Applications of Ideal Quantum Systems

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1 Chapter 5 Applications of Ideal Quantum Systems Refs.: Huang, Landau & Lifshitz, Pathria 5. Introduction Neste capítulo estudaremos algumas aplicações simples de sistemas ideais quânticos. Inicialmente, discutiremos o cálculo de valores médios para sistemas fermiônicos utilizando a densidade de estados de uma partícula. Em seguida, veremos o comportamento magnético de um gás de Fermi incluindo tópicos como paramagnetismo de Pauli e diamagnetismo de Landau, o gás de fótons e, finalmente, fônons. 5.2 Density of States for Fermionic Systems Vamos agora generalizar a passagem para o contínuo das integrais fermiônicas estudadas na Seção 4.4. Isto nos permitirá obter resultados bastante gerais em termos da densidade de estados de uma partícula, que é uma grandeza utilizada para descrever tanto sistemas não-interagentes quanto, ao menos de modo aproximado, sistemas interagentes. É importante frisar que, na maioria dos casos, a presença de interações faz com que se perca a individualidade das partículas; isto é, os autoestados da Hamiltoniana com interação não podem ser escritos como produtos sobre estados de uma partícula. Apesar disto, pode-se obter uma densidade de estados em que as interações sejam introduzidas através de aproximações sistemáticas. Seja V o volume espacial (= L d, para um hipercubo d-dimensional de lado L) ao qual as partículas estão confinadas. No limite termodinâmico, o espaçamento entre os níveis de energia diminui, até formarem praticamente um contínuo de estados. O número de estados com energia entre " e " + d" é, então, dado por D(")d", definindo a densidade de estados de uma partícula D("). Por exemplo, para uma partícula livre com spin-/2 em três dimensões, com " p = p 2 /2m, já vimos que D(") = 8 V h 3 p 2m 3 " /2, (5.2.) 9

2 92 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS enquanto que em d dimensões, D(") " (d 2)/2 (mostre!). Assim, introduzindo o número médio de ocupação do nível de energia " (veja a Fig. 4.2), f(") = e (" µ) (5.2.2) + [supõe-se que a degenerescência esteja incluída em D(")], a média termodinâmica de qualquer função da energia, Q("), fica Z hqi = d" D(")f(")Q("). (5.2.3) Em particular, e Z hei = Z hni = d" D(")f(")", (5.2.4) d" D(")f("). (5.2.5) A partir destes exemplos fica claro que frequentemente encontraremos integrais do tipo I = Z " 0 d" G(")f("), (5.2.6) onde " 0 é a menor energia dos estados de uma partícula, e G é uma função de ". De particular interesse é o comportamento destas integrais a baixas temperaturas. Para obtê-lo, suponhamos inicialmente que G seja uma função contínua e infinitamente diferenciável em " = µ, e que seja lentamente variável num intervalo da ordem de k B T em torno deste ponto. Seja (") aprimitivadeg("), isto é, 0 (") =G("), de modo que a integração por partes de (5.2.6) fornece I = Z " 0 d" f(") d d" = f(") (") " 0 Z " 0 d" (") df d", (5.2.7) onde o primeiro termo no lado direito de (5.2.7) se anula porque f() = 0 e porque também supõe-se que (" 0 ) = 0. É fácil ver que, especialmente a baixas temperaturas, a função df/d" assume valores muito pequenos, a não ser num intervalo da ordem de k B T perto de " = µ; veja a Fig Logo, podemos levar a expansão de ("), (") = (µ)+(" µ) 0 (µ)+ 2 (" µ)2 00 (")+..., (5.2.8) na Eq. (5.2.7), para ser integrada termo a termo. Estendendo o limite inferior das integrais para (o que não causa alterações significativas, pois os integrandos se anulam neste limite), e usando os seguintes resultados Z d" df =, (5.2.9) d"

