento e, portanto, e são constantes. Deste modo, diferenciando a equação em relação à variável, obtém-se (utilizando-se notação de subíndice): Agora, é possível trocar a ordem de diferenciação da função e aplicar a equação para. Finalmente, rearranjando o resultado acima para comparar com (3), concluí-se: Comparando os resultados e com a EDP da onda, vê-se que a constante, que representa fisicamente a velocidade de propagação é: Ou seja, a velocidade de propagação das ondas depende apenas das características do meio em que ela se propaga, tal como as ondas eletromagnéticas. Ademais, tanto o sinal do cabo, como as ondas eletromagnéticas, se autossustentam, isto é, necessitam apenas de uma fonte geradora do sinal, e então este se propaga pelo espaço sem mais a necessidade da fonte, uma vez que a variação de tensão gera corrente e a variação desta corrente gera tensão. As relações entre estes fenômenos são inúmeras porque intrinsecamente eles são o mesmo fenômeno, basta lembrar que um capacitor armazena energia potencial elétrica através de um campo elétrico e um indutor armazena energia potencial magnética através de um campo magnético. As formas da solução das equações e já foram amplamente discutidas no meio científico e foge do escopo deste relatório demonstrá-las. É sabido também que ambas as ondas têm a mesma fase (os pontos máximos, zeros e mínimos ocorrem simultaneamente). Tais soluções podem ser escritos como funções senodais: Aplicando as soluções (7.1) e (7.2) na equação diferencial (1), tem-se a seguinte relação entre as amplitudes: A relação (8) pode ser generalizada para qualquer ponto da onda. Essa generalização pode ser obtida lembrando que a

3 3 única diferença entre a função seno e cosseno é uma fase de radianos. Lembrando também da definição de impedância ( ), concluí-se: A equação (9) e o conceito de impedância serão retomados mais tarde. Agora também é possível determinar expressões matemáticas para e a partir da geometria do cabo coaxial. Primeiro é necessário encontrar uma equação para o campo elétrico presente entre os fios do capacitor, que pode ser obtida através da Lei de Gauss com uma superfície cilíndrica centrada no eixo de um fio de altura, com distribuição de carga linear, a uma distância do fio. Onde é a permissividade elétrica do meio em que o campo se encontra. Resolvendo para em função de : Agora, da definição de diferença de potencial entre dois pontos, pode ser calculada a tensão entre as placas interna e externa através da seguinte integral e o resultado acima: Por fim, utiliza-se a definição de capacitância por unidade de comprimento para concluir que: Já para calcular a indutância do cabo coaxial, calcula-se o campo magnético entre os fios, através da Lei de Ampère, usando uma amperiana de raio que circunda apenas o fio interno: Onde é a permeabilidade magnética do meio. Dado um meio não-metálico diamagnético, pode-se aproximar este valor pela permeabilidade magnética do vácuo com boa precisão. Assim, obtém-se o campo magnético em função da distância do fio interior: Agora para se obter o fluxo magnético que atravessa o retângulo de área, basta integrar com os seguintes limites: Portanto, a indutância por unidade de comprimento será: Concluindo assim que a capacitância e a indutância dependem apenas das características físicas do cabo coaxial utilizado. Viu-se então que a tensão e a corrente em um cabo coaxial formam uma onda que se propaga pela extensão do cabo. Neste momento é possível se indagar: o que acontece quando a onda encontra o fim do cabo? Como mencionado antes, a EDP da onda, equação, descreve matematicamente não só esta, mas todas as ondas encontradas na natureza. É coerente então esperar que a onda do sinal de tensão e corrente se comporte analogamente com uma corda que é chacoalhada em uma extremidade e tem outra livre ou presa. Em ambos os casos a onda é refletida e retorna, se propagando na direção oposta. A fase em que o pulso refletido terá em relação ao pulso incidente depende das condições de contorna na extremidade do cabo, conforme mostra a Figura 2. Basta agora encontrar as condições de contorno para as ondas de tensão e corrente. Já se verificou que a impedância é constante em todos os momentos (equação 9) e, assim, deve ser a mesma independentemente do sentido de propagação. Vamos indicar a onda original pelo subescrito, e a onda refletida por. Nota-se que o sentido das correntes são opostos, e então.

