Experimento. Guia do professor. Mensagens secretas com matrizes. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

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1 Números e funções Guia do professor Experimento Mensagens secretas com matrizes Objetivos da unidade 1 Introduzir o conceito de criptografia; 2 Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação

2 Mensagens secretas com matrizes Guia do professor Sinopse Neste experimento, seus alunos aprenderão uma das diversas maneiras de criptografar mensagens: usando matrizes Inicialmente, dividindo a classe em grupos, o professor deve explicar como isso pode ser feito e fornecer uma mensagem codificada, pedindo para que eles tentem decifrá-la Depois, cada grupo deve criar sua própria mensagem cripto grafada e trocá la com os outros O desafio é tentar decifrar o que o outro grupo quis dizer sabendo a matriz chave que usaram Conteúdos Matrizes: Propriedades, Determinantes 1 2 Objetivos Introduzir o conceito de criptografia; Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes Duração Uma aula simples

3 Introdução A palavra criptografia tem origem grega (kripto = oculto; grapho = grafia) e diz respeito à ciência, por vezes arte, de escrever mensagens de forma que somente certas pessoas possam decifrá-las - se você estiver do outro lado de uma trincheira, pode tentar decifrar mensagens que terceiros se esforçaram para ocultar Popularmente, um sistema criptográfico é chamado de código secreto e, por isso, mesmo considerando que em matemática a palavra código tem um significado diferente, utilizaremos esse termo ao invés do extenso sistema criptográfico Todos nós, desde a infância, desenvolvemos sistemas criptográficos próprios, como, por exemplo, a famosa Língua do Pê Nesta brincadeira, transformamos a informação que desejamos transmitir, uma frase qualquer, acrescentando a sílaba pê antes de cada sílaba da palavra Assim, por exemplo, a palavra criptografia vira pecrippetopegrapefipea O colega que conhece o sistema, se tiver praticado um tempo, sabe que para entender a mensagem precisa excluir os pês no começo de cada sílaba: pecrippetopegrapefipea O princípio essencial da Língua do Pê, presente em quase todos os sistemas criptográficos, é muito simples: temos uma função entre o conjunto das palavras de nosso idioma e o conjunto das palavras criptografadas definida através de uma instrução simples: inserir os pês É fundamental notar que, ao inserir os pês em duas palavras diferentes, obtemos duas palavras diferentes Em termos de função, podemos dizer que se trata de uma função injetora, o que é essencial para podermos decodificar a mensagem sem dubiedades, ou seja, ao remover os pês, podemos obter uma única palavra: a mensagem original Naturalmente existem formas mais sofisticadas de criptografia baseadas neste mesmo princípio: definimos uma transformação (função) injetiva f entre um conjunto de mensagens originais (não codificadas) e um conjunto de mensagens codificadas A função f deve ser inversível para garantir que o processo seja reversível e que as mensagens possam ser reveladas pelos receptores Na interceptação de mensagens, seja através de grampos telefônicos, de dados (no mundo moderno) ou simplesmente capturando os mensageiros (método empregado desde sempre), a eficiência de um código reside principalmente na dificuldade de se descobrir a chave f 1 mesmo conhecendo a mensagem criptografada Neste experimento abordaremos um tipo muito específico de sistema criptográfico, no qual a função f e sua inversa f 1 são determinadas por alguma matriz A e sua inversa A 1 [?] Mensagens secretas com matrizes Guia do professor 2 / 8

