Lopes afirma a respeito do livro didático que,

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1 MÉDIA ARITMÉTICA NOS LIVROS DIDÁTICOS UM ESTUDO DAS PROPRIEDADES E SIGNIFICADOS José Ivanildo Felisberto de Carvalho Universidade Federal de Pernambuco ivanfcar@hotmail.com Verônica Gitirana Universidade Federal de Pernambuco veronica.gitirana@gmail.com.br Resumo: A Estatística trata os dados e busca identificar diversos índices ou medidas que auxiliam a interpretação do comportamento dos dados, como frequências, medidas de tendência central, desvios, dentre outros. As médias, modas e medianas são medidas que buscam caracterizar a tendência de um grupo de dados, das quais a Estatística denomina de Medidas de Tendência Central. Esses temas a mais de uma década vêm sendo indicados para serem ensinados na disciplina de Matemática do Ensino Fundamental, desde os anos iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino Médio. Este artigo relata uma investigação por meio de um mapeamento nas 16 coleções de livros didáticos dos anos finais do ensino fundamental aprovados pelo PNLD 2008, contabilizando mais de 300 atividades. Tal procedimento nos revela algumas lacunas, quando tomamos, por exemplo, os significados que o conceito de Média Aritmética pode assumir; alguns significados defendidos pela literatura atual não são trabalhados em nenhuma das coleções ou até mesmo propriedades importantes do conceito não são enfatizadas. Palavras-chave: Média aritmética; Teoria dos campos conceituais; Livro didático. A média aritmética nos livros didáticos Os livros didáticos desempenham um papel essencial no sistema escolar, sendo assim, motivo de inúmeras pesquisas acadêmicas. No dia a dia da sala de aula, o livro didático tornou-se uma ferramenta ímpar no trabalho do professor, e na maioria das vezes, a única ferramenta pedagógica. Com as indicações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, é importante analisar como os livros didáticos estão incorporando os novos paradigmas educacionais, principalmente com relação ao ensino-aprendizagem do Tratamento da Informação. Lopes afirma a respeito do livro didático que, ele sempre representou e continua representando para o professor, o complemento de sua formação acadêmica e o apoio 1

2 na prática escolar, principalmente pelas condições de trabalho, não tão favoráveis, que o professor enfrenta. (LOPES, 2000, p. 224) Observando o livro didático como um elemento referencial com relação ao saber a ser ensinado, bem como, um condutor dos conteúdos e processos envolvidos na prática pedagógica do professor, torna-se pertinente analisar como as medidas de tendência central estão estruturadas e organizadas nas coleções dos livros didáticos, principalmente com relação à média aritmética. No Brasil, o Programa Nacional do Livro Didático PNLD desde o ano 1999 publica o Guia Nacional do Livro Didático. As coleções são analisadas com base em critérios estabelecidos que visem a adequações de aspectos teórico-metodológicos, estrutura editorial e manual do professor. Alicerçado na Teoria dos Campos Conceituais como suporte teórico e em estudos da literatura na área, analisamos as 16 coleções de livros didáticos dos anos finais do ensino fundamental aprovadas no PNLD 2008, acreditando ser um material de referência para a condução das abordagens de ensino nas escolas públicas brasileiras. Até mesmo porque, concordando com Chevallard (1991) os conceitos apresentados nos livros didáticos se constituem em um significado institucional de referência. Foram analisadas todas as atividades propostas nos livros de cada coleção. As atividades incluem exemplos, exercícios a resolver, exercícios resolvidos e explicações teóricas. Observamos todas as atividades que trabalham com as medidas de tendência central mesmo quando a atividade solicitava apenas a aplicação procedimental do conceito. Em seguida as atividades foram classificadas com relação aos invariantes operatórios, significados e habilidades já categorizados anteriormente. Das 16 coleções aprovadas pelo PNLD 2008, apenas uma coleção Coleção Matemática em Movimento, autor Adilson Longen, Editora do Brasil não apresenta atividades relacionadas com medidas de tendência central. Este estudo parte do estudo de Dos Anjos e Gitirana (2009) que analisou as propriedades trabalhadas nos livros didáticos, diferentemente deste, o presente estudo inclui também as atividades de média encontradas em capítulos ou seções dedicadas a outros campos de conteúdos. Este estudo revisita tal estudo e acrescenta uma análise dos significados de média atribuídos. 2

3 Os invariantes operatórios (propriedades) da Média aritmética nos livros didáticos Neste trabalho assumimos as propriedades descritas por Strauss e Bichler (1988). Propriedade 1 A média é de um valor entre os extremos da distribuição (valor mínimo média valor máximo). A propriedade nos diz que o valor da média estará sempre entre o menor e o maior valor do conjunto de dados. Do total de atividades pesquisadas apenas 03 atividades trabalham esta propriedade representando 0,9% das atividades. Estas atividades se distribuem em 03 coleções. Segue um exemplo de aplicação desta propriedade: 52. Foi feita a média das notas em uma série de provas. Essa média pode ser igual à maior nota? E igual à menor nota? Explique sua resposta. Coleção Aplicando Matemática Vol. 5 p.276 Propriedade 2 - A soma dos desvios dos dados em relação à média é zero. ( (Xi média) = 0). Esta propriedade desenvolve a idéia de que somando os desvios de todos os valores com relação à média, o resultado da soma será igual a zero. Neste caso, apenas 01 atividade é trabalhada representando apenas 0,3% de todas as atividades analisadas. Acredita-se que o baixo índice desta propriedade se deve ao fato de que o desvio padrão ser um conteúdo mais focalizado no ensino médio. Vejamos a atividade que utiliza a referida propriedade: 3

