Departamento de Eletroeletrônica -COTUCA Circuitos Elétricos

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1 Eletricidade Básica - Departamento de Eletroeletrônica -COTUCA Circuitos Elétricos

2 Sumário 1 NTRODUÇÃO 6 2 ARÁES ELÉTRCAS Sistema nternacional de Unidades Corrente Tensão Potência Energia Notação 8 3 CONCETOS BÁSCOS DE CRCUTOS ELÉTRCOS Definição: Fonte de Tensão ndependente Fonte de Corrente ndependente Fontes Dependente de Tensão e Corrente Elementos Ativos no Circuito Elementos Passivos no Circuito 10 4 RESSTÊNCA ELÉTRCA (LE DE OHM) Características dos Resistores Tipos de Resistores Código de Cores nterpretação do Código de Cores Casos Especiais de Código de Cores Exercícios 14 5 LES DE KRCHHOFF Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) Exercícios 17 6 ASSOCAÇÃO DE RESSTORES E RESSTÊNCA EQUALENTE Associação em Série de Resistores Associação em Paralelo de Resistores Associação Mista de Resistores Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes ndependentes Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e ndependentes Transformação Estrela-Triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Conversão de Estrela para Triângulo Exercícios 26 7 DSOR DE TENSÃO E CORRENTE Divisor de Tensão Divisor de Corrente Exercícios 32 8 MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Aplicação da LTK para as Malhas Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 35 2

3 8.6 Exemplo de Aplicação Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Aplicação de LTK para as Malhas Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos Análise de Malhas com Fontes de Corrente Exemplo de Aplicação Exercícios 41 9 MÉTODO DE ANÁLSE NODAL Seleção do Nó de Referência Aplicação da LCK aos Nós Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos Exemplo de Aplicação Seleção do Nó de Referência Aplicação da LCK aos Nós Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Solução do Sistema de Equações Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos Análise Nodal com Fontes de Tensão Exercícios SUPERPOSÇÃO Exemplo de Aplicação Exercícios CRCUTOS EQUALENTES DE THÉENN E NORTON ntrodução Circuito Equivalente de Thévenin Circuito Equivalente de Norton Exemplo de Aplicação Exercícios ndutores e Capacitores ndutor Associação de ndutores Capacitor Associação de Capacitores Exercícios ANÁLSE DE CRCUTOS SENODAS Fontes Senoidais Exemplo de Aplicação Exercícios FASORES O Conjugado de um Número Complexo Soma de Números Complexos Subtração de Números Complexos Multiplicação de Números Complexos Divisão de Números Complexos Exercícios 79 3

4 15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSOS A FONTES SENODAS Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente ndutivo Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo mpedância e Reatância Exemplo de Aplicação Exercícios ASSOCAÇÃO DE MPEDÂNCAS Associação em Série de mpedâncias Associação em Paralelo de mpedâncias Transformação Estrela-Triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Conversão de Estrela para Triângulo Exemplo de Aplicação Exercícios MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Exemplo de Aplicação Exercícios MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Exemplo de Aplicação Exercícios TEOREMA DA SUPERPOSÇÃO Exemplo de Aplicação Exemplo de Aplicação Exercícios TRANSFORMAÇÃO DE FONTES CRCUTOS EQUALENTES DE THÉENN E NORTON NO DOMÍNO DA FREQÜÊNCA Exemplo de Aplicação Exercícios RESSONÂNCA Ressonância Série Ressonância Paralela Exemplo de Aplicação Exercícios POTÊNCAS E FATOR DE POTÊNCA Potência nstantânea Potência Complexa e Triângulo das Potências Correção do Fator de Potência Exemplo de Aplicação Exercícios CRCUTOS TRFÁSCOS EQULBRADOS Tensões Trifásicas Equilibradas Fonte de Tensão Trifásica Análise do Circuito Ligado em Y-Y Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo ( ) Potência em Carga Trifásica Equilibrada Exemplo de Aplicação 135 4

