Modelagem de Processos Espaciais e

Transcrição

1 Modelagem de Processos Espaciais e Espaço-Temporais Alexandra M. Schmidt Instituto de Matemática - UFRJ alex Outlines Parte I Parte I Processos Estocásticos e Aplicações IMPA - Abril de 2007

2 Outline Partes I e II 1 Modelos Univariados Heterogêneos Deformação Espacial Versão Bayesiana Especificação das Prioris Procedimento de Exemplos Outlines Parte I Parte I 2 Modelos Multivariados Heterogêneos Modelos Separáveis Modelos de Coregionalização MCL variando no espaço Procedimento de Exemplos

3 Outline Parte III 3 Modelagem de Múltiplas Séries de Vazão como função da chuva Problema Modelo proposto Procedimento de Resultados Considerações Finais Outlines Parte I Parte I

4 Parte I Covariância para processos espaciais univariados Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

5 Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos Figura: Modelagem da quantidade de chuva no Rio de Janeiro em janeiro de 2000.

6 Notação Básica Espaço Euclideano S, i.e. S = R d onde d = 1, 2, ou 3. Ênfase no caso d = 2; Ponto arbitrário em S, s S; Região de interesse, A S. Localizações espaciais com dados s 1,, s n, s i D A S observado; não necessariamente distintos, pode haver replicações nas localizações. Observações (resposta, dados) Y(s 1 ),, Y(s n ). Em geral são multivariados. Mas, na literatura, maior ênfase no caso univariado. Covariáveis X(s 1 ),, X(s n ). Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

7 Principais Objetivos em Geoestatística Estimação - inferência sobre parâmetros de um modelo estocástico; Previsão (interpolação) - inferência sobre a realização do processo em localizações não-medidas de interesse; Planejamento de uma rede - onde colocar uma nova estação? qual retirar? (Ruiz, Ferreira & Schmidt (Tech. Rep. 2006)) Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

8 Dois tipos importantes de estrutura espacial são estacionariedade e isotropia. Intuitivamente (a) Estacionariedade - propriedade em que o processo é similar ao longo de A. Isto significa que a estrutura de grande escala é constante; estrutura de pequena escala depende das localizações apenas através das suas posições relativas; (b) Isotropia - o processo é estacionário E a estrutura de pequena-escala depende das localizações espaciais apenas através da distância euclideana entre elas invariante sob rotação e translação das localizações. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

9 Estacionariedade Intrínseca É definida através das primeiras diferenças: E(Y (s + h) Y (s)) = 0, Var(Y (s + h) Y (s)) = 2γ(h) A quantidade 2γ(h) é conhecida como variograma. γ(.) é conhecido como semi-variograma. Em geoestatística, 2γ(.) é tratada como um parâmetro do processo aleatório {Y (s) : s D} (porque descreve a estrutura de covariância). Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

10 Estacionariedade de Segunda Ordem Um processo que satisfaça: E(Y (s)) = µ s D Cov(Y (s), Y (s )) = C(s s ) s, s D é definido como estacionário de segunda ordem. E mais, se C(s s ) é um função apenas de s s (não é uma função das localizações) então C(.) é dita isotrópica. C(.) é conhecida como covariograma. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

11 Deformação Espacial Paul Sampson e Peter Guttorp, da Universidade de Washington, foram pioneiros ao propor uma aproximação para o problema de heterogeneidade espacial. A idéia principal: transformação não-linear do espaço amostral (espaço G de geográfico) para um espaço latente D (D de dispersão), no qual a estrutura espacial é estacionária e isotrópica. obtenção dos pontos observados via MDS; Em outras palavras, eles estimam as localizações medidas no espaço D de modo que as correlações observadas se ajustem à distância euclideana entre os pontos em D. Interpolação das localizações não medidas via thin-plate spline. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

12 Abordagem Bayesiana (Schmidt & O Hagan (JRSS, Series B, 2003)) Assumimos que Y it = Y (s i, t), i = 1,..., n e t = 1,..., T. Seja Y t = (Y 1t, Y 2t,..., Y nt ) para t = 1,..., T. Y 1,..., Y T são i.i.d. N n (µ, Σ) O interesse principal está na estimação da matriz de covariâncias verdadeira, Σ. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

13 Abordagem Bayesiana (Schmidt & O Hagan (JRSS, Series B, 2003)) Assumimos que Y it = Y (s i, t), i = 1,..., n e t = 1,..., T. Seja Y t = (Y 1t, Y 2t,..., Y nt ) para t = 1,..., T. Y 1,..., Y T são i.i.d. N n (µ, Σ) O interesse principal está na estimação da matriz de covariâncias verdadeira, Σ. A verossimilhança para Σ tem a forma da Wishart f(s Σ) Σ T 1 2 exp { T2 tr SΣ 1 }. (1) Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

14 Abordagem Bayesiana (Schmidt & O Hagan (JRSS, Series B, 2003)) Assumimos que Y it = Y (s i, t), i = 1,..., n e t = 1,..., T. Seja Y t = (Y 1t, Y 2t,..., Y nt ) para t = 1,..., T. Y 1,..., Y T são i.i.d. N n (µ, Σ) O interesse principal está na estimação da matriz de covariâncias verdadeira, Σ. A verossimilhança para Σ tem a forma da Wishart f(s Σ) Σ T 1 2 exp { T2 tr SΣ 1 }. (1) Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos A proposta é modelar cada elemento de Σ como Cov (Y (s i, t), Y (s j, t)) = v(s i )v(s j )c d (s i, s j ), (2) onde para todo t

15 Abordagem Bayesiana (Schmidt & O Hagan (JRSS, Series B, 2003)) Assumimos que Y it = Y (s i, t), i = 1,..., n e t = 1,..., T. Seja Y t = (Y 1t, Y 2t,..., Y nt ) para t = 1,..., T. Y 1,..., Y T são i.i.d. N n (µ, Σ) O interesse principal está na estimação da matriz de covariâncias verdadeira, Σ. A verossimilhança para Σ tem a forma da Wishart f(s Σ) Σ T 1 2 exp { T2 tr SΣ 1 }. (1) Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos A proposta é modelar cada elemento de Σ como Cov (Y (s i, t), Y (s j, t)) = v(s i )v(s j )c d (s i, s j ), (2) onde para todo t v(s) = Var (Y (s, t)) e c d (s, s ) = Corr (Y (s, t), Y (s, t))

16 Especificações das prioris A priori, v(s) τ 2, f GI(τ 2 (f 2), f), s G, (3) π(τ 2 ) τ 2, Mapeando a Correlação Espacial Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos O mapeamento das estações medidas ocorre através da função de correlação definida como c d (s i, s j ) = g( d(s i ) d(s j ) ), (4) onde g(.) é uma função monótona.

