OTIMIZAÇÃO DE SECÇÕES DE AÇO CONSTITUÍDAS POR CHAPAS SOLDADAS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 Filipa Goulão Mira Barros Licenciada em Ciências da Engenharia Civil OTIMIZAÇÃO DE SECÇÕES DE AÇO CONSTITUÍDAS POR CHAPAS SOLDADAS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Orientador: João Rocha de Almeida, Prof. Doutor, Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa Júri: Presidente: Prof. Doutor Rodrigo Gonçalves, FCT-UNL Arguente: Prof. Doutor João Botelho Cardoso, FCT-UNL Vogal: Prof. Doutor João Rocha de Almeida, FCT-UNL Dezembro 2013

2 "Copyright" Filipa Goulão Mira Barros, FCT/UNL e UNL A Faculdade de Ciências e Tecnologia e a Universidade Nova de Lisboa têm o direito, perpétuo e sem limites geográficos, de arquivar e publicar esta dissertação através de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital, ou por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado, e de a divulgar através de repositórios científicos e de admitir a sua cópia e distribuição com objetivos educacionais ou de investigação, não comerciais, desde que seja dado crédito ao autor e editor. i

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4 Agradecimentos A realização deste trabalho, que conclui a minha formação académica, contou com a colaboração de algumas pessoas que, direta ou indiretamente, tornaram possível a sua concretização. Assim, começo por exprimir o meu agradecimento e reconhecimento aos autores que contribuiram com maior relevância. Em primeiro lugar, ao Prof. Doutor João Rocha de Almeida, orientador da dissertação, sem o qual não teria sido possível, dado que foi o seu conhecimento e experiência que fomentou o meu interesse pelos temas abordado. Gostaria ainda de expressar o meu agradecimento, por toda a ajuda prestada, pelo apoio e disponibilidade constantes, pelos conhecimentos transmitidos, pelo incentivo e pela valiosa contribuição que levou à realização deste trabalho. Ao Prof. Doutor Mário Franca e ao Prof. Doutor João Cardoso pelo esclarecimento de dúvidas e pela ajuda prestada. Finalmente, agradeço a todos os meus amigos, pela sincera amizade, pela compreensão em todos os momentos e pelo estimulo ao longo de todo trabalho bem como à minha família, em particular aos meus pais e irmã por todo o carinho e apoio que recebi. iii

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6 Resumo Esta dissertação apresenta uma metodologia para otimização paramétrica de secções de vigas de aço constituídas por chapas soldadas cumprindo os requisitos de segurança propostos pelo Eurocódigo 3 no que se refere à resistência ao momento fletor, ao esforço transverso e à encurvadura lateral utilizando Algoritmos Genéticos. Os Algoritmos Genéticos são métodos de optimização inspirados na teoria de seleção natural de Charles Darwin, introduzidos por John Holland e popularizados por David Goldberg. Para aplicação desta técnica utilizou-se o toolbox de Algoritmos Genéticos do programa MATLAB R, através do qual se obteve a área da secção transversal mínima tendo em consideração as restrições das variáveis de projeto e a norma em vigor (Eurocódigo 3). Procurou-se, através deste trabalho, desenvolver uma ferramenta computacional para aplicação em problemas de engenharia civil nomeadamente no domínio da otimização estrutural, pretendendo-se, assim, estimular a pesquisa neste tópico. Concluiu-se que os Algoritmos Genéticos são uma técnica bastante robusta, que proporciona resultados adequados e eficientes. As desvantagens encontradas nesta técnica são a sua grande dependência em relação à amostra inicial da população, o seu custo computacional e a necessidade de ajustar criteriozamente alguns parâmetros para obter bons resultados. Palavras chave: Algoritmos genéticos, Eurocódigo 3, Otimização, Vigas de aço. v

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8 Abstract Optimization of welded steel plates sections using genetic algorithms This dissertation presents a methodplogy for parametric optimization of steel beams sections made of welded plates complying with the safety requirements proposed by Eurocode 3, relative to resistence to bending moment, shear and lateral buckling, using Genetic Algorithms. Genetic Algorithms are optimization methods inspired by the theory of natural selection by Charles Darwin, introduced by John Holland and popularized by David Goldberg. For the application of this technique, use was made it the Genetic Algorithms toolbox of the MATLAB R, through which the minimum cross-sectional area was obtained, taking into account the constraints of the design variables and the current design standard (Eurocode 3). It was sought, through this work, to develop a computational tool to be applied in civil engineering problems, namely in the domain of structural optimization, intending to stimulate further research on this topic. It was concluded that genetic algorithms are a very robust technique that provides adequate and efficient results. The disadvantages found on this technique are its highly dependency on the initial sample of the population, its computational cost and the need to tune criteriously some parameters in order to get good results.. Keywords: Genetic algorithms, Eurocode 3, Optimization, Steel beams. vii

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10 Índice de Matérias Índice de Matérias Índice de Figuras Índice de Quadros Lista de abreviaturas, siglas e símbolos ix xiii xvii xxi 1 Introdução Motivação e Enquadramento Objetivos Organização da Dissertação Conceitos Gerais Introdução Caracterização Mecânica do Aço Caracterização Geométrica Classificação de Secções Dimensionamento de Elementos em Estruturas Metálicas Introdução Resistência das Secções Transversais Dimensionamento à Flexão Dimensionamento ao Esforço Transverso Combinação de Flexão com Esforço Transverso Flexão de Elementos Não Restringidos Lateralmente Encurvadura Lateral Momento Crítico Dimensionamento de Elementos Não Restringidos Lateralmente 20 ix

11 Índice de Matérias Método Geral Otimização Estrutural Introdução Definição Geral Formulação do Problema de Projeto Ótimo Algoritmos Genéticos Codificação das Variáveis de Projeto Inicialização e avaliação do desempenho Seleção Método da roleta Método do torneio Método estocástico uniforme Cruzamento Cruzamento de um ponto Cruzamento de dois pontos Cruzamento Uniforme Mutação Elitismo Otimização com restrições Descrição do Problema de Otimização Introdução Formulação Função Objetivo Restrições Limitações das variáveis Aplicação Representaçao e Codificação Operadores Genéticos Testes de Parâmetros Introdução Teste 1 - Tamanho da População Teste 2 - Mutação Apresentação e Análise de Resultados Introdução Modelo A - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carregamento Distribuído Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Conclusões e Sugestões para Desenvolvimentos Futuros 95 x

12 Índice de Matérias 8.1 Considerações finais e conclusões Sugestões para futuros desenvolvimentos Bibliografia 97 A Resultados do estudo com secções comerciais 101 B Resultados do estudo paramétrico 109 C Otimização em MATLAB R Utilizando a Optimization Toolbox 121 xi

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14 Índice de Figuras 1.1 Estatística sobre o consumo de aço em Portugal (ECCS, 2010) Aplicações de estruturas metálicas em Portugal Perfis laminados a quente (Simões, 2007) Secções enformadas a frio (Simões, 2007) Comportamento de secções à flexão (Simões, 2007) Encurvadura lateral de vigas (Simões, 2007) Secções simétricas em relação ao eixo de menor inércia (Simões, 2007) Processo iterativo: a) na atividade de projeto; b) na otimização estrutural. (Cardoso e Coelho, 2011) Algoritmo genético simples (adaptado de Cardoso e Coelho, 2011) Esquema de seleção pelo método da roleta Esquema de seleção pelo método do torneio Esquema de seleção pelo método estocástico uniforme Exemplos de aplicação do operador cruzamento de um ponto Exemplos de aplicação do operador cruzamento de dois pontos Exemplos de aplicação do operador cruzamento uniforme Configuração das vigas modelo: (a) Modelo A, (b) Modelo B, (c) Modelo C e (d) Modelo D Convenção de eixos e definição geométrica da secção (adaptado de CEN, 2005) Analogia: Problema x Algoritmos genéticos Representação de exemplo de cromossoma de uma viga (b = 100, d = 50, t f = 3 e t w = 3) Configuração da viga teste Dimensões da secção ótima da viga teste xiii

15 Índice de Figuras 6.3 Resultados do teste Resultados do Teste Resultados de convergência do Modelo A com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m Resultados de convergência do Modelo A com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m Resultados de convergência do Modelo B com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn Resultados de convergência do Modelo B com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn Resultados de convergência do Modelo C com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m xiv

16 Índice de Figuras 7.22 Resultados de convergência do Modelo C com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m Resultados de convergência do Modelo C com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m Resultados de convergência do Modelo D com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn Resultados de convergência do Modelo D com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn C.1 Janela de comandos do MATLAB C.2 Janela de Optimization Tool xv

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18 Índice de Quadros 2.1 Valores nominais da tensão de cedência f y e da tensão última à tracção f u para aços estruturais laminados (CEN, 2005) Relações máximas comprimento-espessura de elementos internos (CEN, 2005) Relações máximas comprimento-espessura de banzos em consola (CEN, 2005) Relações máximas comprimento-espessura em cantoneiras e secções tubulares (CEN, 2005) Coeficientes C 1, C 2 e C 3 para vigas com cargas transversais (CEN, 1992) Tensões tangenciais em secções correntes Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2007) Valores recomendados dos fatores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral (CEN, 2005) Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais (Caso geral) (CEN, 2005) Exemplo de população Teste Teste 1A - Tamanho de população: Teste 1B - Tamanho de população: Teste 1C - Tamanho de população: Teste 1D - Tamanho de população: Teste Teste 2A - Probabilidade de mutação: 0, Teste 2B - Probabilidade de mutação: 0, Teste 2C - Probabilidade de mutação: 0, Teste 2D - Probabilidade de mutação: 0, Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 5 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. 59 xvii

19 Índice de Quadros 7.2 Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 10 m e carregamento distribuído de 5 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 15 m e carregamento distribuído de 5 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 5 m e carregamento distribuído de 10 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 10 m e carregamento distribuído de 10 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 15 m e carregamento distribuído de 10 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 5 m e carregamento distribuído de 20 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 10 m e carregamento distribuído de 20 kn/m Comparação de resultados ótimos obtios por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 15 m e carregamento distribuído de 20 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 5 m e carregamento distribuído de 5 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 10 m e carregamento distribuído de 5 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 15 m e carregamento distribuído de 5 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 5 m e carregamento distribuído de 10 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 10 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. 81 xviii

20 Índice de Quadros 7.24 Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 15 m e carregamento distribuído de 10 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 5 m e carregamento distribuído de 20 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 10 m e carregamento distribuído de 20 kn/m Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 15 m e carregamento distribuído de 20 kn/m Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. 93 A.1 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo A A.2 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo A A.3 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo A A.4 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo B A.5 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo B A.6 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo B A.7 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo C A.8 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo C A.9 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo C A.10 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo D A.11 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo D A.12 Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo D B.1 Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo A. 109 B.2 Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo A. 110 B.3 Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo A. 111 B.4 Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo B. 112 B.5 Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo B. 113 xix

21 Índice de Quadros B.6 Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo B. 114 B.7 Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo C. 115 B.8 Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo C. 116 B.9 Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo C. 117 B.10 Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo D. 118 B.11 Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo D. 119 B.12 Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo D. 120 xx

22 Lista de abreviaturas, siglas e símbolos Abreviaturas Siglas EC3 Eurocódigo 3 EC3-1-1 Eurocódigo 3 Parte 1-1 EC3-1-3 Eurocódigo 3 Parte 1-3 EC3-1-5 Eurocódigo 3 Parte 1-5 CEN Comité Europeu de Normalização UNL Universidade Nova de Lisboa Letras Latinas Maiúsculas A área da secção transversal de um elemento A m A v A w área limitada pela linha média numa secção fechada de paredes finas área resistente ao esforço transverso área da alma C centro de corte C 1 coeficiente dependente da forma do diagrama de momentos e condições de apoio C 2 coeficiente dependente da forma do diagrama de momentos e condições de apoio C 3 coeficiente dependente da forma do diagrama de momentos e condições de apoio E módulo de elasticidade G módulo de distorção; centro de gravidade xxi

23 Lista de abreviaturas, siglas e símbolos I p I T I W I y I z momento polar de inércia constante de torção de St. Venant constante de empenamento momento de inércia de em relação ao eixo y y momento de inércia de em relação ao eixo z z L comprimento do elemento M momento fletor M b,rd valor de cálculo do momento fletor resistente à encurvadura lateral M cr momento crítico elástico de encurvadura M c,rd valor de cálculo do momento fletor resistente em relação a um eixo principal da secção transversal M Ed M el M pl valor de cálculo do momento fletor atuante momento de flexão elástico da secção momento de flexão plástico da secção M y,c,rd valor de cálculo do momento fletor resistente em relação ao eixo y y M y,v,rd valor de cálculo do momento plástico resistente em relação ao eixo y y, reduzido pela interação com o esforço transverso N esforço axial P carga concentrada R raio de uma secção circular maciça R e R i V Ed raio exterior de uma secção circular oca raio interior de uma secção circular oca valor de cálculo do esforço transverso actuante V c,rd V pl,rd valor de cálculo do esforço transverso resistente valor de cálculo do esforço transverso plástico resistente W eff,min módulo de flexão mínimo da secção transversal efetiva W el,min módulo de flexão elástico mínimo da secção transversal W pl W y módulo de flexão plástico da secção transversal módulo de flexão em relação ao eixo y y xxii

24 Lista de abreviaturas, siglas e símbolos Letras Latinas Minúsculas a designação de uma curva de dimensionamento à encurvadura b largura da secção transversal; designação de uma curva de dimensionamento à encurvadura c comprimento útil de uma parte de uma secção; designação de uma curva de dimensionamento à encurvadura; restrição d designação de uma curva de dimensionamento à encurvadura f função objetivo f u f y tensão de rotura à tração tensão de cedência h altura da secção transversal h i h w k w altura de uma parte de uma secção altura da alma fator de comprimento efetivo dependente da restrição ao empenamento k z fator de comprimento efetivo dependente da restrição à flexão em torno do eixo z z r raio de concordância s coordenada ao longo do contorno de uma secção fechada de paredes finas t espessura nominal do elemento t f t i t w espessura do banzo espessura de uma parte i da secção espessura da alma y eixo da secção paralelo aos banzos (eixo de maior inércia) z eixo da secção perpendicular aos banzos (eixo de menor inércia) z a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro de gravidade de uma secção z g distância entre o ponto de aplicação de uma carga e o centro de corte da secção z j z s parâmetro de assimetria da secção em relação ao eixo y distância entre o centro de corte e o centro de gravidade da secção xxiii

25 Lista de abreviaturas, siglas e símbolos Letras Gregas Maiúsculas Φ LT valor para determinar o coeficiente de redução χ LT Ψ relação entre tensões ou entre extensões Letras Gregas Minúsculas α coeficiente de dilatação térmica linear; razão entre o comprimento da zona comprimida e o comprimento total de um elemento da secção (banzo ou alma) α LT χ LT factor de imperfeição relativo à encurvadura lateral factor de redução para a encurvadura lateral ɛ coeficiente dependente da tensão f y γm i coeficiente parcial de segurança η coeficiente para calcular a área de corte λ LT coeficiente de esbelteza normalizada relativo à encurvadura lateral ρ massa volúmica; factor de redução dependente do esforço transverso σ tensão normal τ Ed valor de cálculo da tensão tangencial atuante xxiv

26 Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação e Enquadramento Nos últimos anos, tem vindo a manifestar-se em Portugal um progressivo aumento da construção metálica, o que reflete o aumento de competitividade deste tipo de solução estrutural em diversas áreas da indústria da construção (Figura 1.1). Como exemplos de construções metálicas referem-se as pontes, os edifícios industriais e de escritórios, os parques de estacionamento, as coberturas de recintos desportivos e, mais recentemente, as torres eólicas. Na Figura 1.2 apresentam-se algumas aplicações de estruturas metálicas realizadas em Portugal. Os prazos cada vez mais curtos, o aumento das preocupações com o impacto ambiental das construções e o custo da mão-de-obra são alguns dos fatores que fazem prever a continuidade desta tendência (Simões, 2007). Figura 1.1: Estatística sobre o consumo de aço em Portugal (ECCS, 2010). A alta resistência aliada ao baixo peso e bom desempenho estrutural tem vindo a tornar o aço num dos materiais mais requisitados na construção civil. A sua utilização 1

27 Capítulo 1. Introdução Figura 1.2: Aplicações de estruturas metálicas em Portugal. como material estrutural possibilitou a Arquitetos e Engenheiros adotar soluções cada vez mais arrojadas, com estruturas mais esbeltas, eficientes e com grande qualidade estética. Em geral, as estruturas metálicas permitem maior rapidez de montagem, o que se traduz na redução do tempo de construção. A capacidade de alteração/remodelação das estruturas reticuladas durante a sua vida útil e a possibilidade de reciclagem dos seus elementos são também fatores que conferem uma grande vantagem ao uso do aço. Em contrapartida, as suas desvantagens devem-se ao facto de este material ter, em geral, problemas de corrosão e fraca resistência ao fogo, necessitando de proteção adequada. A nível económico, tem ainda como desvantagem o seu custo elevado e a necessidade de mão de obra especializada. O principal objetivo do Projetista de estruturas deve ser sempre a obtenção da solução mais vantajosa para cada problema, o que significa, na generalidade dos casos, determinar a solução mais económica. O problema básico de um projeto de estruturas tem pois como finalidade atingir a construção menos dispendiosa que satisfaça os requisitos de dimensionamento. Uma das condições necessárias para o menor custo de uma estrutura é o peso do material ser o menor possível, o que está geralmente associado à máxima eficiência estrutural. O projeto de estruturas com perfis de aço obriga a cumprir uma série de condições estabelecidas nas normas técnicas de cada país. Estas indicações garantem que o dimensionamento de estruturas com estes perfis é adequado e que as estruturas não deverão ter problemas de resistência durante a sua vida útil. O procedimento tradicional para o dimensionamento de estruturas metálicas, em geral, não conduz a uma única solução pois, usualmente, dimensiona-se a secção analisando várias configurações 2

28 1.2. Objetivos teste e selecionam-se perfis catalogados existentes no mercado com base na intuição e experiência do projetista. Em cada configuração teste, as dimensões da secção são modificadas a fim de satisfazer as restrições especificadas nas normas e obter um perfil com o menor peso possível. Outra abordagem possível é fazer o processo inverso, isto é, conhecendo as características e as ações a que a estrutura está sujeita, calcular as dimensões geométricas do perfil de forma a que este satisfaça a norma. Esta situação leva a que, por vezes, seja necessário criar perfis com dimensões diferentes das normalizadas, utilizando chapas de aço unidas por cordões de soldadura. Em comparação com os perfis laminados, os perfis de chapas soldadas têm a desvantagem de requerer um controle muito rigoroso das soldaduras. Portanto, seria preferível produzir perfis laminados, não apenas com as dimensões dos existentes nos catálogos dos fornecedores mas de qualquer outra dimensão, se solicitado pelo cliente, evitando o processo de soldadura. Nesta hipótese, o projetista definiria as dimensões do perfil necessárias para cumprir rigorosamente as normas de dimensionamento da sua estrutura, isto é, o perfil ideal e, se este não correspondesse a um dos existentes em catálogo, não se produziria um perfil de chapas soldadas mas sim, um perfil laminado de dimensões especiais. Este cenário não é utópico e pode ser realizado na prática, pois o fabrico dos perfis laminados é feito passando o lingote de aço através de um trem de laminagem. Nesse trem, a posição dos rolos verticais e horizontais determina a geometria final do perfil. Por conseguinte, basta alterar a posição dos ditos rolos para variar a geometria do perfil. Apesar da produção deste tipo de perfis especiais não requerer mais do que a alteração da posição dos rolos, este procedimento implica um significativo custo adicional se o volume de material a ser produzido não for suficientemente elevado pois as operações a realizar alteram o ritmo do trem de fabrico. Consequentemente, continua a recorrer-se a chapas soldadas para obter secções não normalizadas. Neste trabalho, apresenta-se um esquema de otimização paramétrica de secções de vigas de alma cheia de banzos iguais, constituidas por chapas soldadas, sujeitas a cargas distribuídas ou cargas concentradas. A otimização da secção transversal é realizada utilizando os algoritmos genéticos (Genetic Algorithms) de acordo com as disposições do Eurocódigo 3 (EC3) (CEN, 2005). São realizados diversos estudos paramétricos para obter as dimensões da secção (largura e espessura dos banzos e altura e espessura da alma), variando o comprimento do vão e a intensidade de carga. 1.2 Objetivos O objetivo principal desta dissertação consiste em efetuar a otimização paramétrica de secções de aço constituídas por chapas soldadas cumprindo os requisitos de segurança propostos pelo Eurocódigo 3 Parte 1-1 (EC3-1-1) (CEN, 2005) no que se refere à resistência ao momento fletor, ao esforço transverso e à encurvadura lateral. No que diz respeito à modelação da estrutura, adotam-se dois modelos distintos de vigas de alma cheia (em I), onde se vai variando o seu comprimento para o estudo das respetivas secções transversais. Relativamente ao tipo de ações a incluir, e visto que os regulamentos preveem a existência de ações concentradas e distribuídas, é também ob- 3