5 24.7 Exercícios 136 João Marcio Buttendorff 5

6 1 NTRODUÇÃO Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira. Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas. No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados. 2 ARÁES ELÉTRCAS 2.1 Sistema nternacional de Unidades O Sistema nternacional de Unidades, ou S, é adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física que elas representam. Tabela 2.1 Unidades Básicas no S. Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente Elétrica ampère A Temperatura kelvin k ntensidade Luminosa candela cd As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são apresentadas na tabela 2.2. Grandeza Unidade Símbolo Carga Elétrica coulomb C Potencial Elétrico volt Resistência ohm Condutância siemens S ndutância henry H Capacitância farad F Freqüência hetz Hz Força newton N Energia, Trabalho joule J Potência watt W Fluxo Magnético weber Wb Densidade de Fluxo Magnético tesla T João Marcio Buttendorff 6

7 2.2 Corrente A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o ampère, simbolizado por A. dq i = (2.1) dt i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s). 19 (O elétron possui carga de 1, C). 2.3 Tensão A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por. dw v = (2.2) dq v = volt (), w = energia (J), q = coulomb (C). 2.4 Potência Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W. dw dq dw p = v. i =. dq dt = dt (2.3) 2.5 Energia Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e demais unidades dela derivadas, tais como o kw.hora. t w = p. dt = v. i. dt t (2.4) 0 0 João Marcio Buttendorff 7

8 2.6 Notação É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita =10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10a. 3 CONCETOS BÁSCOS DE CRCUTOS ELÉTRCOS 3.1 Definição: Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes componentes básicos: Fontes de tensão dependentes ou independentes; Fontes de corrente dependentes ou independentes; Resistores; Capacitores; ndutores. 3.2 Fonte de Tensão ndependente A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes independentes podem ser do tipo contínua ou alternada. Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua. A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo de fonte de tensão alternada. Tensão Contínua Tensão Alternada Fig Fontes de Tensão. 3.3 Fonte de Corrente ndependente Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente também podem ser do tipo contínuo ou alternado. João Marcio Buttendorff 8

9 Corrente Contínua Corrente Alternada Fig Fontes de Corrente. 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base. =a.x =b.x Fonte de Tensão Fonte de Corrente Dependente Dependente Fig Fontes Dependentes. 3.5 Elementos Ativos no Circuito São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais componentes do circuito. Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo potência, ou seja, a potência é positiva. Fornecendo Absorvendo Potência Potência P=. P=-(.) Fig Convenção para fontes. João Marcio Buttendorff 9

10 3.6 Elementos Passivos no Circuito São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos passivos. Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo) e sai do mesmo pelo lado de menor potencial. R - R C - C L - L Fig Convenção para elementos passivos. 4 RESSTÊNCA ELÉTRCA (LE DE OHM) Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do resistor. A letra R indica a resistência do resistor. R Fig Símbolo do resistor. A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a formulou pela primeira vez no início do século XX. A lei de Ohm é a relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (S). O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( ). A equação (4.1) descreve esta lei. R. (4.1) Onde: = Tensão em volts (); = Corrente em ampères (A); R = Resistência em ohms ( ). A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W). P. (4.2) Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência. João Marcio Buttendorff 10

11 P 2. R (4.3) 2 P (4.4) R O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e medido em Siemens (S). Assim: 1 G = (4.5) R Exemplos 2.1: Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências dissipadas nos mesmos. 1A 8R 1A 20R (A) (B) Fig. 4-2 Exemplos. Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se: RA RA R RB RB R (4.6) P. P RA RA RA 8.1 8W P. P RB RB RB W (4.7) 4.1 Características dos Resistores Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os mesmos: Resistência ôhmica; Percentual de tolerância; Potência. Resistência Ôhmica O valor específico da resistência do componente é indicada numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de: 1 1,2 1,5 1,8 2,2 2,7 3,3 3,9 4,7 5,6 6,8 8,2. Percentual de Tolerância Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de percentual: ± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância. João Marcio Buttendorff 11

12 Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como abaixo do valor padrão do resistor. Potência A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as redondezas Tipos de Resistores Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica que serve como base para uma fina camada espiral de material resistivo (filme de carbono ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico. O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade. As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%, apesar de existir também 1 e 2%. Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente. Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos. Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base. Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel cromo) cujo comprimento e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e maior dissipação de potência Código de Cores O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do componente nterpretação do Código de Cores O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade. A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores. 1 º - Unidade; 2 º - Dezena; 3 º - Número de zeros; 1º 2º 3º 4º 4 º - Percentual de tolerância. Fig Resistor codificado por cores. João Marcio Buttendorff 12

13 Cada cor representa um número, como segue: alor Tolerância Preto 0 Marrom 1% Marrom 1 ermelho 2% ermelho 2 Dourado 5% Laranja 3 Prata 10% Amarelo 4 Sem a quarta faixa 20% erde 5 Azul 6 ioleta 7 Cinza 8 Branco 9 Tabela 1 Código de cores. O código é interpretado da seguinte forma: Os dois primeiros anéis são números; O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, n números de zeros que virão após os dois primeiros números; O quarto anel é a tolerância do valor da resistência. Exemplo: 1º anel amarelo = 4 2º anel violeta = 7 3º anel vermelho = 2 zeros (00) 4º anel dourado = 5% de tolerância. Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5% Casos Especiais de Código de Cores Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser considerado como um fator de multiplicação de 0,1. Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%. Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de 0,01. Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%. Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros (fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância. Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = Ohms ± 1%. João Marcio Buttendorff 13

14 4.2 Exercícios 1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores. 12 1k R (A) (B) Respostas: (A) =12mA e P=144mW; (B) =333,33mA e P=13,33W. 2-) Determine a tensão das fontes. 2A 50R 10A R P=200W (A) (B) Respostas: (A) =100; (B) =20. 3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo. 3A 100R 100mA 2,2k (A) (B) Respostas: (A) =300 e P=900W; (B) =220 e P=22W. 5 LES DE KRCHHOFF Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se, entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas: Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito (ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós (nós 1 e 2); Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2) conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito. Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez pelo mesmo nó. João Marcio Buttendorff 14

15 cc R1 R2 1k Fig Circuito com dois nós Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1, pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1: (5.1) 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito é sempre nula. R1 R2 R1 - R2 - cc R2 - R3 Fig Circuito com uma malha. Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se escrever a seguinte equação: cc R 1R 2R3 0 cc R 1 R2 R3 (5.2) Exemplo 3.1: Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente 1 no circuito da Fig João Marcio Buttendorff 15

16 R1=10R R2=50R 6A Fig Exemplo 3.1. Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo formado pelo resistor R 2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado por 1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R 2 está saindo do nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a ser o apresentado na Fig R1 1 R2 Nó 1 2 6A Nó 2 Fig Circuito resultante. Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são positivas e as que saem são negativas, obtém-se: (5.3) Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no sentido horário, obtém-se: (5.4) R1 R2 R R Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4). R. R (5.5) Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se: 3A 1 2 3A (5.6) O resultado negativo de 1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do sentido apresentado na Fig Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito. João Marcio Buttendorff 16

17 Exemplo 3.2: Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e a potência fornecida pela fonte de tensão. 3R 7R 24 R1 - R2 - R3-2R Fig Exemplo 3.2. Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se: 24 0 R1 R2 R3 24 R1 R2 R3 (5.7) Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a corrente do mesmo. R. R. R A (5.8) Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre os mesmos. R R1 1 R R2 2 R R3 3 (5.9) A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela corrente que circula por ela. P W (5.10) 5.3 Exercícios 1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo A 2A 10A =? 20 =? 1 6 Respostas: =8A e =10. João Marcio Buttendorff 17

