Gabarito do Banco de Questo N ıvel 2-1a Fase

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1 tica 3a Olimp ıada Vic osense de Matema es Gabarito do Banco de Questo N ıvel - a Fase OLIMPÍADA LIM IMPÍADA VIÇ VIÇOSENSE SE DE MAT MA MATEMÁTICA TE. Solu c ao: Sejam c e p o n umero de copos e pratos que Nath alia pode comprar. Observe que certamente c e p sao n umeros inteiros e al em disso, como ela quer comprar, no m ınimo, quatro pratos e seis copos, temos p e c. Como cada copo custa R$, 50 e cada prato custa R$ 7, 00, o custo de c copos e p pratos e, 5c + 7p. Mas Nath alia s o disp oe de R$ 50, 00, portanto,, 5c + 7p 50. Assim, devemos encontrar dois numeros inteiros c e p que satisfa cam p, c e, 5c + 7p 50. Se Nath alia comprar quatro pratos, sobram 50 7 = reais para os copos. Como = 8, 50 +, ela pode comprar mais oito copos (sobrando R$, 00). Se Nath alia comprar quatro pratos, sobram = 5 reais para os copos. Como 5 =, 50, ela pode comprar mais seis copos. Se Nath alia comprar quatro pratos, sobram 50 7 = 8 reais para os copos, o que lhe permite comprar apenas trˆes copos, que n ao e o que ela quer. Logo, Nath alia pode comprar quatro pratos e oito copos, ou cinco pratos e seis copos. 3. Solu c ao: Natanael pagou 3 e levou 5, portanto, pagou apenas do pre co usual, tendo econ5 3 0 omizado. Como =, a economia foi de 0% Solu c ao: Com 3 velas a casa de Lucas pode ser iluminada por 3 noites, sobrando 3 tocos de vela. Como 3 = 0 + 3, com esses 3 tocos pode-se guardar 3 tocos e fazer 0 novas velas para iluminar 0 noites. Dessas 0 velas obtemos 0 tocos que, com os 3 que haviam sobrado, d ao 3 tocos. Como 3 = 3 +, com esses 3 tocos pode-se guardar toco e fazer 3 novas velas para iluminar 3 noites. Dessas 3 velas obtemos 3 tocos que, com o que havia sobrado, d ao tocos, com os quais podemos fazer mais uma vela. Assim, no total, a casa de Lucas pode ser iluminada por = 57 noites.. Solu c ao: A fra c ao de mulheres na popula c ao e 0 5 e, delas, a fra c ao que e votante e Logo, a fra c ao de mulheres votantes e % = 00% = 0, 08 00% = 0, 8%

2 5. Solução: A soma dos números de uma diagonal é ( ) = 0, portanto, o valor da soma dos números de cada linha, de cada coluna e da outra diagonal também deve ser 0. Assim, obtemos de imediato os números que faltam nas casas amarelas no primeiro tabuleiro, a saber,, 8 e, porque ( ) + + ( ) = 0 na primeira linha, ( ) = 0 na primeira coluna e ( ) = 0 na diagonal Solução: Vejamos a despesa em janeiro. Como 0 horas são gratuitas e Mateus utilizou o telefone por 5 horas e 7 minutos, ela deve pagar a tarifa fia mensal de 8 reais mais o custo de apenas 5 horas e 7 minutos. Como o preço é dado em minutos, passamos o tempo a pagar para minutos. Sabemos que hora = 0 minutos, portanto, 5 horas = 5 0 = 300 minutos. Logo, 5h7min = 300 minutos + 7 minutos = 37 minutos. Assim, a conta telefônica de Mateus em janeiro foi de , 03 = 8 + 9, 5 = R$ 7, 5. Em fevereiro, Mateus usou seu telefone por menos do que 0 horas, portanto nesse mês ela só precisa pagar a tarifa fia mensal de 8 reais. Logo, a despesa de Mateus com telefone nesses dois meses foi de 7, = R$ 5, Solução: Como a distância entre a terceira e a seta paradas é m, a distância entre duas paradas consecutivas é =.00 m. Portanto, a distância entre a primeira e a última paradas é de.00 =.00 metros, ou seja,, quilômetros. 8. Solução: Seja n número de estudantes que conquistaram medalha de ouro. Teremos assim: n + n + 3 n = 0% 00 n = 30 n = 0. Logo o número de premiados com medalha de prata é o = 0 estudantes. 9. Solução: Logo, para escrever esses números em cada casa vazia podemos permutá-los de modo que sempre o produto entre eles seja 0. Como esses números são todos diferentes, isto pode ser feito de 5! = 5 3 = 0 maneiras. 0. Solução: Como o heágono é regular e cada um dos triângulos é equilátero é possível dividir toda a figura em triângulos equiláteros de lado, como feito no heágono e em um dos triângulos na figura a seguir:

3 Assim, pode-se calcular a razão entre as áreas pela razão entre a quantidade de triângulos no heágono e quantidade total, tendo assim: triang. no he. triang. no he. + triang. no triang. = + = + = 5.. Solução: (a) Observemos que Portanto, temos = 9 =. 9 = 5 = = 9. (b) Observemos que y = y = y y = y = = =.. Solução: (a) Como o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores das frações é 30 podemos escrever: 3 = 0 30 Ordenando, obtemos: 5 = 30, = 0 30, 3 5 = 8 30, 5 = 3 30 e 5 = 30. Assim, concluímos que: 30 < 8 30 < 0 30 < 30 < 3 30 < (b) 5 < 3 5 < < 5 < 5 < 3. ( ) ( ) ( ) ( ) = = 5. 3

4 3. Solução: A área de um quadrado de lado l é l e a área da região cinza é a diferença entre as áreas dos quadrados maior e menor. O lado do quadrado maior é a + b, portanto sua área é (a + b) = a + ab + b. Já o lado do quadrado menor é a, portanto sua área é a. Assim, a área da região escura é (a + b) a = a + ab + b a = ab + b.. Solução: (a) O maior produto é 30, pois ao eaminar os produtos dos números naturais cuja soma é obtemos: 0 + = e 0 = 0; = e 9 = 8; = e 8 3 = 7 + = e 7 = 8; + 5 = e 5 = 30. (b) = = ( 3 ) = ( ) = 0 = 0. (c) Da relação 3a = b = 7c obtemos: b = 3a e c = 3a 7. Logo, a + b + c = a + 3a + 3a 8a + a + a = = a Como a, b e c são inteiros positivos, então valor da soma a + b + c deve ser um inteiro e o menor valor de a + b + c ocorrerá quando a = 8, e consequentemente teremos b =, c = e a + b + c =. 5. Solução: Seja T a quantidade total de dinheiro no jogo. Assim, no início, os jogadores possuíam: 7 Elizafa 8 T, Guilherme 8 T e Henrique 5 8 T. E, no final, eles possuíam: Elizafa 5 T, Guilherme 5 5 T e Henrique 5 T. Para comparar essas frações, usamos o denominador comum de 8 e 5, a saber, 90. Desse modo, no início: Elizafa 7 8 T = T, Guilherme 8 T = T e Henrique 5 8 T = 5 90 T.

5 E, no final: Elizafa 5 T = 3 90 T, Guilherme 5 5 T = T e Henrique 5 T = 90 T. Logo, foi Elizafa quem ganhou um total de T, que corresponde a reais, de modo que 90 T =, ou seja, o total T de dinheiro no início o jogo foi T = 90 = R$.080. Assim, 90 no final da partida, os jogadores possuíam, em reais, Elizafa Guilherme Henrique 5 de.080 = 3, 5 de.080 = 30, 5 de.080 = Solução: Vamos listar os eventos ocorridos e contar o tempo gasto em cada um. A primeira atividade foi colocar o gato fora da casa, logo nossa lista começa com essa atividade e o tempo é contado a partir dela. Atividade Gato fora de casa Bolo no forno Fazer o café Despertador toca Gato entra em casa Acabar de tomar café Telefone toca Desligar telefone Podemos, agora, dar as respostas. (a) Tempo depois que o gato foi posto fora de casa 0 minutos 0 minutos 0+= minutos 35+0=5 minutos 5-5=0 minutos 0+3=3 minutos + (0 ) = 8 minutos 8+5 minutos Às 3h59min desliguei o telefone, o que ocorreu 33 minutos depois de colocar o gato fora de casa. Como =, coloquei o gato para fora às 3hmin. (b) O despertador toca 5 minutos após colocar o gato fora de casa. (c) O gato já estava fora de casa por 8 minutos quando o telefone tocou. 7. Solução: (a) = =, 3 = 3 5 = 5 0 = 0 5 e =, 3 = 3 5 = 5 = =,

6 (b) Pelo item (a) temos: = + 3 = = = (c) Pelo cálculo do item anterior deduzimos que: Logo, n (n + ) = n = {{.000 = 999 = 0, = Solução: Pela figura abaio e pelas informações AB = AC, AE = AD e BÂD = 30o, temos dois triângulos isósceles ABC com AB = AC e ADE com AE = AD. A 30 E B D C Logo, temos A BC = AĈB e A DE = AÊD. Da soma dos ângulos internos do triângulo ABD obtemos 30 o + A BC + A DB = 80 o e da soma dos ângulos em torno do vértice D obtemos A DB + A DE + = 80 o. Logo, A DE + = 30 o + A BC A DE = 30 o + A BC. () Por outro lado, da soma dos ângulos internos do triângulo CDE obtemos AĈD++CÊD = 80o e da soma dos ângulos em torno do vértice E obtemos CÊD+AÊD = 80 o, como A DE = AÊD segue que CÊD = 80o A DE. Portanto, AĈB o A DE = 80 o A DE = De () e () concluímos que AĈB + AĈB=A BD = A BC +. () A DE = 30 o + A BC = A BC + = 30 o = 5 o.

7 9. Solução: Se H indica o número de homens e M o de mulheres, então H/M = /3, de modo que M = (3H)/ e, portanto, a população de Campo Verde é dada por Se a idade média dos homens é 37 anos, então 37 = idade média dos H homens = H + M = H + 3 H = 5 H. soma das idades de todos homens, H de modo que 37H é a soma das idades de todos os homens. Da mesma forma, M é a soma das idades de todas as mulheres. Segue que a soma das idades de toda a população é dada por 37H + M = 37H + 3 H = 00H. Assim, a idade média da população de Campo Verde é 37H + M H + M = 00H 5H = 00 5 = 0 anos. 0. Solução: (a) { [ ( {{ ) ] { = [ ] {{ = { [ ] {{ { = ( ) {{ = { ( ) = {{ = 0. (b) Se m é um número natural tal que 3 m = 8 = 3, então m =. Logo, m 3 = 3 = =. (c) Somando 3 a todos os membros da epressão dada obtemos a + 3 = b = c = d a + = b + 5 = c = d + 7. Portanto, c é o maior valor.. Solução: Das horas às h50min. há 50 0 = segundos. Sabemos que no instante zero, às horas, todas as luzes estão acesas. No caso das luzes azuis sabemos que: 0 segundos depois estarão apagadas, 80 = 0 segundos depois estarão acesas, 0 = 3 0 segundos depois estarão apagadas, 50 = 0 segundos depois estarão apagadas. 7

8 Logo, nos instantes múltiplos ímpares de 0 serão apagadas e nos instantes múltiplos pares de 0 serão acesas. Como {{ 0 < < {{ 0, será apagada será acesa concluímos que às h50 as luzes azuis estarão apagadas. De maneira similar, como 83 {{ 3 < < 8 {{ 3, será apagada será acesa concluímos que às h50 as luzes verdes estarão apagadas. Já no caso da amarelas temos: e portanto estarão acesas às h50. 5 {{ será acesa < < 7 5 {{ será apagada. Solução: Temos que descobrir qual e a regra dessa operação. Note que = 0 = +, 3 8 = 7 = 3 8+3, 7 = = 7+ e 5 = 0 = (a) Uma hipótese plausível é que a regra que define a operação seja a b = a b + a. (b) De acordo com o item (a) temos Segundo essa regra, temos (8 7) = ( ) = = + = Solução: Observe que a aranha utiliza oito fios de apoio, numerados a partir do fio A, iniciando em 0. Logo, sobre o fio A aparecem os múltiplos de 8; sobre o fio B aparecem os (múltiplos de 8) + ; sobre o fio C aparecem os (múltiplos de 8) + sobre o fio D aparecem os (múltiplos de 8) + 3; sobre o fio E aparecem os (múltiplos de 8) + ; sobre o fio F aparecem os (múltiplos de 8) + 5; sobre o fio G aparecem os (múltiplos de 8) + ; sobre o fio H aparecem os (múltiplos de 8) + 7. Na divisão de 8 por 8 encontramos resto, o que significa que 8 é dado por (múltiplos de 8) +. Assim, 8 está sobre o fio G. 8

9 . Solução: (a) Como a b = (a + b)(a b), temos = ( )(.78.77) = = (b) Como (a + b) = a + ab + b, temos = (.000+) = = = (c) Como (a b) = a ab + b, temos = (0.000 ) = ( 0 ) 0 + == = (d) Colocando em função de.000, temos = ( ) + ( ) + ( ) = = Solução: O valor da área plantada com árvores é = 0 00 dividindo esse valor por 0 obtemos o dobro da largura procurada e portanto a largura das faias do terreno do pai de Thiago é 8 m.. Solução: Seja a velocidade com que Solaine nada, em metros por minuto. Então o tempo que Solaine gasta nadando 800 m é dado por 800/ minutos. Sabemos que sua velocidade na corrida é 3 e, na bicicleta,, 5 3 = 7, 5 metros por minuto. Assim, o tempo total que Solaine gasta nas três etapas é 800 {{ nadando , 5 {{ pedalando = 3 {{ correndo 800 7, , 5 7, 5 =.800 minutos. Logo, para que Solaine vença as três etapas em, no máimo, uma hora e vinte minutos, ou seja, em 80 min, devemos ter, no mínimo, 80 = , ou seja, = 80 = 0 metros por minuto. Segue que 3 = 80 metros por minuto e 7, 5 = 50 metros por minuto. Assim, para que Solaine termine a prova em, no máimo, hora e 0 minutos, ela deve desenvolver as seguintes velocidades mínimas: Nadar a uma velocidade mínima de 0 m/min. 9

10 Pedalar a uma velocidade mínima de 50 m/min. Correr a uma velocidade mínima de 80 m/min. 7. Solução: Se hoje está chovendo, X deve obrigatoriamente ser um OVNI-nerd. Além disso, W não pode ser um ET-nerd, pois caso contrário estaria falando a verdade em um dia de chuva. Temos então a seguinte distribuição: (X, Y, Z, W ) = (OV NI, UF O ou ET, UF O ou ET, OV NI ou UF O). Se hoje não está chovendo, X mentiu e não pode ser um ET-nerd. As próimas três falas são verdadeiras, logo temos a seguinte distribuição. (X, Y, Z, W ) = (UF O, ET ou OV NI, ET ou OV NI, ET ou OV NI). Portanto, é possível que haja um UFO-nerd e três ET-nerds. Logo, Bruberson falou com no máimo 3 ET-nerds. 8. Solução: Usaremos a seguinte fatoração: 3 + y 3 = ( + y)( y + y ) 3 +y 3 =5(+y) 5( + y) = ( + y)( y + y ) Portanto, y =. 9. Solução: +y 0 5 = y + y +y = y = 5 y =. Observação: Para facilitar a escrita da solução, vamos dizer que é pai de y se y é filho de. (a) Suponhamos 5 7 seja filho de um número positivo. Então 5 7 = + ou 5 7 = A primeira equação leva a = 5 7 = 7 o que não pode acontecer pois > 0. A segunda equação leva a 7 = 5( + ) = donde = 5 e segue que = 5. Logo o irmão de 5 7 é 5 + = (b) Suponhamos que y seja filho de e de z. Temos então as seguintes quatro possibilidades + = z +, + = z z +, + = z z + ou + = z +. No primeiro e no segundo caso obtemos que = z. No terceiro obtemos (z + ) =, que não tem solução pois e z devem ser positivos. De maneira similar, o quarto caso, nos fornece que z( + ) = que também não tem solução. Logo, se y tem pai, ele é único. 0

11 (c) Vamos chamar + de filho menor de. Quando = n + = n + = n +. n o filho menor de é Logo o filho menor de é, o filho menor de é 3, o filho menor de 3 é diante até obtermos.008 como o filho menor de.007. e assim por 30. Solução: (a) Observemos que ( 37) 9 = 0 ( 37) = 9 = (±3). Assim, ou 37 = 3 ou 37 = 3 e portanto, ou = 37+3 = 50 ou = 37 3 =. Logo, o maior valor para é 50. (b) Temos dois casos analisar: o Caso: > 0 >, neste caso temos < < ( ) < 8 9 < > 9. Como > e > 9, então devemos ter > 9. o Caso: < 0 <, neste caso temos < > ( ) > 8 9 > < 9. Como < e < 9, então devemos ter <. Juntando os dois casos, concluímos que satisfaz a desigualdade se, e somente se, > 9 ou <. (c) = = 9 ( 3) = 9 7.