UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS CAMPUS CATALÃO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL MAIZA MOANA SILVA LACERDA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS CAMPUS CATALÃO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL MAIZA MOANA SILVA LACERDA ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO CATALÃO 2013

2 MAIZA MOANA SILVA LACERDA ANÁLISE DA ESTABILIDADE GLOBAL EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás - Campus Catalão, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Engenheira Civil. Orientador: Wellington Andrade da Silva CATALÃO 2013

3 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Lacerda; Maiza Moana Silva Análise da estabilidade global em estruturas de concreto armado / Maiza Moana Silva Lacerda f. : il., figs., tabs. Orientador: Prof. Ms. Wellington Andrade da Silva. Monografia (Graduação) Universidade Estadual de Goiás, Departamento de Engenharia Civil, Bibliografia. Inclui lista de tabelas e figuras.

4 Dedico este trabalho à minha família pelo apoio e incentivo durante todo o curso de graduação: Meus Pais Gilmar Candido Lacerda e Adelice Elena S. Lacerda e Meus Irmãos Mayra Lorraynne S. Lacerda e Maxuell S. Lacerda.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente Deus por sempre iluminar meus caminhos e por fazer com que mais esse sonho se realize. Aos meus queridos pais Adelice e Gilmar, que são a minha vida, e sempre fizeram tudo o que foi possível, da melhor forma, para que eu chegasse até aqui. São meus maiores exemplos, amo vocês. Aos meus amados irmãos Maxuell e Mayra, por todo incentivo e amizade. Ao meu namorado Sérgio, pelo apoio, paciência e companheirismo. Ao professor Wellington Andrade, por toda a orientação dada no decorrer deste trabalho, pela paciência no esclarecimento das dúvidas, e por toda a disponibilidade para o acompanhamento neste período de conclusão, o que foi fundamental. Agradeço a todos os professores do curso de Engenharia Civil da UFG-Catalão, que contribuíram para a minha formação. Em especial ao professor Rodrigo que muitas vezes se dispôs ao esclarecimento de dúvidas durante a realização deste trabalho, e ao Professor Júlio Pituba, com quem eu pude desenvolver um projeto de iniciação científica, que significou muito ao meu aprendizado na área da engenharia de estruturas. Á todos os colegas do curso de engenharia Civil, que se tornaram grandes amigos no decorrer deste período. Obrigada pelo companheirismo e união de todos, seja em momentos de descontração ou de aperto. Em especial neste grupo, agradeço às minhas amigas Sabrina, Paula e Bárbara, que estiveram mais próximas a mim, me dando força em todos os momentos. Agradeço a minha querida amiga Ana Luísa, que se tornou uma irmã, estando sempre comigo, dividindo alegrias, tristezas e todos os momentos. Agradeço a minha família inteira, por todo amor! Às minhas avós Nevas e Nair e ao meu avô André, que sempre torceram muito por mim. A todos os que não foram mencionados, mas que contribuíram de alguma forma para realização desta etapa em minha vida. Obrigada!!!

6 No que diz respeito ao empenho, ao compromisso, ao esforço, à dedicação, não existe meio termo. Ou você faz uma coisa bem feita ou não faz. Ayrton Senna

7 RESUMO LACERDA, M. M. S. Análise da estabilidade global em estruturas de concreto armado f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil)-Universidade Federal de Goiás Campus Catalão, Catalão, A análise da estabilidade de estruturas se torna fundamental nos dias de hoje, em que há uma grande tendência na construção de edifícios cada vez mais altos e esbeltos. Neste trabalho apresenta-se um estudo sobre a estabilidade global de estruturas em concreto armado, onde para a determinação dos efeitos globais de segunda ordem, considera-se a não-linearidade física, que está relacionada ao comportamento do material, e a não-linearidade geométrica, que tem a ver com alterações na geometria da estrutura. Determina-se dois parâmetros de estabilidade: o parâmetro α, que define a necessidade da consideração dos efeitos de segunda ordem e o coeficiente γ z, que além de determinar a necessidade da consideração dos efeitos de segunda ordem, pode ser utilizado como coeficiente amplificador dos esforços de primeira ordem para estimar estes efeitos. Nos exemplos utiliza-se dois softwares como complemento das análises: o EBERICK V. 6 e o CYPECAD Versão Esses softwares realizam a análise através do processo P-Delta, que é um método que fornece resultados mais precisos dos efeitos de segunda ordem. Além disso, utiliza-se o método analítico, com o auxílio do software FTOOL Versão 2008, para o cálculo dos parâmetros de estabilidade, a fim de se fazer uma comparação entre os resultados numéricos e analíticos, e discutir a influência dos efeitos de segunda na estabilidade global de estruturas. Palavras-Chave: Concreto. Efeitos de segunda ordem. Parâmetros de estabilidade. P-Delta.

8 ABSTRACT LACERDA, M. M. S. Análise da estabilidade global em estruturas de concreto armado f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil)-Universidade Federal de Goiás Campus Catalão, Catalão, A stability analysis of structures becomes important nowadays, in which there is a great tendency in the construction of buildings more slender and higher. This research presents a study on global stability in reinforced concrete structures, where for determining the overall effects of second order, it is the non-linearity, which is related to the behavior of the material and geometric nonlinearity, which is related to changes in the geometry of the structure. Two parameters of stability are determined: the parameter α, which defines the necessity of consideration of second order effects and coefficient γ z, that besides determining the necessity of consideration of second order effects may be used as the coefficient of amplifier efforts of first effects to estimate these effects. In the examples used two computer softwares to supplement the analyzes: the EBERICK V. 6 and the CYPECAD Version These softwares perform the analysis by the P-Delta process, which is a method that provides more accurate results the effects of second order. Moreover, it uses the analytical method with the aid of the software FTOOL Version 2008 for the calculation of the stability parameters in order to make a comparison between the analytical and numerical results and discuss the influence of secondary effects in overall stability structures. Keywords: Concrete. Second order effects. Stability parameters. P-Delta.

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura Diagrama momento curvatura Figura Barra horizontal deslocada devido a carga concentrada P Figura Barra horizontal submetida às F V e F H Figura Reações de primeira ordem na barra Figura Reações da barra horizontal deformada Figura Analogia entre edifício e pilar em balanço Figura Linha elástica da estrutura submetida a uma carga uniformemente distribuída Figura Linha Elástica da estrutura submetida a uma carga concentrada unitária Figura Associação de Pórticos Figura Determinação do momento final (M) Figura Iterações do processo P-Delta até que a estrutura atinja a posição de equilíbrio. 31 Figura Equilíbrio do elemento estrutural Figura Carga fictícia para simular o efeito P-Delta Figura Cargas fictícias em uma edificação de múltiplos andares Figura Deslocamento horizontal Figura Consideração para a determinação do efeito P-Delta Figura Esquema do Método P-Delta utilizado no software CYPECAD Figura Janela Análise Figura Janela Painéis de lajes Figura Janela Ações Figura Janela "Configurações de Vento" Figura Janela Materiais e durabilidade Figura Janela Análise da estrutura Figura Janela Análise Estática Linear Figura Informações da Análise Estática Linear da estrutura Figura Janela "Dados gerais" Figura Janela "Norma para o cálculo da sobrecarga de vento" Figura Janela "Efeitos de segunda ordem" Figura Janela "Estados limites" Figura Janela "Relatórios" Figura Arquitetura do edifício utilizado para o Exemplo Figura Vista em 3D do edifício do Exemplo

10 Figura Sentidos da aplicação do vento na estrutura Figura Associação de pórticos em X do Exemplo 01, submetida às ações de V Figura Associação de pórticos em Y do Exemplo 01, submetida às ações de V Figura Deformada da associação de pórticos em X da estrutura do Exemplo 01, submetida as ações de V Figura Deformada da associação de pórticos em Y da estrutura do Exemplo 01, submetida as ações de V Figura Associação de pórticos em X do Exemplo 01, submetida a carga concentrada igual a 1 kn Figura Associação de pórticos em Y do Exemplo 01, submetida a carga concentrada igual a 1 kn Figura Arquitetura do edifício utilizado para o Exemplo Figura Vista em 3D do edifício do Exemplo Figura Associação de pórticos em X do Exemplo 02, submetida às ações de V Figura Associação de pórticos em Y do Exemplo 02, submetida às ações de V Figura Deformada da associação de pórticos em X da estrutura do Exemplo 02, submetida as ações de V Figura Deformada da associação de pórticos em Y da estrutura do Exemplo 02, submetida as ações de V Figura Associação de pórticos em X do Exemplo 02, submetida a carga concentrada igual a 1 kn Figura Associação de pórticos em Y do Exemplo 02, submetida a carga concentrada igual a 1 kn... 66

11 LISTA DE TABELAS Tabela Relatório da Análise P-Delta Tabela Carregamento total do edifício do Exemplo 01 (Valores característicos) Tabela Deslocamentos no topo do edifício do Exemplo 01 nas duas direções Tabela Resultados da análise de estabilidade global do Exemplo 01 fornecida pelos softwares Tabela Momentos de segunda ordem da estrutura do Exemplo 01, em cada direção para a combinação última normal, considerando a ação de vento como ação variável principal Tabela Momentos de segunda ordem da estrutura do Exemplo 01,em cada direção para a combinação última normal, considerando a ação de sobrecarga como ação variável principal Tabela Parâmetros para o cálculo analítico do coeficiente γ z, para estrutura do Exemplo 01, nas duas direções Tabela Parâmetros dos softwares para o cálculo do parâmetro α, para a estrutura do Exemplo 01, nas duas direções Tabela Parâmetros para o cálculo analítico do parâmetro α para a estrutura do Exemplo 01, nas duas direções Tabela Carregamento total do edifício do Exemplo 02 (Valores característicos) Tabela Deslocamentos no topo do edifício do Exemplo 02 nas duas direções Tabela Resultados da análise de estabilidade global do Exemplo 02 fornecida pelos softwares Tabela Momentos de segunda ordem da estrutura do Exemplo 02, em cada direção para a combinação última normal considerando a ação de vento como ação variável principal Tabela Momentos de segunda ordem da estrutura do Exemplo 02, em cada direção para a combinação última normal considerando a ação de sobrecarga como ação variável principal Tabela Parâmetros para o cálculo analítico do coeficiente γ z para estrutura do Exemplo 02, nas duas direções Tabela Parâmetros dos softwares para o cálculo do parâmetro α, para a estrutura do Exemplo 02, nas duas direções Tabela Parâmetros para o cálculo analítico do parâmetro α para a estrutura do Exemplo 02, nas duas direções Tabela Relações entre os deslocamentos dos softwares e os deslocamentos analíticos.. 68

12 Tabela Relação entre os momentos de primeira e de segunda ordem dos softwares e dos obtidos pelo cálculo analítico Tabela Ações de vento dos softwares EBERICK E CYPECAD Tabela Parâmetros de estabilidade global obtidos por todos os processos de cálculo, para o Exemplo Tabela Relação entre os deslocamentos obtidos no Exemplo 01 e Tabela Parâmetros de estabilidade global obtidos por todos os processos de cálculo, para o Exemplo

13 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJETIVOS ESCOPO DO TRABALHO PARÂMETROS DE ESTABABILIDAE GLOBAL NÃO-LINEARIDADE FÍSICA NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA PARÂMETROS DE ESTABILIDADE E EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM Parâmetro de Instabilidade α Coeficiente γ z PROCESSO P-DELTA MÉTODO DA CARGA LATERAL FICTÍCIA CONSIDERAÇÃO DO EFEITO P-DELTA EM ALGUNS SOFTWARES COMERCIAIS Considerações sobre o Processo P-Delta no Software ALTOQI EBERICK V Considerações Sobre o Processo P-Delta no Software CYPECAD Versão METODOLOGIA DE PESQUISA JANELAS DE CONFIGURAÇÃO DO EBERICK V JANELAS DE CONFIGURAÇÃO DO CYPECAD Versão EXEMPLOS NUMÉRICOS E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS EXEMPLO EXEMPLO CONCLUSÕES E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 73

14 13 1 INTRODUÇÃO Com o objetivo de garantir a segurança de um edifício é realizada a análise da sua estrutura, onde são determinados os esforços resultantes das ações atuantes para a realização do dimensionamento dos elementos estruturais. Além desta avaliação é importante fazer a análise de segunda ondem, ou seja, a análise do comportamento da estrutura considerando as não-linearidades do material e da geometria do edifício. A determinação correta desses efeitos é bastante complexa e envolve um processo iterativo, entretanto tem-se como alternativa vários métodos simplificados que se propõem a quantificar os efeitos de segunda ordem. 1.1 MOTIVAÇÃO O crescente aumento da densidade populacional ligada a uma necessidade contínua de maior urbanização nas cidades e com melhor aproveitamento de espaços fez com que ocorresse um intenso processo de verticalização das edificações. Edifícios cada vez mais altos e mais esbeltos têm sido construídos. Esta realidade é resultado também da grande evolução da tecnologia na área da engenharia que se teve nos últimos anos, tanto em materiais como em softwares de cálculo estrutural. Sabe-se que em estruturas dessa magnitude a ação do vento provoca grandes efeitos, produzindo esforços adicionais quando aplicados simultaneamente com as demais ações atuantes na estrutura. Sendo assim, a avaliação da estabilidade global é dos mais importantes fatores para a concepção estrutural de um edifício, pois ela visa garantir a segurança da estrutura mediante a perda de sua capacidade resistente causada pelo aumento das deformações em decorrência das ações, e é dentro deste contexto em que se insere este trabalho, que estuda alguns parâmetros para a análise da estabilidade global. Uma estrutura que não está dimensionada corretamente em função da estabilidade global pode não ser segura, ocasionando deslocamentos horizontais excessivos e aumento considerável das solicitações em seus elementos. Sendo assim é fundamental a análise dos efeitos de segunda ordem com a consideração da não-linearidade geométrica. Cabe ao projetista a escolha do método que melhor represente o comportamento físico real da estrutura, dependendo de suas características e sensibilidade aos efeitos de segunda ordem, de forma a proporcionar maior economia e segurança, obtendo estruturas cada vez mais eficientes.

15 OBJETIVOS O presente trabalho tem como objetivo estudar a estabilidade global nas estruturas com a consideração dos efeitos de segunda ordem. Apresentando alguns procedimentos de cálculo para avaliar e considerar estes efeitos. Procura-se passar de forma clara e objetiva, através da revisão bibliográfica, os conceitos e aplicações dos métodos, para a consideração dos efeitos de segunda ordem mais comuns aplicados aos projetos de estruturas de concreto armado, sendo eles: o parâmetro de instabilidade α, o coeficiente γ z e do processo P-Delta. Por fim será feito a análise da estabilidade global de dois exemplos com os parâmetros estudados. Constará a análise P-Delta utilizando os softwares ALTOQI EBERICK V6 e CYPECAD Versão 2010, onde nesta será obtido o coeficiente γ z, que também será calculado de forma analítica com o auxílio do software FTOOL. Posteriormente o parâmetro α também será calculado para todas as respostas. Os resultados obtidos pelos softwares e pelo cálculo analítico serão analisados e discutidos com o objetivo de verificar se eles fornecem uma resposta confiável para a aplicação dessas metodologias em projetos estruturais de concreto. 1.3 ESCOPO DO TRABALHO Estrutura-se este trabalho em seis capítulos e referências bibliográficas. O segundo capítulo se destina a uma revisão bibliográfica sobre parâmetros de estabilidade global, onde são abordadas as não-linearidades física e geométrica e os efeitos de segunda ordem, e ao final são apresentados dois processos aproximados para a verificação da análise dos efeitos de segunda ordem, que são o parâmetro de instabilidade α e o coeficiente γ z. No terceiro capítulo tem-se uma revisão bibliográfica sobre o processo P-Delta e como ele é aplicado por meio do método da carga lateral fictícia. Também é apresentada a abordagem do método P-Delta adotada por alguns softwares comerciais, com ênfase no AUTOQI EBERICK e no CYPECAD. O quarto capítulo apresenta a metodologia utilizada na configuração dos softwares AUTOQI EBERICK e CYPECAD para o processamento das estruturas dos exemplos que serão realizados no próximo capítulo. O quinto capítulo apresenta os exemplos numéricos realizados neste trabalho, e os resultados das análises obtidos pelos dois softwares e pelo cálculo analítico.

16 15 Este estudo termina com o sexto capítulo, onde se reúnem as conclusões preponderantes retiradas ao longo de todo o trabalho.