4 Motivação Criptografia é uma ciência essencialmente matemática, provavelmente tão antiga quanto a necessidade tão humana que motiva seu surgimento: a de que temos de ter segredos e a precisão de eventualmente partilharmos esses segredos com outras pessoas Desde a Antiguidade, conhecemos alguns sistemas criptográficos bem definidos, como por exemplo o Código de César, usado na comunicação entre comandantes do exército romano Na história da criptografia podemos distinguir dois tipos de momentos: um em que os sistemas criados eram considerados seguros, impedindo que a mensagem capturada fosse decifrada, e outro em que já havia muitos recursos para quebrar a mensagem O grande desafio do primeiro momento era quebrar o código e, no segundo caso, os donos do código eram impelidos a inventar constantemente novos detalhes para dificultar o trabalho dos decodificadores Nos dias de hoje, quiçá por vivermos em tempos nos quais as informações são tão abundantes e a necessidade de comunicação é tão pungente, mesmo sem nos darmos conta, os sistemas criptográficos estão presentes em nosso cotidiano: cada vez que digitamos nossa senha de ou do cartão de débito, antes de ser transmitida ao servidor de internet ou ao computador central do banco, ela é criptografada para evitar que, caso seja interceptada, ainda assim permaneça protegida Para nossa tranquilidade, vivemos um momento no qual o fardo realmente pesado fica por conta daqueles que desejam violar nossa privacidade, ou seja, é praticamente impossível quebrar os sistemas criptográficos em uso Para aqueles que estejam interessados na fascinante história dos sistemas criptográficos, recomendamos o Livro dos Códigos, de Simon Singh É um livro muito agradável e acessível, e aborda os sistemas criptográficos utilizados desde a Antiguidade até final do século xix O experimento Comentários iniciais Neste experimentos trabalharemos muito com matrizes Por isso, antes de introduzir códigos, talvez seja útil recordar alguns conceitos Vamos nos restringir ao caso de matrizes 2 2, mas os conceitos em si podem ser facilmente generalizados para matrizes n n Uma matriz a11 a A 2 2 = 12 a 22 define uma função de R 2 em R 2 associando o ponto x1 a11 a v = 12 x1 a11 x ao ponto = 1 + a 12 x 2 x 2 a 22 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 a 21 Esta função, que a cada ponto v associa o ponto w = Av, tem algumas propriedades importantes Geometricamente, esse tipo de função pode ser caracterizada, independentemente da matriz A, como sendo uma função que leva retas do plano em retas (ou ponto) do plano e, se uma reta passa pela origem, sua imagem também será uma reta pela origem Essas propriedades podem ser formuladas algebricamente através de propriedades menos intuitivas do que sua contrapartida geométrica, mas muito úteis para se desenvolver teorias mais amplas: é possível verificar diretamente, a partir da definição do produto da matriz quadrada A(pela matriz coluna v, que A(u + v) =Au + Av e A(cv) =c(av), para quaisquer matrizes coluna v, u e para qualquer número real c A soma u + v e o produto cv são definidos coordenada a coordenada: se x1 x1 u = e v =, y 1 y 2 a 21 Mensagens secretas com matrizes Guia do professor 3 / 8

5 então u + v = x1 + x 2 x2 cx2 e c = y 1 + y 2 y 2 cy 2 Isso define o que chamamos de transformação linear Uma transformação linear de R 2 é uma função T : R 2 R 2 que satisfaz as seguintes propriedades: 1 T (u + v) =T (u)+t(v), para quaisquer u, v R 2 ; 2 T (cu) =ct (u), para quaisquer e qualquer c R u R 2 Antes de prosseguir, é conveniente que lembremos que uma função f : C D entre dois conjuntos é injetora se as imagens de dois pontos distintos são distintas (f(x) = f(y) se x = y) e sobrejetora se todo elemento de D é imagem de algum elemento de C (qualquer que seja z D, existe x C tal que f(x) =z) Quando uma função for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, dizemos que ela é bijetora e, neste caso, e apenas neste caso, ela é inversível, ou seja, existe uma função f 1 : D C tal que f 1 (f(x)) = x para todo x C e f(f 1 (z)) = z para todo z D É importante observar que a transformação do plano definida por uma matriz A é inversível se, e somente se, a matriz A for inversível, ou seja, se existir uma matriz 2 2 que denotamos por A 1 tal que 1 AA 1 = A 1 A = 1 e isto ocorre se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero Etapa 1 Mensagem do professor Definição Nesta etapa é necessário escolher símbolos para representar as letras do alfabeto e os sinais de pontuação: cada letra é representada por um ponto do plano Assim, sua mensagem, ao invés de ser constituída por uma sequências de letras e sinais de pontuação, passa a ser formada por uma sequência de pontos do plano No exemplo em questão, a frase BOA AULA é substituída pela seguinte sequência de pontos: B O A A U L A tabela Repare que os pontos estão representados por colunas Esta representação de letras por pontos no plano não é um esquema de criptografia, mas apenas uma convenção que pode ser divulgada aos quatro ventos sem necessariamente causar problemas de segurança para o seu segredo Para criptografar a mensagem, ou melhor, para criptografar as letras que compõem a mensagem, devemos multiplicar cada coluna que representa uma letra por uma matriz 2 2, como a sugestão escolhida 1 1 C = 1 2 Observe neste ponto que a matriz C é inversível: sua inversa é a matriz 2 1 C 1 = 1 1 e isso é importante para garantir que a mensagem possa ser decodificada Se, ao invés da matriz C, tivéssemos escolhido a matriz 1 /2 1/2 D =, 1/2 1/ teríamos que as letras U, Q, M, I e E, representadas respectivamente pelos pontos (, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1) e (4, ), seriam todas, depois de criptografadas, representadas pelo ponto (2, 2) Em resumo, neste exemplo teríamos as seguintes letras representadas pelos seguintes pontos: Mensagens secretas com matrizes Guia do professor 4 / 8

