História e Aplicações da Teoria dos Grafos. Pesquisa Operacional II Teoria dos Grafos. Leonhard Euler ( ) O Início

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1 01 Pesquisa Operacional II Teoria dos Grafos Prof. Lorí Viali, Dr. História e Aplicações da Teoria dos Grafos O Início Com o artigo de Leonhard Euler ( ) as As Sete Pontes de Königsberg, publicado em Leonhard Euler ( ) Nasceu em Basel, Suíça. Teve aulas particulares de matemática com Johann Bernoulli. Em 1727 conseguiu um emprego na seção médica da Universidade de St Petersburg, mas no caos que seguiu a morte da imperatriz Catherine I, conseguiu se mudar para o departamento de matemática. Casou, em 1733, e teve 13 filhos, dos quais apenas 5 sobreviveram até a idade adulta. Em 1741 mudou-se para Berlin, onde ficou por 25 anos. Publicou cerca de 500 livros e artigos em vida e outros 400 foram publicados postumamente. Inventou as notações i,π, e, sen, cos, f(x) entre outras. Ficou cego, mas tornou-se ainda mais produtivo, dizia agora eu tenho menos distrações. As Sete Pontes de Königsberg A cidade é cortada pelo rio Pregel, que a separa em duas áreas principais e em duas grandes ilhas. Existiam sete pontes conectando as várias áreas de terras. 1

2 O Problema Os residentes de Königsberg se perguntavam se eles poderiam caminhar pelas várias áreas da cidade cruzando cada uma das pontes uma e semente uma vez. Em 1736 Euler tratou do problema das pontes de Königsberg. Ele percebeu que não importa o quanto você caminha em terra ou onde estão as pontes. Somente importa quantas pontes existem entre cada porção de terra e em que ordem elas são cruzadas. Com essas obervações o problema pode ser redesenhado da seguinte forma: Condições para a Solução A sacada de Euler foi perceber que se você cruza para uma porção de terra, você também deve voltar. Assim, para que o caminho seja possível, deve existir um número par de pontes iniciando em cada porção de terra (Exceto para os pontos inicial e final. Postscript on Königsberg Königsberg foi pesadamente bombardeada durante a segunda Guerra. A cidade foi tomada pelos russos e renomeada Kaliningrado. Duas das sete pontes foram destruídas. Pergunta: O problema é possível agora? Mapa das Quatro Cores A Conjectura das Quatro Cores foi anunciada pela primeira vez em 1852 e provada apenas em Ela é um exemplo de um problema aparentemente simples, mas de solução complexa. É o primeiro teorema onde o computador foi utilizado para prová-lo. 2

3 A conjectura de que qualquer mapa pode ser colorido utilizando semente 4 cores apareceu, inicialmente em uma carta de Augustus De Morgan ( ), primeiro professor de Matemática da Universidade de Londres, para o seu amigo William Rowan Hamilton ( ). Ela foi sugerida a De Morgan por um de seus alunos, Frederik Guthrie ( ), em 1852, em nome de seu irmão mais velho Francis Guthrie ( ) (que mais tarde tornou-se professor de matemática da Universidade de Cape Town). Esquema original de De Morgan na carta enviada a Hamilton sobre o mapa das quatro cores. Exemplo Um mapa de quatro cores representado como um grafo. Por quê não três Cores Por quê não Cinco Cores Um exemplo simples mostra que é impossível sempre colorir um mapa com apenas três cores. Foi provado em 1890 que qualquer mapa pode ser colorido com no máximo 5 cores. A parte difícil do problema foi mostrar que não existe mapa suficientemente complicado que precise de 5 cores. Martin Gardner criou o mapa seguinte como um problema para os seus leitores. Você pode colorí-lo com semente 4 cores? 3