17 16 2 PARÂMETROS DE ESTABABILIDAE GLOBAL A análise estrutural tem o objetivo de determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações dos estados limites último e de serviço. A partir desses resultados, é possível estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura (NBR 6118, 2007). A avaliação da estabilidade global de um elemento ou conjunto de elementos estruturais é um dos mais importantes fatores para a concepção estrutural, pois visa garantir a segurança da estrutura diante da perda de sua capacidade resistente, causada pelo aumento das deformações, em decorrência das ações horizontais e verticais. Na análise de estabilidade devem ser consideradas ações horizontais, que são originadas principalmente pelas ações do vento e pelas não-linearidades da estrutura. Quanto mais esbelta for a estrutura, maior a necessidade da análise dos efeitos de segunda ordem. A análise da estabilidade global pode ser realizada mediante o cálculo dos chamados parâmetros de estabilidade, onde cada um desses parâmetros considera as não-linearidades da estrutura de forma diferente, cabe ao projetista a escolha do melhor método em função das características da obra e da influência dos efeitos de segunda ordem sobre esta. Existem dois tipos principais de não-linearidades: a não-linearidade física, referente a alterações nas propriedades físicas do material e a não-linearidade geométrica, que está relacionada à alterações na geometria do elemento em estudo. 2.1 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA A não-linearidade física corresponde a não proporcionalidade entre a tensão aplicada e a deformação sofrida por um elemento, estando, portanto diretamente ligada ao comportamento do material. No caso do concreto armado efeitos como a fissuração, a fluência e o escoamento do aço provocam certa diminuição na rigidez da estrutura em função da magnitude do carregamento, conferindo a este material um comportamento não-linear. A não-linearidade física pode ser levada em conta através do diagrama momentocurvatura para cada seção de concreto armado, construído a partir da armadura supostamente conhecida e do valor da força normal atuante. Utiliza-se esse diagrama para calcular a rigidez (EI) da barra correspondente a um determinado nível de momento fletor (M 1 ), através da reta secante à curva, conforme mostra a Figura 2.1.

18 17 M Figura Diagrama momento curvatura Secante M1 (EI)1 = tg Ø1 = M1 1/r1 Ø1 1/r1 Fonte: Próprio autor. 1/r Esse procedimento é previsto pela NBR 6118:2007, no item Entretanto a consideração desses diagramas é bastante trabalhosa e torna-se inviável para edifícios, sem a ajuda de um computador. Outro método mais simples, também considerado pela NBR 6118:2007 no item , que pode ser usado para a análise da não-linearidade física, é redução das rigidezes das seções dos elementos estruturais. Conforme a NBR 6118:2007 os coeficientes redutores das rigidezes são diferentes para lajes, vigas e pilares e valem somente para estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares, estes valores estão apresentados nas Equações 2.1, 2.2 e 2.3. Para Lajes: E sec, E ci c (2.1) Para vigas: (2.2) Para Pilares: E sec, E ci c (2.3)

19 18 onde é a armadura de compressão, no caso de vigas com armadura dupla, é a armadura de tração, é o momento de inércia da seção bruta de concreto, incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes (seção T) e E ci é o módulo de deformação tangente inicial do concreto, obtido por ensaio adequado ou, na falta deste, pela Equação 2.4. (2.4) Segundo a NBR 6118:2007 quando a estrutura de contraventamento for feita apenas por vigas e pilares e o valor do coeficiente γ z for menor que 1,3, pode-se estimar a rigidez das vigas e pilares pela Equação 2.5. No entanto esses valores de rigidez aproximados não podem ser adotados na avaliação de esforços locais de segunda ordem. E sec, E ci c (2.5) 2.2 NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA Não se pode falar numa análise não-linear sem que antes seja introduzido, mesmo que de forma breve, a análise linear. A análise estrutural linear clássica pressupõe uma proporcionalidade entre carga e deslocamento, para que esse comportamento seja satisfeito, a estrutura deve apresentar resposta elástica linear e os seus deslocamentos devem ser pequenos. Essas condições são consideradas em um grande número de aplicações, e a verificação do equilíbrio é realizada tomando-se a estrutura na posição inicial, ou seja, indeslocada. Entretanto essas considerações podem acarretar em respostas exageradamente simplificadas, visando que o equilíbrio de uma estrutura sempre se estabelece na configuração deslocada (PROENÇA, 2010). Quando uma estrutura se deforma, há uma mudança em sua geometria. A análise da não-linearidade geométrica tem a função de verificar e determinar os acréscimos nas deformações e nos esforços que uma estrutura sofre ao longo do seu processo de carregamento (MARTINS, 1997). Essa análise é realizada tomando-se o arranjo estrutural na condição deformada, e não apenas na configuração geométrica inicial. A Figura 2.2 mostra uma barra horizontal, engastada na base e livre na ponta. Quando submetida a uma carga concentrada (P) transversal ao eixo na extremidade livre, ela

20 19 munda de posição, sendo representada pela linha tracejada. Os efeitos da não-linearidade geométrica são determinados analisando o equilíbrio da barra na posição da linha tracejada. Figura Barra horizontal deslocada devido a carga concentrada P P Fonte: Próprio autor. De acordo com Ribeiro (2010), quando a estrutura perde sua configuração geométrica inicial, as ações geram momentos adicionais que não existiam inicialmente, conhecidos na literatura técnica como efeitos de segunda ordem. Para melhor compreensão dos efeitos da não-linearidade geométrica, analisa-se uma barra horizontal de comprimento igual a L, mostrada na Figura 2.3, submetida às forças vertical (F V ) e horizontal (F H ). Figura Barra horizontal submetida às F V e F H FV L FH Fonte: Próprio Autor. Analisando os efeitos de primeira ordem, ou seja, o equilíbrio na posição indeslocada, aparecem as reações R V, R H e M 1 na base da barra, como mostrado na Figura 2.4.

21 20 Figura Reações de primeira ordem na barra M1 = FV.L FV RH = FH FH L RV = FV Fonte: Próprio autor. Considerando agora o equilíbrio na posição deslocada, o que caracteriza uma análise geometricamente não-linear, nota-se um acréscimo de momento ΔM na base da barra, sendo este igual a F H.d, onde d é o deslocamento causado pela Força vertical (F V ). Somando o momento de primeira 1 ordem (M 1 ) mais o acréscimo de momento (ΔM), resulta-se em M 2, como pode ser visto na Figura 2.5. Figura Reações da barra horizontal deformada M2 = FV.L+FH.d FV RH = FH FH d RV = FV L Fonte: Próprio autor. O acréscimo do momento (ΔM) é um esforço que surgiu a partir da análise do equilíbrio da estrutura em sua posição deformada, portanto este é um esforço de segunda ordem. Com a consideração deste esforço na análise, a não-linearidade geométrica estará sendo considerada. Para a avaliação da estabilidade global e também da possiblidade da dispensa dos efeitos de segunda ordem podem ser utilizados os parâmetros de estabilidade, que serão apresentados a seguir na seção 2.3.

22 PARÂMETROS DE ESTABILIDADE E EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM A avaliação da estabilidade global e da consideração dos efeitos de segunda ordem em estruturas pode ser realizada mediante o cálculo dos parâmetros de estabilidade. Segundo o item 15.2 da NBR 6118:2007, os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados se não representarem acréscimos superiores a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. Para efeitos de cálculo, a NBR 6118:2007 classifica as estruturas quanto ao deslocamento dos nós: As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados. (NBR 6118, 2007, p. 91). A seguir, nas seções e 2.3.2, serão apresentados dois processos aproximados para a verificação da possibilidade de dispensar a consideração dos efeitos de segunda ordem: o parâmetro de instabilidade α e o coeficiente γ z Parâmetro de Instabilidade α O parâmetro α foi introduzido por Beck e Köning em 1966, e posteriormente definido como parâmetro de instabilidade por Franco em 1985 (JORDÃO, 2003). Esse parâmetro avalia a sensibilidade da estrutura aos efeitos de segunda ordem. Se esse coeficiente for menor que certo valor limite, os efeitos globais de segunda ordem podem ser desprezados, caso o contrário, os efeitos de segunda ordem tem que ser considerados na estrutura (OLIVEIRA, 2009). O modelo relacionado a esse parâmetro só é válido dentro do regime elástico, e foi baseado na analogia entre o comportamento de um edifício e de um pilar de seção constante engastado na base e livre no topo, submetido a uma ação axial distribuído ao longo de toda a sua altura (o peso próprio, por exemplo) (OLIVEIRA, 2002), como mostra Figura 2.6.

23 22 Figura Analogia entre edifício e pilar em balanço H = ~ Fonte: Próprio autor. O valor do parâmetro de instabilidade α é calculado pela Equação 2.6: α E eq (2.6) Onde: H: altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; N k : somatório das cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de H), com seu valor característico; E eq : módulo de rigidez, na direção considerada, da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante engastado na base e livre no topo. Para determinação do módulo de rigidez equivalente ((EI) eq ) verifica-se o deslocamento no topo do edifício quando submetido a uma ação lateral uniformemente distribuída, e calcula-se a rigidez de um pilar em balanço de seção constante, com a mesma altura, sujeito às mesma ações e apresentando deslocamento no topo idêntico ao da estrutura em estudo (CICOLIN, 2007). Isso é feito considerando a linha elástica do elemento como mostrado na Figura 2.7.

24 23 Figura Linha elástica da estrutura submetida a uma carga uniformemente distribuída p p a a H = ~ Fonte: Próprio autor. Desse modo, o módulo da rigidez equivalente ((EI) eq ) é dado pela Equação 2.7: E eq p a (2.7) Onde: H: altura total do edifício; p: ação lateral uniformemente distribuída; a: deslocamento do topo do edifício quando submetido a ação lateral de valor igual a p. Analogamente, pode-se calcular a rigidez equivalente aplicando uma carga concentrada unitária (p = 1) no topo da estrutura, como mostrado na Figura 2.8, e com o deslocamento a obtido, calcula-se a rigidez equivalente através da Equação 2.8 da linha elástica para este caso. E eq p a (2.8)

25 24 Figura Linha Elástica da estrutura submetida a uma carga concentrada unitária a a 1 1 H = ~ Fonte: Próprio autor. Outra opção para a estimativa de (EI) eq, é a consideração de um modelo bidimensional. Esse modelo consiste na associação plana de painéis, como mostrado na Figura 2.9. Todos os pórticos e pilares-paredes que contribuem para o contraventamento da estrutura na direção analisada são posicionados sequencialmente em um plano, e são interligados por barras rotuladas em suas extremidades simulando as lajes, atuando como um diafragma rígido. Essas barras devem possuir elevada seção transversal para não ocorrer deformação axial, e as vigas devem ter os momentos de inércia reais (GIONGO, 2007). Desta forma, aplicando-se o carregamento neste modelo, obtém-se o deslocamento no topo e podese calcular a rigidez equivalente através da Equação 2.7 ou da Equação 2.8, de acordo o carregamento aplicado.

26 25 p Figura Associação de Pórticos a H Fonte: Próprio autor. Determinado o valor de (EI) eq por qualquer um dos métodos descritos, pode-se calcular o valor de α através da Equação 2.6. Esse valor é comparado a um valor α 1, de modo que, se α < α 1, a estrutura é considerada de nós fixos, e se α α 1, a estrutura é considerada de nós móveis. Segundo o item da NBR 6118:2007 o valor de α 1, é dado pela Equação 2.9. (2.9) sendo n, o número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo. O valor aproximado de 0,6 aplica-se a estruturas usuais de edifícios. De acordo com a NBR 6118:2007, os valores dos efeitos de segunda ordem dependem do sistema de contraventamento da estrutura e consequentemente da forma elástica da mesma, o que determina a consideração de valores diferentes para α 1, como: 0,7 para edifícios contraventados somente por pilares-paredes; 0,6 para estruturas mistas (associações de pilares-paredes e para pórticos associados a pilares-paredes) e 0,5 para contraventamentos apenas por pórticos. O parâmetro de instabilidade α apenas indica se os efeitos de segunda ordem podem ou não ser desprezados, caso haja a necessidade de se considerar esses efeitos, o projetista deve recorrer a algum método para quantificar o acréscimo dos esforços na estrutura. Deve-se

27 26 avaliar ainda se esses apresentam valores muito elevados, o que implicaria na conveniência de se alterar a estrutura, isso pode ser feito analisando-se a magnitude do parâmetro α Coeficiente γ z O coeficiente γ z é fruto das pesquisas realizadas pelos engenheiros brasileiros Mário Franco e Augusto Vasconcelos em 1991 (OLIVEIRA, 2009). Assim como o parâmetro de instabilidade α, este coeficiente avalia a sensibilidade de uma estrutura aos efeitos de segunda ordem e, além disso, também é capaz de estimar esses efeitos por uma simples majoração dos esforços de primeira ordem (MONCAYO, 2011). Partindo de uma análise linear para as ações horizontais, pode ser calculado o momento de primeira ordem (M 1 ), em relação a base da estrutura, e os deslocamentos horizontais de seus nós. Estes deslocamentos fazem com que as ações verticais provoquem o aparecimento de acréscimos de momentos ΔM 1 ), acarretando novos deslocamentos. Esse processo ocorre sucessivamente ao longo de várias iterações, gerando acréscimos de momentos cada vez menores, até se tornarem praticamente nulos, se a estrutura for estável. Dessa forma determina-se o momento final M (momentos de primeira ordem mais momentos de segunda ordem), (CARMO, 1995) como mostrado na Equação (2.10) onde i o número de iterações. Na Figura 2.10 pode-se observar um gráfico que relaciona o momento gerado na estrutura a cada iteração. Verifica-se que o fim da curva tende a ser uma reta, ou seja, tende a convergir a um único valor, igual ao momento final.

28 27 Figura Determinação do momento final (M) M M4 M3 M2 M3=M4-M3 M2=M3-M2 M1=M2-M1 M Fonte: Próprio autor. Número de Iterações Admitindo-se que os momentos M 1, ΔM 1, ΔM 2, ΔM 3,..., ΔM i constituam uma Progressão Geométrica (PG) decrescente, a razão (r) é dada pela Equação r M M M M M M M i M i- (2.11) Dessa forma, obtém-se a Equação 2.12: M M r M M r M r r [ M r r] r M r M i M i- r M r i (2.12) Substituindo a Equação 2.12 na Equação 2.10, tem-se a Equação 2.13: (2.13)

29 28 que pode ser escrita conforme a Equação 2.14: (2.14) Verifica-se que o somatória das parcelas na Equação 2.14, é uma soma dos termos de uma PG infita de razão r Como a soma dos termos de uma PG infinita de razão igual a q, com o valor de q entre 1 e -1, é dada pela Equação 2.15: a -q (2.15) onde a 1 é o primeiro termo da PG, então a Equação 2.14, pode ser escrita conforme a Equação 2.16: M ( -r ) M ( - M M ) M (2.16) O coeficiente γ z, é o fator que majora o momento de primeira ordem. Utilizando valores de cálculo, obtém-se a Equação (2.17) onde M 1d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura, que é definido pela Equação M d d,i i (2.18) em que F Hd,i é a força horizontal de cálculo aplicada no pavimento i e H i é a altura do pavimento i em relação a base E ΔM d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de primeira ordem. Ele é definido pela Equação 2.19.

30 29 (2.19) sendo F Vd,i a força vertical de cálculo atuante no pavimento i, e a i o deslocamento horizontal do pavimento i. A condição para que a estrutura seja considerada de nós fixos, é que γ z seja menor ou igual a 1,1 (γ z,, caso isso ocorra a análise de segunda ordem pode ser dispensada A NBR 6118:2007 permite que se faça uma análise aproximada para considerações dos esforços finais de segunda ordem para casos de edifícios com γ z,, majorando-se os esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por um fator de 0,95.γ z. A grande limitação do coeficiente γ z é que ele só pode ser aplicado em estruturas com 4 andares ou mais, e além disso, considerando respostas superiores a 1,3 os valores podem divergir bastante em relação a resultados obtidos através de uma análise de segunda ordem mais rigorosa (OLIVEIRA, 2009).