4 4 Figura 2 Reflexão de uma onda em uma corda em duas situações distintas: (a) extremidade móvel faz com que a onda refletida tenha mesma fase da onda incidente; (b) a extremidade fixa faz com que a onda refletida tenha a fase invertida da onda incidente. FONTE: SILVA, Assim, A onda resultante é, portanto, a soma das ondas que passam pelo cabo: a original e a refletida. É necessária também uma condição de contorno para o problema. É sabido que ao encontrar o final do cabo ( ), a impedância é mudada para uma resistência. Se os fios interno e externo estão ligados,, e se não há conexão entre eles,. A condição de contorno é, então: Resolvendo para, aplicando em, e então calculando no ponto e usando a condição de contorno, vê-se que: E idem para as funções e. Assim, o caso do sinal retornar com a mesma fase corresponde a uma resistência infinita no final do cabo. O caso do sinal retornar com a fase invertida, corresponde à resistência nula. Já para anular a onda refletida, então, ou seja: se não houver mudança de impedância, não há reflexão. Portanto, um método para determinar a impedância do cabo coaxial é ligar as extremidades com uma resistência variável, até que a onda refletida seja nula, e, neste momento, sabe-se que este valor de resistência equivale à impedância. Finalmente, é possível com a ajuda de um osciloscópio verificar o tempo que o sinal leva para percorrer o caminho até a sua extremidade, refletir o sinal, e então ele voltar até o osciloscópio. Com R=0, a distância entre os picos deve fornecer o intervalo de tempo necessário para que o sinal percorresse esta distância. Neste caso, como a velocidade para uma onda em um meio é sempre constante, vale que: Então, resumidamente, encontraram-se três equações para calcular a velocidade de propagação do sinal no cabo coaxial: I) através das características de capacitância e indutância do cabo (equação 6); II) por meio do cálculo da impedância e indutância do cabo (equações 9 e 14), e, por fim; III) utilizando a definição de velocidade (equação 15). A seguir, passa-se a relatar os métodos utilizados para se obter os dados necessários a fim de se ter todas as variáveis para se calcular as velocidades nos diferentes métodos. MATERIAIS Quatro cabos coaxiais com diversos comprimentos e com saída BNC; Osciloscópio; Gerador de pulso (50 ns) com 4 saídas; Cabos coaxiais curtos para ligar as 4 saídas da fonte ao osciloscópio; Multímetro; Cabos curtos (10 cm) com uma saída BNC e 2 jacarés na ponta;

5 5 Uma ponte RLC para medir C dos cabos; Potenciômetro linear; Paquímetro; METODOLOGIA Para medir o comprimento do cabo coaxial, utilizou-se o tamanho da mesa como referência, uma vez que o cabo era comprimido demais para ser medido em sua totalidade pela trena facilmente. Depois, com o cabo coaxial com uma das extremidades aberta, mediu-se com o paquímetro o diâmetro do fio interno, e o diâmetro do cilindro do material dielétrico que separa as duas partes metálicas, para obter os raios interno e externo, respectivamente. A Figura 1 apresenta as medidas realizadas. Com o auxílio de um multímetro na função de medir capacitâncias, conectou-se um jacaré em cada parte metálica do cabo e registrou-se a capacitância de todo o cabo. Apesar de o multímetro apresentar a função para medir indutâncias, a indutância do cabo era pequena demais para ser detectada pelo aparelho. A seguir, plugou-se o cabo com um T no osciloscópio e na fonte simultaneamente, conforme a Figura 3. Registrou-se o intervalo de tempo para o sinal atravessar o cabo, ser refletido, e voltar. O intervalo de tempo foi medido na própria tela do osciloscópio, ajustando-a