O PAPEL DOS MODELOS NA MATEMÁTICA

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1 O PAPEL DOS NA MATEMÁTICA Irinéa de Lourdes Batista 1 Gabriela H. G. Issa Mendes 2 João Henrique Lorin 3 Kátia Socorro Bertolazi 4 Resumo: Este minicurso tem por objetivo apresentar noções a respeito dos modelos científicos, das teorias científicas e das possíveis contribuições dos modelos para a teorização científica em Matemática, e dessa forma, promover uma discussão a respeito dos fundamentos do conhecimento matemático. A elaboração deste trabalho faz parte de um projeto mais amplo do grupo de pesquisa Investigações em Filosofia e História da Ciência, e Educação em Ciências e Matemática (IFHIECEM) que promove o curso de extensão presencial A contribuição dos Modelos Científicos para a compreensão da Ciência e seu ensino numa abordagem interdisciplinar. Palavras-chave: História e Filosofia da Ciência; Modelos Científicos; Ensino de Matemática. Modelos na Matemática Diante do objetivo proposto no minicurso, o entendimento de conhecimento científico adotado pelo grupo de matemática é aquele que o compreende como crença verdadeira e justificada, dentro das fronteiras da racionalidade (Costa, 1999, p.41). Nesse sentido, para compreender o conceito de modelo, consideramos pertinente diferenciá-lo de outros termos que também são relevantes na compreensão do conhecimento científico, tais como: leis científicas, teoria científica, teorema, axiomas e postulados. 1 Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática (PECEM), Universidade Estadual de Londrina (UEL). Rodovia Celso Garcia Cid (PR 445, Km 380), Campus Universitário, Caixa postal Londrina, PR, Brasil irinea@uel.br 2 Doutoranda, PECEM, UEL. Londrina, PR, Brasil. gabrielaissa5@hotmail.com 3 Doutorando, PECEM, UEL. Londrina, PR, Brasil. Professor Assistente do Departamento de Matemática da Unespar/Fecilcam. jhlorin@fecilcam.br 4 Doutoranda, PECEM, UEL. Londrina, PR, Brasil.katiabertolazi@gmail.com

2 Para exemplificar a contribuição dos modelos científicos para a compreensão da ciência e, de forma mais específica, relativa ao conhecimento matemático, faz-se necessário assumir um conceito de modelo. [...] um modelo é uma entidade natural ou artificial, relacionada de alguma forma, à entidade sob estudo ou a alguns de seus aspectos. Esse modelo é capaz de substituir o objeto (entidade) em estudo (isto é, de servir como uma quasi-entidade relativamente independente), e de produzir (sobre essa investigação) certos conhecimentos mediados concernentes à entidade sobestudo (BATISTA, 2004, p. 466). Considerando a concepção de modelo supracitado, seguem-se dois exemplares que serão utilizados com a finalidade de esclarecer a compreensão do conhecimento científico e dos modelos nas abordagens sintática (axiomática) e semântica. Abordagem sintática ou axiomática Nesta abordagem a relação entre a teoria compreendida como algoritmos axiomáticos e realidade fundamenta-se em regras lógicas. Para exemplificar tal abordagem citamos o conjunto dos números naturais, historicamente usados para fins de contagens. Matematicamente os números naturais são descritos mediante certas propriedades. Estas propriedades são conhecidas como os axiomas de Peano, elaboradas a partir de regras lógicas que possibilitam a geração de um conjunto infinito de números a partir de um número finito de símbolos. Citamos, a seguir, tais axiomas. 1) 2) 3) Esses axiomas fundamentam-se na meta linguagem, constituída por um sistema formal, por axiomas lógicos e regras de inferência. Os axiomas lógicos correspondem a fórmulas em uma linguagem que é universalmente válida, ou seja, são fórmulas satisfeitas por toda a estrutura sob toda função de tarefa de variáveis. Em outros termos, axiomas lógicos são verdadeiros em algum possível universo, para alguma possível interpretação e com alguma tarefa de valor.