31 30 3 PROCESSO P-DELTA Os processos apresentados no capítulo anterior são processos aproximados, no caso do parâmetro α, tem-se apenas uma indicação se há necessidade ou não de uma análise de segunda ordem, e no caso do coeficiente γ z, é possível estimar os acréscimos gerados pelos efeitos de segunda ordem por uma simples majoração dos esforços de primeira ordem. Quando se requer um cálculo mais preciso dos efeitos de segunda ordem, um método adequado é o chamado P-Delta (RIBEIRO, 2010). Em edifícios altos é fundamental considerar os efeitos causados pelos deslocamentos, pois são bastante significativos. O peso próprio e as sobrecargas geram momentos de segunda ordem, os quais causam deslocamentos adicionais. Este fenômeno traduz o processo P-Delta, que corresponde a um acréscimo de momentos resultantes da deformação da estrutura (deslocamento horizontal), que em consequência altera o ponto de aplicação das cargas verticais (TEIXEIRA, 2008). De maneira mais simplificada, P-Delta é um processo de análise não-linear geométrica que relaciona a carga axial (P) com o deslocamento horizontal (Delta) (LOPES; SANTOS; SOUZA, 2005). Na literatura, há diversos métodos que levam em conta este processo, tais como: Método de Dois Ciclos Iterativos (usa um procedimento simplificado para a solução das equações de equilíbrio de segunda-ordem); Método da Carga Lateral Fictícia (para simular os efeitos P-Delta envolve a utilização de forças fictícias que são calculadas através de uma análise de primeira ordem e aplicadas na estrutura para uma reanálise.); Método da Carga de Gravidade Iterativa (utiliza fatores que majoram os momentos de primeira-ordem e dependem das cargas aplicadas e da geometria da estrutura a ser analisada) e Método da Rigidez Negativa (utiliza elementos fictícios com propriedades de rigidez negativa na estrutura fazendo com que a mesma fique alterada e os efeitos de instabilidade são considerados de uma forma indireta). Neste trabalho será apresentado apenas o Método da Carga Lateral Fictícia. 3.1 MÉTODO DA CARGA LATERAL FICTÍCIA O método da carga lateral fictícia é um procedimento simplificado para análise elástica de segunda ordem. Como mencionado anteriormente, com a incidência de forças laterais atuantes, os nós de uma estrutura sofrem deslocamentos denominados de primeira ordem, com isso as forças verticais aplicadas nesses nós, agora deslocados, provocam o

32 31 aparecimento de novos esforços, que causam novos deslocamentos (efeitos de segunda ordem), e assim por diante. Estes esforços e deslocamentos adicionais podem ser obtidos pelo chamado método P-Delta, que consiste em uma análise iterativa, onde a cada iteração os efeitos dos deslocamentos sucessivos são transformados em forças laterais fictícias, induzidas por momentos P-Delta (OLIVEIRA, 2009). E assim sucessivamente até que se atinja a posição de equilíbrio da estrutura, como mostrado a Figura 3.1. Figura Iterações do processo P-Delta até que a estrutura atinja a posição de equilíbrio Iterações Posição inicial Posição de equilíbrio Fonte: Próprio autor. Considerando a Figura 3.2, verifica-se o deslocamento horizontal em decorrência de cargas laterais e verticais.

33 32 Figura Equilíbrio do elemento estrutural P MTopo V h V P MBase Fonte: Próprio autor. As parcelas de momento fletor nas extremidades do elemento devem equilibrar o momento provocado pelas cargas horizontais e o provocado pelas cargas verticais (CARMO, 1995). Sendo assim, o equilíbrio é dado pela Equação 3.1. (3.1) onde V é o esforço cortante, h é o comprimento do elemento, P é o esforço axial e Δ é o deslocamento no topo do elemento. ubstituindo o momento adicional PΔ por um esforço cortante fictício de mesmo efeito, a Equação 3.1, pode ser reescrita conforme a Equação 3.2. ( ) (3.2) onde V P h é o esforço cortante fictício.

34 33 Submetendo os esforços cortantes reais (V) em conjunto com os esforços cortantes fictícios (V ), o diagrama de corpo livre é mostrado na Figura 3.3. Figura Carga fictícia para simular o efeito P-Delta MTopo V+P /h V V+P /h MBase Fonte: Próprio autor. Para estruturas reticuladas, o valor do esforço cortante fictício em um pavimento i é dado pela Equação 3.3: V P i i ( h i - i ) (3.3) i onde P i é o somatório de todos os esforços verticais dos pilares no andar i, h i é a altura do andar i, i e i são os deslocamentos horizontais dos andares i+1 e i, respectivamente. E a carga lateral fictícia ( i a ser aplicada no andar i, para simular o efeito P-Delta, é obtida através da Equação 3.4, subtraindo-se o esforço cortante fictício do andar i do valor relativo ao andar inferior i 1, conforme mostra a Figura 3.4. i V i- -V i (3.4)

35 34 Figura Cargas fictícias em uma edificação de múltiplos andares i+2 i+2 Hi+2 Vi+1 Pi+1 hi+1 i+1 i+1 Pi+1 Vi+1 Hi+1 Pi Vi hi i i Pi Vi Hi Pi-1 Vi-1 hi-1 i-1 Pi-1 i-1 Vi-1 Hi-1 Fonte: Próprio autor. Para a obtenção do momento final de segunda ordem global deve-se realizar algumas iterações até que se chegue à posição de equilíbrio. O procedimento inicia-se com uma análise de primeira ordem para se encontrar os deslocamentos dos andares que serão utilizados para calcular os esforços cortantes fictícios (Equação 3.3) e as cargas laterais fictícias (Equação 3.4) em cada pavimento. Estas forças devem ser somadas às ações atuantes originais, resultando em forças horizontais modificadas, com as quais a análise seguinte será realizada. Novos deslocamentos são obtidos e novas cargas horizontais fictícias são calculadas, dandose continuidade ao processo. As iterações terminam quando os deslocamentos apresentarem um valor praticamente igual aos da iteração anterior, e consequentemente as forças e momentos resultantes não variem significativamente. 3.2 CONSIDERAÇÃO DO EFEITO P-DELTA EM ALGUNS SOFTWARES COMERCIAIS Os efeitos da não-linearidade geométrica (efeito P-Delta) são considerados por diversos softwares comerciais de análise e dimensionamento estrutural. Lopes; Santos e Souza (2005) apresentam um resumo de como esses efeitos de segunda ordem são

36 35 contemplados por alguns desses softwares tais como: o ALTOQI EBERICK, o CYPECAD, o SAP2000 e o CAD/TQS. O ALTOQI EBERICK V.6 (usado neste trabalho para fazer as análises numéricas) utiliza para a determinação do efeito P-Delta o método da carga lateral fictícia. No manual do software encontra-se a descrição do procedimento utilizado, e será descrita mais detalhadamente na seção O CYPECAD (também usado neste trabalho para realização das análises) utiliza o efeito P-Delta para a determinação dos deslocamentos das estruturas devido as ações horizontais atuantes. Na seção será apresentado, conforme o memorial de cálculo do software, a descrição do método utilizado. O SAP2000 tem capacidade para análises não-lineares geométricas considerando diretamente os efeitos P-Delta. São consideradas as deformações axiais, por flexão e por cortante no cálculo dos deslocamentos e esforços finais. Para se determinar as forças axiais provenientes do efeito P-Delta ele utiliza uma análise iterativa onde, com as forças previamente calculadas em uma análise preliminar da estrutura, as equações de equilíbrio são novamente resolvidas chegando-se a novos valores para essas forças, dando continuidade as iterações até que os valores das forças e deflexões laterais convirjam, atendendo a uma tolerância de 0,01. O manual do software relata que apesar da sua capacidade de analisar os efeitos globais e locais (P-Delta e P-δ, é recomendável usá-lo apenas para fazer a análise do efeito global na estrutura, e usar fatores majoradores para determinar os efeitos locais nos elementos (LOPES; SANTOS; SOUZA, 2005). No Sistema CAD/TQS utiliza-se um processo numérico mais rigoroso, também iterativo, em que se fazem sucessivas correções na matriz de rigidez. Para o módulo nãolinear geométrico (NLG) de pórticos tridimensionais do software, foram adotadas algumas hipóteses como Navier-Bernoulli, Material elástico linear (pequenas deformações e rotações moderadas); o método dos elementos finitos como ferramenta de discretização. O software CAD/TQS adota a estratégia incremental-iterativa através do método de Newton Raphson, o qual adiciona incrementos de carga a cada iteração até chegar ao carregamento total. Podendo-se ai avaliar os efeitos P-Delta (MONCAYO, 2011).

