Universidade Federal do Pará UFPA Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICEN Faculdade de Estatística

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1 Universidade Federal do Pará UFPA Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICEN Faculdade de Estatística Disciplina: Estatística Aplicada Aluno: Emerson de Souza Vieira Professor: Heliton Tavares Profª: Regina Madruga Trabalho Módulo I Análise Fatorial Belém 2014

2 Análise Multivariada A análise multivariada é o ramo da estatística direcionado ao estudo das amostras e distribuição multidimensionais, ou seja, são métodos estatísticos apropriados para estudos em que várias variáveis são consideradas simultaneamente. No entanto, apesar de as técnicas multivariadas terem eficiência comprovada e proporcionarem enriquecimento das informações extraídas de dados experimentais, é necessária para seu uso a disponibilidade de recursos computacionais, motivo pelo qual a referida técnica ficou limitada no seu uso e do repasse entre os pesquisadores das diversas áreas da ciência, no Brasil. Entretanto, com a incrementação dos recursos da informática nos últimos anos, a técnica atraiu a atenção dos pesquisadores das diversas áreas, tornando o seu emprego potencialmente grande e, consequentemente, o seu conhecimento indispensável. A análise multivariada compreende várias técnicas que, segundo KENDALL (1980), citado por CRUZ (1987), distinguem-se em: a) Técnicas de Avaliação da Interdependência: estuda as relações de um conjunto de variáveis entre si. - Análise de Agrupamento; - Análise Fatorial - Correlações Canônicas - Componentes Principais b) Técnicas de Avaliação da Dependência: estuda a dependência de uma ou mais variáveis em relação às outras. - Análise Discriminante - Múltipla Contigência - Regressão - Relação Funcional Objetivos da Análise Multivariada Redução de Dados ou Simplificação Estrutural Ordenação e Agrupamento Investigação da Dependência entre Variáveis Predição

3 Neste trabalho, aplicaram-se os seguintes procedimentos multivariados: análise fatorial e análise de componentes principais. Análise Fatorial Introdução A análise fatorial ("Factor Analysis") é a principal e a mais antiga técnica de análise multivariada. A idéia fundamental foi proposta por Sperman e por Pearson, no início do século, para entender problemas relacionados à psicologia educacional, na tentativa de definir inteligência (MARRIOTT, 1974). Seu desenvolvimento e principalmente, a sua utilização, foram limitados durante muitos anos, devido à complexidade dos cálculos envolvidos. Com o advento do processamento de dados computadorizado, o uso e interesse pela análise fatorial foi renovado e retomado (MENEZES et al., 1978). Análise fatorial é uma técnica para se reduzir o número de variáveis de uma base de dados, identificando o padrão de correlações ou de covariância entre elas e gerando um número menor de novas variáveis latentes, não observadas, calculadas a partir dos dados brutos. A redução a um número menor de variáveis, também chamados muitas vezes de fatores, dimensões ou componentes, maximiza o poder de explicação do conjunto de todas as variáveis e possibilitam identificar subgrupos de questões que avaliam uma mesma habilidade ou capacidade cognitiva (PASQUALI, 2009; PRIMI, 2003; 2996; THOMPSON. 2004; YANAI & ICHIKAWA. Os fatores podem ser não correlacionados (fatores ortogonais) ou correlacionados (fatores oblíquos). As variáveis são agrupadas por meio de suas correlações, ou seja, aquelas pertencentes a um mesmo grupo serão fortemente correlacionadas entre si, mas pouco correlacionadas com as variáveis de outro grupo. Cada grupo de variáveis representará um fator (JOHNSON & WICHERN, 1988). Conforme descreve Harrington (2009) é determinada a existência de dois tipos de análise fatorial, as quais devem se adequar aos objetivos de cada pesquisa, cuja finalidade da sua aplicabilidade aconteça de forma exploratória e confirmatória.