17 Especificação da Função de Correlação g(.) Similarmente a S&G, g(h) = K a k exp( b k h 2 ). (5) k=1 K deve ser, de acordo com os dados, o menor possível. Os parâmetros de alcance b k e os coeficientes a k são desconhecidos e satisfazem a K k=1 a k = 1; Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos b 1 > b 2 >... > b K, a k > 0 e b k > 0, k = 1,..., K. Um efeito pepita pode ser introduzido permitindo que b 1 em (5).

18 O Processo Latente d(.) Atribuímos como priori para função d(.) um processo gaussiano: d(.) m(.), σ 2 d, R d(.,.) P G(m(.), σ 2 d R d(.,.)), (6) m(.) é a função média a priori; σ 2 d é uma matriz 2 2; R d (.,.) mede a correlação a priori entre as estações, tq R d (s, s) = 1. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

19 O Processo Latente d(.) Atribuímos como priori para função d(.) um processo gaussiano: d(.) m(.), σ 2 d, R d(.,.) P G(m(.), σ 2 d R d(.,.)), (6) m(.) é a função média a priori; σ 2 d é uma matriz 2 2; R d (.,.) mede a correlação a priori entre as estações, tq R d (s, s) = 1. Em particular, D = (d 1,..., d n ), onde d i = d(s i ), é uma matriz 2 n contendo as coordenadas das estações monitoradoras no espaço D; m = (m(s 1 ),..., m(s n )) R d uma matriz n n com elementos R d (s i, s j ), Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos (D m, σ 2 d, R d) N (2 n) (m, σ 2 d, R d) OU vec(d) vec(m), σ 2 d, R d) N (2n) (vec(m), σ 2 d R d)

20 Especificação de R d e σ 2 d R d : Os elementos de R d (.,.) são modelados de acordo com uma função de correlação gaussiana R d (s, s ) = exp ( b d s s 2), onde b d controla, a priori, a forma da configuração das estações medidas em D. Sugestão : Fixar b d igual a 1 2a, onde a é o quadrado de uma distância típica entre localizações medidas em G. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

21 Especificação de R d e σ 2 d R d : Os elementos de R d (.,.) são modelados de acordo com uma função de correlação gaussiana R d (s, s ) = exp ( b d s s 2), onde b d controla, a priori, a forma da configuração das estações medidas em D. Sugestão : Fixar b d igual a 1 2a, onde a é o quadrado de uma distância típica entre localizações medidas em G. σ 2 d : Parâmetro é não identificável no sentido de Dawid Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos (1979). S traz informação sobre as distâncias no espaço D, trazendo informação, no máximo, sobre os autovalores de σ 2 d ; σ 2 d é modelada como uma matriz diagonal, e σ 2 d ii IG(β i, α i ), i = 1, 2.

22 π(a 1,..., a K, b 1,..., b K K) Procedimento de inferência KY k=1 π k (b k ) com KX k=1 a k = 1 e b 1 >... > b K, (7) De acordo com o teorema de Bayes, a posteriori de θ é proporcional a ( ny π(θ S) Σ T 1 2 exp T 2 tr SΣ 1 i=1 (nf 2) τ 2 8 < : KY ( 1 (log(bk ) µ b ) 2 exp b k=1 k 2σ b 2 σ 2 d n/2 R d 1 exp 8 < (σ 2 d ) (β 1 +2)/2 exp 11 : α 1 v (f+2)/2 2 (f 2)τ i exp 2v i!) )9 = ; (8) 1 2 tr (D m) σ 2 d (D m)r 1 d 9 8 = < 2σ d 2 ; (σ2 d ) (β 2 +2)/2 exp : α 2 2σ 2 d 22 9 = ;. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

23 π(a 1,..., a K, b 1,..., b K K) Procedimento de inferência KY k=1 π k (b k ) com KX k=1 a k = 1 e b 1 >... > b K, (7) De acordo com o teorema de Bayes, a posteriori de θ é proporcional a ( ny π(θ S) Σ T 1 2 exp T 2 tr SΣ 1 i=1 (nf 2) τ 2 8 < : KY ( 1 (log(bk ) µ b ) 2 exp b k=1 k 2σ b 2 σ 2 d n/2 R d 1 exp 8 < (σ 2 d ) (β 1 +2)/2 exp 11 : α 1 v (f+2)/2 2 (f 2)τ i exp 2v i!) )9 = ; (8) 1 2 tr (D m) σ 2 d (D m)r 1 d 9 8 = < 2σ d 2 ; (σ2 d ) (β 2 +2)/2 exp : α 2 2σ 2 d 22 9 = ;. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos Posteriori não tem forma anaĺıtica fechada uso de MCMC para obtenção de amostras de π(θ S). Cuidado ao sortear d e b.

24 Exemplo - Dados Simulados Fixamos as coordenadas de n = 6 estações no espaço G; Fixamos τ 2 = 2, f = 12, b 2 = 0.25, a 1 = 0.1, a 2 = 0.9, σ 2 d 11 = 0.25, σ 2 d 22 = 0.375, and b d = 0.5; Depois de gerar as localizações no espaço latente D, a verdadeira matriz de covariâncias foi gerada. Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos

25 Second Coordinate Exemplo - Dados Simulados Fixamos as coordenadas de n = 6 estações no espaço G; Fixamos τ 2 = 2, f = 12, b 2 = 0.25, a 1 = 0.1, a 2 = 0.9, σ 2 d 11 = 0.25, σ 2 d 22 = 0.375, and b d = 0.5; Depois de gerar as localizações no espaço latente D, a verdadeira matriz de covariâncias foi gerada. D1 s1 G1 D2 G2 s2 G3 D3 s3 (a) G4 s4 D First Coordinate G5 D5 s5 D6 s6 G6 Second Coordinate s1 D1 G1 D2 G2 s2 G3 s3d3 (b) D4 s4 G First Coordinate s6 D6 G6 G5 D5s5 Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos Figura: Superimposição de Procrustes da configuração média em D (s i ) sobre as localizações originais no espaço G (G i ). (a) b d = 0.25 e E(σ d11 ) = 0.5, E(σ d11 ) = (b) b d = 1.0 e E(σ d11 ) = 1.0, E(σ d11 ) = 1.5.

26 Second Coordinate Exemplo - Dados Simulados (a) s6 G6 s4 G2 s2 G4 s1 G3 G5 s5 G1 s First Coordinate Second Coordinate (b) s6 G6 s4 G2 s2 G4 s1 G3 G5 s5 G1 s First Coordinate Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos Figura: Mapeamento de uma grade regular de 200 pontos do espaço G para o espaço D. (a) b d = 0.25 e E(σ 2 d 11 ) = 0.5, E(σ 2 d 11 ) = (b) b d = 1.0 e E(σ 2 d 11 ) = 1.0, E(σ 2 d 11 ) = 1.5.

27 Exemplo - Dados de Radiação Solar n = 12 estações monitoradoras; Dados referentes à primavera-verão, de 22 de março a 20 de setembro, de 1980 a 1983 T = 732. Observed Correlations s1 s1 s1 s1 s1 s1 s1 (a) s1 s Distances in G space s1 s1 s1 Observed Correlations s1 s1 s1 s1 s1 s1s1s1 s1 (b) s1 s1 s Distances in D space Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos Figura: (a) Distâncias geográficas versus as correlações observadas dos dados de radiação solar. (b) Média a posteriori estimada (linha sólida) e o intervalo de 95% de credibilidade a posteriori (linha tracejada) da função de correlação para os dados de radiação solar.

28 Exemplo - Dados de Radiação Solar Second Coordinate G1 G2s2 s3 G3 G12 G11 G4 s11 s12 s4 G5 s5 s1 (a) G6 s6 s10 G10 s7 s8 s9 G7 G8 G First Coordinate Second Coordinate s12 s2 s3 s4 s11 s5 s1 (b) s6 s10 s7 s8 s First Coordinate Heterogêneos Univ. Deformação Versão Bayesiana Prioris Exemplos Figura: (a) Superimposição de Procrustes da média a posteriori das localizações no espaço D (s i ) sobre a as localizações da configuração original no espaço G space (G i ). (b) Mapeamento de uma grade regular de 200 pontos do espaço G para o espaço D.

29 Parte II Covariância para processos espaciais multivariados Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

30 Seja { Y(s) : s D IR 2 ; Y R p} um campo aleatório multivariado (ex. Y(s) pode ser (O 3, CO 2, P M 10 )(s)), p = 3). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

31 Seja { Y(s) : s D IR 2 ; Y R p} um campo aleatório multivariado (ex. Y(s) pode ser (O 3, CO 2, P M 10 )(s)), p = 3). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo É preciso descrever a covariância dentro e entre as estações.

32 Seja { Y(s) : s D IR 2 ; Y R p} um campo aleatório multivariado (ex. Y(s) pode ser (O 3, CO 2, P M 10 )(s)), p = 3). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo É preciso descrever a covariância dentro e entre as estações. Objetivo: propor uma estrutura de covariância válida e flexível.

33 Modelos Separáveis Seja ρ uma função de correlação espacial válida; Seja T uma matriz p p, positiva definida. Então a covariância do processo entre duas localizações quaisquer s e s, pode ser descrita por C(s, s ) = ρ(s, s )T. (9) Considerando o empilhamento do vetor observado em n localizações, Y, a matriz de covariâncias resultante é dada por Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo Σ = R T, (10) Num modelo mais geral, poderíamos incluir uma componente latente, para descrever a estrutura de covariância acima, por exemplo, v(s), de modo que Y(s) = X(s)β + v(s) + ɛ(s), (11)

34 Considerando o modelo em (11), e empilhando as observações num vetor Y de dimensão np, a verossimilhança terá a seguinte forma f(y Σ Y, β) Σ Y 1/2 exp { 1 2 (Y Xβ) Σ 1 Y (Y Xβ) }, onde Σ Y = (R T ) + (I n D) e I n é a matriz identidade de dimensão n. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

35 Vantagens e Desvantagens do modelo separável Σ = R p T n e Σ 1 = R 1 T 1 ; Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

36 Vantagens e Desvantagens do modelo separável Σ = R p T n e Σ 1 = R 1 T 1 ; cov(y l (s), Y l (s )) = cov(y l (s), Y l (s )), l, l, s e s ; Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

37 Vantagens e Desvantagens do modelo separável Σ = R p T n e Σ 1 = R 1 T 1 ; cov(y l (s), Y l (s )) = cov(y l (s), Y l (s )), l, l, s e s ; se ρ é simétrica e estritamente decrescente, então o alcance espacial é o mesmo para as componentes de Y(.); Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

38 Vantagens e Desvantagens do modelo separável Σ = R p T n e Σ 1 = R 1 T 1 ; cov(y l (s), Y l (s )) = cov(y l (s), Y l (s )), l, l, s e s ; se ρ é simétrica e estritamente decrescente, então o alcance espacial é o mesmo para as componentes de Y(.); se ρ é estacionária, a correlação generalizada, é tal que Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo cov(y j (s), Y j (s + h)) cov(yj (s), Y j (s + h))cov(y j (s), Y j (s + h)) = T jj Tjj T j j, independente da posição s e vetor h.

39 Modelos de coregionalização Especificação Intrínseca (Mathéron, 1982) Y(s) = Aw(s) w(s) são processos espaciais i.i.d. s. Y l (s) = k j=1 a ljw j (s) e Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo Cov(Y(s), Y(s )) = ρ(s s ; φ)t com T = AA T, A p k, e k p. T é conhecida como matriz de coregionalização.

40 Modelo Bayesiano de Coregionalização Linear Schmidt & Gelfand (JGR, 2003) e Gelfand, Schmidt, Banerjee & Sirmans (Test, 2004) Seja p Y l (s) = a lj w j (s), l = 1, 2,, p. j=1 mas agora assuma que w j (.) são i.i.d s com variância 1, e função de correlaçãoρ(s s ; φ j ). Então = Cov(Y l (s), Y l (s )) = p a lj a l jρ(s s ; φ j ) j=1 Considerando n localizações espaciais, temos que 2 3 AA AD 1,2A AD 1,nA AD 2,1A AA AD 2,nA Σ Y = AD n,1a AD n,2a AA Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

41 Dessa forma, Σ Y = = p R(φ j ) a j a T j j=1 p R(φ j ) T j j=1 Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

42 Calculando o alcance de Y j (s) Definição : distância para a qual a correlação entre Y j (s) e Y j (s ) torna-se O alcance, r 1, de Y 1 (s) soluciona ρ 1 (r 1 ; φ 1 ) = Mais geralmente, o alcance r j, de Y j (s) soluciona a 2 j1 ρ 1(r j ; φ 1 ) + + a 2 jj ρ(r j; φ j ) a 2 j1 + + = 0.05 a2 jj O lado esquerdo é descrescente em r. Usualmente os ρ j s são funções paramétricas r j é uma função paramétrica que não está disponível explicitamente. Sob o enfoque bayesiano, a distribuição a posteriori de A e dos parâmetros em ρ(.;.) fornece meios para obter a distribuição a posteriori de r j. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

43 com Modelo Multivariado Geral Y(s) = µ(s) + v(s) + ɛ(s) (12) ɛ(s) N(0, D ɛ ), (D ɛ ) jj = τ 2 j ; v(s) = Aw(s) seguindo a especificação anterior, e w j (s) são PG, com média 0 e variância 1 e função de correlação ρ j (.); µ(s) são obtidos a partir de µ j (s) = X T j (s)β j. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

