CÁLCULO E MATEMÁTICA 11º ano

Transcrição

1 Objetivo Pedagógico e Metas de Ensino de uma Escola Waldorf - Tobias Richter CÁLCULO E MATEMÁTICA 11º ano ASPECTOS PRINCIPAIS E METAS PEDAGÓGICAS GERAIS - 9º ao 12º ano O cerne da atividade matemática é a solução de problemas. O essencial é como se resolve um problema, e não aquilo que se consegue como "resposta". Com tal critério, a matemática ensinada nas escolas se baseia em dois fundamentos da matemática: a fantasia (indução) na fase inicial e a conclusão lógica (dedução) numa fase posterior da atividade matemática. A meta mais importante consiste em desenvolver a capacidade de pensar dos alunos, num leque amplo que vai do "adivinhar" até a conclusão pela lógica, dando-lhes a autoconfiança, isto é, a confiança na própria capacidade de raciocinar. Outra meta justificada consiste em capacitar os alunos para aplicar métodos de cálculos na vida diária e fornecer as bases necessárias para um estudo pós-escolar. Torna-se valioso, para a tarefa principal, colocar certos problemas em novos contextos: em vez da divisão em matérias como álgebra, teoria das funções etc., é preferível dividir os problemas de acordo com diferentes métodos heurísticos, a fim de "dividir" um problema em seus diversos elementos. Quando se trata de investigar e de elaborar uma teoria, os alunos devem ser livres para adivinhar, para experimentar, para tentar váriaspossibilidades. Para buscar uma solução, pode-se simplificar o problema, formar uma analogia ou generalizar a pergunta - é necessário intuir qual a atitude mais promissora. Nessa fase evolutiva dos alunos, a matemática oferecendo, de modo criativo, várias alternativas de solução, pode ter um significado existencial. Os alunos têm a possibilidade de observar, sob vários ângulos, a sua própria maneira de raciocinar, de procurar vários pontos de partida, de escolher exemplos ou exemplos contrários de fazer uma investigação sistemática e de demonstrar os resultados obtidos. Eles aprendem a analisar e a julgar condições e pressupostos. É justamente na matemática que se pode verificar o aspecto educativo artístico da pedagogia Waldorf. É possível chegar a um diálogo fecundo com os alunos, ou entre eles. O plano de ensino indica as metas e os conteúdos; mas a maneira de dar as aulas depende dos conhecimentos dos alunos e das perguntas que eles fazem. Sob esses aspectos é vantajoso para o professor elaborar, pouco a pouco, uma coleção de problemas apropriados para a classe em questão. É importante que os alunos possam fazer conquistas íntimas quanto à validade geral das suas idéias. A maior satisfação resulta de algo que eles primeiro supunham existir, ou que adivinharam, e que, depois, eles conseguiram demonstrar. Como o pensar é uma manifestação essencial da atividade do nosso Eu, a matemática é capaz de oferecer aos alunos oportunidades bem particulares para o desenvolvimento interior e para o conhecimento de si próprios.

2 A Geometria pode ser dada como época convencional (aula principal) ou como época separada de trabalhos práticos. Nela são exercitados processos mentais de transformações no espaço tridimensional. O aluno precisa aprender a pensar "em processos"; ele deverá superar e se livrar de certos hábitos de percepção e de raciocínio, dando ao seu pensar maior mobilidade e abertura. São praticadas as várias maneiras de conceber a realidade espacial, como as projeções paralelas, verticais e oblíquas, as axonometrias e a perspectiva, e são examinadas as possibilidades da sua aplicação inteligente e condizente com a finalidade implícita. 11 ANO CRITÉRIOS E PRINCÍPIOS GERAIS DE ENSINO: As áreas da geometria e da álgebra, até agora tratadas separadamente, são reunidas na geometria analítica. Para o aluno torna-se claro como as formas geométricas correspondem a equações e como novas formas geométricas podem ser definidas por equações. A reta é vista como rastro de um movimento; o conceito de função é melhor definido. O conceito de vetor depois de ter sido elaborado na época de física do 10 ano também é definido mais claramente. É o professor que decide - de acordo com a capacidade da classe - qual o espaço a ser dado aos vetores no ensino da geometria analítica. Na geometria projetiva, as leis da geometria euclidiana são elevadas a um novo patamar. O infinito precisa ser mentalmente compreendido por meio da confrontação com os "elementos infinitamente distantes" (o ponto distante, a reta distante, o plano distante). Assim, o aluno amplia mentalmente o espaço perceptível. No estudo das oscilações, movimenta-se o conteúdo da trigonometria do 10 ano e estabelece-se a base matemática para a compreensão do caráter de ondas de toda a transmissão de informação sem cabo (física, 11 ano). Na trigonometria esférica, o aluno pode vivenciar uma extensão da trigonometria plana. Como a geometria analítica, esta constitui também uma combinação de elementos aritméticos e geométricos. Como ocorre em muitas áreas, no 11 ano duas áreas, até esse momento separadas, passam a ser interligadas: conexões devem ser reveladas. O pensar do aluno alcança uma nova dimensão pelo ensino de seqüências e séries até o valor limite da soma de uma progressão geométrica infinita. No cálculo de juros, percebe-se como os passos em direção a zero podem ser superados dentro de um novo processo. Cálculos do tempo de meia vida estabelecem uma relação com a física nuclear do 11 ano e com problemas da atualidade. Convém lembrar, mais uma vez, que os conteúdos da geometria podem ser tratados numa época à parte (se o planejamento das épocas o permite) e que o professor deverá fazer uma escolha de acordo com o nível da classe, isto é, de acordo com o tema que mais se adequa a determinada classe.

