ANDRÉ LEITE ANDRADE LUCIANO DO CARMO DE SOUZA SINTONIA DE CONTROLADORES PID UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 BACHARELADO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO ANDRÉ LEITE ANDRADE LUCIANO DO CARMO DE SOUZA SINTONIA DE CONTROLADORES PID UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS CAMPOS DOS GOYTACAZES / RJ 2010

2 ANDRÉ LEITE ANDRADE LUCIANO DO CARMO DE SOUZA SINTONIA DE CONTROLADORES PID UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense Campus Campos-Centro como requisito parcial para conclusão do Curso de Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação. Orientador: Adelson Siqueira Carvalho, MSc. CAMPOS DOS GOYTACAZES/RJ 2010

3 Dados de Catalogação na Publicação (CIP) A553a Andrade, André Leite. Sintonia de controladores PID utilizando algoritmos genéticos / André Leite Andrade, Luciano do Carmo de Souza Campos dos Goytacazes, RJ : [s.n.], f. ; il. Orientador: Adelson Siqueira Carvalho. Monografia. (Engenharia de Controle e Automação). Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense. Campos dos Goytacazes, RJ, Bibliografia: f Controladores PID. 2. Algoritmo genético. I. Souza, Luciano do Carmo de. II. Carvalho, Adelson Siqueira, orient. III. Título. CDD

4 SINTONIA DE CONTROLADORES PID UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS ANDRÉ LEITE ANDRADE LUCIANO DO CARMO DE SOUZA Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense Campus Campos-Centro como requisito parcial para conclusão do Curso de Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação. Aprovada em 30 de novembro de 2010 Banca avaliadora:... Adelson Siqueira Carvalho (Orientador) Mestre em Engenharia de Produção Instituto Federal Fluminense... Maurício Gonçalves Ferrarez Mestre em Engenharia de Controle e Automação Instituto Federal Fluminense... Sérgio Vasconcellos Martins Doutor em Engenharia de Produção Instituto Federal Fluminense

5 2 AGRADECIMENTOS A Deus por nos ter dado força e saúde para realização deste trabalho. Aos nossos pais, que sempre nos apoiaram. Ao nosso orientador Adelson Siqueira Carvalho pela orientação e incentivo. A todos os professores do curso de bacharelado em Engenharia de Controle e Automação que contribuíram para nossa formação acadêmica. Aos demais colegas do curso de bacharelado em Engenharia de Controle e Automação.

6 3 O sucesso nasce do querer, da determinação e persistência em se chegar a um objetivo. Mesmo não atingindo o alvo, quem busca e vence obstáculos, no mínimo fará coisas admiráveis. José de Alencar

7 4 RESUMO Diante da grande utilização de Controladores Proporcional, Integral e Derivativo (PID) na indústria e a necessidade destes estarem bem sintonizados para que haja uma otimização do processo, este trabalho tem por finalidade buscar uma alternativa não convencional de sintonia de controladores PID e compará-la com os métodos convencionais. A sintonia de controladores nada mais é que encontrar valores ótimos para seus parâmetros de acordo com as informações do processo. Existem diversas técnicas de sintonia, mas que na maioria das vezes não são suficientes para uma sintonia ótima, requerendo um ajuste fino, normalmente realizado por tentativa e erro, motivo pelo qual muitas vezes eleva-se o gasto de tempo e recursos. Como se trata de um problema de otimização, recorreu-se a uma ferramenta muito utilizada em pesquisa operacional para tentar alcançar o objetivo deste trabalho, que são os algoritmos genéticos (AG s). Os algoritmos genéticos, apresentaram valores bastantes satisfatórios para os parâmetros de sintonia de um controlador PID em um processo de malha fechada com uma planta de primeira ordem, porém os resultados não foram satisfatórios ao se utilizar uma planta de primeira ordem com tempo morto, mais comum no meio industrial. (AG). Palavras-chave: Controlador PID. Sintonia de controladores. Algoritmo genético

8 5 ABSTRACT The wide spread use of PID controllers in the industry and the need of it to be well tuned is important so the process is optimized. This paper seeks an alternative nonconventional PID controllers tuning and compares it with conventional methods. The tuning of controllers is nothing more than to find optimal values for theirs parameters according to the process information. There are different techniques for tuning, but the majority is not sufficient to reach optimum value of tune. Tuning usually done by trial and error, because of that time and resources are often wasted which an optimization problem. Genetic algorithms (GA's), is a tool widely used in operational research to try to achieve our objective. They showed very satisfactory values for tuning parameters of a PID controller in a closed loop process with a first order plant, but the results were not satisfactory when using a first order plant with dead time, which is the most common in industry. Keywords: PID controller. PID tuning. Genetic algorithm (GA).

9 6 LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 2.1: Método da roleta aplicada a população de 5 indivíduos (CATARINA, 2005, p.15) Figura 2.2: Cruzamento (Inteligência Artificial, PUC-Rio, p. 50) Figura 2.3: Mutação (Inteligência Artificial, PUC-Rio, p. 50) Figura 2.4: Fluxograma de um AG (VALE, 2007, p.20) Figura 2.5: Exemplo de um controle manual em um trocador de calor (BEGA et al., 2003).. 22 Figura 2.6: Ação de controle em função do sinal de erro gerada pelo controlador de duas posições com banda morta ( FACCIN, 2004) Figura 2. 7: Ação de controle em função do sinal de erro gerada pelo controlador ( Faccin, 2004) Figura 2.8: Resposta dinâmica de uma malha de controle (CAMPOS e TEIXEIRA, 2006) Figura 2.9: Sistema em malha fechada Figura 2.10: Oscilação permanente Figura 2.11: Resposta do processo de primeira ordem em malha aberta (CAMPOS e TEIXEIRA, 2006) Figura 3.1: Ferramenta GATOOL do MATLAB Figura 3.2: Função gerada pelo GATOOL Figura 3.3: Parâmetros do GATOOL Figura 3.4: Valores adotados no parâmetro população do GATOOL Figura 3.5: Ajuste do controlador PID através do AG (NUNES et al., 2003/2004) Figura 4.1: Planta de 1ª ordem sem tempo morto Figura 4.2: Resposta do controlador PID sintonizado pelo AG Figura 4.3: PID modificado Figura 4.4: Resposta do controlador PID modificado sintonizado pelo AG Figura 4.5: Resposta do controlador PID modificado sintonizado pelo AG (função objetivo modelada de forma manual) Figura 4.6: Resposta do controlador PID modificado sintonizado pelo AG (função objetivo modelada de forma computacional)

10 7 LISTA DE TABELAS Tabela 1.1: Problemas típicos encontrados em malhas auditadas (CARMO e GOMES, 2008, p. 8) Tabela 2. 1: Efeitos das ações do controlador PID sobre o processo e a função do ganho Tabela 2. 2: Método de Ziegler e Nichols em malha fechada Tabela 2. 3: Fórmulas para o cálculo dos parâmetros PID para o método de Ziegler e Nichols em malha aberta Tabela 2. 4: Fórmulas para os cálculos dos parâmetros PID para o método de Cohen-Coon.. 35 Tabela 2. 5: Constantes para cálculo da sintonia do PID segundo método da integral do erro Tabela 2. 6: Constantes para cálculo da sintonia do PID segundo método da integral do erro Tabela 4.1: Função de Transferência Rn-1,n(s) e Rn,n(s) aproximadas por Padé (VAJTA, 2000)

11 8 LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS AG Algoritmo Genético BP Banda Proporcional GCR Ganho crítico IAE Integral do valor absoluto do erro ITAE Integral do produto do tempo pelo valor absoluto do erro K Ganho do Processo KP Parâmetro do controlador proporcional KI Parâmetro do controlador Integrativo KD Parâmetro do controlador Integrativo MATLAB / SIMULINK Programa utilizado para cálculos e simulação de sistema de controle P Controlador Proporcional PI Controlador Proporcional + Integral PD Controlador Proporcional + Derivativo PID Controlador Proporcional + Integral + Derivativo Erro θ Tempo morto τ Constante de tempo Variação do erro SISO Single Input Single Output (uma entrada e uma saída) T Período de oscilação TI Tempo integral TD Tempo derivativo

12 9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Apresentação Objetivos Justificativa e Motivação Metodologia de Pesquisa Estrutura do Trabalho REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Algoritmos Genéticos Introdução A Inspiração Biológica Características dos Algoritmos Genéticos Controladores Controlador ON-OFF Controlador Proporcional Controlador Proporcional e Integral (PI) Controlador Proporcional e Derivativo (PD) Controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID) Sintonia de Controladores PID Critérios de Desempenho Métodos de Sintonia Método Heurístico de Ziegler e Nichols Método de Cohen e Coon (CC) Método da Integral do Erro METODOLOGIA Modelagem do Problema de Otimização... 37

13 Modelagem no Domínio da Freqüência Adequação no Domínio do Tempo Estruturação da Função Objetivo do Problema O Algoritmo Genético Utilizado O Modelo de Simulação em Malha Fechada RESULTADOS Planta de Primeira Ordem Planta de Primeira Ordem com Tempo Morto Aproximações do Tempo Morto Série de Taylor Aproximação de Padé Modelagem no Domínio do Tempo Modelagem Manual CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 57

14 11 1 INTRODUÇÃO 1.1 Apresentação. Devido a grande utilização de controladores PID na indústria e a necessidade destes estarem bem sintonizados para que haja uma otimização do processo, este TCC (Trabalho de Conclusão de Curso) busca uma alternativa não convencional de sintonia de controladores para verificar se os métodos convencionais são suficientes ou se poderia melhorar, um pouco que seja, esta sintonia. A sintonia de controladores nada mais é que encontrar valores ótimos para seus parâmetros de acordo com as informações do processo. Existem diversa técnicas de sintonia, mas que na maioria das vezes não são suficientes para uma sintonia ótima, requerendo um ajuste fino, este normalmente é realizado por tentativa e erro, motivo pelo qual muitas vezes pode acarretar em um gasto de tempo e recursos elevado. Como se trata de um problema de otimização, recorreu-se a uma ferramenta muito utilizada em pesquisa operacional que são os algoritmos genéticos (AG s) para tentativa de alcançar o objetivo, que é a melhoria na sintonia de controladores PID. 1.2 Objetivos. O objetivo principal deste TCC é utilizar algoritmos genéticos para sintonia ótima dos parâmetros do controlador PID (Proporcional, Integral e Derivativo). 1.3 Justificativa e Motivação. É interessante notar que mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam esquemas de controle PID ou PID modificado. Como a maioria dos controladores PID são ajustados em campo, diferentes tipos de regras de sintonia vêm sendo propostas na literatura. Com a utilização dessas regras de sintonia, ajustes finos no controlador PID podem ser feitos em campo. Além disso, métodos

15 12 de sintonia automática vêm sendo desenvolvidos e alguns controladores PID têm a capacidade de fazer sintonia automática on-line. A utilidade dos controladores PID está na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de controle. Em particular, quando o modelo matemático da planta não é conhecido e, portanto, métodos de projeto analítico não podem ser utilizados, controles PID se mostram os mais úteis. Na área dos sistemas de controle de processos, sabe-se que os esquemas básicos de controle PID e os controles PID modificados provaram sua utilidade conferindo um controle satisfatório, embora em muitas situações eles podem não proporcionar um controle ótimo (OGATA,2003, p. 557). Segundo Takatsu et al.(1998 apud FACCIN, 2004, p. 8) apesar da existência de outras tecnologias, suas aplicações industriais ainda são pequenas, e o controlador do tipo PID continua sendo inegavelmente o controlador mais utilizado. Isto pode ser comprovado através das seguintes citações: O controlador PID é de longe o algoritmo de controle mais comum. A maioria das malhas feedback são controladas por este algoritmo ou pequenas variações. Ele é implementado de muitas formas diferentes, como um controlador autônomo ou como parte de um pacote DDC (Direct Digital Control) ou um sistema de controle de processo distribuído hierárquico. Milhares de instrumentos e engenheiros de controle no mundo estão usando tais controladores no seu trabalho diário (ÅSTRÖM e HÄGGLUND, 1995, p. 59, tradução nossa). Controladores PID são utilizados em grande número em todas as indústrias. Os controladores vêm em muitas formas diferentes, são como pacotes de produtos padrão, e são produzidos em massa. A popularidade dos controladores PID é devido à sua simplicidade funcional e confiança. Eles provêem desempenho robusto e seguro para a maioria dos sistemas se os parâmetros do PID forem determinados ou ajustados para assegurar um desempenho satisfatório em malha fechada (MORADI et al., 2002, p. 1, tradução nossa). O algoritmo de controle PID tem desempenhado um papel dominante em sistemas de controle de processos industriais por mais de sessenta anos. Conseqüentemente, muitos métodos têm sido propostos para determinar os três parâmetros do controlador, ou seja, os