4 Na análise fatorial exploratória sua aplicação se dá pelo pouco conhecimento acerca dos conjuntos de dados e suas relações subjacentes. Geralmente é utilizada nos estágios mais embrionários da pesquisa, no sentido de literalmente explorar os dados. A análise fatorial confirmatória pode ser entendida como um procedimento desenvolvido no teste de hipóteses, ou mesmo na estruturação e validação de um conjunto de dados (PILATTI, et. al., 2012). Objetivo da Análise Fatorial O objetivo principal é reduzir o número de variáveis iniciais com a menor perda possível de informação. Em outras palavras, pode-se dizer que Análise Fatorial é aplicada à busca de identificação de fatores num conjunto de medidas realizadas, sendo que esses fatores identificados pela Análise Fatorial são uma descoberta feita pelo pesquisador. Inicialmente, ele tem várias medidas e não será possível identificar quais variáveis poderão ser reunidas num fator. A Análise Fatorial é quem vai descobrir isso, pois ela permite identificar novas variáveis, em um número reduzido em relação às variáveis iniciais, sem uma perda significativa de informação contida nos dados originais. Belfiore, Fávero e Ângelo (2006, p. 12) afirmam que o que se pretende é a identificação de possíveis associações entre as variáveis observacionais, de modo que se defina a existência de um fator comum entre elas. Tamanho da Amostra Na obtenção de uma Análise Fatorial com um mínimo de qualidade é necessário que o tamanho da amostra seja relativamente grande comparando com o número de variáveis envolvidas. Na literatura estatística exige-se para uma escolha da amostra em ordem de 20 vezes o número de variáveis envolvidas, outra sugere que seja no mínimo 5 vezes o número de variáveis ou que seja no mínimo 100 observações. HAIR (1998), enfatiza que ela não deve ser utilizada em amostras inferiores a 50 observações.

5 Modelo Teórico Considerando um conjunto de p variáveis, com n observações para cada variável, obtém-se o arranjo de valores [ x ij ], i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., p à partir do seguinte conjunto de dados Variáveis indivíduos X 1 X 2... X p 1 x 11 x x 1p 2 x 21 x x 2p n x n1 x n2... x np O modelo da análise de fatores supõe que cada variável X j é linearmente dependente de poucas variáveis aleatórias não observadas F, F,..., (m < p) chamadas fatores comuns, e p fontes adicionais de variação e, e,...,, chamadas erros ou, algumas vezes, fatores específicos (JOHNSON & WICHERN, 1988) e p F m X1 = a11f1 + a12f a1mfm + e1 X2 = a21f2 + a22f apmfm + e2... Xp = ap1f1 + ap2f apmfm + e1 Xj = aj1f2 + aj2f apmfm + e2 onde X j é a j-ésima variável, a, a,, a são as cargas dos fatores para a j-ésima j1 j2 jm variável e F, F,, são m fatores comuns não correlacionados, com m menor que p. 1 2 F m Os p valores observados X p são expressos em termos de p + m variáveis aleatórias não observáveis (F 1, F 2,, F m ; 1, 2,, p ).

6 As suposições em Análise Fatorial, de acordo com Pestana e Gageiro (2005), Hair et al. (2005) e Ho (2006), são: a) Normalidade e linearidade: desvios podem reduzir as correlações observadas entre as variáveis e, portanto, prejudicar a solução; b) Identificação da existência de outliers: este fenômeno pode distorcer os resulta dos, uma vez que altera as estimativas das médias e dos desvios padrão; c) Matriz de correlações com valores significativos: o pesquisador deve garantir que a matriz de correlações apresente um considerável número de correlações com valores superiores a 0, Medidas de Ajuste do Modelo (Adequabilidade) Para que a utilização da Análise Fatorial seja adequada, o pesquisador deve efetuar os seguintes passos: (i) normalidade; (ii) linearidade; (iii) analisar a matriz de correlação; (iv) realizar o teste do critério de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO); (v) aplicar o teste de Bartlett; (vi) analisar a matriz anti-imagem Normalidade A análise fatorial é relativamente robusta a violações de normalidade, contudo a normalidade multivariada é importante para a realização da análise. Como é difícil a detecção de problemas desse tipo, faz-se necessário procurar assegurar que as variáveis individualmente apresentem uma distribuição normal Linearidade A Análise fatorial é baseada no pressuposto de que os relacionamentos entre as variáveis são lineares. O procedimento da transformação poderá ser usado para eliminar variável(is) que estiver(em) produzindo relacionamentos não lineares com outras variáveis.

7 1.3 - Análise da Matriz de Correlações Como a Análise Fatorial é baseada nas correlações entre as variáveis, devese avaliar a viabilidade da aplicação da técnica a partir da matriz de correlação, pois está mede a associação linear entre as variáveis X e Y, por meio do coeficiente de correlação de Pearson, obtido por em que, 1 r 1. Valor de r = 1 indica relação linear negativa perfeita; Valor de r = 1 indica relação linear positiva perfeita. Quando valor de r = 0 indica que não há relação linear entre as variáveis. Então, o primeiro passo é um exame visual das correlações, identificando as que são estatisticamente significativos. De acordo com Hair et al. (2005), se a inspeção visual não revela um número substancial de correlações maiores que 0,30, então a Análise Fatorial provavelmente é inapropriada. Além disso, é de se esperar que as variáveis que apresentam alta correlação tendem a compartilhar o mesmo fator (FÁVERO et al., 2009) Medida de Kaiser-Meyer- Olkin (KMO) De acordo com Maroco (2007) a estatística de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) é uma medida de homogeneidade das variáveis, que compara as correlações simples com as correlações parciais observadas entre as variáveis. Esta medida é obtida por em que, rij é o coeficiente de correlação entre variáveis aij é o coeficiente de correlação parcial. A estatística KMO, cujos valores variam de 0 a 1, avalia a adequação da amostra quanto ao grau de correlação parcial entre as variáveis, que deve ser pequeno. Fávero et al. (2009) destaca que o valor de KMO próximo de 0 indica que a Análise Fatorial pode não ser adequada, pois existe uma correlação fraca entre as variáveis. Por outro lado, quanto mais próximo de 1 o seu valor, mais adequada é a utilização da técnica.

8 Apesar de não existir um teste rigoroso para os valores de KMO, de uma forma geral, estes podem ser adjetivados conforme a Tabela abaixo (SHARMA, 1996; PESTANA; GA- GEIRO, 2005; F AVERO et al., 2009). KMO. Tabela - Classificação da Aplicação da Análise Fatorial pela Estatística KMO Classificação 0,90-1,00 Excelente 0,80 0,90 Ótimo 0,70 0,80 Bom 0,60 0,70 Regular 0,50 0,60 Ruim 0,00 0,50 Inadequado Teste de Esfericidade de Bartlett Outro modo de determinar a adequação da Análise Fatorial examina a matriz de correlação inteira. De acordo com Hair et al. (2005), o teste de esfericidade de Bartlett fornece a probabilidade estatística de que a matriz de correlação tenha correlações significantes entre pelo menos algumas variáveis. Fávero et al. (2009) destaca que utiliza-se este teste com o intuito de avaliar a hipótese de que a matriz das correlações pode ser a matriz identidade (determinante igual a 1), conforme apresenta a Matriz. Se a matriz de correlações for igual à matriz identidade, isso significa que as inter-relações entre as variáveis são iguais a 0 e, neste caso, deve-se reconsiderar a utilização da análise fatorial. Assim, as hipóteses testadas são: H0: a matriz de correlações é uma matriz identidade H1: a matriz de correlações não é uma matriz identidade.

9 1.6 - Matriz Anti-imagem A matriz de correlações anti-imagem contém os valores negativos das correlações parciais e é uma forma de obter indícios a cerca da necessidade de eliminação de determinada variável do modelo. Pode-se calcular uma Medida de Adequação da Amostra, ou Measure of Sampling Adequacy (MSA), para cada variável de forma similar à estatística KMO a partir de (FÁVERO et al., 2009), MSA i j r i j 2 ij r 2 ij i j a 2 ij em que, rij é o coeficiente de correlação entre as variáveis aij é o coeficiente de correlação parcial. Segundo Hair et al. (2005), o pesquisador deve primeiro analisar os valores do MSA para cada variável individualmente e excluir as que se encontram no domínio inaceitável. Quanto maiores forem os valores do MSA, melhor será a utilização da Análise Fatorial. Cabe observar que, por vezes, a baixa correlação de determinada variável com as demais não necessariamente implica a sua eliminação, uma vez que esta variável pode representar um fator isoladamente Extração dos Fatores Iniciais Determina-se o número de fatores comuns necessários para descrever adequadamente os dados. Assim, as decisões devem ser tomadas com relação: (i) ao método de extração dos fatores; (ii) ao número de fatores selecionados para representar a estrutura latente dos dados Método de Extração de Fatores Há, basicamente, dois métodos principais que podem ser utilizados para a obtenção de fatores: Análise de Componentes Principais (ACP); Análise de Fatores Comuns (AFC).

10 Para Hair et al. (2005), a escolha do método de extração depende do objetivo do pesquisador. Assim, a ACP é usada quando o objetivo é resumir a maior parte da informação original (variância) a um número mínimo de fatores para propósito de previsão. Em contraste, a AFC é usada principalmente para identificar fatores ou dimensões latentes que reflitam o que as variáveis têm em comum. Análise de Componentes Principais A análise de componentes principais tem por objetivo descrever os dados contidos num quadro indivíduos-variáveis numéricas: p variáveis serão mediadas com n indivíduos. Esta é considerada um método fatorial, pois a redução do número de variáveis não se faz por uma simples seleção de algumas variáveis, mas pela construção de novas variáveis sintéticas, obtidas pela combinação linear das variáveis inicias, por meio dos fatores (BOUROCHE, 1982). A ACP possibilita investigações com um grande número de dados disponíveis. Possibilita, também, a identificação das medidas responsáveis pelas maiores variações entre os resultados, sem perdas significativas de informações. Além disso, transforma um conjunto original de variáveis em outro conjunto: os componentes principais (CP) de dimensões equivalentes. Essa transformação, em outro conjunto de variáveis, ocorre com a menor perda de informação possível, sendo que está também busca eliminar algumas variáveis originais que possua pouca informação. Essa redução de variáveis só será possível se as p variáveis iniciais não forem independentes e possuírem coeficientes de correlação não-nulos. A meta da análise de componentes principais é abordar aspectos como a geração, a seleção e a interpretação das componentes investigadas. Ainda pretende-se determinar as variáveis de maior influência na formação de cada componente, que serão utilizadas para estudos futuros, tais como de controle de qualidade, estudos ambientais, estudos populacionais entre outros.

11 2.2 - Critérios para o Numero de Fatores a Extrair Quando um grande conjunto de variáveis é transformado em fatores, o primeiro método extrai as combinações de variáveis que explicam o maior montante de variância possível e então segue para as combinações que explicam montantes cada vez menores de variância (HAIR et al., 2005). Neste sentido, o pesquisador deve decidir quantos fatores reter, baseado nos seguintes critérios: a) Critério da raiz latente (critério de Kaiser): escolhe-se fatores que têm autovalores (eigenvalues) maiores que 1, isto é, todos os fatores com autovalores menores que 1 são considerados insignificantes e descartados. Os autovalores mostram a variância explicada por cada fator; b) Critério a priori: é um método simples, quando aplicado, o pesquisador já sabe quantos fatores extrair antes de empreender a análise fatorial; c) Critério do gráfico Scree: é utilizado para identificar o número ótimo de fatores que podem ser extraídos antes que a quantia de variância única comece a dominar a estrutura de variância comum; d) Critério do percentual de variância: consiste em escolher, como número de fatores, um número mínimo necessário para que o percentual de variância explicada alcance o nível satisfatório desejado, de acordo com o critério do pesquisador Rotação de Fatores As soluções de fatores não-rotacionados extraem fatores na ordem de sua importância, o primeiro fator tende a ser um fator geral com quase toda a variável com carga significante, e explica a quantia maior de variância; o segundo fator e os seguintes são então baseados na quantia residual de variância. Então, o efeito final de rotacional a matriz fatorial é redistribuir a variância dos primeiros fatores para os últimos com o objetivo de atingir um padrão fatorial mais simples e teoricamente mais significativo (HAIR et al., 2005). Os métodos de rotação podem ser ortogonais ou oblíquos. Os métodos ortogonais produzem fatores que não estão correlacionados entre si, chamados de fatores ortogonais, sendo interpretados a partir de suas cargas (loadings). Na rotação oblíqua, os fatores estão correlacionados e, para a interpretação da solução, torna-se necessária a consideração simultânea das correlações e das cargas.

12 Para os métodos rotacionais ortogonais, merecem destaque o Varimax, o Quartimax e o Equamax, descritos a seguir, de acordo com Hair et al. (2005); Reis (2001) e Fávero et al. (2009). i) Quartimax Este método se concentra em rotacionar o fator inicial de modo que uma variável tenha carga alta em um fator e cargas tão baixas quanto possível em todos os outros fatores. Neste método, muitas variáveis podem ter carga alta no mesmo fator, pois o método busca minimizar o número de fatores necessários para explicar uma variável. ii) Varimax Este método busca minimizar o número de variáveis que têm altas cargas em um fator, assim para cada fator existe apenas alguns pesos significativos e todos os outros sejam próximos de zero. iii) Equamax Já este método congrega características dos métodos Quartimax e Varimax, ou seja, seu objetivo é simplicar linhas e colunas simultaneamente (Simplificação dos fatores e das variáveis). Os métodos de rotação oblíqua mais conhecidos são o Direct Oblimin e Promax, nesses métodos as comunal idades são preservadas, porém os fatores gerados apresentam-se mais fortemente correlacionados. Vale destacar que a rotação não afeta a qualidade de ajuste do modelo fatorial, as comunalidades e o total da variância explicada pelos fatores. Entretanto, o percentual de variância explicada em cada fator muda após rotação.

13 A Figura apresenta o diagrama de decisão para melhor entendimento da aplicação da técnica análise fatorial.

14 Análise Fatorial: Um Exemplo Prático - SPSS O saneamento básico, coleta de lixo, água encanada, alfabetização e energia elétrica são muito importantes para o desenvolvimento de um município. Um pesquisador deseja estudar o desenvolvimento de 143 municípios do Estado do Pará, a partir das variáveis: esgoto (X1), lixo (X2), água (X3), alfabetização (X4) e energia (X5). 1) Para testar a normalidade de cada variável individualmente, selecione Analisar Estatísticas Descritivas Explorar. Testes de Normalidade Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Estatística df Sig. Estatística df Sig. Esgoto, ,000, ,000 Lixo, ,078, ,006 Água, ,074, ,001 Alfabetização, ,200 *, ,082 Energia, ,000, ,000 *. Este é um limite inferior da significância verdadeira. a. Correlação de Significância de Lilliefors Figura 1 - Resultados dos Testes de Normalidade Univariada. A figura 1 presenta os resultados do teste de normalidade. Em que, as hipóteses testadas são: H0: a variável é normalmente distribuída; H1: a variável não é normalmente distribuída. Com base no teste de Kolmogorov-Smirnov para os dados (transformados) observa-se que 3 (três) das variáveis apresentam distribuição normal (p > 0,05), para um nível de significância de 5%.

15 2) Análise da Matriz de Correlações Analisar Correlacionar Bivariável Correlações Esgoto Lixo Água Alfabetizaçã o Energia Esgoto Correlação de Pearson 1,333 **,369 **,428 ** -,214 * Sig. (2 extremidades),000,000,000,010 N Lixo Água Alfabetizaçã o Energia Correlação de Pearson,333 ** 1,250 **,573 **,503 ** Sig. (2 extremidades),000,003,000,000 N Correlação de Pearson,369 **,250 ** 1,393 **,201 * Sig. (2 extremidades),000,003,000,016 N Correlação de Pearson,428 **,573 **,393 ** 1,329 ** Sig. (2 extremidades),000,000,000,000 N Correlação de Pearson -,214 *,503 **,201 *,329 ** 1 Sig. (2 extremidades),010,000,016,000 N **. A correlação é significativa no nível 0,01 (2 extremidades). *. A correlação é significativa no nível 0,05 (2 extremidades). Figura 2 - Matriz de Correlação de Pearson. H0: a maioria das variáveis não são correlacionadas r >= 0,30 H1: a maioria das variáveis são correlacionadas r >= 0,30. Por meio da matriz de correlações da Figura 2, pode-se observar a existência de um considerável número de correlações com valores absolutos superiores a 0,30, portanto rejeitase H0, o que permite dar continuidade à aplicação da técnica análise fatorial.

16 3) Medidas de Kaiser-Meyer-Olkin KMO >= 0,50 é aceitável. Teste de KMO e Bartlett Medida Kaiser-Meyer-Olkin de adequação de amostragem.,559 Teste de esfericidade de Bartlett Aprox. Qui-quadrado 208,856 df 10 Sig.,000 Figura 4 Resultados da Estatística KMO e do Teste de Esfericidade de Bartlett. Assim, a partir da Figura 4 pode-se verificar que nesse exemplo o valor da estatística KMO (0,559) indica a adequação da amostra a análise fatorial. O nível de significância do teste de esfericidade de Bartlett (p = 0;00) conduz a rejeição da hipótese de a matriz de correlações ser a matriz identidade. 4 Matriz Anti-imagem Matrizes anti-imagem Esgoto Lixo Água Alfabetização Energia Covariância anti-imagem Esgoto,533 -,184 -,205 -,158,287 Lixo -,184,487,071 -,165 -,258 Água -,205,071,752 -,120 -,148 Alfabetização -,158 -,165 -,120,553 -,099 Energia,287 -,258 -,148 -,099,520 Correlação anti-imagem Esgoto,434 a -,362 -,325 -,291,546 Lixo -,362,597 a,118 -,318 -,514 Água -,325,118,651 a -,186 -,237 Alfabetização -,291 -,318 -,186,752 a -,184 Energia,546 -,514 -,237 -,184,406 a a. Medidas de adequação de amostragem (MSA) Figura 4 Matriz Anti-imagem. Na matriz anti-imagem os valores da diagonal principal representam uma medida de adequação dos dados à análise fatorial, conhecida por Medida de Adequação da Amostra (MSA), para cada variável em análise. Caso algum valor esteja abaixo de 0,5, tal fato indica que está variável específica pode não se ajustar à estrutura definida pelas outras variáveis e, portanto, merece eventualmente ser eliminada. Com base na Figura 4, pode-se observar que o MSA é superior a 0,50 para Lixo, água e alfabetização.

17 5 - Comunalidades Variância total explicada pelos fatores Comunalidades Inicial Extração Esgoto 1,000,846 Lixo 1,000,716 Água 1,000,458 Alfabetização 1,000,705 Energia 1,000,884 Método de Extração: Análise de Componente Principal. Figura 5 Comunalidades. A Figura 5 apresenta as comunalidades, sendo está representada pela variância total explicada pelos fatores em cada variável. As comunalidades iniciais são iguais a 1 e, após a extração, variam entre 0 e 1, sendo mais próximas de 0 quando os fatores comuns explicam baixa ou nenhuma variância da variável, e 1 quando toda variância é explicada por todos os fatores. Na Figura 5 observe que as variáveis Esgoto, Lixo, Alfabetização e Energia possuem forte correlação com os fatores retidos, e a variável água tem pouca importância, pois explica menos de 0,5 da variância total, conforme mostra a coluna Extraction.

18 6 Números de Fatores Retidos - Critério de Kaiser = autovalor acima de 1,000 Variância total explicada Variância total explicada Valores próprios iniciais Somas de extração de carregamentos ao quadrado Somas rotativas de carregamentos ao quadrado Component % de % % de % de e Total variância cumulativa Total variância % cumulativa Total variância % cumulativa 1 2,337 46,750 46,750 2,337 46,750 46,750 1,899 37,986 37, ,272 25,433 72,183 1,272 25,433 72,183 1,710 34,197 72,183 3,730 14,601 86,784 4,408 8,164 94,948 5,253 5, ,000 Método de Extração: Análise de Componente Principal. Figura 6 O critério da raiz latente (critério de Kaiser) escolhe o número de fatores a reter, em função do número de autovalores acima de 1. Os autovalores (eigenvalues) para cada fator, bem como os respectivos percentuais de variância explicada, são apresentados na Figura 6. Com base na regra de retenção de fatores com valores superior a 1, foi retido dois fatores que consegue explicar 72,183% da variância dos dados originais.

19 7 Correlação entre as variáveis e os fatores retidos Matriz de componente a Componente 1 2 Esgoto,561 -,729 Lixo,810,242 Água,630 -,248 Alfabetização,839 -,044 Energia,515,786 Método de Extração: Análise de Componente Principal. a. 2 componentes extraídos. Figura 7 A matriz de componentes (Figura 7) apresenta as cargas (loading) que correlacionam as variáveis com os fatores antes da rotação, ou seja, permite verificar qual fator melhor explica cada uma das variáveis. Após verificar quais variáveis estão correlacionadas com os fatores, deve-se dar nome a cada fator, não sendo, por vezes, tão fácil a nomeação dos fatores, principalmente quando o pesquisador possui uma base de dados com um número elevado de variáveis que extraem um pequeno número de fatores. 8 Escrever o fator Matriz de componente rotativa a Componente 1 2 Esgoto,898 -,199 Lixo,467,706 Água,642,213 Alfabetização,671,504 Energia -,109,934 Método de Extração: Análise de Componente Principal. Método de Rotação: Varimax com Normalização de Kaiser. a. Rotação convergida em 3 iterações. Fator1= 0,898xEsgoto + 0,467xLixo + 0,642xágua + 0,671xAlfabetização 0,109xEnergia Fator2= -0,199xEsgoto+0,706xLixo + 0,213xágua + 0,504xAlfabetização + 0,934xEnergia

20 Bibliografia: APLICAÇÕES DE ALGUMAS TÉCNICAS MULTIVARIADAS (Componentes Principais, Variáveis Canônicas e Correlações Canônicas) Prof. Agostinho Lopes de Souza DEF/UFV Introdução à analise fatorial e análise de componentes principais Carlos Colares LORENA; Vicini - Análise multivariada da teoria à prática / Orientador Adriano Mendonça Souza. - Santa Maria : UFSM, CCNE,, Prof. Edson Marcos Leal Soares Ramos, Dr., Profa. Vanessa Mayara Souza Pamplona, M.Sc. - Análise Multivariada de Dados FERREIRA, C. M. de C. Métodos de regionalização. In: HADDAD, P. R. (org.) Economia Regional: teorias e métodos de análise. Fortaleza: BNB, ETENE, HAIR, Joseph F. Jr.; ANDERSON, Rolph E.; TATHAN, Ronald L.; BLACK, William C; Análise Multivariada de dados. Tradução Adonai Schlup Sant Anna e Anselmo Chaves Neto. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, PEREIRA, Júlio César Rodrigues. Análise de Dados Qualitativos: Estratégias Metodológicas para as Ciências da Saúde, Humanas e Sociais. São Paulo: EDUSP, BELFIORE, P. P. ; FÁVERO, L. P. L. ; ANGELO, C. F.. Aplicação de técnicas estatísticas multivariadas em empresas de operação logística no Brasil em função de indicadores econômicofinanceiros. REAd. Revista Eletrônica de Administração, v. 12, p. 1-22, NORONHA VIANA, Adriana Backxx. Estatística Aplicada à Administração: Análise do uso em pesquisas na área e construção de ambiente virtual de ensino-aprendizagem f. Tese de Livre docência Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo, Ribeirão Preto, 2005.