CURSO DE ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS MODELO ARIMA MATERIAL DE APOIO

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1 FACE Faculdade de Administração, Ciências Contábeis e Ciências Econômicas Curso de Ciências Econômicas Direção FACE Prof. Moisés Ferreira da Cunha Vice-Direção FACE Prof. Mauro Caetano de Souza Coordenação do Curso de Ciências Econômicas Prof.ª Priscila Casari NEPEC Núcleo de Estudos e Pesquisas Econômicas Coordenação Sérgio Fornazier Meyrelles Filho CURSO DE ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS MODELO ARIMA MATERIAL DE APOIO Professor: Sandro Eduardo Monsueto NEPEC/FACE/UFG Goiânia Setembro/Outubro 2014 Versão 1.0 Endereço Campus Samambaia, Prédio da FACE Rodovia Goiânia/Nova Veneza, km. 0 Caixa Postal 131, CEP , Goiânia GO. Tel. (62) URL 1

2 1. Introdução e conceitos básicos Esta apostila serve de material de apoio para a realização do curso. Longe de ser abrangente, tem como objetivo servir de guia ou de lembrete para a execução de tarefas. Outros materiais, melhores e mais completos, podem ser facilmente encontrados de forma gratuita na internet e em livros especializados no assunto. Para realizar as estimações, iremos utilizar o pacote estatístico Gretl, disponível para baixar gratuitamente no site gretl.sourceforge.net. A primeira definição necessária para nossa análise é o conceito de série temporal. Uma série temporal é uma sequência de dados no tempo com uma determinada periodicidade. Alguns exemplos: - PIB brasileiro trimestral. - taxa de juros mensal. - índice pluviométrico semanal. - valor das ações da Petrobras minuto a minuto. Ou seja, é o conjunto de informações sobre uma mesma variável ao longo de vários períodos sequenciais. Ao longo deste curso, usaremos a seguinte notação algébrica para representar os dados no tempo: Yt: a observação no tempo t da variável Y. Yt-1: a observação um período atrás, ou com uma defasagem (lag) temporal. Yt+1: a observação um período a frente. Generalizando: Yt±j: a observação no período t±j Exemplo: Mês Período Yt Yt-1 Yt Y1 3,6 3, Y2 3,9 3,6 2, Y3 2,5 3,9 1, Y4 1,9 2,5 2, Y5 2,7 1,9 2, Y6 2,4 2,7 1, Y7 1,6 2,4 1, Y8 1,6 1,6 1, Y9 1,7 1,6 2, Y10 2,5 1,7 - O restante do material está constituído de uma série de exemplos estimados com dados reais ou fictícios e telas explicativas das funções do programa Gretl. Ao longo do curso serão acrescentados novos exemplos. 2

3 2. Exemplos de Modelos Autoregressivos AR(p) AR(1) Modelo 1: ARMA, usando as observações 1995: :03 (T = 183) Variável dependente: ipca const 0, , ,0879 <0,00001 *** phi_1 0, , ,7413 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -55,45739 Critério de Akaike 116,9148 Critério de Schwarz 126,5432 Critério Hannan-Quinn 120,8177 AR Raiz 1 1,2680 0,0000 1,2680 0,0000 AR(2) Modelo 2: ARMA, usando as observações 1995: :03 (T = 183) Variável dependente: ipca const 0, , ,2400 <0,00001 *** phi_1 0, , ,7939 <0,00001 *** phi_2-0, , ,4472 0,65476 Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -55,35740 Critério de Akaike 118,7148 Critério de Schwarz 131,5527 Critério Hannan-Quinn 123,9187 AR Raiz 1 1,2969 0,0000 1,2969 0,0000 Raiz 2 22,7468 0, ,7468 0,0000 AR(3) Modelo 3: ARMA, usando as observações 1995: :03 (T = 183) Variável dependente: ipca const 0, , ,9527 <0,00001 *** phi_1 0, , ,8381 <0,00001 *** phi_2-0, , ,8285 0,40738 phi_3 0, , ,7544 0,45062 Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -55,07385 Critério de Akaike 120,1477 Critério de Schwarz 136,1951 Critério Hannan-Quinn 126,6525 AR Raiz 1 1,2395 0,0000 1,2395 0,0000 Raiz 2 0,0873-3,7310 3,7320-0,2463 Raiz 3 0,0873 3,7310 3,7320 0,2463 3

4 Exemplos de modelos AR(p) usando dados da Sefaz/GO: ICMS Taxa de crescimento Modelo 4: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_icms const 0, , ,6955 0,48674 phi_1-0, , ,0204 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações 0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 80,70000 Critério de Akaike -155,4000 Critério de Schwarz -146,7744 Critério Hannan-Quinn -151,8950 AR Raiz 1-2,4979 0,0000 2,4979 0,5000 Modelo 5: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_icms const 0, , ,0390 0,29882 phi_1-0, , ,6610 <0,00001 *** phi_2-0, , ,3512 0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações 0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 89,49711 Critério de Akaike -170,9942 Critério de Schwarz -159,4934 Critério Hannan-Quinn -166,3209 AR Raiz 1-0,7650-1,4942 1,6786-0,3253 Raiz 2-0,7650 1,4942 1,6786 0,3253 4