6 /2 1/2 1 3/2 2 5/2 3 7/2 4 9/2 A B, F C, G, K D, H, tabela 2 Assim, a decodificação da mensagem criptografada 1 / /2 2 2 poderia ser BEM, FUI, FIM ou BIE Lembre-se de que uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo Neste caso, o inverso da matriz a b A = c d é a matriz abaixo: A 1 = d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Observe que o denominador ad bc é nada mais que o determinante de A Se os alunos não souberem como calcular a inversa de uma matriz, é possível fazê-lo exclusivamente a partir da definição Dada matriz a b A =, c d procuramos uma matriz L, P E, I, M, Q, U x C = z J, N, R, V, Z y k O, S, W, espaço T, X, ponto Y, vírgula interro- gação tal que Como a A C = c A XC = b x d z 1 1 y ax + bz = k cx + dz bk + ay, dk + cy a exigência acima nos leva a dois sistemas, cada um com duas equações lineares e duas incógnitas (x, y, z e k) que podem ser facilmente resolvidas ax + bz =1 cx + dz = bk + ay = dk + cy =1 Etapa 2 Troca de mensagens Como dissemos no Experimento, se a matriz C escolhida não for inversível, pode ocorrer de a mensagem não ser decifrável, pois sem a condição de C ser inversível não podemos garantir que pontos que representam letras distintas possam ser levados a letras distintas No entanto, mesmo com a matriz C determinando uma transformação não injetora do plano, pode acontecer de a restrição desta transformação aos pontos do alfabeto ser injetora Na realidade, trata-se de uma situação genérica: dentre todas as infinitas matrizes 2 2, apenas um número finito delas tornarão a mensagem impossível de ser revertida Um exemplo de uma matriz 2 2 não inversível mas que leva pontos que representam caracteres distintos em caracteres distintos é a matriz 1 17 C = 1 17 Mensagens secretas com matrizes Guia do professor 5 / 8

7 Fechamento Se observarmos o exemplo fornecido na sessão anterior, em que a matriz 1 /2 1/2 D = 1/2 1/2 foi escolhida, poderemos ver que a transformação determinada por D mantém a reta definida pela equação x = y fixa, ou seja, x x D = x x Já retas perpendiculares a esta primeira são projetadas sobre as intersecções entre elas e a reta x = y Esta é uma característica geral de uma transformação linear não inversível do plano Se ela não for a transformação identicamente nula (que leva todos os pontos na origem (, )), então existe uma reta l que fica invariante, ou seja, é levada nela mesma Existe, também, uma família de retas paralelas entre si que interceptam l tal que cada uma delas é levada pela transformação em questão em um único ponto da reta l Assim, escolhendo um par de retas transversais, com a segunda delas passando por pontos que representam letras distintas, é possível construir uma projeção não apenas dada por uma matriz não inversível, mas que gera dubiedades no código Se escolhermos, por exemplo, as retas definidas pelas equações y = e 3x 2y = (passando pelos pontos (, ) e (2, 3), que representam as letras A e R respectivamente), projetamos a segunda na primeira resolvendo o sistema de equações ou, equivalentemente, em forma não matricial, o sistema cuja solução é a matriz a =1 c =, 2a +3b = 2c +3d = 1 2/3 Observe que, como o conjunto de pontos que representam caracteres é finito (no nosso caso contém 3 pontos), o número de retas que passam por mais de dois desses pontos também é finito Desafie seus alunos a encontrar matrizes não inversíveis que permitam ou não criptografar a mensagem de modo adequado a b 1 1 = e c d a b 2 = c d 3 Mensagens secretas com matrizes Guia do professor 6 / 8

8 Variações Bibliografia O mesmo experimento pode ser realizado com matrizes quadradas de dimensões maiores A análise, as discussões e as conclusões são essencialmente as mesmas que foram feitas neste texto O texto Codificando e Decifrando Mensagens (veja a Bibliografia) aborda um método criptográfico baseado em matrizes diferente do que abordamos neste experimento, o que pode servir como tema para uma exploração semelhante à que propusemos SINGH, S O livro dos códigos São Paulo: Record, 21; TAMAROZZI, A Codificando e decifrando mensagens Explorando o ensino Matemática Vol 3 São Paulo: MEC Secretaria de Educação, 24, v 3, p Mensagens secretas com matrizes Guia do professor 7 / 8

9 Ficha técnica Autor Marcelo Firer e Cristiano Torezzan Revisores Matemática Antônio Carlos Patrocínio Língua Portuguesa Carolina Bonturi Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor José Tadeu Jorge Vice-Reitor Fernando Ferreira da Costa Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe unicamp) Coordenador Fernando Arantes Gerente Executiva Miriam C C de Oliveira Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons Secretaria de Educação a Distância Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação