1) Descreva e explique detalhadamente um sistema de filtragem espacial do tipo 4f.

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1 1 LISTA 6 Óptica de Fourier 1) Descreva e explique detalhadamente um sistema de filtragem espacial do tipo 4f. 2) Desenhar qualitativamente como se veria o padrão de difração da grade mostrada na figura abaixo. Resposta: Re: Computação óptica 3) Se a transparência da figura (a) fosse iluminada por luz laser em um sistema Óptico 4f, a) qual seria o espectro registrado no plano focal da primeira lente?

2 2 b) Qual deveria ser a forma do filtro espacial, colocado nesse plano, para obtermos a imagem mostrada na figura (b)? Re: a) b) 4) Se a transparência da figura (a) fosse iluminada por luz laser, em um sistema óptico 4f, a) qual seria o espectro registrado no plano focal da primeira lente? b) Qual deveria ser a forma do filtro espacial, colocado nesse plano, para obtermos a imagem mostrada na figura (b)? c) Se as ranhuras verticais observadas na foto da figura (a) tem um espaçamento equivalente a 2 ranhuras/mm, e o sistema 4f tem f = 100 cm, qual deveria ser a distância entre as máscaras do filtro? Considerar = 550 nm. Como muda essa distância entre as máscaras se f = 150 cm?

3 3 Re: a) b) c) A distância entre as máscaras do filtro, equivale à distância entre os máximos de difração produzidos pelas ranhuras verticais. A separação entre duas ranhuras consecutivas a = 0.5 mm. A posição desses máximos é x m mf a, com m a ordem de difração. Nesse caso, a distância os máximos xm xm f a = ( mm)(100 cm)/(0.5 mm) = 0.11 cm. OBS: A equação da rede é dada por Se f = 150 cm, a distância será cm. m asin e sin x f. 5) Uma grade de difração com 50 linhas/cm é colocada em um computador óptico (sistema 4f ). A transmitância t(x) da grade é uma onda quadrada dada por t( x) g g cos( f x) g cos( f x).... Se iluminarmos a grade com luz laser de x x = nm, e a distância focal f = 100 cm, a) qual será o espaçamento entre os máximos de intensidade no plano da transformada? Desenhar um filtro para deixar passar apenas a ordem 0 e os máximos m = 1.

4 4 b) Qual seria a imagem correspondente que se formaria no plano imagem do sistema 4f, quando aplicado o filtro? Dica: Onda quadrada e sua transformada (figura abaixo) Re: a) A separação entre duas linhas consecutivas da grade a = (1/50 cm). Nesse caso, a separação entre os máximos de difração x cm)/(1/50 cm) = 2.7 mm. 7 mm p x p f a = ( mm)(100 Filtro: b) Ao passar apenas os máximos de ordem 0, +1 e 1, em termos de decomposição de Fourier estamos deixando passar a componente de contínua (valor médio, que dará a iluminação uniforme), além da primeira frequência espacial (a fundamental, que é do tipo cos( f x x) ). Assim, a imagem teria uma modulação de intensidade senoidal:

5 5 LISTA 7 Interferência. Problemas gerais. 1) Três ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo elétrico nesse ponto são E E sint, E E sin( t ) e E E sin( t ). Encontre o campo resultante. Re: E = 2.4E 0 sin(t + 8.8)

6 6 2) Duas fontes pontuais de ondas de rádio S e S, separadas por uma distância d = 2.0 m, estão radiando em fase com = 0.50 m. Um detector percorre um caminho circular de raio r d em torno das duas fontes. O caminho percorrido pelo detector está em um plano que contém o eixo (x) que liga as fontes. Quantos máximos ele detecta? Re: 16 máximos Experimento de fenda dupla de Young. 3) Um experimento de fenda-dupla de Young utiliza uma fonte de luz branca. Se a franja clara de primeira ordem da componente infravermelha (780 nm) coincide com a franja clara de segunda ordem da componente violeta, qual o comprimento de onda dessa última? Re: VIO = 390 nm.

7 7 4) Em uma experiência de interferência com duas fendas, a distância entre as fendas é de 0,1 mm e a tela está colocada a uma distância de 1 m. A franja brilhante de 3ª ordem forma-se a uma distância de 15 mm da franja de ordem 0. Calcular o da luz utilizada. Re: = 500 nm. 5) Em um experimento de fenda-dupla de Young, o comprimento de onda utilizado é 600 nm no ar. A inserção de uma placa de vidro (n = 1.5) de espessura d em frente a uma das fendas provoca um deslocamento de 50 franjas claras no padrão de interferência. Qual a espessura da placa? Re: d = 60 m.

8 8 Interferômetro de Michelson. 6) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática de comprimento de onda = 633 nm. Quando um dos espelhos é movido uma distância d (na direção do feixe incidente), observa-se que 60 franjas claras passam no processo. Determine d. Re: d = 19 m 7) Um interferômetro de Michelson é iluminado com luz monocromática. Um dos espelhos é então movido 25 m e observa-se que 90 franjas claras passam no processo. Determine o comprimento de onda da luz incidente. Re: = 556 nm

9 Tensão de saída (V) 9 8) Um interferômetro de Michelson utiliza luz de comprimento de onda. Os espelhos M1 e M2 estão bem alinhados, produzindo franjas de interferência bem espaçadas. A irradiância incidente no fotodiodo (D) é convertida em tensão e visualizada na tela de um osciloscópio. O espelho M1 possui um atuador graduado, permitindo a medida do deslocamento d do espelho. O gráfico abaixo ilustra a tensão de saída do fotodiodo quando o espelho M1 é movido uma distância d = 5 m. Calcule. Re: = 1.0 m M1 d 1.0 BS 0.5 M2 D Deslocamento do espelho, d (m)

10 10 9) Um interferômetro de Michelson é utilizado para medir o índice de refração do ar na temperatura e pressão ambientes. Para isso, uma célula de vidro de comprimento d = 10 cm é inserida em um dos braços do interferômetro. (Despreze a espessura das paredes de vidro da célula). Luz de comprimento de onda = 590 nm é utilizada. Considere que a célula está inicialmente cheia de ar. Em seguida, o ar é bombeado para fora da célula, fazendo-se vácuo no seu interior. Sabendo que 129 franjas claras passam nesse processo, calcule o índice de refração do ar com 6 dígitos significativos. Re: n AR =

11 11 Filmes finos. 10) Considere um filme fino depositado sobre uma lente, como ilustra a figura abaixo. Um feixe de luz colimado com 0 = 532 nm incide perpendicularmente à superfície da lente. Calcule a mínima espessura d do filme para que as ondas refletidas na 1ª interface (onda 1) e na 2ª interface (onda 2) interfiram destrutivamente. Re: d = 102 nm (1) (2) Ar: n = 1 Filme: n = 1.3 d Lente: n = 1.5 Solução: Para que as ondas refletidas nas interfaces ar-filme (1) e filme-lente (2) interfiram destrutivamente, a diferença de caminho óptico deve ser. Como ambas as ondas sofrem reflexão externa e a distância total adicional percorrida pela onda (2) é 2d : nm n filme d d nm 41.3 n filme 11) Um filme anti-refletivo de índice de refração n = 1.25 é depositado sobre uma lente de vidro de índice n = 1.5. Calcule as duas mínimas espessuras possíveis do filme que produzem interferência destrutiva para luz verde (centro do espectro visível) com comprimento de onda no vácuo 550 nm. Considere incidência normal ao filme. Re: d 1 = 110 nm ; d 2 = 330 nm

12 12 12) Luz branca, com irradiância uniforme na faixa do espectro visível (de 400 nm a 700 nm), incide perpendicularmente em um filme de água suspenso no ar. O índice de refração do filme n = 1.33 e a espessura L = 320 nm. Para qual comprimento de onda a luz refletida pelo filme parece mais intensa para um observador? Re: = 567 nm

13 13 13) Calcule a refletância para incidência normal de luz em um filme anti-refletivo de MgF 2 (n = 1.35) depositado em um substrato de vidro de índice Despreze a múltiplas reflexões no interior do filme. Re: 0.83% Definindo I a irradiância incidente Irradiância do feixe refletido na 1ª interface I IR Irradiância do feixe transmitido pela 1ª interface, refletido na 2ª interface e transmitido pela 1ª I I T R I ( R ) R

14 14 Filme anti-refletido interferência destrutiva entre os feixes I R I I II R I R I R T R T RR n, n, n.. n n R = ,. n n T, n n R = R = ou 0.83% n n LISTA 8 Ondas estacionárias. 1) Microondas de frequência Hz incidem perpendicularmente em um refletor metálico. Determine o espaçamento entre dois nodos sucessivos da onda estacionária resultante. Considere o índice de refração do ar n = 1. Solução Re: = 1.5 cm O espaçamento entre dois nodos sucessivos corresponde a meio comprimento de onda; c = 1.5 cm 2) Determine duas ondas cuja superposição pode gerar a onda estacionária dada por E sin x cos( t).

15 15 3) Imagine a oscilação de dois diapasões, um com uma frequência de 340 Hz e o outro com uma frequência de 342 Hz. Que som iremos ouvir? Re: Uma onda portadora de 341 Hz, modulada em amplitude na frequência de 1 Hz. Superposição de ondas de diferentes frequências. Velocidade de Grupo. 4) Velocidade de grupo. Mostre que: a) dc v g c ; b) d v g c c dn d velocidade de grupo, n é o índice de refração, c e são a velocidade de fase e o, onde v g é a comprimento de onda da luz no vácuo, com comprimento de onda da luz no meio. c c n e n a velocidade de fase e o

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17 5) A variação do índice de refração com o comprimento de onda, no caso de uma substância transparente como um vidro, pode ser aproximada por uma equação empírica (conhecida como equação de Cauchy) por n A B, com A e B constantes empíricas, e o comprimento de onda no vácuo. Encontre a velocidade de grupo em = 500 nm para um tipo particular de vidro para o qual A = 1.50 e B = (nm) 2. Re: v m/s g 17 Formulário: v g c c dn d v g n c c dn d, com B n A e dn B d v g c A ( B ) Substituindo: A = 1.50, B = (10 9 ) 2 = m 2 v m/s g OBS.: n = 1.62, dn d nm 1 = m 1 6) O índice de refração de uma substância hipotética varia inversamente com o comprimento de onda no vácuo, i.e., n A. Mostre que a velocidade de grupo para o comprimento de onda é exatamente a metade da velocidade de fase. Solução v g c c dn d Se A dn A n d v g c c A c n c c c v g c

18 Interferência de múltiplas ondas. Fabry-Perot. 7) Os semi-espelhos de um interferômetro Fabry-Perot são cobertos com um filme fino de prata de uma espessura tal que a transmitância de cada semi-espelho é 0.05 e a absorção é a) Se a irradiância incidente é de 10 mw/cm 2, determine os valores máximo e mínimo da irradiância transmitida. b) Determine a finesse = Re: a) I MAX = 2.5 mw/cm 2, I min = 6.9 W/cm 2 ; b) = 29.8 FSR FWHF. 18 8) Os espelhos de um ressonador óptico do tipo Fabry-Perot para um laser monomodo longitudinal possuem refletância de 0.99 e estão separados de uma distância de 1 m. Determine a largura de linha : a) em termos de frequência; b) em termos de comprimento de onda para = 633 nm. c) Qual o comprimento de coerência da luz emitida pelo laser? Considere o índice de refração do meio entre os espelhos n = 1. Re: a) () FWHF = 480 khz ; b) () FWHF = nm ; c) l c = 625 m

19 19 Solução a) Largura de linha em termos de fase: F, com FWHF F R ( R) nd cos r. Tomando as diferenciais ( ) nd cos c FWHF ( ) FWHFnd cos c ( ) FWHF c c FWHF c nd cos nd F cos Para um feixe laser cos ( ) FWHF c nd F Substituindo n = 1, d = 1 m, F = ( ) FWHF = 480 khz LISTA 9 Coerência parcial da luz. 1) Sabendo que o tempo de coerência C e que o comprimento de coerência l C c, mostre que l. Considere os valores absolutos (em módulo) das C C larguras e. Solução c lc c C Eq.(1) c c Eq.(2) Substituindo Eq.(2) Eq.(1) e tomando o módulo l C

20 20 2) Um filtro passa-banda é utilizado para obter luz aproximadamente monocromática a partir de uma fonte de luz branca. Se a largura do filtro é de 10 nm, qual o comprimento de coerência e o tempo de coerência da luz filtrada? Considere o comprimento de onda médio 600 nm. Re: l C = 36 m ; C = 0.12 ps Solução a) l l m = 36 m C C b) lc c C C l C c C s = 0.12 ps 3) Considere uma fonte de luz quasi-monocromática com a seguinte propriedade: O campo elétrico oscila senoidalmente durante um intervalo de tempo, após o qual sua fase muda abruptamente. (Essa sequência se repete indefinidamente). O comprimento de onda da luz é 541 nm e a largura de linha é 0.1 nm. Em um experimento de interferência, a luz proveniente dessa fonte é dividida em dois feixes de iguais amplitudes. Esses feixes são então recombinados (interferem) após percorrerem caminhos distintos. Se a diferença de caminhos ópticos percorridos pelos feixes é de 1.00 mm, determine a visibilidade das franjas de interferência. Considere o índice de refração n = 1. Re: m = 0.66 OBS.: m I I ( ) I I, ) para Solução ( para Dois feixes de iguais amplitudes I I m ( ) Diferença dos caminhos ópticos: c e ( Comprimento de coerência: l C c, com o tempo de coerência ) m ( ) c c l C Substituindo os dados: l C = 2.93 mm e = 1.00 m m = 0.66

21 Tensão de saída (V) Tensão de saída (V) 4) Um interferômetro de Michelson é iluminado com uma onda plana de uma fonte de largura espectral. Os espelhos M1 e M2 estão bem alinhados, produzindo um padrão de interferência com franjas bem espaçadas. A irradiância incidente no fotodetector (D) é convertida em um sinal de tensão e visualizada na tela de um osciloscópio. O espelho M1 possui um atuador graduado, permitindo a medida do deslocamento do espelho. A figura abaixo ilustra a tensão de saída do fotodetector quando o espelho M1 é movido 10 m (leitura no atuador de 5 m até 5 m). Estime a largura espectral. 21 M1 d 3 BS 2 M D Deslocamento do espelho, d (m) Re: 0.2 m Determinação do comprimento de onda da radiação Do gráfico: um deslocamento do espelho d = 1 m (que corresponde a uma variação de caminho óptico de 2 m) resulta na passagem de duas franjas de interferência = 1 m Deslocamento do espelho, d (m) Estimativa da largura espectral Comprimento de coerência ( l C ): A queda da amplitude do sinal ocorre devido à queda da visibilidade do padrão de interferência. Tomando como aproximação a faixa de leitura no 2 atuador de 0 até 2.5 m, resulta lc m lc 0.2 m

22 22 LISTA 10 Difração de fenda única. 1) Um feixe laser colimado com = 550 nm incide em uma fenda estreita. Numa tela situada a 5 m observa-se um padrão de difração, sendo que a distância do primeiro mínimo ao máximo brilhante central é de 30 mm. Qual é a largura da fenda? Re: 92 m 2) Um feixe de luz colimado de comprimento de onda = 633 nm incide normalmente em uma fenda de largura 0.5 mm. Uma lente de distância focal 50 cm, colocada imediatamente após a fenda, focaliza a luz difratada em uma tela colocada no plano focal da lente. Calcule a distância do primeiro mínimo de irradiância com relação ao centro do padrão de difração (máximo central). Re: y = 633 m

23 23 3) Um feixe colimado de luz branca incide normalmente em uma fenda. Para qual comprimento de onda, o 4º mínimo de irradiância coincide com o 3º mínimo para a luz vermelha = 650 nm? Re: = 488 nm Difração de fenda dupla. 4) Em um experimento de difração de fenda dupla, observa-se que o quarto máximo de difração está faltando. Determine a razão entre a largura e distância entre as fendas ( b h ). Re: b/h = 1/4

24 24 5) Em um experimento de difração de fenda dupla, o comprimento de onda da fonte luminosa = 405 nm, a separação entre as fendas h = m e a largura das fendas b = m. Quantas ordens de difração existem dentro do envelope central determinado pela largura das fendas? Re: 9 ordens Redes de difração. 6) Um feixe laser colimado incide perpendicularmente sobre uma rede de difração que tem 500 linhas por mm. Em um anteparo colocado a 1 m da rede, o máximo central e o de primeira ordem estão separados por 30 cm. Determinar o comprimento de onda do laser. Re: = 575 nm

25 25 7) Um feixe laser colimado incide sobre uma rede de difração que tem 5000 linhas por cm. Em um anteparo colocado a 1 m da rede, o máximo central e o de segunda ordem estão separados por 40 cm. Determinar o comprimento de onda do laser. Re: = 370 nm

26 26 8) Um feixe laser colimado com = 532 nm incide em uma rede de difração. Em um anteparo colocado a 1 m da rede, o máximo central e o de primeira ordem estão separados por 30 cm. Determine o número de linhas/mm dessa rede. Re: N = 539 linhas/mm 9) Uma rede de difração tem 200 linhas/mm. Luz consistindo de uma faixa contínua de comprimentos de onda entre 550 nm e 700 nm incide perpendicularmente na rede. a) Qual é a mais baixa ordem de difração que sofre sobreposição por outra ordem? b) Qual é a mais alta ordem para a qual o espectro completo está presente? Re: a) 4ª ordem ; b) 7ª ordem

27 27 10) Considere a difração produzida por um compact disk (CD), como ilustra a figura abaixo. O disco é iluminado em incidência normal por um feixe laser de comprimento de onda 633 nm. A distância do disco à tela de observação é D = 30 cm e a altura do ponto luminoso correspondente à primeira ordem de difração é y1 = 12.9 cm. Determine o número de linhas/mm do CD. Re: 625 linhas/mm

28 28 O ângulo da primeira ordem de difração arctan D = 23.3º. Equação da rede: p hsin. p Para 1ª. ordem (p = 1): h sin h sin 1.60 m = mm O número de linhas/mm: 1/h = 625 linhas/mm y Difração por uma abertura circular. Critério de Rayleigh. 11) O telescópio de Monte Palomar tem um espelho de 508 cm de raio. a) Qual a distância que devem ficar dois objetos na superfície da lua para serem observados pelo telescópio segundo o critério de Rayleigh? b) Calcular essa distância se os objetos fossem observados apenas com o olho. Considere = 500 nm; Distância Terra Lua: km; Diâmetro do olho: 4 mm. Re: a) 23 m ; b) 58.6 km

29 12) Uma antena circular de radar em um navio tem um diâmetro de 2,10 m e irradia numa frequência de 15 GHz. Outros dois barcos estão localizados a 9 km do navio. Qual a mínima separação entre eles na qual ainda serão detectados como dois corpos separados pelo radar? Re: 105 m A frequência = 15 GHz c 2 cm ( ). = rad D d min l 105 m 29