PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

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1 PGMEC PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Dissertação de Mestrado SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO DESLOCAMENTO DE ÓLEOS PARAFÍNICOS EM DUTOS CONSIDERANDO EFEITOS TÉRMICOS E NÃO NEWTONIANOS Ricardo Sargentini Julho de 2013 i

2 RICARDO SARGENTINI SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO DESLOCAMENTO DE ÓLEOS PARAFÍNICOS EM DUTOS CONSIDERANDO EFEITOS TÉRMICOS E NÃO NEWTONIANOS Dissertação apresentada ao Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFF como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica. Área de Concentração: Mecânica dos Fluidos Orientador: Professor Roney Leon Thompson, D.Sc Orientador: Professor Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, D.Sc Niterói 2013 ii

3 RICARDO SARGENTINI SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO DESLOCAMENTO DE ÓLEOS PARAFÍNICOS EM DUTOS CONSIDERANDO EFEITOS TÉRMICOS E NÃO NEWTONIANOS Banca Examinadora: Dissertação apresentada ao Programa Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFF como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica. Área de Concentração: Mecânica dos Fluidos Prof. Roney Leon Thompson, D.Sc. (Orientador) PGMEC/UFF Prof. Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, D.Sc. (Orientador) PGMEC/UFF Profª. Maria Laura Martins Costa, D.Sc. PGMEC/UFF PUC-RIO Prof. Luís Fernando Alzuguir Azevedo, Ph.D. iii

4 À minha esposa e filhas. iv

5 Agradecimentos Em primeiro lugar a Deus por tudo e pela sua piedade em minha vida. À minha esposa Bárbara pelo seu apoio incondicional e amor em todos os dias de nosso casamento e pela compreensão nestes anos de estudo, apesar da sobrecarga que isto acarretou. À minha filha Ana Júlia pelos momentos que estive ausente. Eles foram penosos para mim também. À minha filha Ana Carolina que está para chegar. À minha sogra Talita pela ajuda e incentivo. Aos Doutores José Paravidino e Darcília Simões pelo apoio durante meu ingresso na Pós-graduação. Aos meus orientadores Prof. Dr. Roney e Prof. Dr. Luiz Eduardo pela orientação, dedicação, paciência e principalmente pelo conhecimento compartilhado. Aos Professores Drª. Maria Laura e Dr. Luís Fernando pelas propostas de melhorias nesta dissertação. Aos demais professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em Mecânica da UFF. À Gerência da Petrobras por permitir minha participação nesta especialização acadêmica e aos colegas pelo auxílio. v

6 Resumo A formação de cristais de parafina em uma tubulação de petróleo representa um problema que pode ocorrer em diversas situações. Normalmente os campos de exploração localizados em regiões temperadas do planeta, apresentam uma grande incidência devido às baixas temperaturas, entretanto este processo ocorre também em zonas tropicais, onde a composição do óleo, associado à presença de água, leva a formação destes cristais de parafina. Estes cristais modificam o comportamento reológico do fluido, além de aderirem à superfície das tubulações, podendo inclusive a obstruir os oleodutos. Neste trabalho foi desenvolvido um modelo de análise numérica para o estudo do recalque de petróleo parafínico, sendo capaz de simular um escoamento laminar, incompressível e não-isotérmico, considerando as mudanças de seu comportamento de um fluido newtoniano para não-newtoniano devido ao surgimento de cristais parafínicos abaixo da TIAC (temperatura inicial de aparecimento de cristais). O trabalho simulou também a situação do reinício do escoamento devido à obstrução das tubulações de petróleo pelos cristais de parafina. No trabalho utilizamos um modelo de Bingham para representar os escoamentos não-newtonianos. Neste modelo não-isotérmico e incompressível foi implementado que a tensão limite de escoamento e o índice de consistência apresentam dependência da temperatura apenas abaixo da TIAC, sendo que a viscosidade apresenta esta dependência tanto acima quanto abaixo da TIAC. Para as análises foram realizadas 21 simulações, sendo 3 simulações sem o fluido estar escoando, para a obtenção de um campo de temperatura como no caso de uma obstrução, 9 com o escoamento do fluido em regime e 9 com o reinicio do escoamento após a obstrução da tubulação, usando o campo de temperatura das três primeiras simulações. Nestas simulações foram usados os mesmos parâmetros, sendo variadas as pressões na entrada das tubulações e a troca de calor entre o fluido e o meio externo. vi

7 Durante as simulações foi possível observar as mudanças de comportamento do fluido devido às alterações da pressão de entrada em conjunto com as variações da temperatura. Neste trabalho foi possível verificar as mudanças do perfil de velocidade, tanto radialmente, quanto longitudinalmente a tubulação, dificultando a clássica formação de uma região de plug-flow. Além disso, foi verificado que as características necessárias para que ocorra o escoamento dependem não apenas da diferença de pressão ser suficiente para vencer a tensão limite de escoamento, mas também dependem da temperatura local do fluido. Neste estudo foi verificado que a pressão necessária para o reinício do escoamento é muito maior que a pressão para manter o escoamento em regime permanente. Para a análise numérica (CFD - Computational Fluid Dynamics), foi adotado o programa OpenFoam, que é um software elaborado em C++, não comercial, que permite ao usuário a elaboração de novas rotinas e modelos. Palavras-chaves: Óleos parafínicos, viscoplasticidade, dependência da temperatura, volumes finitos. vii

8 Abstract The formation of paraffin crystals in a petroleum pipeline is a problem that can occur in several situations. Usually the operating field located in temperate regions of the world, have a high incidence due to low temperatures, however this process also occurs in tropical areas where oil composition associated with the presence of water leads to the formation of these crystals paraffin. These crystals modify the rheological behavior of the fluid, and adhere to the surface of the pipes, and can even clog the pipeline. In this work was developed a model for numerical analysis for the study of paraffin oil discharge, being able to simulate a laminar flow of incompressible and nonisothermal fluid, considering changes its behavior in a newtonian fluid to nonnewtonian due to the emergence of paraffin crystals below the TIAC or Twat (wax appearance temperature). The work also simulated the situation of the restart of the flow due to clogging of pipes for oil paraffin crystals. At work was used a model the Bingham to represent non-newtonian flows. In this non-isothermal and incompressible model was implemented that the yield stress and consistency index present dependence of the temperature only below the TIAC, and the viscosity dependence thus above as below the TIAC. For the analyzes, 21 simulations were performed, being 3 simulations without flow in order to obtain a temperature field, like in the case of an obstruction flow. The other 9 simulation are to fluid flow in steady state and 9 simulation with the restarte of the flow after occlusion of pipe, using the temperature field of the first three simulations. In these simulations the same parameters were used, with varying pressures in the inlet pipes and heat exchange between the fluid and the external environment. viii

9 During the simulations, it was possible to observe changes in the behavior of the fluid due to the changes of inlet pressure together with temperature variations. In this work, it was possible to change the velocity profile, thus radially and along the piping, interfering in the classical formation of the plug flow region. Furthermore, it was found that the characteristics necessary for the flow to occur depends not only on the pressure difference be sufficient to overcome the yield stress but also dependent on local temperature of the fluid. In this study, it was found that the pressure required to restart the flow is much greater than the pressure to keep the flow in steady state. For the numerical analysis (CFD - Computational Fluid Dynamics), was adopted OpenFoam program, which is a software developed in C + +, non-commercial, which allows the user to develop new routines and models. Keywords: Waxy crude oils, viscoplasticity, temperature dependency, finite volume. ix

10 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Motivação Estado da Arte Objetivos do Trabalho Classificação dos Fluidos Fluidos newtonianos Fluidos não-newtonianos Power-law Material de Bingham Herschel-Bulkley Regularização MODELO MATEMÁTICO Equações Governantes Modelo Constitutivo Solução Analítica para Escoamento Interno em Dutos APROXIMAÇÃO NUMÉRICA Método dos Volumes Finitos no modelo Operador gradiente Operador divergente Operador laplaciano Derivada temporal Esquemas de interpolação SIMULAÇÕES COM UMA MALHA 2D AXISSIMÉTRICA Condições de Contorno e Validação da Malha Simulações de Casos Simulações para escoamento nulo Simulações com escoamento Simulações com reinício do escoamento CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS Conclusões x

