X Encontro Nacional de Educação Matemática O USO DO JOGO DO NIM PARA A CONSTRUÇÃO/APRIMORAMENTO DO ALGORITMO DA DIVISÃO

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1 O USO DO JOGO DO NIM PARA A CONSTRUÇÃO/APRIMORAMENTO DO ALGORITMO DA DIVISÃO Milton Cassiano Pontifícia Universidade Católica de São Paulo miltoncass@yahoo.com.br Resumo: O jogo sempre fez parte do dia a dia das crianças desde os primeiros anos de idade. Assim, quando jogam elas questionam, fazem perguntas, concentram-se, abstraem, usam a imaginação e ficam horas a fio brincando. Por outro lado concordamos com Cunha (1997); Castela (2005) e outros pesquisadores que afirmam os estudantes encontram dificuldade de aprendizagem quando o Algoritmo da Divisão lhes são apresentado pela execução de exercícios de modo repetitivo. De tal modo, o intuído da pesquisa foi utilizarse de um jogo (NIM), para auxiliar na construção/aprimoramento do Algoritmo da Divisão. Este trabalho é um recorte da dissertação do curso de Mestrado Acadêmico da PUC-SP intitulado: O jogo do NIM: uma alternativa para reforçar o Algoritmo da Divisão no sexto ano do Ensino Fundamental. Palavras-chave: Algoritmo da Divisão; Jogo do NIM. O JOGO O jogo/brincadeira é uma atividade que a criança exerce desde pequena e de maneira natural e muitas vezes, nem percebem o quanto elas aprendem. Porém ao ingressar na escola, a pratica do jogar é deixada de lado em pró do método do giz e lousa. A importância do aprender utilizando o recurso de jogo é tão importante que os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) destacam os benefícios de sua utilização: Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções. Propicia a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas o que estimula o planejamento das ações, possibilitam a construção de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural no decorrer da ação sem deixar marcas negativas. (BRASIL, 1998, p. 46). O jogo pelo jogo (onde não possui a intenção de explorar determinado conteúdo) também possui seu valor, uma vez que estimula a criatividade, interação com os demais estudantes; porém o nosso é a utilização do jogo como ferramenta pedagógica onde buscamos sempre ensinar algum conceito matemático. 1

2 Para Kamii e DeVries (1991), um bom jogo no processo educacional deve conter três itens. O jogo deve apresentar uma situação interessante e desafiadora para a criança; Possibilitar que a criança tenha condições de se autoavaliar; e Permitir que a criança tenha condições de jogar ativamente do início ao fim do jogo. De acordo com as pesquisadoras, o jogo deve apresentar um desafio que estimule o estudante a pensar e a se avaliar durante toda a duração do jogo. O jogo também deve ser uma ação voluntária e que proporcione prazer ao ser realizado. Grando (2004) menciona alguns benefícios decorrentes do trabalho com jogos em sala de aula, como: auxilia na (re) significação de conceitos já aprendidos; o aluno aprende a tomar decisões e saber avaliá-las; favorece a interação social e o trabalho em grupo; e desenvolve criatividade, senso crítico, participação e observação. Podemos notar que dessa forma os alunos têm uma participação mais efetiva em sala de aula, criando estratégias, argumentando com os colegas, e assim gradativamente começa a construção de seu próprio conhecimento. A mesma Grando (2004), menciona que a utilização do uso de jogos e sala de aula podem também trazer desvantagens como: o tempo gasto, uma vez que a utilização dos jogos, quando bem elaborada e com o intuito de ensinar, exige mais tempo que as aulas convencionais. os alunos podem também ter a falsa ideia de que todos os conteúdos poderão ser ensinados por meio de jogos e criarem a expectativa de que a cada novo assunto haverá um novo jogo. existe ainda possibilidade da perda do caráter pedagógico, mas o aluno se interessa apenas por jogar e perde o interesse pelo conteúdo. pode também acontecer de algum aluno não querer jogar, e o professor abrigá-lo, perdendo assim a voluntariedade (que é uma das características dos jogos). 2

3 Mesmo mediante a tais desvantagens, acreditamos as vantagens e benefícios na utilização de jogos, podem auxiliar no aprimoramento de determinando conteúdo. Uma aula via jogos quando bem estruturada e preparada, podem minimizar as desvantagens e contribuir para um melhor aprendizado. O Jogo do NIM O NIM é um dos jogos mais antigos que se tem conhecimento e de acordo com Gardner (1998), embora sua origem seja desconhecida, tudo leva a crer que tenha surgido na China. O NIM foi o primeiro jogo de que se tem relatos a ser estudado matematicamente. Objetivo do jogo: jogando alternadamente, será o perdedor o jogador que retirar o último palito. O jogo não permite a retirada de 0 (zero) palitos, isto é, não é permitido ao jogador não realizar uma jogada (pular sua vez de jogar). Ao analisar matematicamente a regra para que seja retirado alternadamente, no mínimo 1 palito e, no máximo, n palitos, será considerado perdedor aquele que retirar o último palito. Para a tal análise, consideraremos: N: número total de palitos dispostos na mesa (dividendo). k: quantidade de blocos de n + 1 palitos (quociente). n: a quantidade máxima de palitos que podem ser retirados. n + 1: quantidade que cada bloco de palitos deve conter com n + 1 < N (divisor). r: quantidade que sobra de palitos (resto), com r < n+1. Temos que: N, k, n e r pertencem ao conjunto dos números naturais e que N k( n 1) r. Segue n + 1 n + 1 r k blocos de n + 1 palitos k (n +1) + r Figura 1: Distribuição dos N palitos do NIM 3

4 De acordo com a Figura 1, montamos k blocos de n + 1. Como o divisor é n + 1, os restos possíveis são: n, n 1, n 2,...,2, 1 e 0. Desta forma, o Algoritmo da Divisão pode ser representado assim: N n + 1 R K Segundo Grando (2004) e Borin (2004) esse Algoritmo da Divisão é chamado de estratégia máxima e partir dele, analisa-se o valor do resto (r) e é escolhe qual a quantidade de palitos necessária para a saída para vencer o jogo (caso seja possível). OFICINAS COM O JOGO DO NIM Em nossa pesquisa, por meio de um pré-teste, diagnosticamos quais alunos dos sexto ano do Ensino Fundamental apresentavam dificuldade com o algoritmo da divisão e os convidamos para participarem de algumas oficinas com o jogo do NIM. As oficinas eram divididas em duas partes: atividades com palitos (total de 7 atividades) e atividades sem os palitos (3 atividades) e foram realizadas em 4 encontros. Nos três primeiros encontros, contamos com 3 grupos de quatro estudantes; e no último encontro, contamos com dois grupos com quatro estudantes. Os alunos jogavam em duplas, com a finalidade de trocarem ideias, argumentarem e interagirem entre si. As atividades possuíam um número crescente de palitos, com o objetivo, de forçar os estudantes em determinado momento a efetuarem os cálculos. Entregamos as regras escrita aos estudantes e sempre achávamos conveniente, fazíamos intervenções ora para o grupo, ora para todos os estudantes de acordo com a necessidade. Dispondo de 17 palitos, podendo retirar 1 ou 2 palitos, será perdedor a dupla que retirar o último palito. A primeira atividade assim como previsto por Grando (2004), os estudantes realizam sua jogada de modo aleatório, preocupando-se apenas, quando faltava apenas uma 4

5 pequena quantidade de palitos a serem retiradas. Depois de algumas jogadas, mesmo que de modo rudimentar, alguns estudantes buscavam estratégias que os levassem a vitória. Nas etapas seguintes, nos ficou bastante claro o quanto o jogo do NIM causou interesse distinto a cada um dos grupos. E isso permaneceu até a última atividade. Os integrantes do grupo 1 estavam sempre focados em vencer as partidas. Às vezes não se apagavam as intervenções coletivas. Os integrantes do grupo 2 buscavam por estratégias que os levassem a vencer desde o início das atividades. Para os integrantes do grupo 3, o jogo do NIM parecia não ser interessante, e quando jogavam, até infligiam as regras do jogo para se beneficiarem. Até a atividade 3, alguns estudantes, usaram a estratégia de trás para frente exatamente como previsto por Borin (2004). Com isso eles foram capazes de agrupar palitos e perceberam quais (com relação ao posicionamento) eram os palitos que ao serem retirados, levaria o jogador a derrota. Alguns estudantes sugeriram algumas estratégias, porém eram parcialmente corretas. Na atividade 4, um integrante do grupo 2 chamado Jonas, conseguiu descrever o algoritmo da multiplicação, mas para isso ainda tinha que fazer o agrupamento dos palitos. Nesta atividade resolvemos, revelar a estratégia máxima aos grupos, e recapitularmos as atividades anteriores. Mesmo explicando a estratégia máxima, alguns alunos continuaram realizando as mesmas estratégias equivocadas de antes. Após novas intervenções, os alunos começaram a se utilizar da estratégia máxima. Percebemos a partir daí, alguns erros referentes ou ao enunciado, ou então a execução do Algoritmo da Divisão. Na atividade 7, a atitude do aluno Jonas, de certo modo nos surpreendeu (positivamente) e nos mostrou o quanto esse estudante estava empenhado em de fato compreender. Segue o diálogo entre o Formador (F) e o aluno Jonas (J): F: É o Ricardo que vai começar o jogo? J: Sim, é ele. 5

6 F: Se ele sair, quem vai ganhar o jogo, segundo a estratégia que vocês desenvolveram? J: O Ricardo mesmo vai ganhar. F: Se sabe que ele vai ganhar, por que você permite que ele saia mesmo sabendo que você vai perder? J: Não tem problema. Para mim, o mais importante é que eu entendi como jogar e agora, vencer é uma consequência. Ao término desta oficina, o estudante Jonas conversa com o formador: J: Agora vou jogar com a minha irmã e vou ganhar todas (as partidas) dela. F: Quantos anos ela tem? J: Sei lá. Mas ela está no colegial. F: Você vai realmente saber ganhar dela? J: Vai ser fácil! É só eu fazer as contas, ver com quantos (palitos), eu tenho que sair e pronto. Ganho tranquilamente. Neste grupo os alunos se empenhavam sempre com o objetivo de compreender como vencer. A vitória de modo aleatório, não era uma possibilidade que agradava ao grupo, tanto que um dos integrantes do grupo nos relatou isso em um diálogo já descrito. As atividades 8 e 9 eram similares as anteriores, porém sem palitos. A quantidade total de palitos e os agrupamentos a serem feitos, também era maiores. Os alunos não apresentaram dificuldade na utilização da estratégia máxima, mas tiveram certa dificuldade em operacionalizar com o Algoritmo da Divisão. Na atividade 9, em que deveriam agrupar os palitos em grupos de 11 unidades, um aluno, utilizou-se de uma notação, um pouco incomum, porém correta, conforme a Figura 2. Figura 2: Representação da estratégia adotada por estudante para resolver a atividade 9 utilizandose da estratégia máxima. 6

7 Na atividade 10, onde o exercício não estava contextualizado. Era apenas para resolves 3 Algoritmo da Divisão. Isso acabou por frustrar alguns estudantes. Um deles chegou a mencionar: Não precisa fazer nada? Só as continhas? Talvez por não a motivação de desenvolverem estratégias, os estudantes se desmotivaram. Chegaram a errar cálculos, que nas atividades anteriores realizaram com certa facilidade. Percebemos erros referentes à estrutura do algoritmo, e também nas demais operações implícitas a divisão. Vale ressaltar que a abordagem das atividades da oficina com o jogo do NIM favoreceu para que os alunos aceitassem melhor o convite para participar de atividades a respeito de divisão com o uso de seu algoritmo. Encontramos essa evidência quando propusemos a última atividade, com o objetivo de descontextualizar o objeto matemático, e um dos alunos retrucou que naquele momento era somente fazer as contas. Pontuamos, ainda, que em um trabalho que pretende abordar um conteúdo matemático com jogos, alguns alunos podem não se envolver de forma satisfatória. Outros alunos se empenharam de tal forma, que o ganhar ou o perder da partida tornou-se uma consequência das estratégias que desenvolviam enquanto jogavam. REFERÊNCIAS BRASIL. Secretária do Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática/Secretaria de Educação Fundamental 5ª a 8ª séries. Brasília: MEC/SEF, CASTELA, C. A. Divisão de números naturais: concepções com alunos de 6ª série f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, CUNHA, M. C. As operações de multiplicação e divisão junto aos alunos de 5ª e 7ª séries f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, GRANDO, R. C. O Jogo e a Matemática no Contexto de sala de aula. Ed Paulus, KAMII, C.; DEVRIES, R. Jogos em grupo na Educação Infantil: implicações da teoria de Piaget. Trad. Marina Célia Carrasqueira. São Paulo: Trajetória Cultural,