44 Modelo Hierárquico 1o Estágio: Y(s i ) β j, {v(s i )}, D ɛ N(µ(s i ) + v(s i ), D ɛ ). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

45 Modelo Hierárquico 1o Estágio: Y(s i ) β j, {v(s i )}, D ɛ N(µ(s i ) + v(s i ), D ɛ ). 2o Estágio: v(s 1 ) v =. N(0, p j=1 R j T j ) v(s n ) Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

46 Modelo Hierárquico 1o Estágio: Y(s i ) β j, {v(s i )}, D ɛ N(µ(s i ) + v(s i ), D ɛ ). 2o Estágio: v(s 1 ) v =. N(0, p j=1 R j T j ) v(s n ) Concatenando os Y(s i ) num vetor, np 1, Y, similarmente µ(s i ) num vetor µ, podemos marginalizar com respeito a v para obter Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo f(y {β j }, D ɛ, {ρ j }, T) = p N µ, (H j T j ) + I n n D ɛ. j=1 A especificação bayesiana se completa associando distribuições a priori para {β j }, {τj 2 }, T e os parâmetros em ρ j.

47 Parametrização Condicional Assuma, por exemplo, p = 3, sabemos que p(y 1 (s), Y 2 (s), Y 3 (s)) = p(y 1 (s))p(y 2 (s) Y 1 (s))p(y 3 (s) Y 2 (s), Y 1 (s)) Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

48 Parametrização Condicional Assuma, por exemplo, p = 3, sabemos que p(y 1 (s), Y 2 (s), Y 3 (s)) = p(y 1 (s))p(y 2 (s) Y 1 (s))p(y 3 (s) Y 2 (s), Y 1 (s)) Gelfand et. al (2004) propõem o uso de uma parametrização condicional para o modelo em (12) Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo Y 1 (s) = β 1 X(s) + σ 1 w 1 (s) Y 2 (s) Y 1 (s) = β 2 X(s) + αy 1(s) + σ 2 w 2 (s) Y 3 (s) Y 2 (s), Y 1 (s) = β 3 X(s) + α 1Y 1 (s) + α 2 Y 2 (s) + σ 3 w 3 (s) + ɛ 3 (s) São discutidas, também, vantagens e desvantagens de uma parametrização com relação a outra.

49 MCL variando no espaço Substitui-se A por A(s), assim v(s) = A(s)w(s) (13) MCL com variação espacial (MCLVE). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

50 MCL variando no espaço Substitui-se A por A(s), assim v(s) = A(s)w(s) (13) MCL com variação espacial (MCLVE). Seja T(s) = A(s)A(s) T. Novamente, por conveniência, A(s) pode ser assumida triangular inferior. Agora C(s, s ) é tal que Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo C(s, s ) = j ρ j (s s )a j (s)a T j (s ). (14)

51 MCL variando no espaço Substitui-se A por A(s), assim v(s) = A(s)w(s) (13) MCL com variação espacial (MCLVE). Seja T(s) = A(s)A(s) T. Novamente, por conveniência, A(s) pode ser assumida triangular inferior. Agora C(s, s ) é tal que Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo C(s, s ) = j ρ j (s s )a j (s)a T j (s ). (14) Assim v(s) não é mais um processo estacionário nem separável. Fazendo s s 0, a matriz de covariâncias de v(s) é T(s).

52 Possiblidades de modelagem de A(s) Modelar A(s) através da correspondência 1 a 1 com T(s). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

53 Possiblidades de modelagem de A(s) Modelar A(s) através da correspondência 1 a 1 com T(s). No caso univariado, escolhas para σ 2 (s) incluem: σ 2 (s, θ), isto é, uma função paramétrica ou uma superfície de tendência em função da posição geográfica; Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

54 Possiblidades de modelagem de A(s) Modelar A(s) através da correspondência 1 a 1 com T(s). No caso univariado, escolhas para σ 2 (s) incluem: σ 2 (s, θ), isto é, uma função paramétrica ou uma superfície de tendência em função da posição geográfica; σ 2 (x(s)) = g(x(s))σ 2 onde x(s) é alguma covariável utilizada para explicar Y(s) e g(.) > 0 (então g(x(s)) é tipicamente x(s) ou x 2 (s)); Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

55 Possiblidades de modelagem de A(s) Modelar A(s) através da correspondência 1 a 1 com T(s). No caso univariado, escolhas para σ 2 (s) incluem: σ 2 (s, θ), isto é, uma função paramétrica ou uma superfície de tendência em função da posição geográfica; σ 2 (x(s)) = g(x(s))σ 2 onde x(s) é alguma covariável utilizada para explicar Y(s) e g(.) > 0 (então g(x(s)) é tipicamente x(s) ou x 2 (s)); ou σ 2 (s) é em si, um processo espacial (por exemplo, log σ 2 (s) pode ser um processo gaussiano). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

56 Possiblidades de modelagem de A(s) Modelar A(s) através da correspondência 1 a 1 com T(s). No caso univariado, escolhas para σ 2 (s) incluem: σ 2 (s, θ), isto é, uma função paramétrica ou uma superfície de tendência em função da posição geográfica; σ 2 (x(s)) = g(x(s))σ 2 onde x(s) é alguma covariável utilizada para explicar Y(s) e g(.) > 0 (então g(x(s)) é tipicamente x(s) ou x 2 (s)); ou σ 2 (s) é em si, um processo espacial (por exemplo, log σ 2 (s) pode ser um processo gaussiano). Segunda possibilidade, fazermos T(s) = g(x(s))t. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

57 Possiblidades de modelagem de A(s) Modelar A(s) através da correspondência 1 a 1 com T(s). No caso univariado, escolhas para σ 2 (s) incluem: σ 2 (s, θ), isto é, uma função paramétrica ou uma superfície de tendência em função da posição geográfica; σ 2 (x(s)) = g(x(s))σ 2 onde x(s) é alguma covariável utilizada para explicar Y(s) e g(.) > 0 (então g(x(s)) é tipicamente x(s) ou x 2 (s)); ou σ 2 (s) é em si, um processo espacial (por exemplo, log σ 2 (s) pode ser um processo gaussiano). Segunda possibilidade, fazermos T(s) = g(x(s))t. Terceira possibilidade, T(s) é um processo espacial matriz-variado. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

58 Modelagem de T(s) Definição da Wishart, Ω = ΓZZ T Γ T W p (ν, ΓΓ T ) se Z = (Z 1,..., Z ν ) é p ν com Z lj i.i.d. N(0, 1), l = 1,..., ν, j = 1,..., p. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