11 5.2 Sugestões para Futuros Trabalhos BIBLIOGRAFIA xi

12 SUMÁRIO DE FIGURAS Figura 1.1 Inicio de formação de cristais de parafina: (a) 46 C e (b) 45,5 C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras)... 2 Figura 1.2 Formação de cristais de parafina: (c) 43,5 C e (d) 40 C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras)... 2 Figura 1.3 Formação de cristais de parafina a 23 C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras)... 2 Figura Cristais de parafina que precipitam depois da temperatura ficar abaixo do TIAC, podem aderir à superfície das gotas de água (a) ou cobri-las e estabilizar a emulsão (b). (fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13])... 4 Figura Flocos de parafina sólida em gotas de água e entre elas (c). Água dispersa é aprisionada por uma rede de cristal parafínico (d), o sistema abrange todo o volume e a gelificação está completa. (fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13])... 4 Figura Esquema de um Sistema de Produção com injeção de água do mar (fonte Petrobras)... 5 Figura Comportamento Reológico de um fluido newtoniano Figura Comportamento Reológico de um fluido pseudoplástico e dilatante Figura Comportamento Reológico de um fluido com tensão limite de escoamento Figura Comportamento Reológico de um fluido tixotrópico Figura Modelo Power-law x - Influência do Figura Modelo Power-law x - Influência do Figura Comparação entre modelo de Bingham e Regularização de Papanastasiou Figura Tensões nas faces de um volume de controle infinitesimal Figura Pressão hidrostática nas faces de um volume de controle infinitesimal Figura Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação de um fluido de Bingham Figura 2.4 Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução de um cilindro vazado Figura 2.5 Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação a temperaturas menor que TIAC Figura Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação a temperaturas menor que TIAC Figura Variação da viscosidade cinemática em relação a temperatura e a influência do coeficiente Figura Escoamento plenamente desenvolvido - Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação Figura Volume de Controle Diferencial Figura Duto para o escoamento xii

13 Figura Perfil de velocidades para material de Bingham Figura 3.1- Fluxograma básico do processo de CFD Figura 3.2- Volume discretizado volumes de controle Figura Geometria Axissimétrica usando patch do tipo Wedge Figura Malha axissimétrica Figura Detalhe da Malha axissimétrica Figura Geometria Axissimétrica Figura Comparação entre malhas para L=1m Figura Comparação entre malhas para L=1m Figura Comparação entre malhas para L=1m Figura Tubulação sem escoamento Figura Visualização da distribuição de temperatura Simulação Figura Visualização da distribuição de temperatura Simulação Figura Visualização da distribuição de temperatura Simulação Figura Tubulação com escoamento Figura 4.13 Curvas da viscosidade x taxa de deformação, em função da temperatura Figura Curvas da tensão de cisalhamento x taxa de deformação, em função da temperatura Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Distribuição da velocidade - Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação xiii

14 Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da temperatura Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Tubulação para reinício de escoamento do fluido gelificado Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura 4.58 Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura 4.64 Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Perfil da viscosidade cinemática ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação xiv

15 Figura 4.70 Ampliação de parte das curvas extraídas da Figura a) Região central, b) Região periférica Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Perfil da viscosidade cinemática ao longo da tubulação Simulação Figura Distribuição da velocidade reinício de escoamento Simulação Figura Distribuição da temperatura reinício de escoamento Simulação Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação Figura Ampliação de parte das curvas extraídas da Figura a) Região central, b) Região periférica Simulação Figura Perfil de temperatura ao longo da tubulação Simulação Figura Perfil da viscosidade cinemática ao longo da tubulação Simulação xv

16 SUMÁRIO DE TABELAS Tabela 3.1- Esquemas utilizados de derivada temporal no OpenFoam Tabela Parâmetros Modelagem com malha em 2D Tabela Dimensões das malhas Tabela Malha adotada Tabela Parâmetros Escoamento nulo Tabela Simulações para o fluido não escoando Tabela Parâmetros Simulação 04 com escoamento Tabela 4.7 Valores para simulações com o fluido escoando variando a pressão e o isolamento térmico da tubulação Tabela Parâmetros Simulação 13 para reinício de escoamento do fluido gelificado Tabela Simulações para o reinício de escoamento do fluido gelificado xvi

17 NOMENCLATURA Aceleração Difusividade térmica Calor específico a pressão constante U Vetor velocidade do fluido no OpenFoam u Energia interna v Vetor velocidade P Pressão Tensor das tensões totais Transposta do gradiente de velocidade Tensor simétrico da taxa de deformação Tensor Vorticidade Tensor das tensões de cisalhamento Tensão de cisalhamento Tensão limite de escoamento Tensor Taxa de deformação Taxa de deformação Vetor Gravidade Viscosidade dinâmica Viscosidade cinemática Viscosidade em função da taxa de deformação n Versor normal Vetor perpendicular a área da face f d Vetor do centróide P até o centróide N Variável arbitrária Trabalho das forças viscosas k Índice de consistência K Condutividade térmica xvii

18 Coeficiente de Power-law Fluxo de Calor R Raio da tubulação Raio Raio do Plug-Flow Raio do Plug-Flow calculado analiticamente Raio do Plug-Flow calculado por CFD Massa ρ Massa Específica L Comprimento da Tubulação Co Número de Courant Volume de Controle V Volume V Volume da Célula T Temperatura do Fluido Te Temperatura de entrada do Fluido Ts Temperatura de saída do Fluido Tc Temperatura de campo do Fluido Text Temperatura externa à tubulação TIAC/Twat Temperatura inicial de cristalização Gradiente na direção normal Forças de pressão Forças viscosas Forças de corpo Nu Número de Nusselt Pl Número de Péclet Coeficiente de ajuste para Coeficiente de ajuste para Coeficiente de ajuste para Intervalo de Tempo entre simulações xviii

19 1. Introdução 1.1 Motivação O escoamento de petróleo cru ou não tratado pode ser um processo relativamente fácil, se conhecidos previamente os parâmetros (viscosidade, temperatura de bombeio, vazão, densidade, etc.). Isto deixa de ocorrer em temperaturas abaixo de Twat (wax appearance temperature) ou temperatura inicial de aparecimento de cristais (TIAC), onde começa a ocorrer o surgimento de cristais de parafina. Os óleos parafínicos de petróleo são conhecidos por terem um comportamento reológico muito complexo. Acima da TIAC, estes óleos podem ser considerados como um fluido newtoniano. Quando a temperatura está abaixo do TIAC, sua viscosidade começa a aumentar de forma acentuada, sendo sensível às restrições mecânicas devido a estruturação deste material com a presença de cristais de parafina [7][8]. Em temperaturas abaixo do Twax, devido à precipitação de cristais de parafina (Figuras 1.1, 1.2 e 1.3), estes fluidos passam a apresentar um comportamento reológico não-newtoniano [20]. Deste modo, a maior parte da complexidade deste processo está relacionada com o surgimento destes cristais de parafina que podem iniciar um processo de deposição nas paredes da tubulação, chegando a se agregarem, formando uma estrutura que venha a bloquear a tubulação e evitar o bombeio do produto [19]. 1

20 a) b) Figura 1.1 Inicio de formação de cristais de parafina: (a) 46 C e (b) 45,5 C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras) c) d) Figura 1.2 Formação de cristais de parafina: (c) 43,5 C e (d) 40 C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras) Figura 1.3 Formação de cristais de parafina a 23 C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras) 2

21 Este processo de cristalização é de ocorrência comum em regiões frias, pois o TIAC define o início da cristalização da parafina, sendo que seu valor normalmente está acima da temperatura ambiente. Nos casos em que a temperatura externa de uma tubulação esteja abaixo da TIAC, existe o risco de que um processo de obstrução da tubulação (gelificação) venha a ocorrer. Sabendo disto, a indústria petrolífera utiliza dutos com isolamentos térmicos e bombeio do petróleo com temperaturas acima da ambiente e da TIAC. Na indústria de petróleo nacional, apesar das latitudes dos campos de produção de petróleo estarem dentro de uma região tropical, boa parte dos óleos produzidos apresentam níveis parafínicos elevados, além do fato que a maior porcentagem destes óleos são oriundos de campos offshore onde encontramos temperaturas nas ANM (árvores de natal molhada) em torno dos 4ºC, em profundidades de até 2000 metros abaixo do nível do mar. Deste modo, este fenômeno ocorre com frequência na indústria petrolífera nacional. Apesar das medidas para se evitar a gelificação nos dutos, quando ocorre uma parada de escoamento não programada, ou seja, devido a uma falha na unidade de exportação, o óleo confinado na tubulação irá perder calor para o ambiente, atingindo temperaturas menores que a sua TIAC, podendo bloquear a tubulação em que ele esteja, dependendo do tempo da parada do bombeio e da temperatura externa a tubulação. Desta forma, é necessário que o reinício do escoamento considere este volume de material gelificado, que apresenta uma reologia complexa e que exigirá uma pressão acima da sua pressão de escoamento [19] para que a exportação deste óleo seja restabelecida. A presença de água em emulsão no petróleo, afeta muito na formação de parafina (Figura 1.4 e 1.5). Estudos como o de VISINTIN, R.F.G. et al. [13], demonstram que a presença de água acima de um determinado limite pode aumentar fortemente a formação de parafina mudando as características do fluido. 3

22 a) b) Figura Cristais de parafina que precipitam depois da temperatura ficar abaixo do TIAC, podem aderir à superfície das gotas de água (a) ou cobri-las e estabilizar a emulsão (b). (fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13]) c) d) Figura Flocos de parafina sólida em gotas de água e entre elas (c). Água dispersa é aprisionada por uma rede de cristal parafínico (d), o sistema abrange todo o volume e a gelificação está completa. (fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13]) 4

23 Para se manter a pressão interna dos reservatórios, atualmente a indústria do petróleo utiliza a injeção de água através de poços injetores, que utilizam água tratada e bombeada das plataformas diretamente nos reservatórios (Figura 1.6). Este processo leva a um aumento da concentração de água presente no petróleo, contribuindo desta forma no processo de formação de gel de parafina, aumentando bastante a ocorrência da gelificação nas linhas de exportação de óleo destas unidades de produção. Figura Esquema de um Sistema de Produção com injeção de água do mar (fonte Petrobras) 5

24 No atual cenário mundial, com uma demanda crescente por petróleo, é necessária cada vez mais, a exploração de recursos que antes eram pouco atraentes devido aos custos envolvidos para sua extração e produção. A exploração destas reservas vem deste modo se tornando exequíveis financeira e técnicamente, sendo assim necessário que ocorra o aprimoramento dos modelos utilizadas para a análise destes tipos de escoamento utilizando o petróleo cru. Neste contexto, o reinicio do escoamento do petróleo que sofreu gelificação é um processo que desperta o interesse do setor petrolífero devido ao impacto financeiro associado ao lucro cessante da sua produção e exportação. Quando lembramos que quase toda a produção nacional está localizada em campos offshore, sujeito a este efeito, fica clara a necessidade de estudos para mitigar os problemas devido à ocorrência da formação de cristais de parafina e a gelificação de petróleo em oleodutos. 1.2 Estado da Arte O estudo do escoamento do petróleo vem atraindo interesse da indústria e consequentemente do meio acadêmico já há algum tempo. Problemas como o do reinício do escoamento de petróleo que sofreu gelificação em uma tubulação são de difícil análise, sendo que cada vez mais são publicados trabalhos com modelos para representar este caso. Além do desenvolvimento teórico dos modelos, parte desta evolução ocorre devido ao uso cada vez mais difundido das técnicas de CFD. Isto também tem sido alavancado pelo incessante aumento do poder de processamento que vem ocorrendo nos computadores. 6

25 Um dos trabalhos publicados sobre este assunto foi o artigo de DAVIDSON, M. R. et al. [7] que analisou o reinício do escoamento em uma tubulação de petróleo (Waxy crude oil) com gelificação assumindo um comportamento não-newtoniano com um óleo de grau API baixo. No modelo proposto, o óleo gelificado deveria ser deslocado através do bombeio com um fluido auxiliar com características semelhantes ao fluido bombeado ou usando um fluido newtoniano. Este modelo teórico assumiu que o óleo seguia um comportamento viscoplástico de um material de Bingham. Para esta análise, o óleo gelificado foi dividido em M segmentos de mesmo comprimento. Estes seguimentos foram considerados elementos de comprimento suficientemente pequenos para serem tratados como sendo incompressíveis individualmente, sendo que as suas propriedades eram uniformes por segmento. Entretanto, as propriedades não eram necessariamente iguais para todos os segmentos em um determinado tempo obtendo-se assim um pequeno efeito de compressibilidade em seu modelo. No trabalho de VINAY, G. et al.[8] foi desenvolvido um modelo de simulação numérica de transientes não-isotérmica de um fluido viscoplástico incompressível em um duto. O modelo reológico que foi utilizado é uma extensão do modelo clássico de Bingham, no qual as propriedades do fluido apresentam uma dependência com a temperatura de forma bem simples. Neste modelo, os autores formularam que a dependência com a temperatura ocorria de modo isolado entre as propriedades reológicas, ou seja, apenas simularam casos de escoamentos onde, ou a viscosidade dependia da temperatura, ou a tensão limite de escoamento dependia da temperatura, não representando esta dependência de modo simultâneo. 7

26 Além disso, o modelo adotado para representar a temperatura não é, segundo as palavras do próprio autor, capaz de descrever esta relação de forma realista, como uma equação de Arrhenius, que utilizamos em nosso trabalho. O modelo também não é capaz de simular o reinício do escoamento de um petróleo parafínico como no trabalho que estamos apresentando. Em outro artigo [9], estes autores consideram o reinício do escoamento com um modelo isotérmico para um fluido viscoplástico fracamente compressível em uma geometria de tubulação usando também um modelo de Bingham. O efeito de compressibilidade é levado em conta através da dependência da pressão com a densidade, graças a um coeficiente de compressibilidade isotérmica. Como o tempo de processamento para estes modelos é alto, VINAY, G. et al. [10] elaboraram uma nova modelagem para uma simulação em 1D. Apesar de simplificado, este modelo permitiu avaliar um típico processo de reinício do fluxo. Neste artigo, os autores elaboraram uma simulação numérica unidimensional de transientes isotérmicos de um fluido viscoplástico em um duto. O modelo tentou explicar certas características contra-intuitivas, como o fato de que um oleoduto cheio de fluido gelificado apresente um comportamento compressível devido ao surgimento de pequenos espaços com gases confinados. O efeito da compressibilidade leva a uma redução do tempo necessário para o reinicio do escoamento, se comparado com um fluido incompressível. A principal vantagem deste modelo em 1D em relação ao de 2D foi sua velocidade de computação, pois com o aumento da complexidade dos modelos físicos, aumenta também o tempo computacional necessário. VINAY, G. et al. [11] e [14] apresentaram ainda outros trabalhos abordando o mesmo tema considerando também o efeito tixotrópico que a gelificação do petróleo apresenta. 8

27 Estes trabalhos abordaram o problema dos escoamentos de fluidos viscoplástico fracamente compressíveis, considerando o efeito da tixotropia e usando um novo modelo que, com características intermediárias entre o modelo 2D e 1D dos outros trabalhos, obtiveram soluções numéricas de precisão satisfatória, próximas ao modelo totalmente 2D. Foram apresentados resultados de um escoamento de óleo parafínico em uma tubulação, a fim de estimar a influência dos efeitos combinados da compressibilidade e da tixotropia na capacidade de reinício do escoamento. Este trabalho demonstrou que existem situações em que, embora a queda de pressão esteja abaixo do valor teórico mínimo, o reinício do fluxo ocorre graças aos efeitos combinados de tixotropia e compressibilidade. Trabalhos sobre o processo de gelificação do óleo também foram elaborados, contribuindo para o entendimento do fenômeno, podemos citar o artigo de VISINTIN, R.F.G. et al.[13]. Este estudo avaliou o processo de gelificação dos óleos parafínicos, mostrando que a presença de água acima de um valor limite pode aumentar a formação de gel, mudando a temperatura do ponto de fluidez e as tensões de escoamento. O artigo destaca que a ocorrência de fases sólidas no petróleo parafínico é uma questão operacional importante para a indústria do petróleo, em vista do fato de que a associação de cristais em dutos pode levar a graves problemas ao escoamento, sendo destacado que a presença de água no petróleo é bastante comum, sendo seu impacto importante na gelificação nos oleodutos. Os resultados observam o impacto da água emulsionada no ponto de fluidez e na reologia devido à formação do gel, sendo que os autores recomendam a execução de testes sobre este impacto para o desenvolvimento dos campos produtores, especialmente para aqueles offshore. 9

28 Outros trabalhos como o de OLIVEIRA, G. M. et al.[15], descrevem um modelo matemático unidimensional usado para simular o reinício de um escoamento compressível, axial, isotérmico e transiente de um fluido de Bingham entre tubos circulares e concêntricos. O modelo além de se basear em equações como a da quantidade de movimento e da continuidade, relaciona em sua equação de estado, a pressão com a densidade, sendo o efeito viscoso modelado empregando uma abordagem que considera o fator de atrito. As equações governantes são discretizadas usando o método dos volumes finitos com um esquema upwind de primeira ordem. 1.3 Objetivos do Trabalho Os trabalhos apresentados até então, abordaram diversos aspectos do escoamento de óleos dito parafínicos. A proposta deste trabalho é simular escoamentos de óleos parafínicos, considerando o processo de gelificação e o reinício deste escoamento, utilizando para isto a fluidodinâmica computacional através do programa livre OpenFoam. Neste trabalho, iremos modelar um escoamento laminar que apresente um comportamento viscoplástico e não-isotérmico de um óleo sujeito a gelificação e considerando o reinício do seu escoamento após uma parada que permita que a temperatura do fluido entre em equilíbrio com a temperatura externa à tubulação. Este modelo, diferente dos demais já apresentados, é capaz de simular um fluido, neste caso um óleo parafínico, cujos parâmetros reológicos dependem da temperatura. 10

