Interferência. A Superposição de duas ou mais ondas de mesma freqüência com diferenças de fase constante chama-se Interferência.

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2 Interferência A Superposição de duas ou mais ondas de mesma freqüência com diferenças de fase constante chama-se Interferência. ondas mesma fase t interferência construtiva ondas com oposição de fase interferência destrutiva t Ondas com diferença de fase superposição qualquer O que determina se a interferência é construtiva ou destrutiva? RESP: A diferença de fase entre as ondas! I - 1

3 Condições para se observar os efeitos da interferência Para haver interferência, as fontes devem produzir luz COERENTE Luz Coerente: A fase f precisa ser bem definida e constante, ou seja a diferença de fase não varia no tempo. Quando ondas de fontes coerentes se encontram pode ocorrer uma interferência estável. Fontes Incoerentes: A luz emitida por fontes comuns têm a fase alterada aleatoriamente a cada 10 8 s. Não ocorre interferência estável e o olho não é capaz de perceber alterações na intensidade nessa escala de tempo. A luz do Sol é coerente em um curto intervalo de tempo e distâncias pequenas. A luz de um LASER é produzida pelo comportamento cooperativo de átomos. Ela possui coerência em grandes intervalos de tempo e em uma grandes distâncias. I -

4 Origem da Diferença de Fase em três casos 1- Diferenças de percursos entre as ondas - Propagação de duas ondas em meios distintos com índices de refração diferentes. 3- Reflexão de onda em interfaces Diferenças de Percursos Ópticos Duas ondas em um meio caminham em percursos diferentes. Elas possuem uma diferença de percurso óptico (ΔPO). L1 Percurso óptico 1: PO 1 = n. L 1 P Diferença de percurso óptico: ΔPO = PO PO 1 = n. (L L 1 ) L Percurso óptico : PO = n. L I - 3

5 Diferenças de Fase φ Diferenças de fase φ correspondem à diferenças de percursos ópticos ΔPO Se duas ondas caminham diferentes percursos em um meio com índice de refração n, há uma diferença de fase entre elas, que é dada por: λ v π ΔPO φ φ = π λ v ΔPO = k v. ΔPO φ = π λ v n(l L 1 ) É possível se escrever: φ = π λ n Δr onde Δr = L L 1 e λ n = λ n para se obter φ = π λ v n L L 1 = π λ v n(l L 1 ) NOTA: λ v representa λ no vácuo e k v = π λ v. λ n representa λ em um meio com índice de refração n. I - 4

6 Ondas em Fase e fora de fase Ondas em fase: φ = π. m com m = 0, 1,, 3, Interferência Construtiva: Obs: Ondas fora de fase: Δr = mλ φ π. n φ = π λ n Δr = π λ n mλ n = π. m Não há Interferência Construtiva Interferência Destrutiva: Δr = (m + 1 )λ n φ = π λ n Δr = π λ n m + 1 λ n = π. m + 1 φ = π. m + π Nota: A interferência destrutiva possui diferença de fase entre as ondas de π. I - 5

7 Interferência de Young da fenda dupla - 1 fendas anteparo onda incidente (coerente) Máximos e Mínimos de intensidade, alternados I - 6

8 Interferência de Young da fenda dupla -

9 Geometria da Interferência de Young - 1

10 Geometria da Interferência de Young - O que determina em um ponto P do anteparo no vácuo se a intensidade será máxima ou mínima? d d r 1 L L >> d r diferença de percurso óptico: r = r r 1 = d. senθ P y R: A diferença de percurso óptico ( PO r = r r 1 ) entre os feixes 1 e. Se PO = mλ temos Máximos, Interferência Construtiva. Portanto: d. senθ = mλ Se PO = (m + 1 )λ, temos Mínimos, Interferência Destrutiva. Portanto: d. senθ = (m + 1 )λ com m = 0, ±1, ±, ±3, e tgθ = y L I - 7