4 O Mapa de Martin Gardner Em Termos de Grafos O problema das 4 cores pode ser colocado em termos de grafos. Cada região do mapa torna-se um nodo, com dois nodos sendo conectados por uma aresta se e somente se elas são adjacentes no mapa. O problema torna-se então: é possível colorir os nodos com 4 cores de modo que cada aresta nunca conecte dois nodos da mesma cor? Exemplo de Grafo de um Mapa A Prova Em 1976 os matemáticos Kenneth Appel ( ) e Wolfgang Haken ( ) anunciaram que tinham uma prova da conjectura. Um Resultado Controverso Um Resultado Não Elegante Eles criaram um programa computacional para verificar todos os possíveis exemplos de mapas (1936 ao todo!). Esse foi o primeiro teorema matemático que foi provado com o auxílio do computador e levantou muita controvérsia. Um crítico disse: Uma boa prova matemática é como um poema. Essa é um catálogo telefônico! Contudo, a prova é agora amplamente aceita e os computadores são utilizados em muitas áreas da matemática pura. 4

5 Ciclos em Poliédros O irlandês Sir William Rowan Hamilton ( ) foi Astrônomo, Físico e Matemático. Ele fez importantes contribuições para a Mecânica Clássica, Ótica e Álgebra. Na Matemática ele é conhecido por inventar os Quatérnios. Exemplo de um ciclo Hamiltoniano em um dodecaedro. Como todos os sólidos Platônicos o dodecaedro é Hamiltoniano. O grafo de Herschel é o menor grafo poliédrico que não apresenta um ciclo Hamiltoniano. Em 1853, Thomas Penyngton Kirkman ( ), começou a trabalhar com problemas sobre poliédros, iniciando com a prova da fórmula de Euler. Ele estudou os ciclos Hamiltonianos e apresentou um exemplo de um poliédro sem um ciclo Hamiltoniano antes do trabalho de Hamilton sobre o jogo Icosiano. Circuitos Elétricos Fórmula de Cayley Em 1847, Gustav Kirchhoff ( ), utilizou a teoria dos grafos para fazer a análise de circuítos resistivos. A fórmula foi descoberta inicialmente por Carl Wilhelm Borchardt ( ), em 1860, que a provou por meio de um determinante. Em uma pequena nota, em 1889, Cayley estendeu a fórmula em várias direções, considerando o grau dos vértices. Embora ele tenha citado o artigo de Borchardt a fórmula acabou levando o seu nome. 5

6 A fórmula de Arthur Cayley ( ) mostra que para cada inteiro positivo n, o número de árvores com n vértices identificados é n n-2. A fórmula é equivalente a contar o número de árvores de um grafo completo com vértices identificados (sequência A na OEIS). Exemplo Para n = 2, tem-se = 2 0 = 1. Para n = 3, tem-se = 3 1 = 3 e para n = 4, tem-se = 4 2 = 16 árvores com quatro vértices. Teoria dos Números Grafos em Química James Joseph Sylvester ( ) matemático inglês. Fez contribuições para a teoria das matrizes, dos números, das partições e da combinatória. Ele representou partições de números por nodos de um grafo. Sylvester e Cayley foram os pioneiros da utilização da teoria dos grafos na Química, isto é, na representação de moléculas de substâncias. Como exemplo, a figura (próxima lâmina) apresenta o grafo de uma molécula de açúcar (C 12 H 22 O 11 ). Exemplo Enumeração George Pólya ( ) foi um matemático húngaro e professor de matemática no ETH Zurique de 1914 a 1940 e da Universidade de Stanford de 1940 a Fez contribuições para a combinatória, a teoria dos números, a probabilidade, a heurística e a educação matemática. 6

7 O teorema da enumeração de Pólya pode ser utilizado para calcular o número de isomorfismos de um grafo com um número fixo de vértices ou a função geradora desses grafos de acordo com o número de arestas que eles possuem. Exemplo O número de grafos rotulados e não direcionados de n vértices é 2 n(n-1)/2 ; O número de grafos rotulados e direcionados de n vértices é 2 n(n-1) ; O número de grafos conectados, rotulados e não direcionados satisfaz a seguinte relação: C n n 1 n k 2 k = 1 k = n -k 2 C k Os valores de C n são para n = 1, 2, 3,... 1, 1, 4, 38, 728, , ,... que é a sequência A na OEIS. Exemplos de Grafos Rede de Amigos Colaboração Científica 7

8 Rede Sociais Redes de Transportes Internet Modelos Químicos Aplicações dos Grafos 8

9 Representação por um grafo Caixeiro Viajante Representar um problema como um grafo pode: fornecer um ponto de vista diferente; torná-lo mais simples; ser um recurso apropriado para resolver o problema. Um caixeiro viajante necessita visitar várias cidades dentro de sua área de vendas. As cidades estão conectadas (aos pares) por rodovias. Como determinar uma viagem circular (com volta ao ponto de partida) de forma que cada cidade seja visitada apenas uma vez? O jogo do icoságono O problema foi apresentado, inicialmente em 1800, pelo matemático irlandês Hamilton e cresceu muito em popularidade nos anos de 1950 e Iniciou com o jogo do Icoságono. A versão para viagem Este era o poster de uma versão do concurso da Proctor & Gamble em Existiam 33 cidades no problema. 9

10 Um Problema Tentador! Diferentemente do Problema do Carteiro Chinês, ninguém encontrou um algortimo geral para resolver o PCV (Problema do Caixeiro Viajante) ou o TSP (Travelling Salesman Problem). Encontrar a rota mais curta, dado um determinado número de cidades, é um problema NP-completo. Encontrar um bom algoritmo está valendo atualmente $1 milhão! Métodos de solução Força Bruta tentar todas as possíveis rotas e encontrar a mais curta. Limitação: utilizando o supercomputador mais rápido existente o problema envolvendo 33-cidades levaria 100 trilhões de anos! Algoritmo Branch and Bound: dividir o problema em pequenos grafos e tentar eliminar arestas que não podem ser parte da solução. O recorde obtido com este tipo de método exato foi com cidades e levou 126 anos de CPU para ser realizado em Heurística: encontrar boas soluções que tenham alta probabilidade de estarem próximas da solução ideal. Por exemplo: O algoritmo do vizinho mais próximo. Permite que o vendedor escolha a cidade mais próxima todas as vezes. Encontrar qualquer rota e então rearanjar as arestas para encontrar a mais curta. Heurística: algoritmos podem encontrar a solução para o PCV com milhões de cidades em pouco tempo. Limitação: estas soluções podem não ser a melhor possível. 10

11 Aplicações do PCV Pessoas são surpreendente boas para encontrar soluções aceitáves para o PCV rapidamente. Jogue o seguinte jogo online para ver o quão bom você é! O PCV tem muitas aplicações: Logística na distribuição de mercadorias; Furar placas de circuitos eletrônicos; Sequenciamento do Genoma; Programação de telescópios como Hubble; Elaborar itinerários de viagens; Cristalografia de raio-x. Coleta de Correspondência A ECT mantém vários pontos de coleta e o motorista tem que coletar passando por todos os postos. Como modelar o problema? Como encontrar a melhor rota? Caminho do Custo Mínimo Selecionar caminho de menor custo, para o transporte de uma carga, entre duas cidades quaisquer. Problema da RNP Uma rede de computadores que interligue um grande número de instituições (ensino/pesquisa). Em algumas cidades há um POP (Ponto de Presença). Havendo mais de uma rota possível entre dois POPs como determinar qual a rota mais apropriada? Canibais e Missionários Três canibais e três missionários precisam atravessar um rio. O barco tem capacidade para duas pessoas. O número de canibais não pode ser maior que o número de missionários em qualquer margem. Como realizar a travessia? 11

12 Rede de Computadores Casas e serviços Projeto de redes de computadores onde os vértices são máquinas e as arestas são as conexões entre duas máquinas mais o custo. Qual a possibilidade de comunicação a um custo mínimo É possível conectar cada serviço a cada uma das três casas sem haver cruzamento de tubulações? Construindo o Menor Grafo Frequentemente temos um conjunto de pontos e queremos encontrar a menor coleção de arestas que os conecte. Por exemplo: Estradas e linhas férreas conectando cidades; Cabos de telefone e Internet; Tubulações de gás; Conexões em circuítos eletrônicos. Suponha que temos 4 cidades que devem ser conectadas. Qual dos grafos abaixo é o menor? Uma solução inesperada Se ficarmos restritos a estradas entre cidades, então o primeiro grafo é o menor. Mas existe uma solução melhor, que consiste em utilizar um pouco de plástico transparente e algumas bolhas de sabão As bolhas sabem mais Assim a melhor solução é criar duas cidades fantasmas! Grafo de Steiner 12

13 Como elas fazem? Atualmente não existe uma algoritmo (rápido) para encontrar o menor grafo de Steiner entre um dado número de pontos. A natureza, por outro lado, é muito boa em fazê-lo. O Carteiro Chinês Suponha agora que as cidades e as estradas são fixas e que conhecemos as distâncias entre elas. O problema do carteiro chinês é determinar a menor rota, que envolva cada estrada ao menos uma vez, e retorne ao ponto de partida A Solução A solução consiste em verificar se o grafo é Euleriano (isto é, com um número par de arestas saindo de cada nodo), então cada aresta pode ser visitada uma única vez e o problema está resolvido. Se o grafo não for Euleriano então é preciso encontrar a menor distância entre os nodos com um número ímpar de arestas e acrescentar uma aresta extra para tornálo um grafo Euleriano. Exemplo A Internet para o Google A 3 B C 5 D O Google vê a Internet como um grafo gigante. Cada página da rede é um nodo e duas páginas estão conectadas por uma aresta se 4 F 6 E 9 existe um link entre elas. 13

14 O Page Rank Nota: as arestas no grafo do Google tem uma direção. O algoritmo que o Google utiliza para classificar suas buscas é denomindo de PageRank. Teorema: quanto mais links uma página tiver apontando para ela mais importante ela será. Lema: se uma página importante tem um link para a tua página, isso vale mais do que se for uma página qualquer. Exemplo: se a Wikipedia tiver um link para a tua página, isso vale mais do que um link da página Catando Coquinhos. Exemplo O PageRank e o lucro Pessoas que entendem o PageRank podem torná-lo bastane lucrativo. Por exemplo, pode-se vender links de uma página com alto Page Rank para aquelas que querem aumentá-lo. Algumas empresas utilizam algoritmos semelhantes para classificar universidades em realação ao Mercado de trabalho. Caminho do Limo Cientistas estudaram o caminho do limo crescendo em uma região similar a Tóquio. Eles colocaram alimento para o limo onde estavam as maiores cidades. A rede de limo que se formou foi muito semelhante a linha de trens de Tóquio. Em alguns aspectos ela foi até melhor! Conclusão: a natureza é mais inteligente que os politicos. 14

15 Redes Sociais Grafos também são importantes para redes sociais como o Facebook. Pela análise das preferências dos amigos e das páginas que você curte, a rede pode direcionar sua publicidade de forma mais eficiente. Recomendações Empresas como a Amazon utilizam grafos para fazer sugestões, aos seus clientes, sobre compras futuras. Em 2009 a empresa americana Netflix ofereceu $1 milhão para quem melhorasse o seu algoritmo de recomendação. Referências ALDOUS, Joan M., WILSON, Robin J. Graphs and Applications. An Introductory Approach. New York (NY): Springer, WASSERMAN, Stanley, FAUST, Katherine. Social Network Analysis. Cambridge University Press, WILSON, Robin. Four Colours Suffice: How the Map Problem Was Solved. Penguin Books, ESTRADA, Ernesto. University of Strathclyde. Teorema das 4 cores: Site sobre o problema do caixeiro viajante: Artigo do jornal New York Times sobre o prêmio oferecido pela NetFlix: /11/23/magazine/23Netflix-t.html 15