29 Neste modelo simulamos o comportamento newtoniano do fluido em temperaturas acima da TIAC, bem como seu comportamento não-newtoniano abaixo desta temperatura. O modelo possibilita ainda a análise deste problema para escoamento em dutos de seção transversal de qualquer formato. No caso, iremos utilizar apenas escoamentos em seções circulares. Além disso, usualmente vemos trabalhos com o escoamento utilizando modelos de um fluido viscoplástico de Bingham, sendo que no modelo deste trabalho, podemos simular um fluido que se comporte como o modelo de Herschel- Bulkley e consequentemente também simular um caso mais simplificado representado por um plástico de Bingham. Para estas simulações não-isotérmicas e incompressíveis, o modelo utilizará a dependência da tensão limite de escoamento com a temperatura. A viscosidade e o índice de consistência também serão ajustados pelas variações de temperatura do fluido, o que irá modificar o aspecto do perfil de velocidade neste tipo de escoamento. Até então, nos demais trabalhos para o escoamento de fluidos parafínicos, as propriedades como a viscosidade, tensão limite de escoamento e o índice de consistência não apresentavam uma interdependência com a temperatura, bem como, esta dependência não era considerada nas simulações com o reinicio do escoamento de um fluido gelificado. 1.4 Classificação dos Fluidos A tarefa de se classificar um fluido muitas vezes pode ser árdua devido à grande variedade de características envolvidas. Basicamente existem algumas classificações que auxiliam na organização e separação dos fluidos de acordo com suas propriedades. 11

30 No nosso caso, a classificação que nos interessa diz respeito à reologia dos fluidos, sendo dividida em dois grupos principais conhecidos como fluidos newtonianos e fluidos não-newtonianos Fluidos newtonianos Podemos definir o fluido newtoniano como sendo aquele que durante um escoamento, apresente uma relação linear entre sua tensão de cisalhamento e a sua taxa de deformação. Além desta proporcionalidade entre a taxa de deformação e a tensão de cisalhamento, estes fluidos não apresentam qualquer tipo de memória devido a sua deformação, não tendo comportamento elástico e sem dependência de suas propriedades em relação ao tempo. Abaixo segue a Figura 1.7 que representa o comportamento destes fluidos. Figura Comportamento Reológico de um fluido newtoniano 12

31 Em escoamento de fluidos newtonianos, o tensor das tensões é proporcional ao tensor da taxa de deformação de acordo com a equação 1.1. Deste modo, ele apresenta um coeficiente de proporcionalidade que é conhecido como viscosidade (, sendo constante para uma mesma temperatura de escoamento. (1.1) A maioria dos fluidos comuns de composição simples como água, ar, gasolina apresentam esta característica Fluidos não-newtonianos Simplificadamente, podemos definir um fluido não-newtoniano como sendo todos os fluidos que não se comportam como um fluido newtoniano. Uma característica que notadamente representa alguns fluidos como sendo nãonewtoniano é a não linearidade da taxa de deformação, ou seja, sua viscosidade não é constante, variando de acordo com a taxa de deformação. Dependendo da maneira pela qual a viscosidade varia com a taxa de deformação, os fluidos não-newtonianos podem ser classificados como pseudoplásticos (shear thinning) ou dilatantes (shear thickening). Os pseudoplásticos são aqueles cuja viscosidade do fluido diminui conforme a taxa de deformação aumenta, já os dilatantes são aqueles onde a viscosidade do fluido cresce com o aumento da taxa de deformação (Figura 1.8). 13

32 Figura Comportamento Reológico de um fluido pseudoplástico e dilatante Os fluidos viscoplásticos apresentam uma tensão limite de escoamento. Nestes fluidos, para que o mesmo sofra um escoamento, se faz necessário que o fluido seja sujeito a uma tensão inicial superior a sua tensão limite de escoamento ou tensão de cedência. Na Figura 1.9 podemos observar um gráfico que representa estas características. No gráfico são representados dois modelos conhecidos como Bingham e Herschel-Bulkley que serão melhor apresentados, mais adiante. 14

33 Figura Comportamento Reológico de um fluido com tensão limite de escoamento Existem ainda os fluidos que possuem um comportamento elástico, fazendo parte do grupo dos viscoelásticos. Estes fluidos se comportam de modo intermediário entre um fluido newtoniano, e um sólido hookeano. Outra vertente são os fluidos cuja viscosidade tem dependência temporal. No caso, podemos dividir em dois tipos, um conhecido como tixotrópico (Figura 1.10), cuja viscosidade reduz com o tempo e um fluido que apresente um comportamento oposto a este, onde sua viscosidade aumente com o tempo sendo chamado de reopético. 15

34 Na Figura 1.10, podemos ver que o fluido requer um tempo para se ajustar a nova condição de cisalhamento que lhe foi imposta. No caso de um aumento na intensidade da tensão de cisalhamento, a taxa de cisalhamento passa por uma fase intermediária onde aumenta sua intensidade. Isto se deve a uma reestruturação interna do fluido que leva a uma redução gradual da sua viscosidade (break-down) ou aumento (build-up). Figura Comportamento Reológico de um fluido tixotrópico Existem diversos modelos que são propostos para representar estas variações da reologia dos fluidos não-newtoniano. A seguir serão apresentados alguns modelos de fluidos não-newtonianos de interesse neste estudo: 16

35 Power-law Para representar um fluido que apresente um comportamento dilatante ou pseudoplástico, foi proposto um modelo conhecido como Power-law. Este modelo parte do princípio que a viscosidade do fluido é função da sua taxa de cisalhamento -. Deste modo, a viscosidade é representada de acordo com a equação abaixo, sendo ele um modelo de 2 parâmetros. (1.2) Os termos e são conhecidos, respectivamente, como índice de consistência e coeficiente de Power-law ou coeficiente de potência, sendo este último um adimensional. A equação que define a relação da taxa de deformação com a tensão de cisalhamento é representada pela equação abaixo. (1.3) O coeficiente de Power-law é responsável pela representação do tipo de escoamento que se deseja modelar. Para o caso de um escoamento de um fluido do tipo pseudoplásticos ou shear thinning, o assumirá um valor menor que 1. No caso dos fluidos dilatante ou shear thickening o assumirá um valor maior que 1. Já para 1 ele representa um fluido newtoniano. Os gráficos das Figuras 1.11 e 1.12 demonstram esta variação para um fluido hipotético. 17

36 τ para n<1 τ para n=1 τ para n> Figura Modelo Power-law x - Influência do η η para n<1 η para n=1 η para n> Figura Modelo Power-law x - Influência do 18

37 Material de Bingham Este modelo foi idealizado em 1922 por Bingham, para representar fluidos viscoplásticos com tensão limite de escoamento. Deste modo, o fluido representado por este modelo necessita estar sujeito a uma tensão inicial superior a uma tensão limite de escoamento ou tensão de cedência, pois caso contrário, não ocorrerá o escoamento. Deste modo, temos abaixo as duas equações que representam este tipo de comportamento. (1.4) 0 (1.5) Quando, o fluido não atingiu a tensão de cedência, seu comportamento pode ser considerado similar a um sólido. Devido à ausência de escoamento podemos, neste caso, considerar como sua viscosidade tendendo a um valor muito alto ou mesmo infinito. Após o início do escoamento, o fluido apresenta um comportamento similar a um fluido newtoniano Herschel-Bulkley O modelo de Herschel-Bulkley surgiu posteriormente ao de Bingham em 1926, permitindo que sejam representados fluidos que possuem tensão limite de escoamento, mas que também tenham um comportamento pseudoplástico ou dilatante. O modelo é representado pelas equações a seguir. 19

38 (1.6) 0 (1.5) Quando for igual a 1, o modelo será idêntico ao de Bingham. Para o caso de um escoamento de um fluido do tipo pseudoplásticos, o será menor que 1. No caso dos fluidos dilatante o será maior que Regularização Em 1987, surgiu um modelo proposto por Papanastasiou, que introduziu uma regularização para o modelo clássico de Bingham que considera uma tensão limite de escoamento. 1 (1.7) Para o caso do modelo de Bingham, a sua equação é dividida em duas partes, uma para a tensão de cisalhamento menor que a tensão limite de escoamento e outra para uma tensão de cisalhamento acima do limite. Papanastasiou formulou uma única equação que tem como objetivo se aproximar da curva original de Bingham. A vantagem deste modelo esta na possibilidade de se executar simulações em CFD para este escoamento, o que era dificultado pelo modelo anterior. Na Figura 1.13, podemos ver um gráfico que demonstra a importância do parâmetro, sendo que a partir do valor de 1000, a equação de Papanastasiou apresenta uma boa aproximação em relação ao modelo de Bingham. Quando ele representa exatamente o modelo de Bingham para apresentar uma descontinuidade. e, sem 20

39 Bingham m=1 m=10 m=100 m= Figura Comparação entre modelo de Bingham e Regularização de Papanastasiou Da mesma forma que modelo de Bingham pode ser representado pela regularização de Papanastasiou, o modelo de Herschel-Bulkley também se beneficia deste recurso, sendo observada a mesma relação para quando. A equação regularizada de Herschel-Bulkley é representada na equação escrita abaixo: 1 (1.8) 21

40 2. Modelo Matemático 2.1 Equações Governantes Para a análise de um escoamento isotérmico de um fluido, algumas leis fundamentais se fazem necessárias. Podemos destacar as leis de conservação de massa, quantidade de movimento, bem como das equações constitutivas que descrevem a relação entre a tensão e a deformação para um fluido. A conservação de massa pode ser descrita pela equação de continuidade: 0 (2.1) Sendo que para um volume de controle infinitesimal (d ). =0 (2.2) 22

41 . 0 (2.3) Onde é a variação da massa específica do fluido em relação ao tempo e. é o divergente do fluxo mássico. Sendo regime permanente:. 0 (2.4) No caso para fluido incompressível teremos:. 0 (2.5) Considerando o balanço das forças em um volume infinitesimal: (2.6) 23

42 de corpo. Sendo que são as forças de pressão, as forças viscosas e as forças A equação da conservação da quantidade de movimento linear pode ser representada desta forma: P. (2.7) Sendo que é a derivada material do vetor velocidade, ρ a massa específica do fluido, a aceleração da gravidade, P o gradiente de pressão e. é o divergente do campo tensorial. No caso, a tensão total no fluido é dada por: = -P (2.8) Onde P é a pressão mecânica, é a identidade da parte esférica e é a parte deviatórica da tensão ou tensão de desvio que surge para o fluido em movimento (Figura 2.1). No caso do fluido em repouso, a única tensão sobre o elemento do fluido é a pressão hidrostática (Figura 2.2) (ÇENGEL, Y.A. et al.[17]). 24

43 Figura Tensões nas faces de um volume de controle infinitesimal Figura Pressão hidrostática nas faces de um volume de controle infinitesimal 25

44 Sendo a pressão mecânica: (2.9) Portanto, em coordenadas cartesianas retangulares: (2.10) 0 0 teremos: Seja o gradiente do vetor velocidade do fluido, em coordenadas cartesianas, (2.11) Sendo: (2.12) 26

45 Onde: = (2.13) Sendo a transposta do gradiente das velocidades, podemos escrever: (2.14) Adotamos a parte simétrica com sendo e a assimétrica com sendo : 1 2 (2.15) (2.16) O termo é conhecido como tensor vorticidade. Sendo: (2.17) 27

46 (2.18) Em um fluido newtoniano temos que: 2μ (2.19) Sendo adotado: 2 (2.20) Onde é o tensor taxa de deformação: μ (2.21) A intensidade deste tensor é representada por: (2.22) 28

47 Para um fluido newtoniano generalizado temos que: 2 (2.23) Onde a viscosidade é função da taxa de deformação. 2.2 Modelo Constitutivo Para esta análise, iremos utilizar o modelo de um fluido de Bingham, sendo este um fluido não-newtoniano, viscoplástico que apresenta uma tensão limite de escoamento e uma dependência linear da tensão de cisalhamento e da taxa de deformação (Figura 2.3). No caso, o modelo será capaz de suportar uma análise usando também Herschel-Bulkley, como será falado mais adiante. Figura Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação de um fluido de Bingham 29

48 Sendo um fluido incompressível:. 0 (2.5) Para um material de Bingham teremos: (1.4) 0 (1.5) Para este estudo foi utilizado o modelo de Bingham, sendo acrescentado o efeito da temperatura. Na equação implementada, a utilização de um modelo de Herschel- Bulkley é facilmente obtido através da alteração do coeficiente de potência. Considerando um cilindro, teremos o gradiente de temperatura representado na direção radial onde a condutibilidade térmica será chamada de e a área externa do cilindro de (Figura 2.4). 2 (2.24) 2 (2.25) 30

49 (2.26) Figura 2.4 Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução de um cilindro vazado Segundo a forma diferencial da lei de Fourier de condução térmica, o fluxo de calor pode ser representado como o produto da condutância térmica pelo gradiente de temperatura. (2.27) 31

50 Em relação ao efeito das trocas de calor, podemos considerar a equação de Fourier para um fluxo de calor difusivo. Onde é a difusividade térmica e é o calor específico à pressão constante. (2.28) Dada a equação da conservação de energia térmica, onde representa o trabalho das forças viscosas e u a energia interna... (2.29) Considerando u para a equação de estado, e usando a equação 2.3 podemos escrever [21]:. (2.30) Usando os resultados da equação 2.29 e 2.30 temos:. (2.31) 32

51 Admitindo que o aumento da temperatura devido ao trabalho das forças viscosas seja desprezível, utilizando a lei de Fourier e supondo que a difusividade térmica é uniforme e o fluido sendo incompressível:. (2.32) Além do acréscimo da equação da dependência da temperatura em relação ao tempo e a difusividade do fluido, foi considerado o efeito da variação de temperatura na tensão de cisalhamento do fluido e no seu índice de consistência, bem como seu efeito em relação à dependência da sua viscosidade em relação à temperatura. Para este efeito foi considerada que a tensão limite de escoamento será ajustada com um coeficiente que será responsável por este grau de dependência da tensão limite de escoamento em relação à temperatura. No modelo utilizado, a equação 2.33 sofrerá esta dependência tendo com referência a temperatura TIAC, sendo que, abaixo desta temperatura, o fluido apresentará uma variação da sua tensão limite de escoamento, tendo assim um comportamento não-newtoniano. A equação 2.33 e 2.34 foram elaboradas a partir de uma equação de Arrhenius, para tentar representar o efeito não-newtoniano destes fluidos. Acima da TIAC, o fluido terá um comportamento newtoniano, devido à lógica implementada no programa que desconsiderará os termos negativos, retornando um valor igual à zero. 1 (2.33) 33

52 O gráfico abaixo apresenta a representação da dependência da tensão limite de escoamento em relação à temperatura representando a fase não-newtoniana do fluido e a influência do coeficiente nesta variação (Figura 2.5) = 5000 = 3000 = 1000 = ( Figura 2.5 Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação a temperaturas menor que TIAC No caso do índice de consistência, foi adotada uma dependência da sua viscosidade em relação à temperatura similar ao caso da tensão limite de escoamento, sendo feito seu ajuste através do coeficiente, tendo como referência os valores para a TIAC. A equação foi elaborada a partir de uma equação de Arrhenius para representar apenas os valores abaixo da TIAC, fluido não-newtonianio. Os valores negativos da equação são desconsiderados na lógica implantada no modelo, retornando um valor igual à zero. 34

53 1 (2.34) No gráfico abaixo, a representação do índice de consistência em relação à temperatura na fase não-newtoniana do fluido e a influência do coeficiente nesta variação (Figura 2.6) k = 5000 k = 3000 k = 1000 k = ( Figura Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação a temperaturas menor que TIAC A dependência da viscosidade em relação à temperatura foi representada por uma equação similar à da tensão limite de escoamento e do índice de consistência. 35

54 A equação 2.35 é do tipo de Arrhenius, onde sua constante é representada por, sendo a viscosidade de referência em uma determinada temperatura (. A viscosidade é a viscosidade do fluido sob a influência da temperatura, tanto acima quanto abaixo da TIAC, sendo neste caso, (2.35) No gráfico da Figura 2.7 mostra-se a representação a variação da viscosidade em relação à temperatura do fluido e da sua constante = 5000 = 2845 = 1000 = ( Figura Variação da viscosidade cinemática em relação a temperatura e a influência do coeficiente 36

55 No modelo foi implementado a equação 2.36 que permite a obtenção da viscosidade do fluido considerando-se a influência da temperatura através dos valores obtidos nas equações 2.33, 2.34 e Onde representa multiplicado por. (2.36) 2.3 Solução Analítica para Escoamento Interno em Dutos No escoamento de um fluido em um duto, a tensão gerada depende da distância do fluido em relação à parede do duto. No caso, as perdas de carga deste escoamento serão função do atrito deste fluido com a parede da tubulação. A viscosidade do fluido é representada como sendo proporcional à tensão de cisalhamento pela lei de Newton da viscosidade (FOX, R.W. et al.[16]). (2.37) Na equação acima, é a tensão de cisalhamento gerada devido ao escoamento do fluido, onde é a componente longitudinal da velocidade de escoamento e é a coordenada transversal ao mesmo. 37

56 Na Figura 2.8 podemos observar o efeito da equação, onde próximo à parede do duto ocorrem grandes variações da taxa de deformação e consequentemente da velocidade local do escoamento. Na região de contato com a parede do duto, temos a condição de não-deslizamento, onde a velocidade do fluido é zero. Neste escoamento plenamente desenvolvido, a variação da velocidade é representada por uma parábola. Figura Escoamento plenamente desenvolvido - Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação Para um material de Bingham: (2.38) 38

57 Considerando um volume de controle em um espaço anular podemos considerar as forças normais e cisalhantes como segue (Figura 2.9): Figura Volume de Controle Diferencial Executando o somatório das forças e considerando o equilíbrio do volume teremos: (2.39) Simplificando, dividindo por 2: (2.40) 39

58 (2.41) (2.42) Considerando o fluido como sendo um material de Bingham: (2.38) (2.43) Considerando o escoamento completamente desenvolvido admitimos que: (2.44) Figura Duto para o escoamento 40

59 (2.45) (2.46) Hipótese : Considerando a evolução do perfil de velocidade até a parede do duto temos: (2.47) A região onde a velocidade não sofre variação em relação ao raio do duto é chamada de Plug-flow: 0 para (Plug-flow): Figura Perfil de velocidades para material de Bingham 41

60 Para : 0 (2.48) (2.49) Resolvendo a equação: (2.50) (2.51) Condição de não deslizamento na parede do duto U(R)=0. Temos: (2.52) (2.53) Para : (2.54) Estas deduções serviram para a obtenção das equações 2.49 e 2.54 que serão usadas para a validação da malha que será utilizada no modelo em volumes finitos. O raio do plug-flow e a velocidade máxima em um escoamento isotérmico de um material de Bingham servirão de referência para o refinamento da malha que será adotada. 42

61 3. Aproximação Numérica No que envolve a dinâmica dos escoamentos, seja de fluidos newtonianos ou não-newtonianos, as técnicas que abrangem a fluidodinâmica computacional, ou simplesmente CFD (Computational Fluid Dynamics), se apresentam como uma importante ferramenta facilitadora de sua análise. A partir das premissas básicas de análise de CFD, o presente trabalho tem como objetivo simular escoamentos, com o auxílio da fluidodinâmica computacional, utilizando o programa de uso não-comercial OpenFoam. A Figura 3.1 representa um fluxograma simplificado desse processo. Geração da geometria Confecção da malha Préprocessamento Pósprocessamento Solução Interface visual Figura 3.1- Fluxograma básico do processo de CFD No caso, este estudo será focado no escoamento de petróleo em regime laminar e incompressível, podendo apresentar comportamento tanto de um fluido newtoniano, quanto de um fluido não-newtoniano, considerando o efeito de gelificação deste fluido e as trocas térmicas com o meio externo. 43

62 3.1 Método dos Volumes Finitos no modelo O método de volumes finitos consiste em se obter uma aproximação numérica a partir de uma equação diferencial, através da integração de um volume de controle. Este método utiliza a discretização de um volume a ser estudado em vários volumes menores de controle, resultando assim na geração de uma malha composta por vários elementos. O seu desenvolvimento está intrinsecamente ligado ao conceito de fluxo entre regiões, ou volumes adjacentes, onde o fluxo de uma grandeza f é a quantidade dessa grandeza que atravessa uma fronteira com área A. A quantidade líquida de f que atravessa um volume de controle, por unidade de tempo é calculada pela integração, sobre essas fronteiras, da diferença entre os fluxos que entram e os que saem do volume de controle, o que é conseguido de forma mais geral pela integração das equações diferenciais. A aplicação da técnica de volumes finitos permite escrever equações de diferenças que exprimem as relações de conservação de massa e energia. A interpretação física direta resultante da aplicação do método de volumes finitos, bem como, a possibilidade de aplicá-lo diretamente sobre malhas com espaçamentos não uniformes são duas de suas vantagens. O domínio é subdividido em um número finito de volumes de controle, adjacentes entre si, formando uma partição, onde as equações de conservação são aplicadas, sendo este conjunto conhecido por malha. Cada variável é armazenada no centróide do volume de controle, sendo os valores das variáveis determinados por métodos de interpolação nas faces dos volumes. O método de volumes finitos admite um grande número de tipos de malhas permitindo a análise de uma grande diversidade de formas complexas, sendo que não pode haver espaços vagos entre os volumes de controle. 44

63 Para o uso em equações diferenciais parciais, a discretização dos termos matemáticos pode ser realizada de diversas formas, no caso, serão apresentados os termos de acordo com a sua utilização pelo programa OpenFoam (JASAK, H.[5]) que se aplicam neste modelo. Na Figura 3.2 podemos ver uma representação típica resultante da discretização do domínio onde o ponto P representa o centróide da célula de interesse, o ponto N representa o centróide da célula vizinha. Nesta representação, podemos ver o vetor d que une os dois centróides, que no caso, difere do vetor Sf que é perpendicular à face de contato das células. f Sf P d N Figura 3.2- Volume discretizado volumes de controle O ponto P é a localização do centróide na célula, sendo por definição: (3.1) Sendo o volume da célula referente à P. O centro das faces das células pode ser definido de modo similar à regra do centróide. 45

64 0 (3.2) Onde o vetor da face é definido como d=, sendo o vetor da face com magnitude igual a área da face. (3.3) Operador gradiente O operador gradiente é um termo explícito que pode ser representado de algumas formas em volumes finitos, de acordo com a necessidade do usuário. - Integração Gaussiana: Este termo segue uma discretização usando o método padrão de integração Gaussiana no volume de controle. (3.4) Onde é uma váriavel qualquer e o sub-índice corresponde à face da célula, sendo esta forma usada no modelo. 46

65 - Método dos mínimos quadrados: Considerando a Figura 3.2, o valor no ponto P pode ser extrapolado para seu vizinho N usando o gradiente no ponto P. O valor extrapolado em N pode ser comparado com o valor atual de N, sendo que esta diferença é o erro da aproximação. Quando utilizamos a soma dos erros quadrados de todos os pontos vizinhos de P, este terá uma boa aproximação. Esta discretização é feita calculando-se o valor de um tensor G em todos os pontos P, pela soma de seus vizinhos N. (3.5) Onde a função peso será: (3.6) O gradiente será: d( (3.7) - Método gradiente normal à superfície; Tem-se que pode ser avaliado nas células usando o seguinte esquema: (3.8) 47

66 3.1.2 Operador divergente O operador divergente é um termo explícito. Sua integração no volume de controle é feita como indicado abaixo:. V.. (3.9) O termo convectivo é resolvido implicitamente como segue.. V.. (3.10) Operador laplaciano O operador laplaciano é a integração no volume de controle e é feita como indicado abaixo:. Γ V. Γ Γ. (3.11) Quando consideramos que o comprimento d entre o centróide P e o centróide N é ortogonal ao plano da face em comum destas células, ou seja paralelo a, temos:. (3.12) 48

67 3.1.4 Derivada temporal No caso de uma derivada temporal de primeira ordem, tem sua integração no volume representada como segue: V (3.13) Sendo discretizada no tempo considerando os novos valores como sendo para o passo de tempo que esta sendo resolvido. No caso o passo anterior seria e o seu antecessor e assim por diante. Para primeira ordem teremos: (3.14) V V (3.15) Para segunda ordem, usando dois passos de tempo anteriores teremos: (3.16) 49

68 V V (3.17) tabela abaixo: Alguns esquemas podem ainda ser utilizados no OpenFoam de acordo com a Tabela 3.1- Esquemas utilizados de derivada temporal no OpenFoam Esquema Euler CrankNicholson Backward SteadyState Descrição Primeira ordem, restrito, implícito Segunda ordem, restrito, implícito Segunda ordem, implícito Não resolve a derivada temporal No caso foi utilizado o esquema de CrankNicholson para as derivadas temporais Esquemas de interpolação Em análises por volumes finitos, os esquemas de interpolação, assim como outras considerações, são importantes e influenciam na resolução dos problemas. No OpenFoam existem alguns esquemas de interpolação já pré-definidos sendo que citaremos os principais. 50

69 Diferenças Centradas (CD) - Este esquema é de segunda ordem, sendo que dependendo da condição de escoamento pode ocorrer o surgimento de oscilações espúrias na solução (sistema não limitado). 1 (3.18) Sendo: (3.19) Onde é a distância entre e o centro da célula vizinha N e é a distância entre os centros das células N e P. Upwind (UD) Este esquema é dito limitado, ou seja, não produz oscilações, sendo porém de primeira ordem de precisão. Dependendo da direção do fluxo, o valor da variável é determinado na face ( ). 0 0 (3.20) Diferenças Mistas (BD) Esquema de alta ordem que pondera um valor entre o esquema Diferenças Centrais e Upwind. 51

70 4. Simulações com uma malha 2D axissimétrica Neste estudo foi adotado a utilização de uma malha em 2D para representar o escoamento do fluido, sendo elaborada uma malha axissimétrica, o que reduz significativamente o tempo de processamento e permite assim uma maior quantidade de simulações por caso com uma boa precisão. Esta malha em 2D, representa uma seção com um ângulo inferior a 5 utilizando um patch do tipo Wedge que considera a simetria desta seção. Este tipo malha simétrica apresenta boa precisão para ângulos inferiores a 5, sendo apenas necessário um volume ou bloco no sentido transversal. No sentido radial e longitudinal é utilizado um número maior de volumes, sendo feito um refinamento até a obtenção de uma precisão aceitável. Para a confecção desta malha foi utilizado o gerador de malhas (blockmesh) do OpenFoam (Figura 4.1). Figura Geometria Axissimétrica usando patch do tipo Wedge 52

71 A malha axissimétrica seguiu as medidas para representar uma tubulação onde o fluido irá escoar, sendo considerado o comprimento de 1m, com 0,1m de raio, com um ângulo da cunha inferior a 5º (Figura 4.2 e 4.3). Figura Malha axissimétrica Figura Detalhe da Malha axissimétrica 4.1 Condições de Contorno e Validação da Malha Para a validação da malha, foram realizadas diversas simulações, onde consideramos um plástico de Bingham, sendo adotados os parâmetros da Tabela

72 Tabela Parâmetros Modelagem com malha em 2D Descrição Sigla Unidades Valor Velocidade entrada Ue 0 Velocidade saída Velocidade na parede do cilindro Us Up 0 Pressão entrada Pe 279 Pressão saída Ps 0 Temperatura entrada Te K 290 Temperatura saída Ts K 0 Temperatura na parede do cilindro Tp K 290 Difusividade Tensão limite de escoamento Massa específica Viscosidade cinemática Índice de consistência ρ k Coeficiente de Power-law n Adimensional 1 Raio da tubulação R m 0,05 Comprimento da Tubulação L m 1 54

73 A malha axissimétrica adotada inicialmente foi de 10x1x25 divisões (Malha 1), sendo aumentado o número de divisões dos elementos de forma proporcional até que o efeito deste refino não proporcionasse uma redução significativa do erro obtido, garantindo uma convergência aceitável. No caso, utilizamos como referência o modelo de Bingham e comparamos os valores obtidos da velocidade e do raio na região do Plug-flow, considerando o momento em que os resultados passaram a tender a um valor constante, quando o escoamento atingiu o regime permanente. Na tabela abaixo estão os valores adotados das malhas, sendo sempre mantida a relação entre suas dimensões. Tabela Dimensões das malhas Dimensões do modelo (mm) X Y Z (base) Divisões x y z Total de células x z Δ Δ Malha , ,125 Malha , ,5 20 0,125 Malha , ,66 13,33 0,125 Malha , , ,125 Malha , ,83 6,66 0,125 Malha , ,63 5 0,125 Malha , ,42 3,33 0,125 55

74 Na Figura 4.5 foram levantados os perfis de velocidade para cada uma das malhas adotadas. Nesta avaliação foram usadas 7 malhas, cujas quantidade de divisões foram aumentadas proporcionalmente, exceto em uma dimensão devido ao modelo ser bidimensional (Figura 4.4). Figura Geometria Axissimétrica U M10x1x25 M20x1x50 M30x1x75 M40x1x100 M60x1x150 M80x1x200 M120x1x r Figura Comparação entre malhas para L=1m - 56

75 Considerando a velocidade máxima, obtida na região do Plug-flow deste escoamento, podemos levantar o gráfico destes valores em relação ao nº de elementos gerados para cada uma das malhas. No caso, a curva gerada tende a um limite de uma assíntota horizontal. Como se trata de um escoamento laminar em um trecho de tubulação reta, podemos esperar menores erros devido à ortogonalidade e ao uso de elementos hexaédricos. A partir de elementos, podemos dizer que em relação à velocidade, o erro associado ao tamanho das malhas não é mais significativo, apresentando uma diferença do valor gerado pelas malhas 6 e 7 da ordem de 0,44%, o que ficou abaixo da meta adotada de 1%. Figura Comparação entre malhas para L=1m - 57

76 Considerando o raio de formação do Plug-flow, podemos também levantar um gráfico destes valores em relação ao número de elementos gerados para cada uma das malhas. Assim como no caso anterior, a curva gerada tende a um limite de uma assíntota horizontal. Na figura abaixo, é possível notar que acima de 4000 elementos, a curva dos valores de não apresenta uma variação significativa. Figura Comparação entre malhas para L=1m

77 Deste modo, concluímos que a melhor opção é que seja utilizado nas simulações, o modelo da malha 06 de 80x1x200 que apresentou os menores erros associados, além de possuir uma malha com menor número de elementos o que possibilita uma melhor velocidade de processamento, se comparado com malhas mais refinadas. Para as simulações iremos adotar um número de Courant abaixo de 1.O número de Courant relaciona as dimensões espaciais e temporais da simulação, sendo representado pela equação a seguir: (4.1) Para as condições de contorno serão considerados mais dois adimensionais. O primeiro que será equivalente ao número de Nusselt (Equação 4.2). Onde h é o coeficiente de transferência térmica e k a condutividade térmica. (4.2) O outro adimensional será equivalente ao número de Peclet (Equação 4.3). (4.3) 59

78 Onde é uma velocidade característica relacionada com a queda de pressão ao longo do duto. (Equação 4.4). (4.4) 4.2 Simulações de Casos Utilizando a malha axissimétrica definida no item anterior (Tabela 4.3), iremos simular situações distintas de escoamento de um fluido não-newtoniano, com tensão limite de escoamento. Tabela Malha adotada Dimensões do modelo (mm) X Y Z (base) Divisões x y z Total de células x z Δ Δ Malha , ,63 5 0,125 60

79 4.2.1 Simulações para escoamento nulo Inicialmente serão simuladas situações onde não haverá escoamento para que a temperatura do fluido entre em equilíbrio com a temperatura externa à tubulação. O intuito é obter um campo de temperatura que represente melhor a situação de uma parada de escoamento, ao invés de utilizarmos uma distribuição uniforme nas condições iniciais do modelo. Deste modo, as simulações deste capítulo servem apenas para gerarem o campo de temperatura que será utilizado no capítulo de reinício de escoamento, que será tratado mais adiante. Para isto, será considerada que a pressão de entrada (Pe) será igual a pressão da saída (Ps). Como a pressão de saída foi modelada como nula, Pe será igual a zero (Figura 4.8). Text=277,15 K Pe=0 Ps=0 Te=333,15 K L Figura Tubulação sem escoamento Para estas simulações iniciais sem escoamento, serão simulados três casos, onde será variado o fluxo de calor que passa através da parede da tubulação usando a condição de contorno de Robin. Na Tabela 4.4 estão os parâmetros utilizados para a primeira simulação. Os parâmetros adotados são representativos de valores de petróleos que podem ser obtidos em campos offshore nacionais. 61

80 Tabela Parâmetros Escoamento nulo Descrição Sigla Unidades Valor Velocidade entrada Ue / 0 Velocidade saída Us / 0 Velocidade na parede do cilindro Up / 0 Pressão entrada Pe 0 Pressão saída Ps 0 Temperatura entrada Te K 333,15 Temperatura saída Ts K 0 Temperatura externa Text K 277,15 Valor de referência de Text refvalue K 277,15 Gradiente de referência de Text refgrad Número de Nusselt Nu Adimensional 10 Temperatura inicial de aparecimento de cristais TIAC K 306,5 Temperatura de referência Tref K 333,15 Difusividade Tensão limite de escoamento (TIAC) Massa específica 0 0,0001 Pa 2,79 ρ 930 Viscosidade dinâmica (Tref) Pa.s 0,2325 Viscosidade para Indice de consistência (TIAC) ,00025 Coeficiente de Power-law n Adimensional 1 Coeficiente de ajuste para Adimensional

81 Coeficiente de ajuste para Adimensional 3000 Coeficiente de ajuste para Adimensional 2845 Raio da tubulação R m 0,05 Comprimento da Tubulação L m 1 Como se trata de uma simulação onde levamos em conta apenas os termos difusivos, sem a presença da velocidade de escoamento, o valor definido para a equação 4.1 deixa de ser significativo, sendo que podemos usar um valor alto para o passo de tempo da simulação. Neste caso utilizamos um passo de 0,1s, sendo simulado até o tempo de 100 s, onde não há mais variações no resultado do campo de temperatura para estes parâmetros. Para simularmos as variações de troca de calor entre o fluido recalcado e o ambiente externo ao duto, utilizamos um adimensional similar ao número de Nusselt para relacionarmos a transferência por convecção com a transferência por condução, representando um maior ou menor isolamento térmico. Segue abaixo, a Tabela 4.5 com os parâmetros que diferenciam as 3 simulações: Tabela Simulações para o fluido não escoando Simulações Pe ( ) Nu ( internalfield (K) , , , , ,1 0, ,15 63

82 Na Figura 4.9 podemos ver a distribuição da temperatura ao longo da seção axissimétrica. A troca de calor pela parede da tubulação é relativamente alto, sendo que consequentemente a temperatura ao longo da extensão tenderá à temperatura externa. Figura Visualização da distribuição de temperatura Simulação 01 Mais duas simulações foram executadas nos mesmos moldes da primeira simulação, onde apenas foram alterados os valores relacionados com o número de Nusselt, o que equivale a uma maior restrição a troca de calor através da tubulação, simulando o efeito de um isolamento térmico. Nas tubulações de escoamento de petróleo, o isolamento térmico faz parte dos recursos utilizados para se evitar que um óleo parafínico venha a escoar em temperatura abaixo de sua TIAC, sendo que neste modelo podemos simular este efeito através dos valores adotados. Abaixo nas Figuras 4.10 e 4.11 podemos ver a distribuição da temperatura para os valores adotados na Tabela

83 Figura Visualização da distribuição de temperatura Simulação 02 Figura Visualização da distribuição de temperatura Simulação 03 65

84 O efeito da troca térmica entre o fluido e a parte externa à tubulação torna-se menos significativo, à medida que o Nu fica menor. Devido a isto foi necessário mais tempo para atingirmos o equilíbrio térmico nas simulações, sendo nos últimos dois casos, necessário em torno de 400s para a simulação 02 e 4300s no caso de para a simulação Simulações com escoamento Nestas simulações foi utilizado o mesmo modelo que o adotado nos casos anteriores. Nestes novos casos, em vez de mantermos a diferença de pressão entre a entrada e a saída nas tubulações simuladas igual a zero, alteramos o valor da pressão da entrada, levando ao escoamento do fluido assim que a diferença de pressão fosse suficiente para vencer a tensão limite de escoamento. Text=277,15 K Pe Te=333,15 K Ps=0 L Figura Tubulação com escoamento 66

85 Este modelo possibilita a realização de simulações sendo possível determinar as alterações da reologia do fluido, permitindo também a simples constatação se o fluido a ser recalcado está ou não escoando. Deste modo, é possível verificar sob quais condições o fluido irá escoar, sendo a pressão um parâmetro importante neste processo. Para óleos parafínicos, a pressão necessária para mantermos a condição desejada de escoamento em uma tubulação é um importante parâmetro que contribui para definir a capacidade da bomba a ser utilizada e a classe de resistência dos acessórios envolvidos. Como o valor da pressão de entrada pode ser alterado é possível observar que não há escoamento para as pressões inferiores a pressão limite de escoamento do fluido. A adição do efeito térmico, afeta a reologia do fluido e aumenta a complexidade do escoamento, entretanto com este modelo é possível determinar as condições necessárias para que o escoamento do fluido ocorra. No modelo adotado a rotina de processamento gera resultados semelhantes ao proposto por um modelo de Papanastasiou sendo necessária a adoção de uma viscosidade para auxiliar na representação do efeito da tensão limite de escoamento. Seguem na tabela abaixo, os valores adotados (Tabela 4.6). Tabela Parâmetros Simulação 04 com escoamento Descrição Sigla Unidades Valor Velocidade entrada Ue / 0 Velocidade saída Us / 0 Velocidade na parede do cilindro Up / 0 Pressão entrada Pe 0,93 Pressão saída Ps 0 67

86 Temperatura entrada Te K 333,15 Temperatura saída Ts K 0 Temperatura externa Text K 277,15 Valor de referência de Text refvalue K 277,15 Gradiente de referência de Text refgrad Número de Nusselt Nu Adimensional 10 Temperatura inicial de aparecimento de cristais TIAC K 306,5 Temperatura de referência Tref K 333,15 Difusividade Tensão limite de escoamento (TIAC) Massa específica 0 0,0001 Pa 2,79 ρ 930 Viscosidade dinâmica (Tref) Pa.s 0,2325 Viscosidade para Indice de consistência (TIAC) ,00025 Coeficiente de Power-law n Adimensional 1 Coeficiente de ajuste para Coeficiente de ajuste para Adimensional 3000 Adimensional 3000 Coeficiente de ajuste para Adimensional 2845 Raio da tubulação R m 0,05 Comprimento da Tubulação L m 1 Intervalo de tempo s 0,01 68

87 Para os casos onde ocorre o escoamento do fluido, as suas propriedades reológicas apresentam uma forte dependência em relação à temperatura. Esta dependência se mostra mais significativa em situações de escoamento abaixo da TIAC, onde ocorrem alterações no índice de consistência e na tensão limite de escoamento devido à formação de cristais de parafina que alteram o comportamento do fluido que outrora seria newtoniano, vindo nesta situação a se comportar como um fluido nãonewtoniano. Quando um fluido que apresente TIAC está em escoamento, além da dependência destas duas propriedades em relação à temperatura, a viscosidade é outra propriedade que possui uma forte dependência em relação a sua temperatura durante o escoamento, tanto acima como abaixo da TIAC. Como esperado, observamos na Figura 4.13 que a viscosidade aumenta com a redução da temperatura e vice-versa. Para o caso em que a temperatura esteja acima T=306,5K, ela apresenta um comportamento completamente newtoniano. Esta temperatura de 306,5K foi adotada como sendo a TIAC das simulações. Para as temperaturas abaixo de 306,5K, vemos que a viscosidade continua sofrendo alteração em relação à temperatura, mas apresentando um comportamento nãonewtoniano, sendo facilmente observável para as taxas de deformação mais baixas. Na Figura 4.13, podemos observar a dependência da viscosidade de um fluido que apresente uma TIAC. Para este gráfico foram utilizados os parâmetros do óleo simulados neste trabalho. 69

88 T= K T= K T= K T= K T= K T= K T= K Figura 4.13 Curvas da viscosidade x taxa de deformação, em função da temperatura Na Figura 4.14 podemos ver o gráfico da tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação para o fluido simulado. Assim como no caso das curvas da viscosidade em função da taxa de deformação, podemos ver a dependência da tensão de cisalhamento em relação à temperatura do fluido, sendo evidente também a mudança do comportamento newtoniano para não-newtoniano para as temperaturas menores que a TIAC. 70

89 T= K T= K T= K T= K T= K T= K T= K Figura Curvas da tensão de cisalhamento x taxa de deformação, em função da temperatura Para as simulações do fluido escoando em regime permanente, considerando o efeito da temperatura como já descrito, foram adotadas as seguintes condições contidas na Tabela 4.7, além dos parâmetros da Tabela

90 Tabela 4.7 Valores para simulações com o fluido escoando variando a pressão e o isolamento térmico da tubulação Simulações Pe () Nu ( internalfield (K) 04 0, , , ,93 1 0, , ,93 0,1 0, , , , , , ,1 0, , , , , , ,1 0, ,15 Para cada uma destas simulações foram obtidas as visualizações da distribuição da velocidade e da distribuição da temperatura ao longo da tubulação. Como nestas simulações o objetivo foi verificar o escoamento do fluido em regime permanente, utilizamos uma condição de contorno inicial para o campo interno de temperatura como sendo uniforme com temperatura de 333,15 K que representaria uma temperatura de escoamento encontrada em algumas unidades offshore de exportação de óleo. 72

91 A pressão também possui este recurso de condição inicial para o campo interno sendo utilizado um valor uniforme igual a Ps na condição inicial e no caso da velocidade será usado um vetor igual a zero. Nas simulações 04 até 06 foi utilizada uma pressão de 0,001. No OpenFoam esta propriedade tem sua unidade dividida pela massa específica, Neste caso, a pressão seria o equivalente a 0,93 Pa como indicado Tabela 4.6 e 4.7. Na Figura 4.15, que representa a distribuição da velocidade para a simulação 04, podemos perceber que não está ocorrendo o escoamento do fluido, entretanto nas simulações 05 e 06 notamos que o escoamento está estabelecido (Figura 4.17 e Figura 4.21). Isto pode ser explicado através da variação de temperatura sofrida em cada caso. Na simulação 04 em um primeiro momento, o escoamento seria possível devido a condição inicial do campo de temperatura, que seria de 333,15 K, que é uma temperatura acima do ponto de cristalização da parafina, não ocorrendo assim o surgimento de um comportamento não-newtoniano e consequentemente sem a presença de uma tensão limite de escoamento. A temperatura do fluido, no caso da simulação 04, acaba ficando abaixo da TIAC devido a troca de calor entre o fluido e a tubulação. Além disso, esta temperatura está abaixo do limite mínimo para o surgimento do escoamento para esta pressão, devido à tensão limite de escoamento para esta temperatura ser alta para o caso. Utilizando as equações 2.33 e 2.49 é possível verificar, que para a condição adotada, não é possível o escoamento do fluido. Este resultado confirma a solução encontrada na simulação. Nas figuras com a distribuição de velocidade e temperatura, será sempre adota que a linha de simetria (malha axissimétrica) estará no lado esquerdo da figura e a parede no lado direito, entrando o fluido pela parte inferior e saindo na parte superior (vide Figura 4.15). 73

92 Saída Entrada Figura Distribuição da velocidade Simulação 04 Figura Distribuição da temperatura Simulação 04 74

93 Figura Distribuição da velocidade - Simulação L=0 L=0.25 L= L=0.75 L= Figura Perfil de velocidade ao longo da tubulação Simulação 05 75