11 Obtenção pela soma das funções dos vetores elétricos 1 L P E 1 = E 0 sen kx ωt + E = E 0 sen(kx ωt + φ) d E P = E 0 {sen kx ωt + sen(kx ωt + φ) ou E P = E 0 cos φ sen(kx ωt + φ ) Amplitude E m Intensidade da onda na fenda: I 0 = 1 cε 0E 0 I P = 1 cε 0{4E 0 cos φ } = 4I 0cos φ Intensidade da onda em P: I P = 1 cε 0E m I máx = 4I 0 I P = I máx cos φ I - 8

12 Diferença de Fase no Experimento de Young L Cálculo de f d P y Diferença de fase φ corresponde à diferença de percurso óptico Δr λ π Δr φ Intensidade em P: φ = π λ Δr = π λ d senθ I P = I máx cos ( π λ d senθ) I P = I máx cos φ I - 9

13 Função Intensidade em termos do ângulo Θ I P = I máx cos ( π λ d senθ) Intensidade máxima: π d senθ = mπ λ cos π d senθ = 1 λ m = 0, ±1, ±, ±3, I Nesse caso I P = I máx cos (mπ) Condição de máximos: d senθ = mλ d sen Intensidade mínima: cos π d senθ = 0 λ π λ d. senθ = (m + 1 )π m = 0, ±1, ±, ±3, Nesse caso I P = 0 Condição de mínimos: d. senθ = (m + 1 )λ I - 10

14 Função Intensidade em termos do ângulo de fase φ I - 11

15 Exemplo 1 de Interferência de Fenda Dupla I - 1

16 Obtenção dos resultados pela Soma de Fasores dos Vetores elétricos 1-Considere dois vetores elétricos dados ao lado. A soma vetorial pode ser feita por fasores: E P E 0 E 0 senφ E 1 = E 0 sen kx ωt E = E 0 sen(kx ωt + φ) Cálculo da amplitude: kx ωt = α E 1 = E 0 sen α E = E 0 sen (α + φ) y β φ E 0 x E Rx = E 0 + E 0 cosφ E Ry = E 0 senφ E 0 cosφ α E RP = E Rx + E Ry I - 13

17 E RP = E 0 (1 + cosφ) + (E 0 senφ) E RP = E 0 ( + cosφ) E RP = 4E 0 (cos φ ) E RP = E 0 cos φ Mostra que β = φ E RP. senβ = E 0 sen φ; E RP = E 0 cos φ E 0 cos φ. senβ = E 0sen φ E 0. cos φ. senβ = E 0. sen φ. cos φ senβ = sen φ β = φ E P = E RP sen α + β = E 0 cos ( φ ). sen(kx ωt + φ ) I - 14

18 Outra convenção de ângulos para representar Fasores 1-Represente as funções dos vetores elétricos por fasores girantes com velocidade angular ω, pondo x = 0 como ponto de obseervação. Admita a fase das ondas como ωt + φ de acordo com cada fasor. Vide a figura ao lado. -Faça a soma vetorial (fasorial) para obter o fasor resultante (E R ), cujo comprimento é a amplitude do vetor resultante. Use a geometria para achar o ângulo entre o vetor soma e o primeiro fasor, que é a fase do vetor resultante (β). 3- A projeção desse fasor resultante no eixo vertical dá a função depedente do tempo da onda resultante. I - 15

19 Superpondo Ondas e Fasores para mais de duas fendas 1-Construa uma sequência de fasores (E 1, E, E 3, E 4 ) representando as ondas a serem superpostas. Ligue os fasores em ordem mantendo as defasagens entre os fasores adjacentes. -Faça a soma vetorial (fasorial) para obter o fasor resultante (E R ). O comprimento desse fasor dá a amplitude do vetor resultante. O ângulo entre o vetor soma e o primeiro fasor é o ângulo de fase do vetor resultante. E E 4 E 3 E 1 E 3-A projeção desse fasor resultante no eixo vertical dá a função depedente do tempo da onda resultante. I - 16

20 Exemplo de Interferência por Três Fendas I - 17

21 Reexaminando o Exemplo de Interferência em Três Fendas por Fasores Complexos Considere os três vetores elétricos dados abaixo. A soma vetorial pode ser feita por números complexos: E 1 = E 0 sen kx ωt E = E 0 sen(kx ωt + π 3 ) E 3 = E 0 sen(kx ωt π 6 ) Admita que os vetores sejam as partes imaginárias de funções complexas, onde α = kx ωt: E 1 = I m (E 0 e i(α+0) ) E = I m (E 0 e i(α+π 3 ) ) E 3 = I m (E 0 e i(α π 6 ) ) I - 18

22 Chamaremos de Fasores Complexos às partes constantes das funções anteirores dos campos elétricos: E 1 = I m E 0 e i α+0 = I m E 0 e i0 e iα = I m f E1 e iα E = I m E 0 e i α+π 3 = I m { E 0 e iπ 3 e iα } = I m { f E e iα } E 3 = I m E 0 e i α π 6 = I m { E 0 e iπ 6 e iα } = I m { f E e iα } Podemos considerar somente as somas dos fasores complexos f E E P = E 1 + E + E 3 = I m f E1 e iα + I m f E e iα + I m f E e iα E P = I m {(f E1 +f E + f E3 )e iα } = I m {(f ER )e iα } onde f ER = f E1 + f E + f E3 = E 0 e i 0 + e i π 3 + e i π 6 I - 19

23 f ER = E 0 cos0 + isen0 + cos π 3 + isen π 3 + cos ( π 6 ) + isen( π 6 ) f ER = E i0 + 0,5 + i0, ,866 + i 0,5 f ER = E 0 [,366 + i0,366] Lembrando que temos a + ib = ( a + b )e i(tgb a ) f ER = E 0, ,366 i tg0,366 e,366 = E 0,394ei 8,79 Portanto E P = I m {(f ER )e iα } = I m {(E 0,394e i 8,79 )e iα } = I m {,394E 0 e i α+8,79 } E P = I m,394e 0 e i α+8,79 =,394E 0. sen(kx ωt + 8,79 ) I - 0

24 Problemas sobre adição de Fasores Questão: Use o método de fasores ou de adição de funções senoidais ou ainda o método do paralelogramo (gráfico) para obter os vetores das ondas eletromagnéticas resultantes da superposição das ondas representadas abaixo. Obtenha ainda a diferença de fase entre a onda resultante E R e a onda E 1. Admita-as coerentes: (a) E 1 = 5. sen(kx ωt); E = 5. sen(kx ωt + 10 ). (b) E 1 = 6. sen(kx ωt + 10 ); E = 6. sen(kx ωt + 40 ). (c) E 1 = 4. sen(ωt); E = 3. sen(ωt + π 3 ). (d) E 1 = 4. sen(kx ωt); E = 6. sen(kx ωt + π 4 ). (e) E 1 = 8. sen(kx ωt); E = 4. sen(kx ωt + π ); E 3 = 6. sen(kx ωt + π). Resp: (a) E R = E 1 + E = 5 sen kx ωt + sen kx ωt Porém senα + senβ =. sen α+β. cos [ α β ]. Escolhendo α = kx ωt + δ e β = kx ωt

25 obtemos E R = x5. sen kx ωt + δ. cos δ, onde δ = 10 = 60 cos60 = 1 E R = 5. sen kx ωt (b) E R = E 1 + E = 6 sen kx ωt sen kx ωt Porém senα + senβ =. sen α+β. co s α β ; α = (kx ωt + δ ) e β = (kx ωt + δ 1 ) E R = x6. sen kx ωt + δ +δ 1. cos δ δ 1 ; δ δ 1 = = 60, cos 60 = 1 δ +δ 1 = = 180 E R = 6. sen kx ωt

26 (c) E R = E 1 + E = [4. sen ωt + 3. sen ωt + π 3 ]. Usaremos o método do paralelogramo: E Rm = E 1m + E m +. E 1m. E m. cosδ E Rm = x4x3. cos60 = 37 E Rm = 6,08 e senφ = cat op hip 3. sen60 = 6,08 = 0,473 φ = 5, 3 E R = E Rm. sen(ωt + φ) E R = 6, 08. sen ωt + 5, 3.

27 (d) E R = E 1 + E = [4. sen kx ωt + 6. sen kx ωt + π 4 ]. Usaremos o método do paralelogramo, fazendo α = kx ωt: E Rm = E 1m + E m +. E 1m. E m. cosδ E Rm = x4x6. cos45 = 85,94 E Rm = 9,7 e senφ = cat op hip = 6.sen45 9,7 = 0, φ = 7, 4 E R = E Rm. sen kx ωt + φ E R = 9, 7. sen kx ωt + 7, 4.

28 (e) E R = E 1 + E + E 3 = 8. sen kx ωt + 4. sen kx ωt + π + 6. sen(kx ωt + π). Seja α = kx ωt E R = 8. senα + 4. sen α + π + 6. sen(α + π). Do diagrama temos E Rm. cosφ = 8 6 = e E Rm. senφ = 4 E Rm = (E Rm. cosφ) + (E Rm. senφ) = = 0 E Rm = 4,47 e tgφ = φ = 63, 44 cat op cat adj = 4 = E R = E Rm. sen kx ωt + φ E R = 4, 47. sen kx ωt + 63, 44. FIM

29 Interferência em N Fendas por Fasores Considere os vetores elétricos dados abaixo. A soma vetorial será feita por fasores E 1 = E 0 sen kr ωt E = E 0 sen(kr ωt + φ) E 3 = E 0 sen(kr ωt + φ) E N = E 0 sen(kr ωt + (N 1)φ)

30 Diferença de Percurso Óptico - Interferência N Fendas L >> d d diferença de percurso óptico: r = r r 1 = d. senθ Diferença de fase entre dois feixes adjacentes: φ = π λ Δr = π λ d senθ I - 1

31 Da geometria dessa soma fasorial entre os N feixes, temos para o fasor resultante E R : E R = AC = BC = R. sen Nφ e para E 0 : E 0 = R. sen φ R = E 0.sen φ Pondo na equação anterior E 0 E R =.. sen φ. sen Nφ sen Nφ E R = E 0 sen φ. I - 3

32 Intensidade em N Fendas Intensidade da onda na fenda: I 0 = 1 cε 0E 0 Intensidade da onda em P: I P = 1 cε 0E R Fazendo a razão: I P = = 1 cε 0E R I = E R 0 1 cε 0E 0 E 0 I R = I 0 sen Nφ sen φ

33 Máximos e Mínimos da Intensidade em N Fendas Devemos investigar a primeira e segunda derivadas da I em relação a φ. Utilizaremos a variável δ = φ, tal que dδ = dφ. di dδ = I 0 d dδ {sennδ senδ } = I 0 sennδ senδ 1 {N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ} (senδ) Admitamos senδ 0. Anula-se essa primeira derivada com duas condições: 1 sennδ = 0 N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ} = 0 ou N. tgδ tg Nδ = 0 Mínimos da Intensidade em N fendas: Condição (1). Se sennδ = sen Nφ = sen pπ = 0, temos I R = I 0 sennδ senδ = 0 para p = 1,, 3,, N 1, N + 1,..., com p mn, m = 0, 1,, 3,

34 Nota 1: Temos φ = p.π N. Para mantermos senδ = sen φ 0. é desejável que p N m (inteiro), ou seja p mn, m = 0, 1,, 3, Condição de Mínimos da interferência em N fendas: Lembrando que φ = π λ d senθ Nφ = Nπ.d.senθ λ = pπ N. d. senθ = p. λ para p = 1,, 3,, N 1, N + 1,..., com p mn, m = 1,, 3,

35 Nota : Verifiquemos que p = 0 (φ 0) não pertence à condição de mínimo. I R = lim φ 0 I 0 sen Nφ sen φ 0 0 indeterminado Empregando a Regra de L Hôpital para levantar a indeterminação, I R = lim φ 0 I 0 N cosnφ 1 cosφ = I 0 N 0, onde se vê que p = 0 não é mínimo. Máximos da Intensidade na Interferência em N fendas Examinemos a segunda condição que anula a primeira derivada da intensidade em relação a δ. N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ} = 0 ou N. tgδ tg Nδ = 0

36 Desenvolve-se a segunda derivada da intensidade em relação a δ. Impõe-se a condição () acima e verifica-se se essa segunda derivada fica negativa. Se isto ocorrer então essa é a condição de máximo de interferência em N fendas. Vejamos d I dδ = d dδ [I 0 sennδ senδ 1 (senδ) N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ ] d I dδ = d dδ I 0 sennδ senδ 1. (senδ) N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ + sennδ + I 0. d [ 1 senδ dδ (senδ) N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ ]

37 d I dδ = I 1 0. [ (senδ) 4 N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ ] + I 0 sennδ senδ. 1 senδ 4. [( d dδ N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ ). senδ {N. cosnδ. senδ sennδ. cosδ}. senδcosδ]. d I dδ = I 0. [ (cosδ) (senδ) 4 N. cosnδ. tgδ sennδ ] + I 0 sennδ senδ. 1 senδ 4. [ N. N. sennδ. senδ + NcosNδ. cosδ NcosNδ. cosδ + sennδ. senδ. senδ {N. cosnδ. tgδ sennδ}. senδ(cosδ) ].

38 d I dδ = I 0. [ (cosnδ). (cosδ) (senδ) 4 N. tgδ tgnδ ] + I 0 sennδ senδ. 1 senδ 4. [ sennδ. senδ(1 N ). senδ {N. tgδ tgnδ}. senδ(cosδ). cosnδ]. Aplica-se a condição () N. tgδ tg Nδ = 0 na expressão acima: d I dδ = I 0 sennδ senδ. 1 senδ 4. [ sennδ. senδ(1 N ). senδ ] Tendo-se em conta que N > 1, vem d I dδ = I 0 sennδ senδ. N 1 < 0 Portanto a condição () é uma condição para os máximos de intensidedade na interferência por N fendas.

39 Pode-se aplicar a condição (1) a essa segunda derivada para verificarmos que de fato (1) é uma condição de Míínimos: Colocando sennδ = 0 na expressão abaixo: d I dδ = I 0. [ (cosnδ). (cosδ) (senδ) 4 N. tgδ tgnδ ] + I 0 sennδ senδ. 1 senδ 4. [ sennδ. senδ(1 N ). senδ {N. tgδ tgnδ}. senδ(cosδ). cosnδ]. Como se esperava. d I dδ = I 0. [. (cosδ) (senδ) 4 N. tgδ ] > 1

40 Obtendo a Intensidade de Máximos na Interferência por N Fendas Aplica-se a condição () N. tgδ = tg Nδ na expressão abaixo: I R = I 0 sen Nφ sen φ = I 0 sen (Nδ) sen δ = I 0 tg (Nδ) 1 + tg (Nδ) tg δ 1 + tg δ I R = I 0. tg (Nδ) tg δ. 1 + tg δ 1 + tg Nδ I R = I 0 N 1 + tg δ. 1 + N. tg δ De acordo com essa fórmula da intensidade, vê-se que há dois tipos de Máximos. Um tipo para tg δ = 0 e outro tipo para tg δ 0.

41 Primeiro tipo: tg δ = 0: Se tg δ = 0 então δ = φ = m. π com m = 0,1,, 3, que leva a: I R = I 0 N e φ = π. d. senθ λ = m. π d senθ = mλ Esses máximos são chamados de Máximos Principais, pois têm intesidade maior que os do outro tipo. Segundo tipo: tg δ 0: Se tg δ = 0 vê-se que I R < I 0 N pois 1 + tg δ 1 + N. tg δ < 1 em I R Esses máximos são chamados de Máximos Secundários. Torna-se muito trabalhoso obter uma expressão detalhada envolvendo d, senθ, m e λ para esses máximos, pois é necessário primeiro resolver a equação N. tgδ = tg Nδ.