5 3. Exemplos de Modelos de Média Móvel MA(q) MA(1) Modelo 1: ARMA, usando as observações 1995: :03 (T = 183) Variável dependente: ipca const 0, , ,6857 <0,00001 *** theta_1 0, , ,4492 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -88,12918 Critério de Akaike 182,2584 Critério de Schwarz 191,8868 Critério Hannan-Quinn 186,1612 MA Raiz 1-1,6364 0,0000 1,6364 0,5000 MA(2) Modelo 2: ARMA, usando as observações 1995: :03 (T = 183) Variável dependente: ipca const 0, , ,3482 <0,00001 *** theta_1 0, , ,3833 <0,00001 *** theta_2 0, , ,6534 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -68,05490 Critério de Akaike 144,1098 Critério de Schwarz 156,9477 Critério Hannan-Quinn 149,3136 MA Raiz 1-1,1363-1,1344 1,6056-0,3751 Raiz 2-1,1363 1,1344 1,6056 0,3751 MA(3) Modelo 3: ARMA, usando as observações 1995: :03 (T = 183) Variável dependente: ipca const 0, , ,5233 <0,00001 *** theta_1 0, , ,6333 <0,00001 *** theta_2 0,5313 0, ,5542 <0,00001 *** theta_3 0, , ,5813 0,00034 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -64,02861 Critério de Akaike 138,0572 Critério de Schwarz 154,1046 Critério Hannan-Quinn 144,5620 MA Raiz 1-1,6714 0,0000 1,6714 0,5000 Raiz 2-0,2187-1,5254 1,5410-0,2727 Raiz 3-0,2187 1,5254 1,5410 0,2727 5

6 Exemplos de modelos MA(q) usando dados da Sefaz/GO: Modelo 4: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_icms const 0, , ,9269 <0,00001 *** theta_1-0, , ,1761 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 103,4931 Critério de Akaike -200,9861 Critério de Schwarz -192,3605 Critério Hannan-Quinn -197,4812 MA Raiz 1 1,0815 0,0000 1,0815 0,0000 Modelo 5: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_icms const 0, , ,2454 <0,00001 *** theta_1-0, , ,8108 <0,00001 *** theta_2-0, , ,1632 0,24477 Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 104,1715 Critério de Akaike -200,3431 Critério de Schwarz -188,8423 Critério Hannan-Quinn -195,6698 MA Raiz 1 1,0562 0,0000 1,0562 0,0000 Raiz 2-8,1999 0,0000 8,1999 0,5000 6

7 4. Exemplos de Modelos ARMA (1,1) Os modelos ARMA (p,q) combinam memória de longo prazo com memória de curto prazo: Modelo 1: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_icms const 0, , ,1057 <0,00001 *** phi_1 0, , ,0397 0,29850 theta_1-0, , ,4714 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 104,0450 Critério de Akaike -200,0900 Critério de Schwarz -188,5892 Critério Hannan-Quinn -195,4167 AR MA Raiz 1 9,7944 0,0000 9,7944 0,0000 Raiz 1 1,0578 0,0000 1,0578 0,0000 Modelo 2: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_agropecuaria const 0, , ,3836 0,16649 phi_1 0, , ,1042 <0,00001 *** theta_1-1 0, ,2017 <0,00001 *** Média var. dependente -0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 62,41573 Critério de Akaike -116,8315 Critério de Schwarz -105,3307 Critério Hannan-Quinn -112,1582 AR MA Raiz 1 1,4682 0,0000 1,4682 0,0000 Raiz 1 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 7

8 5. Estimar modelos ARMA/ARIMA no Gretl Para estimar um modelo da classe ARMA/ARIMA, siga até o menu Modelo, clique na opção Série Temporal e em seguida na opção ARIMA, como mostra a Figura abaixo: Após esses passos, a tela abaixo irá aparecer. Selecione a variável que será utilizada para previsão e delimite as ordens AR(p) e MA(q). Lembre-se que o modelo ARMA tradicional não possui regressores extras. Selecione a variável e clique no botão lilás Define a ordem AR(p) - longo prazo Define a ordem MA(q) - curto prazo 8

9 6. O método Box-Jenkins de previsão O objetivo do método é gerar um modelo com as seguintes características: i. Estabilidade (módulo das raízes fora do círculo unitário) ii. Resíduos na forma de Ruído Branco a. Sem memória b. Normalmente distribuído c. Homocedástico O MÉTODO BOX-JENKINS DE ESTIMAÇÃO DO MODELO ARIMA 9

10 7. O correlograma Para gerar o correlograma de uma série temporal, clique sobre uma variável com o botão direito do mouse e selecione a opção Correlograma: O Resultado é exemplificado na Figura abaixo. Todas as autocorrelações que ultrapassam o intervalo de confiança são estatisticamente diferente de zero, indicando presença de algum tipo de memória na série. Função de Autocorrelação Simples (FAC) Função de Autocorrelação Parcial (FACP) A interpretação do correlograma segue o esperado para cada tipo de modelo teórico. Seguindo Bueno (2011), temos: Fonte: Bueno (2011) 10

11 Correlograma esperado para um AR(1) FAC decaimento exponencial FACP truncada na primeira defasagem Correlograma esperado para um AR(2) FAC decaimento exponencial FACP truncada na segunda defasagem Correlograma esperado para um MA(2) FAC truncada na segunda defasagem FACP decaimento exponencial Correlograma esperado para um ARMA(2,1) FAC truncada na primeira e decaimento exponencial a partir da segunda defasagem FACP truncada na segunda e decaimento exponencial a partir da terceira defasagem Contudo, lembre-se que na prática a identificação visual do modelo é complicada, devendo o pesquisador utilizar o processo de tentativa e erro do fluxograma apresentado anteriormente. Ou seja, a próxima etapa é verificar se o modelo é estável para, em seguida, realizar o diagnóstico dos resíduos. 11

12 8. Estabilidade do modelo Para verificar a estabilidade, basta observar se os módulos das raízes do modelo são maiores do que 1, ou seja, se estão fora do círculo unitário. Se o modelo for nãoestável, volte à fase de identificação (correlograma) e escolha outra especificação. Se obtiver estabilidade, prossiga para fase de diagnóstico dos resíduos. Exemplo de modelo não-estável (raízes no círculo unitário). O módulo da raiz MA(1) não está fora do círculo unitário Exemplo de modelo estável (raízes fora do círculo unitário). O módulo de cada raiz está fora do círculo unitário 12

13 9. Diagnóstico de resíduos Este diagnóstico tem como objetivo verificar se os resíduos são ruído branco, ou seja, sem memória, normalmente distribuídos e homocedásticos (variância constante). Para testar a presença de memória, são usados dois testes: o Correlograma dos Resíduos e a estatística Ljung-Box. Ambas são acessadas na tela de resultados do modelo, no menu Gráficos, opção Correlograma dos resíduos, como mostra a figura: Teste da memória dos resíduos (correlograma e Ljung-Box) Basta clicar em OK para o Gretl gerar o correlograma dos resíduos e o teste de Ljung-Box. Neste resultado, vemos que o correlograma dos resíduos apresenta correlações (memórias) significativamente diferente de zero (barras rompendo o intervalo de confiança) É um indício de que o modelo não está bem estimado. 13

14 Da mesma forma, o Ljung-Box confirma a presença de memória nos resíduos, como mostram os baixo [p-valores] obtidos após a 5ª defasagem. Um bom modelo exibe um [pvalor] alto para todas as defasagens, evidenciando a não rejeição da hipótese nula de correlação igual a zero. Abaixo, vemos um exemplo do que seria um resíduo de um bom modelo estimado, sem memória tanto pelo correlograma como pelo teste Ljung-Box: Teste de normalidade dos resíduos Para testar a normalidade dos resíduos, na tela do modelo estimado, clique no menu Testes e na opção Normalidade dos resíduos. 14

15 O GRETL exibe um histograma dos resíduos e o resultado do teste de Doornik-Hansen na parte superior esquerda da tela. Um p-valor (entre colchetes) alto revela a não rejeição da hipótese nula de normalidade dos resíduos. Um p-valor muito baixo mostra a necessidade de se estimar um novo modelo. Teste ARCH para heterocedasticidade O teste ARCH tem como objetivo verificar se os resíduos do modelo apresentam variância constante (homocedasticidade). Menu Testes, opção ARCH. Um p-valor muito alto revela a não rejeição da hipótese nula de homocedasticidade. Um p-valor muito baixo mostra que os resíduos são heterocedásticos e um novo modelo deve ser estimado 10. Comparação entre modelos Na prática, mais de um modelo pode ser usado para representar a evolução da série analisada. O pesquisador deve selecionar ao menos dois modelos candidatos para compará-los e escolher qual deles será usado para a previsão. Um modelo 15

16 candidato é um modelo que passou por todos os diagnósticos anteriores. A escolha está, em geral, baseada no equilíbrio entre parcimônia (economia de coeficientes) e nível de ajustamento. Desta forma, três critérios gerais são comumente empregados: 1. Critérios de Informação: o GRETL fornece três critérios de informação. Estão disponíveis automaticamente sempre que um modelo é estimado. Deve-se buscar privilegiar o modelo que gerar os menores critérios de informação 2. Erro Médio e Erro Quadrado Médio: disponíveis no menu Análise, opção Mostrar efetivo, ajustado, resíduos. Quanto menores os erros médios, melhor é o nível de ajustamento do modelo e melhor tende a ser a qualidade da previsão 3. Significância dos coeficientes: em geral, busca-se eliminar os coeficientes de memória que são não significativos, principalmente os últimos de cada ordem (AR ou MA). Coeficiente significativo a 10% Coeficiente não significativo (p-valor muito alto) 16

17 11. Previsão Escolhido o modelo de análise, deve-se partir para a etapa de previsão. No GRETL a previsão é bem simples. Suponha que desejamos prever o resultado de uma variável k períodos a frente: A previsão k períodos a frente pode ser feita por meio do menu Análise, opção Previsões... Período para realizar a previsão Método de previsão (o mais usado é a previsão automática) Opções para exibir o intervalo de confiança da previsão 17