18 2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2. R2 20R R1 10R Respostas: =1A; R1 =10 e R2 =20. 3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo. R R 8R Resposta: R 4 4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte. R1 - R2-24 3R 7R R3 2R Respostas: =2A, R1 =6, R2 =14, R3 =4 e P=48W. 5-) Para o circuito abaixo, calcule: a) As correntes da fonte e no resistor de 80; b) A tensão no resistor de 90; c) erifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos resistores. 30R 80R 1,6A 90R Respostas: a) =4A, 1 =2,4A; b) =144; c) P tot =768W. 6-) Dado o circuito, determine: a) O valor de a; b) O valor de b; c) O valor de o; d) As potências dissipadas nos resistores; e) A potência fornecida pela fonte. João Marcio Buttendorff 18

19 4R 50 a 20R b o 80R Respostas: a) a=2a; b) b=0,5a; c) o=40; d) P 4R =25W, P 20R =80W e P 80R =20W; e) P=125W. 7-) A corrente 0 no circuito é 4A. a) Determine a corrente 1; b) Determine as potências dissipadas nos resistores; 25R 0 5R 10R R 8R Respostas: a) 1 =2A; b) P 25R =400W, P 5R =320W, P 70R =280W, P 10R =360W e P 8R =800W. 8-) Determine no circuito abaixo a corrente 1 e a tensão. 54k 1-1,8k 5 1 6k Respostas: 1 =25uA e =-2. 9-) A corrente 1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule: a) A tensão s; b) A potência recebida pela fonte de tensão independente; c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; e) A potência total dissipada pelos dois resistores R 5A 1 30R s Respostas: a-) s=70; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W. João Marcio Buttendorff 19

20 6 ASSOCAÇÃO DE RESSTORES E RESSTÊNCA EQUALENTE A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de determinação da resistência equivalente. 6.1 Associação em Série de Resistores Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme mostra a Fig O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n resistores. R1 - R2 - R3 - Rn - R1 R2 R3 Rn Fig Circuito série. A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte. (6.1) R1 R2 R3... Rn Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se: R R R R (6.2) n R1 R2 R3 R n.(... ) (6.3) A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (R eq ) do circuito. Desta forma, tem-se: R (6.4). eq João Marcio Buttendorff 20

21 Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação por, determina-se a equação da resistência equivalente do circuito. R R R R... R (6.5) eq A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig n Req Fig Circuito equivalente. 6.2 Associação em Paralelo de Resistores Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles n R1 R2 R3 Rn Fig Circuito paralelo. A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim: n (6.6) A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total () do circuito. Desta forma, tem-se: (6.7) R eq Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a corrente total pela equação (6.7), obtém-se: João Marcio Buttendorff 21

22 ... (6.8) R R R R R e q n Dividindo-se ambos os lados da equação (6.8) por, obtém-se: (6.9) R R R R R eq n R eq R R R R n (6.10) Esta equação é usada para determinar o valor da resistência equivalente dos resistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equação que o valor total da resistência é menor que o menor valor das resistências individuais. Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equação (6.11) para determinar a resistência equivalente. R eq R1. R2 R R 1 2 (6.11) 6.3 Associação Mista de Resistores No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que estão conectadas em paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equações (6.5), (6.10) e (6.11) até que se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a seguir ilustra este procedimento. Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. a R2 R4 a R2 RA (A) R1 R3 R5 (B) R1 R3 b b a R2 a (C) R1 RB (D) R1 RC b b a (E) RD b Fig Associação mista de resistores. João Marcio Buttendorff 22

23 Pela Fig. 6-4, os resistores R 4 e R 5 estão em série, podendo-se determinar a resistência equivalente R A pela equação (6.5) (vide figura A). R R R (6.12) A 4 5 O circuito possuirá agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que os resistores R A e R 3 estão conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a equação (6.11), resultando na resistência R B : R B R. A R3 R R A 3 (6.13) Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na figura (C). Os resistores R B e R 2 estão agora em série e a resistência equivalente R C correspondente a estes dois é dada pela equação (6.5): R R R (6.14) C B 2 O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores R C e R 1 estão em paralelo e podem ser associados pela equação (6.11), resultando na resistência equivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominado de R D. R D R. C R1 R R C 1 (6.15) Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois terminais específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência equivalente diferente. Não existe, portanto, o conceito da resistência equivalente do circuito ou resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de dois terminais do circuito. 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes ndependentes Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou parte dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes independentes, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par de terminais. Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes independentes do circuito. Para isso, as fontes de tensão serão substituídas por terminais em curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), será obtido a partir do circuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas. João Marcio Buttendorff 23

24 a R2 R3 a R2 R3 (A) R1 cc (B) R1 b b Fig Resistência equivalente contendo fontes. 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e ndependentes Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e, contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensões e correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte de tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida determinar a corrente da mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão aplicada e a corrente. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer, devendo-se optar por um valor que simplifique o calculo (1, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra este procedimento. Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Fig. 6-6(A) e o circuito utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Fig. 6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1. a 2R x - 3R a 2R x - 3R 4R 5.x R 5.x b (A) Fig Circuito exemplo. b (B) Aplicando-se a Leis das Tensões de Kirchhoff, obtém-se: 1 x 5. x = 0 x = 0,1667 (6.16) Aplicando-se a LCK no nó formado pela fonte de tensão e pelos resistores de 2 e 4, obtém: = 2Ω 4Ω 1 0,1667 = = 0,3333A 4 2 Assim, a resistência equivalente é obtida por: (6.17) João Marcio Buttendorff 24

25 R eq 1 = = = 3Ω (6.18) 0, Transformação Estrela-Triângulo Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser determinada e não é possível utilizar as regras de associação série nem as de associação em paralelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão estrela-triângulo. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Fig. 6-7(a), ao passo que a conexão em triângulo é mostrado na Fig. 6-7(b). A conexão em estrela também é denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão triângulo também é denominada de conexão delta ou ainda conexão. R1 R2 Rc R3 Rb Ra (a) (b) Fig Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo Conversão de Triângulo para Estrela Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito para estrela utilizando-se as seguintes relações: Rb. Rc R1 = R R R a b c (6.19) R R 3 2 Ra. Rc = R R R a b c Ra. Rb = R R R a b c (6.20) (6.21) A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma dos três resistores do triângulo Conversão de Estrela para Triângulo Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo utilizando-se as seguintes relações: João Marcio Buttendorff 25

26 R a R1. R2 R2. R3 R3. R1 = (6.22) R 1 R R b c R1. R2 R2. R3 R3. R1 = (6.23) R 2 R1. R2 R2. R3 R3. R1 = (6.24) R 3 A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da estrela. 6.7 Exercícios 1-) Calcule a tensão sobre cada resistor dos circuitos abaixo. R1 5R 1R 2R 110 R2 10R 115 R3 3R 4R 7R (a) (b) Respostas: (a) 1=25; 2=50 e 3=35 (b) 1=11,5; 2=23; 3=34,5 e 4=46. 2-) Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica (15), um torrador de pão (15) e uma panela de frituras (12) ligados às tomadas de 120 de uma cozinha. Que corrente fluirá em cada ramo do circuito e qual é a corrente total consumida por todos os eletrodomésticos? Respostas: Caf =8A; Tor =8A; Pan =10A e tot =26A. 3-) Determine a resistência equivalente para o circuito abaixo: a) Como está desenhado; b) Com o resistor de 5 substituído por um curto-circuito; c) Com o resistor de 5 substituído por um circuito aberto. 3R 4R 5R 4R 10R 9R 4R 2R 1R Respostas: a) Req 10 ; b) Req 9,933 e c) Req 10,2. João Marcio Buttendorff 26

27 4-) Determine a resistência equivalente para os dois circuitos abaixo. 2R 7k 12R 24R 15k 30k 24k 30k 20k 6R Respostas: (A) Req 16 ; (B) Req 6k. 5-) Determine a resistência equivalente do circuito abaixo. 5R 10R 8R 20R 15R 6-) Determine para os três circuitos abaixo: a) A resistência equivalente; b) As potências fornecidas pelas fontes. Resposta: R eq =12,162. 8R 16R 6R 10R R 12R 4R 20R 15R 14R 10R 20 15R 48R 18R 6R 20R 8R (B) 6R (A) 6A 60R 15R 30R 48R 15R 10R 18R 10R Respostas: (A) Req 10 e P=40W; (B) Req 27 e P=768W; (C) R 24 e P=864W. eq (C) 7-) Determine o e g no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 27

28 12R 50R 30R 25A g 25R 30R o 60R Respostas: o=300 e g= ) Calcule a tensão x no circuito. 5k 60k 30 - x 1k 15k Resposta: x=1. 9-) A corrente no resistor de 9 do circuito abaixo é 1A, como mostra a figura. a) Calcule g; b) Calcule a potência dissipada no resistor de R 10R 5R 4R 1A g 32R 40R 25R 9R 2R 3R 1R Respostas: a) g=144; b) P=28,8W. 10-) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 3k do circuito abaixo. 750R 15k 25k 192 5k 3k 5k Resposta: P=300mW. João Marcio Buttendorff 28

29 11-) Obtenha a resistência equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar a corrente. 12,5R 10R 120 5R 30R 15R 20R Respostas: R eq =9,632 e =12,458A. 7 DSOR DE TENSÃO E CORRENTE A solução de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicação de técnicas conhecidas como divisor de tensão e divisor de corrente. As regras de aplicação dos divisores são obtidas a partir das regras de associação série e paralela de resistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis de Kirchhoff. 7.1 Divisor de Tensão A regra do divisor de tensão se aplica a componentes (resistores) conectados em série, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensão sobre cada componente individual. A resistência equivalente vista pela fonte é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: R R R R R... R (7.1) eq n R1- R1 R2 R3 R4 Rn (A) R2- R3- R4- Rn- Req- Req (B) Fig Divisão de tensão entre resistores em série. Em um circuito em série a corrente em todos os componentes é a mesma, sendo dada pela equação: R ( R R R R... R ) eq n (7.2) João Marcio Buttendorff 29

30 Desta forma, a tensão sobre cada resistor será dada pelas seguintes equações:... R1. R. ( R R R R... R ) R1 1 R R2. R. ( R R R R... R ) R3 3 Rn R3. R. ( R R R R... R ) Rn. Rn. ( R R R R... R ) n n n n (7.3) (7.4) (7.5) (7.6) As equações anteriores permitem determinar diretamente a tensão sobre cada resistor a partir da tensão aplicada à associação. A regra é: a tensão sobre cada componente é a tensão aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistência e dividida pela soma das resistências dos componentes. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensões e sentidos das correntes sobre os componentes são conforme mostra a Fig Divisor de Corrente Analogamente ao caso de resistências em série, a regra do divisor de corrente se aplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componente individual. A resistência equivalente é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: R eq R R R R R n (7.7) R n R2 R3 R4 Rn (A) Req (B) Fig Divisão de corrente entre resistores em paralelo. João Marcio Buttendorff 30

31 A tensão em todos os componentes é mesma, sendo então determinada pela equação (7.8): 1.R eq R R R R R n (7.8) Desta forma, a corrente em cada um dos resistores será dada pelas seguintes equações: 1 1. R R1... R R R R R n (7.9) 2 1. R R... R R R R R n (7.10) 3 1. R R... R R R R R n (7.11) 4 1. R R... R R R R R n (7.12)... n 1. Rn R... R R R R R n n (7.13) As equações anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente em cada componente é a corrente de entrada multiplicada pela resistência equivalente e dividida pela resistência na qual deseja-se obter a corrente. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensão e sentidos das corrente sobre os componentes são conforme apresentado na Fig Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-se obter as seguintes expressões: R 2 1. R R 1 2 (7.14) R 1 2. R R 1 2 (7.15) João Marcio Buttendorff 31