42 Emissão focada na máximo central na Interferência por N Fendas Se tivermos a condição d < λ, a única solução possível para a equação d senθ = mλ é m = 0 com sen θ = 0. Isso mostra que somente existe o máximo central e toda a radiação emitida pela interferência de N fendas está concentrada em θ = 0. Este resultado permitiu elaborar sistemas altamente direcionais com N fontes coerentes de radiação (como antenas e microfones direcionais) emitindo na direção central. LARGURA ANGULAR DO MÁXIMO CENTRAL: A largura angular do máximo central é duas vezes a posição angular do primeiro mínimo, p = 1. N. d. senθ = p. λ = 1. λ θ = θ λ N. d I -

43 Mudança de fase para ondas em cordas devido à reflexão Reflexão com inversão de fase: Cordas Óptica menos densa mais densa n 1 n n 1 < n f = 180 o reflexão sem inversão de fase mais densa menos densa n 1 n n 1 < n f=0 o I - 13

44 Mudança de fase de ondas EM na reflexão em meios dielétricos Admita uma onda Eletromagnética incidente na interface de separação entre dois meios com índices de refração n i e n t produzindo uma onda refletida e uma transmitida, A razão entre as amplitudes dos campos elétricos paralelos ao plano de incidência da onda refletida e da incidente é dada por: R = E r E i = n i. cosθ t n t. cosθ i n i. cosθ t + n t. cosθ i Se considerarmos incidência quase normal à interface, θ i θ t = 0. Colocando esses valores na equação acima, vem: E r = n i n t n i + n t. E i

45 Teremos comportsamento diferentes se a incidência da onda for de um meio MENOS DENSO para outro MAIS DENSO (n i < n t ) ou vice-versa, de um meio MAIS DENSO para outro MENOS DENSO (n i > n t ). Caso 1: Incidência de MENOS DENSO para MAIS DENSO: n i < n t E r = n i n t n i + n t. E i Isto significa que o vetor elétrico da onda refletida está çom sentido oposto ao vetor elétrico da onda incidente, ou seja a onda refletida está com DIFERENÇA DE FASE DE Π (180º) para a onda incidente. NOTA: Essa diferença de fase de π corresponde a uma diferença de λ/ na diferença de percurso óptico entre as ondas refletida e incoidente. Caso 1: Incidência de MAIS DENSO para MENOS DENSO: n i > n t E r = + n i n t n i + n t. E i O vetore elétrico da onda refletida tem a mesma orientação do vetor elétrico da onda incidente. NÃO HAVERÁ DIFERENÇA DE FASE entre as ondas incidente e refletida.

46 NOTA: Para ondas transmitidas não há situação na qual possa surgir alguma diferença de fase, pois os VETORES ELÉTRICOS DA ONDA INCIDENTE E DA ONDA TRANSMITIDA TÊM O MESMO SENTIDO. A interferência em filmes finos é um dos fenômenos onde se aplica essa concepção da diferença de fase entre ondas incidentes e refletidas. Interferência em filmes finos O feixe refletido consiste em ondas refletidas na primeira e na segunda interfaces. r 1 r A diferença de fase entre as ondas refletidas, r 1 e r, depende : dos índices de refração dos meios da diferença de percurso óptico entre elas L n 1

47 Cálculo da Diferença de Percurso Óptico na Interferência em filmes finos Admita três meios transparentes em sequência com índices de refração crescentes: n i < n t < n 3. Considere uma onda EM i em no meio com índice de refração n i incidindo sobre a lâmina transparente com índice de refração n t conforme a figura ao lado. Se n i < n t sabemos que na Reflexão em A ocorre uma diferença de fase de π entre a onda refletida r A e a onda incidente i. i Interface AC Interface BF Θ i N A Θ r t A Θ TA B N D r A Θ i r B Θ TB t B C t C r C F t F meio n i meio n t meio n 3

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49 Exercício 1: Um feixe de luz branca: