Desenvolvimento de um Modelo de Desempenho para Infraestruturas Ferroviárias aplicado à Linha Férrea

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1 Desenvolvimento de um Modelo de Desempenho para Infraestruturas Ferroviárias aplicado à Linha Férrea Tiago. Regado Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil, Guimarães José C. Matos ISISE, Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil, Guimarães Bruno Gonçalves Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil, Guimarães RESUMO: Os caminhos-de-ferro desde de cedo se revelaram um meio de transporte de grande utilidade para toda a humanidade. Tendo um custo inicial elevado é fundamental investir na previsão da deterioração da linha, garantindo aos utilizadores uma maior segurança e possibilitando a correta gestão das ações de manutenção. O presente artigo visa apresentar um modelo de previsão de deterioração para a linha férrea, recorrendo a processos de Markov. Estes recorrem aos dados das inspeções realizadas aos parâmetros geométricos da linha criando diferentes taxas de deterioração. Este modelo possibilita avaliar qualitativamente o estado da linha férrea ao longo do tempo, proporcionando o desenvolvimento de uma estratégia de ações de manutenção ou reparação incorporadas num plano de manutenção da linha férrea. INTRODUÇÃO A linha férrea corresponde a um género de transporte que é muito caro na sua construção, mas que tem uma vida útil longa e com baixos custos operacionais. Portanto, o valor de construção é elevado e que leva à possibilidade de que a manutenção possa ser dispendiosa. Como várias infraestruturas de elevados custos de investimento na fase da construção, a manutenção desempenha um papel crucial na relação custo-eficácia a longo prazo. O planeamento de manutenções devido a deterioração da infraestrutura aparenta ser difícil por causa dos seus aspetos aleatórios. O processo de deterioração da linha férrea é afetado aleatoriamente pelo tempo e as cargas transportadas. Embora existam tais incertezas, os gestores de transporte ferroviário questionam-se quando a linha férrea deve ser corrigida e que tipos de ações será a melhor (Shafahi & Hakhamaneshi 9). A gestão individual de grupos de estruturas requer uma abordagem sistemática, de tal forma que, a fiabilidade e o estado da estrutura possa manter-se dentro do orçamento e das limitações de recursos. Isto significa que a manutenção e as atividades de inspeção devem ser rigorosamente planeadas, permitindo a segurança e operacionalidade com custos reduzidos da estrutura. Um conceito importante na modelação da manutenção corresponde ao custo do ciclo de vida, onde, os efeitos e custos de uma política de manutenção específica são considerados durante a vida útil das estruturas (Frangopol, Kallen & van Noortwijk 4). Estas problemáticas sugerem a necessidade de implementar um sistema de gestão sobre a linha férrea, capaz de sugerir a melhor estratégia de manutenção e reparação

2 no sentido de otimizar o investimento. Em geral, estes sistemas são compostos por quatro módulos, base de dados, inspeções, previsão, otimização. A monitorização das infraestruturas ferroviária representa uma das partes mais importantes de um sistema de gestão. As capacidades de gestão global desse sistema vai depender muito da qualidade dos sistemas de monitorização disponíveis. A razão para a monitorização é geralmente dupla. A primeira, é obviamente, detetar irregularidades que possam pôr em perigo a segurança e confiabilidade do tráfego ferroviário. No entanto, se a monitorização é contínua e rápida o suficiente para permitir acompanhamento consecutivos sendo realizada em intervalos regulares de tempo, um aspeto temporal extremamente importante é obtido que é de importância fundamental para um sucesso numa gestão baseada na condição (Esveld ). A monitorização e a avaliação da qualidade geométrica da linha em estudo é realizada pela REFER, de modo sistemático, com o veículo de inspeção EM. Este veículo permite adquirir dados sobre os parâmetros geométricos para a caracterização da qualidade da geométrica da via, nivelamento longitudinal e transversal, o alinhamento, a bitola e o empeno (Vale ). A condição da geometria da via está relacionada com os parâmetros geométricos