37 Considerações sobre o Processo P-Delta no Software ALTOQI EBERICK V.6 A análise P-Delta que está inserida no Sistema ALTOQI EBERICK utiliza cargas horizontais fictícias aplicadas à edificação para levar em conta os efeitos da não-linearidade geométrica no cálculo da estrutura. As cargas horizontais atuantes nos nós da estrutura fazem com que estes se desloquem horizontalmente, fazendo com que o pórtico do edifício assuma outra configuração geométrica, conforme representado na Figura 3.5. Figura Deslocamento horizontal H6 P6 P6 H5 P5 P5 H4 P4 P4 H3 P3 P3 H2 P2 P2 H1 P1 P1 Fonte: Adaptado pelo autor. EBERICK (2013). Através de uma análise de primeira ordem são obtidos os deslocamentos da estrutura. Com base nestes, são aplicadas cargas horizontais adicionais cargas horizontais fictícias em cada barra vertical do pórtico (pilar). As cargas horizontais fictícias são função do deslocamento horizontal a relativo e da carga axial, conforme a Equação 3.5 e a Figura 3.6. a (3.5)

38 37 Figura Consideração para a determinação do efeito P-Delta a H N L H N M Fonte: Adaptado pelo autor. EBERICK (2013). onde N é a carga vertical e L é a altura do pavimento. As cargas fictícias encontradas são somadas as cargas horizontais existentes, e é realizada uma nova análise que leva a novos deslocamentos horizontais. O processo continua até que não haja diferença significativa entre duas iterações sucessivas. Após a última iteração, obtêm-se os deslocamentos finais, e a partir destes calcula-se os esforços internos para o dimensionamento. Ao final da análise o software libera um relatório que apresenta os deslocamentos médios e esforços horizontais em cada pavimento, decorrentes tanto da análise de primeira ordem como da análise de segunda ordem, permitindo ao usuário a visualização dos acréscimos de esforços obtidos através do processo P-Delta. A Tabela 3.1 mostra um modelo do relatório da análise P-Delta do software.

39 38 Tabela Relatório da Análise P-Delta. Caso 3 Acidental Deslocamentos Horizontais Médios (cm) Esforço Aplicado (tf) Pavimento 1 a. ordem 1 a.+ 2 a. ordem 1 a. ordem 1 a.+ 2 a. ordem Eixo X Eixo Y Eixo X Eixo Y Eixo X Eixo Y Eixo X Eixo Y Cobertura 0,01-0,07 0,01-0,07 0,00 0,00 0,00-0,01 Tipo 2 0,01-0,05 0,01-0,06 0,00 0,00 0,01-0,02 Tipo 1 0,01-0,03 0,01-0,04 0,00 0,00 0,01-0,02 Térreo 0,00-0,02 0,00-0,02 0,00 0,00 0,00-0,01 Baldrame 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,01 0,01 Variação no deslocamento do topo da edificação: 5,70% Caso 4 Vento X+ Deslocamentos Horizontais Médios (cm) Esforço Aplicado (tf) 1 a. ordem 1 a.+ 2 a. ordem 1 a. ordem 1 a.+ 2 a. ordem Pavimento Eixo X Eixo Y Eixo X Eixo Y Eixo X Eixo Y Eixo X Eixo Y Cobertura 1,84 0,00 2,16 0,00 1,41 0,00 1,49 0,00 Tipo 2 1,68 0,00 1,98 0,00 3,00 0,00 3,46 0,00 Tipo 1 1,29 0,00 1,54 0,00 3,02 0,00 3,83-0,01 Térreo 0,73 0,00 0,87 0,00 2,42 0,00 3,24 0,00 Baldrame 0,12 0,00 0,14 0,00 0,07 0,00-0,52 0,00 Variação no deslocamento do topo da edificação: 17,22% Fonte: Adaptado pelo autor. EBERICK (2013). Em alguns casos o processo, P-Delta pode não convergir, significando que a estrutura é excessivamente instável (LOPES; SANTOS; SOUZA, 2005). Este método apresenta resultados satisfatórios para estruturas pouco esbeltas e é adequado para a análise dos efeitos globais em estruturas reticuladas de concreto. Esta forma simplificada de análise não considera os efeitos locais (LOPES; SANTOS; SOUZA, 2005) Considerações Sobre o Processo P-Delta no Software CYPECAD Versão 2010 Sob a ação horizontal, em cada piso i, atua uma força H i, a estrutura se deforma e produzem-se os deslocamentos Δ ij ao nível de cada pilar. Em cada pilar j, e ao nível de cada piso, atua uma carga vertical de valor P ij, transmitida pela laje, devido as ações, ao pilar j no piso i como é mostrado na Figura 3.7.

40 39 Figura Esquema do Método P-Delta utilizado no software CYPECAD H4 4 P4 P'4 H3 3 P3 P'3 H2 2 P2 P'2 z H1 1 P1 P'1 Fonte: Adaptado pelo autor. CYPECAD (2010). Define-se um momento de tombamento M H devido à ação horizontal H i na cota z i em relação à cota 0,00 ou nível sem deslocamentos horizontais, em cada direção de atuação do mesmo, conforme a Equação 3.6. M i z i (3.6) Da mesma forma define-se um momento por efeito P-delta (M PΔ ), devido às cargas transmitidas pela lajes aos pilares P ij, para cada uma das ações definidas, para os deslocamentos Δ i devidos à ação horizontal, conforme a Equação 3.7. (3.7)

41 40 4 METODOLOGIA DE PESQUISA Para as análises dos exemplos deste trabalho, foram utilizados os softwares EBERICK e CYPECAD. Nos itens a seguir são apresentados os critérios básicos para as configurações dos modelos numéricos nos respectivos softwares. 4.1 JANELAS DE CONFIGURAÇÃO DO EBERICK V. 6 Na configuração da Análise das estruturas acessada pelo menu Configuração adotou-se para pórticos o modelo de pórtico espacial (o software também oferece como opção para o cálculo o modelo de pavimentos isolados) como apresentado na Figura 4.1. Nesta janela do software pode-se configurar também as considerações da não-linearidade física através da redução da rigidez dos elementos estruturais. Neste trabalho foi considerado para vigas, pilares e pilares paredes 0,7 E ci I c em todos os exemplos. Além disso, tem-se a configuração do processo P-Delta para o número de iterações e a precisão mínima para as iterações, sendo consideradas para os exemplos, respectivamente, igual a 10 e 1% (0,01). Figura Janela Análise Fonte: AUTOQI EBERICK (2013).

42 41 Para calcular os painéis de lajes, o EBERICK dispõe do processo de análise de grelha. No botão Painéis de laje da caixa de diálogo Análise, apresentada na Figura 4.1, aciona-se outra janela mostrada na Figura 4.2, onde configura-se os parâmetros para a análise das lajes. Nos exemplos o espaçamento utilizado entre as faixas de grelhas foram de 50 cm com o numero mínimo de faixas em uma direção igual a 4. Figura Janela Painéis de lajes Fonte: AUTOQI EBERICK (2013). Esta versão do software proporciona a criação de novos casos de carregamento à edificação, além dos já existentes, e também a configuração de novas combinações para os casos de carregamento, através da janela Ações mostrada na Figura 4.3, acessada pelo menu Configuração

43 42 Figura Janela Ações Fonte: AUTOQI EBERICK (2013). Para todos os exemplos utilizou-se a combinação última normal para a obtenção dos esforços de primeira e segunda ordem de cálculo, conforme a Equação 4.1. d γ g g γ q ( q j qj ) (4.1) Onde: g : ações permanentes diretas; q : ação variável principal; qj : ação variável secundária, se existir; γ g : coeficiente de ponderação das ações permanentes no ELU, igual a 1,4; γ q : coeficiente de ponderação das ações variáveis no ELU, igual a 1,4; j : coeficiente redutor das ações variáveis secundárias no ELU, igual a 0,6 para vento e 0,7. O software calcula as ações do vento de acordo com a NBR As configurações são feitas através da caixa de diálogo apresentada na Figura 4.4, onde pode-se ajustar as características do projeto para a determinação dos parâmetros de cargas de ventos na estrutura. Para as análises utilizou-se os dados conforme a Figura 4.4.