29 Capítulo 1. Introdução jetivo do trabalho estudar separadamente cada modelo sujeito a uma ação concentrada e a uma ação distribuída variando o seu valor. No que diz respeito ao tipo de otimização recorre-se aos algoritmos genéticos, apresentando-se e comentando-se os resultados obtidos. Finalmente, procede-se ainda ao desenvolvimento de uma folha de cálculo que permite verifivar todas as restrições consideradas e avaliar qual delas é condicionante. 1.3 Organização da Dissertação Este trabalho encontra-se organizado em oito capítulos, cujos conteúdos se indicam de seguida: Capítulo 1 - Introdução. Neste capítulo apresenta-se uma breve introdução ao tema em estudo e descreve-se sucintamente o trabalho desenvolvido. Capítulo 2 - Conceitos gerais. Neste capítulo expõem-se as propriedades mecânicas do aço, a caracterização geométrica das secções e a classificação dessas secções de acordo com o Eurocódigo 3. Capítulo 3 - Dimensionamento de elementos em estruturas metálicas. Neste capítulo são abordados os conceitos teóricos bem como as regras de cálculo regulamentares, segundo o Eurocódigo 3, relativas à verificação da resistência das secções transversais dos elementos metálicos. Capítulo 4 - Otimização Estrutural. Neste capítulo apresenta-se uma síntese sobre a otimização estrutural, e os principais métodos de otimização existentes. Estes métodos são citados e classificados segundo diferentes critérios e explica-se com maior detalhe os algoritmos genéticos. Capítulo 5 - Apresentação do problema. Neste capítulos são apresentadas as principais características do problema em estudo e é apresentada a aplicação dos algoritmos genéticos a esse problema. Capítulo 6 - Testes de parâmetros. Neste capítulo são feitos estudos para averiguar a influência do tamanho da população e da probabilidade de mutação na otimização alcançada comparando os resultado obtidos com a solução óptima de um problema estudado. Capítulo 7 - Apresentação e análise de resultados. Com base nos fundamentos teóricos expostos nos capítulos anteriores, neste capítulo são apresentados os casos de estudo efectuados no âmbito da dissertação, expondo as análises realizadas aos resultados e a respectiva discussão. Capítulo 8 - Conclusões e sugestões para desenvolvimentos futuros. Neste último capítulo pretende-se expor, resumidamente, as principais conclusões obtidas a partir da realização desta dissertação e apresentar algumas sugestões para desenvolvimento futuro, de forma a dar continuidade ao tema. 4

30 Capítulo 2 Conceitos Gerais 2.1 Introdução O presente Capítulo tem como objetivo expor as propriedades mecânicas do aço, a caracterização geométrica das secções consideradas e a classificação dessas secções de acordo com o EC Caracterização Mecânica do Aço O aço é uma liga metálica cujos principais componentes são o ferro e o carbono. Este material distingue-se do ferro fundido, que também é uma liga ferro-carbónica, pois a percentagem de carbono varia entre 0,1% e 2% enquanto que no ferro fundido varia entre 2,3% e 6%. Para além destes dois componentes existem outros, uns considerados como impurezas resultantes do processo de fabrico (tais como o manganês, o silício, o fósforo, o enxofre, entre outros), outros adicionados em percentagens bem definidas para melhorar algumas propriedades, como por exemplo a resistência à corrosão (Simões, 2007). No processo de fabrico do aço existem dois processos distintos para a obtenção do material: Laminagem a quente: neste processo, os lingotes são colocados em fornos, e depois passam pelo trem de laminagem, a uma temperatura de 1000 C, de forma a se obter a forma pretendida; é usado, geralmente, para perfis normalizados e chapas de maiores dimensões; Enformagem a frio: a forma é obtida à temperatura ambiente, por laminagem ou por extrusão; usa-se este processo em peças de pequenas dimensões e espessura, como por exemplo chapas de revestimento, chapas quinadas, pequenos perfis e pequenos tubos. Os aços mais utilizados na construção metálica são os aços laminados a quente, caracterizados por percentagens de carbono baixas, definidos no Quadro 3.1 do EC (CEN, 2005). Os valores nominais da tensão de cedência f y e da tensão de rotura à 5

31 Capítulo 2. Conceitos Gerais tração f u dos aços mais correntes, definidos segundo a norma EN e tomados, em geral, como valores característicos, são indicados no Quadro 2.1. Quadro 2.1: Valores nominais da tensão de cedência f y e da tensão última à tracção f u para aços estruturais laminados (CEN, 2005). Espessura nominal do elemento t [mm] Classe t < 40 mm 40 mm < t < 80 mm de aço f y [N/mm 2 ] f u [N/mm 2 ] f y [N/mm 2 ] f u [N/mm 2 ] EN S S S S Os aços que estejam em conformidade com as classes definidas na secção 3 do EC3-1-1 (CEN, 2005), como os indicados no Quadro 2.1, são assumidos como materiais dúcteis, logo podem ser utilizados em estruturas metálicas analisadas e/ou dimensionadas através de métodos plásticos. Para os aços estruturais correntes devem ainda ser consideradas as seguintes propriedades complementares: módulo de elasticidade: E = N/mm 2 ; módulo de distorção: G N/mm 2 ; coeficiente de Poisson: ν = 0,3; coeficiente de dilatação térmica linear: α = / C (até 100 C); massa volúmica: ρ =7 850 kg/m 3. Os aços dos perfis enformados a frio, em geral, apresentam tensões limite de elasticidade superiores às do aço base. Os valores nominais da tensão de cedência f y e da tensão de rotura à tração f u, para os aços enformados a frio, são especificados na Parte 1-3 do Eurocódigo 3 (EC3-1-3) (CEN, 2006a). 2.3 Caracterização Geométrica Em geral, os perfis mais utilizados em elementos resistentes principais são obtidos por laminagem a quente (Figura 2.1) ou por soldadura de placas, quando se pretende obter secções não comerciais ou peças de secção variável. A escolha da geometria da secção dos perfis depende do tipo de esforços atuantes, da facilidade de montagem, dos processos de ligação ou ainda de condicionantes estéticos e de durabilidade. Os perfis metálicos enformados a frio são fabricados a partir de chapas muito finas com espessura uniforme, geralmente com proteção anti-corrosão prévia, permitindo obter secções com formas muito variadas, com boas propriedades mecânicas e reduzidos 6

32 2.4. Classificação de Secções Figura 2.1: Perfis laminados a quente (Simões, 2007). gastos de material. O aço destes perfis é menos dúctil e, como tal, não deve ser utilizado em estruturas em que a fadiga seja relevante; em geral são utilizados em elementos secundários ou em estruturas de pequeno porte. Na Figura 2.2 representam-se algumas secções metálicas enformadas a frio. Figura 2.2: Secções enformadas a frio (Simões, 2007). 2.4 Classificação de Secções A classificação de secções transversais dos elementos estruturais tem como objetivo identificar em que medida a sua resistência e a sua capacidade de rotação são limitadas pela ocorrência de encurvadura local. De acordo com o EC3-1-1 (CEN, 2005), consoante a sua capacidade de rotação e capacidade de formar rótulas plásticas, são definidas quatro classes de secções transversais, da seguinte forma: as secções transversais de Classe 1 são aquelas em que se pode formar uma rótula plástica, com a capacidade de rotação necessária para uma análise plástica, sem redução da sua resistência; as secções transversais de Classe 2 são aquelas em que é possível atingir o momento plástico, mas cuja capacidade de rotação é limitada pela encurvadura local; as secções transversais de Classe 3 são aquelas em que a tensão na fibra extrema comprimida, assumindo uma distribuição elástica de tensões, pode atingir o valor da tensão de cedência, mas em que a encurvadura local pode impedir que o momento plástico resistente seja atingido; 7

33 Capítulo 2. Conceitos Gerais as secções transversais de Classe 4 são aquelas em que ocorre a encurvadura local antes de se atingir a tensão de cedência numa ou mais partes da secção transversal. Na Figura 2.3 está ilustrado o comportamento à flexão de secções das classe 1 a 4 onde M el representa o momento elástico (momento para o qual a tensão máxima na secção iguala a tensão de cedência) e M pl o momento plástico da secção (momento para o qual todos os pontos da secção atingem a cedência). Figura 2.3: Comportamento de secções à flexão (Simões, 2007). A classificação de uma secção é efetuada com base na relação entre o comprimento e a espessura (c/t) dos elementos total ou parcialmente comprimidos (alma e banzo), dependendo ainda dos esforços atuantes (esforço axial e/ou momento fletor) e da classe do aço, segundo os procedimentos contidos na cláusula 5.5 do EC3-1-1 (CEN, 2005). Os valores limite das relações c/t dos elementos comprimidos, para a maioria das secções correntes, são indicados nos Quadros 2.2, 2.3 e 2.4, os quais reproduzem o Quadro 5.2 da cláusula 5.5 do EC Nestes quadros, as diversas colunas referem-se aos diversos tipos de esforços atuantes no elemento em causa (alma ou banzo); a classe do aço é tida em conta através do parâmetro ɛ = 235/f y, sendo f y a tensão de cedência. Na cláusula 5.5 do EC3-1-1 (CEN, 2005) são ainda previstas algumas excepções ao procedimento geral descrito no parágrafo anterior, como por exemplo: i) uma secção com a alma de classe 3 e os banzos de classe 1 ou 2, pode ser classificada como uma secção de classe 2, se for adotada uma área efetiva reduzida para a alma, avaliada de acordo com a cláusula do EC3-1-1 (CEN, 2005); ii) quando no cálculo da secção se considera que a alma contribui apenas para a resistência ao esforço transverso, a secção pode ser classificada apenas em função da classe dos banzos (aplicável apenas a secções de classe 2, 3 ou 4). A classificação de uma secção, segundo o EC3-1-1 (CEN, 2005), é efetuada com base no diagrama de tensões normais correspondente à sua capacidade máxima (plástica em secções de classe 1 ou 2 ou elástica em secções de classe 3 ou 4), relativa aos esforços atuantes. Este procedimento, de aplicação simples no caso de secções submetidas a compressão ou a momento fletor, atuando isoladamente, apresenta uma maior complexidade no caso de secções submetidas a flexão composta. Na flexão composta 8

34 2.4. Classificação de Secções existe uma infinidade de pares de valores M N capazes de levar a secção ao seu limite, a menos que exista uma relação entre o momento fletor e o esforço axial (flexão composta resultante de um esforço axial excêntrico). Por conseguinte, não existe uma forma única de estimar os parâmetros α ou Ψ, necessários para definir os limites entre as classes. Tendo em conta esta dificuldade adicional, na classificação de secções submetidas a flexão composta, recorre-se por vezes a procedimentos simplificados, como sejam: considerar a secção submetida a compressão pura, pois corresponde à situação mais desfavorável (procedimento por vezes demasiado conservativo); estimar a posição do eixo neutro com base nos esforços atuantes. Quadro 2.2: Relações máximas comprimento-espessura de elementos internos (CEN, 2005). 9

35 Capítulo 2. Conceitos Gerais Quadro 2.3: Relações máximas comprimento-espessura de banzos em consola (CEN, 2005). 10

36 2.4. Classificação de Secções Quadro 2.4: Relações máximas comprimento-espessura em cantoneiras e secções tubulares (CEN, 2005). 11

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38 Capítulo 3 Dimensionamento de Elementos em Estruturas Metálicas 3.1 Introdução Um dos principais objetivos da engenharia de estruturas é assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinados cenários de rotura. Neste capítulo são abordados conceitos teóricos básicos, bem como regras de cálculo regulamentares, segundo o EC3-1-1 (CEN, 2005), relativas à verificação da resistência das secções transversais dos elementos metálicos, quando submetidas a diversos tipos de esforços, que no caso em estudo serão: flexão e esforço transverso, atuando isoladamente ou combinados. Adicionalmente são referidos aspetos teóricos e regulamentares envolvidos na verificação da segurança relativamente à ocorrência de fenómenos de instabilidade dos elementos, particularmente no que respeita a verificação da encurvadura lateral em elementos sujeitos a flexão. 3.2 Resistência das Secções Transversais Dimensionamento à Flexão Segundo a cláusula do EC3-1-1 (CEN, 2005), o valor de cálculo do momento fletor atuante M Ed em cada secção transversal deve satisfazer a condição: M Ed M c,rd 1.0, (3.1) sendo M c,rd o momento de cálculo resistente. O momento de cálculo resistente, segundo um dos eixos principais da inércia da secção, é determinado através das seguintes expressões: Secções de Classe 1 ou 2 M c,rd = W plf y γ M0 ; (3.2) 13

39 Capítulo 3. Dimensionamento de Elementos em Estruturas Metálicas Secções de Classe 3 Secções de Classe 4 M c,rd = W el,minf y γ M0 ; (3.3) M c,rd = W eff,minf y γ M0, (3.4) sendo W pl o módulo plástico de flexão, W el,min o módulo elástico de flexão mínimo, W eff,min o módulo elástico de flexão mínimo da secção efetiva reduzida, f y a tensão de cedência do aço e γ M0 um fator parcial de segurança, definido de acordo com EC3-1-1 (CEN, 2005) e respetivo Anexo Nacional; segundo esse anexo, γ M0 = Dimensionamento ao Esforço Transverso Segundo a cláusula do EC3-1-1 (CEN, 2005), o valor de cálculo do esforço transverso atuante V Ed em cada secção transversal deve satisfazer a seguinte condição: V Ed V c,rd 1.0, (3.5) em que V c,rd é o valor de cálculo da resistência ao esforço transverso. Considerando um dimensionamento plástico, o valor de cálculo da resistência ao esforço transverso V c,rd é dado pelo valor da resistência plástica V c,rd, avaliada através da seguinte expressão: V pl,rd = A ( v fy / 3 ), (3.6) γ M0 em que A v é a área de corte, que pode ser calculada, segundo a cláusula 6.2.6(3) (CEN, 2005), para secções soldadas em I com carga paralela à alma, pela seguinte expressão: A v = η (h w t w ), (3.7) sendo h w a altura da alma, t w a espessura da alma e η um parâmetro definido na parte 1-5 do EC3 (CEN, 2006b), que conservativamente pode ser considerado 1.0. Considerando um dimensionamento elástico, a verificação da resistência ao esforço transverso é efectuada pelo seguinte critério: τ Ed f y / ( 3γ M0 ) 1.0, (3.8) sendo τ Ed a tensão tangencial máxima, geralmente obtida, no caso de secções em I, pela seguinte expressão: τ Ed =V Ed /A w, em que V Ed é o valor de cálculo do esforço transverso e A w =h w t w é a área da alma (sendo h w a altura da alma e t w a sua espessura). 14

40 3.3. Flexão de Elementos Não Restringidos Lateralmente Além disso, no caso de almas sem reforços intermédios, a verificação da resistência à encurvadura por esforço transverso poderá ser desprezada se a seguinte condição for satisfeita: h w t w 72 ɛ η, (3.9) em que h w e t w representam a altura e a espessura da alma, respetivamente, η é um parâmetro definido na Parte 1-5 do EC3 (CEN, 2006b), que conservativamente pode ser considerado igual a 1.0 e ɛ é dado pela relação 235/f y Combinação de Flexão com Esforço Transverso Em geral, quando uma secção é submetida a momento fletor e a esforço transverso, o momento plástico resistente deve ser reduzido devido à presença do esforço transverso. No entanto, para valores baixos do esforço transverso esta redução é pouco significativa podendo admitir-se que, nestes casos, não é necessário reduzir o momento plástico resistente. Assim, o EC3-1-1, na cláusula (CEN, 2005), estabelece os seguintes critérios de interação entre o momento fletor e o esforço transverso: Quando V Ed < 50% do valor de cálculo da resistência plástica ao esforço transverso, V pl,rd, não é necessário reduzir o valor de cálculo do momento fletor resistente, M c,rd, exceto quando a resistência é condicionada pela encurvadura da alma por esforço transverso; Quando V Ed > 50% do valor de cálculo da resistência plástica ao esforço transverso, V pl,rd, o valor do momento fletor resistente deve ser avaliado com uma tensão de cedência reduzida dada por (1 ρ)f y ao longo da área de corte da secção, sendo ρ = (2V Ed /V pl,rd 1) 2. Em secções em I com banzos iguais, submetidas a flexão em torno do eixo principal y (eixo de maior inércia), o momento resistente reduzido M y,v,rd pode ser obtido por: ( ) M y,v,rd = W pl,y ρa2 w fy, mas M y,v,rd M y,c,rd, (3.10) 4t w γ M0 em que A w =h w t w é a área da alma (sendo h w a altura da alma e t w a sua espessura) e M y,c,rd é o momento plástico resistente em torno de y. 3.3 Flexão de Elementos Não Restringidos Lateralmente Encurvadura Lateral O dimensionamento de elementos não restringidos lateralmente submetidos à flexão, especialmente quando constituídos por secções abertas de parede finas, como as secções em I ou H, é em geral condicionado pela encurvadura lateral ou bambeamento. 15

41 Capítulo 3. Dimensionamento de Elementos em Estruturas Metálicas A encurvadura lateral consiste na deformação lateral da parte comprimida de uma secção, no caso das secções em I, banzo comprimido, de um elemento sujeito à flexão em torno do eixo y. Nestas condições, a parte comprimida comporta-se como um elemento linear comprimido, continuamente restringido pela parte tracionada, que à partida não tem qualquer tendência para se deslocar lateralmente. Como se pode verificar na Figura 3.1, onde se ilustra este fenómeno numa viga em consola, a deformação é devida à flexão lateral e à torção. Figura 3.1: Encurvadura lateral de vigas (Simões, 2007). A resistência de uma viga à encurvadura lateral depende fundamentalmente do momento crítico, que é o momento máximo que uma viga, em condições ideais, pode suportar sem encurvar lateralmente Momento Crítico Segundo Clark e Hill (1960) e Galéa (1981), o momento crítico pode ser estimado através da expressão 3.11 para elementos submetidos a flexão em torno do eixo de maior inércia, constituídos por secções simétricas em relação ao eixo de menor inércia (eixo z), como as ilustradas na Figura 3.2, com diversas condições de apoio e diversos tipos de carregamento. Figura 3.2: Secções simétricas em relação ao eixo de menor inércia (Simões, 2007). 16

42 3.3. Flexão de Elementos Não Restringidos Lateralmente M cr = C 1 π 2 EI z (k z L) 2 em que: ( kz k w ) 2 I W I z + (k zl) 2 GI T + (C π 2 2 z g C 3 z j ) EI 2 (C 2 z g C 3 z j ), z (3.11) I z é o momento de inércia da secção em relação ao eixo z (eixo de menor inércia); I T é a constante de torção uniforme; I W é a constante de empenamento; L é o comprimento entre secções da viga contraventadas lateralmente; E é o módulo de elasticidade; G é o módulo de distorção; C 1, C 2 e C 3 são coeficientes dependentes da forma do diagrama de momentos fletores e das condições de apoio, obtidos a partir do Quadro 3.1 para algumas situações correntes; k z e k w são fatores de comprimento efetivo dependentes das condições de apoio nas extremidades. O fator k z refere-se a rotações nas secções extremas, em torno do eixo de menor inércia z e k w refere-se à restrição ao empenamento nas mesmas secções. Estes fatores variam entre 0.5 (deformações impedidas) e 1.0 (deformações livres), sendo iguais a 0.7 no caso de deformações livres numa extremidade e impedidas na outra; como na maioria das situações práticas estas restrições são apenas parciais, conservativamente pode adoptar-se sempre k z = k w = 1.0; z g = (z a z s ), em que z a e z s são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em relação ao centro de gravidade da secção; estas quantidades tomam valores positivos se localizadas na parte comprimida e negativas se localizadas na parte tracionada; z j = z s ( 0.5 a (y2 + z 2 ) (z/i y ) da ) é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y, sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção em I ou H de banzos iguais) e tomando valores positivos quando o banzo com maior momento de inércia em torno de z for o banzo comprimido, na secção de momentos máximos. Para as secções mais correntes, a constante de torção uniforme, I T, geralmente designada apenas por constante de torção, e a constante de empenamento, I W, são fornecidas pelos fabricantes, nas tabelas dos perfis. Em alternativa, podem ser obtidas através dos Quadros 3.2 e 3.3. A simbologia indicada no Quadro 3.2 tem o seguinte significado: I p = πr 4 /2 é o momento polar de inércia, sendo R o raio da secção, no caso de secções circulares 17

43 Capítulo 3. Dimensionamento de Elementos em Estruturas Metálicas Quadro 3.1: Coeficientes C 1, C 2 e C 3 para vigas com cargas transversais (CEN, 1992). Quadro 3.2: Tensões tangenciais em secções correntes. Secção Constante de torção Circular (maciça ou oca) I T = I p Fechada de paredes finas I T = 4A2 m ds t Aberta de paredes finas I T 1 3 n i=1 h it 3 i maciças; para secções circulares ocas de raio interior R i e raio exterior R e, I p = π(r 4 e R 4 i )/2; r é a distância ao centro de corte numa secção de contorno circular, A m é a área limitada pela linha média numa secção fechada de paredes finas, t é a espessura num ponto de secção fechada de paredes finas, s é uma coordenada definidas ao longo do contorno de uma secção fechada de paredes finas; t i e h i representam a espessura e a altura do rectângulo i, constituinte de uma secção aberta de paredes finas. 18

44 3.3. Flexão de Elementos Não Restringidos Lateralmente Quadro 3.3: Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2007). 19

45 Capítulo 3. Dimensionamento de Elementos em Estruturas Metálicas Dimensionamento de Elementos Não Restringidos Lateralmente De acordo com do EC3-1-1 (CEN, 2005), um elemento sem travamento lateral e solicitado à flexão em relação ao eixo principal de maior inércia deverá ser verificado em relação à encurvadura lateral através de: em que: M E,d M b,rd 1.0, (3.12) M E,d é o valor máximo do momento fletor de cálculo; M b,rd é o valor de cálculo do momento fletor resistente à encurvadura. O valor de cálculo do momento resistente à encurvadura lateral de uma viga sem contraventamento lateral deverá ser considerado igual a: em que: f y M b,rd = χ LT W y, (3.13) γ M1 W y é o módulo de flexão adequado considerado do seguinte modo: W y = W pl,y para as secções transversais das Classes 1 ou 2; W y = W el,y para as secções transversais da Classe 3; W y = W eff,y para as secções transversais da Classe 4; χ LT é o coeficiente de redução para a resistência à encurvadura lateral. Para calcular o coeficiente de redução χ LT são propostas duas metodologias distintas no EC3-1-1 (CEN, 2005), um método geral, mais conservativo, aplicável a qualquer tipo de secção e um método alternativo aplicável a secções laminadas ou secções soldadas equivalentes. É ainda apresentada uma metodologia simplificada para verificação da encurvadura lateral de elementos entre secções contraventadas, com base na esbelteza do banzo comprimido. Apresenta-se seguidamente o método geral, por ser aquele que foi adotado neste trabalho Método Geral De acordo com a cláusula do EC3-1-1 (CEN, 2005), para elementos em flexão com secções transversais constantes, o valor de χ LT deverá ser determinado a partir de: em que: χ LT = 1 Φ LT + Φ 2 LT λ, mas χ LT 1, 0 (3.14) 2 LT 20

46 3.3. Flexão de Elementos Não Restringidos Lateralmente Φ LT = 0.5 [ 1 + α LT ( λlt 0.2 ) + λ 2 LT ] α LT é o fator de imperfeição correspondente à curva de encurvadura apropriada; λ LT = W yf y M cr M cr é o momento crítico elástico para a encurvadura lateral. Os valores recomendados de α LT são indicados no Quadro 3.4. Quadro 3.4: Valores recomendados dos fatores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral (CEN, 2005) As curvas de encurvadura lateral a adotar para cada tipo de secção transversal são indicadas no Quadro 3.5. Quadro 3.5: Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais (Caso geral) (CEN, 2005) 21

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48 Capítulo 4 Otimização Estrutural 4.1 Introdução Este capítulo apresenta uma síntese sobre otimização estrutural, como esta tem evoluído e os principais métodos de otimização existentes. Pretende-se deste modo elucidar o leitor sobre o método de otimização adotado neste trabalho e proporcionar uma perceção do enquadramento deste método em relação aos restantes métodos existentes. 4.2 Definição Geral A otimização é um procedimento fundamental para qualquer problema que envolva uma tomada de decisão, pois implica uma escolha entre várias alternativas. Esta escolha é regida pela vontade de tomar a melhor decisão. Na otimização estrutural procura-se obter a estrutura que desempenha de forma mais eficiente a função pretendida. Um dos maiores desafios para os Engenheiros é conceber projetos eficientes e económicos sem comprometer a integridade da estrutura. O processo de dimensionamento convencional depende da intuição, experiência e habilidade do projetista. Esta presença de um elemento humano pode, por vezes, conduzir a resultados incorretos quando se procuram simplificar sistemas complexos. A Figura 4.1a) apresenta um fluxograma do dimensionamento convencional, que envolve, de uma forma geral, um processo iterativo, pois para desenvolver um projeto são analisadas e melhoradas várias soluções até chegar à solução final (Arora, 2004). A atual necessidade de eficiência devido à crescente competitividade da sociedade forçou os engenheiros a demonstrar maior interesse por projetos económicos e eficientes. Os processos de otimização assistidos por computador podem ajudar os engenheiros nesse sentido. A Figura 4.1b) apresenta os passos inerentes a um processo de dimensionamento otimizado. Os processos de dimensionamento convencionais e ótimos podem ser usados em diferentes fases de evolução do sistema. A principal vantagem do processo de dimensionamento convencional consiste em utilizar a experiência e intuição do Projetista, que podem ser utilizadas para introduzir mudanças concetuais no sistema ou fazer especificações adicionais no procedimento. Por exemplo, o Projetista pode escolher entre 23

49 Capítulo 4. Otimização Estrutural Figura 4.1: Processo iterativo: a) na atividade de projeto; b) na otimização estrutural. (Cardoso e Coelho, 2011). uma ponte suspensa ou uma ponte em arco, adicionar ou eliminar certos componentes da estrutura, e assim por diante. Quando se trata de conceção pormenorizada, o processo de dimensionamento convencional tem algumas desvantagens. Estas incluem o tratamento de restrições complexas (por exemplo, limites de frequências de vibração), bem como introdução de dados numerosos (por exemplo, quando a estrutura é submetida a múltiplas condições de carga). Nestes casos, seria difícil para o projetista decidir se deve aumentar ou diminuir o tamanho de um elemento estrutural particular para satisfazer as restrições. Além disso, o dimensionamento convencional pode levar a projetos economicamente inviáveis e prolongar-se por tempo excessivo. O processo de dimensionamento ótimo obriga o projetista a identificar um conjunto de variáveis de projeto, uma função objetivo a ser otimizada e as funções de restrição para o sistema. Esta formulação rigorosa do problema de projeto ajuda o projetista a obter uma melhor compreensão do problema. Em todo o caso uma formulação matemática adequada do problema de dimensionamento é a chave para a obtenção de boas soluções (Arora, 2004). 24

50 4.3. Formulação do Problema de Projeto Ótimo 4.3 Formulação do Problema de Projeto Ótimo O processo de identificar a função objetivo, as variáveis de projeto e as restrições para um determinado problema é conhecido como modelação. A construção de um modelo apropriado é o primeiro passo - por vezes, o passo mais importante - no processo da otimização. Se o modelo for demasiado simplista, não vai fornecer informações úteis para o problema prático, mas se for muito complexo, pode tornar-se demasiado difícil de resolver (Nocedal e Wright, 1999). Matematicamente falando, otimização é a minimização ou maximização de uma função sujeita a restrições sobre as suas variáveis. É utilizada a seguinte notação: x é o vetor das variáveis de projeto, também designadas de incógnitas ou parâmetros; f é a função objetivo, uma função das variáveis x que se pretende maximizar ou minimizar; g é o vetor das restrições de desigualdade que as incógnitas devem satisfazer, vetor esse que é função das variáveis x; h é o vetor de restrições de igualdade que as incógnitas devem satisfazer,vetor esse que é função das variáveis x. O problema de otimização pode então ser escrito da seguinte forma: g j (x) 0, j 1,..., m, min f(x) sujeito a h k (x) = 0, k 1,..., p, x l i x i x u i, i 1,..., n. (4.1) onde x = (x 1, x 2,..., x n ) é o vetor das n variáveis de projeto, f(x) é a função objetivo, g j (x) são as m restrições de desigualdade, h k (x) são as p restrições de igualdade, x l i e x u i são os limites inferior e superior das variáveis de projeto x i, respetivamente. A solução do problema (4.1) é o vetor x que minimiza o valor da função objetivo f, respeitando as restrições g j 0 e h k = 0. Esta solução é designada solução óptima. Em casos particulares pode existir mais do que uma solução ótima. As soluções que apenas respeitam as restrições g j 0 e h k = 0 designam-se soluções admissíveis, sendo o domínio por elas definido designado por região admissível. As soluções que não respeitam a totalidade das restrições são soluções inadmissíveis. Se o problema de otimização que se pretende resolver for corretamente formulado, admite-se que a sua solução coincide com a solução ótima do programa matemático (4.1). Os problemas de maximização são também contemplados pela formulação (4.1) desde que se atenda à seguinte equivalência: Maximizar f(x) Minimizar f(x). (4.2) As restrições de desigualdade do tipo g j 0 podem também ser convertidas em restrições do tipo g j 0 por intermédio de uma multiplicação por ( 1): g j 0 g j 0. (4.3) 25

51 Capítulo 4. Otimização Estrutural Os problemas de otimização podem ser classificados como lineares ou não lineares. Os problemas de programação linear tratam somente funções objetivo e restrições lineares. Quando o conjunto de restrições e/ou a função objetivo são não lineares, o problema de otimização é denominado problema de otimização não linear. Os problemas também podem ser classificados de acordo com a presença ou não de restrições. Os problemas de otimização não restritos otimizam uma função objetivo que não está sujeita a nenhuma limitação enquanto os problemas de otimização restritos implicam a otimização de uma função objetivo com determinadas limitações. O método mais comum para resolver problemas de programação linear é o método simplex, proposto por Dantzig (Dantzig, 1963; Castillo et al., 2002). A programação linear pode também ser resolvida pelo método do ponto exterior, que é equivalente ao método simplex dual (Lemke, 1954) e ao método do ponto interior (Karmarkar, 1984). Os métodos de programação não linear podem ser classificados de forma geral como métodos diretos ou métodos indiretos. Os métodos diretos começam com uma solução que representa uma estimativa inicial do ponto ótimo e, por meio de um processo iterativo, as soluções subsequentes vão sendo melhoradas até que as condições de otimalidade sejam satisfeitas. Os métodos indiretos, também designados métodos analíticos, são caracterizados pela aplicação de técnicas de minimização analíticas que, em geral, envolvem a resolução de um sistema de equações cujas soluções satisfazem as condições de otimalidade (Cardoso e Coelho, 2011). Os problemas de programação não linear não restringidos podem ser resolvidos por métodos diretos, como, por exemplo: Métodos de pesquisa aleatória (random search methods), por exemplo, método do salto aleatório (random jump method), método do passo aleatório (random walk method) e método do passo aleatório com exploração de direção (random walk metthod with direction exploitation) (Rao, 1996) Método univariado (univariate method) (Rao, 1996) Método de pesquisa em grelha (Grid search method) (Rao, 1996) Método de pesquisa simplex (Spendley et al., 1962; Nelder e Mead, 1965) Métodos de pesquisa padrão (pattern search methods), por exemplo, Método de Powell (Powell, 1964) e Método de Hooke-Jeeves (Hooke e Jeeves, 1961) Método de Rosenbrock (Rosenbrock, 1960) Os problemas de programação não linear podem também ser resolvidos por diversos métodos de pesquisa de gradiente, os quais envolvem o cálculo das derivadas da função objetivo relativamente às variáveis de projeto. Exemplos desses métodos são: Método do maior declive (steepest descent method) ou método de Cauchy (Cauchy, 1847; Rao, 1996) Método Fletcher-Reeves ou método do gradiente conjugado (conjugate gradient method) (Hestenes e Stiefel, 1952) 26

52 4.3. Formulação do Problema de Projeto Ótimo Método de Newton (Rao, 1996) Método de Marquardt (Marquardt, 1963) Métodos Quasi-Newton, por exemplo, Método de Davidon-Fletcher-Powell (Davidon, 1959; Fletcher e Powell, 1963) e método de Broyden-Fletcher-Goldfarb- Shanno (Broyden, 1970; Fletcher, 1970; Goldfarb, 1970; Shanno, 1970) Entre os métodos de pesquisa de gradiente, os métodos Quasi-Newton são os mais utilizados. Os problemas de programação não linear restritos podem também ser resolvidos utilizando os seguintes métodos, baseados em pesquisa de gradiente: Métodos duais (Castillo et al., 2002) Métodos de penalidade (Castillo et al., 2002) Métodos Lagrangeanos aumentados (augmented Lagrangian methods) (Bazaraa et al., 1993) Métodos das direcções admissíveis (feasible direction methods) (Bazaraa et al., 1993) Método de programação quadrática sequencial (sequential quadratic method) (Nocedal, 1999) Outro método, muito desenvolvido, nas últimas décadas, coniste na adoção de técnicas meta-heurísticas. Estas técnicas definem-se como um processo iterativo de geração de soluções, que utiliza uma ou mais heurísticas subordinadas, combinando diferentes conceitos de pesquisa e exploração do espaço de soluções. Esta evolução facilitou a resolução de problemas de otimização que anteriormente eram difíceis ou mesmo impossíveis de resolver. Algumas das técnicas de otimização meta-heurística mais conhecidas e mais utilizadas são os seguintes: Algoritmos genéticos (genetic algorithms) (Holland, 1975; Goldberg, 1989) Computação evolutiva (Fogel, 2000) Estratégias evolutivas (Schwefel e Rudolph, 1995) Evolução diferencial (Storn e Price, 1997; Price et al., 2005) Otimização da colónia de formigas (ant colony optimization) (Dorigo e Stützle, 2004) Pesquisa tabu (tabu search) (Glover, 1989; Glover, 1990; Glover e Laguna, 1997) Recozimento simulado (simulated annealing) (Kirkpatrick et al., 1983; Cerný, 1985) 27

53 Capítulo 4. Otimização Estrutural Neste trabalho apenas serão utilizados algoritmos genéticos. Este método foi escolhido como alternativa aos métodos tradicionais (Sequential Quadratic Programming, Linear Programming, Métodos Quasi-Newton) pois a metodologia dos Algoritmos Genéticos facilita a sua implementação numérica, possibilitando ainda uma análise discreta das variáveis de projeto. 4.4 Algoritmos Genéticos Os Algoritmos Genéticos (AG) são métodos de otimização inspirados na teoria de seleção natural de Charles Darwin (1859). Foram introduzidos por John Holland (1975) e popularizados por David Goldberg (1989). As características principais dos AG são baseadas nos princípios da sobrevivência do mais forte e na adaptação. Como estes algoritmos são baseados em fenómenos da biologia, muitos dos termos utilizados são originários da biologia e a sua implementação simula operações genéticas. As vantagens da aplicação destes algoritmos quando comparados com outros métodos de otimização de projetos de estruturas são o facto de não dependerem das propriedades analíticas de continuidade ou de diferenciabilidade da função; o domínio pode ser disjunto ou não convexo e as variáveis de projeto podem ser contínuas ou discretas. Apesar de não serem classificados como métodos de otimização global, mas sim local, estes algoritmos utilizam estratégias de pesquisa que permitem escapar a um ótimo local e continuar o processo iterativo em busca do ótimo global, embora não haja garantia formal de o atingir. Quanto ao tratamento de restrições, os AG são, essencialmente, algoritmos de otimização não restringida. Para adaptá-los e fazer com que as restrições sejam obedecidas, utilizam-se artifícios, tais como a penalização na aptidão dos indivíduos que não verifiquem as restrições necessárias. A maioria dos algoritmos genéticos são variações do algoritmo genético simples (AGS), proposto por Goldberg (1989), que se encontra representado no fluxograma da Figura 4.2. O AGS gera aleatóriamente uma população inicial de indivíduos onde cada indivíduo representa, de forma codificada, um ponto no espaço das soluções possíveis do problema de otimização. Cada indivíduo é definido por um cromossoma onde cada cromossona representa uma estrutura de dados que codifica uma das possiveis soluções do problema cuja informação genética é única. Em seguida é avaliada a aptidão ou desempenho de cada indivíduo e aplicam-se sucessivamente os operadores genéticos: seleção, cruzamento e mutação. A operação de seleção no AGS é o mecanismo básico da seleção natural e sobrevivência do mais apto propostos por Darwin (1859). A operação de cruzamento consiste em cruzar a informação genética contida nos cromossomas de ambos os indivíduos selecionados. Através deste operador os filhos herdam parte dos cromossomas do pai e parte dos cromossomas da "mãe". A operação de mutação consiste em alterar aleatoriamente genes dos cromossomas. Por outras palavras, o operador mutação explora características genéticas que por aplicação exclusiva do operador cruzamento, não seriam exploradas. Após a aplicação destes operadores, a população é caracterizada por uma nova geração de indivíduos que substituem os individuos pertencentes à geração 28

54 4.4. Algoritmos Genéticos Figura 4.2: Algoritmo genético simples (adaptado de Cardoso e Coelho, 2011). anterior (substituição). Deste modo, o algoritmo evolui para a solução ótima do problema de tal modo que os indivíduos da população com melhor aptidão, ou, os pontos do domínio com melhores valores da função objetivo, terão maior probabilidade de serem selecionados para reprodução e os indivíduos com pior aptidão têm probabilidade menor de serem selecionados, logo a sua informação genética tende a desaparecer nas gerações futuras Codificação das Variáveis de Projeto O primeiro passo para resolver um problema utilizando AG é codificar as variáveis de projeto. Esta codificação pode ser efetuada de diversas formas, mas a mais usual e utilizada neste trabalho é a representação binária, onde as variáveis são caracterizadas por vários genes, cada qual podendo tomar o valor 0 ou 1. Neste tipo de codificação, o vetor das variáveis de projeto x = (x 1,..., x n ) é codifi- 29

55 Capítulo 4. Otimização Estrutural cado num cromossoma a contendo k genes, representado pelo vetor a = (a 1,..., a k ) B k, sendo B = {0, 1}. Quando se codificam n variáveis de projeto num cromossoma, existem genes específicos atribuídos a cada uma das variáveis. De modo a simplificar a exposição deste conceito, pode-se considerar o cromossoma a dividido em n segmentos de igual comprimento k tal que k = n, e o segmento i representado pelos genes a i1,..., a ik B k codifica a variável de projeto x i (Cardoso e Coelho, 2011). A descodificação de cada segmento do cromossoma no respetivo valor da variável de projeto x i pode ser efetuada em duas fases (Cardoso e Coelho, 2011): Primeiro, começa-se por transformar os genes contidos no segmento i num número inteiro positivo z i por aplicação de Ψ i. Por exemplo, a descodificação do cromossoma num inteiro é = 25. O maior inteiro que um cromossoma com k genes pode codificar é 2 k 1. ( k ) 1 z i = a i(k j) 2 j ; z i = Ψ i (a i1,..., a ik ) : B k Z 0 + (4.4) j=0 Depois da aplicação de Ψ i, transforma-se o inteiro z i no valor da variável de projeto x i através de χ i. Nesta expressão, os valores de u i e v i são os extremos do intervalo de variação da variável x i. Na obtenção da transformação linear χ i fez-se corresponder, ao valor u i o segmento i, com todos os bits iguais a zero e, ao valor v i o segmento i com todos os bits iguais a 1. ( ) vi u i x i = u i + z i ; x i = χ i (z i ) : Z 2 k 0 + [u i, v i ] (4.5) Inicialização e avaliação do desempenho A inicialização é efetuada de forma aleatória gerando uma população inicial de n indivíduos ou cromossomas. No caso em estudo, como se utiliza a codificação binária das variáveis, os cromossomas são gerados por colocação aleatória de bits (0 ou 1) ao longo dos seus genes. A avaliação do desempenho é feita por meio da função aptidão que mede a adaptação do indivíduo, ou seja, determina quão boa é a solução para um dado problema. Conforme apresentado por Holland (1975), a aptidão de um indivíduo ou cromossoma pode não ser necessariamente igual ao valor da função objetivo. O valor da aptidão de um indivíduo pode ser uma função dos valores da função objetivo. No entanto, na maior parte dos problemas de otimização considera-se que a avaliação da aptidão dos indivíduos da população corresponde ao cálculo da função objetivo. Então, se o objetivo de um problema for a minimização entende-se que a solução ou indivíduo com melhor aptidão é aquele a que corresponde um menor valor da função objetivo (Cardoso e Coelho, 2011) Seleção A seleção é um dos principais operadores de um AG. É através deste operador que são escolhidos os indivíduos que se irão reproduzir e, consequentemente, transmitir os seus 30

56 4.4. Algoritmos Genéticos genes para a próxima geração. De acordo com a teoria da evolução de Darwin (1859), o indivíduo mais apto sobrevive para criar descendência. A escolha dos indivíduos reprodutores pode ser feita de diversas formas. Podem-se distinguir três mecanismos de seleção: Método da roleta; Método do torneio; Método estocástico uniforme Método da roleta No método da roleta, os indivíduos são selecionados para reprodução de acordo com a sua aptidão. Deste modo, os indivíduos mais aptos têm maior probabilidade de serem selecionados. Uma maneira simplificada de explicar este método é imaginar que uma bola é lançada na roleta e o indivíduo onde ela pára é selecionado. Evidentemente, os indivíduos com maiores valores de aptidão serão selecionados mais vezes. A roleta é girada tantas vezes quantas forem necessárias para obter o número requerido de indivíduos para o cruzamento e mutação (Arora, 2004). Uma forma de quantificar a probabilidade p i do i-ésimo indivíduo da população ser selecionado para reprodução é admiti-la proporcional ao seu valor de aptidão, f i, conforme dado pela expressão: p i = f i (4.6) N f j j=1 onde os valores de f i terão de ser positivos e N é o tamanho da população. Cada indivíduo da população é representado proporcionalmente ao seu índice de aptidão; desta forma os indivíduos mais aptos recebem uma proporção maior na roleta e os indivíduos menos aptos uma porção menor. Na Figura 4.3 está representado de forma esquemática um caso genérico com 6 indivíduos onde o indivíduo 5 é o mais apto e ocupa o maior intervalo, enquanto os indivíduos 6 e 4 são os menos aptos e têm intervalos correspondentes menores dentro da roleta. Este método é bastante utilizado e é relativamente eficiente mas tem duas desvantagens: a existência de super-indivíduos e a competição próxima. A primeira ocorre quando um indivíduo apresenta uma aptidão bem maior que a dos restantes, o que determinará uma convergência prematura do algoritmo, podendo, deste modo, originar um mínimo local. A segunda ocorre quando há indivíduos que apresentam aptidões muito semelhantes. Deste modo, será difícil a população evoluir pois a tendência será que a mesma se torne cada vez mais homogénea. Uma opção para resolver este problema consiste na introdução da mutação, que será abordada posteriormente. 31

57 Capítulo 4. Otimização Estrutural Figura 4.3: Esquema de seleção pelo método da roleta Método do torneio No método do torneio, a população é dividida em diversos subgrupos, de dois ou mais indivíduos. Para formar os subgrupos são selecionados, aleatoriamente, n indivíduos da população, e os indivíduos com maior aptidão, entre os n indivíduos, são selecionados para reprodução. Geralmente utilizam-se 2 ou 3 indivíduos para a disputa do torneio. Este método é muito utilizado, pois não exige que a comparação seja feita entre todos os indivíduos da população e tem ainda a vantagem de não gerar super-indivíduos, pois a possibilidade do indivíduo com maior aptidão ser selecionado para um torneio é a mesma de um indivíduo de menor aptidão, independentemente da sua aptidão ser alta. Um exemplo de torneio entre 3 indivíduos para os indivíduos da Tabela 4.1 é apresentado na Figura 4.4. Quadro 4.1: Exemplo de população Indivíduo Aptidão Absoluta Aptidão Relativa , , , , , , ,17 Total 72 1 ou 100% Neste exemplo, os indivíduos 1, 3 e 5 são selecionados para gerar a nova população. Observa-se assim, neste método que o indivíduo menos apto, mesmo que selecionado para um torneio, nunca gerará descendentes, pois nunca vencerá o torneio. 32

58 4.4. Algoritmos Genéticos Figura 4.4: Esquema de seleção pelo método do torneio Método estocástico uniforme O método estocástico uniforme traça uma linha na qual cada indivíduo corresponde a uma secção da linha de comprimento proporcional ao seu valor de aptidão. Pode-se utilizar o valor de aptidão absoluto ou, de forma a tornar o problema mais simples, utilizar o valor da aptidão relativo. Sendo n o número de indivíduos a selecionar, o primeiro passo i é gerado de forma aleatória entre 0 e 1/n. Os restantes passos ficam nas posições i + 1/n, i + 2/n,..., i + n 1. Os indivíduos cujos segmentos sejam apontados serão selecionados para n reprodução. Na Figura 4.5 é ilustrado um esquema deste método. Figura 4.5: Esquema de seleção pelo método estocástico uniforme Cruzamento O operador cruzamento tem por objetivo cruzar a informação genética de ambos os cromossomas progenitores. Por este motivo, o cruzamento tem sido apresentado como o operador genético mais importante nos AG e, por isso, diferentes tipos de cruzamento têm sido sugeridos e comparados (Cardoso e Coelho, 2011). 33

59 Capítulo 4. Otimização Estrutural Cruzamento de um ponto A forma mais simples do operador cruzamento é designada de cruzamento de um ponto ou cruzamento simples. Neste caso, o cruzamento consiste em selecionar um ponto dos cromossomas progenitores dentro do limite (1,..., L 1), sendo L o tamanho do cromossoma, e promover a troca de material genético entre os progenitores, conforme é ilustrado na Figura 4.6. Figura 4.6: Exemplos de aplicação do operador cruzamento de um ponto Cruzamento de dois pontos O cruzamento de dois pontos segue a mesma ideia do cruzamento de um ponto, mas neste caso são gerados dois pontos aleatórios dentro do limite do cromossoma, conforme é ilustrado na Figura 4.7. Figura 4.7: Exemplos de aplicação do operador cruzamento de dois pontos. 34

60 4.4. Algoritmos Genéticos Cruzamento Uniforme Neste operador de cruzamento é gerada uma cadeia aleatória de bits formada por 0 s e 1 s que guiará a troca do material genético. Se a cadeia de bits tiver bit 1, a sua posição correspondente deverá ter o seu bit alterado no cromossoma dos filhos, como é ilustrado na Figura 4.8. Figura 4.8: Exemplos de aplicação do operador cruzamento uniforme Mutação O operador mutação tem como principal objetivo introduzir e manter alguma diversidade entre os indivíduos da população. Como foi referido anteriormente, uma das dificuldades dos métodos evolutivos está no facto da população tender para soluções cada vez mais homogéneas, o que pode resultar em que a solução encontrada seja um mínimo local. Este operador pode introduzir na população indivíduos com características novas, que antes não existiam. Se essas características melhorarem a aptidão do individuo, então tenderão a se multiplicar entre os demais nas próximas gerações. Caso se tratem de características que prejudiquem a aptidão do individuo, tenderão a desaparecer com o tempo. A mutação é aplicada após o cruzamento e as mais importantes são do tipo Uniforme e Gaussiana (Cardoso e Coelho, 2011). A mutação uniforme consiste em alterar de forma aleatória com uma determinada probabilidade, p m, definida pelo usuário, um ou mais genes de um cromossoma escolhido entre a população. Normalmente utiliza-se uma taxa de probabilidade de mutação baixa (em torno de 0,1% a 5%); caso contrário, o cruzamento não faria sentido e tornaria a busca meramente aleatória. Alguns autores aconselham que a probabilidade de mutação se relacione com o tamanho dos cromossomas e das populações através de fórmulas empíricas. Segundo De Jong (1975) a taxa de probabilidade de mutação deve ser inversamente proporcional ao tamanho da população. Shaffer (1994) sugere a seguinte equação 1 p m = (4.7) N pop K onde N pop é o tamanho da população e K é o tamanho do cromossoma. De forma resumida, a mutação uniforme funciona da seguinte forma: após o cruzamento, é verificada 35

61 Capítulo 4. Otimização Estrutural a probabilidade de mutação em cada bit dos cromossomas descendentes. Este processo é feito gerando aleatoriamente um número de zero a um e, se esse número for menor ou igual à probabilidade de mutação, o bit deverá ser trocado; caso contrário, não há nenhuma troca. Esta troca, para cromossomas codificados de forma binária, significa substituir o zero por um ou vice-versa. A mutação gaussiana adiciona um número aleatório retirado de uma distribuição de Gauss de média 0, ao vector de cada progenitor. A quantidade de mutação é proporcional ao desvio padrão da distribuição e, normalmente, decresce de geração para geração (Cardoso e Coelho, 2011) Elitismo O elitismo foi proposto por De Jong (1975) e é um operador que normalmente surge associado ao operador seleção com o objetivo de aumentar a velocidade de convergência do algoritmo. Este operador simplesmente copia os melhores indivíduos da população atual para a geração seguinte, garantindo que estes cromossomas não são destruídos por cruzamento ou mutação. Na maioria das aplicações consiste na preservação do melhor indivíduo encontrado em cada geração. A principal vantagem do elitismo é garantir que não se perde o melhor indivíduo encontrado durante o processo iterativo. A desvantagem deste operador pode ser vista quando o melhor indivíduo encontrado é o mesmo durante um número consecutivo de gerações, o que pode levar à presença de várias cópias desse indivíduo em cada geração. Este aspeto tem como consequencia a perda de diversidade entre os indivíduos da população e força a pesquisa na direcção de algum ponto óptimo local. Para combater este efeito, o elitismo pode ser utilizado não de forma constante, mas aplicado de forma intermitente, sempre que esteja decorrido um número fixo de gerações (Cardoso e Coelho, 2011) Otimização com restrições Os algoritmos genéticos são, na sua forma simples, um método que resolve problemas de otimização sem restrições. Para satisfazer as restrições é utilizado o método das penalizações. Este método, como o próprio nome indica, consiste em penalizar a função objetivo acrescentando ou removendo a esta um determinado valor por cada restrição não obedecida. Esta penalização é obtida definindo-se uma função auxiliar que é incorporada à função objetivo original, transformando, deste modo, um problema de otimização com restrições num problema de otimização sem restrições. Embora existam diversas formas de se aplicar a função de penalização e de cada utilizador poder definir a sua, existem basicamente duas formas (para o caso de problemas de minimização), que dependem do tipo de restrição a ser obedecida. Seja, por exemplo, o problema de minimização de uma função sujeita a uma restrição: min f(x), sujeito a g(x) 0 (4.8) 36

62 4.4. Algoritmos Genéticos Aplicando-se ao problema 4.8 uma função de penalização, este é reformulado do seguinte modo: min f(x) + η máx [0, g j (x)] (4.9) onde a constante de penalidade η é um número real positivo e g j é uma restrição do problema que deve estar normalizada. Para caso de problemas com mais de uma restrição pode-se adotar a seguinte formulação: m min f(x) + η [máx [0, g j (x)]] (4.10) j=1 onde m é o número de restrições do problema. Observando o termo de penalidade na função objetivo, compreende-se que sempre que uma restrição seja violada, tal corresponde a uma penalidade ou agravamento do valor da função objetivo. A constante de penalidade η, que surge como um fator multiplicativo, deve ser calibrada para cada problema a resolver (Cardoso e Coelho, 2011). 37

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64 Capítulo 5 Descrição do Problema de Otimização 5.1 Introdução A fim de aplicar os conceitos inerentes à utilização de algoritmos genéticos (AG s), foi desenvolvido um programa que visa otimizar parametricamente secções de vigas de aço submetidas a carregamento distribuido ou concentrado. Nos próximos tópicos serão apresentadas as principais características do problema a ser resolvido e é apresentada a aplicação dos AG s a este problema. 5.2 Formulação Este trabalho visa otimizar uma viga de aço de alma cheia, de secção transversal constante, com banzos iguais, comprimento L, com possíveis apoios simples ou encastrados nas extremidades da viga e submetida a um carregamento linearmente distribuído p ou concentrado a meio vão P. Na Figura 5.1 apresentam-se os quatro modelos possíveis de viga. Na Figura 5.2 é ilustrada a simbologia utilizada no EC3-1-1 (CEN, 2005), e adotada neste trabalho, no que respeita à definição geométrica da secção em estudo. Considerase que a secção transversal da viga de alma cheia em estudo é composta por dois banzos iguais de largura b e espessura t f e uma alma com altura d e espessura t w. É utilizada a seguinte convenção de eixos: x x - eixo da peça; y y - eixo da secção, paralelo aos banzos; z z - eixo da secção, perpendicular aos banzos Função Objetivo O objetivo do problema em estudo é minimizar o custo da viga, ou seja: F = min (C v ) = C v,m L (5.1) onde C v é o custo total da viga (e), C v,m é o custo da viga por metro linear (/m) e L é o comprimento total da viga (m). No caso em estudo, como a viga é constituida por um só material e tem secção transversal constante, minimizar o custo da viga é equivalente a minimizar a área da 39

65 Capítulo 5. Descrição do Problema de Otimização Figura 5.1: Configuração das vigas modelo: (a) Modelo A, (b) Modelo B, (c) Modelo C e (d) Modelo D. Figura 5.2: Convenção de eixos e definição geométrica da secção (adaptado de CEN, 2005). 40

66 5.2. Formulação secção transversal da viga. Deste modo, a função objetivo do problema de otimização pode ser expressa da seguinte forma: F (h, b, t f, t w ) = 2bt f + (h 2t f )t w (5.2) onde h, b, t f e t w são denominadas variáveis de projeto, que são escolhidas para minimizar a função objetivo F, há ainda que considerar algumas limitações de desempenho estrutural e restrições geométricas das variáveis de projeto. Dado que: d = h 2t f (5.3) Substituindo em (5.2), a função objetivo F passa a ser definida como: Restrições F (d, b, t f, t w ) = 2bt f + dt w (5.4) Para cumprir os requisitos de segurança propostos pelo EC3-1-1 (CEN, 2005), o programa de otimização tem de ter em conta as seguintes restrições: o valor de cálculo do momento fletor atuante M Ed tem de ser menor ou igual ao momento de cálculo resistente M c,rd ; o valor de cálculo do esforço transverso atuante V Ed tem de ser menor ou igual ao valor da resistência ao esforço transverso V c,rd ; quando a secção é submetida a momento fletor e a esforço transverso, o momento fletor deve ser reduzido devido à presença do esforço transverso; o valor de cálculo do momento fletor atuante M Ed tem de ser menor ou igual ao valor de cálculo do momento fletor resistente à encurvadura lateral M b,rd. Estas verificações de segurança foram abordadas em pormenor no Capítulo 3 deste trabalho Limitações das variáveis De acordo com o disposto na cláusula do EC3-1-1 (CEN, 2005), a espessura dos elementos de aço estrutural laminado a quente tem de ser superior ou igual a 3 mm. Quanto aos limites superiores das espessuras, atendendo ao Quadro 2.1, e a fim de simplificar o estudo, fixou-se a espessura do banzo e da alma como sendo inferior ou igual a 40 mm. No que diz respeito à largura do banzo, considerou-se a mesma como maior ou igual a 100 mm, pois uma largura inferior a esta não permitiria o uso de ligações aparafusadas nos banzos. Definiu-se ainda que a altura da alma teria de ser maior ou igual a 50 mm. Para limites superiores da largura do banzo e da altura da alma definiu-se 1000 mm. 41

67 Capítulo 5. Descrição do Problema de Otimização Resumindo: 3 mm t f 40 mm 3 mm t w 40 mm 100 mm b 1000 mm 50 mm d 1000 mm 5.3 Aplicação A partir deste ponto, será adotada uma nova nomenclatura para o problema. Esta nomenclatura segue a terminologia normalmente adotada num AG, conforme se pode ver na Figura 5.3. Figura 5.3: Analogia: Problema x Algoritmos genéticos. Uma viga (qualquer solução viável ou não do domínio de soluções do problema) será denominada indivíduo. Um conjunto de soluções, ou seja, um conjunto de vigas será denominado população. As variáveis codificadas são denominadas genes e um conjunto de genes forma um cromossoma que representa uma viga. A implementação do AG, ou seja, o tipo de escolha dos melhores indivíduos, a aplicação dos operadores genéticos (seleção, cruzamento e mutação) e outros parâmetros pode ser feita de diversas formas. Para o presente trabalho foi utilizada a toolbox de Algoritmos Genéticos existente no programa MATLAB R Representação e Codificação Para que um indivíduo seja manipulado nas diversas operações do algoritmo, precisa de estar codificado. Neste trabalho optou-se por adotar uma representação binária das variáveis de projeto. As variáveis estudadas são a espessura dos banzos, t f, a espessura da alma, t w, a largura dos banzos, b, e a altura da alma, d, com os limites expostos em e variando de 1 mm em 1 mm. 42

68 5.3. Aplicação Representação da variável largura dos banzos, b Com os limites de dimensões impostos anteriormente, pode-se ter até 901 larguras dos banzos diferentes, conforme é calculado de seguida: n = (Lim sup Lim inf ) + 1 n = ( ) + 1 = 901 (5.5) Para a representação binária da variável largura dos banzos, b, é necessário um número em notação binária que represente pelo menos até ao valor inteiro 901, ou seja 10 bits. Como um número binário com 10 bits pode representar até ao número inteiro 1024, é necessário excluir os casos não válidos para o estudo. Representação da variável altura da alma, d Com os limites de dimensões impostos anteriormente, pode-se ter até 951 alturas de alma diferentes, conforme é calculado de seguida: n = (Lim sup Lim inf ) + 1 n = ( ) + 1 = 951 (5.6) Para a representação binária da variável altura da alma, d, é necessário um número em notação binária que represente pelo menos até ao valor inteiro 951, ou seja 10 bits. Como um número binário com 10 bits pode representar até ao número inteiro 1024, é necessário excluir os casos não válidos para o estudo. Representação da variável espessura dos banzos, t f Com os limites de dimensões impostos anteriormente, pode-se ter até 38 espessuras de banzos diferentes, conforme é calculado de seguida: n = (Lim sup Lim inf ) + 1 n = (40 3) + 1 = 38 (5.7) Para a representação binária da variável espessura dos banzos, t f, é necessário um número em notação binária que represente pelo menos até ao valor inteiro 38, ou seja 6 bits. Como um número binário com 6 bits pode representar até ao número inteiro 64, é necessário excluir os casos não válidos para o estudo. Representação da variável espessura da alma, t w Com os limites de dimensões impostos anteriormente, pode-se ter até 38 espessuras de alma diferentes, conforme é calculado de seguida: n = (Lim sup Lim inf ) + 1 n = (40 3) + 1 = 38 (5.8) 43

69 Capítulo 5. Descrição do Problema de Otimização Para a representação binária da variável largura da alma, t w, é necessário um número em notação binária que represente pelo menos até ao valor inteiro 38, ou seja 6 bits. Como um número binário com 6 bits pode representar até ao número inteiro 64, é necessário excluir os casos não válidos para o estudo. Deste modo, uma viga é representada por um cromossoma de 32 bits, conforme se pode observar na Figura 5.4 onde se exemplifica o cromossoma para as variáveis b = 100, d = 50, t f = 3 e t w = 3. Figura 5.4: Representação de exemplo de cromossoma de uma viga (b = 100, d = 50, t f = 3 e t w = 3) Operadores Genéticos Conforme foi introduzido no capítulo anterior, os Operadores Genéticos têm como finalidade a diversificação da população e continuidade das características de adaptação adquiridas nas gerações anteriores. Deste modo, para este estudo foi necessário optar por uma função de seleção, uma técnica de cruzamento e de mutação. A função de seleção escolhe os progenitores da geração seguinte de acordo com os valores da função de mérito. Dentro das várias opções possíveis e abordadas anteriormente utilizou-se como método para a seleção dos indivíduos o método da roleta, proposto inicialmente por Holland (1975) e que foi descrito em A técnica de cruzamento especifica o modo como o algoritmo combina dois indivíduos progenitores, a fim de originar um indivíduo filho na geração seguinte. Neste trabalho optou-se por utilizar o cruzamento de tipo disperso, denominado Scattered no programa utilizado, onde um vector do tipo binário é criado ao acaso e escolhe genes onde o vetor do primeiro progenitor é 1 e o vetor do segundo progenitor é 0. Como foi explicado no Capítulo 4, o operador genético de mutação é responsável pela introdução e manutenção da diversidade genética nas populações. Este operador altera de forma aleatória genes de alguns indivíduos, fornecendo assim, meios para a introdução de novos indivíduos na população, assegurando que em quaisquer gerações se mantenha a diversidade das populações, de modo a tentar contornar o problema da convergência para ótimos locais. Dentro das opções de Mutação existentes no programa utilizado neste trabalho, as mais importantes são do tipo Gaussiana e Uniforme (Cardoso e Coelho, 2011). Neste trabalho foi utilizada a mutação uniforme que foi descrita no em

70 Capítulo 6 Testes de Parâmetros 6.1 Introdução Para validar o programa apresentado anteriormente, foi necessário aplicá-lo a um caso teste cuja solução ótima já fosse conhecida a fim de se poder fazer uma comparação quanto à sua funcionalidade. Como o método de otimização utilizado se baseia na probabilidade de individuos serem selecionados para reprodução, existem alguns parâmetros que podem fazer com que o algoritmo convirja ou não para um mínimo local. Tais parâmetros são: o tamanho da população, o tamanho do cromossoma, a taxa de mutação, o número máximo de gerações, o critério de paragem, a população inicial, entre outros. Assim, para o AG fornecer resultados satisfatórios, esses parâmetros precisam de ser devidamente calibrados. Para demonstrar a influência destes parâmetros, foram realizados testes onde se variou apenas um parâmetro mantendo todos os outros fixos. Estes teste são apresentados nas próximas secções. Para cada teste, o programa foi aplicado 10 vezes. Os testes foram realizados numa viga apoiada com vão de 10 m, secção transversal de classe 1, tensão de cedência 275 MPa, submetida a um carregamento distribuído de 20 kn/m. A função objetivo e as restrições consideradas são as apresentadas nos capítulos anteriores. Na Figura 6.1 é representada a configuração da viga em estudo. Figura 6.1: Configuração da viga teste. De modo a conhecer a solução ótima deste problema, foi feita uma análise discreta onde se analizaram todas as soluções possiveis, obtendo-se a secção ótima representada na Figura 6.2 com uma área ótima de mm 2. 45

71 Capítulo 6. Testes de Parâmetros Figura 6.2: Dimensões da secção ótima da viga teste. 6.2 Teste 1 - Tamanho da População O tamanho da população é o número de cromossomas existentes em cada iteração do algoritmo. Uma dimensão elevada da população permitirá uma maior diversidade de soluções, o que é vantajoso no que respeita a evitar a convergência do algoritmo para soluções ótimas locais, em vez de globais. Contudo, grandes populações de indivíduos representam um maior esforço computacional, pois são necessárias muitas avaliações da função objetivo. Uma dimensão reduzida da população representará um esforço computacional menor, mas o desempenho do AG ficará prejudicado, pois ter-se-á uma pequena cobertura do espaço de soluções. Pelas razões apresentadas anteriormente, tornou-se necessário proceder a um teste onde o tamanho da população foi variado conforme indicado abaixo: Quadro 6.1: Teste 1. Teste Tamanho da População 1A 10 1B 100 1C D Neste teste foram fixados os seguintes parâmetros: Número máximo de gerações - 100; Mutação - Uniforme (0,01); Seleção - Roleta; Cruzamento - Disperso. 46

72 6.2. Teste 1 - Tamanho da População Quadro 6.2: Teste 1A - Tamanho de população: 10. Teste 1A n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 61% Quadro 6.3: Teste 1B - Tamanho de população: 100. Teste 1B n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 4% 47

73 Capítulo 6. Testes de Parâmetros Quadro 6.4: Teste 1C - Tamanho de população: Teste 1C n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 4% Quadro 6.5: Teste 1D - Tamanho de população: Teste 1D n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 3% 48

74 6.3. Teste 2 - Mutação Figura 6.3: Resultados do teste 1. Os resultados obtidos encontam-se nos Quadros 6.2, 6.3, 6.4 e 6.5. Analisando os resultados obtidos pode-se notar que houve uma grande melhoria dos resultados do teste 1A para o 1B. O tamanho da população foi aumentado 10 vezes do teste 1A para o 1B obtendo-se uma redução do erro de 57%. Nos testes 1C e 1D a população foi aumentada 10 e 100 vezes, respetivamente, em relação ao teste 1B e apenas se verificou uma melhoria de 1% no teste 1D. Nestas condições, optou-se por utilizar um tamanho de população de 100 no programa implementado, já que para maiores populações se constatou que a melhoria dos resultados era muito pouco satisfatória não justificando o acréscimo de esforço computacional. 6.3 Teste 2 - Mutação A mutação é um parâmetro que indica a probabilidade ou taxa a que ocorrerá a mutação de cromossomas ao longo da evolução. Este operador é utilizado para introduzir novas características genéticas entre os indivíduos da população ao longo das gerações. Deste modo, evita-se que as populações, com o decorrer das gerações, fiquem saturadas de cromossomas similares, o que possibilita uma maior cobertura do espaço das soluções. Como acontece com a dimensão da população, a probabilidade de mutação ideal depende do problema em causa. Assim, foi feito um teste onde a probabilidade de mutação foi variada conforme indicado abaixo: Quadro 6.6: Teste 2. Teste Probabilidade de Mutação 2A 0,05 2B 0,01 2C 0,001 2D 0,

75 Capítulo 6. Testes de Parâmetros Os parâmetros que se mantiveram fixos foram os seguintes: Número máximo de gerações - 100; Tamanho de população - 100; Seleção - Roleta; Cruzamento - Disperso. Os resultados obtidos encontam-se nos Quadros 6.7, 6.8, 6.9 e Quadro 6.7: Teste 2A - Probabilidade de mutação: 0,05. Teste 2A n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 8% Figura 6.4: Resultados do Teste 2. 50

76 6.3. Teste 2 - Mutação Quadro 6.8: Teste 2B - Probabilidade de mutação: 0,01. Teste 2B n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 6% Quadro 6.9: Teste 2C - Probabilidade de mutação: 0,001. Teste 2C n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 6% 51

77 Capítulo 6. Testes de Parâmetros Quadro 6.10: Teste 2D - Probabilidade de mutação: 0,0001. Teste 2D n o b d t w t f Área (mm) (mm) (mm) (mm) (mm 2 ) Média Erro em relação à solução ótima 7% Analisando os resultados obtidos observa-se que não houve uma variação muito grande dos valores, estando o erro compreendido entre 6 e 8%. Pode-se notar que do teste 2A (probabilidade de mutação: 0,05) para o teste 2B (probabilidade de mutação: 0,01) houve uma melhoria de 2%, no entanto, do teste 2C (probabilidade de mutação: 0,001) para o teste 2D (probabilidade de mutação: 0,0001) houve um acrescimo de 1%. Os valores obtidos neste teste são pouco conclusivos. Em todo o caso, no programa implementado optou-se por utilizar uma probabilidade de mutação de 0,01, por ser aquela para a qual se obteve o erro mínimo no teste realizado. 52

78 Capítulo 7 Apresentação e Análise de Resultados 7.1 Introdução Neste capítulo apresentam-se os estudos efetuados para os modelos apresentados no capítulo anterior e analisam-se os resultados obtidos para a otimização de secções de viga de alma cheia, variando o comprimento do vão da viga e o valor da ação a que o elemento está sujeito. Para estes estudos apenas foram consideradas as secções de classe 1, 2 e 3. As secções de classe 4 foram excluídas deste trabalho devido à sua complexidade. O método de optimização adotado neste trabalho são os Algoritmos Genéticos. Neste estudo foi utilizada a toolbox gatool presente no programa de cálculo MATLAB R. Como já foi referido no Capítulo 4, este é um método de procura global que, a partir de uma população inicial aleatória, desenvolve um processo iterativo em busca do mínimo da função objetivo. A fim de ter uma base de comparação dos resultados obtidos na otimização pelos AG achou-se pertinente fazer um estudo preliminar onde se procurou obter a secção comercial ótima, isto é, a secção do perfil laminado que verifica os requisitos de segurança apresentados no Capítulo 3 e que tem menor área transversal. Neste estudo foram analisados os perfis comerciais IPE, HEA e HEB para os modelos apresentados no Capítulo 5 com os mesmos casos de carga e vãos estudados para os AG. Os resultados obtidos podem ser consultados nos Quadros A.1 a A.12 do Anexo A. 7.2 Modelo A - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carregamento Distribuído Neste estudo é efetuada a otimização de vigas apoiadas com carregamento distribuído onde se varia o carregamento (1, 5, 10, 20, 50 e 100 kn/m) e o comprimento do vão (1, 5, 10, 15 e 20 m), admitindo uma tensão de cedência do material de 275 MPa. Os resultados obtidos para todos os casos indicados acima apresentam-se no Anexo B sob a forma de tabelas. 53

79 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Em seguida, apresentam-se nas Figuras 7.1 a 7.9 gráficos que permitem visualizar a evolução do processo iterativo de otimização para vãos de 5, 10 e 15 m de comprimento e cargas distribuídas 5, 10 e 20 kn/m. Para cada uma destas combinações de vão e carga, compara-se ainda a secção obtida através de AG com a secção comercial "ótima", considerando secções de classe 1, 2 e 3 (Quadros 7.1 a 7.9). Figura 7.1: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m. Figura 7.2: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m. 54

80 7.2. Modelo A - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carregamento Distribuído Figura 7.3: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m. Figura 7.4: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m. 55

81 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.5: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m. Figura 7.6: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m. 56

82 7.2. Modelo A - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carregamento Distribuído Figura 7.7: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m. Figura 7.8: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m. 57

83 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.9: Resultados de convergência do Modelo A com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m. Analisando as Figuras 7.1 a 7.9, verifica-se que, na maior parte dos casos, o algoritmo converge para uma solução entre as 20 e as 60 iterações. Pode ainda verificar-se que a as áreas óptimas obtidas para as diferentes classes de secção transversal em estudo (Classe 1, Classe 2 e Classe 3) apresentam valores próximos. Nos Quadros 7.1 a 7.9 estão representadas as dimensões obtidas na otimização de secções comerciais e na otimização por AG assim como a diferença ( ) entre as variáveis em estudo para os casos com carregamentos de 5, 10 e 20 kn/m e vão de 5, 10 e 15 m de comprimento. A diferença ( ) é determinada do seguinte modo: = Variavel AG Variavel Perf.Com. Variavel Perf.Com. 100 (7.1) 58

84 7.2. Modelo A - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carregamento Distribuído Quadro 7.1: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 5 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. Quadro 7.2: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 10 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. 59

85 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.3: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 15 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. Quadro 7.4: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 5 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. 60

86 7.2. Modelo A - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carregamento Distribuído Quadro 7.5: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 10 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. Quadro 7.6: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 15 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. 61

87 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.7: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 5 m e carregamento distribuído de 20 kn/m. Quadro 7.8: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 10 m e carregamento distribuído de 20 kn/m. 62

88 7.3. Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.9: Comparação de resultados ótimos obtios por AG com a secção comercial ótima - Modelo A com vão de 15 m e carregamento distribuído de 20 kn/m. Através da análise dos Quadros 7.1 a 7.9 pode-se verificar que todas as soluções obtidas por AG considerando secções constituídas por chapas soldadas apresentam uma diminuição da área da secção quando comparadas com as secções comerciais de menor área que satisfazem as restrições do problema. Nos resultados obtidos observou-se uma diminuição da área entre 8 e 22%. Comparando as dimensões das secções obtidas pelos AG com as secções comerciais "ótimas", verifica-se que, na maioria dos resultados fornecidos pelos AG, excepto em três casos de secções de classe 3, a altura da alma (d) é maior que a largura do banzo (b), isto é, há preferência por uma tipologia de secção em I em detrimento de uma secção em H. Verifica-se ainda uma tendência de diminuição da espessura da alma (t w ) para valores próximos do mínimo admissível (3 mm) tendendo a espessura dos banzos (t f ) a aumentar relativamente à espessura do banzo das secções comerciais. Analisando as restrições impostas no algoritmo de forma a que este cumpra os requisitos de segurança propostos no EC3-1-1 (CEN, 2005), abordadas no Capítulo 3 deste trabalho, verifica-se que, na maioria dos casos, a restrição condicionante é a verificação à encurvadura lateral. As exceções a esta tendência observa-se em modelos com vão pequeno (L = 1 m). Nestes casos, a restrição condicionante é a classe do banzo. Esta análise pode ser verificada observando os Quadros B.1 a B.3 do Anexo B. 7.3 Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Neste estudo é efetuada a otimização de vigas apoiadas sujeitas a uma carga concentrada a meio vão onde se varia a carga (1, 5, 10, 20, 50 e 100 kn) e o comprimento do vão (1, 5, 10, 15 e 20 m), admitindo uma tensão de cedência do material de

89 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados MPa. Os resultados para todos os casos indicados acima presentam-se no Anexo B sob a forma de tabelas. Em seguida, apresentam-se nas Figuras 7.10 a 7.18 gráficos que permitem visualizar a evolução do processo iterativo de otimização para vãos de 5, 10 e 15 m de comprimento e cargas concentradas 5, 10 e 20 kn. Para cada uma destas combinações de vão e carga, compara-se ainda a secção obtida através de AG com a secção comercial "ótima", considerando secções de classe 1, 2 e 3 (Quadros 7.10 a 7.18). Figura 7.10: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn. Figura 7.11: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn. 64

90 7.3. Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Figura 7.12: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn. Figura 7.13: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn. 65

91 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.14: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn. Figura 7.15: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn. 66

92 7.3. Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Figura 7.16: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn. Figura 7.17: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn. 67

93 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.18: Resultados de convergência do Modelo B com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn. Analisando as Figuras 7.10 a 7.18, verifica-se que na maior parte dos casos analisados o algoritmo converge para uma solução entre as 20 e as 40 iterações. O facto da carga total aplicada ser menor que na Secção 7.2, onde a menor carga considerada foi de 5 5 = 25kN, pode explicar a maior rapidez de convergência. Pode ainda verificarse que a as áreas óptimas obtidas para as diferentes classes de secção transversal em estudo (Classe 1, Classe 2 e Classe 3) apresentam valores próximos. Nos Quadros 7.10 a 7.18 estão representadas as dimensões obtidas na otimização de secções comerciais e na otimização por AG assim como a diferença ( ) entre as variáveis em estudo para os casos com carregamentos de 5, 10 e 20 kn e vãos de 5, 10 e 15 m de comprimento. A diferença ( ) é determinada do modo apresentado na equação 7.1. Através da análise dos Quadros 7.10 a 7.18 pode-se verificar que todas as soluções obtidas por AG considerando secções constituídas por chapas soldadas apresentam uma diminuição da área da secção quando comparadas com as secções comerciais de menor área que satisfazem as restrições do trabalho. Nos resultados obtidos observou-se uma diminuição da área entre os 8 e 27%. Comparando as dimensões das secções obtidas por AG com as secções comerciais "ótimas"pode verificar-se que na, maioria dos resultados conhecidos pelos AG, excepto em dois casos, um de secção de classe 1 (P=5 kn e L=15 m) e outro de secção de classe 3 (P=10 kn e L=15 m), a altura da alma (d) é maior que a largura do banzo (b), isto é, há preferência de uma tipologia de secção em I em detrimento de uma secção em H. Verifica-se ainda uma tendência de diminuição da espessura da alma (t w ) para valores próximos do mínimo admissível (3 mm) tendendo a espessura dos banzos (t f ) a aumentar relativamente à espessura do banzo das secções comerciais. 68

94 7.3. Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.10: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn. Quadro 7.11: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn. 69

95 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.12: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn. Quadro 7.13: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn. 70

96 7.3. Modelo B - Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.14: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn. Quadro 7.15: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn. 71

97 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.16: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. Quadro 7.17: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. 72

98 7.4. Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Quadro 7.18: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo B com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. Analisando as restrições impostas no algoritmo de forma a que este cumpra os requisitos de segurança propostos no EC3-1-1 (CEN, 2005), abordadas no Capítulo 3 deste trabalho, verifica-se que, na maioria dos casos, a restrição condicionante é a verificação da resistência à encurvadura lateral. As exceções são os modelos com vão pequeno (L=1m). Nestes casos, a restrição condicionante é a classe do banzo e alguns modelos com carga elevada (20, 50 e 100 kn) têm como restrição condicionante a condição de desprezo da verificação da resistência à encurvadura por esforço transverso (Equação 3.9). Esta análise pode ser verificada observando os Quadros B.4 a B.6 do Anexo B. 7.4 Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Neste estudo é efetuada a otimização de vigas encastradas sujeitas a um carregamento distribuído onde se varia a carga (1, 5, 10, 20, 50 e 100 kn) e o comprimento do vão (1, 5, 10, 15 e 20 m), admitido uma tensão de cedência do material de 275 MPa. Os resultados para todos os casos indicados acima presentam-se no Anexo B sob a forma de tabelas. Em seguida, apresentam-se nas Figuras 7.19 a 7.27 gráficos que permitem visualizar a evolução do processo iterativo de otimização para vãos de 5, 10 e 15 m de comprimento e cargas distribuídas 5, 10 e 20 kn/m. Para cada uma destas combinações de vão e carga, compara-se ainda a secção obtida através de AG com a secção comercial "ótima", considerando secções de classe 1, 2 e 3 (Quadros 7.19 a 7.27). 73

99 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.19: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m. Figura 7.20: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m. 74

100 7.4. Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Figura 7.21: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 5 kn/m. Figura 7.22: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m. 75

101 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.23: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m. Figura 7.24: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 10 kn/m. 76

102 7.4. Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Figura 7.25: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 5 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m. Figura 7.26: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 10 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m. 77

103 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.27: Resultados de convergência do Modelo C com vão de 15 m, sujeito a carregamento distribuído de 20 kn/m. Analisando as Figuras 7.19 a 7.27, verifica-se que na maioria dos casos analisados o algoritmos converge para uma solução entre as 20 e as 40 iterações. Pode ainda verificarse que a as áreas óptimas obtidas para as diferentes classes de secção transversal em estudo (Classe 1, Classe 2 e Classe 3) apresentam valores próximos. Nos Quadros 7.19 a 7.27 estão representadas as dimensões obtidas na otimização de secções comerciais e na otimização por AG assim como a diferença ( ) entre as variáveis em estudo para os casos com carregamentos de 5, 10 e 20 kn/m e vãos de 5, 10 e 15 m de comprimento. A diferença ( ) é determinada do modo apresentado na equação 7.1. Através da análise dos Quadros 7.19 a 7.27 pode-se verificar que todas as soluções obtidas por AG considerando secções constituídas por chapas soldadas apresentam uma diminuição da área da secção quando comparadas com as secções comerciais de menor área que satisfazem as restrições do trabalho. Nos resultados obtidos pelos AG observou-se uma diminuição da área entre 11 e 25%. Comparando as dimensões das secções obtidas por AG com as secções comerciais "ótimas", verifica-se que, na maioria dos resultados conhecidos pelos AG, excepto em dois casos de secções de classe 1 (P=5 kn/m L= 15m e P=10 kn/m L=15 m), a altura da alma (d) é maior que a largura do banzo (b), isto é, há preferência de uma tipologia de secção em I em detrimento de uma secção em H. Verifica-se ainda uma tendência de diminuição da espessura da alma (t w ) para valores próximos do mínimo admissível (3 mm) tendendo a espessura dos banzos (t f ) a aumentar quando comparada com a espessura dos banzos das secções comerciais. 78

104 7.4. Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Quadro 7.19: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 5 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. Quadro 7.20: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 10 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. 79

105 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.21: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 15 m e carregamento distribuído de 5 kn/m. Quadro 7.22: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 5 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. 80

106 7.4. Modelo C - Viga Encastrada Sujeita a Carregamento Distribuído Quadro 7.23: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 10 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. Quadro 7.24: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 15 m e carregamento distribuído de 10 kn/m. 81

107 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.25: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 5 m e carregamento distribuído de 20 kn/m. Quadro 7.26: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 10 m e carregamento distribuído de 20 kn/m. 82

108 7.5. Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.27: Comparação de resultados ótimos obtidos por AG com a secção comercial ótima - Modelo C com vão de 15 m e carregamento distribuído de 20 kn/m. Analisando as restrições impostas no algoritmo de forma a que este cumpra os requisitos de segurança propostos no EC3-1-1 (CEN, 2005), abordadas no Capítulo 3 deste trabalho, verifica-se que não há apenas uma restrição condicionante. Em cerca de metade dos casos analisados verificou-se que a restrição condicionante é a verificação da combinação de momento flector e esforço transverso, num quarto dos casos a restrição condicionante é a verificação à encurvadura lateral e os restantes casos são modelos com vão pequeno (L=1m), em que a restrição condicionante é a classe do banzo e alguns modelos com carga elevada (50 e 100 kn/m) que têm como restrição condicionante a verificação da resistência à encurvadura por esforço transverso. Esta análise pode ser verificada observando os Quadros B.7 a B.9 do Anexo B. 7.5 Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Neste estudo é efetuada a otimização de vigas encastradas sujeitas a uma carga concentrada a meio vão onde se varia a carga (1, 5, 10, 20, 50 e 100 kn) e o comprimento do vão (1, 5, 10, 15 e 20 m) admitido uma tensão de cedência do material de 275 MPa. Os resultados para todos os casos indicados acima presentam-se no Anexo B sob a forma de tabelas. Em seguida, apresentam-se nas Figuras 7.28 a 7.36 gráficos que permitem visualizar a evolução do processo iterativo de otimização para vãos de 5, 10 e 15 m de comprimento e cargas concentradas 5, 10 e 20 kn. Para cada uma destas combinações de vão e carga, compara-se ainda a secção obtida através de AG com a secção comercial "ótima", considerando secções de classe 1, 2 e 3 (Quadros 7.28 a 7.36). 83

109 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.28: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn. Figura 7.29: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn. 84

110 7.5. Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Figura 7.30: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 5 kn. Figura 7.31: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn. 85

111 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.32: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn. Figura 7.33: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 10 kn. 86

112 7.5. Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Figura 7.34: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 5 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn. Figura 7.35: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 10 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn. 87

113 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Figura 7.36: Resultados de convergência do Modelo D com vão de 15 m, sujeito a uma carga concentrada a meio vão de 20 kn. Analisando as Figuras 7.28 a 7.36, verifica-se que, na maioria dos casos, o algoritmos converge para uma solução entre as 10 e as 40 iterações. Pode ainda verificar-se que a as áreas óptimas obtidas para as diferentes classes de secção transversal em estudo (Classe 1, Classe 2 e Classe 3) apresentam valores próximos. Nos Quadros 7.28 a 7.36 estão representadas as dimensões obtidas na otimização de secções comerciais e na otimização pelos Algoritmos Genéticos assim como a diferença ( ) entre as variáveis em estudo para os casos com carregamentos de 5, 10 e 20 kn e vão de 5, 10 e 15 m de comprimento. A diferença ( ) é determinada do modo apresentado na equação 7.1. Através da análise dos Quadros 7.28 a 7.36 pode-se verificar que quase todas as soluções obtidas por AG considerando secções constituídas por chapas soldadas apresentam uma diminuição da área da secção quando comparadas com as secções comerciais de menor área que satisfazem as restrições do trabalho. Nos resultados obtidos observou-se uma diminuição da área entre 0 e 26%. Comparando as dimensões das secções obtidas por AG com as secções comerciais "ótimas", verifica-se que, nos resultados conhecidos pelos AG, a altura da alma (d) é sempre maior que a largura do banzo (b), isto é, há preferência de uma tipologia de secção em I em detrimento de uma secção em H. Verifica-se ainda uma tendência de diminuição da espessura da alma (t w ) para valores próximos do mínimo admissível (3 mm) tendendo a espessura dos banzos (t f ) a aumentar quando comparada com a espessura dos banzos das secções comerciais. 88

114 7.5. Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.28: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn. Quadro 7.29: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn. 89

115 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.30: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 5 kn. Quadro 7.31: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn. 90

116 7.5. Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.32: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn. Quadro 7.33: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 10 kn. 91

117 Capítulo 7. Apresentação e Análise de Resultados Quadro 7.34: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 5 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. Quadro 7.35: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 10 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. 92

118 7.5. Modelo D - Viga Encastrada Sujeita a Carga Concentrada Quadro 7.36: Comparação de resultados ótimos pelos AG com a secção ótima comercial para o Modelo D com vão de 15 m e carga concentrada a meio vão de 20 kn. Analisando as restrições impostas no algoritmo de forma a que este cumpra os requisitos de segurança propostos no EC3-1-1 (CEN, 2005), abordadas no Capítulo 3 deste trabalho, verifica-se que, na maioria dos casos, a restrição condicionante é a verificação à encurvadura lateral. As exceções são os modelos com vão pequeno (L=1m), neste casos a restrição condicionante é a classe do banzo e alguns modelos com carga elevada (50 e 100 kn) têm como restrição condicionante a verificação da interação momento fletor e esforço transverso. Esta análise pode ser verificada observando os Quadros B.10 a B.12 do Anexo B. 93

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120 Capítulo 8 Conclusões e Sugestões para Desenvolvimentos Futuros 8.1 Considerações finais e conclusões Esta dissertação teve como motivação o interesse em encontrar soluções alternativas e exequíveis às secções normalizadas existentes no mercado. Este estudo abordou o problema de optimização paramétrica, utilizando Algoritmos Genéticos, de secções de vigas metálicas constituídas por chapas soldadas cumprindo os requisitos de segurança propostos pelo Eurocódigo 3 Parte 1-1, no que se refere ao momento flector, esforço transverso e resistência à encurvadura lateral. Para tal foram analisados dois modelos distintos de vigas de alma cheia, onde se variou o comprimento do vão. O primeiro modelo consistiu numa viga simplesmente apoiada e o segundo numa viga bi-encastrada. Relativamente às ações estudadas, e visto que os regulamentos preveem a existência de ações concentradas e distribuídas, foi estudado cada modelo sujeito, separadamente, a uma carga concentrada a meio vão e a um carregamento uniformemente distribuído, de valor variável. Para conduzir o processo de otimização, foi utilizado um Algoritmo Genético. Neste método é gerada aleatoriamente uma população inicial de indivíduos; em seguida é avaliada a aptidão de cada individuo e aplicam-se sucessivamente os operadores genéticos: selecção, cruzamento e mutação; resulta assim uma população caracterizada por uma nova geração de indivíduos que substituem os indivíduos pertencentes à geração anterior. A aptidão dos novos indivíduos é avaliada e é testado um critério de paragem do algoritmo. Repetindo este processo ao longo de várias iterações, consegue-se que uma população inicial de pontos convirja para a solução óptima do problema. Para a aplicação desta técnica, utilizou-se a toolbox de Algoritmos Genéticos do programa MATLAB R, através da qual se obteve a área da secção transversal mínima, tendo em consideração as restrições das variáveis de projeto e a norma em vigor referidas no Capítulo 3 desta dissertação. Dos estudos efectuados sobre os parâmetros do algoritmo utilizado neste trabalho, tamanho da população e taxa de mutação, pode-se verificar que estes têm influência nos resultados obtidos. Deste modo, é necessária uma análise cuidada dos parâmetros dos 95

121 Capítulo 8. Conclusões e Sugestões para Desenvolvimentos Futuros AG antes de se iniciar um estudo, não sendo possível generalizar para outros estudos diferentes os parâmetros utilizados neste trabalho. Em seguida destacam-se sumariamente as conclusões mais relevantes que se podem extrair da análise dos estudos efetuados: A optimização por AG adotada revelou-se eficaz e adequada para a optimização da área da secção transversal de vigas metálicas apoiada e encastradas sujeitas a carregamento uniformemente distribuído e a carga concentrada a meio vão; Quando comparados com as secções comerciais, os algoritmos genéticos conduzem a secções com menor área; Comparando as dimensões obtidas por AG com as secções comerciais, constata-se que, na maioria dos casos estudados, a altura da alma (d) é maior que a largura do banzo (b), isto é, há preferência por uma tipologia em I em detrimento de uma secção em H (o que era de esperar, dado que apenas foram analizadas vigas); Para as secções ótimas obtidas por AG, verifica-se uma tendência de diminuição da espessura da alma (t w ) para valores próximos do mínimo admissível (3 mm) e a espessura dos banzos (t f ) tende a aumentar quando comparadas com as mesmas dimensões das secções comerciais. 8.2 Sugestões para futuros desenvolvimentos Pretende-se, por fim, expor alguns desenvolvimentos possíveis na sequência do trabalho desenvolvido, apresentado neste texto: Realização do estudo para secções de classe 4; Realização de estudos com recurso a outros algoritmos de otimização; Aplicação do processo de optimização a secções enformadas a frio; Aplicação do processo de optimização a outro tipo de estruturas, como por exemplo, colunas e colunas-vigas (peças sujeitas a encurvadura por flexão). 96

122 Capítulo 9 Bibliografia [Arora, 2004] Arora, J.S., (2004). Elsevier Academic Press, USA. Introduction to Optimum Design, 2nd edition. [Bazaraa et al., 1993] Bazaraa, M.S., Sherali, H.D., Shetty, C.M., (1993). Nonlinear programming: theory and algorithms, 2nd edn. Wiley, New York. [Biggs, 1975] Biggs, M.C., (1975). Constrained Minimization Using Recursive Quadratic Programming, Towards Global Optimization, L.C.W. Dixon and G.P. Szergo (Eds.), North-Holland, Pp [Boggs e Tolle, 1995] Boggs, P.T., Tolle, J.W. (1995). Sequential quadratic programming. Acta Numerica, Volume 4, Pp [Broyden, 1970] Broyden, C.G., (1970). The convergence of a class of double-rank minimization algorithms 2: The new algorithm. IMA Journal of Applied Mathematics, Volume 6, Issue 3, Pp [Castillo et al., 2002] Castillo, E., Conejo, A.J., Pedregal, P., García, R., Alguacil, N. (2002). Building and solving mathematical programming models in engineering and science. John Wiley & Sons, New York. [Cauchy, 1847] Cauchy, A.L., (1847). Méthode générale pour la resolution des systèmes d équations simultanées. Comptes Rendus de l Academie des Sciences, 25, pp [CEN, 1992] CEN (1992). ENV "Eurocode 3 - General rules and rules for buildings". European Committee for Standization (CEN), Brussels. [CEN, 2005] CEN (2005). EN Eurocode 3 - General rules and rules for buildings. European Committee for Standization (CEN), Brussels. [CEN, 2006a] CEN (2006). EN Eurocode 3 - Supplementary rules for cold formed thin gauge members and sheeting. European Committee for Standization (CEN), Brussels. [CEN, 2006b] CEN (2006). EN Eurocode 3 - Plated structural elements. European Committee for Standization (CEN), Brussels. 97

123 Bibliografia [Clark e Hill, 1960] Clark, J.W., Hill, H.N., (1960). Lateral Buckling of Beams, Proceedings ASCE, Journal of Structural Division, volume 68, n o ST7. [Dantzig, 1963] Dantzig, G.B. (1963). Linear programming and extensions. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. [Davidon, 1959] Davidon, W.C., (1959). Variable metric method for minimization. Report ANL-5990, Argonne National Laboratory, Argonne, I11. [ECCS, 2010] ECCS, (2010), Annual Meetings 2010: Production in 2009, Istanbul, Turkey. Statistical Bulletin For The [Fletcher, 1970] Fletcher, R., (1970). A new approach to variable metric algorithms. The Computer Journal, Volume 13, Issue 3, Pp [Fletcher, 1981] Fletcher, R. (1981). Practical Methods of Optimization. Volume 2. Constrained Optimization,, John Wiley & Sons. [Fletcher e Powell, 1963] Fletcher, R., Powell, M.J.D., (1963) A rapidly convergent descent method for minimization. The Computer Journal, Volume 6, Issue 2, Pp [Galéa, 1981] Galéa, Y., (1981). Abaques de Deversement Pour Profilés Laminés, revue Construction Métallique, n o 4, Pp [Gill et al., 1981] Gill, P.E., Murray, W., Wright, M.H. (1981). Practical Optimization, Academic Press, London. [Goldfarb, 1970] Goldfarb, D., (1970). A family of variable metric methods derived by variational means. Mathematics of Computation, Volume 24, Pp [Han, 1977] Han, S.P., (1977). A globally convergent method for nonlinear programming. Journal of Optimization Theory and Applications, Volume 22, Issue 3, Pp [Hestenes e Stiefel, 1952] Hestenes, M.R., Stiefel E., (1952). Methods of conjugate gradients for solving linear systems. Report 1659, National Bureau of Standards, Washington D.C. [Hooke e Jeeves, 1961] Hooke, R., Jeeves, T.A., (1961). Direct search solution of numerical and statistical problems. Journal of the ACM, volume 8, Issue 2, Pp [Karmarkar, 1984] Karmarkar, N., (1984). A new polynomial-time algorithm for linear programming. Combinatorica, Volume 4, Issue 4, Pp [Lemke, 1954] Lemke, C.E., (1954). The dual method of solving the linear programming problem. Naval Research Logistics Quarterly, Volume 1, Issue 1, Pp [Marquardt, 1963] Marquardt, D., (1963). An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM Journal on Applied Mathematics, Volume 11, Issue 2, Pp

124 Bibliografia [Nelder e Mead, 1965] Nelder, J.A., Mead, R., (1965). A simplex method for function minimization. The Computer Journal, Volume 7, Issue 4, Pp [NP EN 10025, 2004] NP EN 10025, (2004) Produtos laminados a quente de aços de construção não ligados, IPQ, Portugal. [Nocedal e Wright, 1999] Nocedal, J., Wright, S.J., (1999). Numerical Optimization, Springer, USA. [Powell, 1964] Powell, M.J.D., (1964). An efficient method for finding the minimum of a function of several variables without calculating derivatives. The Computer Journal, Volume 7, Issue 2, Pp [Powell, 1978a] Powell, M.J.D., (1978). The Convergence of Variable Metric Methods for Nonlinearly Constrained Optimization Calculations, Nonlinear Programming 3, O.L. Mangasarian, R.R. Meyer and S.M. Robinson (Eds.), Academic Press. [Powell, 1978b] Powell, M.J.D., (1978). A Fast Algorithm for Nonlinearly Constrained Optimization Calculations, Numerical Analysis, G.A.Watson ed., Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag, Berlin. [Powell, 1983] Powell, M.J.D., (1983). Variable Metric Methods for Constrained Optimization, Mathematical Programming: The State of the Art, A.Bachem, M.Grotschel and B.Korte (Eds.), Springer Verlag, Pp [Rao, 1996] Rao, S.S. (1996). Engineering Optimization: Theory and Practice, 3rd edition. John Wiley & Sons, New York. [Rosenbrock, 1960] Rosenbrock, H.H., (1960). An automatic method for finding the greatest or least value of a function. The Computer Journal, Volume 3, Issue 3, Pp [Schittowski, 1983] Hock, W., Schittowski, K., (1983). A Comparative Performance Evaluation of 27 Nonlinear Programming Codes, Computing, Volume 30, P [Shanno, 1970] Shanno, D.F., (1970). Conditioning of quasi-newton methods for function minimization. Mathematics of Computation, Volume 24, Pp [Simões, 2007] Simões, R.A.D. (2007). Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas, Eurocódigo 3: Projecto de Estruturas Metálicas, Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios, CMM PRESS. [Spendley et al., 1962] Spendley, W., Hext, G.R., Himsworth, F.R., (1962). Sequential application of simplex designs in optimisation and evolutionary operation. Technometrics, Volume 4, Pp [Wilson, 1963] Wilson, R.B., (1963). A simplified algorithm for concave programming. Ph.D. Thesis, Harvard University, USA. 99

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127 Anexo A Resultados do estudo com secções comerciais No presente anexo apresentam-se os resultados obtidos na pesquisa da secção comercial ótima para os casos em estudo. Quadro A.1: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo A. Verificações Classe 1 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,01 0,01 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,06 0,04 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,12 0,09 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,23 0,17 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,58 0,43 0,32 0, IPE , ,4 4,4 6,3 0,49 0,37 0,57 0,19 0,03 0,37 0, HEA , ,0 8,0 0,49 0,22 0,86 0,48 0,21 0,22 0, IPE , ,2 9,8 0,49 0,53 0,70 0,31 0,12 0,53 0, IPE , ,1 10,7 0,49 0,59 0,80 0,36 0,16 0,59 0, IPE , ,6 13,5 0,49 0,58 0,76 0,43 0,28 0,58 1, HEA , ,5 8,5 0,49 0,25 0,95 0,26 0,06 0,25 0, IPE ,73 170, ,0 12,7 0,49 0,56 0,77 0,22 0,07 0,56 0, HEB , ,0 17,0 0,49 0,25 0,81 0,43 0,19 0,25 0, HEA , ,0 17,5 0,49 0,39 1,00 0,44 0,24 0,39 0, HEB , ,5 28,0 0,49 0,40 0,61 0,47 0,28 0,40 0, HEB , ,0 13,0 0,49 0,20 0,70 0,29 0,06 0,20 0, HEB , ,0 17,5 0,49 0,27 0,86 0,40 0,13 0,27 0, HEB , ,0 21,5 0,49 0,30 0,81 0,42 0,16 0,30 0, HEB , ,5 30,0 0,49 0,47 0,57 0,32 0,13 0,47 0, HEB , ,0 15,0 0,49 0,22 0,77 0,28 0,05 0,22 0, HEB , ,5 22,5 0,49 0,31 0,77 0,34 0,10 0,31 0, HEB , ,5 30,0 0,49 0,47 0,57 0,28 0,08 0,47 0,

128 Anexo A. Resultados do estudo com secções comerciais Quadro A.2: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo A. Classe 2 Verificações Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,01 0,01 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,06 0,04 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,12 0,09 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,23 0,17 0,32 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,58 0,43 0,32 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,35 0,54 0,51 0,53 0,40 0, IPE , ,4 4,4 6,3 0,49 0,32 0,51 0,19 0,03 0,37 0, HEA , ,0 8,0 0,49 0,19 0,78 0,48 0,21 0,22 0, HEA , ,0 9,0 0,49 0,23 0,93 0,46 0,25 0,26 0, IPE , ,6 7,1 10,7 0,49 0,51 0,72 0,36 0,16 0,59 0, IPE , ,6 13,5 0,49 0,50 0,69 0,43 0,28 0,58 1, HEA , ,5 16,5 0,49 0,33 0,95 0,61 0,68 0,38 0, HEA , ,5 8,5 0,49 0,22 0,86 0,26 0,06 0,25 0, IPE , ,6 8,0 12,7 0,49 0,49 0,69 0,22 0,07 0,56 0, HEB , ,0 17,0 0,49 0,21 0,73 0,43 0,19 0,25 0, HEA , ,0 17,5 0,49 0,34 0,90 0,44 0,24 0,39 0, HEB , ,5 28,0 0,49 0,35 0,55 0,47 0,28 0,40 0, HEB , ,0 13,0 0,49 0,17 0,63 0,29 0,06 0,20 0, HEB , ,0 17,5 0,49 0,23 0,77 0,40 0,13 0,27 0, HEB , ,0 21,5 0,49 0,26 0,72 0,42 0,16 0,30 0, HEB , ,5 30,0 0,49 0,41 0,51 0,32 0,13 0,47 0, HEB , ,0 15,0 0,49 0,19 0,69 0,28 0,05 0,22 0, HEB , ,5 22,5 0,49 0,27 0,69 0,34 0,10 0,31 0, HEB , ,5 30,0 0,49 0,41 0,51 0,28 0,08 0,47 0, Quadro A.3: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo A. Verificações Classe 3 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 τ Ed /(f y / 3)<1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,01 0,01 0,32 0, IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,07 0,04 0,32 0, IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,13 0,09 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,27 0,17 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,66 0,43 0,32 0, IPE , ,49 0,23 0,38 0,59 0,53 0,40 0, IPE , ,4 6,3 0,49 0,21 0,37 0,21 0,03 0,37 0, HEA , ,49 0,13 0,56 0,53 0,21 0,22 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,52 0,25 0,26 0, IPE , ,49 0,34 0,52 0,41 0,16 0,59 1, HEA , ,49 0,21 0,78 0,68 0,59 0,35 0, HEA , ,49 0,22 0,68 0,68 0,68 0,38 0, HEA , ,49 0,15 0,61 0,29 0,06 0,25 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,44 0,15 0,33 1, HEA , ,49 0,21 0,81 0,45 0,20 0,37 0, HEA , ,49 0,23 0,64 0,48 0,24 0,39 0, HEA , ,49 0,35 0,43 0,42 0,22 0,59 0, HEA , ,49 0,18 0,75 0,26 0,05 0,31 0, HEB , ,49 0,15 0,55 0,45 0,13 0,27 0, HEA , ,49 0,26 0,53 0,35 0,12 0,45 0, HEB , ,49 0,27 0,37 0,36 0,13 0,47 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,27 0,05 0,33 0, HEA , ,49 0,28 0,48 0,26 0,07 0,49 0, HEB , ,49 0,27 0,37 0,32 0,08 0,47 0,

129 Anexo A. Resultados do estudo com secções comerciais Quadro A.4: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo B. Verificações Classe 1 Mometo Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , , ,49 0,32 0,54 0,02 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,12 0,04 0,32 0, IPE , , ,49 0,32 0,54 0,23 0,09 0,32 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,46 0,17 0,32 0, IPE , ,49 0,37 0,57 0,75 0,33 0,37 1, IPE , ,49 0,44 0,63 0,73 0,43 0,44 0, IPE , ,6 4,1 6 0,49 0,32 0,54 0,12 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,40 0,59 0,26 0,03 0,40 0, HEA , ,49 0,17 0,71 0,55 0,11 0,17 0, HEA , ,49 0,25 0,95 0,52 0,12 0,25 0, IPE , ,49 0,59 0,80 0,36 0,08 0,59 0, IPE , ,49 0,56 0,77 0,45 0,13 0,56 0, IPE , ,49 0,37 0,57 0,15 0,01 0,37 0, HEA , ,49 0,22 0,86 0,38 0,04 0,22 0, HEB , ,49 0,20 0,67 0,37 0,05 0,20 0, HEB , ,49 0,22 0,74 0,38 0,06 0,22 0, HEB , ,49 0,24 0,79 0,55 0,11 0,24 1, HEA , ,49 0,39 1,00 0,44 0,12 0,39 0, IPE , ,49 0,44 0,63 0,11 0,00 0,44 0, HEB , ,49 0,20 0,67 0,28 0,02 0,20 0, HEB , ,49 0,20 0,70 0,39 0,04 0,20 0, HEB , ,49 0,22 0,77 0,42 0,05 0,22 1, HEB , ,49 0,28 0,90 0,44 0,08 0,28 0, HEA , ,49 0,49 0,75 0,35 0,07 0,49 0, HEA , ,49 0,17 0,71 0,22 0,01 0,17 0, HEB , ,49 0,20 0,70 0,26 0,02 0,20 0, HEB , ,49 0,22 0,77 0,28 0,03 0,22 0, HEB , ,49 0,25 0,81 0,35 0,04 0,25 0, HEB , ,49 0,30 0,81 0,38 0,05 0,30 0, HEB , ,49 0,47 0,57 0,28 0,04 0,47 0,84 Quadro A.5: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo B. Verificações Classe 2 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvaura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , , ,49 0,28 0,48 0,02 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,12 0,04 0,32 0, IPE , , ,49 0,28 0,48 0,23 0,09 0,32 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,46 0,17 0,32 0, IPE , ,49 0,32 0,51 0,75 0,33 0,37 1, IPE , ,49 0,38 0,56 0,73 0,43 0,44 0, IPE , ,6 4,1 6 0,49 0,28 0,48 0,12 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,35 0,54 0,26 0,03 0,40 0, HEA , ,49 0,15 0,64 0,55 0,11 0,17 0, HEA , ,49 0,22 0,86 0,52 0,12 0,25 0, IPE , ,49 0,51 0,72 0,36 0,08 0,59 0, IPE , ,49 0,49 0,69 0,45 0,13 0,56 0, IPE , ,49 0,32 0,51 0,15 0,01 0,37 0, HEA , ,49 0,19 0,78 0,38 0,04 0,22 0, HEA , ,49 0,23 0,93 0,37 0,05 0,26 0, HEB , ,49 0,19 0,66 0,38 0,06 0,22 0, HEB , ,49 0,21 0,71 0,55 0,11 0,24 1, HEA , ,49 0,33 0,95 0,49 0,14 0,38 0, IPE , ,49 0,38 0,56 0,11 0,00 0,44 0, HEA , ,49 0,23 0,93 0,28 0,03 0,26 0, HEB , ,49 0,17 0,63 0,39 0,04 0,20 0, HEB , ,49 0,19 0,69 0,42 0,05 0,22 1, HEB , ,49 0,24 0,81 0,44 0,08 0,28 0, HEA , ,49 0,42 0,68 0,35 0,07 0,49 0, HEA , ,49 0,15 0,64 0,22 0,01 0,17 0, HEB , ,49 0,17 0,63 0,26 0,02 0,20 0, HEB , ,49 0,19 0,69 0,28 0,03 0,22 0, HEB , ,49 0,21 0,73 0,35 0,04 0,25 0, HEB , ,49 0,26 0,72 0,38 0,05 0,30 0, HEB , ,49 0,41 0,51 0,28 0,04 0,47 0,84 103

130 Anexo A. Resultados do estudo com secções comerciais Quadro A.6: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo B. Verificações Classe 3 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 τ Ed /(f y / 3)<1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,03 0,01 0,32 0, IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,13 0,04 0,32 0, IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,27 0,09 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,53 0,17 0,32 0, IPE , ,49 0,23 0,38 0,59 0,27 0,40 0, IPE , ,49 0,27 0,41 0,62 0,36 0,46 0, IPE , ,1 5,7 0,49 0,19 0,34 0,13 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,23 0,38 0,29 0,03 0,40 0, HEA , ,49 0,10 0,46 0,62 0,11 0,17 0, HEA , ,49 0,15 0,61 0,59 0,12 0,25 0, IPE , ,49 0,34 0,52 0,41 0,08 0,59 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,67 0,26 0,33 0, IPE , ,49 0,21 0,37 0,17 0,01 0,37 0, HEA , ,49 0,15 0,61 0,29 0,03 0,25 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,41 0,05 0,26 0, HEA , ,49 0,18 0,75 0,47 0,07 0,31 0, HEA , ,49 0,21 0,81 0,45 0,10 0,37 0, HEA , ,49 0,22 0,68 0,54 0,14 0,38 0, IPE , ,49 0,25 0,40 0,13 0,00 0,44 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,31 0,03 0,26 0, HEA , ,49 0,18 0,75 0,35 0,04 0,31 0, HEA , ,49 0,21 0,78 0,33 0,05 0,35 0, HEB , ,49 0,16 0,58 0,50 0,08 0,28 0, HEA , ,49 0,28 0,48 0,38 0,07 0,49 0, HEA , ,49 0,10 0,46 0,25 0,01 0,17 0, HEA , ,49 0,18 0,75 0,23 0,02 0,31 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,27 0,03 0,33 0, HEB , ,49 0,14 0,52 0,39 0,04 0,25 0, HEB , ,49 0,18 0,52 0,42 0,05 0,30 0, HEB , ,49 0,27 0,37 0,32 0,04 0,47 0,86 Quadro A.7: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo C. Classe 1 Apoio Momento Fletor Verificaões Esforço Transverso Comb. Esf. Transverso com Mom. Fletor Encurvadura Lateral P L Perfil A b d tw tf α Alma Banzo M ed/m c,rd<1 M ed/m c,rd<1 V ed/v c,rd<1 (h w/t w)/72ε<1 M V,Rd/M c,rd<1 M ed/m b,rd<1 [kn/m] [m] [cm2] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,49 0,32 0,54 0,01 0,00 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,04 0,02 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,08 0,04 0,09 0,32 0,86 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,15 0,08 0,17 0,32 0,91 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,38 0,19 0,43 0,32 1,00 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,77 0,38 0,87 0,32 0,89 0, IPE , ,49 0,32 0,54 0,19 0,10 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,49 0,40 0,59 0,43 0,21 0,13 0,40 0,89 0, HEA , ,49 0,17 0,71 0,91 0,46 0,56 0,17 1,00 0, HEA , ,49 0,25 0,95 0,87 0,44 0,62 0,25 1,00 0, IPE , ,76 0,61 0,80 0,47 0,24 0,34 0,62 0,98 0, IPE , ,49 0,58 0,76 0,58 0,29 0,55 0,58 1,00 0, IPE , ,49 0,43 0,63 0,24 0,12 0,04 0,44 0,82 0, HEB , ,49 0,20 0,67 0,62 0,31 0,24 0,20 0,98 0, HEB , ,49 0,19 0,70 0,86 0,43 0,38 0,20 1,00 0, HEB , ,49 0,24 0,79 0,73 0,37 0,44 0,24 1,00 0, HEA , ,49 0,39 1,00 0,73 0,36 0,60 0,39 1,00 0, HEB , ,49 0,37 0,66 0,76 0,38 0,65 0,37 0,99 0, HEA , ,49 0,25 0,95 0,39 0,20 0,09 0,25 0,96 0, HEB , ,49 0,22 0,77 0,53 0,27 0,20 0,22 0,98 0, HEB , ,49 0,25 0,81 0,65 0,32 0,29 0,25 0,99 0, HEB , ,49 0,28 0,91 0,73 0,36 0,41 0,28 1,00 0, HEB , ,49 0,47 0,57 0,53 0,27 0,31 0,47 0,98 0, HEB , ,49 0,20 0,67 0,49 0,25 0,10 0,20 0,96 0, HEB , ,49 0,25 0,81 0,58 0,29 0,19 0,25 0,98 0, HEB , ,49 0,28 0,91 0,65 0,32 0,28 0,28 0,99 0, HEB , ,49 0,40 0,61 0,50 0,25 0,22 0,40 0,96 0, Vão 104

131 Anexo A. Resultados do estudo com secções comerciais Quadro A.8: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo C. Classe 2 Apoio Momento Fletor Verificações P L Perfil A b d tw tf α Alma Banzo M ed/m c,rd<1 M ed/m c,rd<1 V ed/v c,rd<1 (h w/t w)/72ε<1 M V,Rd/M c,rd<1 M ed/m b,rd<1 [kn/m] [m] [cm2] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,49 0,28 0,48 0,01 0,00 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,04 0,02 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,08 0,04 0,09 0,32 0,86 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,15 0,08 0,17 0,32 0,91 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,38 0,19 0,43 0,32 1,00 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,77 0,38 0,87 0,32 0,89 0, IPE , ,49 0,28 0,48 0,19 0,10 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,49 0,35 0,54 0,43 0,21 0,13 0,40 0,89 0, HEA , ,49 0,15 0,64 0,91 0,46 0,56 0,17 1,00 0, HEA , ,49 0,22 0,86 0,87 0,44 0,62 0,25 1,00 0, IPE , ,76 0,53 0,72 0,47 0,24 0,34 0,62 0,98 0, IPE , ,49 0,50 0,69 0,58 0,29 0,55 0,58 1,00 0, IPE , ,49 0,38 0,56 0,24 0,12 0,04 0,44 0,82 0, HEA , ,49 0,22 0,93 0,62 0,31 0,25 0,26 0,98 0, HEB , ,49 0,17 0,63 0,86 0,43 0,38 0,20 1,00 0, HEB , ,49 0,21 0,71 0,73 0,37 0,44 0,24 1,00 0, HEA , ,49 0,34 0,90 0,73 0,36 0,60 0,39 1,00 0, HEB , ,49 0,32 0,59 0,76 0,38 0,65 0,37 0,99 0, HEA , ,49 0,22 0,86 0,39 0,20 0,09 0,25 0,96 0, HEB , ,49 0,19 0,69 0,53 0,27 0,20 0,22 0,98 0, HEB , ,49 0,21 0,73 0,65 0,32 0,29 0,25 0,99 0, HEB , ,49 0,25 0,82 0,73 0,36 0,41 0,28 1,00 0, HEB , ,49 0,41 0,51 0,53 0,27 0,31 0,47 0,98 0, HEB , ,49 0,17 0,60 0,49 0,25 0,10 0,20 0,96 0, HEB , ,49 0,21 0,73 0,58 0,29 0,19 0,25 0,98 0, HEA , ,49 0,35 0,82 0,47 0,24 0,19 0,41 0,96 0, HEB , ,49 0,35 0,55 0,50 0,25 0,22 0,40 0,96 0, Vão Esforço Transverso Comb. Esf. Transverso com Mom. Fletor Encurvadura Lateral Quadro A.9: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo C. Verificações Classe 3 Apoio Momento Fletor Vão Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfis A b d t w t f α Alma Banzo M ed/m c,rd<1 M ed/m c,rd<1 τ Ed/(f y/ 3)<1 (h w/t w)/72ε<1 M ed/m b,rd<1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,01 0,00 0,01 0,32 0, IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,04 0,02 0,04 0,32 0, IPE , ,1 6 0,49 0,19 0,34 0,09 0,04 0,09 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,18 0,09 0,17 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,44 0,22 0,43 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,89 0,44 0,87 0,32 0, IPE , ,1 5,7 0,49 0,19 0,34 0,22 0,11 0,04 0,32 0, IPE , ,49 0,23 0,38 0,49 0,24 0,13 0,40 0, HEA , ,49 0,10 0,46 1,04 0,52 0,56 0,17 0, HEA , ,49 0,15 0,61 0,98 0,49 0,62 0,25 0, HEB , ,49 0,11 0,45 1,22 0,61 0,95 0,20 0, IPE , ,49 0,34 0,49 0,66 0,33 0,55 0,58 0, IPE , ,49 0,25 0,40 0,28 0,14 0,04 0,44 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,69 0,34 0,25 0,26 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,59 0,29 0,30 0,33 0, HEA , ,49 0,21 0,78 0,72 0,36 0,47 0,35 0, HEA , ,49 0,23 0,64 0,80 0,40 0,60 0,39 0, HEA , ,49 0,35 0,45 0,63 0,32 0,54 0,61 0, HEA , ,49 0,15 0,61 0,44 0,22 0,09 0,25 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,50 0,25 0,19 0,33 0, HEB , ,49 0,14 0,52 0,73 0,36 0,29 0,25 0, HEB , ,49 0,16 0,59 0,81 0,41 0,41 0,28 0, HEB , ,49 0,27 0,37 0,60 0,30 0,31 0,47 0, HEB , ,49 0,11 0,43 0,56 0,28 0,10 0,20 0, HEB , ,49 0,14 0,52 0,65 0,32 0,19 0,25 0, HEB , ,49 0,16 0,59 0,72 0,36 0,28 0,28 0, HEB , ,49 0,23 0,39 0,57 0,28 0,22 0,40 0,

132 Anexo A. Resultados do estudo com secções comerciais Quadro A.10: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 1 para o Modelo D. Verificaões Classe 1 Momento Fletor Esforço Transverso Comb. Esf. Transverso com Mom. Flector Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed/m c,rd<1 V ed/v c,rd<1 (h w/t w)/72ε<1 M V,Rd/M c,rd<1 M ed/m b,rd<1 [kn] [m] [cm2] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,01 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,06 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,12 0,09 0,32 0,86 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,23 0,17 0,32 0,91 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,58 0,43 0,32 1,00 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,40 0,59 0,51 0,53 0,40 1,00 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,06 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,29 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,40 0,59 0,26 0,05 0,40 0,83 0, HEA , ,49 0,17 0,71 0,55 0,22 0,17 0,99 0, IPE , ,4 6,2 9,8 0,49 0,53 0,70 0,31 0,12 0,53 0,88 0, HEB , ,49 0,19 0,70 0,64 0,38 0,20 1,00 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,32 0,54 0,12 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,2 5 7,4 0,49 0,43 0,63 0,18 0,02 0,44 0,81 0, HEA , ,49 0,22 0,86 0,38 0,09 0,22 0,96 0, HEB , ,49 0,20 0,67 0,37 0,10 0,20 0,96 0, HEB , ,5 14 0,49 0,21 0,74 0,47 0,15 0,22 0,97 0, HEB , ,49 0,25 0,81 0,43 0,19 0,25 0,98 0, IPE , ,4 4,4 6,3 0,49 0,37 0,57 0,11 0,01 0,37 0,80 0, HEA , ,49 0,22 0,86 0,29 0,04 0,22 0,95 0, HEB , ,49 0,20 0,67 0,28 0,05 0,20 0,95 0, HEB , ,49 0,19 0,70 0,39 0,08 0,20 0,96 0, HEB , ,5 16 0,49 0,24 0,79 0,41 0,11 0,24 0,96 0, HEB , ,5 18 0,49 0,28 0,90 0,44 0,15 0,28 0,97 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,40 0,59 0,10 0,01 0,40 0,79 0, HEB , ,5 11 0,49 0,17 0,62 0,28 0,03 0,17 0,95 0, HEB , ,49 0,19 0,70 0,26 0,04 0,20 0,95 0, HEB , ,49 0,22 0,77 0,28 0,05 0,22 0,95 0, HEB , ,5 0,49 0,26 0,86 0,35 0,09 0,27 0,96 0, HEB , ,5 0,49 0,30 0,81 0,38 0,11 0,30 0,95 0,96 Quadro A.11: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 2 para o Modelo D. Classe 2 Momento Fletor Verificações Esforço Transverso Comb. Esf. Transverso com Mom. Fletor Encurvadura Lateral P L Perfil A b d tw tf α Alma Banzo M ed/m c,rd<1 V ed/v c,rd<1 (h w/t w)/72ε<1 M V,Rd/M c,rd<1 M ed/m b,rd<1 [kn] [m] [cm2] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,01 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,06 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,12 0,09 0,32 0,86 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,23 0,17 0,32 0,91 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,58 0,43 0,32 1,00 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,35 0,54 0,51 0,53 0,40 1,00 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,06 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,29 0,04 0,32 0,83 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,35 0,54 0,26 0,05 0,40 0,83 0, HEA , ,49 0,15 0,64 0,55 0,22 0,17 0,99 0, HEA , ,49 0,22 0,93 0,46 0,25 0,26 0,98 0, HEB , ,49 0,17 0,63 0,64 0,38 0,20 1,00 0, IPE , ,6 4,1 5,7 0,49 0,28 0,48 0,12 0,01 0,32 0,80 0, IPE , ,2 5 7,4 0,49 0,38 0,56 0,18 0,02 0,44 0,81 0, HEA , ,49 0,19 0,78 0,38 0,09 0,22 0,96 0, HEA , ,49 0,22 0,93 0,37 0,10 0,26 0,96 0, HEB , ,5 14 0,49 0,19 0,66 0,47 0,15 0,22 0,97 0, HEB , ,49 0,21 0,73 0,43 0,19 0,25 0,98 0, IPE , ,4 4,4 6,3 0,49 0,32 0,51 0,11 0,01 0,37 0,80 0, HEA , ,49 0,19 0,78 0,29 0,04 0,22 0,95 0, HEA , ,49 0,22 0,93 0,28 0,05 0,26 0,95 0, HEB , ,49 0,17 0,63 0,39 0,08 0,20 0,96 0, HEB , ,5 16 0,49 0,21 0,71 0,41 0,11 0,24 0,96 0, HEB , ,5 18 0,49 0,24 0,81 0,44 0,15 0,28 0,97 0, IPE , ,2 4,7 6,9 0,49 0,35 0,54 0,10 0,01 0,40 0,79 0, HEB , ,5 11 0,49 0,15 0,56 0,28 0,03 0,17 0,95 0, HEB , ,49 0,17 0,63 0,26 0,04 0,20 0,95 0, HEB , ,49 0,19 0,69 0,28 0,05 0,22 0,95 0, HEB , ,5 0,49 0,23 0,77 0,35 0,09 0,27 0,96 0, HEB , ,5 0,49 0,26 0,72 0,38 0,11 0,30 0,95 0,96 106

133 Anexo A. Resultados do estudo com secções comerciais Quadro A.12: Resultados da secções comerciais ótimas de classe 3 para o Modelo D. Verificações Classe 3 Momento Flector Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L Perfil A b d t w t f α Alma Banzo M ed/m c,rd<1 τ Ed/(f y/ 3)<1 (h w/t w)/72ε<1 M ed/m b,rd<1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 IPE , ,49 0,19 0,34 0,01 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,07 0,04 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,13 0,09 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,27 0,17 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,66 0,43 0,32 0, IPE , ,49 0,23 0,38 0,59 0,53 0,40 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,07 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,33 0,04 0,32 0, IPE , ,7 6,9 0,49 0,23 0,38 0,29 0,05 0,40 0, HEA , ,49 0,10 0,46 0,62 0,22 0,17 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,52 0,25 0,26 0, HEA , ,49 0,18 0,75 0,58 0,36 0,31 0, IPE , ,49 0,19 0,34 0,13 0,01 0,32 0, IPE , ,49 0,25 0,40 0,21 0,02 0,44 0, HEA , ,49 0,13 0,56 0,43 0,09 0,22 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,41 0,10 0,26 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,44 0,15 0,33 0, HEA , ,49 0,21 0,81 0,45 0,20 0,37 0, IPE , ,49 0,21 0,37 0,13 0,01 0,37 0, HEA , ,49 0,13 0,56 0,32 0,04 0,22 0, HEA , ,49 0,15 0,66 0,31 0,05 0,26 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,26 0,06 0,33 0, HEB , ,49 0,14 0,51 0,46 0,11 0,24 0, HEA , ,49 0,22 0,68 0,41 0,14 0,38 0, IPE , ,49 0,23 0,38 0,12 0,01 0,40 0, HEB , ,49 0,10 0,40 0,32 0,03 0,17 0, HEA , ,49 0,18 0,75 0,23 0,04 0,31 0, HEA , ,49 0,19 0,75 0,27 0,05 0,33 0, HEB , ,49 0,15 0,55 0,40 0,09 0,27 0, HEA , ,49 0,26 0,53 0,31 0,08 0,45 0,99 107

134

135 Anexo B Resultados do estudo paramétrico No presente anexo apresentam-se os resultados obtidos na optimização das secções de viga pelos Algoritmos Genéticos. Quadro B.1: Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo A. Verificações Classe 1 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,50 0,94 0,02 0,01 0,50 0, , ,76 0,50 0,94 0,10 0,05 0,50 0, , ,76 0,50 0,94 0,20 0,10 0,50 0, , ,76 0,50 0,94 0,40 0,21 0,50 0, , ,49 0,50 0,66 0,60 0,52 0,50 0, , ,49 0,66 0,85 0,71 0,80 0,66 0, , ,49 0,50 0,90 0,23 0,05 0,50 0, , ,49 0,52 0,33 0,47 0,25 0,52 0, , ,49 0,90 0,64 0,41 0,29 0,90 1, , ,49 0,99 0,81 0,51 0,53 0,99 0, , ,49 0,77 0,74 0,67 0,96 0,77 1, , ,76 0,90 0,19 0,45 0,53 0,90 1, , ,49 0,51 0,54 0,34 0,10 0,51 1, , ,76 0,97 0,13 0,35 0,27 0,97 1, , ,49 0,66 0,70 0,46 0,28 0,66 0, , ,49 0,96 0,98 0,47 0,39 0,96 1, , ,49 0,99 0,44 0,61 0,95 0,99 1, , ,49 0,79 0,56 0,53 0,49 0,79 1, , ,76 0,29 0,07 0,26 0,05 0,29 1, , ,49 0,98 0,23 0,45 0,40 0,98 0, , ,49 0,99 0,28 0,47 0,45 0,99 0, , ,49 0,96 0,40 0,53 0,59 0,96 1, , ,49 1,00 0,72 0,47 0,44 1,00 1, , ,49 0,69 0,86 0,46 0,29 0,69 1, , ,49 0,05 0,74 0,52 0,02 0,05 0, , ,49 0,69 0,41 0,61 0,76 0,69 1, , ,49 0,98 0,39 0,45 0,39 0,98 1, , ,49 0,66 0,73 0,43 0,24 0,66 0, , ,49 1,00 0,99 0,58 0,74 1,00 0,

136 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.2: Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo A. Verificações Classe 2 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,43 0,85 0,02 0,01 0,50 0, , ,76 0,43 0,85 0,10 0,05 0,50 0, , ,76 0,43 0,85 0,20 0,10 0,50 0, , ,76 0,43 0,85 0,40 0,21 0,50 0, , ,49 0,43 0,85 0,65 0,52 0,50 0, , ,76 0,46 0,23 0,63 1,00 0,53 0, , ,49 0,43 0,42 0,23 0,05 0,50 0, , ,49 0,51 0,34 0,43 0,22 0,59 1, , ,49 0,70 0,36 0,44 0,32 0,81 1, , ,49 0,80 0,88 0,55 0,57 0,92 0, , ,76 0,71 0,14 0,56 0,91 0,82 1, , ,49 0,78 0,72 0,56 0,54 0,90 0, , ,49 0,47 0,58 0,33 0,10 0,54 1, , ,49 0,84 0,48 0,40 0,27 0,97 1, , ,49 0,63 0,17 0,59 0,72 0,73 1, , ,49 0,68 0,24 0,60 0,75 0,79 1, , ,49 0,49 0,46 0,69 0,86 0,56 1, , ,49 0,87 0,53 0,57 0,74 1,00 1, , ,49 0,54 0,64 0,35 0,13 0,63 1, , ,49 0,69 0,17 0,51 0,50 0,79 1, , ,49 0,85 0,27 0,48 0,45 0,98 1, , ,49 0,78 0,33 0,49 0,44 0,90 1, , ,49 0,83 0,68 0,53 0,58 0,95 1, , ,49 0,85 0,74 0,48 0,43 0,98 1, , ,76 0,70 0,14 0,28 0,13 0,80 1, , ,49 0,53 0,29 0,37 0,16 0,61 1, , ,49 0,85 0,36 0,39 0,27 0,98 1, , ,49 0,80 0,64 0,48 0,42 0,92 1, , ,49 0,79 0,85 0,49 0,43 0,91 1,

137 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.3: Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo A. Verificações Classe 3 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 τ Ed /(f y / 3)<1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,29 0,61 0,00 0,01 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,00 0,05 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,00 0,10 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,01 0,21 0,50 0, , ,49 0,36 0,86 0,01 0,42 0,62 0, , ,49 0,33 0,35 0,01 0,92 0,57 0, , ,49 0,29 0,61 0,00 0,05 0,50 0, , ,49 0,42 0,70 0,01 0,18 0,72 1, , ,49 0,57 0,94 0,00 0,27 0,98 0, , ,49 0,44 0,95 0,00 0,25 0,77 0, , ,49 0,40 0,72 0,00 0,35 0,68 1, , ,49 0,56 0,79 0,00 0,50 0,97 0, , ,49 0,29 0,55 0,01 0,10 0,50 0, , ,49 0,58 0,52 0,00 0,26 1,00 0, , ,49 0,50 0,90 0,00 0,34 0,86 0, , ,49 0,55 0,72 0,00 0,40 0,94 1, , ,49 0,44 0,26 0,00 0,64 0,76 1, , ,49 0,48 0,38 0,00 0,47 0,83 1, , ,49 0,37 0,80 0,01 0,12 0,63 1, , ,49 0,53 0,13 0,00 0,43 0,92 1, , ,49 0,56 0,97 0,00 0,21 0,96 1, , ,49 0,57 0,30 0,00 0,40 0,98 0, , ,49 0,57 0,38 0,00 0,45 0,98 1, , ,49 0,58 0,73 0,00 0,71 1,00 1, , ,49 0,22 0,45 0,00 0,05 0,38 1, , ,49 0,09 0,88 0,00 0,04 0,16 1, , ,49 0,53 0,33 0,00 0,65 0,92 1, , ,49 0,57 0,39 0,00 0,39 0,98 1, , ,49 0,34 0,68 0,00 0,22 0,58 1, , ,49 0,58 0,95 0,00 0,42 0,99 1,00 111

138 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.4: Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo B. Verificações Classe 1 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,50 0,94 0,04 0,01 0,50 0, , ,76 0,50 0,94 0,20 0,05 0,50 0, , ,76 0,50 0,94 0,40 0,10 0,50 0, , ,76 0,76 0,98 0,44 0,14 0,76 0, , ,76 0,87 0,72 0,58 0,30 0,87 0, , ,76 0,28 0,39 0,67 0,27 0,28 1, , ,76 0,50 0,75 0,15 0,01 0,50 0, , ,49 0,58 0,60 0,31 0,05 0,58 1, , ,49 0,58 0,44 0,42 0,09 0,58 0, , ,49 0,47 0,33 0,51 0,12 0,47 1, , ,76 0,85 0,08 0,42 0,17 0,85 1, , ,49 0,72 0,50 0,58 0,26 0,72 1, , ,49 0,25 0,56 0,17 0,01 0,25 0, , ,49 0,52 0,26 0,35 0,05 0,52 0, , ,49 0,67 0,44 0,39 0,08 0,67 1, , ,49 0,92 0,38 0,40 0,11 0,92 1, , ,49 0,66 0,19 0,66 0,40 0,66 1, , ,49 0,70 0,33 0,76 0,75 0,70 1, , ,49 0,50 0,45 0,18 0,01 0,50 0, , ,49 0,34 0,51 0,33 0,03 0,34 0, , ,49 0,72 0,39 0,37 0,07 0,72 1, , ,49 0,95 0,65 0,40 0,11 0,95 1, , ,49 0,92 0,24 0,55 0,29 0,92 1, , ,49 0,81 0,41 0,63 0,36 0,81 1, , ,76 0,50 0,16 0,16 0,01 0,50 0, , ,49 0,06 0,91 0,48 0,01 0,06 1, , ,76 0,64 0,13 0,35 0,08 0,64 1, , ,49 0,07 0,55 0,51 0,01 0,07 0, , ,49 0,99 0,31 0,53 0,27 0,99 1, , ,49 0,98 0,52 0,56 0,30 0,98 0,99 112

139 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.5: Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo B. Verifiações Classe 2 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd < , ,76 0,23 0,85 0,04 0,01 0,50 0, , ,76 0,23 0,85 0,20 0,05 0,50 0, , ,76 0,23 0,85 0,40 0,10 0,50 0, , ,76 0,35 0,88 0,42 0,13 0,78 0, , ,76 0,23 0,23 0,66 0,52 0,50 0, , ,76 0,40 0,59 0,71 0,59 0,89 1, , ,76 0,23 0,36 0,10 0,01 0,50 0, , ,49 0,23 0,43 0,34 0,05 0,51 0, , ,49 0,28 0,39 0,40 0,09 0,62 1, , ,49 0,42 0,57 0,38 0,11 0,93 0, , ,49 0,40 0,85 0,58 0,29 0,89 1, , ,49 0,37 0,89 0,64 0,36 0,83 1, , ,76 0,23 0,35 0,17 0,01 0,50 0, , ,49 0,25 0,27 0,34 0,05 0,55 1, , ,49 0,30 0,27 0,39 0,08 0,66 0, , ,49 0,44 0,34 0,38 0,11 0,97 1, , ,49 0,41 0,66 0,46 0,16 0,90 1, , ,49 0,44 0,87 0,42 0,13 0,98 1, , ,49 0,24 0,92 0,18 0,01 0,52 1, , ,49 0,32 0,46 0,28 0,04 0,70 1, , ,49 0,37 0,45 0,34 0,07 0,81 1, , ,49 0,41 0,53 0,41 0,12 0,91 1, , ,49 0,44 0,22 0,53 0,27 0,98 1, , ,49 0,45 0,32 0,56 0,30 0,99 1, , ,49 0,09 0,99 0,19 0,00 0,19 1, , ,49 0,29 0,74 0,31 0,04 0,65 1, , ,49 0,04 0,64 0,38 0,01 0,09 0, , ,49 0,36 0,18 0,43 0,13 0,80 1, , ,49 0,44 0,30 0,54 0,27 0,98 1, , ,49 0,43 0,33 0,43 0,14 0,95 1,00 113

140 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.6: Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo B. Verificações Classe 3 Momento Fletor Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 τ Ed /(f y / 3)<1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,29 0,61 0,05 0,01 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,23 0,05 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,46 0,10 0,50 0, , ,76 0,29 0,39 0,58 0,21 0,51 0, , ,76 0,52 0,28 0,55 0,29 0,90 0, , ,76 0,45 0,53 0,60 0,24 0,78 0, , ,49 0,29 0,85 0,18 0,01 0,50 0, , ,49 0,29 0,30 0,39 0,05 0,51 1, , ,49 0,56 0,99 0,32 0,05 0,97 1, , ,49 0,56 0,50 0,40 0,11 0,97 1, , ,49 0,57 0,63 0,55 0,27 0,98 0, , ,49 0,57 0,73 0,53 0,19 0,99 0, , ,49 0,29 0,69 0,18 0,01 0,50 0, , ,49 0,32 0,27 0,38 0,05 0,56 1, , ,49 0,41 0,29 0,41 0,07 0,71 1, , ,49 0,51 0,33 0,45 0,12 0,87 1, , ,49 0,46 0,13 0,63 0,33 0,79 0, , ,49 0,58 0,64 0,48 0,19 1,00 0, , ,49 0,29 0,40 0,19 0,01 0,50 0, , ,49 0,38 0,22 0,33 0,04 0,65 1, , ,49 0,44 0,43 0,39 0,07 0,77 1, , ,49 0,56 0,38 0,42 0,11 0,96 1, , ,49 0,57 0,19 0,54 0,27 0,98 0, , ,49 0,46 0,24 0,44 0,12 0,79 0, , ,49 0,22 0,53 0,19 0,01 0,38 0, , ,49 0,38 0,50 0,30 0,04 0,66 0, , ,49 0,43 0,38 0,37 0,07 0,74 0, , ,49 0,54 0,80 0,41 0,11 0,92 0, , ,49 0,08 0,75 0,48 0,02 0,14 0, , ,49 0,07 0,28 0,53 0,03 0,13 0,91 114

141 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.7: Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo C. Classe 1 Apoio Momento Fletor Verificações P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M V,Rd /M c,rd <1 M ed /M b,rd <1 [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,50 0,94 0,01 0,01 0,01 0,50 0,69 0, , ,76 0,50 0,94 0,07 0,03 0,05 0,50 0,74 0, , ,76 0,50 0,94 0,13 0,07 0,10 0,50 0,80 0, , ,76 0,50 0,94 0,26 0,13 0,21 0,50 0,89 0, , ,76 0,55 0,60 0,38 0,19 0,48 0,55 1,00 0, , ,49 0,52 0,63 0,58 0,29 1,00 0,53 0,84 0, , ,49 0,50 0,53 0,18 0,09 0,05 0,50 0,86 0, , ,49 0,51 0,48 0,57 0,28 0,26 0,51 0,97 0, , ,49 0,50 0,31 0,79 0,40 0,52 0,51 1,00 0, , ,49 0,55 0,30 0,99 0,49 0,95 0,55 0,95 1, , ,76 0,74 0,14 0,51 0,26 1,00 0,74 0,95 0, , ,76 0,97 0,20 0,44 0,22 0,97 0,97 0,93 0, , ,49 0,50 0,74 0,25 0,13 0,10 0,50 0,96 0, , ,49 0,50 0,29 0,85 0,42 0,52 0,50 1,00 1, , ,49 0,64 0,40 0,91 0,46 0,82 0,64 0,98 1, , ,49 0,70 0,61 0,84 0,42 0,85 0,70 0,98 0, , ,49 0,71 0,38 0,49 0,24 0,68 0,71 0,99 0, , ,49 0,54 0,47 0,53 0,26 0,72 0,54 0,99 0, , ,49 0,66 0,56 0,27 0,14 0,12 0,66 0,97 0, , ,49 0,71 0,49 0,76 0,38 0,55 0,71 1,00 1, , ,49 0,88 0,76 0,82 0,41 0,89 0,88 0,98 1, , ,49 0,62 0,21 0,96 0,48 0,91 0,62 0,97 1, , ,49 0,89 0,74 0,47 0,24 0,81 0,89 0,98 0, , ,49 0,96 0,95 0,43 0,21 0,74 0,96 0,99 0, , ,76 0,54 0,12 0,32 0,16 0,19 0,55 0,99 0, , ,49 0,09 0,94 0,48 0,24 0,04 0,09 0,76 0, , ,49 0,38 0,52 0,69 0,35 0,99 0,38 0,99 0, , ,49 0,97 0,55 0,48 0,24 0,78 0,97 0,99 0, , ,49 0,84 0,94 0,37 0,19 0,46 0,85 1,00 0, , ,49 0,36 1,00 0,32 0,16 0,16 0,36 0,89 0,50 Vão Esforço Transverso Comb. Esf. Transv. com Mom. Fletor Encurvadura Lateral 115

142 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.8: Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo C. Verifições Classe 2 Apoio Momento Fletor Vão Esforço Transverso Comb. Esf. Transv. com Mom. Fletor Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] Alma Banzo M ed /M c,rd <1 M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M V,Rd /M c,rd <1 M ed /M b,rd < , ,76 0,43 0,85 0,01 0,01 0,01 0,50 0,69 0, , ,76 0,43 0,85 0,07 0,03 0,05 0,50 0,74 0, , ,76 0,43 0,85 0,13 0,07 0,10 0,50 0,80 0, , ,76 0,43 0,85 0,26 0,13 0,21 0,50 0,89 0, , ,76 0,43 0,39 0,32 0,16 0,52 0,50 1,00 0, , ,49 0,46 0,44 0,55 0,27 1,00 0,53 0,85 0, , ,76 0,43 0,36 0,17 0,08 0,05 0,50 0,87 0, , ,76 0,51 0,23 0,47 0,23 0,22 0,59 0,96 0, , ,49 0,50 0,86 0,43 0,22 0,45 0,58 1,00 0, , ,76 0,56 0,07 0,50 0,25 0,81 0,65 0,98 0, , ,49 0,10 0,74 0,64 0,32 0,17 0,11 0,84 0, , ,49 0,12 0,75 0,61 0,30 0,23 0,14 0,90 0, , ,76 0,43 0,14 0,27 0,13 0,10 0,50 0,96 0, , ,49 0,50 0,26 0,76 0,38 0,46 0,58 1,00 0, , ,49 0,07 0,66 0,44 0,22 0,05 0,08 0,62 0, , ,49 0,07 0,94 0,66 0,33 0,09 0,08 0,77 0, , ,49 0,77 0,36 0,43 0,22 0,74 0,89 0,99 0, , ,49 0,29 0,44 0,49 0,24 0,39 0,33 0,99 0, , ,49 0,47 0,33 0,33 0,16 0,14 0,55 0,98 0, , ,49 0,71 0,44 0,68 0,34 0,48 0,82 1,00 1, , ,49 0,83 0,20 0,51 0,26 0,83 0,95 0,99 0, , ,49 0,57 0,29 0,58 0,29 0,86 0,66 0,99 0, , ,49 0,86 0,55 0,44 0,22 0,73 0,99 0,99 0, , ,49 0,76 0,95 0,43 0,21 0,67 0,88 0,99 0, , ,49 0,50 0,83 0,35 0,17 0,18 0,58 0,99 0, , ,49 0,63 0,27 0,53 0,27 0,72 0,73 1,00 0, , ,49 0,69 0,33 0,53 0,26 0,74 0,80 1,00 0, , ,49 0,85 0,56 0,48 0,24 0,77 0,98 0,99 0, , ,49 0,73 0,76 0,38 0,19 0,47 0,84 1,00 0, ,49 0,35 1,00 0,34 0,17 0,19 0,40 0,92 0,50 116

143 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.9: Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo C. Verificações Classe 3 Apoio Momento Fletor Vão Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f [kn/m] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 M ed /M c,rd <1 τ Ed /(f y / 3)<1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd < , ,76 0,29 0,61 0,02 0,01 0,01 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,08 0,04 0,05 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,15 0,08 0,10 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,31 0,15 0,21 0,50 0, , ,49 0,29 0,57 0,51 0,26 0,52 0,50 0, , ,76 0,31 0,17 0,48 0,24 0,99 0,53 0, , ,76 0,29 0,26 0,19 0,10 0,05 0,50 0, , ,49 0,29 0,24 0,66 0,33 0,26 0,50 0, , ,49 0,29 0,20 0,90 0,45 0,52 0,50 0, , ,49 0,36 0,19 0,99 0,49 0,85 0,62 1, , ,49 0,58 0,89 0,47 0,24 0,74 1,00 0, , ,49 0,32 0,77 0,45 0,22 0,35 0,55 0, , ,49 0,29 0,28 0,32 0,16 0,10 0,50 0, , ,49 0,33 0,19 0,85 0,43 0,46 0,57 1, , ,49 0,56 0,25 0,71 0,35 0,55 0,96 1, , ,76 0,55 0,07 0,72 0,36 0,62 0,95 1, , ,49 0,18 0,25 0,69 0,34 0,64 0,31 0, , ,49 0,34 0,38 0,61 0,30 1,00 0,58 0, , ,49 0,34 0,32 0,34 0,17 0,14 0,58 0, , ,49 0,50 0,32 0,71 0,36 0,46 0,86 1, , ,49 0,48 0,13 0,95 0,48 0,96 0,82 0, , ,49 0,55 0,17 0,91 0,46 0,94 0,95 0, , ,49 0,48 0,47 0,54 0,27 0,88 0,82 0, , ,49 0,55 0,65 0,39 0,20 0,52 0,96 0, , ,49 0,33 0,38 0,40 0,20 0,19 0,57 0, , ,49 0,56 0,18 0,49 0,25 0,55 0,96 0, , ,49 0,42 0,23 0,61 0,31 0,81 0,73 0, , ,49 0,52 0,33 0,42 0,21 0,43 0,89 0, , ,49 0,53 0,72 0,37 0,19 0,43 0,91 0, , ,49 0,56 0,95 0,43 0,21 0,58 0,97 0,50 117

144 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.10: Resultados da otimização de secções de classe 1 pelos AG para o Modelo D. Veriificações Classe 1 Momento Fletor Apoio Vão Esforço Transverso Comb. Esf. Transv. com Mom. Fletor Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M V,Rd /M c,rd <1 M ed /M b,rd <1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,50 0,94 0,02 0,02 0,01 0,50 0,67 0, , ,76 0,50 0,94 0,10 0,10 0,05 0,50 0,67 0, , ,76 0,50 0,94 0,20 0,20 0,10 0,50 0,67 0, , ,76 0,50 0,94 0,40 0,40 0,21 0,50 0,67 0, , ,76 0,50 0,40 0,51 0,51 0,52 0,50 0,83 0, , ,76 0,90 0,59 0,49 0,49 0,58 0,90 0,74 0, , ,76 0,50 0,94 0,10 0,10 0,01 0,50 0,67 0, , ,49 0,50 0,84 0,25 0,25 0,05 0,50 0,84 0, , ,49 0,51 0,47 0,35 0,35 0,10 0,51 0,88 0, , ,49 0,50 0,32 0,47 0,47 0,21 0,50 0,92 0, , ,49 0,54 0,28 0,62 0,62 0,49 0,54 0,95 1, , ,49 0,90 0,88 0,52 0,52 0,58 0,90 0,94 0, , ,49 0,30 0,80 0,12 0,12 0,01 0,30 0,66 0, , ,49 0,50 0,39 0,28 0,28 0,05 0,50 0,91 0, , ,49 0,61 0,59 0,31 0,31 0,09 0,61 0,92 0, , ,49 0,67 0,29 0,40 0,40 0,16 0,67 0,94 1, , ,49 0,09 0,49 0,59 0,59 0,06 0,09 0,79 1, , ,76 0,89 0,15 0,43 0,43 0,33 0,89 0,95 1, , ,76 0,50 0,38 0,13 0,13 0,01 0,50 0,86 0, , ,49 0,50 0,40 0,29 0,29 0,05 0,50 0,94 0, , ,49 0,52 0,33 0,37 0,37 0,10 0,52 0,96 0, , ,49 0,76 0,38 0,36 0,36 0,14 0,76 0,95 1, , ,76 0,70 0,13 0,33 0,33 0,14 0,70 0,93 1, , ,49 0,80 0,23 0,52 0,52 0,37 0,80 0,97 1, , ,76 0,39 0,26 0,12 0,12 0,01 0,39 0,86 1, , ,49 0,50 0,46 0,29 0,29 0,05 0,50 0,95 0, , ,49 0,64 0,97 0,31 0,31 0,08 0,64 0,96 1, , ,49 0,69 0,52 0,40 0,40 0,15 0,69 0,97 1, , ,49 0,69 0,18 0,53 0,53 0,38 0,69 0,98 1, , ,49 0,93 0,29 0,56 0,56 0,56 0,93 0,98 1,00 118

145 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.11: Resultados da otimização de secções de classe 2 pelos AG para o Modelo D. Classe 2 Momento Fletor Apoio Vão Verificações Esforço Transverso Comb. Esf. Transv. com Mom. Fletor Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 M ed /M c,rd <1 V ed /V c,rd <1 (h w /t w )/72ε<1 M V,Rd /M c,rd <1 M ed /M b,rd <1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,43 0,85 0,02 0,02 0,01 0,43 0,69 0, , ,76 0,43 0,85 0,10 0,10 0,05 0,43 0,74 0, , ,76 0,43 0,85 0,20 0,20 0,10 0,43 0,80 0, , ,76 0,43 0,85 0,40 0,40 0,21 0,43 0,89 0, , ,49 0,46 0,84 0,62 0,62 0,50 0,45 1,00 1, , ,76 0,72 0,28 0,46 0,46 0,63 0,71 0,99 0, , ,76 0,43 0,85 0,10 0,10 0,01 0,43 0,69 0, , ,49 0,43 0,51 0,25 0,25 0,05 0,43 0,87 0, , ,49 0,43 0,43 0,35 0,35 0,10 0,43 0,93 0, , ,49 0,46 0,33 0,46 0,46 0,20 0,45 0,97 0, , ,49 0,11 0,96 0,63 0,63 0,09 0,10 0,79 1, , ,49 0,10 0,97 0,67 0,67 0,10 0,10 0,77 0, , ,49 0,33 0,84 0,12 0,12 0,01 0,32 0,74 0, , ,49 0,45 0,35 0,27 0,27 0,05 0,45 0,92 0, , ,49 0,51 0,30 0,33 0,33 0,09 0,50 0,95 1, , ,49 0,46 0,24 0,47 0,47 0,20 0,45 0,98 1, , ,76 0,52 0,10 0,37 0,37 0,16 0,51 0,96 0, , ,76 0,74 0,12 0,37 0,37 0,22 0,73 0,97 1, , ,76 0,43 0,34 0,13 0,13 0,01 0,43 0,87 0, , ,49 0,47 0,26 0,27 0,27 0,05 0,46 0,94 0, , ,49 0,46 0,30 0,36 0,36 0,10 0,46 0,97 1, , ,49 0,61 0,35 0,39 0,39 0,15 0,60 0,98 1, , ,49 0,57 0,16 0,54 0,54 0,40 0,56 1,00 0, , ,49 0,70 0,18 0,61 0,61 0,66 0,68 1,00 0, , ,49 0,43 0,48 0,13 0,13 0,01 0,43 0,90 0, , ,49 0,43 0,21 0,28 0,28 0,05 0,43 0,96 0, , ,49 0,11 0,93 0,34 0,34 0,02 0,11 0,79 1, , ,76 0,64 0,12 0,33 0,33 0,14 0,63 0,98 1, , ,49 0,78 0,20 0,45 0,45 0,29 0,77 1,00 1, , ,49 0,26 0,23 0,50 0,50 0,13 0,25 0,96 1,00 119

146 Anexo B. Resultados do estudo paramétrico Quadro B.12: Resultados da otimização de secções de classe 3 pelos AG para o Modelo D. Verificações Classe 3 Momento Fletor Apoio Vão Esforço Transverso Encurvadura Lateral P L A b d t w t f α Alma Banzo M ed /M c,rd <1 M ed /M c,rd <1 τ Ed /(f y / 3)<1 (h w /t w )/72ε<1 M ed /M b,rd <1 [kn] [m] [cm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 1 1 6, ,76 0,29 0,61 0,02 0,02 0,01 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,12 0,12 0,05 0,50 0, , ,76 0,29 0,61 0,23 0,23 0,10 0,50 0, , ,49 0,29 0,66 0,43 0,43 0,21 0,50 0, , ,49 0,29 0,65 0,69 0,69 0,52 0,51 1, , ,76 0,50 0,61 0,48 0,48 0,35 0,86 0, , ,76 0,29 0,61 0,12 0,12 0,01 0,50 0, , ,49 0,29 0,37 0,28 0,28 0,05 0,50 0, , ,49 0,29 0,31 0,39 0,39 0,10 0,50 1, , ,49 0,29 0,18 0,52 0,52 0,21 0,50 0, , ,49 0,42 0,37 0,53 0,53 0,36 0,72 1, , ,49 0,12 0,52 0,54 0,54 0,08 0,20 1, , ,49 0,29 0,66 0,14 0,14 0,01 0,50 0, , ,49 0,29 0,25 0,31 0,31 0,05 0,50 1, , ,49 0,29 0,16 0,42 0,42 0,10 0,51 1, , ,49 0,37 0,17 0,46 0,46 0,17 0,64 1, , ,49 0,45 0,39 0,53 0,53 0,34 0,78 1, , ,49 0,52 0,94 0,33 0,33 0,15 0,89 1, , ,49 0,29 0,46 0,14 0,14 0,01 0,50 0, , ,49 0,31 0,19 0,31 0,31 0,05 0,53 1, , ,49 0,34 0,17 0,38 0,38 0,09 0,59 1, , ,49 0,51 0,24 0,35 0,35 0,12 0,88 1, , ,49 0,57 0,42 0,35 0,35 0,15 0,98 1, , ,49 0,44 0,17 0,59 0,59 0,39 0,75 1, , ,49 0,29 0,44 0,15 0,15 0,01 0,50 0, , ,49 0,37 0,41 0,26 0,26 0,04 0,63 1, , ,49 0,36 0,25 0,36 0,36 0,08 0,62 1, , ,76 0,47 0,09 0,36 0,36 0,13 0,80 1, , ,49 0,51 0,13 0,52 0,52 0,30 0,88 1, , ,49 0,16 0,16 0,51 0,51 0,10 0,28 1,00 120

147 Anexo C Otimização em MATLAB R Utilizando a Optimization Toolbox O presente anexo tem como objetivo mostrar os passos que foram seguidos na realização da otimização utilizanto a Optimization Toolbox do software comercial MATLAB R, versão (R2010a) de acordo com Cardoso e Coelho (2011). Para iniciar uma sessão Matlab basta fazer um duplo clique no ícone do Matlab, abrindo-se assim uma janela, designada por Matlab Desktop. A Figura C.1 ilustra o aspeto do ambiente Matlab, quando a sessão é iniciada. Pode-se verificar que são exibidas vária sub-janelas, que podem ser ativadas/desativadas a partir do menu principal, através da opção Desktop. Figura C.1: Janela de comandos do MATLAB. Para iniciar a Optimization Toolbox, introduz-se o comando optimtool ou " gatool" na janela de comandos (Command Window) a seguir ao prompt ( ) e prime-se Enter. Irá aparecer uma janela como a representada na Figura C

148 Anexo C. Otimização em MATLAB R Utilizando a Optimization Toolbox Figura C.2: Janela de Optimization Tool. Para escolher o algoritmo pretendido (solver), clica-se na seta e seleciona-se o algoritmo, no caso em estudo escolheu-se o ga - Genetic Algorithm (Figura C.2). Na caixa Fitness function introduz-se a função a minimizar. É introduzida a designação de um M-file que define essa mesma função sendo neste caso function o nome dado ao M-file. Em Number of variables introduz-se o número de genes do cromossoma. Para correr o algoritmo genético, clica-se em Start no separador Run solver and view results. No separador Options encontram-se as opções principais do ga - Genetic Algorithm. Na opção de população (Population) é possível especificar os parâmetros da população usados pelo algoritmo genético. A opção Double vector deve ser utilizada se os genes dos cromossomas da população forem números reais. A opção Bit string é utilizada quando os cromossomas têm genes binários. Fitness scaling é uma escala de mérito utilizada para controlar os cromossomas extraordinários na população inicial, e deste modo evitar a convergência prematura do algoritmo genético. A escala do tipo Rank baseia-se na ordenação dos indivíduos de acordo com o valor da função objetivo, a escala proporcional (Propocional) atribui um relacionamento proporcional entre o valor da função objectivo e o valor do mérito. A função de selecção (Selection function) escolhe os progenitores da geração se- 122