para melhor ver as escalas de tempo e os picos de tensão, conforme gráfico junto do osciloscópio na Figura 3. Figura 3 Esquema de montagem dos equipamentos necessários para a experiência de medição do intervalo de tempo necessário para que a luz atravesse o cabo, reflita, e volte. Trena; T s com saída BNC. Por fim, conectou-se uma resistência variável (potenciômetro) na extremidade dos fios, ligando as duas partes metálicas, conforme a Figura 4. Variou-se a resistência até verificar que a segunda onda (a refletida) no osciloscópio havia desaparecido. Com o auxílio do multímetro na função ohmímetro, registrou-se o valor da resistência que minimizou a segunda onda como valor da impedância do cabo, conforme explicado na introdução deste relatório. Figura 4 Esquema de montagem dos equipamentos necessários para se medir a impedância do cabo coaxial, através do valor de resistência que minimiza a onda refletida que pode ser vista no osciloscópio. O experimento foi realizado simultaneamente por quatro grupos de alunos com quatro cabos diferentes, e os dados foram intercambiados através das plataformas digitais disponíveis. Como os cabos eram todos idênticos, as velocidades encontradas para todos os cabos devem ser as mesmas. RESULTADOS E DISCUSSÃO Os dados medidos no laboratório para os quatro cabos coaxiais se encontram na Tabela 1. A incerteza na medição do comprimento do cabo foi meia polegada (usou-se os dedos para marcar os pontos no cabo) multiplicado por 17 vezes em que o procedimento foi repetido comparando o comprimento do cabo coaxial com o da mesa.

6 6 Cabo Comprimento do cabo ( ) Cabo A¹ 2 Tabela 1 Dados experimentais medidos em laboratório Raio do fio Raio do fio Capacitância Intervalo interno externo total do cabo de tempo ( ) ( ) ( ) ( ) Impedância do cabo ( ) Cabo B - - Cabo C Cabo D ¹As medidas deste cabo foram realizadas pelo próprio autor do relatório A incerteza nos valores de capacitância e impedância foram determinados como 2,5% e 0,8%, respectivamente, do valor mensurado, coforme manual do fabricante do multímetro utilizado, Minipa. [1] Para as medidas realizadas com o paquímetro, a incerteza foi metade da última escala, enquanto a medição do intervalo de tempo na tela do osciloscópio foi o valor da menor divisão. Primeiramente estimaram-se os valores das capacitâncias e indutâncias por unidade de comprimento conforme Tabela 2, através da equação 11 e da razão entre capacitância total e o comprimento do cabo. Tabela 2 Valores de capacitância e indutância por unidade de comprimento nos fios Capacitância Indutância Cabo Cabo A Cabo B Cabo C Cabo D - - Com esses valores então é possível calcular a velocidade dos cabos pelas características do meio, através da equação 6. Com o valor de impedância do cabo, também é possível estimar a velocidade de propagação do sinal com a equação 10. Por fim, com os dados de intervalo de tempo e comprimento é possível estimar a velocidade de propagação pela equação 15. Os valores encontrados e suas respectivas incertezas estão dispostos na Tabela 3. Os valores encontrados para velocidade do sinal são característicos do material dielétrico usado. Os dois materiais dielétricos mais utilizados na fabricação de cabos coaxiais são o polietileno sólido e o polietileno expandido, que têm velocidades de propagação de, respectivamente, 66% e 82% da velocidade da luz no vácuo, que, por definição da unidade metro, é exatamente. Assim, vê-se que os dados obtidos sugerem que o material dielétrico do fio analisado é polietileno sólido. [2] Os valores de impedância encontrados para os cabos também são característicos dos cabos coaxiais. Os cabos coaxiais apresentam 50 Ohms de impedância, valor não escolhido ao caso, mas sim porque ele é um valor médio entre o valor de impedância ao qual o cabo suporta o maior valor de potência (30 Ohms) e o valor de impedância ao qual o sinal sofre a menor atenuação (perda do sinal), que ocorre em 77 Ohms. Cabos coaxiais que propagam baixos sinais por grandes distâncias são feitos de tal modo que a impedância seja em torno de 77 Ohms, aperfeiçoando assim o seu desempenho. [2]

