Equações adicionais para a resolução numérica de problemas de fluxo de fluidos

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1 Equações adicionais para a resolução numérica de problemas de fluxo de fluidos Equação de Bernoulli: eb = p p ( v av vav ) + g( z z) + + F + Ws = 0 α ρ energia de atrito ou perda (de carga ou de pressão) por atrito F f p f L v = = 4 f (f- factor de atrito de Fanning) ρ D fluxo laminar em tubagens cilíndricas: 6µ 6 f Fanning : f = = Dvρ N Re atenção: f Darcy = 4*f Fanning = 64 N Re fluxo turbulento em tubagens cilíndricas: - tubos lisos f = 0.079Re 0.5 eq. de Blasius f = 4.0 log(re f ) 0.4 eq. de Nikuradse (93) DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 3

2 - tubos rugosos ε D f = 3.6 log + Re 3.7 ε D f = ε D 6 log log Re 3.7 Re ε 4.67 = 4.0 log( + ) +.8 f D Re f eq. de Haaland (983) eq. de Shacham (980) eq. de Colebrook e White (937-38) DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 3

3 3.3. Bombas e equipamento para movimentação de gases (3.3). Força impulsora para o movimento de fluidos: gravidade ou dispositivo mecânico (bomba, ventilador, compressor) As bombas (líquidos), ventiladores (gases, p baixo fans ou moderado blowers ) e compressores ( p elevado) podem ser de deslocamento positivo e centrífugos. Descrição de bombas, ventiladores e compressores. Características principais e condições de utilização. Bombas de deslocamento positivo DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 33

4 Bombas de pistão (ou de êmbolo) Bomba rotativa de engrenagens DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 34

5 Bomba de engrenagens internas Bomba de engrenagens helicoidais DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 35

6 Bomba de lobos Bombas centrífugas. Bombas de um e vários andares. Curvas características, de eficiência e de NPSH. aspiração rótor descarga voluta motor rótor voluta DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 36

7 Curvas características; efeito da velocidade de rotação Curvas características. Efeito do diâmetro do rótor. Curvas de eficiência DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 37

8 Formatos de rótor DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 38

9 DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 39

11 Bomba de um andar Bomba de três andares (3 rotores) DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 4

14 Trabalho mecânico a fornecer à bomba: W m (J/kg) = - W s /η m ; η m factor de eficiência mecânica Potência mecânica necessária: Pot m (kw) = W m (J/kg) * m& (kg/s) / 000 (W/kW) Potência eléctrica necessária: Pot el = Pot m / η el O trabalho fornecido pela bomba pode ser expresso em altura ( head ) de líquido bombeado (pode-se falar em altura de aspiração e altura de descarga): -W s = H b.g = (H d H s ) g As alturas de sucção e de descarga podem calcular-se a partir da eq. de Bernoulli: 4 3 sucção descarga p H s = ( v ) + ( z ) + = gα ρg gα ( v ) + ( z) + p ρg F g s H veloc. H pot. H pressão altura total em De modo altura análogo total para em (sucção) a altura de descarga (altura total em 3) DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 44

15 p3 H d = ( v3 ) + ( z3) + = gα ρg H veloc. H pot. H pressão altura total em 3 (descarga) ( v4 ) + ( z4 ) + gα p4 + ρg Para evitar cavitação (vaporização do fluido na bomba) a altura de sucção tem de ser superior à altura correspondente à pressão de vapor do fluido, P v /ρg. De facto a diferença entre as duas alturas tem de ser superior a um dado valor característico de cada bomba e que deve ser especificado pelo construtor: NPSH ( net positive suction head ). Este é um requisito muito importante a observar no desenho das tubagens e na selecção das bombas (nomeadamente centrífugas). Isso consegue-se normalmente baixando a bomba para uma cota tal que: H s H vap > NPSH ( v gα p F ) + ( z + ρg g ) s Pv > ρg NPSH Relações aproximadas de capacidade e potência para bombas centrífugas (N rpm rótor): q Capacidade em m 3 N /s : = q N Altura em m: Potência consumida em kw: altura total em 4 H H Pot Pot = q q = N N H.q = H.q = F g d N N 3 3 DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 45

16 Ventiladores e Compressores DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 46

19 Energia para a compressão de gases Aplica-se a equação de Bernoulli na forma diferencial; supondo que os termos de energia cinética, potencial e de atrito podem ser desprezados: p dp dp d( WS ) = e WS = ρ ρ fluxo isotérmico: p/ρ = RT/M = constante = p /ρ p p p.303rt p -W s = ln( ) = log( ) ρ p M p Fluxo adiabático: p/ρ γ = constante = p /ρ γ ; γ = c p /c v γ ar.40 metano.3 SO.9 etano.0 azoto.40 γ RT p ( γ ) / γ -W s = ( ) γ M p O trabalho necessário em fluxo isotérmico é menor que em fluxo adiabático, razão pela qual normalmente se arrefece o compressor. No fluxo adiabático, a temperatura de saída pode ser estimada por: γ T T p = p ( γ ) γ DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 49

20 3.4. Agitação e mistura de fluidos; cálculo da potência necessária (3.4). Conceito e objectivo da operação Distinção entre agitação e mistura; exemplos industriais (agitação na transferência de calor, blending de líquidos, dissolução, dispersão, suspensão) Equipamento de agitação Tipos de agitadores (hélice, pás, âncora, turbina, fita helicoidal) viscosidade rpm hélice < 3 Pa.s (3000 cp) turbinas < 00 Pa.s 0-00 pás, âncoras Pa.s 0-00 fita helicoidal ou parafuso > 500 Pa.s 5-50 DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 50