18 12. Séries não estacionárias Até aqui, estávamos supondo que as séries eram estacionárias, ou seja, que mantinham constante suas características fundamentais. Contudo, a maior parte das séries econômicas apresentam algum tipo de tendência, fazendo com que sua média se altere ao longo do tempo. De maneira geral, trabalhamos com dois tipos de tendência: Tendência Determinística: gira em torno de um eixo aproximadamente fixo no tempo. Também conhecidas como séries TSP (Trend Stationary Process - Processo de Tendência Estacionária). Tendência Estocástica: não gira em torno a um eixo fixo, mas sim um eixo que se altera com o passar do tempo. É também denominada de DSP (Difference Stationary Process Processo Estacionário por Diferença) ou ainda processo com Raiz Unitária. Antes de realizar a estimação do modelo ARMA, é necessário eliminar ou tratar a tendência da séria. Cada tipo de tendência tem um tratamento diferente. No caso de uma série do tipo DSP (raiz unitária), o caminho natural é a diferenciação, ou seja, transformando a variável em sua primeira diferença. Em geral, a primeira diferença de uma série é estacionaria. Taxa de desemprego (em nível) 10 Taxa de desemprego em primeira diferença 2, ,5 1 desemprego 7 6 d_desemprego 0, , Logarítmo da Arrecadação na Agropecuária (em nível) 17,2-1, Primeira difeença do logaritmo da arrecadação na agropecuária 0,4 0,3 17 0,2 16,8 0,1 l_agropecuaria 16,6 16,4 d_l_agropecuaria 0-0,1-0,2-0,3 16,2-0, ,5-0,

19 Para a situação de tendência determinística (TSP) deve-se primeiro extrair o componente determinístico por meio de um modelo de M.Q.O. e utilizar os resíduos estimados para modelar um ARMA. Uma alternativa seria estimar um modelo ARMAX, onde X representa um conjunto de variáveis explicativas exógenas. No nosso caso, X seria a tendência temporal determinística. As próximas seções mostram como operacionalizar estas três situações (DSP, TSP e ARIMAX) no Gretl. 13. Modelo ARIMA (p,d,q) O modelo ARIMA (p,d,q) é o indicado quando a série apresenta uma raiz unitária ou tendência estocástica. Neste caso, podem ser tomados dois caminhos pelo Gretl. A primeira opção é gerar a primeira diferença da variável e estimar um modelo ARMA (p,q) sobre esta nova série estacionária. Para gerar a primeira diferença de uma série, selecione a variável e siga até o menu Acrescentar, e depois na opção Primeiras diferenças das variáveis selecionadas. Alternativamente, o pesquisador pode estimar diretamente um modelo ARIMA (p,d,q) onde d é a quantidade de vezes que é preciso diferenciar a série original para se obter algo estacionário. A estimação de um modelo ARIMA no Gretl segue os mesmos passos de um modelo ARMA, com o adicional de que agora precisamos definir a ordem de integração da série: Após entrar pelo menu Modelos, opção Séries Temporais, ARIMA, selecione as ordem p,d,q Define a ordem de integração da série 19

20 Note que, em termos de modelo, é a mesma coisa estimar um modelo ARIMA(p,d,q) diretamente sobre a série original e estimar um ARMA (p,q) sobre a primeira diferença das séries. Vemos estas duas alternativas nos modelos 1 e 2 respectivamente: Estimando um ARIMA (1,1,1) para a série de L_energia original Modelo 1: ARIMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: (1-L) l_energia const 0, , ,5802 0,56175 phi_1-0, , ,9982 0,04569 ** theta_1-0, , ,1298 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações 0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -77,41286 Critério de Akaike 162,8257 Critério de Schwarz 174,3265 Critério Hannan-Quinn 167,4990 AR MA Raiz 1-4,4532 0,0000 4,4532 0,5000 Raiz 1 1,3396 0,0000 1,3396 0,0000 Estimando um ARMA(1,1) para a primeira diferença da série de L_energia Modelo 2: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: d_l_energia const 0, , ,5802 0,56175 phi_1-0, , ,9982 0,04569 ** theta_1-0, , ,1298 <0,00001 *** Média var. dependente 0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações 0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -77,41286 Critério de Akaike 162,8257 Critério de Schwarz 174,3265 Critério Hannan-Quinn 167,4990 AR MA Raiz 1-4,4532 0,0000 4,4532 0,5000 Raiz 1 1,3396 0,0000 1,3396 0,0000 A diferença entre eles está no resultado da previsão. Enquanto o Modelo 1 faz a previsão da série original, o Modelo 2 tem como previsão a primeira diferença da série. Desta forma, na maior parte dos casos, é mais interessante estimar diretamente um modelo ARIMA. 20

21 Observações importantes: i. O correlograma para identificação inicial das ordens AR(p) e MA(q) devem ser feitas em cima da primeira diferença da série. ii. Deve-se sempre verificar se a primeira diferença é de fato estacionária. 14. Séries com tendência determinística Para se estimar um modelo com tenência determinística, devemos primeiro extrair o componente determinístico por meio de um modelo de Mínimos Quadrados Ordinários. As etapas são: 1. Rodar um modelo de M.Q.O. com a tendência temporal como variável dependente. 2. Extrair os resíduos deste modelo estimado. 3. Estimar um modelo ARMA(p,q) sobre os resíduos. Para acrescentar uma tendência temporal, clique no menu Acrescentar e depois na opção Tendência Temporal. No menu Modelo, selecione a opção Mínimos Quadrados Ordinários. Acrescente a variável time na lista de Regressores e estime o modelo. 21