7 7 Tabela 3 Resultados das velocidades de propagação das ondas de tensão e corrente elétrica no eixo do cabo coaxial Velocidade estimada Velocidade estimada Velocidade estimada pelo intervalo de pelo valor de Cabo pelas características do tempo necessário para impedância do cabo meio ( ) percorrer o fio ( ) ( ) Cabo A Cabo B - - Cabo C Cabo D - - CONCLUSÕES Conclui-se com este relatório que a velocidade de propagação de um sinal é um parâmetro importantíssimo para o estudo da emissão e recepção de informações. Um cabo coaxial, no sinal analógico, por exemplo, transporta ondas de tensão e corrente que levam informação de dois modos: ou modulando a amplitude, ou modulando a frequência (na ordem de gigahertzs para esses cabos) dessas ondas. Verificou-se que as medições do cabo medido pelo autor apresentaram coerência entre si, ficando dentro da ordem de grandeza esperada. Outros dois cabos não tiveram todas as informações desejáveis para ter mais de uma velocidade a fim de comparação. Os dados desse cabo, quando comparado com o Cabo A, apresentam consistência, além de serem coerentes com o valor esperado na literatura. O cabo C apresentou alta falta de precisão, as velocidades de propagação encontradas diferiram ordens de grandeza entre si, provavelmente devido a falhas nas medidas. A velocidade em que essas ondas se propagam pelo eixo do cabo é altíssima, cerca de da velocidade da luz no vácuo. Isso garante que entre quaisquer dois pontos na superfície do planeta Terra, o sinal leva menos de meio segundo entre ser emitido e ser recebido e estima-se que se pode transmitir até 10 Mb/s através dos cabos coaxiais. Apesar disso, este modelo de cabo deixou de ser o foco do mercado no final da década de 1990, com a popularização da fibra ótica, que é mais fina, mais rápida e tem menor atenuação do sinal. [3] BIBLIOGRAFIA [1] MINIPA. Multímetro digital Minipa ET-2075B. Disponível em: < >. Acesso em 12 de Set de [2] O comprimento do cabo coaxial: folclore versus técnica Disponível em:< Acesso em 15 de março de [3] WIKIPÉDIA. Cabo coaxial. Disponível em: < Acesso em 12 de março de GALLAS, Márcia R. Linhas de transmissão. Roteiro para aula de Física Experimental IV. Porto Alegre, IF-UFRGS. NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica vol. 3. 1ªed. pg , São Paulo: Blucher, 1997.

8 8 SANT ANNA, Marcelo. Transmissão de sinais. Laboratório de Física Corpuscular, IF UFRJ. Rio de Janeiro, Disponível em: < KhxbvLAhVLgpAKHQbUBNcQFggiMAA&url=http%3A%2F%2Fwww.if.ufrj.br%2F~mms%2Fl ab4%2flab4_aula9_2008_1.ppt&usg=afqjcngrtjmfg- EesngwBKGo7GHtcLk1zg&sig2=NdYKyHELG5JruFYErCjlLw&bvm=bv ,d.Y2I&cad =rja>. Acesso em 12 de março de SILVA, Domiciano Correa Marques Da. Reflexão de onda em uma corda. Brasil Escola. Disponível em < Acesso em 12 de marco de APÊNDICE APÊNDICE A - Equações para a propagação de incertezas nas equações utilizadas A.1) Incerteza para a capacitância por unidade de comprimento: A.2) Incerteza para indutância por unidade de comprimento: A.3) Incerteza para velocidade através da equação 6: A.4) Incerteza para a velocidade através da equação 15: A.5) Incerteza para a velocidade através da equação 9: