! XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes

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1 ! XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de , 1, 2, 3, 5 : Padrões na Formação de Professores Caio Oliveira Colégio Estadual Carneiro Ribeiro caio.oliveira166@enova.educacao.ba.gov.br Sandra Magina Universidade Estadual de Santa Cruz sandramagina@gmail.com Resumo: Esse artigo tem como objetivo discutir sobre o conceito de padrão em sequências, sob a perspectiva de um processo formativo pautado em uma intervenção híbrida. O estudo se baseou nas ideias teóricas no tocante ao raciocínio algébrico, baseado num modelo de Ensino Híbrido, pautada em situações-problema e com feedback construtivista e planejada para introduzir alguns conceitos da Álgebra (símbolos, padrão em sequência, equivalência em equações e noção funcional), envolvendo nove professoras-cursistas ingressas no segundo semestre de um curso de mestrado profissional em Educação de uma Universidade Pública da Bahia. Para efeito deste artigo, a discussão convergiu para um eixo de situação, a saber: padrão em sequência. Os resultados apontam que ao final do módulo, as professoras-cursistas avançaram no que tange ao padrão em sequências. Para elas, o ensino desse conceito possibilita o desenvolvimento do raciocínio algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Palavras-chave: Formação de professores. Early Algebra. Padrão em Sequências. INTRODUÇÃO Estudar padrões e regularidade é buscar compreender como eles se apresentam no contexto social, natural (fenômenos físicos), educacional e dentro das estruturas Matemáticas. Para alguns autores, Borralho et al (2009) a utilização dos padrões no ensino da Matemática tem a função de auxiliar a aprendizagem de Matemática significativa para os alunos. A aprendizagem referida pelos autores perpassa a compreensão do formal e específico, refere-se In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM. ISBN:!

2 a compreender conceitos relevantes para os alunos, disponíveis em sua estrutura cognitiva e assimilada pela aprendizagem. Nesse contexto, buscar padrões está associado a necessidade das informações requerida pelos alunos, para a compreensão dos movimentos e da regularidade, integrando o material à sua estrutura cognitiva. Vale et al (2007) ressaltam que padrões estão associados aos conceitos, tais como regularidade, sequência, regras e ordem. Sendo assim, compreender as sequências com que aparecem os objetos matemáticos, requer o desenvolvimento do sentido de símbolo, para tanto, as tarefas escolares assumem um papel auxiliar para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Borralho et al (2009) ressaltam a necessidade de padrões num contexto de tarefas para melhorar o desempenho dos alunos em Álgebra. As tarefas ajudam na construção do argumento algébrico exigido para os processos de deduções, intuições, construção de regularidades, representações algébricas e generalizações. Diante deste cenário, esse artigo tem como objetivo discutir sobre o conceito de padrão em sequências, sob a perspectiva de um processo formativo pautado em uma intervenção híbrida. Na próxima seção, inicia-se uma discussão sobre o conceito em questão. PADRÃO EM SEQUÊNCIAS Um dos objetivos da Matemática é encontrar os padrões existentes na natureza ou criados pelo homem. Entretanto, definir padrão se torna uma tarefa exaustiva, uma vez que esse conceito é encontrado em diversas áreas da Matemática. Nesse sentido, Ponte (2009) indaga se realmente é relevante definir o termo padrão, pois, para ele, apesar da Matemática partir da dedução de propriedades, a Educação Matemática não se baseia e nem se valida por dedução. Entretanto, Ponte (2009) apresenta uma concepção do que é padrão e regularidade, no intuito de mostrar que são termos distintos, contudo estão relacionados: Ao passo que padrão aponta sobretudo para a unidade de base que eventualmente se replica, de forma exatamente igual ou de acordo com alguma lei de formação, regularidade remete sobretudo para a relação que existe entre os diversos objetos, aquilo que é comum a todos eles ou que de algum modo os liga. (Ponte, 2009, p. 170)

3 Sendo assim, tem-se que o padrão e a regularidade são termos complementares. Ambos conceitos podem ser trabalhados em situações-problemas envolvendo sequências. Nesse sentido, discutiremos nessa seção sobre tais conceitos a partir da perspectiva de sequências. Matematicamente, podemos definir uma sequência como uma função a cujo domínio é o conjunto de números naturais N = {1, 2, 3,...}. Se n é um número natural, então o valor da função em n (a(n)) é expresso por an. Lima (2004) explica que como os números naturais são ordenados, então é possível apresentar os valores funcionais através de uma lista infinita de termos, qual seja a 1, a 2, a 3,..., a n Com isso, tem-se que a1 é o primeiro termo, a3 é o terceiro termo e an é o enésimo termo da sequência, por exemplo. Apesar dessa definição, não se discutirá o conceito de sequência sob essa perspectiva, uma vez que o intuito do nosso estudo foi subsidiar o ensino introdutório da Álgebra por meio de padrão em sequências, nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Portanto, o conceito de sequência abordado nesse artigo está relacionado com a natureza e o que é produzido pelo homem (PONTE, BRANCO, MATOS, 2009). Sendo assim, nos cabe discutir acerca de sequências a partir de dois pontos de vista, quais sejam: a maneira de representar uma sequência (representação), e, também, os tipos de sequências. No que tange a sua representação, Ponte, Branco e Matos apresentam três maneiras de representar uma sequência, a saber: (a) icônica trata-se de sequências nas quais os estudantes lançam mão do raciocínio algébrico em busca de uma generalização de padrões que estabeleçam relações com os elementos icônicos presentes na mesma; (b) numérica são sequências formadas por elementos numéricos, sejam estes discretos ou contínuos; e, por fim, (c) mista são sequências que apresentam esses dois tipos de representações. Por sua vez, no concerne dos tipos de sequências, pode-se classificar da seguinte maneira: (a) repetitiva são sequências cíclicas, ou seja, aquelas que possuem um padrão que se repete em ciclos. Segue abaixo um exemplo de sequências repetitivas; ou ainda, (b) recursiva nesse tipo de sequência finita ou infinita, tem-se que cada elemento desta depende do elemento anterior e da sua posição na sequência.

4 PROCEDIMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS Trata-se de uma pesquisa quase-experimental, de caráter intervencionista, com a finalidade de introduzir as noções iniciais de Early Algebra (EA) aos discentes matriculados na disciplina Gestão Pedagógica na Educação Matemática, de um curso de mestrado profissional em Educação. De acordo com Fiorentini e Lorenzato as pesquisas quaseexperimentais: [...] caracterizam-se pela realização de experimentos que visam verificar a validade de determinadas hipóteses em relação ao fenômeno ou problema. Entendemos por experimento aquela parte da investigação na qual se manipulam certas variáveis e se observam seus efeitos sobre outras. Esses estudos podem ser realizados em laboratórios ou não, podendo ser caracterizados como quaseexperimentais ou, simplesmente, experimentais. (FIORENTINI; LORENZATO, 2012, p. 71) Nesse sentido, nosso estudo atende os preceitos da pesquisa quase-experimental, pois realizamos a formação em um único grupo no qual buscamos comparar o antes e o depois, desta intervenção. Com isso, podemos obter informação da influência que tal fator experimental exerce sobre os sujeitos envolvidos e as (trans)formações que produz (RUDIO, 2001). Nessa vertente, buscamos testar a eficácia de uma intervenção de ensino, baseada num modelo de Ensino Híbrido (HORN, STAKER, 2015), pautada em situações-problema e com feedback construtivista e planejada para introduzir alguns conceitos da Álgebra (símbolos, padrão em sequência, equivalência em equações e noção funcional). Assim, para uma melhor compreensão dos conceitos trabalhados, o curso foi dividido em cinco módulos, conforme mostra o Quadro 1. Quadro 1. Estrutura Geral do Curso Early Algebra Curso Early Algebra Módulo Zero I II III Do que se trata Apresentação do curso e familiarização do AVA REPARE Representação simbólicas na Matemática Padrões em sequências Equivalência em equações IV Noção funcional

5 Fonte: Oliveira (2018) As participantes deste estudo foram nove discentes, ingressos no segundo semestre de um curso de mestrado profissional em Educação de uma Universidade Pública da Bahia. Assim, o universo de nosso estudo foi composto por pessoas que possuíam as seguintes características: (1) a graduação concluída e voltada para o ensino na Educação Básica; (2) estudante de pós-graduação stricto sensu na área de Educação, com foco na escola; e, (3) cursando uma disciplina cujo foco principal era as questões relacionadas ao ensino e a aprendizagem de Matemática. Doravante, dar-se-á a nomenclatura professoras-cursistas às participantes, pois, dos nove participantes apenas um era do sexo masculino, enquanto os oito restantes eram do sexo feminino. E ainda, por participarem de um curso de formação na condição de estudantes. Cada professora-cursista elaborou individualmente duas situações-problema envolvendo o conceito de padrão em sequências, tais apresentadas por escrito em espaços reservados para a elaboração, dispostos em uma folha de papel no formato A4. A aplicação foi realizada pelos pesquisadores, após uma discussão realizada durante o processo formativo. ALGUNS RESULTADOS Dada a potencialidade dos elementos constituídos nesse processo formativo, no presente estudo o foco se deu à análise das situações-problema elaboradas pelas professorascursistas que envolveram o conceito de padrão em sequências, a partir do que se foi discutido e trabalhado durante o Módulo II. Portanto, procurou-se compreender como o processo formativo influenciou em sua concepção sobre tal conceito. O Módulo II foi elaborado com o objetivo de explorar os padrões numéricos e icônicos em sequências, de modo a identificar a lei de formação (generalização) de sequências e reconhecer os conceitos de termo e ordem. Entende-se que tal abordagem possibilita a introdução dos conceitos de padrão e regularidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Em uma conversa inicial, os pesquisadores indagaram às professoras-cursistas sobre o que elas pensam acerca de padrão e sequência e a importância desses conceitos no desenvolvimento do raciocínio algébrico. Nesse sentido, infere-se que a maioria do grupo (cinco professoras-cursistas) tem a percepção de que uma sequência é formada por termos (numéricos ou icônicos), a partir de uma regularidade existente. E ainda, que tal regularidade

6 possibilita expressar uma generalização, de modo que se perceba a lei de formação que está por trás da sequência e, dessa forma pode-se determinar qualquer termo da mesma. Destacase a fala da professora-cursista Elza, na qual ela afirma que as sequências contribuem para o ensino da Álgebra nos anos iniciais, pois elas [...] fazem uso de figuras pictóricas ou numéricas que podem representar padrões do tipo repetitivo e recursivo. Possibilita o aluno perceber regularidades, generalizações ou pensar genericamente, ou seja, progredir de raciocínios recursivos para raciocínios funcionais. Assim, as sequências e padrões permitem determinar a ordem de elementos por meio da generalização, a partir do termo anterior ou de sua posição (ordem a termo). (ELZA, postado no fórum em 29/06/2017) De fato, o trabalho com sequências icônicas ou numéricas, nos anos iniciais do Ensino Fundamental, envolve a busca de padrão e regularidade e, também, propicia o estabelecimento de generalizações. Para Ponte, Branco e Matos (2009), esse trabalho permite que os alunos consigam avançar do raciocínio recursivo para um raciocínio que envolve relações funcionais. Acerca da elaboração de situações-problema, seis das nove professoras-cursistas desenvolveram uma sequência icônica e outra numérica, cada. Portanto, percebemos que após as discussões realizadas em sala de aula, as participantes tiveram a preocupação em elaborar sequências que contemplassem os dois tipos de representação. Dentre essas situações, apresentamos uma sequência do tipo numérica, como mostra a Figura 1. Figura 1 Situação-problema envolvendo sequência numérica elaborada pela professora-cursista Gina Fonte: Oliveira (2018) Para Ponte, Branco e Matos (2009), o professor precisa elaborar situações-problema que solicitem aos alunos a continuação da sequência, assim, identificando alguns dos termos seguintes. No entanto, apesar da tentativa de apresentar uma sequência, Gina apresentou uma situação situada em um contexto totalmente matemático, a qual se trata de conjunto finito e numérico em que se busca uma construção do conjunto dos números pares até o número 50. Intuitivamente, poderia ser construída uma sequência dos números pares de 0 a 50, porém,

7 uma possível resolução para a situação poderia ser um outro conjunto, o qual não tivesse relação alguma com uma sequência recursiva ({0, 2, 4, 48, 30, 14, 6, 22,..., 50}, por exemplo). No âmbito das sequências icônicas, destaca-se a situação-problema elaborada pela professora-cursista Ceci, como mostra a Figura 2. Figura 2 Situação-problema envolvendo sequência icônica elaborada pela professora-cursista Ceci Fonte: Oliveira (2018) Nota-se que a professora-cursista Ceci conseguiu elaborar uma situação-problema que pode gerar uma boa discussão em sala de aula. Pois, situações desse tipo possibilitam a apresentação de resoluções distintas pelos alunos, contudo com uma regularidade presente na sequência construída por eles. Nesse sentido, Ponte, Branco e Matos (2009) sugerem que os professores solicitem aos alunos que apresentem o seu raciocínio e justifiquem a sua resposta. Figura 3 Situação-problema envolvendo sequência icônica elaborada pela professora-cursista Fabi Fonte: Oliveira (2018) Assim como Ceci, a professora-cursista Fabi elaborou uma situação-problema adequada para a promoção de discussões em sala de aula. Além da elaboração, como mostrou claramente a Figura 3, nota-se que ela apresentou alguns possíveis resultados referentes a organização dos símbolos icônicos.

8 Portanto, ao final desse módulo, reconhecemos que as professoras-cursistas avançaram no que tange ao padrão em sequências. Para elas, o ensino desse conceito possibilita o desenvolvimento do raciocínio algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Sendo assim, torna-se necessário a exploração de sequências numéricas e icônicas, sejam estas repetitivas ou recursivas. CONSIDERAÇÕES FINAIS É notória a existência de diversas potencialidades atreladas nos processos de ensino e de aprendizagem de padrão, entretanto, podem surgir incompreensões, caso o aluno, ou até mesmo o professor, pense (ou perceba) que há apenas uma forma correta de continuar uma sequência, por exemplo, quando na verdade, existem infinitas maneiras de prosseguir. Ao promover que os alunos façam uso de várias representações algébricas em seus registros, manipulando padrões, o professor, além de compreender como se processa a aprendizagem da Álgebra em seus alunos, poderá diversificar a natureza das tarefas apresentadas a eles. REFERÊNCIAS BORRALHO, António et al. Exploração de padrões e pensamento algébrico. Patterns: multiple perspectives and contexts in mathematics education (Projeto Padrões), p , FALCÃO, Jorge Tarcísio da Rocha. Psicologia da Educação Matemática: uma introdução. Autêntica Editora, FIORENTINI, Dario. LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3ª Ed.rev. Campinas, SP: Autores Associados, HORN, Michael B.; STAKER, Heather; CHRISTENSEN, Clayton. Blended: usando a inovação disruptiva para aprimorar a educação. Penso Editora, LIMA, Elon Lages. Curso de análise, Volume 1. Projeto Euclides, IMPA, décima primeira edição, OLIVEIRA, C. F. S. Formação de Professores e a Early Algebra: uma intervenção híbrida. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Estadual de Santa Cruz, Ilhéus, ORTON, A.; ORTON, J. Pattern and the approach to algebra

9 PONTE, João Pedro da. Uma agenda para investigação sobre padrões e regularidades no ensino-aprendizagem da Matemática e na formação de professores. IN VALE, Isabel. BARBOSA, Ana. (org) Padrões: Múltiplas Perspectivas e Contextos em Educação Matemática. Projecto Padrões, PONTE, João Pedro. BRANCO, Neusa. MATOS, Ana. Álgebra no ensino básico. Lisboa: ME- DGIDC, PORTO, Rosimeire Soares de Oliveira. Early algebra: prelúdio da álgebra por estudantes dos 3º e 5º anos do ensino (dissertação) Ilhéus, BA: UESC, RUDIO, Franz Victor. Introdução ao projeto de pesquisa científica. 29 ed. Petrópolis: Vozes. 2001