44 43 Figura Janela "Configurações de Vento" Fonte: AUTOQI EBERICK (2013). Na caixa de dialogo Materiais e durabilidade, (acessada pelo menu configurações), são feitas as configurações das características dos materiais, mostrada na Figura 4.5. Nos exemplos utilizou-se para o concreto f ck de 25 MPa, agressividade ambiental II, diâmetro de agregado igual a 19 mm e os cobrimentos nominais para os elementos estruturais conforme indicados na NBR 6118:2007. Figura Janela Materiais e durabilidade Fonte: AUTOQI EBERICK (2013).

45 44 A inércia dos elementos é calculada considerando a seção bruta do concreto (desconsiderando a fissuração) e o módulo de elasticidade utilizado é o módulo de elasticidade secante (Ecs) definido no item da NBR 6118:2007. Após todas as configurações, é realizada a análise estática linear obtendo os esforços para dimensionamento das peças no Estado Limite Último e os deslocamentos elásticos da estrutura. O software também fornece a opção para a determinação das flechas nas lajes e no pórtico e o dimensionamento dos elementos, como mostrado na Figura 4.6. Figura Janela Análise da estrutura Fonte: AUTOQI EBERICK (2013). Como o objetivo deste trabalho é a análise dos efeitos de segunda ordem globais da estrutura foi realizada apenas a análise estática linear da estrutura. Após o processamento da estrutura, o software exibe a janela Análise Estática Linear, mostrada na Figura 4.7.

46 45 Figura Janela Análise Estática Linear Fonte: AUTOQI EBERICK (2013). o botão Resultados desta janela é possível verificar uma série de informações referentes à obra, dentre elas, o parâmetro γ z e a análise de 2ª ordem da estrutura pelo processo P-Dela, como mostrado na Figura 4.8. Figura Informações da Análise Estática Linear da estrutura Fonte: AUTOQI EBERICK (2013).

47 46 O EBERICK emite ainda relatórios sobre os itens calculados durante o processamento da estrutura como relatório de Deslocamentos horizontais, de Estabilidade Global, Análise P-Delta, entre outros. 4.2 JANELAS DE CONFIGURAÇÃO DO CYPECAD Versão 2010 O software realiza a análise das solicitações através de um cálculo espacial tridimensional, por métodos matriciais de rigidez. Para todos os estados de carga realiza-se um cálculo estático e supõe-se um comportamento linear dos materiais. A inércia é calculada considerando a seção bruta do concreto (desconsiderando a fissuração) e o módulo de elasticidade utilizado é o módulo de elasticidade secante (E cs ) definido no item da NBR 6118:2007. Na configuração de Dados Gerais da Obra acessado pelo menu Obra apresentado na Figura 4.9 é possível indicar as normas de aplicação, os materiais, as ações e combinações que serão utilizados. Como trata-se de estrutura de concreto armado utilizou-se a NBR 6118:2007, e o f ck escolhido para os elementos estruturais foi de 25 MPa. Figura Janela "Dados gerais" Fonte: CYPE (2010).

48 47 o item Ações da janela de dados gerais da obra é possível configurar as ações de vento e ações sísmicas, além da opção de verificar a resistência ao fogo. Neste trabalho foi considerado apenas as ações de vento. Na definição dos parâmetros para o cálculo do vento adotou-se a utilização da NBR 6123, conforme a Figura Figura Janela "Norma para o cálculo da sobrecarga de vento" Fonte: CYPE (2010). Nesta mesma janela aciona-se a consideração dos efeitos de segunda ordem, onde é possível definir um coeficiente multiplicador para os deslocamentos, adotou-se 1,43, como mostrado na Figura 4.11, pois é o recomendo pelo software e significa o mesmo que a redução das inércias para 70% que também é previsto no item da NBR 6118:2007.

49 48 Figura Janela "Efeitos de segunda ordem" Fonte: CYPE (2010). o Botão Estados Limites combinações da janela Dados Gerais configura-se as combinações a serem utilizadas no projeto. Utilizou-se para o concreto a combinação última normal com coeficientes conforme proposto pela NBR 6118:2007 e demonstrados no item 4.1 deste trabalho. A Figura 4.12 apresenta janela do software para esta configuração. Figura Janela "Estados limites" Fonte: CYPE (2010).

50 49 A partir de todas as configurações realizadas é feito o cálculo da obra. Ao final do cálculo o software disponibiliza os relatórios de obra, dentre estes o relatório dos dados da obra, das combinações usadas, das cargas de ventos, dos efeitos de segunda ordem entre outros como mostrado na Figura Figura Janela "Relatórios" Fonte: CYPE (2010).

51 50 5 EXEMPLOS NUMÉRICOS E APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Neste item serão apresentados dois exemplos para se fazer as análises de segunda ordem. Foram utilizados os softwares EBERICK V. 6 e CYPECAD Versão 2010 para obter os resultados, que também foram calculados de forma analítica com o auxílio do software FTOOL Versão V915/ EXEMPLO 01 A arquitetura do edifício utilizado para este exemplo é do trabalho de França (1985 apud BUENO, 2009). A planta baixa do pavimento tipo está representada na Figura 5.1 e a visualização em 3D na Figura 5.2. Figura Arquitetura do edifício utilizado para o Exemplo 01 V1 15/70 P1 20/75 P2 20/75 P3 20/75 P4 20/75 P5 20/75 P6 20/75 P7 20/75 P8 20/75 V215/ L2 h=10 L3 h=10 L4 h=10 V315/70 L1 h=10 L5 h=10 L6 h=10 L7 h=10 V5 20/70 V415/70 P9 20/75 V6 20/70 P10 20/75 V7 20/70 P11 20/75 V8 20/70 P12 20/ V10 20/70 P13 20/75 V11 20/70 P14 20/75 V12 20/70 P15 20/75 V13 20/70 P16 20/75 Fonte: Próprio autor.

52 51 Figura Vista em 3D do edifício do Exemplo 01 Fonte: CYPE (2010). O edifício apresenta uma estrutura convencional formada por vigas, lajes e pilares em concreto armado. Possui pavimento térreo e mais doze pavimentos tipos com o pé direito de 2,90 m, resultando em uma altura total de 37,70 m. O carregamento vertical utilizado nos pavimentos, com exceção a ultima laje, corresponde a 1 kn/m² de carga permanente e 1,5 kn/m² de carga acidental, somente nas vigas de contorno (vigas V1, V4, V5 e V13), admitiuse uma carga de alveiraria referente a 4,8 kn/m. O pavimento de cobertura recebeu 1 KN/m² de carga permanente e 0,5 kn/m² de carga acidental. A ação horizontal considerada foi a do vento conforme a NBR A velocidade básica é de 40 m/s, o fator do Topográfico (S1) igual a 1,0, considerando terreno plano ou fracamente acidentado, Categoria de rugosidade IV (S2), Classe da edificação B (S2) e Fator estatístico (S3) igual a 1,0 (edificações para hotéis e residências) e os respectivos coeficientes

53 52 de arrasto para cada direção. Os sentidos da aplicação do vento foram a 0, 90, 180 e 270 conforme mostrado na Figura 5.3. Figura Sentidos da aplicação do vento na estrutura 270 V3 V V2 90 V4 Fonte: Próprio autor. Esse edifício foi processado nos softwares EBERICK e CYPECAD. Para considerar a não-linearidade física nos elementos estruturais utilizou-se um fator multiplicador de 0,7 para reduzir a rigidez das vigas e pilares no EBERICK. O software CYPECAD faz esta consideração através da utilização de um coeficiente majorados dos deslocamentos da estrutura, conforme foi mencionado no item 4.1. O carregamento vertical total do edifício (ações permanentes + sobrecarga) em valores característicos, obtidos pelos dois softwares e também obtidos de forma analítica, estão apresentados na Tabela 5.1. Tabela Carregamento total do edifício do Exemplo 01 (Valores característicos). Ações EBERICK CYPECAD ANALÍTICO Permanente (kn) 21395, , ,86 Sobrecarga (kn) 3883, , ,57 Total (kn) 25278, , ,41 Fonte: Próprio autor. Os valores dos deslocamentos da análise de primeira ordem no topo do edifício, devido as ações característica nas duas direções, obtidos pelos dois softwares e também de forma analítica, estão apresentados na Tabela 5.2.

