BC-0506: Comunicação e Redes Introdução aos Grafos

Transcrição

1 BC-0506: Comunicação e Redes Introdução aos Grafos Santo André, 2Q2011 1

2 Roteiro da Aula Motivação: Pontes de Königsberg Definições, Propriedades e Exemplos Aplicações de Grafos Caixeiro viajante Caminho mais curto Fluxo máximo Árvores Representação de Grafos Parte das figuras desta aula foram retiradas do site 2

3 As 7 Pontes de Königsberg 3

4 Como começou Cidade de Königsberg, Prussia Ficava em ambos os lados do Rio Pregel Tinha 2 ilhas centrais, com as áreas conectadas por 7 pontes Foi feita uma proposta a Euler Como fazer para passar por toda a cidade de modo que cada ponte seja cruzada uma única vez 4

5 Modelagem do Problema Euler demonstrou em 1735 que não existe nenhuma rota que resolva o problema! Para tal, o primeiro passo foi simplificar o problema Caminhos dentro dos pedaços de terra não interessavam O que interessa são apenas as conexões entre os pedaços de terra, isto é, as pontes 5

6 Grafos Chamamos a estrutura matemática resultante de grafo Os pontos são chamados de vértices e as conexões de arestas A forma de um grafo influi apenas na sua visualização, mas matematicamente é insignificante 6

7 Solução do Problema Se uma pessoa entre em pedaço de terra e sai dele, é preciso que aquele grafo tenha um número par de arestas por vértice Com exceção dos vértices onde a caminhada começa e termina Olhando o grafo ao lado, por que é impossível encontrar um caminho que cruze cada ponte uma única vez? Exercício: Tente resolver o problema de dois modos 1) Construindo uma nova ponte 2) Derrubando uma ponte existente 7

8 Resolução dos Exercícios Construindo uma nova ponte Derrubando uma das pontes Todos os vértices com número par de arestas 2 vértices com número ímpar de arestas 8

9 Caminho Euleriano Euler demonstrou que, para que exista um caminho que percorra todos os vértices passando por cada aresta uma única vez: É necessário que ou nenhum ou 2 dos vértices tenham um número ímpar de arestas Carl Hierholzer demonstrou posteriormente que esta condição é também suficiente E assim começou o desenvolvimento da teoria dos grafos 9

10 Algumas Definições, Propriedades e Exemplos 10

11 Definições Podemos definir um grafo por um par ordenado, G = (V,A), onde: - V é um conjunto de vértices - A é um conjunto de arestas No exemplo ao lado, temos: V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = { {1,2}, {1,5}, {2,5}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {4,6} } Este grafo é simples (não possui laços e possui no máximo uma aresta entre cada par de vértices) e não-direcionado (as arestas não possuem uma direção definida) 11

12 Propriedades Pseudo-grafo Grafo direcionado Grafo ponderado Grafo Grafo Grafo Simples não-direcionado não-ponderado 12

13 Outras Propriedades Existem diversas outras propriedades de grafos: Ordem: Número de vértices Tamanho: Número de arestas Diâmetro: O maior dos menores caminhos entre cada par de vértices Exercício: Qual a ordem e o tamanho dos grafos abaixo? 13

14 Outras Propriedades Conectividade dos vértices: O menor número de vértices cuja retirada desconecta o grafo Conectividade das arestas: O menor número de vértices cuja retirada desconecta o grafo E muitas outras... Exercício: Qual a conectividade dos vértices e das arestas nos grafos abaixo? 14

15 Jogo de Xadrez 3x3 Grafos podem ser utilizados para representar diversos problemas: Em um tabuleiro 3x3, você deseja mapear todos os movimentos que podem ser realizados por um bispo que se move nas casas brancas O grafo à direita representa os movimentos deste bispo Exercício: Desenhe um grafo que represente todos os movimentos da torre 15

16 Cubo e grafos planares Grafos podem ser utilizados para representar objetos, como cubos Um grafo planar é aquele que pode ser desenhado em um plano sem que nenhuma aresta se cruze Exercício 1: É possível transformar o grafo do cubo em um grafo planar? Se sim, redesenhe o grafo Exercício 2: E no caso do grafo que representa todos os movimentos do bispo? Exercício 3: E para os movimentos da torre? 16

17 Aplicação I: Otimização 17

18 Alguns Problemas de Otimização Uma empresa que realiza entregas na Grande São Paulo possui um centro de distribuição e um caminhão. Qual caminho o caminhão deve percorrer de modo a realizar todas as entregas com a menor quilometragem? Você deseja implementar em um programa de GPS uma funcionalidade de cálculo da melhor rota entre dois pontos, de modo a minimizar o tempo de viagem. Como calcular a rota com o menor tempo? Você está planejando uma rede de galerias subterrâneas para captação de águas da chuva, evitando alagamentos. Como calcular o fluxo máximo de água que a rede de galerias é capaz de escoar? 18

19 1) Caixeiro Viajante Um problemas clássico é o do caixeiro viajante Imagine um caixeiro viajante que deseja encontrar o caminho mais curto que passe por todas as cidades de seu país No exemplo ao lado, vemos o caminho mais curto que passa por diversas cidades da Alemanha 19

20 Modelagem por grafos Uma maneira de resolver o problema é realizando sua modelagem por grafo ponderado Cada cidade é representada por um vértice e cada estrada por uma aresta, com peso igual ao comprimento da estrada Mas podemos também minimizar: (1) Tempo gasto na viagem (2) Custo total da viagem Exercício 1: Qual o caminho mais curto no grafo acima? 20

21 Entrega de Encomendas Voltando ao nosso problema inicial: Uma empresa que realiza entregas na Grande São Paulo possui um centro de distribuição e um caminhão. Qual caminho o caminhão deve percorrer de modo a realizar todas as entregas com a menor quilometragem? 21

22 Solução do Caixeiro Viajante O número de roteiros possíveis envolvendo n cidades é R(n)=(n-1)!, um número que cresce rapidamente Os algoritmos exatos mais rápidos requerem um tempo que cresce exponencialmente com o número de cidades Mas existem aproximações muito mais rápidas. Tabela retirada de 22

23 2) Menor Distância Suponha que você deseje implementar em um programa de GPS uma funcionalidade de cálculo da melhor rota entre dois pontos, de modo a minimizar o tempo de viagem. Como calcular a rota com o menor tempo? 23

24 Modelagem por grafos Você pode modelar o problema atribuindo um vértice a cada cruzamento e uma aresta a cada trecho de rua. Cada aresta deve receber um peso, que pode ser o tempo para percorrê-lo ou seu comprimento 24

25 Modelagem por grafos A partir do modelo da cidade, seu programa pode calcular a melhor rota entre 2 pontos utilizando algoritmos bem conhecidos para encontrar a menor distância entre 2 pontos Ao contrário do problema do caixeiro viajante, existem algoritmos que encontram a distância entre 2 pontos de modo eficiente, isto é, polinomial com relação ao número de nós e arestas do grafo. Notem que sem realizar uma modelagem do problema, não seria possível escrever o programa que realiza a tarefa 25

26 3) Fluxo Máximo Você está planejando uma rede de galerias subterrâneas para captação de águas da chuva, evitando alagamentos. Como calcular o fluxo máximo de água que a rede de galerias é capaz de escoar? O gráfico ao lado representa 8 galerias pluviais e a direção de fluxo da água. Exercício: Qual o fluxo máximo de água entre os pontos s e t? 26

27 Problema das Tubulações O resultado é 5 e a solução está na figura abaixo Nem todas as tubulações estão carregando sua capacidade máxima de água Agora suponha que a vazão das tubulações não está sendo suficiente. Um engenheiro decide construir uma tubulação de p para t com uma vazão 3. 1) Em quanto a vazão do sistema irá aumentar? 27

28 Cenário mais realista O problema dos alagamentos e do escoamento de águas é um pouco mais complicado. Em cada nó há uma quantidade a mais de água sendo gerada devido à chuva Se as tubulações de água saindo de um ponto não derem conta de escoar a chuva naquele ponto e a água que chega de outras tubulações, haverá alagamento Considerando que os números em vermelho são a chuva em um dado ponto. Esse sistema é capaz de levar toda a água para t ou haverá pontos de alagamento? 28

29 Outras Aplicações O problema do fluxo máximo tem diversas outras aplicações. Pense em como você modelaria 1) A capacidade de uma rede de transmissão de dados 2) A capacidade de tráfego de carros em um conjunto de ruas, levando em conta os semáforos 29

30 Aplicação II: Organização de Dados em Computadores 30

31 Árvores Árvores são um tipo de grafo muito utilizado na computação para organizar os dados de um programa São definidos como grafos acíclicos e conectados Os grafos abaixo são exemplos de árvores: 31

32 Estrutura de Dados Dados computacionais são armazenados nos nós da árvore No exemplo ao lado, cada nó armazena um número, mas outros itens, como textos, imagens e arquivos também poderiam ser armazenados. Mas qual a vantagem de armazenar dados em árvores? Para dados hierárquicos, como sistemas de arquivos, esta é a organização natural A manutenção de um conjunto ordenados de dados é também eficiente 32

33 Armazenamento de Dados Muitas vezes precisamos manter um conjunto ordenados de dados no computador Principal vantagem é que a busca é muito mais eficiente Imagine você realizando a busca por: Um nome em uma lista telefônica no qual os nomes estão fora de ordem Por uma determinada casa em uma rua onde os números da casa foram definidos de modo arbitrário 33

34 Árvore com Dados Ordenados As árvores abaixo mantém uma lista de números organizados de modo aleatório e ordenado, respectivamente. Exercício: Tente descobrir qual a regra utilizada para que os nós da árvore se mantenham ordenados 34

35 Por que a busca é eficiente? O computador consegue analisar um nó de cada vez e sempre começa a busca pelo nó raiz. Suponha que desejemos obter o conteúdo do nó denominado pelo número 14: Árvore não ordenada: necessário verificar nó por nó Árvore ordenada: basta verificar alguns nós Se a busca for por um número não presente, como o 18, a vantagem da ordenação é ainda maior 35

36 Aplicações do armazenamento Podemos utilizá-las sempre que queremos armazenar um conjunto de dados de modo ordenado Obs: Árvores nem sempre são a estrutura de dados mais eficiente em computação, mas este é um tópico para outras disciplinas 36

37 Sistemas de Arquivos Sistemas operacionais modernos, como Windows e Linux, possuem sistemas de arquivos Possuem uma organização hierárquica, com diretórios (pastas) que podem conter arquivos e outros diretórios 37

38 Sistemas de Arquivos Normalmente executamos nos sistemas de arquivos as operações de busca, inserção e remoção de entradas Estas operações são eficientes em árvores, como podemos ver no exemplo abaixo 38

39 Sistemas de Arquivos Suponha agora que desejamos transferir um diretório, contendo toda uma subárvore, para outra localização Como podemos ver, este processo é bastante simples e rápido 39

40 Outras Aplicações 40

41 Redes Metabólicas Nossas células funcionam através da interação entre diversas moléculas, como enzimas, proteínas e ácidos nucleicos. A figura ao lado mostra parte de uma rede metabólica 41

42 Redes Metabólicas Podemos modelar redes metabólicas por grafos, onde os nós correspondem às moléculas e as arestas às interações Estudar estas redes são importante pois: Permite entender o funcionamento dos seres vivos Permite descobrir as causas e tratamento para doenças, como câncer e diabetes Hoje existe um grande números de bancos de dados contendo informações sobre genes, proteínas, enzimas e suas redes metabólicas Ex:KEGG: Kyoto Encyclopedia of Genes and Genomes 42

43 Internet Grafos são utilizados para modelar diversas situações: - Canais de comunicação entre computadores de usuários, roteadores e servidores web - Estrutura lógica das páginas da Internet, com as relações entre os sítios da Internet através de hyperlinks - Hierarquia de servidores no caso de serviços, como o de descoberta de endereços IP de servidores a partir de seus nomes (ex: - Organização das páginas de um sítio da Internet 43

44 Representação de Grafos 44

45 Algoritmos de Grafos Algoritmos envolvendo grafos são comuns em computadores, pois estes permitem a resolução de importantes problemas Caixeiro viajante Menor distância entre 2 pontos Fluxo máximo Organização de dados em computadores 45

46 Representação de Grafos Mas como representar grafos em computadores? As duas maneiras mais utilizadas são: Lista de adjacências Matriz de adjacências 46

47 Lista de Adjacências Representamos um grafo por um conjunto de listas, uma por nó X Cada lista contém todos os nós com os quais o nó X se conecta Na figura ao lado, vemos a representação de um grafo Notem que cada aresta é representada 2 vezes, uma para cada nó que ela conecta 47

48 Matriz de Adjacências O grafo é representado por uma matriz, onde cada elemento (x,y) recebe o valor de ponderação (ou 1) se houver uma conexão entre os nós x e y e 0 caso contrário Na figura ao lado, vemos a representação de um grafo com a matriz de adjacência Notem que: Basta 1 bit para representar cada aresta não-ponderada Se houverem poucas arestas, a matriz será esparsa 48

49 Representação de Grafos Podemos também representar grafos direcionados e que contenham laços, como abaixo: Neste caso, as representações contém a aresta apenas em uma direção, como a aresta de 3 para 5 49

50 Exercício 1 Selecione 10 cidades do Estado de São Paulo no mapa e crie um grafo que represente suas conexões por estradas. Atribua pesos às arestas utilizando um critério desejado (tempo estimado de viagem, distância, etc.) Finalmente, determine: a) Qual é o diâmetro do grafo, isto é, a maior das menores distâncias entre cada par de cidades? Obs: considere os pesos de cada aresta b) Qual a conectividade dos vértices e das arestas? 50

51 Exercício 2 Crie a matriz de adjacência e a lista de adjacência para os 2 grafos abaixo: 51