21 Linhas de fluxo na agitação Para evitar rotação em bloco do fluido e formação de vortex a velocidade de rotação elevada, usam-se anteparos ( baffles ); para viscosidades superiores a 5 Pa.s (5000 cp) não são necessários. Projecto básico de agitadores Proporções habituais dos agitadores de turbina D a /D t = ; H/D t = C/D t = /3 W/D a = /5; D d /D a = /3; L/D a = /4 J/D t = / Gap=0.0 a 0.5.J DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 5

22 Potência necessária na agitação (nº. Potência vs. nº. Reynolds) N Re = D a Nρ µ P N Po = 3 5 ρn r. laminar: N Re < 0 r. turbulento: N Re >0 4 D a DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 5

23 Scale-up (extrapolação) de agitadores semelhança geométrica r. escala, R = (V /V ) /3 = D t /D t ; restantes dimensões como acima semelhança cinemática e dinâmica não são possíveis em conjunto N = N R -n ; n= movimentação idêntica = (D t /D t ) n n= 3/4 para idêntica suspensão de sólidos n= /3 para igual transferência de massa calculado N e (N Re ) estima-se a potência pelo diagrama. Tempo para realizar a mistura ( blending de líquidos miscíveis) DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 53

24 Misturadores especiais para sólidos e pastas DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 54

25 3.5. Fluidos não-newtonianos (3.5). τ zx = - µ. (dv x /dz) ; µ = constante : fluido Newtoniano Se µ = µ (τ, t), o fluido é não-newtoniano Fluidos independentes do tempo τ zx = - Κ. (dv x /dz) n (lei da potência) Fluidos de Bingham Pseudoplásticos Dilatantes (n<) (n>) Fluidos dependentes do tempo Tixotrópicos Reopéticos τ τ (µ a ) dv/dz dv/dz µ ap DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 55

26 Fluidos viscoelásticos (comportamento correspondente a uma elasticidade crescente do fluido) No caso do fluxo em tubagens cilíndricas em regime laminar, a lei da potência pode ser escrita como: D P 8v τ w = = K' (3.5-4) 4L D n' os valores de K e n, determinados em viscosímetros de capilar permanecem constantes para alguns fluidos numa gama alargada de valores de (8v/d). Nesses casos podem ser relacionados com K e n (determinados normalmente com viscosímetros rotativos): n = n K' = 3n + K 4n n por vezes define-se um coeficiente generalizado de viscosidade: γ =K. 8 (n -) A tabela 3.5- de Geankoplis, 993 apresenta valores destes parâmetros para alguns fluidos. DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 56

27 A equação pode ser resolvida em ordem a p e a v para resolver problemas de fluxo em tubagens cilíndricas em regime laminar Define-se neste caso um N Re generalizado por: N Re,gen = D n' ( n') v γ ρ = D n' K v ( n') ρ = ( n' ) '. 8 ( n ) K.8 D n v ( n) ρ 3n + 4n A definição anterior pode ser usada com a relação f=6/n Re,gen para cálculo do factor de atrito, mas só em regime laminar. Para o cálculo da energia cinética de fluidos não-newtonianos que seguem a lei da potência, o valor de α é dado por : n α = (n + )(5n + 3) 3(3n + ) no caso de fluxo turbulento, α = Perdas por atrito em acessórios e acidentes da tubagem: As perdas em acessórios e contracções de tubagem no caso de fluidos pseudoplásticos e de Bingham podem ser estimadas como fracção da energia cinética do fluido, usando as equações válidas para fluidos Newtonianos, mas calculando o valor de α como indicado acima; no caso de expansão de tubagem há uma expressão mais complexa (eq ). DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 57

28 Para fluxo turbulento em tubos lisos de fluidos que seguem a lei da potência, o factor de atrito pode ser estimado a partir do N Re,gen. : Requisitos de potência de agitação e mistura No caso de fluidos pseudoplásticos, o N Re para agitação é redefinido como N Re,n : n ρ Da N N Re,n = n K para efeito de estimativa pode usar-se a fig DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 58

29 3.6 Fluxo em sistemas de tubagens paralelas, ramificadas e em rede Tubagens paralelas: p = p = p 3 Problema: Sabido Qtot, calcular Q, Q e Q 3. arbitrar Q. calcular p 3. Calcular Q e Q 3 de modo a que p = p 3 = p 4. Calcular Q tot = Q +Q +Q 3 5. Corrigir o caudal Q = Tubagens ramificadas: Q Q e repetir a partir de. até convergir Q tot tot p p p 3 Q Q3 Q Nodo: Q+Q=Q3 Problema: fixada a configuração e a tubagem, calcular os caudais. arbitrar a altura total (ou energia total ) no nodo, h nodo. calcular os caudais; se Q+Q>Q3, aumentar a h nodo ou vice-versa 3. repetir até Q+Q=Q3 DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 59

30 Redes de tubagens: Nos nodos: Q ij = 0 P ij Nas malhas: = 0 ρ P ij ρ = P i P j ρ 0 v j vi = ρ + ( z j zi ) gρ + F + W α Q ij e P ij são positivos se têm orientação que coincide com o sentido de circulação e negativos se têm sentido oposto. Problema: fixada a configuração e a tubagem, calcular os caudais na rede 3 s escrever as equações nos nodos, nas malhas e equações adicionais aplicáveis;. resolver numericamente o sistema algébrico não linear. DEQ/FEUP Operações de Transferência, 00/03 60