16 13 ganhos proporcional, integral e derivativos, para atender diferentes necessidades das várias aplicações de controle (HWANG e HSIAO, 2002, p. 1, tradução nossa). Um levantamento feito com mais de controladores utilizados em refinarias, indústrias químicas e indústrias de papel e celulose mostraram que 97% de controladores regulatórios tinham a estrutura PID. (ÅSTRÖM e HÄGGLUND, 2004, p. 635, tradução nossa). Devido à sua simplicidade e eficácia, os controladores PID são os mais eficazes e mais amplamente utilizado em controladores de controle de processo, embora a teoria de controle moderno foi desenvolvida de forma rápida e profunda (ZHONG e LI, 2002, p. 1, tradução nossa). O onipresente controlador PID continuou a ser a técnica de controle mais utilizada em processo por muitas décadas. Embora as técnicas de controle avançado, como controle preditivo baseado em modelo pode proporcionar melhorias significativas, um controlador PID que está devidamente projetado e ajustado provou ser satisfatório para a grande maioria das malhas de controle industriais (CHEN e SEBORG, 2002, p. 4807, tradução nossa). O proporcional-integral (PI) é sem dúvida o controlador mais adotado em ambientes industriais, devido à sua capacidade de fornecer desempenhos satisfatórios para uma grande variedade de plantas, apesar de sua simplicidade. De fato, para muitos processos o termo derivativo do controlador não é útil e muitas vezes é difícil ajustar, de modo que os profissionais preferem evitar o seu uso (PIAZZI e VISIOLI, 2002, p. 1, tradução nossa). Muitos controladores são colocados em modo manual e, dentre aqueles que são colocados em modo automático, a ação derivativa é geralmente desligada pela razão elementar que sua sintonia é mais complexa. As razões chave para um desempenho insatisfatório dos processos industriais podem ser encontradas em problemas de equipamentos, como válvulas e sensores, e nos procedimentos equivocados de sintonia dos controladores. Os problemas das válvulas incluem dimensionamento equivocado, histerese e stiction. Os problemas de medida incluem filtros antialiasing insuficientes ou inexistentes, excesso de filtragem em sensores inteligentes, ruídos excessivos e calibração imprópria. Melhorias substanciais podem ser conseguidas. Conhecimento e compreensão são os elementos fundamentais para se alcançar melhorias no desempenho das malhas de controle. Para isto, são necessários não só conhecimentos específicos sobre os processos, mas também sobre os controladores PID. [...] A Tabela 1.1 mostra claramente que uma das grandes deficiências do desempenho das malhas de controle, dentre outros fatores, reside em sintonias inadequadas dos controladores, especialmente os de estrutura

17 14 PID. Embora os métodos iniciais de sintonia existam há mais de 60 anos a questão é, atualmente, tema contínuo de pesquisas e desenvolvimento, sem perspectivas de se esgotar (CARMO e GOMES, 2008, p. 7-8). Problemas Típicos das Malhas de Controle Percentual da Malhas Auditadas Válvulas de controle com problemas 30% Problemas de sintonia (parâmetros incoerentes) 30% Problemas de sintonia (comprometimento do desempenho) 85% Estratégia de controle inadequada 15% Controlador em manual 30% Desempenho da malha insatisfatório 85% Malhas com melhor desempenho em automático que manual 25% Tabela 1.1: Problemas típicos encontrados em malhas auditadas (CARMO e GOMES, 2008, p. 8) As citações acima e a forma como o mesmo problema foi descrito por diversos autores, é a fonte de motivação deste trabalho. 1.4 Metodologia de Pesquisa. A metodologia utilizada envolveu primeiramente a definição do tema e em seguida a familiarização com a ferramenta de algoritmo genético do MATLAB de forma a conhecer seu funcionamento e obter os parâmetros ótimos para sintonia do controlador. Para o desenvolvimento do tema a revisão bibliográfica se fez necessária. Após a revisão bibliográfica, o desenvolvimento do projeto segue com base na aplicação dos algoritmos genéticos para sintonia de controladores PID. O próximo passo foi a verificação dos resultados obtidos pelo MATLAB através de simulação virtual e então foi feita uma breve analise de desempenho. 1.5 Estrutura do Trabalho. O trabalho está organizado em cinco capítulos. O segundo capítulo é composto da revisão bibliográfica e este está divido em três partes: algoritmo genético (AG), controlador PID e sintonia de controladores PID. O terceiro capítulo trata da metodologia utilizada para desenvolvimento do trabalho.

18 15 No quarto capítulo são apresentados os resultados obtidos através de simulações feitas no MATLAB e SIMULINK. Finalizando o trabalho são apresentadas as conclusões, comentários e sugestões para desenvolvimentos de trabalhos futuros.

19 16 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Algoritmos Genéticos Introdução Em meados da década de 70, nos Estados Unidos, John Holland propôs a técnica de algoritmo genético (AG) na Universidade de Michigan. Os algoritmos genéticos são mecanismos inspirados no processo de evolução dos seres vivos, baseada nas teorias de seleção natural de Darwin e na genética de Mendel, em que dada uma população, os indivíduos com características genéticas melhores têm maiores chances de sobrevivência e de produzirem filhos cada vez mais aptos, enquanto indivíduos menos aptos tendem a desaparecer. A contínua evolução do desempenho dos sistemas computacionais tem se tornado bastante atrativo para vários tipos de otimização. Os algoritmos genéticos começam sem o conhecimento da solução correta e dependem completamente de respostas do ambiente e da evolução dos operadores como reprodução, crossover (cruzamento ou recombinação) e mutação para chegarem à melhor solução. Os algoritmos genéticos usam o conceito de probabilidade, mas não são simples buscas aleatórias. Pelo contrário, os algoritmos genéticos tentam direcionar a busca para regiões onde é provável que os pontos ótimos estejam (LACERDA e CARVALHO, 1999) A Inspiração Biológica A primeira teoria sobre evolução das espécies foi proposta em 1809, pelo naturalista francês Jean Baptiste Pierre Antoine de Monet, conhecido como Lamarck. Para Lamarck as características que um animal adquire durante sua vida podem ser transmitidas hereditariamente. Este estudo ficou conhecido pela ciência como a lei do uso e desuso. Charles Darwin vem debater a teoria de Lamarck, de forma agressiva tentando de forma

20 17 científica explicar como as espécies evoluem. A seleção natural é um processo de evolução, geralmente aceito pela comunidade científica como a melhor explicação para a adaptação. O meio ambiente seleciona os seres mais aptos. Em geral, só estes conseguem reproduzir-se e os menos adaptados são eliminados ou pelo menos reduzidos em um primeiro momento a uma minoria. Assim, só as diferenças que facilitam a sobrevivência são transmitidas à geração seguinte (STEARNS, 2003). A seleção natural depende muito das condições ambientais, podendo selecionar características de um determinado organismo ajudando na reprodução e sobrevivência deste. Os organismos que não possuem tal característica podem vir a morrer antes que se reproduzam ou serem menos prolíficos que os organismos que apresentam a característica. À medida que as condições ambientais não variem, essas características continuam sendo adaptativas, tornando-se comum na população. Certas características são preservadas devido à vantagem seletiva que conferem, permitindo que o indivíduo reproduza-se, consequentemente, deixe mais descendentes. Através de diversas interações, os organismos podem vir a desenvolver características adaptativas muito complexas (FUTUYAMA e STEARNS, 2003). A teoria da seleção natural não é aplicada somente a organismos biológicos, podendo ser aplicada a qualquer organismo que se reproduz de modo a envolver tanto a hereditariedade como a variação (MICHALEWICZ, 1996). Assim, pode-se ocorrer seleção natural no reino não biológico. Alguns pesquisadores buscaram na natureza a inspiração necessária para pesquisar e desenvolver novas técnicas de busca de soluções para determinados problemas. Na natureza o processo de seleção natural demonstra que seres mais preparados (aptos) competem com os recursos naturais impostos, tendo assim uma maior probabilidade de sobreviver, consequentemente, disseminar o seu código genético (SRINIVAS e PATNAIK, 1994). Com o passar das gerações, através de sucessivos cruzamentos e mutações que ocorrem com as espécies, estes tendem a estar cada vez mais adaptados ao meio ambiente em que vivem. O AG trabalha com uma população no qual cada indivíduo é um candidato a solução do problema. A função de otimização representa o ambiente no qual a população inicial

21 18 encontra-se. Emprega-se no AG a mesma terminologia e os mesmos princípios da teoria evolutiva e da genética Características dos Algoritmos Genéticos Os algoritmos genéticos constituem uma técnica não determinística de busca, otimização e aprendizagem de máquina que manipulam não somente uma solução potencial para o problema, mas sim um espaço de soluções potenciais conhecido como população. As soluções potenciais são chamadas de cromossomos ou indivíduos. Estes cromossomos são representações codificadas de todos os parâmetros da solução. Cada cromossomo é comparado com outro cromossomo da população com objetivo de identificar qual deles terá maior chance de repassar seu material genético para as próximas gerações. O tamanho da população irá depender do problema. Assim quanto maior a população, maior a chance de encontrar a solução para o problema. Porém, maior será o tempo de processamento, ou seja, a escolha do tamanho de uma população irá depender de alguma heurística utilizada pelo usuário e de sua experiência (DIAS e BARRETO, 1998). Caso o tamanho da população aumente muito, o processo estará se aproximando de uma busca exaustiva. Portanto, deixa de ser interessante como método alternativo de busca de soluções. Após a criação da população inicial é realizada uma avaliação da população em relação às características contidas na função objetivo e verificado se esta possui os indivíduos necessários para atender os critérios de parada. Caso as condições forem satisfeitas o algoritmo é finalizado, caso contrário, ele dará continuidade a suas etapas. Na natureza o processo de seleção garante que os indivíduos mais adaptados tenham maiores chances de sobreviver. O conceito utilizado no AG é o mesmo (SRINIVAS e PATNAIK, 1994). A seleção é aplicada na população corrente para criar uma população intermediária que irá passar pelos processos de cruzamento e mutação para a geração da próxima população (WHITLEY, 1994).

22 19 Existem várias técnicas de seleção, a utilizada no algoritmo clássico, sugerido por Holland (1975) é conhecida como método da roleta (MICHALEWICZ, 1996). Nesta técnica é atribuída a cada indivíduo uma probabilidade de passar para a próxima geração. Essa probabilidade é proporcional a sua adaptação ao ambiente, em relação à somatória da adaptação de todos os indivíduos, sendo maior a probabilidade dos indivíduos mais adaptados serem sorteados (ZUBEN, 2000). A figura 2.1 representa visualmente, o método da roleta, sendo aplicado para uma pequena população de cinco indivíduos. Figura 2.1: Método da roleta aplicada a população de 5 indivíduos (CATARINA, 2005, p.15). Durante o processo de seleção pode-se perder um indivíduo com um alto grau de adaptação. Para evitar este problema usa-se um conceito conhecido como elitismo, onde o melhor indivíduo é mantido na próxima população. Desta forma, garante-se que o seu material genético fará parte do processo na próxima geração (ZUBEN, 2000). Segundo Srinivas e Patnaik (1994), após a seleção vem o cruzamento, sendo esta operação essencial para o AG, onde indivíduos pré-selecionados formam pares aleatórios para o processo de cruzamento. O cruzamento consiste na manipulação do material genético existente na população e permitirá a criação de um ou mais indivíduos (filhos) dos indivíduos selecionados (pais) pela seleção. No final deste processo à população geralmente permanece do mesmo tamanho da população anterior (HAUPTY e HAUPTY, 2004). A figura 2.2 representa a operação de cruzamento.

23 20 Figura 2.2: Cruzamento (Inteligência Artificial, PUC-Rio, p. 50) A mutação permite que indivíduos da nova geração sofram pequenas alterações, permitindo assim uma possibilidade de busca maior no espaço do problema. A mutação possui o papel de repor ou acrescentar um material genético inexistente na população atual, seja por ter sido perdido ou por nunca ter existido em populações anteriores. O processo inicia-se com a escolha de um ponto aleatório de um indivíduo, depois é aplicada uma taxa de probabilidade de troca deste ponto (bit) por um outro bit (KOZA, 1995). A figura 2.3 representa a operação de mutação. Figura 2.3: Mutação (Inteligência Artificial, PUC-Rio, p. 50) Whitley (1994), explica que a taxa de mutação geralmente é pequena, seguindo a inspiração biológica esse valor é da ordem de 1%. Contudo, na prática pode-se trabalhar com taxas bem maiores, dependendo do objetivo, topologia da superfície de erro e até mesmo se será ou não empregado o elitismo no processo de busca de uma solução. Para Srinivas e Patnaik (1994), a mutação é um operador secundário que pode restaurar material genético perdido ou inexistente em gerações anteriores. Percebe-se em problemas práticos que o AG pode tender a gerar indivíduos muito parecidos, perdendo diversidade em sua população. E esta população não necessariamente esta direcionada para o ponto ótimo da resolução do problema proposto. Para minimizar a perda de diversidade, pode-se usar uma taxa de mutação em níveis mais altos que sugeridos na literatura.

24 21 Após a mutação, novamente é realizado uma avaliação para verificar se os indivíduos presentes na nova população possuem potencial para a solução ótima do problema. A figura 2.4 representa o fluxograma das etapas de um AG: Figura 2.4: Fluxograma de um AG (VALE, 2007, p.20). 2.2 Controladores Atualmente o controle esta cada vez mais presente nas indústrias de processos contínuo, batelada e manufatura. O controle tem a função de aumentar a rentabilidade das unidades industriais e para esse rendimento ser alcançado é preciso que os controladores estejam operando em seus pontos ótimos. Os controladores são equipamentos utilizados em processos industriais e têm a função de manter os processos em seus pontos operacionais mais eficientes e econômicos, além de prevenir condições instáveis no processo que podem pôr em risco pessoas e/ou equipamentos. Para atingir esta finalidade o controlador automático opera da seguinte forma: 1. Mede o valor atual da variável que se quer controlar; 2. Compara o valor atual da variável com o valor desejado; 3. Determina o erro e gera um sinal de correção;

25 22 4. Aplica a correção ao sistema a ser controlado de modo a eliminar o desvio, de maneira a reconduzir a variável ao valor desejável; A figura 2.5 representa o processo típico sob controle de um operador humano. O serviço do operador é sentir a temperatura da água quente de saída e girar o volante da válvula de maneira a manter a temperatura da água no valor desejado. Supondo-se que o processo esteja equilibrado e que a temperatura de saída da água esteja no valor desejado, o que acontecerá a este sistema de controle manual se houver um aumento na vazão de água? Figura 2.5: Exemplo de um controle manual em um trocador de calor (BEGA et al., 2003) Devido aos atrasos de tempo do processo, certo lapso de tempo vai se passar antes que a água mais fria atinja a mão direita do operador. Quando o operador sente esta queda de temperatura, ele deve compará-la com a temperatura desejada, a seguir computar mentalmente quando e em qual direção a válvula deve ser reposicionada e, manualmente, efetuar esta correção na abertura da válvula. É necessário certo tempo, naturalmente, para tomar esta decisão e corrigir aposição da válvula. Certo tempo vai-se passar também para que o efeito na correção da válvula sobre a temperatura de saída da água, chegue até a saída e possa ser sentida pelo operador. É só neste momento que o operador será capaz de saber se a primeira correção foi excessivamente pequena ou grande. Neste momento, ele faz então uma segunda correção que, depois de algum tempo, proporcionará uma outra mudança na temperatura de saída. O resultado desta segunda correção será observado e uma terceira correção será feita, e assim por diante.

26 23 Esta série de ações de medição, comparação, computação e correção irão ocorrer continuamente através do operador e do processo em uma cadeia fechada de ações, até que a temperatura seja finalmente equilibrada no valor desejado pelo operador. Este tipo de controle é chamado malha de controle fechada ou cadeia de controle fechada. Este conceito de malha fechada é fundamental para a compreensão do controle automático. Pois a única diferença da representação descrita acima para um controle automático, é que a função do operador será realizado por um controlador. Campos e Teixeira (2006) mencionaram que os sistemas de controle devem manter o processo no seu ponto operacional ótimo, evitando regiões inseguras de operação, e devem ser capazes de eliminar perturbações. As ações de controle mais comuns e utilizadas na indústria são: controle on-off, controle proporcional (P), controle proporcional e integral (PI), controle proporcional e derivativo (PD) e controle proporcional, integral e derivativo (PID). A seguir será detalhado cada controlador citado anteriormente, sendo o enfoque principal o controlador PID Controlador ON-OFF Este controle é normalmente empregado em processos que podem admitir certa oscilação contínua da variável de controle em torno do valor desejado (BEGA et al., 2006, p. 460). on-off. A equação abaixo é a mais utilizada para representar o funcionamento do controlador (2.1) Onde o (variação do erro) funciona como uma banda morta, um pequeno intervalo de variação aceitável do erro onde não há variação da ação de controle.

27 24 É a forma de controlador mais simples que existe e consiste em um circuito comparador que compara o sinal de entrada com dois sinais de referência, chamados de limite inferior e limite superior. A Figura 2.6 mostra a relação entre o sinal de erro e a ação de controle gerada pelo modo de controle on-off com banda morta, ou seja, um pequeno intervalo de variação aceitável do erro onde não há variação da ação de controle. Figura 2.6: Ação de controle em função do sinal de erro gerada pelo controlador de duas posições com banda morta ( FACCIN, 2004) Controlador Proporcional O controlador proporcional (P) gera a sua saída proporcionalmente ao erro (e(t)). O fator multiplicativo (KP) é conhecido como ganho do controlador (CAMPOS e TEIXEIRA, 2006, p. 23) (2.2) A Figura 2.7 mostra a relação entre o sinal de erro e a ação de controle gerada pelo modo de controle proporcional.

28 25 Figura 2. 7: Ação de controle em função do sinal de erro gerada pelo controlador ( Faccin, 2004). O ganho do controlador proporcional é dado pela inclinação da reta sobre a banda proporcional percentual (BP), a relação entre ambos é dada pela Equação abaixo. Esta representação é genérica para o caso onde a saída do controlador varia entre 0 e 100%. Para casos específicos onde isto não ocorre, esta relação não é válida (FACCIN, 2004). (2.3) O controle proporcional não é capaz de fazer com que a variável do processo retorne ao valor desejado, deixando assim um erro em regime permanente que é chamado de off-set. O erro em regime permanente diminui com o aumento do ganho proporcional KP, no entanto isto diminui a faixa correspondente à banda proporcional, tornando o controlador mais oscilatório Controlador Proporcional e Integral (PI) A ação integral não pode ser empregada separadamente de uma ação proporcional. A principal característica que a ação integral possui é a eliminação do desvio característico de um controle puramente proporcional, ou seja, elimina o erro permanente (offset). A ação integral tem como único objetivo eliminar o erro em regime permanente, e a adoção de um termo integral excessivamente atuante pode levar o processo à instabilidade. A adoção de um integral pouco atuante retarda em demasia a estabilização.

29 26 O controlador PI gera um sinal de saída proporcionalmente ao erro, e proporcionalmente à integral do erro. Abaixo segue a equação do controlador PI. (2.4) O termo:, também é chamado como ganho integral (KI) Controlador Proporcional e Derivativo (PD) O derivativo só atua quando há variação no erro. Se o processo está estável, seu efeito é nulo. Durante perturbações ou na partida do processo, quando o erro está variando, o derivativo sempre atua no sentido de atenuar as variações, sendo portanto sua principal função melhorar o desempenho do processo durante os transitórios. Abaixo segue a equação do controlador PD. (2.5) O termo:, também é chamado como ganho derivativo (KD). É importante ressaltar que a ação de controle derivativa não pode ser utilizada sozinha porque ela não depende diretamente do erro, e sim da taxa de variação do erro. Isto significa uma incapacidade em lidar com erros instantâneos, e uma alta capacidade para lidar com pequenas variações do erro. A ação de controle derivativa sempre deve ser utilizada com ações P ou PI. O controlador PD não elimina o erro de regime permanente (offset), porém provoca amortecimento e permite o aumento do ganho proporcional.

30 Controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID) A junção das três ações de controle básicas, ou seja, proporcional (P), integral (I) e derivativa (D) constituem um dos controladores mais utilizados na indústria que é o controlador PID. O controlador PID é sem dúvida o algoritmo de controle mais comum utilizado nas aplicações de controle de processo. No Japão a Electric Measuring Instrument Manufacturers Association fez uma pesquisa em 1989 para saber o estado dos sistemas de controle. De acordo com a pesquisa mais de 90% da malhas de controle era do tipo PID. A popularidade do controlador PID pode ser atribuída as suas diferentes características: aplicação em sistemas com realimentação; tem a habilidade de eliminar o erro de regime permanente (offset) devido a ação integral; e pode antecipar o futuro através da ação derivativa. (SILVA; DATTA e BHATTACHARYYA, 2005, p. 161, tradução nossa) Abaixo segue a equação do controlador PID paralelo clássico, onde o ganho proporcional também multiplica o termo integral e derivativo. (2.6) É interessante ressaltar que os controladores P, PI e PD podem ser obtidos a partir de um controlador PID (HAUGEN, 2004, pag. 27). Para obter-se estas configurações citadas basta que se altere os parâmetros TI (tempo integral) e/ou TD (tempo derivativo). A tabela 2.1 mostra os efeitos das ações do controlador PID sobre o processo e a função do ganho. Ação Função da Ação Função do ganho Proporcional Ação de controle imediata e proporcional ao valor do erro corrente. Aumenta a velocidade de resposta do sistema. Não corrige erro de regime Determinar a amplitude da ação, ou seja, determinar quanto o erro instantâneo deve influenciar na correção da planta.

31 28 permanente. Torna a resposta mais oscilatória à medida que o ganho aumenta. Integral Ação de controle gradual, proporcional a integral do erro. Responde ao passado do erro enquanto este for diferente de zero. Determinar a amplitude da ação, ou seja, determinar quanto o acúmulo do erro deve influenciar na correção da planta. Elimina o erro de regime permanente (off-set). Reduz o tempo de subida. Derivativo Ação antecipatória, resposta proporcional à derivada do erro. Provoca amortecimento e permite o aumento do ganho proporcional. Determinar a amplitude da ação, ou seja, determinar quanto a variação do erro deve influenciar na correção da planta. Não corrige o erro de regime permanente. Melhora o desempenho do processo durante os transitórios. Tabela 2. 1: Efeitos das ações do controlador PID sobre o processo e a função do ganho. 2.3 Sintonia de Controladores PID Para se obter a sintonia do controlador PID, pode-se utilizar diversos métodos de sintonia, esses métodos podem ser classificados em empíricos, analíticos ou obtidos através de algum tipo de otimização. Existem métodos baseados em modelos do processo operando em malha aberta ou modelos em malha fechada, e existem ainda métodos no domínio da freqüência (FACCIN, 2004). O controlador PID (Proporcional - Integral - Derivativo) é atualmente o mais utilizado no meio industrial e, portanto é muito comum encontrá-lo operando de forma inadequada, seja de forma manual ou automática com baixo desempenho. Este problema de desempenho dos controladores PIDs é de otimização, e pode ser solucionado com a utilização de métodos baseados na computação evolutiva (CE), como Algoritmos Genéticos (AG) e diversas aplicações destes métodos então disponíveis na forma de textos científicos.

32 29 Campos et al. (2007) demonstraram que uma boa sintonia e uma boa estratégia de controle, ou seja, a escolha correta dos pares de variáveis controladas e manipuladas para os controladores PIDs, podem resultar em grandes ganhos econômicos para uma planta de processamento. NUNES et al. (2003/2004) apresentaram um controlador PID cujos parâmetros eram ajustados de forma automática por algoritmos genéticos (AG). Coelho e Coelho (1999) apresentaram a aplicação da computação evolutiva (CE) no contexto de automação industrial, abordando os fundamentos das seguintes metodologias de CE: algoritmos genéticos, programação evolutiva, estratégias evolutivas e programação genética. Descreveram algumas pesquisas, aplicações em identificação e controle de processos, ferramentas em software, hardware e a utilização de algoritmos evolutivos em sistemas híbridos com metodologias da inteligência computacional (IC). Além de demonstrarem resultados práticos da aplicabilidade de CE na identificação experimental de um processo térmico com a estimação do atraso de transporte e na sintonia de um controlador PID em controle de um sistema não-linear de regulação de nível. Arruda et al. (2008) utilizaram algoritmo genético multiobjetivo para resolver o problema de otimização de sintonia de n controladores PI/PID (Proporcional, Integral e Derivativo) em processos multivariáveis. Vale (2007) apresentou um controlador fuzzy acoplado a um PID neural sintonizado por um Algoritmo Genético e realizou simulações com esse controlador em uma planta de controle de nível e seus resultados foram comparados com estruturas de controle convencionais (PID convencional ajustado por AG, PID Neural ajustado por AG, Fuzzy PI, Fuzzy cascata acoplado a um PIDN ajustado por AG e Fuzzy MISO (3 entradas) acoplado a um PIDN ajustado por AG), todos aplicados na mesma planta de controle de nível. Moedinger e Coelho (2004) utilizaram algoritmo genético híbrido com o método simplex para otimização de controlador por alocação de pólos. Todos artigos pesquisados e citados anteriormente contribuíram para o presente trabalho. Alguns em especial como o artigo publicado por Campos et al. (2007) que

33 30 demonstrou que uma boa sintonia dos controladores PIDs em um processo industrial, pode gerar em um ano ganhos econômicos da ordem de milhões de dólares. Outro artigo que contribuiu muito foi o publicado por Nunes et al. (2003/2004) que apresentou um controlador PID cujos parâmetros eram ajustados de forma automática por algoritmos genéticos. Os demais artigos foram importantes apenas para esclarecer o funcionamento dos algoritmos genéticos Critérios de Desempenho É muito comum a utilização de critérios de desempenho na sintonia de controladores, Campos e Teixeira (2006) citam alguns critérios mais utilizados, como: O menor sobrevalor ou overshoot (que é igual a A/B ) possivel. Razão de declínio (que é igual a C/A ) igual a um certo valor. O menor tempo de subida (TS) possível. O menor tempo de assentamento (tempo quando o desvio em regime permanente é menor que 5%) possível (TA). Mínina energia ou atuação na variável manipulada. Utilização de um índice de desempenho para avaliar a qualidade do controle. Figura 2.8: Resposta dinâmica de uma malha de controle (CAMPOS e TEIXEIRA, 2006).

34 31 Neste trabalho será adotado o critério de desempenho razão de declínio igual ¼, visando atingir a estabilidade que é o principal critério para o ajuste de uma malha de controle Métodos de Sintonia Foram desenvolvidos numerosos métodos durante os últimos 40 anos para sintonizar os parâmetros de um controlador PID. Alguns destes métodos são baseados em representar a resposta dinâmica da planta para um sistema de primeira ordem com tempo morto. Tradicionalmente, este modelo é obtido aplicando um degrau na entrada da planta e medindo na saída os três parâmetros: ganho do processo (K), constante de tempo (τ) e tempo morto (θ) (SILVA; DATTA e BHATTACHARYYA, 2005, p. 223, tradução nossa). (2.7) A seguir, serão detalhados alguns métodos de sintonia aplicados a controladores PID Método Heurístico de Ziegler e Nichols Ziegler e Nichols propuseram regras para a sintonia de controladores PID baseadas na resposta experimental a uma excitação em degrau, ou no valor de Kp que resulta em estabilidade marginal para o controle proporcional apenas. A idéia básica é obter valores para os ganhos a partir de experimentos sobre o processo. As regras são muito utilizadas, sempre que o processo a ser controlado permite, por fornecerem um ponto de partida para um ajuste mais fino (AMARAL; PACHECO e TANSCHEIT, 2010, p. 4). Segundo Faccin (2004) o trabalho elaborado por Ziegler e Nichols foi o primeiro a propor uma metodologia objetiva e simples para a sintonia de controladores PID. Zigler e Nichols propuseram dois métodos para se obter um modelo da dinâmica de um processo SISO (Single Input Single Output uma entrada e uma saída). O primeiro método permite o cálculo das ações de controle sem a necessidade dos parâmetros do processo, este método é realizado em malha fechada. Para isso são mantidos

35 32 fixos os seguintes parâmetros: TI = e TD = 0, e aumenta-se o ganho proporcional (P) gradativamente até obter uma resposta oscilatória com amplitude constante, neste ponto determina-se o ganho crítico (GCR) e o período de oscilação (T). O ganho crítico (GCR) é o ganho do controlador P que gerou uma resposta oscilatória na variável controlada no limite da estabilidade, com um período (T). Se o ganho do controlador for maior que (GCR), então o sistema será instável. Com os valores de ganho crítico (GCR) e período (T), consulta-se a tabela 2.2 abaixo para se obter a sintonia do controlador PID, usando como critério de desempenho uma razão de declínio igual a 1/4. MODOS DE REGULAÇÃO AÇÕES P PI Série PI Paralelo PID Série PID Paralelo PID Misto K P T I Máximo T D Tabela 2. 2: Método de Ziegler e Nichols em malha fechada. Abaixo segue um exemplo de sintonia do primeiro método proposto por Ziegler e Nichols. Para obter a sintonia, o primeiro passo foi aumentar TI ao máximo valor possível, fazendo assim que a ação integral tenda ao zero e diminuir TD para zero. Logo o controlador PID ficou apenas com a ação proporcional, fixando ganho proporcional em (P = 1) inicia-se a procura de GCR aumentando P até atingir uma oscilação constante. O ganho proporcional que atingiu a oscilação constante será o valor de GCR e o período é obtido pela análise gráfica da oscilação. Obtidos estes dados, é só consultar a tabela 2.2 para fazer a sintonia do controlador.

36 33 Figura 2.9: Sistema em malha fechada. Figura 2.10: Oscilação permanente. O segundo método de sintonia proposto por Ziegler e Nichols é chamado de método da curva de reação e é realizado em malha aberta. O procedimento para levantar a curva de reação consiste em colocar o controlador em manual e aplicar uma variação em degrau na saída do controlador. Pela resposta do processo a esta perturbação, calcula-se a taxa de variação e o tempo morto. A resposta do sinal de saída do transmissor y(t) é registrada em um registrador de carta contínua ou outro sistema adequado, que pode ser um sistema supervisório. Depois de aplicado o degrau a resposta do sistema será um gráfico semelhante ao abaixo, onde se devem extrair os seguintes parâmetros: tempo morto, constante de tempo e ganho do processo. De posse destes parâmetros, basta consultar a tabela 2.3 para obter os valores de KP, TI e TD.

37 34 Figura 2.11: Resposta do processo de primeira ordem em malha aberta (CAMPOS e TEIXEIRA, 2006). Controlador KP TI TD P τ/(k x θ) PI 0.9 τ/(k x θ) 3.33 x θ PID 1.2 τ/(k x θ) 2 x θ 0.5 x θ Tabela 2. 3: Fórmulas para o cálculo dos parâmetros PID para o método de Ziegler e Nichols em malha aberta Método de Cohen e Coon (CC) O método de Cohen e Coon, assim como o proposto por Ziegler e Nichols também é baseado no critério de razão de decaimento de ¼ e é utilizado para sintonia de controladores PIDs com tempos mortos mais elevados, ou seja, com fator de incontrolabilidade (θ/ ) maior que 0,3. Segundo Campos e Teixeira (2006) é muito comum no método de CC acontecer sintonias agressivas, então na prática é sugerido diminuir inicialmente os ganhos propostos pela tabela de sintonia 2.4 e ir aumentando posteriormente estes ganhos em função da observação do comportamento do processo.

38 35 KP TI TD P PI PID Tabela 2. 4: Fórmulas para os cálculos dos parâmetros PID para o método de Cohen-Coon Método da Integral do Erro Este método foi inicialmente proposto no trabalho de [Lopez et al., 1967] para perturbação de carga (problema regulatório) e posteriormente no de [Roriva et al., 1969] para degraus no setpoint. Este método sugere utilizar como critério de desempenho a integral de uma função do erro dentro de uma janela de tempo, suficiente para eliminar o erro em regime permanente. A vantagem deste critério é de considerar toda a curva de resposta do sistema, ao invés de apenas dois pontos como na razão de declínio de ¼ (CAMPOS e TEIXEIRA, 2006). No método da integral do erro os dois critérios mais utilizados são o IAE ( integral do valor absoluto do erro - ) ou ITAE ( integral do produto do tempo pelo valor absoluto do erro ). O ITAE é mais vantajoso, pois apresenta menor sensibilidade aos erros que acontecem logo após a perturbação. A seguir têm-se as equações de sintonia e a tabela com as constantes e critério desejado obtidas por Lopez et al. (1967 apud CAMPOS e TEIXEIRA, 2006). (2.8)

39 36 (2.9) (2.10) Controlador Critério A B C D E F PI IAE PI ITAE PID IAE PID ITAE Tabela 2. 5: Constantes para cálculo da sintonia do PID segundo método da integral do erro. A seguir tem-se as equações de sintonia e a tabela com as constantes e critério desejado obtidas por Roriva et al.(1969 apud CAMPOS e TEIXEIRA, 2006). (2.11) (2.12) (2.13) Controlador Critério A B C D E F PI IAE PI ITAE PID IAE PID ITAE Tabela 2. 6: Constantes para cálculo da sintonia do PID segundo método da integral do erro.

40 37 3 METODOLOGIA 3.1 Modelagem do Problema de Otimização Modelagem no Domínio da Freqüência A utilização dos algoritmos genéticos (AG) como ferramenta de otimização tem como pré-requisito a modelagem de uma função objetivo. A função objetivo é responsável por conter todas as informações necessárias para que o algoritmo genético processe os dados e ofereça uma solução ótima para o problema. Como o problema em questão é a sintonia de controladores PID, os parâmetros que devem estar ajustados para uma solução ótima são o ganho proporcional (Kp), o ganho integral (Ki) e o ganho derivativo (Kd). Porém, em sintonia de controladores o que na verdade se quer eliminar ou diminuir é a variável erro. O erro nada mais é que a diferença entre o valor da variável a ser controlada desejável e o real. O primeiro problema encontrado foi levantar um modelo matemático da variável erro, relacionando-a com os parâmetros Kp, Ki e Kd, de forma que este modelo pudesse ser a representação da função objetivo. Por questão de facilidade, quase todas as tentativas realizadas com a finalidade de obter a função objetivo foram feitas no domínio da freqüência complexa. Este domínio é representado pela letra s, que trata-se de uma variável complexa. Assim que foi encontrada uma função coerente, mesmo no domínio da freqüência complexa, o modelo estava quase pronto, tendo o primeiro passo do projeto alcançado. A função de transferência que pode ser considerada como peça fundamental para obtenção da função objetivo é a função de transferência do controlador PID, que não é nada de novo, porém a forma como ela foi disposta para que as necessidades fossem atendidas demandou algumas tentativas e testes. Depois de superado esta fase, a função que foi obtida se encontra logo abaixo:

41 38 (3.1) Um modelo simples da função objetiva encontrada após a modelagem pode ser observada logo abaixo, onde deve ser destacado dentre as restrições a não negatividade dos parâmetros de sintonia: (3.2) Adequação no Domínio do Tempo O segundo problema encontrado para dar continuidade ao projeto, foi encontrar uma maneira de ajustar a função erro para o domínio do tempo. Na verdade, trata-se de uma tarefa não muito difícil, pois existe um teorema próprio para transformar equações do domínio do tempo para o domínio da freqüência e vice versa. Trata-se da Transformada de Laplace. A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares. Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, funções senoidais amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável complexa s. Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo (OGATA, 2003, p.8). Assim, uma equação diferencial linear pode ser transformada em uma algébrica de uma variável complexa s. Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial poderá ser obtida pela transformada inversa de Laplace. E está foi à solução adotada para adequar a função erro no domínio do tempo.

42 39 Porém, alguns ajustes e complementos foram necessários para finalizar esta etapa. Somente com a função de transferência do controlador PID, não era possível ainda obter a função erro relacionando os parâmetros Kp, Ki e Kd, que nada mais seria que a função objetivo. O caminho adotado visava à escolha de outras funções, como a entrada de referencia e a ordem da planta a ser testada. Por este motivo, optou-se por desenvolver um pequeno algoritmo capaz de flexibilizar os futuros testes, pois não era necessário recalcular todo o processo a cada possível mudança, bastava entrar com os dados referentes à mudança requerida e a nova função objetivo, no domínio do tempo estaria calculada. Com mais esta etapa superada, o problema que surgiu e que parecia ser o último foi à estruturação da função objetivo do problema para que esta finalmente pudesse ser utilizada para resolução do problema de sintonia Estruturação da Função Objetivo do Problema Como já mencionado anteriormente, a última dificuldade encontrada antes de utilizar a função erro, já no domínio do tempo, para obtenção dos valores ótimos foi o excesso de variáveis na função. Para sintonia, precisa-se apenas dos valores ótimos de Kp, Ki e Kd porém, a função erro encontrada além destes parâmetros também possuía o parâmetro t, relacionado ao tempo. O que já era previsto uma vez que a utilização da transforma inversa de laplace tem por objetivo representar no domínio do tempo uma função originalmente no domínio da freqüência complexa. função. Uma maneira de eliminar esta variável foi à utilização do conceito de limite de uma O limite de f(x), quando x tende a um número, é igual a L, se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo do número desejado, mas não igual ao número desejado (STEWART, 2001).

43 40 Utilizando a idéia de limite, foram realizados alguns testes com valores de tempo ao invés da variável t, somente. Verificou-se que o comportamento da função para valores elevados de t, era similar a resposta de funções com período de simulação semelhante, o que tornou possível a substituição deste parâmetro por um número, neste caso O Algoritmo Genético Utilizado Os AGs são robustos e eficientes em espaços de procura irregulares, multidimensionais e complexos, e caracterizam-se por (GOLDBERG, 1994 apud COELHO e COELHO, 1999, p.14): Operarem em uma população de pontos; Não requererem derivadas; Trabalharem com a codificação de seu conjunto de parâmetros, não com os próprios parâmetros (representação binária); Realizarem transições probabilísticas, não regras determinísticas; Necessitarem apenas de informação sobre o valor de uma função objetivo para cada integrante da população de indivíduos. O procedimento básico de otimização por AGs, seja este com representação canônica ou real, utiliza-se de três operadores básicos: seleção, recombinação e mutação. Os AGs são usualmente implementados conforme os seguintes passos (BÄCK et al., 1997; FOGEL, 1995; MICHALEWICZ, 1992): i. A população inicial de parâmetros compreende P soluções. Cada uma das soluções consiste de vetores xi Î {0,1} (representação canônica) ou xi Î Ân (representação real). Estes parâmetros são inicializados de acordo com uma distribuição uniforme; ii. Classificar cada solução xi, i=[1,p], com relação ao cálculo da função de adequação (fitness), ou seja, avalia-se o grau de adaptação de cada indivíduo da população em relação ao problema;

44 41 iii. de seleção; Selecionar os indivíduos mais aptos de acordo com a estratégia iv. Aplicar os operadores genéticos de recombinação e mutação; v. Gerar uma nova população; vi. satisfeita. Repetir os passos (ii) a (v) até que uma condição de parada seja A ferramenta que trabalha com algoritmos genéticos do MATLAB, GATOOL, não se diferencia dos passos relatados anteriormente. Existem maneiras de se declarar o número de variáveis, a função objetivo, alterarem taxa de mutação etc. Além disso, existem campos de entrada para que se possa entrar com algumas condições, ou restrições como é o caso do problema de sintonia dos controladores PID. Uma restrição importante para que a solução encontrada satisfaça as condições de sintonia de um controlador PID é que o universo de busca da população inicial englobe apenas valores positivos, como foi feito. Pode-se reparar na figura 3.1, que é a representação da ferramenta GATOOL do MATLAB, os campos onde devem ser declarados os parâmetros para que a ferramenta possa processar as informações e fornecer a solução ótima. Primeiro tem-se o campo relacionado com a declaração da função objetivo (Fitness Function); depois o campo de declaração do número de varáveis (Number of variables); no próximo conjunto de campos de declaração, a única parte que é necessária para o problema de sintonia é o campo Bounds, onde se é declarado os limites do universo de busca para a solução do problema. Nos campos seguintes, têm-se opções de visualizações de outros atributos que não seja a solução do problema como: melhor indivíduo, a distância entre os indivíduos da população, dados sobre a seleção dos indivíduos, critério de parada, melhor função entre outras.

45 42 Figura 3.1: Ferramenta GATOOL do MATLAB Ao se utilizar o GATOOL, após a entrada dos parâmetros necessários é possível gerar linhas de código em arquivo do MATLAB sobre a forma de função. Um exemplo de função gerada pode ser observado abaixo: Figura 3.2: Função gerada pelo GATOOL. A simples utilização de um algoritmo genético também pode ser considerada um problema de otimização devido a grande quantidade de parâmetros possíveis de serem

46 43 alterados e capazes de gerarem resultados diferentes. Abaixo se observa no GATOOL tais parâmetros: Figura 3.3: Parâmetros do GATOOL. Depois de alguns testes, quando foram alterados heuristicamente os parâmetros demonstrados acima, pode se observar que para resolução do problema de sintonia de controladores PID não se fazia muita diferença no que se refere à qualidade dos resultados apresentados, pois no máximo o que se alterava era o tempo de processamento e por se tratar de um problema que não exigiu grande demanda do processador, este fator se tornou insignificante. O único parâmetro que foi alterado, mas apenas com objetivo de obter maior quantidade de possíveis candidatos a solução ótima foi o tamanho da população, tendo visto que quanto maior, maior a possibilidade de se encontrar a solução, porém também pode ser observado que não era necessária a utilização de uma população maior que 80 indivíduos, e esta foi adotada. Figura 3.4: Valores adotados no parâmetro população do GATOOL.