3 Alguns axiomas lógicos validados por razões puramente lógicas: 1) 2) 3) Citamos e exemplificamos a seguir as formas de inferências validadas universalmente. (a) Modus Ponens: expressão latina modus ponendo ponens, cujo significado é a maneira pela qual, afirmando, se afirma. Jack é inocente. Se Jack é inocente, ele tem um álibi. Assim, Jack tem um álibi. (b) Modus Tolens: do latim "o modo que nega". Se Jack é inocente, ele tem um álibi. Jack não tem um álibi. Por isso, Jack não é inocente. Abordagem semântica Nessa abordagem há uma relação direta e necessária entre três componentes: a teoria, os modelos e o mundo (Morgan; Morrison, 1999; Dutra, 2005). Em meio ao contexto da abordagem semântica, a classificação sugerida por Batista (1999,2004) foi adotada na área de Matemática. No entanto, somente os modelos lógico-matemáticos serão trabalhados neste minicurso. CLASSIFICATÓRIOS DE SISTEMATIZAÇÃO FENOMENOLÓGICOS LÓGICO- MATEMÁTICOS FENOMENOLÓGICOS LÓGICO- MATEMÁTICOS HEURÍSTICOS PROTOTEORIA TEORIA LÓGICO- MATEMÁTICOS TIPO- ESSÊNCIA TIPO-ESSÊNCIA ONTOLÓGICOS Figura 2 - Quadro síntese da tipologia de modelos das ciências naturais. Fonte: Adaptado de Batista (2004, p. 471).

4 Vejamos um exemplo: O banco Mutreta & Cambalacho cobra uma tarifa para manutenção de conta (TMC) da seguinte forma: uma taxa de R$ 10,00 mensais e mais uma taxa R$ 0,15 por cheque emitido. É possível representar algebricamente a situação de cobrança da taxa de um correntista qualquer, isto é,, sendo t a tarifa a ser cobrada e f o número de folhas de cheque utilizadas. Observe que este modelo representa o objeto em estudo: a tarifa para manutenção de conta. Neste exemplo as variáveis assumem um papel específico, conforme o fenômeno analisado, por este motivo denomina-se modelo lógico-matemático fenomenológico (referente a um fenômeno específico em estudo). Várias outras situações podem ser descritas algebricamente de forma semelhante ao exemplo anterior. A existência de uma coleção de modelos que apresentam estruturas análogas pode ser agrupada numa categoria mais abrangente denominada modelo lógico-matemático tipo-essência, que neste caso, seria da função afim. O modelo tipo-essência abarcará todos os modelos descritos de fenômenos particulares empíricos ou mentais elaborados a partir de paradigmas cognitivos, não necessariamente verificável por meio de empiria algo bastante comum no campo da Matemática. Batista (2004) esclarece ainda, que um modelo pode dar uma interpretação preliminar para um novo fenômeno. Mas, e quando se trata de um fenômeno cuja natureza física é desconhecida? A linguagem matemática tem sua própria lógica, que é relativamente independente da lógica de um processo físico possibilitando a construção de um modelo. Tal construção é feita por uma extrapolação matemática chamada de método de hipóteses matemáticas. Nessa perspectiva tem-se um horizonte de possibilidades para construir modelos a partir de hipóteses matemáticas. Procedimentos Metodológicos Primeiro, apresentaremos os conceitos e características dos modelos, bem como diferentes abordagens e tipologias que envolvem a sua compreensão frente à produção de teorias e explicações científicas de forma geral. No segundo momento será discutida a natureza dos modelos na perspectiva do conhecimento da Matemática.

5 Para os participantes serão realizados questionamentos, discussões e reflexões a respeito da diferenciação de significados entre os termos teorias científicas, teoremas científicos, modelos científicos, postulados científicos, leis científicas, hipóteses científicas e axiomas científicos. Este minicurso será oferecido de forma presencial, tendo como público alvo professores e graduandos das áreas de Matemática. Referências BATISTA. A teoria Universal de Fermi: da sua formulação inicial até a reformulação V-A.Tese de Doutorado em Filosofia da Ciência. Universidade de São Paulo USP, São Paulo,1999. BATISTA. O Ensino de Teorias Físicas Mediante uma estrutura Histórico- Filosófica. Ciência &Educação, v.10, n.3, p , COSTA, N. C. A. Conhecimento científico. São Paulo: Discurso Editorial, DUTRA, L. H. A. Os modelos e a pragmática da investigação. Scientia e Studia. São Paulo, v. 3, n. 2,p , MORGAN, M.S., MORRISON, M. Models as mediators. Cambridge University Press, 1999.