4 Figura 01: A soma dos desvios dos dados em relação a média é zero. 1 Fonte: Coleção Matemática e Realidade vol. 8 p. 178/179. Propriedade 3 - A média é influenciada por cada um e por todos os valores. (média = Xi / n). A propriedade 3 ressalta que se um valor for modificado, a média será alterada; ou também se um valor for adicionado ou excluído do conjunto, a média também será alterada, a menos que o valor seja igual o da média. No total de atividades analisadas, 98,5% utilizaram esta propriedade. Considerando que dentre estas atividades temos atividades que trabalham apenas o cálculo procedimental, procuramos analisar as atividades e observar aquelas que exigem outras habilidades, tais como o trabalho com o cálculo inverso e o significado disto, ficamos com apenas 12,6%. Conhecendo a forma de calcular a média não implica a sua compreensão, como defende Batanero et al (1994). Figura 02: A média é influenciada por cada um e por todos os valores. Fonte: Coleção Matemática e Realidade Vol. 7 p Propriedade 4 - A média não é necessariamente igual a um dos valores da amostra. 1 No exemplo apresentado acima, quando o autor cita desvio padrão, o mesmo dá continuidade na explicação do referido tópico chegando a definição do desvio padrão. Como a figura é um recorte foi apresentado apenas o necessário para ilustração desta propriedade. 4

5 Pode ocorrer que a média seja um valor que não pertença ao conjunto numérico dos elementos levados em conta na realização do cálculo, ou seja, pode ser diferente dos valores do conjunto em questão. Em 75,9% das atividades analisadas ocorre a utilização desta propriedade. Apesar de que os livros não explicitam essa característica da média. Este invariante contribui no sentido de que, se a média encontrada não for igual a um dos valores da amostra, deve-se buscar um significado interpretativo para ela. Figura 03: A média não é necessariamente igual a um dos valores do conjunto. Fonte: Coleção Novo Praticando Matemática Vol. 6 p.72. Propriedade 5 - O valor da média pode ser uma fração. Este pode inclusive ser um valor que não coincide com os valores que a variável pode assumir. A exploração de situações que ponham em cheque o fato da média poder assumir um valor que a variável não pode auxilia a busca de um significado para o valor da média. A propriedade 5 foi trabalhada em 10,6% das atividades analisadas. Figura 04: A média pode ser um valor que a variável não pode assumir. Fonte: Coleção Matemática e Realidade Vol. 8 p. 176 Propriedade 6 - É preciso ter em conta valores zero e os negativos no cálculo da média. 5

6 A propriedade 6 apresenta que no cálculo da média deve-se considerar todos os valores, incluindo os nulos e negativos. As atividades que trabalharam com números nulos e negativos correspondem a 8,8% do total de atividades. Figura 05: É preciso ter em conta valores zero e os negativos no cálculo da média. Fonte: Coleção Aplicando a Matemática Vol. 6 p Propriedade 7 - A média é um "representante" dos dados a partir da qual foi calculada, ou seja, é o valor que está mais próximo de todos os demais dados (aspecto espacial). Esta propriedade corresponde a 8% das atividades. Uma significativa quantidade de atividades trabalhava esta propriedade para apresentar que nem sempre a média é a melhor medida para a representação dos dados da amostra. Figura 06: A média é um representante dos dados a partir da qual foi calculada. Fonte: Coleção Matemática na vida e na escola Vol. 4 p. 15 Significados apresentados nos livros didáticos Para esta análise utilizamos a categorização feita por Batanero (2007) e Cobo (2003), além de acrescentarmos o significado procedimental e o significado da média enquanto um bom elemento para se ter o total. 6

7 1. Estimação de uma quantidade desconhecida na presença de erros de medição cálculo da melhor estimativa de um valor desconhecido. Como citado anteriormente este significado é que historicamente da origem ao conceito de média. Problemas que envolvem a melhor estimativa de um valor desconhecido aparecem na Física e em modelos estatísticos, constituindo-se desta forma um importante campo de problema a ser desenvolvido com os alunos. Nenhuma das coleções analisadas apresenta atividades que trabalhe a média aritmética como a melhor estimativa de um valor desconhecido. Concordando com COBO (2003), pensamos que este tipo de problema deveria apresentar-se com maior frequencia no ensino das medidas de tendência central por permitir a construção da ideia de média como melhor estimador de uma quantidade desconhecida. 2. Necessidade de obter um valor justo/equitativo para uma distribuição uniforme. A média como um valor equitativo para uma distribuição uniforme é encontrado em 7,5% das atividades analisadas. Das 15 coleções que trabalha atividades com as medidas de tendência central, apenas 04 não desenvolve este significado. Consideramos aqui, as atividades que faziam referencia a este significado de forma explícita, mencionando a distribuição uniforme com frases tipo: se todos tivessem feito o mesmo número; se todos tivessem o mesmo peso; se os pontos fossem divididos igualmente, etc. Vejamos um exemplo utilizando o significado acima: Figura 07: Significado da média aritmética como um valor equitativo. Fonte: Coleção Fazendo a diferença vol. 8 p

8 3. Servir de elemento representativo de um conjunto de dados, cuja distribuição é simétrica. Este significado apresenta a média aritmética como um elemento representativo de um conjunto de dados, desde que a distribuição dos dados deste conjunto seja simétrica. Caso contrário a média não é uma boa representante. Acreditamos ser este significado a principal aplicação da média aritmética e apresenta-se na maioria das atividades de forma explícita. Tal significado foi trabalhado em 85,3% do total das atividades analisadas. A seguir, apresentamos um exemplo de atividade onde é preciso encontrar a média como representante dos dados de dois jogadores e proceder a uma comparação para decidir quem teve o melhor desempenho. Figura 08: Média como elemento representativo de um conjunto de valores. Fonte: Coleção Aplicando a Matemática vol. 6 p Valor mais provável quando aleatoriamente tomamos um elemento de uma população. Também não foram encontradas atividades que apresentassem este significado. Nosso resultado iguala-se ao resultado apresentado por COBO (2003) em que não encontrou nenhuma atividade que fizesse referência a este significada em uma pesquisa com 22 livros-textos no contexto espanhol. Na classificação das atividades quanto aos significados, percebemos que algumas atividades não envolviam os significados acima e utiliza apenas o cálculo em si 8

9 mesmo, assim chamamos de significado procedimental procedimento do cálculo. Neste caso, temos um quantitativo de atividades que representa também 7,4% do total de atividades analisadas. Outro significado pesquisado foi a média como elemento para se ter o total, também não encontrada nenhuma atividade que fizesse referência a este significado. De acordo com o estudo, podemos perceber que a média enquanto valor representativo é trabalhado por todas as coleções, isso é um bom sinal, pois enfatiza o caráter representativo desta medida. Quanto ao significado da média como uma estimadora de uma quantidade desconhecida na presença de erros de medição não ser desenvolvida poderá causar futuras dificuldades na construção do conhecimento pelos estudantes. Considerações Finais A análise dos livros didáticos de matemática para os anos finais do ensino fundamental, recomendado pelo PNLD 2008, mostrou que o trabalho com o conceito de média aritmética ainda se distancia do ideal. Com relação aos sete invariantes operatórios do conceito de média aritmética, as atividades concentram-se basicamente na propriedade 3, A média é influenciada por cada um e por todos os seus valores (98,5%), seguida da propriedade 4, A média não é necessariamente igual a um dos valores da amostra (75,9%). As outras cinco propriedades não são desenvolvidas de modo consistente nos livros didáticos. No caso dos significados, existe uma maior ênfase na média enquanto valor representativo (85,3%). Devemos ficar atentos uma vez que trabalhar apenas algumas propriedades e/ou significados de forma restrita pode-se comprometer a compreensão do campo conceitual de média aritmética. Esses resultados mostram que o trabalho com o tratamento de dados realizado pelos livros didáticos encontra-se distante de possibilitar aos estudantes a construção de procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando as medidas de tendência central, principalmente a média aritmética, tão comum em situações do cotidiano. Este estudo pontua a necessidade de maiores atenções a abordagens que explorem as medidas de tendência central privilegiando diferentes 9

10 significados e possibilitando o desenvolvimento pelo aluno de invariantes que se aproximem das propriedades de média. Referências BATANERO, C. Compreensão das medidas de posição central em estudantes mexicanos. Revista Iberoamericana de Educación Matemática. N.9; p Abril de BATANERO, C; et al. Errores y dificultades en la comprensión de los conceptos estadísticos elementares. Internation Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 25(4), p BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais (5ª a 8ª séries): matemática. 148p. Brasília: MEC/SEF, CHEVALLARD, Y. La transposición Didáctica: del saber sábio al saber enseñado. Editora Aique, Argentina, COBO, B. Significado de las medidas de posición central para los estudiantes de secundaria. 303 f. Tese de Doutorado, Universidade de Granada, Departamento de Didáctica de la Matemática. Granada/Espanha DOS ANJOS, D.; GITIRANA, V. Invariantes do conceito de média: uma análise dos livros didáticos dos anos finais do ensino fundamental. In Anais do IV SIPEM, CD, p. 1-18, LOPES, J. A. Livro didático de matemática: concepção, seleção e possibilidades frente a descritores de análise e tendências em educação matemática. Tese de Doutorado em Educação Matemática Universidade Estadual de Campinas. São Paulo, STRAUSS, S. & BICHLER, E. The development of children s concepts of the arithmetic average. Journal for Research in Mathematics Education, vol. 19,