32 7.3 Exercícios 1-) Calcule através do método do divisor de tensão a queda de tensão através de cada resistor. R1 2k 10 R2 6k Respostas: R1 =2,5 e R2 =7,5. 2-) Calcule as correntes 1 e 2 utilizando divisor de corrente. t=18ma 1 2 3k 6k Respostas: 1=12mA e 2=6mA. 3-) Determine no circuito abaixo: a) O valor de o na ausência de carga. b) Calcule o quando RL150k. c) Qual é a potência dissipada no resistor de 25k se os terminais da carga forem acidentalmente curto circuitados? d) Qual a potência máxima dissipada no resistor de 75k? 25k k o RL Respostas: a) o=150; b) o=133,33; c) P=1,6W e d) P=300mW. 4-) Determine a potência dissipada no resistor de 6 do circuito abaixo. 1,6R 10A 16R 4R 6R Resposta: P=61,44W. João Marcio Buttendorff 32

33 5-) No circuito divisor de tensão da figura abaixo, o valor de o sem carga é 6. Quando a resistência de carga R L é inserida ao circuito, a tensão cai para 4. Determine o valor de R 2 R L. 40R 18 R2 RL o Respostas: R2 20 e R 26,67. 6-) Calcule no circuito divisor de tensão abaixo: a) A tensão de saída o sem carga; b) As potências dissipadas em R 1 e R 2 ; L R1 4,7k 160 R2 3,3k o Respostas: a) o=66 e b) P R1 =1,88W e P R2 =1,32W. 7-) Muitas vezes é necessário dispor de mais de uma tensão na saída de um circuito divisor de tensão. Assim, por exemplo, as memórias de muitos computadores pessoais exigem tensões -12, 6 e 12, todas em relação a um terminal comum de referência. Escolha os valores de R 1, R 2 e R 3 no circuito abaixo para que as seguintes especificações de projeto sejam atendidas: a) A potência total fornecida ao circuito divisor de tensão pela fonte de 24 deve ser de 36W quando o circuito não está carregado. b) As três tensões, todas medidas em relação ao terminal comum de referência, devem ser 1 =12, 2 =6 e 3 =-12. R R2 Comum R3 3 Respostas: R 1 4, R2 4 e R3 8. João Marcio Buttendorff 33

34 8-) Calcule a corrente no resistor de 6,25, no circuito divisor de corrente apresentado abaixo. 1142mA 0,25R 2,5R 1R 6,25R 10R 20R Resposta: =32mA. 8 MÉTODO DE ANÁLSE DE MALHAS A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir. 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso nicialmente devem ser determinadas quantas malhas contém o circuito. Para um circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n1) malhas, as quais permitirão escrever um número de equações independentes também igual a (b-n1). Uma vez identificadas às malhas, deve-se numerá-las e designá-las como 1, 2, 3... b-n1. Além disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas. 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n1) equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de acordo com a convenção adotada. 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das tensões dos ramos e as incógnitas são correntes de malha, devem-se utilizar as relações de tensão-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n1) equações envolvendo as correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), existindo, portanto b relações deste tipo. João Marcio Buttendorff 34

35 8.4 Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas lineares para determinar as (b-n1) incógnitas. 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos Depois de solucionado o sistema de equações e obtido as correntes das malhas, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo, a corrente de ramo K, percorrido por um lado pela corrente de malha x e por outro pela corrente de malha Y do circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode ser obtida pela seguinte equação: k x y (8.1) Fig Tensão e corrente de ramo. Na equação (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão no ramo k será dada como:. R ( ). R (8.2) k k k x y k R k Resistência do ramo k (ohms, ) 8.6 Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 8-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas passo a passo. João Marcio Buttendorff 35

36 8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o número de malhas fechadas é (5-41)=2. Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto ser escolhido um outro sentido. Na figura também são mostrados os sentidos considerados positivos para as quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes. R1 - R2-1 R3 2 Malha 1 Malha 2 - R4 - Fig Circuito de exemplo Aplicação de LTK para as Malhas De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas pelas seguintes equações: 0 (8.3) R1 R3 R1 R3 (8.4) R3 R2 R Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas equações (8.1) e (8.2) da forma que segue: (8.5) R1 1 (8.6) R2 2 R3 1 2 (8.7) (8.8) R4 2. R. R (8.9) R1 R R. R (8.10) R2 R R ( ). R (8.11) R3 R R. R (8.12) R4 R João Marcio Buttendorff 36

37 nserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em termos das correntes de malha. Equação da malha 1: R1 R3. R ( ). R ( R R ). R (8.13) Equação da malha 2: 0 R3 R2 R4 ( ). R. R. R R.( R R R ) (8.14) Solução do Sistema de Equações Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores: 20 R 1 2 R2 4 (8.15) R3 6 R4 3 Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma: (8.16) Solucionando-se o sistema, obtém-se: 3,824 A 1 2 1,765 A Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tensões em todos os ramos: R1 1 3,824 A (8.17) R2 2 1, 765A (8.18) R ,8241, 765 2, 059A (8.19) R4 2 1, 765A (8.20). R 3, , 684 (8.21) R1 1 1 João Marcio Buttendorff 37

38 . R 1, , 06 (8.22) R2 2 2 ( ). R (3,8241,765).6 12,354 (8.23) R R 1, , 295 (8.24) R4 2 4 Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos pode-se também determinar as potências em cada um dos componentes bem como a potência total dissipada no circuito. 8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo, contudo possível determinar à tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito. Considerando que a fonte de corrente está inserida entre as malhas x e y conforme a Fig. 8-3, observa-se que a tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão pode-se manter a tensão k da fonte como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y estão relacionadas pela seguinte relação: (8.25) x y Fig Fonte de corrente entre duas malhas. Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações, mas também foi acrescentada uma equação, sendo ainda possível solucionar o circuito. João Marcio Buttendorff 38

39 Também se pode eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a tensão k na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. Desta forma, elimina-se a equação de uma das malhas do sistema. Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, significa que a corrente da malha está determinada pela própria corrente da fonte. Neste caso pode-se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor para a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4: x (8.26) Fig Fonte de corrente em uma única malha. 8.8 Exemplo de Aplicação O exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento. R1=6 R2= R3=2 1 =20-2 Malha 1 Malha 2 R4=4 - f =6A - Fig Análise de malha com fonte de corrente. Para este circuito, as equações das malhas são as seguintes: Malha 1: 0 (8.27) Malha 2: R1 R3 f R1 R3 f (8.28) R2 R3 R4 f 0 As relações tensão corrente no circuito são as seguintes: João Marcio Buttendorff 39

40 (8.29) R1 1 (8.30) R2 2 R3 1 2 (8.31) (8.32) R4 2. R. R (8.33) R1 R R. R (8.34) R2 R R ( ). R (8.35) R3 R R. R (8.36) R4 R A equação adicional considerando a fonte de corrente é: 2 1 (8.37) Substituindo-se as equações (8.29) a (8.36) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (8.37)). Malha 1: R1 R3 f. R( ). R ( R R ). R f f (8.38) Malha 2: 0 R2 R3 R4 f. R( ). R. R R.( R R R ) f f (8.39) As equações (8.37), (8.38) e (8.39) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas 1, 2 e f. Substituindo os valores nas equações, obtém-se: f f (8.40) Resolvendo-se o sistema acima, obtém-se finalmente a solução: 3,2 A 1 2 f 2,8A 51,2 (8.41) João Marcio Buttendorff 40

41 8.9 Exercícios 1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o método das correntes de malha. 4R 1R R 3 2 6R 1R 3R Respostas: 1=3A; 2=1A e 3=2A. 2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha. 2R 4R R Respostas: 1=2A; 2=-1A e 3=3A. 3-) Calcule as correntes 1 e 2 e a corrente através da fonte de 20, usando o método da corrente de malha. 1R R Respostas: 1=2A; 2=5A e 20 =-3A. 4-) Use o método das correntes de malha para determinar: a) As potências associadas às fontes de tensão. b) A tensão o entre os terminais do resistor de 8. 2R 6R 4R 40 8R o 6R 20 Respostas: a) P 40 =224W e P 20 =16W; b) o=28,8. 5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 41