22 Depois de estimado o modelo, salve os resíduos por meio do menu Salvar, opção Resíduos. Isso irá gerar uma nova variável na base de dados. Abaixo, seguem os resultados para o tratamento da tendência determinística da arrecadação do setor de Energia (em logaritmos). Extração da tendência determinística Modelo 12: MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 132) Variável dependente: l_energia Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor const 17,7131 0, ,8933 <0,00001 *** time 0, , ,9975 <0,00001 *** Média var. dependente 18,04870 D.P. var. dependente 0, Soma resíd. quadrados 25,40026 E.P. da regressão 0, R-quadrado 0, R-quadrado ajustado 0, F(1, 130) 24,97460 P-valor(F) 1,84e-06 Log da verossimilhança -78,52907 Critério de Akaike 161,0581 Critério de Schwarz 166,8237 Critério Hannan-Quinn 163,4010 rô 0, Durbin-Watson 1, Arrecadação do setor de energia Resíduos do modelo de M.Q.O. 20 Resíduos da regressão (= observados - ajustados l_energia) 1,5 19, ,5 18,5 l_energia 18 resíduo 0 17,5-0, ,5-1,

23 Modelo ARMA (1,1) sobre os resíduos de M.Q.O. após extrair a tendência determinística Modelo 13: ARMA, usando as observações 2003: :12 (T = 132) Variável dependente: uhat12 const 0, , ,0582 0,95359 phi_1 0, , ,9652 <0,00001 *** theta_1-0, , ,5915 <0,00001 *** Média var. dependente -1,16e-15 D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -75,68339 Critério de Akaike 159,3668 Critério de Schwarz 170,8980 Critério Hannan-Quinn 164,0525 AR MA Raiz 1 1,1724 0,0000 1,1724 0,0000 Raiz 1 1,3426 0,0000 1,3426 0, Modelo ARMAX para a tendência determinística Alternativamente, a tendência determinística pode ser modelada junto com o modelo ARMA (p,q), utilizando a tendência temporal como variável exógena. Neste contexto, o modelo ARMA passa a ser conhecido como ARMAX, onde o X representa o conjunto de variáveis extra. Modelo ARMAX (1,1) para L_energia compare com o modelo 13 da seção anterior. Modelo 14: ARMAX, usando as observações 2003: :12 (T = 132) Variável dependente: l_energia const 17,7187 0, ,2058 <0,00001 *** phi_1 0, , ,9675 <0,00001 *** theta_1-0, , ,5935 <0,00001 *** time 0, , ,1439 0,00167 *** Média var. dependente 18,04870 D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança -75,68323 Critério de Akaike 161,3665 Critério de Schwarz 175,7805 Critério Hannan-Quinn 167,2237 AR MA Raiz 1 1,1724 0,0000 1,1724 0,0000 Raiz 1 1,3426 0,0000 1,3426 0,

24 Para estimar um modelo ARMAX, basta acrescentar variáveis extra na lista de Regressores. No nosso caso, acrescentamos a variável time, que é a tendência temporal. 16. Teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) O teste ADF foi originalmente desenhado para captar a presença de raiz unitária na série (DSP). Contudo, também pode ser empregado para detectar a ocorrência de tendência determinística (TSP). O teste possui a seguinte hipótese nula: Ho: Presença de Raiz Unitária Ha: Sem Raiz Unitária Pode-se comparar o valor da estatística calculada com a tabela de valores críticos de Dickey-fuller ou utilizar diretamente o p-valor. Um p-valor elevado (geralmente acima de 0,10) aponta para a não rejeição de Ho e evidencia a presença de raiz unitária na série. Por exemplo, o quadro abaixo mostra as três versões do teste para a taxa de desemprego no Brasil. A esquerda, os p-valores elevados mostram que a série original apresenta uma raiz unitária, enquanto sua primeira diferença aparenta ser estacionária. Teste para Desemprego em nível Teste para a primeira diferença do desemprego Teste de Dickey-Fuller para desemprego dimensão de amostragem 111 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 Teste de Dickey-Fuller para d_desemprego dimensão de amostragem 110 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste sem constante modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,029 valor estimado de (a - 1): 0, estatística de teste: tau_nc(1) = 0, p-valor 0,702 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e coeficiente de 1ª ordem para e: 0,014 valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_c(1) = -1,9269 p-valor 0,319 com constante e tendência modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + e coeficiente de 1ª ordem para e: 0,038 valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_ct(1) = -3,01459 p-valor 0,133 teste sem constante modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) + e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,005 valor estimado de (a - 1): -1,02869 estatística de teste: tau_nc(1) = -10,7045 p-valor 1,639e-068 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,005 valor estimado de (a - 1): -1,03106 estatística de teste: tau_c(1) = -10,6734 p-valor 3,585e-015 com constante e tendência modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) + e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,006 valor estimado de (a - 1): -1,03417 estatística de teste: tau_ct(1) = -10,6509 p-valor 4,921e

25 Contudo, a ausência de raiz unitária não implica necessariamente em uma série estacionaria, uma vez que ainda pode estar presente a tendência determinística. Para identificação correta, deve-se aplicar o teste ADF em sua versão mais completa disponível no Gretl. Para realizar o teste ADF, siga o esquema abaixo: Selecione a variável, clique no menu Variável, e depois na opção Testes de raiz unitária, teste de Dickey-Fuller aumentado. Determina a ordem máxima para o teste. O Gretl calcula automaticamente usando a fórmula = 12 / 100 Onde T é o número de observações da base de dados. Marcar essa opção para visualizar todo o resultado do teste. 25

26 O fluxograma abaixo pode ajudar a interpretar o resultado completo do teste ADF e identificar o tipo de tendência da série. Abaixo, seguem alguns exemplos de aplicação do teste, seguindo a interpretação deste fluxograma: 26

27 Teste ADF para L_agropecuaria Teste Aumentado de Dickey-Fuller para l_agropecuaria incluindo 10 defasagens de (1-L)l_agropecuaria (o máximo foi 12, critério estatística-t) dimensão de amostragem 121 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste sem constante modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,036 diferenças defasadas: F(10, 110) = 5,480 [0,0000] valor estimado de (a - 1): 0, estatística de teste: tau_nc(1) = 0,31619 p-valor assintótico 0,777 Evidência de raiz unitária Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 121) Variável dependente: d_l_agropecuaria coeficiente erro padrão razão-t p-valor l_agropecuaria_1 0, , ,3162 0,7770 d_l_agropecuar~_1-0, , ,898 0,0002 *** d_l_agropecuar~_2-0, , ,159 6,36e-05 *** d_l_agropecuar~_3-0, , ,955 0,0532 * d_l_agropecuar~_4-0, , ,052 0,0028 *** d_l_agropecuar~_5-0, , ,276 4,07e-05 *** d_l_agropecuar~_6-0, , ,339 0,0011 *** d_l_agropecuar~_7-0, , ,151 1,15e-06 *** d_l_agropecuar~_8-0, , ,995 0,0001 *** d_l_agropecuar~_9-0, , ,698 0,0923 * d_l_agropecua~_10-0, , ,841 0,0054 *** AIC: -131,382 BIC: -100,629 HQC: -118,892 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,029 diferenças defasadas: F(10, 109) = 3,331 [0,0008] valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_c(1) = -1,25345 p-valor assintótico 0,6533 Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 121) Variável dependente: d_l_agropecuaria coeficiente erro padrão razão-t p-valor const 2, , ,256 0,2119 l_agropecuaria_1-0, , ,253 0,6533 d_l_agropecuar~_1-0, , ,978 0,0505 * d_l_agropecuar~_2-0, , ,366 0,0198 ** d_l_agropecuar~_3-0, , ,8245 0,4115 d_l_agropecuar~_4-0, , ,775 0,0788 * d_l_agropecuar~_5-0, , ,932 0,0041 *** d_l_agropecuar~_6-0, , ,327 0,0218 ** d_l_agropecuar~_7-0, , ,130 7,12e-05 *** d_l_agropecuar~_8-0, , ,367 0,0011 *** d_l_agropecuar~_9-0, , ,351 0,1795 d_l_agropecua~_10-0, , ,564 0,0117 ** Constante não significativa e p-valor alto para o teste de raiz unitária. Subir para a versão sem constante. AIC: -131,12 BIC: -97,5709 HQC: -117,495 com constante e tendência modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,026 diferenças defasadas: F(10, 108) = 3,298 [0,0009] valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_ct(1) = -1,69067 p-valor assintótico 0,7557 Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 121) Variável dependente: d_l_agropecuaria coeficiente erro padrão razão-t p-valor const 3, , ,689 0,0942 * l_agropecuaria_1-0, , ,691 0,7557 d_l_agropecuar~_1-0, , ,436 0,1539 d_l_agropecuar~_2-0, , ,916 0,0580 * d_l_agropecuar~_3-0, , ,4589 0,6472 d_l_agropecuar~_4-0, , ,374 0,1721 d_l_agropecuar~_5-0, , ,492 0,0142 ** d_l_agropecuar~_6-0, , ,023 0,0456 ** d_l_agropecuar~_7-0, , ,902 0,0002 *** d_l_agropecuar~_8-0, , ,255 0,0015 *** d_l_agropecuar~_9-0, , ,294 0,1985 d_l_agropecua~_10-0, , ,510 0,0135 ** time 0, , ,174 0,2429 AIC: -130,655 BIC: -94,3098 HQC: -115,894 Sem evidência de tendência determinística. Mas com p- valor auto para o teste de raiz unitária. Subir para a versão sem tendência. 27

28 Teste ADF para L_deduções Teste Aumentado de Dickey-Fuller para l_deducoes incluindo 9 defasagens de (1-L)l_deducoes (o máximo foi 12, critério estatística-t) dimensão de amostragem 122 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste sem constante modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: 0,018 diferenças defasadas: F(9, 112) = 7,901 [0,0000] valor estimado de (a - 1): 0, estatística de teste: tau_nc(1) = 1,92907 p-valor assintótico 0,9876 Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 122) Variável dependente: d_l_deducoes coeficiente erro padrão razão-t p-valor l_deducoes_1 0, , ,929 0,9876 d_l_deducoes_1-0, , ,397 2,74e-011 *** d_l_deducoes_2-0, , ,304 3,61e-05 *** d_l_deducoes_3-0, , ,170 0,2444 d_l_deducoes_4-0, , ,560 0,1215 d_l_deducoes_5-0, , ,5886 0,5573 d_l_deducoes_6-0, , ,4841 0,6293 d_l_deducoes_7 0, , ,3798 0,7048 d_l_deducoes_8 0, , ,4064 0,6852 d_l_deducoes_9 0, , ,651 0,1015 AIC: -28,9695 BIC: -0, HQC: -17,5804 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,012 diferenças defasadas: F(2, 125) = 32,965 [0,0000] valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_c(1) = -0, p-valor assintótico 0,9522 Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 129) Variável dependente: d_l_deducoes coeficiente erro padrão razão-t p-valor const 0, , ,1430 0,8865 l_deducoes_1-0, , , ,9522 d_l_deducoes_1-0, , ,051 5,50e-013 *** d_l_deducoes_2-0, , ,892 3,00e-06 *** AIC: -42,6647 BIC: -31,2255 HQC: -38,0168 com constante e tendência modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: 0,017 diferenças defasadas: F(9, 110) = 4,740 [0,0000] valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_ct(1) = -2,29238 p-valor assintótico 0,4376 Evidência de misto TSP/DSP Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 122) Variável dependente: d_l_deducoes coeficiente erro padrão razão-t p-valor const 2, , ,296 0,0236 ** l_deducoes_1-0, , ,292 0,4376 d_l_deducoes_1-0, , ,356 4,71e-07 *** d_l_deducoes_2-0, , ,409 0,0009 *** d_l_deducoes_3-0, , ,7002 0,4853 d_l_deducoes_4-0, , ,139 0,2570 d_l_deducoes_5-0, , ,2939 0,7694 d_l_deducoes_6-0, , ,2535 0,8004 d_l_deducoes_7 0, , ,5731 0,5677 d_l_deducoes_8 0, , ,5707 0,5694 d_l_deducoes_9 0, , ,755 0,0820 * time 0, , ,496 0,0141 ** AIC: -31,6994 BIC: 1,94888 HQC: -18,

29 Teste ADF para L_Folha Teste Aumentado de Dickey-Fuller para l_folha incluindo 7 defasagens de (1-L)l_Folha (o máximo foi 12, critério estatística-t) dimensão de amostragem 124 hipótese nula de raiz unitária: a = 1 teste sem constante modelo: (1-L)y = (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,013 diferenças defasadas: F(7, 116) = 11,119 [0,0000] valor estimado de (a - 1): 0, estatística de teste: tau_nc(1) = 0, p-valor assintótico 0,8538 Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 124) Variável dependente: d_l_folha coeficiente erro padrão razão-t p-valor l_folha_1 0, , ,6366 0,8538 d_l_folha_1-0, , ,676 2,94e-014 *** d_l_folha_2-0, , ,543 1,89e-07 *** d_l_folha_3-0, , ,013 0,0001 *** d_l_folha_4-0, , ,922 0,0001 *** d_l_folha_5-0, , ,280 0,0014 *** d_l_folha_6-0, , ,859 0,0050 *** d_l_folha_7-0, , ,932 0,0558 * AIC: 168,31 BIC: 190,873 HQC: 177,476 teste com constante modelo: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,004 diferenças defasadas: F(2, 125) = 3,846 [0,0239] valor estimado de (a - 1): -0, estatística de teste: tau_c(1) = -4,22483 p-valor assintótico 0, Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2003: :12 (T = 129) Variável dependente: d_l_folha coeficiente erro padrão razão-t p-valor const 9, , ,230 4,48e-05 *** l_folha_1-0, , ,225 0,0006 *** d_l_folha_1-0, , ,773 0,0064 *** d_l_folha_2-0, , ,647 0,1021 AIC: 167,034 BIC: 178,473 HQC: 171,682 com constante e tendência modelo: (1-L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) e coeficiente de 1ª ordem para e: -0,002 diferenças defasadas: F(11, 106) = 0,668 [0,7658] valor estimado de (a - 1): -1,582 estatística de teste: tau_ct(1) = -4,44467 p-valor assintótico 0, Regressão aumentada de Dickey-Fuller MQO, usando as observações 2004: :12 (T = 120) Variável dependente: d_l_folha Sem evidência de raiz unitária e com tendência determinística significativa. Evidência de série TSP coeficiente erro padrão razão-t p-valor const 30,9189 6, ,443 2,19e-05 *** l_folha_1-1, , ,445 0,0018 *** d_l_folha_1 0, , ,815 0,0723 * d_l_folha_2 0, , ,979 0,0504 * d_l_folha_3 0, , ,080 0,0400 ** d_l_folha_4 0, , ,736 0,0855 * d_l_folha_5 0, , ,664 0,0990 * d_l_folha_6 0, , ,547 0,1248 d_l_folha_7 0, , ,665 0,0989 * d_l_folha_8 0, , ,913 0,0584 * d_l_folha_9 0, , ,775 0,0787 * d_l_folha_10 0, , ,768 0,0800 * d_l_folha_11 0, , ,766 0,0802 * time 0, , ,156 6,58e-05 *** AIC: 154,267 BIC: 193,291 HQC: 170,115 29

30 17. Sazonalidade As séries econômicas, principalmente as brasileiras, podem estar sujeitos à sazonalidade, gerada por fenômenos que tendem a ocorrer sempre na mesma época do ano, como safras agrícolas, férias e datas comemorativas. A sazonalidade é um componente de memória e pode ser modelada juntamente com uma estimativa ARMA/ARIMA. Alternativamente, o pesquisador pode estar interessado em retirar a sazonalidade da série e trabalhar com um processo livre deste componente. Métodos para retirar a Sazonalidade Suavização por média móvel Suavização exponencial X-12-ARIMA Métodos para modelar a Sazonalidade ARMA degenerado SARMA(p,q)(P,Q) ARMAX com dummies periódicas 17. Suavização por média móvel Define a quantidade de meses usada na média móvel Salvar a série suavizada 30

31 18. Suavização exponencial Determina o valor de α. Quanto maior este valor, maior o peso no presente. Y t*=αy t-1 + (1-α)Y* t X-12-ARIMA Para obter uma série dessazonalizada com o método X-12-ARIMA, é necessário instalar um pacote extra no Gretl. Para isso, siga os passos abaixo: 1. Na página principal do Gretl na internet, clique na opção Gretl for Windows na parte esquerda. 31

32 2. Baixe o pacote X-12-ARIMA clicando na opção x12a.install.exe 3. Irá abrir uma página do sourceforge.net. Espere alguns segundos e o download será iniciado. 4. Instale o programa baixado seguindo os passos do instalador. É necessário que o Gretl não esteja aberto neste momento. 5. Depois de instalado o programa, o pacote X-12-ARIMA estará disponível no Gretl sempre que o usuário abrir uma base de dados como série temporal mensal ou trimestral. 6. O pacote X-12-ARIMA pode ser acessado no menu Variável Análise X-12-ARIMA OBS: TEM QUE SELECIONAR A VARIÁVEL PRIMEIRO!! 32

33 7. Na figura abaixo, está a configuração básica para se criar uma série com ajuste sazonal. Neste exemplo, será criada a variável ipcm_d11, que é o IPCM dessazonalizado. 20. ARMA degenerado Define as ordens específicas de defasagens 33

34 Exemplo de um modelo ARIMA[(1,12), 1, 1] Modelo 5: ARIMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: (1-L) l_agropecuaria const -0, , ,0595 0,95254 phi_1-0, , ,1288 0,03327 ** phi_12 0, , ,0440 0,00005 *** Média var. dependente -0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações 0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 61,60090 Critério de Akaike -115,2018 Critério de Schwarz -103,7010 Critério Hannan-Quinn -110,5285 AR Raiz 1-1,0696 0,0000 1,0696 0,5000 Raiz 2 1,1052 0,0000 1,1052 0,0000 Raiz 3-0,0176-1,0900 1,0901-0,2526 Raiz 4-0,0176 1,0900 1,0901 0,2526 Raiz 5 0,9516-0,5585 1,1034-0,0845 Raiz 6 0,9516 0,5585 1,1034 0,0845 Raiz 7-0,5546-0,9276 1,0808-0,3358 Raiz 8-0,5546 0,9276 1,0808 0,3358 Raiz 9-0,9341-0,5276 1,0728-0,4182 Raiz 10-0,9341 0,5276 1,0728 0,4182 Raiz 11 0,5367-0,9581 1,0982-0,1687 Raiz 12 0,5367 0,9581 1,0982 0, SARMA(p,q)(P,Q) Define as ordens sazonais 34

35 Exemplo de um modelo SARIMA(1,1,1)(1,0) Modelo 1: ARIMA, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: (1-L) l_agropecuaria const 0, , ,1480 0,25097 phi_1 0, , ,9918 <0,00001 *** Phi_1 0, , ,5439 <0,00001 *** theta_1-1, , ,4405 <0,00001 *** Média var. dependente -0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações -0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 71,55078 Critério de Akaike -133,1016 Critério de Schwarz -118,7256 Critério Hannan-Quinn -127,2600 AR Raiz 1 1,6526 0,0000 1,6526 0,0000 AR (sazonal) Raiz 1 2,4397 0,0000 2,4397 0,0000 MA Raiz 1 1,0000 0,0000 1,0000 0, ARMAX com dummies periódicas Para acrescentar as binárias de períodos, clique no menu Acrescentar e na opção Dummies periódicas Com isso, são criadas binárias para cada período. No exemplo, foram criadas 12 dummies, uma para cada mês do ano. 35

36 Para estimar o modelo, basta acrescentar as binárias na lista de Regressores. Lembre-se de sempre acrescentar um número a menos que a quantidade total de binárias. No exemplo, são 12 meses. Logo, devem ser incluídas no máximo 11 binárias no modelo. Exemplo de um modelo ARMAX com dummies periódicas Modelo 1: ARMAX, usando as observações 2003: :12 (T = 131) Variável dependente: (1-L) l_agropecuaria const 0, , ,1884 0,85056 phi_1 0, , ,2080 0,02725 ** theta_1-0, , ,4261 <0,00001 *** dm2 0, , ,7528 0,45159 dm3 0, , ,3950 0,69287 dm4 0, , ,1640 0,00156 *** dm5 0, , ,7482 <0,00001 *** dm6 0, , ,6667 0,00025 *** dm7 0, , ,2734 <0,00001 *** dm8 0, , ,1296 <0,00001 *** dm9 0, , ,4779 <0,00001 *** dm10 0, , ,9557 0,00008 *** dm11 0, , ,5307 0,59561 dm12-0, , ,1533 0,00161 *** Média var. dependente -0, D.P. var. dependente 0, Média de inovações 0, D.P. das inovações 0, Log da verossimilhança 98,19136 Critério de Akaike -166,3827 Critério de Schwarz -123,2548 Critério Hannan-Quinn -148,8579 AR MA Raiz 1 2,8975 0,0000 2,8975 0,0000 Raiz 1 1,2603 0,0000 1,2603 0,