59 Modelagem de T(s) Definição da Wishart, Ω = ΓZZ T Γ T W p (ν, ΓΓ T ) se Z = (Z 1,..., Z ν ) é p ν com Z lj i.i.d. N(0, 1), l = 1,..., ν, j = 1,..., p. Suponha que temos νp processos espaciais gaussianos, estacionários, independentes, com média 0 tal que Z lj (s) tem função de correlação ρ j (s s ). Isto é, temos p processos espaciais independentes, diferentes e ν replicações de cada um. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

60 Modelagem de T(s) Definição da Wishart, Ω = ΓZZ T Γ T W p (ν, ΓΓ T ) se Z = (Z 1,..., Z ν ) é p ν com Z lj i.i.d. N(0, 1), l = 1,..., ν, j = 1,..., p. Suponha que temos νp processos espaciais gaussianos, estacionários, independentes, com média 0 tal que Z lj (s) tem função de correlação ρ j (s s ). Isto é, temos p processos espaciais independentes, diferentes e ν replicações de cada um. Defina Ω(s) = ΓZ(s)Z T (s)γ T, dizemos que Ω(s) é um processo espacial estacionário Wishart matriz-variado, Ω(s) SW p (ν, ΓΓ T, ρ 1,..., ρ p ). Resulta num processo não estacionário e não-gaussiano. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

61 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

62 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Assumindo independência ao longo de j, temos π(θ) = j p(β j) p(ρ j ) p(τ 2 j ) p(t). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

63 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Assumindo independência ao longo de j, temos π(θ) = j p(β j) p(ρ j ) p(τ 2 j ) p(t). Portanto, π(θ Y) f(y {β j }, D, {ρ j }, T) π(θ). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

64 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Assumindo independência ao longo de j, temos π(θ) = j p(β j) p(ρ j ) p(τ 2 j ) p(t). Portanto, π(θ Y) f(y {β j }, D, {ρ j }, T) π(θ). Prioris β j N(0, V ), V matriz diagonal, com elementos grandes; Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

65 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Assumindo independência ao longo de j, temos π(θ) = j p(β j) p(ρ j ) p(τ 2 j ) p(t). Portanto, π(θ Y) f(y {β j }, D, {ρ j }, T) π(θ). Prioris β j N(0, V ), V matriz diagonal, com elementos grandes; τj 2 IG(2, b) b, tal que E(τ j 2) = b = τ ˆ j 2; Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

66 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Assumindo independência ao longo de j, temos π(θ) = j p(β j) p(ρ j ) p(τ 2 j ) p(t). Portanto, π(θ Y) f(y {β j }, D, {ρ j }, T) π(θ). Prioris β j N(0, V ), V matriz diagonal, com elementos grandes; τj 2 IG(2, b) b, tal que E(τ j 2) = b = τ ˆ j 2; Se ρ j = exp( φ j d), φ Ga(a 1, b 1 ), tq a1 b 1 = dmax 6 e variância fixa; Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

67 Procedimento de - MCL Conjunto θ = ({β j }, D, {ρ j }, T), j = 1,, p. Assumindo independência ao longo de j, temos π(θ) = j p(β j) p(ρ j ) p(τ 2 j ) p(t). Portanto, π(θ Y) f(y {β j }, D, {ρ j }, T) π(θ). Prioris β j N(0, V ), V matriz diagonal, com elementos grandes; τj 2 IG(2, b) b, tal que E(τ j 2) = b = τ ˆ j 2; Se ρ j = exp( φ j d), φ Ga(a 1, b 1 ), tq a1 b 1 = dmax 6 e variância fixa; Relação um a um entre os elementos de T e a matriz triangular inferior A; T W 1 (, ν) tq os elementos da diagonal poderiam ser obtidos de EMQ de um modelo independente para cada elemento de Y j (s), j = 1,, p, e ν pequeno. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

68 Procedimento de - MCL Conjunto Procedimento de inferência feito através do uso de MCMC Amostrador de Gibbs com passos do Metropolis-Hastings. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

69 Procedimento de - MCL Conjunto Procedimento de inferência feito através do uso de MCMC Amostrador de Gibbs com passos do Metropolis-Hastings. Maior desafio é sortear eficientemente da distribuição condicional completa de T. π(t {β j }, D, {ρ j }, Y) Σ Y np/2 { exp 1 } 2 (Y µ)t Σ 1 Y (Y µ) π(t).(15) Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo onde Σ Y = p j=1 (H j T j ) + I n n D.

70 Modelando o preço de venda e o lucro advindo de imóveis comerciais O preço de venda de um imóvel comercial é, teoricamente, dado pelo lucro esperado capitalizado a alguma taxa de desconto (ajustada pelo risco). Consideramos aqui um conjunto de dados de blocos de apartamentos em 3 mercados imobiliários bem distintos, Chicago, Dalas, e San Diego. Chicago é uma cidade antiga, tradicional, onde o desenvolvimento se expandiu de um centro de negócios central. Dalas é uma cidade mais nova, onde o desenvolvimento tende a acontecer em multi-subcentros, com o distrito central sendo menos importante no comportamento do padrão espacial. Já San Diego é uma cidade fisicamente mais restrita, com um desenvolvimento mais linear ao contrário do tradicional padrão circular. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

71 Longitude Longitude Figura: Localizações dos imóveis nos 3 mercados imobiliários, Chicago, Dalas e San Diego. Longitude Modelando o preço de venda e o lucro advindo de imóveis comerciais Chicago Dallas Latitude Latitude Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo San Diego Latitude

72 Modelando o preço de venda e o lucro advindo de imóveis comerciais Objetivo: ajustar um modelo conjunto para o preço de venda e o lucro ĺıquido e obter uma superfície espacial associada ao risco, log R = log I log P. O modelo proposto é I(s) = sqft(s)β I1 + age(s)β I2 + unit(s)β I3 + v 1(s) + ɛ 1(s) P (s) = sqft(s)β P 1 + age(s)β P 2 + unit(s)β P 3 + v 2(s) + ɛ 2(s). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

73 Modelando o preço de venda e o lucro advindo de imóveis comerciais Objetivo: ajustar um modelo conjunto para o preço de venda e o lucro ĺıquido e obter uma superfície espacial associada ao risco, log R = log I log P. O modelo proposto é I(s) = sqft(s)β I1 + age(s)β I2 + unit(s)β I3 + v 1(s) + ɛ 1(s) P (s) = sqft(s)β P 1 + age(s)β P 2 + unit(s)β P 3 + v 2(s) + ɛ 2(s). Modelo 1 é um MCL intrínseco, isto é, ele assume uma estrutura de covariância separável para v(s); Modelo 2 assume o MCL mais geral para v(s); Modelo 3 é um MCLVE, usando a forma T(s) = (x(s)) ψ T onde x(s) é unit(s); Modelo 4 utiliza um processo espacial, Wishart matriz-variado, para T(s). Comparação entre diferentes modelos foi feita usando Gelfand & Ghosh (1998). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

74 Modelando o preço de venda e o lucro advindo de imóveis comerciais Frequency Frequency log Price Frequency Frequency log Income Frequency Frequency log risk Frequency Frequency Age Frequency Frequency Frequency Number of Units Frequency Square ft per unit Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo log Price log Income log risk Age Number of Units Square ft per unit Frequency Frequency Frequency Frequency Frequency Frequency log Price log Income log risk Age Number of Units Square ft per unit

75 Modelando o preço de venda e o lucro advindo de imóveis comerciais Tabela: Resultados do critério de comparação do modelo para (a) todo o conjunto de dados e (b) para a amostra retirando as 20 transações de cada mercado. Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo (a) Chicago Dalas San Diego G P D G P D G P D 1 0,1793 0,7299 0,9092 0,1126 0,5138 0,6264 0,0886 0,4842 0, ,1772 0,6416 0,8188 0,0709 0,4767 0,5476 0,0839 0,4478 0, ,1794 0,6368 0,8162 0,0715 0,4798 0,5513 0,0802 0,4513 0, ,1574 0,6923 0,8497 0,0436 0,4985 0,5421 0,0713 0,4588 0,5301 (b) Chicago Dallas San Diego G P D G P D G P D 1 0,0219 0,0763 0,0982 0,0141 0,0631 0,0772 0,0091 0,0498 0, ,0221 0,0755 0,0976 0,0091 0,0598 0,0689 0,0095 0,0449 0, ,0191 0,0758 0,0949 0,0091 0,0610 0,0701 0,0087 0,0459 0, ,0178 0,0761 0,0939 0,0059 0,0631 0,0690 0,0074 0,0469 0,0543

76 Superfícies espaciais associadas à variação espacial de T(s) para as 3 cidades, Chicago (1a. linha), Dalas (2a. linha) e San Diego (3a. linha), com as colunas correspondendo, respectivamente a, T 11 (s), T 22 (s) e T corr(s) Latitude Latitude T11(s) Longitude Latitude Latitude T22(s) Longitude Latitude Latitude Tcorr(s) Longitude Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo Longitude Longitude Longitude Latitude Latitude Latitude Longitude Longitude Longitude

77 Superfícies espaciais associadas à variação espacial de Renda (1a coluna), Preço (2a coluna) e Risco (3a coluna) para as 3 cidades, Chicago (1a. linha), Dalas (2a. linha) e San Diego (3a. linha). Latitude Latitude I Longitude Latitude Latitude P Longitude Latitude Latitude R Longitude Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo Longitude Longitude Longitude Latitude Latitude Latitude Longitude Longitude Longitude

78 Sequência deste trabalho 1 Modelagem de dados espacialmente desalinhados (Schmidt & Estrella (em revisão para RBE)); 2 Modelagem de observações espaço-temporais (Sansó, Schmidt, & Nobre (Tech Rep, 2006)); 3 Modelos espaciais multivariados para dados de contagem (Schmidt & Hoeting, em andamento). Heterogêneos Multiv. Separáveis Coregionalização MCL Espaço Exemplo

79 Parte III Modelagem de Múltiplas Séries de Vazão como função da chuva Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

80 Modelagem Bayesiana de Múltiplas Séries de Vazão Romy R. Ravines Alexandra M. Schmidt Helio S. Migon Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Parte da Tese de Doutorado Defendida em Dezembro de 2006 Instituto de Matemática - UFRJ

81 Colocação do Problema: bacia do Rio Grande (BA) BRASIL Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Bacia do Rio São Francisco Bacia do Rio Grande

82 Colocação do Problema: bacia do Rio Grande (BA) ' ' BACIA DO RIO GRANDE LEGENDA BACIA DO RIO SÃO FRANCISCO BACIA DO RIO GRANDE POSTOS FLUVIOMÉTRICOS LIMITE DAS SUB-BACIAS REDE DE DRENAGEM PONTO DE AMOSTRAGEM DE UMIDADE FAZ. BOM JARDIM IBIPETUBA FORMOSA DO RIO PRETO (PCD INPE) VEREDA FAZENDA PORTO LIMPO BOQUEIRÃO FAZ. MACAMBIRA TAGUA PONTE SERAFIM-MONT S10 S14 S15 NOVA VIDA-MONT SÃO SEBASTIÃO S9 S12 S16 S6 S11 S13 S17 S7 S BARREIRAS RIO DE PEDRAS FAZ. REDENÇÃO LIMOEIRO DEROCAL FAZENDA COQUEIRO SITIO GRANDE RODA VELHA DE BAIXO CASA REAL RIO SÃO MORPARÁ Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Figura: Hidrografia e Sub-Bacias do Rio Grande.Postos fluviométricos de interesse: A=Taguá, B=Barreiras e C=Redenção

83 Bacia do Rio Grande (BA): dados Legend Runoff Rainfall 2 C B 3 A A:Redenção B:Barreiras C:Taguá (b) Vazão Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Rivers Grid Taguá Grid Barreiras Grid Redenção :Roda Velha Kilometers :Nova Vida :São Sebastião (a) Sub-bacias, Estações e Grade de Interpolação (c) Chuva

84 Abordagem Proposta: uma série de vazão Se Y t é a vazão e X t é a chuva acumulada no tempo t numa bacia, a relação chuva-vazão pode ser representada por: Y t p(y t µ t, φ t ), t = 1, 2,... (16a) g(µ t ) = f 1 (α t, E t ) (16b) E t = f 2 (E t 1,..., E 0, X t ) (16c) Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Figura: Processos físicos envolvidos na geração da vazão Relação não linear Vazão do período atual depende da vazão do período anterior e da chuva passada e corrente. Não existe uma retroalimentação (feedback) entre vazão e chuva Vazão é uma variável não negativa: distribuição gama, log-normal, etc. As séries temporais podem não ser estacionárias.

85 Efeito da Chuva: uma função de transferência Com as hipóteses estabelecidas em Migon & Monteiro (1997), a relação chuva-vazão pode ser bem representada através de uma função de transferência. Duas Funções de Transferência: E t = ρ t E t 1 + γ t X t (17a) E t = ρ t E t 1 + [1 exp( κ t X t )][ϑ t (α t + ρ t E t 1 )]. (17b) Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais E t γ = 0.3 ρ = tempo E t ρe t 1 γ = X t E t φ α X t (a) Decaimento Exponencial (b) Retornos Proporcionais (c) Retornos Decrescentes Figura: Hipóteses sobre as Funções de Transferência

86 Efeito da Chuva: uma função de transferência Interpretação dos Parâmetros γ t : Efeito Instantâneo. Associado à velocidade de escoamento superficial, taxa de infiltração do solo e /ou interceptação da chuva pela vegetação. ρ t : Fator de Recarga. Taxa de memorização. Depende das características geológicas da bacia. α t : Fluxo base. Depende do nível do lençol freático de cada bacia. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Tipos de Efeito Instantâneo Constante : γ t = γ Variando no tempo : γ t = γ t 1 + δ t Ganho aleatório : γ t = γ + δ t

87 Abordagem Proposta: múltiplas séries de vazão Dispomos de M séries temporais de vazão observadas durante T períodos de tempo. Seja Yt m, a vazão observada na bacia m e tempo t, e Y t = (Yt 1,..., Yt M ). Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

88 Abordagem Proposta: múltiplas séries de vazão Dispomos de M séries temporais de vazão observadas durante T períodos de tempo. Seja Yt m, a vazão observada na bacia m e tempo t, e Y t = (Yt 1,..., Yt M ). A distribuição conjunta p(y t ), condicionada a um vetor de parâmetros Θ, pode ser fatorada, por exemplo, da seguinte maneira: p(y t Θ) = p(y M t Y M 1 t, Θ)p(Y M 1 t Yt M 2, Θ) p(yt 2 Yt 1, Θ)p(Yt 1, Θ), onde p(yt m ) é a distribuição de Yt m, i = 1,..., M. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

89 Abordagem Proposta: múltiplas séries de vazão Dispomos de M séries temporais de vazão observadas durante T períodos de tempo. Seja Yt m, a vazão observada na bacia m e tempo t, e Y t = (Yt 1,..., Yt M ). A distribuição conjunta p(y t ), condicionada a um vetor de parâmetros Θ, pode ser fatorada, por exemplo, da seguinte maneira: p(y t Θ) = p(y M t Y M 1 t, Θ)p(Y M 1 t Yt M 2, Θ) p(yt 2 Yt 1, Θ)p(Yt 1, Θ), onde p(yt m ) é a distribuição de Yt m, i = 1,..., M. Considerando a chuva p(y t X t, Θ) = p(y A t Y B t, X A B t, Θ)p(Yt B Xt B, Θ) onde Y t = (Yt A, Yt B ), X t = (Xt A, Xt B ), X A B t = Xt A Xt B é a diferença entre a chuva total da sub-bacia A e da sub-bacia B. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

90 Abordagem Proposta: múltiplas séries de vazão Caso Particular: três séries de vazão e função de transferência em (17a). Yt A Yt B p(µ A B t, σa B 2 ) t = 1,..., T Yt B Yt C p(µ B C t, σb C 2 ) Y C t p(µ C t, σ 2 C) µ A B t µ B C t = α A B + η A B Y B t = α B C + η B C Y C t + E A B t + E B C t µ C t = α C + E C t m = A B, B C, C E m t = ρ m E m t 1 + γ m X m t m + w m t w m t N(0, W m ); Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais onde m denota a área da sub-bacia m, e é multiplicada por Xt m para representar o volume acumulado de chuva na área de drenagem correspondente. Se m = A B, X A B t denota a chuva e A B é a área de drenagem de A sem incluir a área de drenagem de B.

91 Modelando a Chuva: uma bacia Seja {X t (s), s B R 2, t = 1, 2, } um campo aleatório. Aqui, X t (s) 0. A chuva numa bacia ou região B com área B, X t, será descrita por: X t = B 1 X t (s)ds, s B (18) B X t (s) pode seguir uma distribuição normal truncada e, como sugerido em Sanso & Guenni (2000), pode ser representada pelo seguinte modelo espaço-temporal: { w t (s i ) β se w t (s i ) > 0, s i B X t (s i ) = (19a) 0 se w t (s i ) 0 w t (s) = Θ t (s) + Z t (s) + ɛ t (s) (19b) Z t (s) GP (0, σ 2 ϱ( s 1, s 2, λ)) (19c) Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

92 Modelando a Chuva: múltiplas bacias É necessário realizar a troca de suporte: Xt m = 1 X t (s)ds s m (20) m m onde Xt m denota a chuva no tempo t e m denota a área da bacia m. Na prática, a integral em (20) é aproximada por Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais X m t 1 N m N m i=1 ˆX t (s i ) i = 1,..., N m (21) onde N m denota o número de pontos de uma grade de interpolação construída dentro dos limites da bacia m e ˆX t (i) é o valor predito de chuva para a localização s i dessa grade.

93 Abordagem Proposta: caso geral Nossa proposta consiste em realizar o ajuste do modelo para a vazão em (16) e o modelo para a chuva em (19), simultaneamente. Esta proposta pode ser vista como um sistema simples mas completo e eficiente para ajustar e prever duas das mais importantes variáveis hidrológicas. É bastante flexível. A especificação do modelo apresentado envolve várias subclasses de modelos. Todos os parâmetros têm uma interpretação física clara. Toda a incerteza envolvida nos processos físicos é explicitamente levada em conta. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

94 Procedimento de (uma bacia) Sejam Y = (Y 1,..., Y T ) e X(s) = (X 1 (s),..., X T (s)), onde s = (s 1,..., s S ). Também, X(s i ) = (X 1 (s i ),..., X T (s i )), s i B, i = 1,..., S, X t (s) = (X t (s 1 ),..., X t (s S )), e X = (X 1,..., X T ). A distribuição conjunta de Y, X e X(s) é dada por p(y, X, X(s) Θ) = p(y X, X(s), Θ Y )p(x, X(s) Θ X) (22) = TY t=1 SY i=1 p(y t X t, X t(s), Θ Y )p(x t X t(s), Θ X) p(x t(s i) Θ X) Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais A distribuição preditiva, necessária para interpolar a chuva, X t (s i ) é p(x(s ) X(s)) = p(x(s ) X(s), Θ X )p(θ X X(s))p(Θ X )dθ X. (23)

95 Modelagem na Prática Para Chuva (Sansó & Guenni (2000)) Distribuição: Normal Truncada F i = (1, long i, 1, 0, 1, 0) G = diag(g 1, G 2). ( G 1 = I 2 e G 2 = dois harmônicos. w t(s i) β se w t(s i) > 0 X t(s i) = 0 se w t(s i) 0 w t = z t + ν t, ν t N N (0, τ 2 I) z t = F Θ t + ɛ t, ɛ t N N (0, σ 2 V t) Θ t = GΘ t 1 + ε t, ε t N k (0, W t) Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

96 Modelagem na Prática Para Chuva (Sansó & Guenni (2000)) Distribuição: Normal Truncada F i = (1, long i, 1, 0, 1, 0) G = diag(g 1, G 2). ( G 1 = I 2 e G 2 = dois harmônicos. w t(s i) β se w t(s i) > 0 X t(s i) = 0 se w t(s i) 0 w t = z t + ν t, ν t N N (0, τ 2 I) z t = F Θ t + ɛ t, ɛ t N N (0, σ 2 V t) Θ t = GΘ t 1 + ε t, ε t N k (0, W t) Para Vazão (Migon & Monteiro, 1997) Distribuição: Log-Normal ou Gama Séries de tempo não estacionárias Efeito da Chuva: FT de 1a ordem Y t X t p(µ t, φ) t = 1,..., T Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais log(µ t) = α t + E t E t = ρe t 1 + γ tx t + w t, w t N(0, σe) 2 α t = G αα t 1 + w α,t, w α,t N(0, σα) 2 γ t = G γγ t 1 + w γ,t, w γ,t N(0, σγ) 2

97 Obtendo Amostras da Posteriori Maior Desafio: obter amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros (Θ t ) do modelo de vazão. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

98 Obtendo Amostras da Posteriori Maior Desafio: obter amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros (Θ t ) do modelo de vazão. Objetivo : obter uma boa distribuição proposta para o passo de Metropolis-Hastings na amostragem de Θ. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

99 Obtendo Amostras da Posteriori Maior Desafio: obter amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros (Θ t ) do modelo de vazão. Objetivo : obter uma boa distribuição proposta para o passo de Metropolis-Hastings na amostragem de Θ. Um valor candidato para Θ, Θ, será amostrado de uma distribuição multivariada obtida combinando as idéias de West, Harrison & Migon (1985) e Frühwirth-Schnater (1994). Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

100 Obtendo Amostras da Posteriori Maior Desafio: obter amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros (Θ t ) do modelo de vazão. Objetivo : obter uma boa distribuição proposta para o passo de Metropolis-Hastings na amostragem de Θ. Um valor candidato para Θ, Θ, será amostrado de uma distribuição multivariada obtida combinando as idéias de West, Harrison & Migon (1985) e Frühwirth-Schnater (1994). Especificamente, a distribuição normal multivariada N(Θ m s, C s ), com média e variância on-line - m, C - aproximadas pelo Conjugate Updating, ao invés do Filtro de Kalman. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

101 Obtendo Amostras da Posteriori Maior Desafio: obter amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros (Θ t ) do modelo de vazão. Objetivo : obter uma boa distribuição proposta para o passo de Metropolis-Hastings na amostragem de Θ. Um valor candidato para Θ, Θ, será amostrado de uma distribuição multivariada obtida combinando as idéias de West, Harrison & Migon (1985) e Frühwirth-Schnater (1994). Especificamente, a distribuição normal multivariada N(Θ m s, C s ), com média e variância on-line - m, C - aproximadas pelo Conjugate Updating, ao invés do Filtro de Kalman. Cada θ t é amostrado seqüencialmente de t = T até t = 1, de suas distribuições retrospectivas, dadas pela fatorização de N(Θ m s, C s ) em T densidades condicionais univariadas, de maneira análoga ao caso gaussiano. Ver Ravines, Migon & Schmidt (Tech. Rep., 2007) para maiores detalhes. Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

102 Modelo da Chuva: Resultados (1) O modelo espaço-temporal selecionado para a chuva tem um intercepto e um efeito linear da longitude na tendência espacial. Tabela: Estatísticas a posteriori dos parâmetros estáticos mean sd 2,5% 25% 50% 75% 97,5% ˆR β 1,732 0,016 1,701 1,722 1,732 1,743 1,764 1,001 λ 0,045 0,007 0,033 0,040 0,044 0,050 0,061 1,001 ς 2 0,719 0,040 0,644 0,691 0,718 0,746 0,798 1,001 σ 2 1,100 0,044 1,015 1,070 1,098 1,128 1,191 1,003 Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

103 Modelo da Chuva: Resultados (1) (a) Intercepto (b) Longitude Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais (c) 1 o Harmônico (d) 2 o Harmônico Figura: Trajetória estimada para os parâmetros dinâmicos.

104 Modelo da Chuva: Resultados (2) latitude longitude (a) Dezembro, 2000 latitude longitude (b) Junho, 2002 Figura: Médias a posteriori de chuva estimadas para dois meses diferentes. 0 Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais mm Spatio Temporal model: mean Spatio Temporal model: IC 95% Thiessen's method Média a posteriori Thiessen's method (a) Média e Intervalo de 95% para a chuva (b) Q-Q plot

105 Modelo da Chuva: Resultados (3) A'=A B: Taguá B'= B C: Barreiras C'= C: Redenção Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais Figura: Média a posteriori estimada para a chuva acumulada por sub-bacia.

106 Assumimos que p(yt m ) é uma distribuição log-normal com parâmetros µ m t e σm 2 e, representamos a relação entre Yt m e Xt m mediante uma função de transferência de primeira ordem. Modelando a Vazão: Resultados (1) Tabela: Algumas estatísticas a posteriori média 25% 50% 75% ˆR A B = Taguá Barreiras α A 1,151 1,022 1,142 1,276 1,008 η A 0,915 0,887 0,916 0,945 1,010 ρ A 0,510 0,387 0,533 0,658 1,001 γ A 0,025 0,014 0,024 0,035 1,001 σ 2 E A 0,003 0,002 0,003 0,004 1,015 σ 2 y A 0,007 0,006 0,007 0,009 1,040 B C = Barreiras Redenção α B 0,587 0,507 0,581 0,654 1,006 η B 0,989 0,971 0,990 1,009 1,006 ρ B 0,743 0,692 0,752 0,806 1,004 γ B 0,005 0,003 0,005 0,008 1,001 σ 2 E B 0,003 0,002 0,002 0,003 1,005 σ 2 y B 0,004 0,003 0,004 0,005 1,068 C = Redenção α C 3,543 3,525 3,544 3,561 1,014 ρ C 0,594 0,575 0,594 0,613 1,027 γ C 1,645 1,597 1,645 1,696 1,001 σ 2 E C 0,005 0,005 0,005 0,006 1,010 σ 2 y C 0,002 0,002 0,002 0,003 1,107 Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais

107 Modelando a Vazão: Resultados (2) Tabela: Variância e Correlação entre as três séries de vazão Parâmetro média d.p. 2,5% 50% 97,5% ˆR Variância σa 2 0,039 0,006 0,030 0,038 0,049 1,015 σb 2 0,026 0,007 0,020 0,025 0,035 1,019 σc 2 0,010 0,001 0,008 0,010 0,013 1,000 Correlação Corr[Y A, Y B ] 0,750 0,050 0,648 0,753 0,846 1,014 Corr[Y B, Y C ] 0,630 0,054 0,526 0,630 0,732 1,014 Corr[Y A, Y C ] 0,473 0,054 0,377 0,470 0,589 1,017 Múltiplas Vazões Problema Modelo proposto Resultados Considerações Finais