3 POSSÍVEIS CONTEÚDOS DE ENSINO: Progressões e séries Introdução das progressões e séries aritméticas e geométricas, finitas e infinitas (se isso já não foi dado no 10 ano). Desenvolvimento de fórmulas de termos e da somatória e a aplicação destas na área das ciências e da economia. combinação do desenvolvimento da fórmula de termos de uma progressão aritmética de maior grau com os coeficientes binomiais Obtenção de um conceito plástico do valor limite e cálculo do valor acumulativo. Exemplos de representação gráfica das progressões geométricas. O cálculo do juro composto como caso particular de progressão geométrica: dedução da fórmula e aplicação da mesma a vários problemas na área da natureza e da economia (meia-vida, taxas de crescimento...). Encontrar o número "e". Funções (também possível no 12 ano) Conceito de função segundo Leibniz. Conjuntos domínio e imagem. Gráfico de uma função. As primeiras funções inversas. Álgebra e geometria analítica Esboço histórico. Introdução das coordenadas cartesianas e polares e sua inter-relação. Ponto, distância e reta nesses sistemas. A equação de retas em suas várias formas e a sua representação gráfica no sistema das coordenadas planas. Aplicação dos conhecimentos algébricos a problemas geométricos (corte de duas retas, cálculo dos pontos especiais de um triângulo...). Introdução na matemática do conceito de vetor, provindo da física (do 10 ano). Dedução da equação do círculo. Relações entre círculo e reta (secante, tangente, passante; polares). Dedução das condições de contato e da equação da tangente, e reconhecimento do significado do discriminante, e daí reconhecimento dos números complexos como soluções de equações de segundo grau. Ângulo de interseção entre círculo e reta Conhecimento do teorema principal da álgebra Fracionamento em fatores lineares Dedução das equações de elipse, hipérbole e parábola na ia posição, suas tangentes e assíntotas (talvez somente no 12 ano) Todos os problemas são resolvidos gráfica e algebricamente!

4 Estudo das oscilações (base matemática para a época de eletricidade do 11 ano) Revisão do círculo unitário, grau e radiano. Integração das funções trigonométricas nas coordenadas cartesianas, somente em desenho. Oscilações físicas no âmbito mecânico Representação em coordenadas polares Definição matemática das grandezas físicas: amplitude, freqüência, duração da oscilação, defasagem, modulação da freqüência, interferência Teorema da adição Aplicação: representação matemática e gráfica da corrente alternada trifásica Opção entre geometria projetiva e geometria esférica, dependendo da evolução da classe (eventualmente também no 12 ano) Geometria projetiva Projeção central. Os elementos infinitamente distantes. O conceito de dualidade. Teorema de Desargues. Teorema de Pascal. Teorema de Brianchon. Figuras harmônicas, espelhamentos harmônicos. Geometria esférica Pólo e planos polares da esfera Introdução à geometria não-euclidiana da esfera. O "axioma das paralelas". Representação gráfica de círculos máximos e mínimos na esfera O bi-ângulo na esfera. Cálculo da superfície e do volume da esfera. A construção do triângulo esférico por meio de três valores (teoremas da congruência); soma de ângulos no triângulo esférico. A construção de tangentes na esfera nas pontas de um triângulo. Geografia matemática Cálculo do ângulo distante, comprimento distante e ângulo da direção. Desenvolvimento do teorema do seno da trigonometria esférica. Teorema do coseno da trigonometria esférica Medidas matemáticas provenientes da geografia (metro, milha marítima, nó). O triângulo polar.

5 Astronomia matemática Elaboração gráfica do sistema horizontal e da posição de um astro em representação espacial. O sistema equatorial. Construção do triângulo náutico O percurso anual do sol Cálculo de horário (horário local, zonal e astronômico) Cálculo de calendário Ano platônico Ritmos lunares e solares Álgebra de Boole (Introdução ao ensino de informática e tecnologia; também possível em outros anos escolares) Álgebra de Boole. O conceito de "OU" e "E" é introduzido através de ligações em paralelo e em série. Teoria dos conjuntos. Lógica simbólica.