da via, cujos valores limite obedecem a especificações técnicas fixadas em normas. A capacidade de desempenho da via (velocidade máxima permitida, nível de conforto e segurança dos passageiros) é avaliada em função dos valores medidos por estes parâmetros, que por vezes são reveladores de defeitos de construção, falta de conservação, desgaste ou deterioração da linha (Ferreira ). Um dos índices de condição da linha mais utilizada nas redes ferroviárias europeias é o desvio padrão. Este representa a dispersão de um sinal ao longo de um determinado troço da linha, em relação ao valor médio deste sinal ao longo da secção considerada. Considerando a sua ampla utilização em toda a rede ferroviária europeia e na necessidade de ter um índice de condição único, de fácil compreensão, o desvio padrão do nivelamento longitudinal e alinhamento são os parâmetros de referência para descrever a qualidade geométrica da via (pren 848-6:.9). Os índices de condição são parâmetros importantes na gestão da manutenção da linha férrea. Na obtenção de um bom sistema de gestão da manutenção da linha, é necessário prever os índices de condição da linha ao longo do tempo. No entanto, observa-se que, a taxa de deterioração da linha pode ser inesperadamente diferente. Devido a esse comportamento aleatório, usando um modelo probabilístico aparenta ser um bom procedimento para prever os índices de condição da linha. As características dos processos de Markov tem capacidade de esclarecer o comportamento aleatório de uma via durante a sua deterioração (Shafahi & Hakhamaneshi 9). As cadeias de Markov são utilizadas para prever a deterioração de varias infraestruturas, tais como pavimentos, pontes e redes de canalização. Nestes modelos, uma classificação representa o índice de condição de um componente, e o cálculo das probabilidades de transição são usadas para caracterizar a deterioração entre dois índices consecutivos (Kobayashi, Do & Han 9). O presente artigo apresenta um exemplo de um modelo de degradação da linha férrea baseado sobre dois parâmetros geométricos, o nivelamento longitudinal e o alinhamento. A evolução dos índices de condição é feita através de uma cadeia de Markov em tempo contínuo e também por modelos de Markov ocultos. SISTEMA DE CLASSIFICAÇÃO O modelo de deterioração é elaborado através de dados obtidos por inspeções realizadas desde 9. Este caso real é composto por km de linha férrea com velocidade entre os 8 km/h e os km/h, sendo que a velocidade é uma informação necessária para identificação do índice de condição correspondente ao desvio padrão

3 obtido aquando da ocorrência da inspeção. O desvio padrão corresponde apenas a troços de m, desta forma a linha e dividida em 5 secções. A linha em estudo esteve sujeita a 994 inspeções desde 9 tendo um intervalo de tempo entre inspeções regulares de 9 dias. Neste estudo, é proposto uma classificação da condição da linha férrea por 6 índices de condição, que pode variar de a 5, onde corresponde ao melhor índice de condição da linha. A descrição dos índices é feita no quadro e os 5 intervalos definidos do desvio padrão apresentados no quadro. Quadro.Descrição da condição da linha para os 6 níveis. Índice de Condição 4 5 Descrição da condição Poucos defeitos observados, e a funcionalidade da linha não se encontra comprometida. Nenhuma ação imediata de intervenção é requerida. Pouca deterioração observada, e a funcionalidade da linha não se encontra comprometida. A manutenção de rotina ou preventiva já deve ser agendadas para análise. Moderada deterioração, e a funcionalidade da linha pode estar comprometida. Alguma manutenção de rotina e pequenas ações de reparação podem ser necessárias. Significante deterioração, e a funcionalidade da linha comprometida, porém não seriamente. Manutenção de rotina e pequenas ações de reparação são necessárias. Severa deterioração em pequenos troços da linha. Deterioração com menos severidade pode estar presente em outros troços da linha. Funcionalidade seriamente comprometida. Ações de reparação são necessárias. Deterioração extrema em toda ou quase toda a linha. A linha não é mais funcional. Grandes ações de reparação, restauração completa ou reconstrução são necessárias. Quadro. Proposta dos intervalos do desvio padrão para os índices de condição. Índice de Condição Nivelamento Longitudinal Alinhamento SD <,7 SD <,7,7 SD <,4,7 SD <,,4 SD <,7, SD <,5,7 SD <,,5 SD <,95 4, SD <,75,95 SD <,7 5 SD,75 SD,7 MODELO DE DEGRADAÇÃO Definindo o comportamento de um fenómeno físico em diferentes estados como,,,, 4, 5 e existir dados dos estados no tempo é possível através de um processo de Markov, por exemplo, prever atempadamente o momento das transições entre estados. A utilização deste processo permitem criar uma curva representativa do fenómeno físico em questão num determinado tempo Uma cadeia de Markov é um processo que se move entre índices de um espaço amostral (Brémaud ). Assuma-se que este espaço é constituído por estados finitos ou contáveis. Isto significa que uma estrutura ou um componente pode se encontrar

4 num estado N dos estados discretos (Frangopol, Kallen & van Noortwijk 4). Então o índice seguinte é escolhido de acordo com uma distribuição de probabilidade P(x), definida de acordo com a Equação () (Brémaud ). P(i, j) = Pr{X t+ = j X t = i} () Esta Equação () é geralmente designada como propriedade de Markov, e significa que a probabilidade condicional de passar do estado i para o estado j é a mesma, sendo irrelevante a sequência i, i,, i t de estados precedentes ao atual estado i (Frangopol, Kallen & van Noortwijk 4) (Brémaud ). A principal diferença do processo de Markov contínuo e discreto no tempo é que as probabilidades de transição podem ocorrer em intervalos de tempo não periódicos, ou seja, ao contrário do processo de Markov em tempo discreto, o processo em tempo contínuo permite a ocorrência de transições numa escala de tempo contínua (Sobreiro ). Nos processos de Markov em tempo contínuo é estabelecida uma matriz intensidade, Q, que corresponde a taxas de transições q ij, independentes do tempo, que se relaciona diretamente com qualquer matriz de Markov, P, de acordo com a Equação (), sendo a sua solução dada por uma distribuição de Poisson na Equação () (Sobreiro ). dp( t) dt = P(t) Q () P( t) = e Q t () A matriz Markoviana P é então determinada a partir de uma matriz intensidade Q com a mesma dimensão. Assumindo que o processo de deterioração é contínuo e que devido à deterioração não pode ocorrer melhoria do estado de condição, se o modelo de desempenho de linhas férreas prever 6 índices diferentes de condição, então a matriz Q é de dimensão 6 de acordo com a Equação (4) (Sobreiro ). Q = θ θ θ θ θ θ θ θ [ θ 4 θ 4 ] (4) Os elementos θ i representam as taxas de transição entre estados consecutivos pela Equação (5) (Gambóias ). θ θ θ θ [ θ 4 ] = q q q q 4 [ q 45 ] (5) As taxas de transição, q ij representam a probabilidade de ocorrer alteração do índice de condição i para um índice de condição j, em que j i, sendo obtidas pelo método de Jackson de acordo pela Equação (6) (Jackson 7). q ij = n ij ti (6)

5 Na Equação (6) n ij é o número de elementos que transitaram do índice de condição i para o índice j e ti o somatório de intervalos de tempo onde o índice de condição i se manteve (Jackson 7). Os valores de θ i que constituam a matriz intensidade, Q, são fundamentais para definir a eficiência do modelo utilizado. Essa eficiência é medida recorrendo ao cálculo da verosimilhança, que indica a distância entre a realidade e o previsto pelo modelo, sendo o modelo tanto melhor quanto menor for essa distância. Isto é, a matriz Q ótima é determinada através do método da maximização de verosimilhança definido pela Equação (7) (Sobreiro ). N M s= t= (7) V = p i,j Em que N representa o número total de estruturas presentes na amostra, M o número total de transições observadas em cada estrutura e p i,j a probabilidade de transição. A Equação (7) pode ser simplificada para um somatório, através de propriedades logarítmicas tornando-se na Equação (8). N M s= t= (8) log V = log(p i,j ) O objetivo do método da maximização de verosimilhança consiste em obter o maior valor de V otimizando a matriz P, ajustando as taxas de transição θ i. Sabendo o vetor probabilidades p(t i ), relativo aos vários índices de condição num instante inicial t i e estando na posse de uma matriz P t que reproduza convenientemente a deterioração da estrutura em causa ao longo do respetivo intervalo de tempo, é possível prever o desempenho futuro para um instante final t f, obtendo o vetor probabilidade de índices de condição p(t f ) de acordo com a Equação (9) (Sobreiro ) p(t f ) = p(t i ) P t (9) Para obter o índice de condição médio, basta multiplicar o vetor probabilidades pelo vetor coluna dos índices de condição com índice a Equação () (Sobreiro ). C med (t) = p(t) 4 [ 5] () Nas cadeias de Markov é considerado que cada estado corresponde a uma observação. A literatura mostra que este modelo é muito restrito para ser aplicado em muitos problemas. O modelo oculto de Markov (HMM) vem como uma extensão da cadeia de Markov, pois agora o modelo inclui o caso no qual a observação é uma função de probabilidade do estado, isto é, o modelo resultante é um processo estocástico de dupla camada, na qual um processo estocástico é subjacente e não observável (oculto) que pode ser apenas observado pelo outro processo estocástico que produz as sequências de observações. Por conveniência será utilizada a notação compacta da Equação () para indicar o conjunto completo de parâmetros do modelo (Rabiner 989). λ = (A, B, π) ()

6 Onde A = {a ij }representa a probabilidade de transição dos estados, B = {b j (k)} a distribuição de probabilidade do estado observado em j e π = {π i } a probabilidade do índice inicial. Existem três problemas básicos que devem ser resolvidos para que o modelo possa ser utilizado em aplicações do mundo real. O problema é o problema de avaliação sendo resolvido utilizando-se os procedimentos forward-backward. O problema procura descobrir a parte escondida do modelo, ou seja, encontrar a sequência de estados correta resolvido através do algoritmo de Viterbi. O terceiro e mais difícil é determinar um método para ajustar os parâmetros da Equação () de modo a satisfazer um determinado critério de otimização. O último problema pode ser resolvido usando um procedimento iterativo tal como o método de Baum-Welch (também conhecido como o método EM (expectationmaximization)) (Rabiner 989). Uma das possibilidades para avaliar a qualidade do modelo, é o teste de ajustamento do Qui-Quadrado Como na generalidade dos testes de ajustamento, o processo iniciase com a formulação das hipóteses (hipótese nula, H, e hipótese alternativa,h ) nos seguintes termos: H : A amostra possui uma determinada distribuição teórica; H : A amostra não possui a distribuição teórica. A qualidade do modelo é verificada através do cálculo da semelhança da diferença entre as transições observadas e previstas. Num modelo de deterioração, apenas a transição de um estado i para um estado j, com i j pode ocorrer (Ferreira et al. 4). As transições observáveis entre índices de condição são agrupadas em C classes calculadas pela Equação (). C = n+(n+) () No teste de ajustamento do Qui-Quadrado a avaliação do ajuste entre o conjunto de observações e o modelo teórico baseia-se na determinação da estatística do teste, Equação (). A estatística do teste trata-se de uma medida global da discrepância entre as frequências observadas na amostra, O c e as frequência esperadas,e C (Ferreira et al. 4). C T = (O i E i ) i= () E i Nas situações em que a hipótese nula, H, é verdadeira, devem-se registar pequenas diferenças entre as frequências observadas e esperadas e, consequentemente, a estatística do teste, T, deve apresentar valores baixos. Por outro lado, um valor da estatística do teste, T, elevado constitui uma indicação de que existe um desajuste entre a amostra e a distribuição teórica (Guimarães & Cabral 997). Pode se demonstrar que, quando a hipótese nula, H, é verdadeira e a dimensão da amostra grande, a estatística do teste, T, segue uma distribuição χ gl com gl = (C ) p graus de liberdade, onde p representa o número de parâmetros estimados a partir da amostra (Ferreira et al. 4). Uma vez fixo o nível de significância em 5%, a rejeição ou não rejeição da hipótese nula, é realizada com base na comparação entre o valor da estatística do teste T e χ gl:α. Rejeita-se a hipótese nula se a Equação (4) for verificada. T > χ gl:α (4)

7 4 DETERMINAÇÂO DA MATRIZ TRANSIÇÃO PARA PROCESSO MARKOV EM TEMPO CONTÍNUO Para determinar as taxas de transições, é necessária modificar os desvios padrões que resultam das inspeções para os índices de condição proposto. Posteriormente calculase as taxas de transição pelo método de Jackson e são otimizados com o método de maximização de verossimilhança realizado em MatLab através da função fmincon. O Quadro indica os resultados destes métodos e respetivo V. Quadro. Resultados das taxas de transição. Nivelamento Longitudinal Método de Jackson Método da maximização da Verosimilhança Método de Jackson Alinhamento Método da maximização da Verosimilhança θ,97,,49,6 θ,6,8,, θ,,,45,67 θ,,5, θ 4,,, log V - 786,6-784,84-4,4-6 Observa-se no Quadro relativamente ao parâmetro do nivelamento a inexistência de taxas de transição θ e θ 4, pois nos dados reais não existe desvio padrão para além do índice de condição. Tal se deve ao rigoroso plano de manutenção realizado pela REFER de modo a impedir a degradação para além deste índice para este parâmetro. Para confirmar a qualidade do modelo, o teste ajustamento do Qui-quadrado é aplicado com as taxas de transição obtidas pelo método da maximização da verosimilhança. A partir dos resultados observados e esperados referentes aos dois parâmetros geométricos analisados é possível determinar o valor da estatística do teste associada a cada um através da Equação (). Obteve-se o valor de T alinhamento = 6, e de T nivelamento =,. Sendo assim de acordo com a Equação (4), a hipótese nula é rejeitada com um nível de significância de 5 % se os valores obtidos forem superiores a χ 4,5 =.685. Como para os dois parâmetros analisados os valores obtidos são inferiores ao valor limite, significa que o ajuste efetuado tem qualidade, ou seja, que o modelo teórico considerado descreve de um modo adequado os dados observados. 5. RESULTADOS OBTIDOS As taxas de transição, permitem realizar a previsão da curva média do desempenho da linha ao longo dos próximos meses. A intenção passa por recorrer ao último registo de inspeções realizadas, que correspondem a um determinado índice de condição e fazendo a sua média obtém-se o índice de condição inicial. Através do modelo de Markov prevê-se o índice de condição para o horizonte de meses Uma vez que o índice de condição é variável, o vetor do índice de condição inicial também o será. Determina-se pelas Equações (), (9) e () o índice de condição para todos os troços da linha e no seu seguimento retira-se a média e o desvio padrão do caso real resultando nas Figuras e.

8 Indice de Condição Indice de Condição Curva de deterioração média Desvio Padrão Tempo (meses) Figura. Previsão do desempenho para o parâmetro do nivelamento longitudinal. 5 4 Curva de deterioração média Desvio Padrão Tempo (meses) Figura. Previsão do desempenho para o parâmetro do alinhamento. Na Figura a curva de deterioração têm um índice inicial médio para o alinhamento de,47 que, por coincidência, é o mesmo para o parâmetro o nivelamento longitudinal (Figura ). Constata-se nas duas Figuras e que a curva de deterioração média vai gradualmente e continuamente crescendo ao longo do período em análise. Nota-se, na Figura, que por volta do mês 7, a curva começa a ficar tangente à linha, correspondendo ao facto de se aproximar do pior índice de condição, 5. Como é sabido, o desvio padrão mede a dispersão dos dados relativamente à média. As Figuras e revelam uma tendência a decrescer continuamente, aproximando-se de zero no final do tempo de análise. Significa que a grande maioria da linha apresenta no mês, um índice de condição próximo do pior índice, 5. A curva de deterioração média da Figura revela um menor aumento do índice de condição quando comparada com a da Figura devendo-se ao tal, facto das taxas de transição θ 4 e θ 5 terem um valor muito baixo, comparados com os utilizados no alinhamento. A curva tenderia a acabar da mesma forma que a Figura, após um tempo de, aproximadamente, 4 meses. Como as taxas de transição θ e θ 4 no nivelamento longitudinal são aproximadamente, o modelo HMM apenas é aplicado sobre os índice de condição do alinhamento. Para aplicar o modelo HMM, recorreu-se a uma toolbox já existente no MatLab e calcula-se as taxas de transição através do algoritmo de Baum-Welch. Tendo as matrizes A e B e utilizando o mesmo vetor probabilidade de índice inicial a Equação () não tem incógnitas sendo possível obter a curva média de deterioração apresentada na Figura.

9 Índice de Condição Índice de Condição Tempo (meses) Figura. Previsão do desempenho da linha para o parâmetro do alinhamento através de HMM 6 CONCLUSÕES Este trabalho contribuiu para o desenvolvimento de um modelo de previsão do desempenho de linha férrea, recorrendo a processos de Markov. Foi desenvolvido e disponibilizado numa tese de mestrado todo o algoritmo criado em MatLab para recorrer aos processo de Markov em tempo contínuo sendo ainda possível observar os efeitos de um estratégia de ações de manutenção e reparação sobre a curva de desempenho. A utilização dos mesmos em tempo contínuo vem do fato que sua aplicação é amplamente reconhecida na avaliação do comportamento de outras infraestruturas, como pontes. Numa alternativa ao modelo de previsão, estudou-se o Modelo de Markov oculto (HMM). Com os resultados obtidos nestes dois processos é possível observar as curvas de desempenho obtidos para os índices de condição do alinhamento na Figura Tempo (meses) Modelos Markov Ocultos Markov Contínuos Figura 4. Previsão do desempenho do caso em estudo para o alinhamento com dois modelos de Markov. Para determinar o melhor modelo que se ajusta a amostra recorre-se ao teste de ajustamento do Qui-quadrado. Apresenta-se no Quadro 4 os valores observados e estimados para o alinhamento com o resultado do teste T pela Equação () A partir do Quadro 4 e a Equação () verifica-se que o modelo de Markov em tempo contínuo é o mais apropriado para representar a amostra. Pela Equação (4) comprovase que o modelo HMM obtido não possui distribuição teórica.

10 Quadro 4. Proposed classification second standard deviation. Indices de condição O c E c obtidos com Markov em tempo continuo E c obtidos com HMM 4 49,68 46,8,86 9, ,77 8, , 476, , 49,7 5 8,5 7,97 T - 6,,87 Em desenvolvimentos futuros, melhorar os HMM para tempos contínuos ou alterar o parâmetro λ para obter um melhor modelo que modelos de Markov contínuos. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao ISISE Institute for Sustainability and Innovation in Structural Engineering (PEst-C/ECI/UI49/ FCOM--4-FEDER-68). Agradece-se à REFER a informação gentilmente fornecida relativamente a linha férrea em estudo. REFERÊNCIAS Brémaud, P. (), Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues. France: Sringer. Esveld, C. (), Modern Railway Track. Second edition, Delfth-Holanda: MRT Productions. Ferreira, C. & Neves, L. & Matos, J & Soares, J.S. (4). A degradation and maintenance model: Application to Portugues context. Frangopol, Dan M. & Kallen M. J. & van Noortwijk, J. M. (4), Probabilistic models for life-cycle performance of deteriorating structures: review and future directions Gambóias, J. P. A. (), Modelação da Degradação de Pontes Considerando a Incerteza Associada às Inspecções. Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, Lisboa. Jackson, C. (7), Multi-state modelling with R: The msm package. Cambridge, UK: Medical Research Council Biostatistics Unit. Kobayashi, K. & Do, M. & Han, D. (9), Estimation of Markovian Transition Probabilities for Pavement Deterioration Forecasting. KSCE Journal of Civil Engineering (), Vol. 4, No., pp pren 848-6:.9, Railway applications Track Track geometry quality Part 6: Characterisation of Geometric Quality. Rabiner, L. R. (989), A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition. Proc. IEE. 77, pp Shafahi, Y. & Hakhamaneshi, R. (9), Application of a Maintenance Management Model for Iranian Railways Based on the Markov Chain and Probabilistic Dynamic Programing. Transaction A: Civil Engineering, Vol. 6, No., pp Sobreiro, F. J. N. (), Modelos de Previsão de Deterioração de Pontes Existinges: Processos de Markov. Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, Lisboa. Vale, C., ( ), Influência da qualidade dos sistemas ferroviários no comportamento dinâmico e no planeamento da manutenção preventiva de vias de alta velocidade. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto.