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1 Preparação para o Exame Final Nacional MACS 11.º ano Matemática Aplicada às Ciências Sociais Maria Augusta Ferreira Neves Sandra Bolinhas Luísa Faria 11 Como aceder gratuitamente aos conteúdos digitais? Vai a e seleciona ATIVAR CÓDIGOS Clica em Manual ou Livro de Apoio Escolar, para acederes a: Resoluções detalhadas Provas oficiais resolvidas Segue as instruções fornecidas na página Oo

2 Índice Apresentação 3 Capítulo 1 Percentagens Definição e representação Resolução de problemas usando percentagens 8 Questões propostas 13 Capítulo 2 Teoria matemática das eleições Sistemas maioritários Sistemas de eleição de representação proporcional Sistemas eleitorais posicionais ou preferenciais Teorema de Arrow. Considerações gerais 31 Questões resolvidas 32 Questões propostas 38 Capítulo 3 Teoria da partilha equilibrada Princípios gerais de uma partilha 44 Questões resolvidas 52 Questões propostas 54 Capítulo 4 Modelos financeiros Descontos Aumentos Imposto sobre o Valor Acrescentado (IVA) Regime de Capitalização Simples (RCS) Regime de Capitalização Composto (RCC) Resolução de problemas de juros compostos Empréstimos 61 Questões resolvidas 62 Questões propostas 65 Capítulo 5 Teoria dos grafos Linguagem e notação da teoria dos grafos Grafos eulerianos Grafos hamiltonianos árvores 75 Questões resolvidas 81 Questões propostas 88 4 Capítulo 6 Modelos populacionais Definições e simbologia Modelo de crescimento linear Modelo de crescimento exponencial Modelo de crescimento logístico Modelo de crescimento logarítmico 100 Questões resolvidas 106 Questões propostas 113

3 Capítulo 7 Estatística Definições Tipos de dados estatísticos Tabelas de frequências Frequências acumuladas Função cumulativa para dados discretos Função cumulativa para dados agrupados em intervalos Diagrama de caule e folhas Tipos de gráficos de barras Diferentes tipos de gráficos Medidas de localização Medidas de dispersão Dados bivariados ou dados bidimensionais 144 Questões resolvidas 149 Questões propostas 159 Capítulo 8 Modelos de probabilidades Princípio fundamental da contagem Experiências aleatórias. Espaço de resultados. Acontecimentos Probabilidades Propriedades das probabilidades Probabilidade condicional Probabilidade total e regra de Bayes Variáveis aleatórias discretas Variáveis aleatórias contínuas 196 Questões propostas 204 Capítulo 9 Inferência estatística Introdução Distribuição de amostragem. Teorema do limite central Intervalo de confiança Estimar uma proporção 221 Questões resolvidas 226 Questões propostas 230 EXAMES NACIONAIS com sugestão de resolução 232 Exame Nacional de a fase 233 Exame Nacional de a fase 241 Exame Nacional de a fase 251 Exame Nacional de a fase 261 Soluções 273 5

4 Resumo teórico Exemplo 1 Tirar cartas de um baralho Um baralho tem 52 cartas. CPEN_MACS11 Porto Editora Quantas sequências (interessa a ordem) diferentes se podem formar ao tirar sucessivamente 3 cartas: 1.1. sem reposição? 1.2. com reposição? Sugestão de resolução 1.1. O número de sequências (interessa a ordem) que é possível formar ao tirar três cartas de um baralho de 52 cartas é: 52 * 51 * 50 = Note que para a primeira carta há 52 hipóteses de seleção, para a segunda há 51 e para a terceira * 52 * 52 = Exemplo 2 A ida às compras A Ana e a Cristina combinaram encontrar se, num centro comercial, às 10:00 para comprarem roupa para a passagem de ano. Contudo, esqueceram se do nome da loja onde se iriam encontrar. No centro comercial havia quatro lojas de roupa para festas. Admita que as duas amigas chegaram à hora combinada e cada uma se dirigiu para uma das quatro lojas Determine o número de possibilidades que elas têm de não se encontrarem Quantas possibilidades há de se encontrarem? Sugestão de resolução 2.1. A Ana pode entrar numa das quatro lojas e a Cristina pode entrar numa das outras três. Assim, aplicando o princípio fundamental da contagem, há 4 * 3 = 12 possibilidades de não se encontrarem Para se encontrarem há 4 * 1 = 4 possibilidades. (A Ana tem quatro possibilidades e a Cristina uma, pois tem de entrar na mesma loja onde a Ana entrou).

5 Capítulo 8 Modelos de probabilidades Exemplo 3 A visita à Inês e o regresso a casa Observe a figura seguinte. casa da Inês ilha rio casa do Ramos O Ramos pretende ir, a pé, visitar a Inês e regressar sem passar duas vezes na mesma ponte. Para chegar da casa à ilha tem três pontes, para chegar da ilha à casa da Inês tem duas pontes. Quantos caminhos diferentes, de ida e volta, pode o Ramos seguir? Sugestão de resolução Para a ida tem 3 * 2 possibilidades e no regresso a casa tem 1 * 2 possibilidades. Logo, o Ramos tem: 3 * 2 * 1 * 2 = 12 caminhos diferentes. Exemplo 4 Colocação de peças de coleção A tia da Ana tem 2 jarras e 3 canecas de coleção. De quantas maneiras diferentes pode colocar as cinco peças em duas prateleiras de um armário, duas peças na prateleira de cima e três na de baixo, de modo que em cima fique uma jarra e uma caneca? Sugestão de resolução Prateleira de cima Para as jarras tem 2 possibilidades de escolha e para as canecas 3, ou seja, 2 * 3 possibilidades de escolha. Como pode trocar a ordem (caneca à esquerda ou à direita), tem 2 * 2 * 3 possibilidades de escolha. Prateleira de baixo 3 * 2 * 1 = 6 1 possibilidade para a peça da direita 2 possibilidades para a peça central 3 possibilidades de escolha para a posição da esquerda CPEN_MACS11 Porto Editora Assim, 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 1 = 72 A tia da Ana tem 72 possibilidades diferentes de decorar o armário com as cinco peças. 165

6 Questões Propostas (Soluções no final do livro) 1. No Parque das Nações O Nuno vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. CPEN_MACS11 Porto Editora De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser começar: 1.1. pelo Oceanário? 1.2. pelo Oceanário e terminar no Pavilhão de Portugal? 2. Considere a roda da sorte da figura O Nuno joga duas vezes. Qual a probabilidade de o Nuno tirar 2 2? 2.2. O António joga três vezes. Qual a probabilidade de o António tirar 2 2 2? O Nuno joga duas vezes e o António joga três. Cada jogada é ganha por aquele que tirar o maior número de 2. No caso de empate, a jogada não conta. 2 2 Determine a probabilidade de o Nuno ganhar. 3. O paradoxo de Condorcet Considere as seguintes rodas da sorte, divididas em três setores iguais. Quando se joga em qualquer uma das rodas, é igualmente provável a saída de qualquer um dos setores. Temos três jogadores: o António (A), o Bernardo (B) e o Carlos (C). Joga se dois a dois e cada um dos dois jogadores escolhe uma roda. Ganha aquele a quem sair o maior número António (A) Bernardo (B) Carlos (C) Mostre que, se o número de vezes em que se joga é significativamente elevado, se tem: 204 C ganha a B, B ganha a A e, no entanto, A ganha a C.

7 Capítulo 8 Modelos de probabilidades 4. Suponha que o dono de um casino lhe faz uma proposta, no sentido de inventar um jogo, para ser jogado por dois jogadores. Em cada jogada, é lançado um par de dados, numerados de 1 a 6, e observa se a soma dos números saídos. O dono do casino coloca ainda algumas restrições: o jogo terá de ser justo, isto é, ambos os jogadores deverão ter igual probabilidade de ganhar; para que o jogo seja mais emotivo, deverão ocorrer situações em que ninguém ganha, transitando o valor do prémio para a jogada seguinte; uma vez que o casino terá de ganhar dinheiro, deverá ocorrer uma situação (com probabilidade maior do que a probabilidade de cada um dos jogadores ganhar) em que o prémio reverta a favor do casino. Numa curta composição, com cerca de 10 linhas, apresente, ao dono do casino, uma proposta de um jogo que obedeça a tais condições. Deverá fundamentar a sua proposta indicando, na forma de percentagem, a probabilidade de, em cada jogada: cada um dos jogadores ganhar; o casino ganhar. Sugestão: comece por elaborar uma tabela onde figurem as somas possíveis (no lançamento de dois dados). 5. Tem se uma porta e seis chaves. Sabe se que só uma das chaves abre a porta. Considere a experiência de abrir a porta com uma das chaves. Experimenta se uma das chaves. Se não for a chave que abre a porta coloca se de lado e experimenta se outra. O procedimento repete se até que se descubra qual é a chave que abre a porta. CPEN_MACS11 Porto Editora Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas que são feitas até se conseguir abrir a porta Obtenha a distribuição de probabilidades da variável aleatória X Qual é o valor médio da distribuição de probabilidades? Explique qual é o significado deste valor no contexto da situação descrita. 205

8 Exames Nacionais EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto Lei n. 139/2012, de 5 de julho Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais 11. Ano de Escolaridade Prova 835/1.ª Fase Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos 2016 Na resposta a cada item, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. Sempre que recorrer à calculadora, apresente todos os elementos recolhidos na sua utilização. Cotações 1. Num determinado dia da próxima edição do festival de música MaréFest, vão atuar no palco principal as bandas A, B, C e D. Numa ação de campanha publicitária, os organizadores puseram à votação do público a ordem pela qual as bandas deveriam atuar. A votação decorreu online. Ao votar, cada internauta tinha de dispor os nomes das bandas, A, B, C e D, de acordo com a ordem pela qual gostaria de as ver atuar, validando a seguir o seu voto. A votação encerrou quando foram apurados os votos dos primeiros mil internautas. A Tabela 1 apresenta as preferências de 900 desses 1000 internautas. 25 Tabela 1 Preferências N. de votos ª A B C 2.ª B A D 3.ª C C B 4.ª D D A Os 100 internautas restantes votaram todos numa mesma ordenação das quatro bandas, sendo essa ordenação diferente das três constantes da Tabela