54 53 Tabela Deslocamentos no topo do edifício do Exemplo 01 nas duas direções. Direção Deslocamentos (cm) EBERICK CYPECAD ANALÍTICO X 2,63 1,15 2,67 Y 5,92 3,74 6,32 Fonte: Próprio autor. Devido a arquitetura da estrutura, os resultados obtidos com o vento a 0 (V1) e a 180 (V2) são praticamente os mesmos, assim como os resultados obtidos a 90 (V4) e a 270 (V3), portanto serão apresentados somente os valores obtidos com o vento atuando nas direções a 0 (direção X) e a 90 (direção Y). Os resultados da análise de estabilidade global (γ z ) dos dois softwares computacionais, obtidos para o caso de combinação última mais desfavorável (considerando a sobrecarga como ação variável principal), estão na Tabela 5.3. Tabela Resultados da análise de estabilidade global do Exemplo 01 fornecida pelos softwares. Parâmetros EBERICK CYPECAD X Y X Y M 1d : Momento de tombamento de cálculo (kn.m) 3963, , , ,80 ΔM d : Momento de segunda ordem de cálculo (kn.m) 528, ,60 356, ,46 Coeficiente γ z 1,15 1,06 1,08 1,05 Fonte: Próprio autor. Foi realizado também o cálculo do coeficiente γ z para cada direção de forma analítica com o auxílio do software FTOOL. Utilizou-se o modelo de associação de pórticos, conforme item 2.3.1, submetidos as respectivas ações vento (calculadas de acordo com a NBR 6123) de cálculo, como mostrado nas Figuras 5.4 e 5.5. Apesar de terem sido calculados todos os casos de combinações últimas normais, a título de exemplificação gráfica, aqui serão apresentados apenas duas combinações, uma para cada direção.

55 54 Figura Associação de pórticos em X do Exemplo 01, submetida às ações de V1 Fonte: FTOOL (2008). Figura Associação de pórticos em Y do Exemplo 01, submetida às ações de V4 Fonte: FTOOL (2008). Obteve-se então os deslocamentos em cada nível (pavimento) para cada combinação última como mostrado nas Figura 5.6 e 5.7.

56 55 Figura Deformada da associação de pórticos em X da estrutura do Exemplo 01, submetida as ações de V1 Fonte: FTOOL (2008). Figura Deformada da associação de pórticos em Y da estrutura do Exemplo 01, submetida as ações de V4 Fonte: FTOOL (2008). Com isso pode-se calcular os momentos de segunda ordem, que estão apresentados nas Tabelas 5.4 e 5.5.

57 56 Tabela Momentos de segunda ordem da estrutura do Exemplo 01, em cada direção para a combinação última normal, considerando a ação de vento como ação variável principal. Combinação: 1,4G+1,4(V+0,7Q) Pavimento N d (kn) Deslocamentos (cm) ΔM d (kn.m) X Y X Y Térreo 2529,03 0,46 0,48 11, , ,03 0,94 1,38 23,77 34, ,03 1,39 2,40 35,15 60, ,03 1,80 3,39 45,52 60, ,03 2,18 4,32 55,13 85, ,03 2,52 5,19 63,73 109, ,03 2,83 5,98 71,57 131, ,03 3,09 6,69 78,15 151, ,03 3,31 7,31 83,71 169, ,03 3,48 7,83 88,01 184, ,03 3,62 8,25 91,55 198, ,03 3,70 8,59 93,57 208,65 Cobertura 1709,02 3,74 8,85 63,92 146,80 Somatória dos Momentos de Segunda Ordem (kn.m) 805, ,45 Fonte: Próprio autor. Tabela Momentos de segunda ordem da estrutura do Exemplo 01,em cada direção para a combinação última normal, considerando a ação de sobrecarga como ação variável principal. Combinação: 1,4G+1,4(Q+0,6V) Pavimento N d (kn) Deslocamentos (cm) ΔM d (kn.m) X Y X Y Térreo 2656,71 0,28 0,29 7,44 7, ,71 0,57 0,83 15,14 22, ,71 0,83 1,44 22,05 38, ,71 1,08 2,03 28,72 53, ,71 1,31 2,59 34,80 68, ,71 1,52 3,12 40,38 82, ,71 1,70 3,59 45,16 95, ,71 1,85 4,02 49,15 106, ,71 1,99 4,38 52,87 116, ,71 2,09 4,70 55,53 124, ,71 2,17 4,95 57,65 131, ,71 2,22 5,15 58,98 136,82 Cobertura 1755,09 2,25 5,31 39,49 93,20 Somatória dos Momentos de Segunda Ordem (kn.m) 507, ,57 Fonte: Próprio autor.

58 57 Por fim calculou-se o coeficiente γ z pela Equação 2.6. Os resultados obtidos para a combinação que forneceu os maiores valores de γ z (com a sobrecarga como ação variável principal) estão na Tabela 5.6. Tabela Parâmetros para o cálculo analítico do coeficiente γ z, para estrutura do Exemplo 01, nas duas direções. Parâmetros ANALÍTICO X Y M 1d : Momento de tombamento de cálculo (kn.m) 4089, ,10 ΔM d : Momento de segunda ordem de cálculo (kn.m) 507, ,57 Coeficiente γ z 1,14 1,06 Fonte: Próprio autor. Os softwares EBERICK e CYPECAD não fornecem em suas respostas o valor do parâmetro de instabilidade α, entretanto através dos seus resultados pôde-se calcular este coeficiente. Com os deslocamentos no topo do edifício calculou-se, através da Equação 2.7, a rigidez equivalente ((EI) eq ), onde p são as ações de vento Através da Equação 2.6, calculou-se o parâmetro α Os resultados estão apresentados na Figura 5.7 Tabela Parâmetros dos softwares para o cálculo do parâmetro α, para a estrutura do Exemplo 01, nas duas direções. Parâmetros EBERICK CYPECAD X Y X Y Vento (kn/m) 7,44 36,37 7,39 36,13 Deslocamentos (cm) 2,63 5,92 1,15 3,74 (Ei) eq (kn.m²) , , , ,70 Parâmetro α 0,71 0,48 0,46 0,38 Fonte: Próprio autor. Para o cálculo do parâmetro α analiticamente, utilizou-se o modelo de pórticos associados com uma ação horizontal unitária aplicada no topo da estrutura, como mostrado nas Figuras 5.8 e 5.9.

59 58 Figura Associação de pórticos em X do Exemplo 01, submetida a carga concentrada igual a 1 kn Fonte: FTOOL (2008). Figura Associação de pórticos em Y do Exemplo 01, submetida a carga concentrada igual a 1 kn Fonte: FTOOL (2008). Com os deslocamentos obtidos calculou-se a rigidez equivalente através da Equação 2.8 Com isso pôde-se calcular o parâmetro α pela Equação 2.6. Os resultados estão apresentados na Tabela 5.8.

60 59 Tabela Parâmetros para o cálculo analítico do parâmetro α para a estrutura do Exemplo 01, nas duas direções. Parâmetros ANALÍTICO X Y H (m) 37,70 37,70 Carga (kn) 1,00 1,00 Deslocamentos (cm) 0, ,01061 (Ei) eq (kn.m²) , ,60 Parâmetro α 0,631 0,452 Fonte: Próprio autor. 5.2 EXEMPLO 02 Com o intuito de avaliar a influência da rigidez nas estruturas utilizou-se o mesmo edifício do exemplo anterior com a substituição dos pilares P4, P5, P12 e P13 por dois núcleos rígidos (pelares-paredes) junto aos elevadores e a escada, como mostrado na Tabela 5.10Figura 5.10 e a visualização em 3D na Figura Figura Arquitetura do edifício utilizado para o Exemplo 02. Núcle rígido (elevadores) Núcle rígido (escada) 15 Fonte: Próprio autor.

61 60 Figura Vista em 3D do edifício do Exemplo 02. Fonte: CYPE (2010). O carregamento da estrutura é igual ao do exemplo anterior, inclusive as considerações das ações de vento e da não linearidade física dos elementos. Contudo, apesar da NBR 6118:2007 permitir a utilização de 0,7EI apenas para estruturas constituídas exclusivamente por vigas e pilares, o que não enquadra-se a esse exemplo, o software CYPECAD não fornece a opção para configurar a redução da rigidez dos elementos em valores diferentes. Portanto utilizou-se para todas as vigas, pilares e pilares-paredes o valor de rigidez igual a 0,7 EI. A obtenção dos resultados foi realizada conforme o exemplo anterior. Na Tabela 5.9 estão apresentados o carregamento vertical total do edifício (ações permanentes + sobrecarga) em valores característicos, obtidos pelos dois softwares e também obtidos de forma analítica.