3 5.2. DENSITY OF STATES FOR FERMIONIC SYSTEMS 93 Z obtemos Z d" (" µ) n df Z d" = (k BT ) n I = (µ)+ d" (" µ) n df =0 (n impar), (5.2.0) d" dx x n e x (e x + ) 2 = = 2(k B T ) n n! 2 n (n) (n par), (5.2.) X 2 2 2r (2r)(k B T ) 2r (2r) (µ). (5.2.2) r= Nas equações acima, (n) P l= l n é a função de Riemann, cuja relação com os números de Bernoulli, B r,é (2r) =2 2r 2r (2r)! B r, (5.2.3) com B = 6, B 2 = 30, B 3 = 42, B 4 = 30, B 5 = (5.2.4) Substituindo-se 0 (") por G(") temos Z " 0 d" G(")f(") = Z µ " 0 d" G(")+ 2 6 (k BT ) 2 G 0 (µ) (k BT ) 4 G 000 (µ)+... (5.2.5) Lembrando que a baixas temperaturas a diferença entre o potencial quimico e a energia de Fermi é muito pequena, da ordem de (" F /k B T ) 2, podemos efetuar a aproximação Z µ " 0 d" G(") ' Z "F " 0 d" G(")+(µ " F ) G(" F ). (5.2.6) Com isto, a Eq. (5.2.5) pode finalmente ser escrita de uma forma que separa a contribuição do estado fundamental (como uma integral até " F ) dos efeitos de temperatura não-nula: I Z " 0 d" G(")f(") = Z "F " 0 d" G(")+(µ " F )G(" F )+ 2 6 (k BT ) 2 G 0 (µ)+... (5.2.7) e A partir daí o leitor deve deduzir os seguintes 3 2 kbtg 2 0 (" F )+O(T 3 ), T = G(" F )+O(T 2 ), N 3 2 kbt 2 0 (" F )D(" F )+O(T 3 ), (5.2.20)

4 94 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS onde = G/D. Em particular, pode-se mostrar (veja o Exercício 5.2) que o potencial químico a baixas temperaturas é dado por µ ' " F " 2 # d ln D(") kb T 2, (5.2.2) 6 d ln " e que o calor específico (a volume constante) e a entropia são aproximadamente iguais entre si: C V ' S ' 2 3 D(" F) k 2 BT. (5.2.22) É importante notar que o comportamento dominante do calor específico com a temperatura pode ser obtido a partir de um argumento bem simples, com um pequeno erro nos pré-fatores numéricos. O princípio de exclusão de Pauli impõe que apenas os férmions com energias próximas à energia de Fermi possam ser excitados termicamente; são apenas estes, portanto, que contribuem para a variação da energia interna com a temperatura e daí para o calor específico. O número de férmions num intervalo da ordem de k B T em torno da energia de Fermi é "=" F " F N D(" F ) k B T, (5.2.23) pois D fornece o número de estados por intervalo de energia, e já inclui a degenerescência de spin. A variação na energia interna pode então ser estimada como o que nos dá E N k B T =(k B T ) 2 D(" F ), (5.2.24) C V D(" F )k 2 B T ; (5.2.25) este resultado deve ser comparado com (5.2.22). Este argumento também explica porque, no regime degenerado, o calor específico de um gás de férmions tem um comportamento linear com a temperatura, para qualquer dimensão espacial e para qualquer dispersão, já que estas duas grandezas entram apenas na densidade de estados. O procedimento adotado aqui, em termos da densidade de estados, será utilizado na próxima seção. 5.3 Magnetic Behaviour of an Ideal Fermi Gas Metais apresentam um comportamento paramagnético bastante diferente de isolantes (estes foram discutidos na Seção 3.3). Em particular, veremos que a baixas temperaturas não há saturação do momento magnético resultante, e que a suscetibilidade não depende da temperatura. Para isolantes, ao contrário, existe saturação do momento magnético e a suscetibilidade diverge como /T a baixas temperaturas. A sugestão de Pauli, em 927, de que os elétrons de condução em metais alcalinos deveriam ser tratados como um

5 5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 95 gás de férmions degenerado, possibilitou a compreensão deste fenômeno, hoje conhecido como paramagnetismo de Pauli. Enquanto o paramagnetismo é proveniente do acoplamento do momento magnético intrínseco dos elétrons com o campo, a quantização de suas órbitas helicoidais, em presença do mesmo campo, dá origem ao diamagnetismo, fenômeno que não tem análogo clássico. Este efeito, que foi previsto primeiramente por Landau em 930, é caracterizado por uma suscetibilidade negativa. A altas temperaturas a suscetibilidade tem um comportamento do tipo lei de Curie; quando T! 0elaindependedeT, mas depende da densidade de partículas. Mais ainda, para campos fortes, a suscetibilidade a baixas temperaturas é oscilatória, com período da ordem de /H, onde H é o campo aplicado. Este comportamento é conhecido como efeito de Haas-van Alphen em homenagem a quem o observou pela primeira vez, em 930; sua explicação, todavia, só foi dada por Peierls em 933. Mais recentemente (c. 980), o confinamento de elétrons a uma região bastante estreita, numa das interfaces de uma heteroestrutura semicondutora (i.e., uma justaposição de camadas de materiais semicondutores), possibilitou o estudo de elétrons (quase) bidimensionais em presença de campo magnético. Descobriu-se que a resistividade Hall, ao invés de ter um comportamento linear com o campo aplicado, como previsto classicamente, apresentava platôs correspondentes a sub-múltiplos de um quantum de resistividade. Este fenômeno ficou conhecido como Efeito Hall Quântico (conhecido pela sua sigla em inglês, QHE). Medidas subsequentes mostraram que, na realidade, havia dois tipos de QHE: o inteiro (IQHE) e o fracionário (FQHE). O FQHE ainda é, hoje, objeto de intensa investigação: uma das mais promissoras explicações para sua ocorrência lança mão de concepções intrigantes como a de partículas compostas e de fracionalização da carga. A seguir, discutiremos o paramagnetismo e o diamagnetismo de Landau separadamente; basicamente, nosso objetivo será calcular a magnetização e a suscetibilidade em cada caso. Em sequência, faremos uma discussão elementar do QHE, apresentando algumas das novas ideias Pauli Paramagnetism Consideremos inicialmente N férmions sem carga, com massa m e momento magnético µ, em presença de um campo externo H. A Hamiltoniana de cada partícula é H = p2 2m µ H, (5.3.) representando o acoplamento de seu momento magnético intrínseco com o campo. Analisaremos aqui o caso de spin-/2, de modo que o momento magnético tem apenas duas orientações possíveis com relação a H: µ = ±µ B, onde µ B é o magneton de Bohr. Este sistema pode ser imaginado como se fossem dois gases coexistindo em equilíbrio: um, composto de partículas com spin paralelo ao campo, e outro, com spin antiparalelo

6 96 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS (a) H = 0 (b) H = / 0 F F D( ) D( ) D( ) +µ B H µ B H D( ) Figure 5.: Schematic density of states for each spin channel, dimensional Fermi gas: (a) zero field; (b) non-zero field. =", #, for the three ao campo. A Fig. 5.(a) mostra a densidade de estados (no eixo horizontal; a energia aparece no eixo vertical) para estas duas espécies de partículas com H = 0. Quando o campo é aplicado, todos os níveis de energia para as partículas com spin paralelo [antiparalelo] ao campo sofrem o mesmo deslocamento de µ B H [+µ B H]. Portanto, como indicado na Fig. 5.(b), a densidade de estados associada ao canal de spin ( = "$ = +; = #$ = ) corresponde à densidade de estados sem campo, transladada de µ B H: D (") = 2 D(" + µ BH), (5.3.2) onde D é dado por (5.2.) no caso tri-dimensional com dispersão quadrática; o fator /2 se deve ao fato de os estados que contribuem para D têm agora degenerescência g =. O nível de Fermi é o mesmo para as duas espécies e é determinado pela posição em que a soma das áreas das duas curvas é igual ao número total de partículas. Fica também aparente da figura que a maioria das partículas tem spin paralelo ao campo, dando origem a uma magnetização resultante, ao contrário do caso em que H = 0. Para obter a magnetização e a suscetibilidade devemos calcular N " e N #,oqueé feito adaptando-se as expressões da Seção 5.2. Assim, N = Z d" D (") f(") = Z d" 2 D(" + µ BH) f("). (5.3.3) Consideremos inicialmente T = 0, quando a função de Fermi, f("), restringe os De agora em diante usaremos a expressão spin paralelo ao campo como sinônimo de momento magnético paralelo ao campo, mas sempre tendo em mente que, para elétrons, µ / S.

7 5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 97 limites superiores das integrais acima: N = Z "F µ B H d" 2 D(" + µ BH) = Z "F + µ B H 0 d" D("), (5.3.4) 2 onde se supôs, como na Fig. 5., que a menor energia possível para os férmions é µ B H. No caso da densidade de estados (5.2.), a integração em (5.3.4) é imediata, e obtemos a magnetização como M = µ B (N + N )=µ B 4 V (2m) 3/2 Como µ B H " F, temos 3h 3 n (" F + µ B H) 3/2 (" F µ B H) 3/2o. (5.3.5) M ' 4 V (2m)3/2 3h 3 µ B " /2 F (3µ BH) = 3 Nµ 2 B H, (5.3.6) 2 " F onde N é o número total de partículas e " F é dado por (4.4.7) com g = 2, de modo que = 3 µ 2 B. (5.3.7) 2 " F Estes últimos resultados são muito importantes, e devem ser comentados. A magnetização por partícula é pequena o termo µ B vem multiplicado por um fator da ordem de µ B H/" F, quando comparada com a obtida em isolantes que, a T = 0, atinge a saturação; isto é M = M/N = µ B. Esta ausência de saturação é devido à apreciável energia de ponto zero que ocorre no gás de Fermi, de modo que flutuações quânticas perturbam o alinhamento total. Assim, um pequeno campo não é capaz de aumentar a magnetização significativamente, o que se reflete na suscetibilidade finita a T = 0. No caso dos isolantes, a suscetibilidade diverge a T = 0 porque um pequeno campo consegue um alinhamento considerável. A temperaturas finitas procedemos de modo análogo. A magnetização fica Z M = µ B (N " N # )=µ B d" 2 {D(" + µ BH) D(" µ B H)} f("). (5.3.8) Supondo µ B H " F podemos expandir D, obtendo = M H = µ2 B N Z onde D 0 (") dd/d". A baixas temperaturas usamos a Eq. (5.2.20), com 0 d" D 0 (")f("), (5.3.9) = µ 2 B D0 /D, para = 2 N 3N µ2 BkBT 2 2 ln D D(" F ) d" 2. (5.3.0) "=" F

8 98 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS Integrando com relação à temperatura vem, finalmente, ( = µ2 B D(" F) + d N 6 2 (k B T ) 2 2 ) ln D d" (5.3.) "=" F É interessante notar que a suscetibilidade a T = 0 traz a assinatura da densidade de estados no nível de Fermi. Este aspecto se torna particularmente importante porque muitas vezes a interação entre as partículas é incorporada de modo aproximado, é claro como uma modificação na densidade de estados. Logo, medidas experimentais da suscetibilidade a baixas temperaturas revelam, por exemplo, se a densidade de estados no nível de Fermi é grande ou pequena. Especializando para elétrons livres em três dimensões, i.e., com D(") dado por (5.2.), obtemos " e M' 3 2 µ 2 B " F H ' 3 2 µ 2 B " F " 2 # kb T 2, (5.3.2) 2 " F 2 # kb T 2. (5.3.3) 2 " F No limite de altas temperaturas, k B T " F, podemos tomar f(") ' e (" µ) na Eq. (5.3.9) que, integrada por partes, fornece ' µ2 B k B T. (5.3.4) Como esperado, este resultado independe da densidade de estados e é semelhante ao comportamento paramagnético de isolantes, do tipo lei de Curie Landau Diamagnetism Na sub-seção anterior exploramos a interação do momento magnético intrínseco de um férmion com um campo magnético, dando origem ao paramagnetismo. Todavia, uma partícula carregada em presença de um campo magnético, H = H ẑ, tem uma trajetória helicoidal, com eixo na direção z do campo; isto é, o movimento no plano xy é circular, e na direção z é o de uma partícula livre. Poderíamos pensar que o movimento circular dá origem a um outro momento magnético (não intrínseco), que tende a se alinhar antiparalelamente ao campo. Apesar de atraente, esta imagem clássica não é suficiente para explicar o diamagnetismo, como previsto pelo Teorema de van Leeuwen: o fenômeno do diamagnetismo não existe na Física Clássica; a demonstração deste teorema é pedida no Exercício 5.3. Consideremos, portanto, o problema sob o ponto de vista quântico, partindo de um gás de elétrons independentes; não levaremos em conta nesta discussão o spin do elétron, pois queremos enfatizar as alterações no movimento orbital. O problema de uma partícula carregada em presença de campo uniforme é exatamente solúvel (veja, p.ex.,

9 5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 99 Landau e Lifshitz, Quantum Mechanics): os movimentos nas direções perpendicular e paralela ao campo são separáveis, sendo que o primeiro contribui com a energia de um oscilador harmônico uni-dimensional, e o segundo com a de uma partícula livre. Os níveis de uma partícula são, portanto, dados por " = j + ~! + p2 z, 2 2m j =0,, 2,..., (5.3.5) onde! é a frequência de revolução! = eh mc. (5.3.6) A contribuição tipo oscilador harmônico para este espectro corresponde aos chamados níveis de Landau. Para um gás tri-dimensional, a cada um dos níveis de Landau se soma um espectro contínuo devido ao movimento livre ao longo da direção z; éumespectro sem gaps. Se, por outro lado, o gás está confinado às duas dimensões perpendiculares ao campo, o espectro corresponde apenas aos níveis de Landau, e apresenta gaps. A Fig. 5.2 mostra esquematicamente os espectros dos movimentos bi-dimensionais, com e sem campo magnético. Pode-se imaginar que vários níveis do sistema sem campo colapsam em um único nível do sistema com campo. Assim, todos os g estados do quase-contínuo cujas energias estiverem numa faixa de largura ~! estarão associados ao estado quantizado mais próximo. Quantitativamente, g é dado pela área do espaço de fase correspondendo à energia naquela faixa: g = L2 h 2 Z Z j~!< p2 x +p2 y 2m <(j+)~! dp x dp y = L2 h 2 Z j~!< p2 2m <(j+)~! 2 p dp = L2 eh hc. (5.3.7) Note que g/l 2 representa o número de órbitas, por nível de Landau, que podem ser acomodadas em cada cm 2 ; isto é, fornece uma medida quântica da incerteza na localização da órbita circular do elétron. Os bons números quânticos para férmions sem spin em presença de campo magnético são, portanto, {p z,j, }, com =, 2,...,g. Assim como no caso sem campo, é mais conveniente trabalhar no ensemble gran-canônico, no qual a função de partição é fatorada como um produto sobre estados de uma partícula: Z = Y +ze ". (5.3.8) Tomando o logaritmo, vem ln Z = X ln +ze = gv /3 Z h dp X j=0 " = gx X X = j=0 p z ln +ze ln +ze "(,j,p z) = ", (5.3.9)

10 00 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS (a) H = 0 (b) H = / 0 h h h h j = j = j = j = Figure 5.2: Planar contribution to the single-particle energy levels (schematic): (a) H = 0, and (b) H 6= 0. e, lembrando que hni ln Z = X hn i, (5.3.20) obtemos hni = gv /3 Z h dp X j=0 z e " +. (5.3.2) Analisemos agora os casos limites. A altas temperaturas devemos ter o comportamento clássico com z, e podemos expandir (5.3.9) e (5.3.2) em potências de z, mantendo apenas o termo em ordem mais baixa, ln Z' e, portanto, com onde zgv /3 Z h dp X e j=0 é o momento magnético induzido. apple p 2 2m +~!(j+/2) = zv eh hc 2sinh ~! 2k B T, (5.3.22) hni 'ln Z' zv x 3 sinh x, (5.3.23) x µ0 H k B T, (5.3.24) µ 0 eh 4 mc (5.3.25)

11 5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 0 A magnetização é obtida da maneira usual, isto é, M V k ln Z = z x cosh x 3 µ0 sinh x sinh 2 x z,v,t = nµ 0 L(x), (5.3.26) onde n hni/v e a função de Langevin é definida por L(x) coth x x. (5.3.27) O resultado (5.3.26) é muito semelhante ao obtido pela Teoria de Langevin para dipolos clássicos, sendo que a diferença fundamental está no sinal de M que, sendo negativo, caracteriza o diamagnetismo. Outra observação importante diz respeito ao aspecto puramente quântico deste efeito: µ 0! 0 quando h! 0, concordando com a demonstração mais formal do Teorema de van Leeuwen (veja Exercício 5.3). Fazendo a hipótese adicional de que µ 0 H k B T, temos que de modo que e L(x) ' x/3, (5.3.28) M' nµ02 H 3k B T, (5.3.29) ' nµ02 3k B T, (5.3.30) evidenciando que o caráter diamagnético não depende do sinal da carga da partícula. Ademais, a suscetibilidade total é obtida somando-se as contribuições (5.3.4) e (5.3.30) onde, nesta última, a massa da partícula que aparece na definição de µ 0 deve ser entendida como sua massa efetiva no sistema (p.ex., em um cristal): ' n k B T µ 2 B 3 µ02 ; µ 0 H k B T. (5.3.3) Se µ 0 = µ B, note que a contribuição diamagnética para elétrons é /3 da paramagnética, a altas temperaturas. Vejamos agora o outro extremo, isto é, o comportamento a baixas temperaturas, k B T " F. Suponhamos que µ 0 H k B T, de modo que a soma em j na Eq. (5.3.9) possa ser feita com o auxílio da fórmula de Euler, X f(j +/2) ' j=0 Z 0 f(x) dx + 24 f 0 (0), (5.3.32) com o resultado " Z ln Z = ev H Z h 2 dx dp ln +ze c 0 (2µ 0 Hx+ p2 2m ) µ 0 H 2 k B T Z dp z e p2 2m + # (5.3.33).

12 02 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS H V V H w I t Figure 5.3: Esquema de medida das tensões longitudinal, V, e transversa (Hall), V H,em uma amostra de largura w eespessurat, percorrida por uma corrente I, empresençade um campo magnético perpendicular H. Os cálculos de ambas as integrais são simplificados neste limite (veja Pathria, seção 8.2 para detalhes), de modo que a correção em ordem mais baixa, devido à quantização das órbitas, fornece para a suscetibilidade a baixas temperaturas ' nµ 02, (5.3.34) 2 " F que, mais uma vez, traz a assinatura do diamagnetismo, independentemente do sinal da carga da partícula. Note também que, ao contrário da contribuição paramagnética [Eq. (5.3.7)], a suscetibilidade diamagnética a T = 0 depende da densidade de partículas. Supondo agora que µ 0 H ' k B T " F, pode-se mostrar (veja Pathria, Seção 8.2) que a suscetibilidade contém termos oscilatórios em H: ' 3nµ02 k B T" /2 F sin( " F /µ 0 H /4) 2" F (µ 0 H) 3/2 sinh( 2 / µ 0. (5.3.35) H) Este efeito, conhecido como de Haas-van Alphen, permite a determinação experimental da energia de Fermi do sistema através da medida do período da suscetibilidade, 2µ 0 /" F The Quantum Hall E ect Imagine uma corrente I passando por uma amostra. Ao aplicarmos um campo magnético, H, perpendicular à corrente (veja a Fig. 5.3), as cargas serão defletidas em direção à extremidade anterior, devido à força de Lorentz. Esta acumulação de cargas gera um campo elétrico transverso, E?, cujo sentido depende do sinal dos transportadores. Uma nova situação de equilíbrio ocorre quando a força de Lorentz fôr contrabalançada por

13 5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 03 esta força eletrostática; isto é, a corrente volta a fluir quando E? = v H (CGS), (5.3.36) c onde v é a velocidade dos transportadores, determinada pela corrente I ou, equivalentemente, pela densidade de corrente j: v = j nq = I nwtq. (5.3.37) Nesta equação, n é a densidade de transportadores com carga q, ew e t são, respectivamente, a largura e a espessura da seção reta da amostra; como veremos adiante, é conveniente definir a densidade superficial de transportadores como n s = nt. Medindo-se a voltagem, V, ao longo da corrente (veja a Fig. 5.3), obtemos a magnetorresistência R = V/I. Podemos também definir a resistência Hall como a razão entre a voltagem perpendicular, V H, e a corrente: R H = V H /I. Expressando V H em termos de E?, I em termos de j, e, usando (5.3.36) e (5.3.37), obtemos, finalmente, que a resistência Hall depende linearmente do campo magnético, R H = H, (5.3.38) n s qc conforme observado por Edwin Hall, em 879. Este resultado é notável, já que um único parâmetro característico do material a densidade eletrônica superficial, n s definea proporcionalidade entre R H e H, independentemente da forma da amostra. O desenvolvimento de técnicas de deposição bastante apuradas, a partir de 980, permitiu a fabricação de heteroestruturas semicondutoras com alto grau de pureza, como MOSFET s (Metal-oxide-semiconductor field-e ect transistors) de Silício, compostos de uma camada de Si em contato com uma de SiO 2. 2 Estes dispositivos são capazes de confinar elétrons à interface entre as camadas, formando, essencialmente, um gás bidimensional. A restrição a duas dimensões inibe a imersão do espectro da Fig. 5.2(b) em um contínuo de estados associados ao movimento livre na direção z; e, como veremos a seguir, a presença de gaps é crucial para os efeitos interessantes que surgem. Quando submetidos a temperaturas de 4K e a campos magnéticos da ordem de 20 T, estes dispositivos entram num regime no qual espera-se que o efeito Hall seja dominado por efeitos quânticos, já que os gaps no espectro se tornam comparáveis à energia térmica. Os resultados obtidos 3 e mostrados na Fig. 5.4, foram surpreendentes. Em primeiro lugar, o crescimento de R H com H se dá através de platôs, ao invés do comportamento linear previsto classicamente; veja a Eq. (5.3.38). Em segundo lugar, da mesma figura se nota que o valor de R H nestes platôs é quantizado, R H = h, =, 2,..., (5.3.39) e2 definindo o que passou a ser conhecido como o quantum de resistência, h/e 2 ' 25.8 k. E, finalmente, a magnetorresistência apresenta valores extremamente baixos nos intervalos de H correspondentes aos platôs na resistência Hall. 2 Para uma discussão mais detalhada, veja, p.ex., H. L. Stormer, Rev. Mod. Phys. 7, 875(999). 3 K. von Klitzing et al., Phys. Rev. Lett. 45, 494(980)

14 04 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS Figure 5.4: Medidas típricas de resistência como função do campo magnético. A curva com platôs corresponde à resistência Hall, R H, em undidades do quantum de resistência, h/e 2 ; as setas indicam o valor de na Eq. (5.3.39). A resistência longitudinal exibe máximos entre os platôs de R H e se anula nos platôs. [Segundo HL Stormer, Rev.Mod.Phys.7, 875 (999)]. A compreensão destes resultados é obtida por etapas. Em primeiro lugar, para entender a existência de uma região de magnetorresistência nula, lembremos que a resistividade se deve a algum mecanismo de espalhamento (por vibrações da rede, por impurezas, ou por outros elétrons), que leva elétrons com energias perto da energia de Fermi a estados finais com energias também próximas a " F. Imagine agora que algum efeito coletivo no sistema cause a abertura de um um gap em torno de " F,demodoque os estados finais possíveis estão agora separados dos estados iniciais por um limiar de energia. Nestes processos de espalhamento as energias disponíveis para os elétrons não são suficientes para vencer o gap, de modo que a transição entre estados eletrônicos não ocorre, e o transporte se dá sem resistência. Isto sugere que os gaps entre os níveis de Landau, presentes no movimento bi-dimensional (perpendicular a H) sejam a fonte de queda na magnetorresistência. Para ver como isto ocorre, consideremos inicialmente um sistema totalmente puro, para o qual a densidade de estados corresponde a funções- igualmente espaçadas, localizadas nos níveis de Landau; veja a Fig. 5.5(a). A razão entre o número de elétrons e a degenerescência de cada nível de Landau define o fator de preenchimento, = N g = n shc e H, (5.3.40)

15 5.3. MAGNETIC BEHAVIOUR OF AN IDEAL FERMI GAS 05 Figure 5.5: Densidade de estados para um gás de elétrons bi-dimensional em um campo magnético: (a) na ausência de impurezas, e (b) na presença de impurezas. As impurezas causam um alargamento dos níveis de Landau, que se tornam bandas de estados deslocalizados (regiões hachuradas), ao mesmo tempo em que introduz estados localizados entre sucessivos níveis de Landau. cujo inverso mede a disponibilidade do nível. É importante notar a dependência de / com H, para uma densidade de elétrons fixa: se H = H n s hc/e, sóonívelde Landau de mais baixa energia estará (totalmente) preenchido. ÀmedidaemqueH diminui a partir deste valor, o nível mais baixo passa a não acomodar todos os elétrons e inicia-se uma migração para o segundo nível. Quando H = H /2, os dois níveis de Landau mais baixos estão totalmente preenchidos; uma diminuição maior de H leva a uma migração em direção ao terceiro nível, e assim por diante. Pode-se se pensar que, para H diminuindo entre H e H /2, o nível de Fermi permanece grudado no segundo nível de Landau; quando H<H /2, " F salta para o terceiro nível de Landau, ficando grudado até que H<H /3, etc. Vemos então que valores do campo H = H / são especiais por representarem preenchimento completo de níveis de Landau. Levando estes valores na Eq. (5.3.38), obtemos a quantização de R H, descrita pela Eq. (5.3.39). Como para estes campos (ou valores de ) os gaps de Landau separam estados totalmente ocupados de estados totalmente desocupados, a resistência é nula. A discussão acima, no entanto, não explica a presença de platôs nem o fato da magnetorresistência se anular em torno dos inteiros. A origem destes efeitos está no fato de que, por mais cuidadoso que seja o processo de crescimento, o sistema sempre apresenta impurezas, as quais causam dois efeitos importantes. Em primeiro lugar, os níveis de Landau se alargam, virando mini-bandas de estados deslocalizados (i.e., elétrons nestes estados podem conduzir corrente quando submetidos a um campo elétrico), representadas na Fig. 5.5(b) pelas regiões hachuradas. Em segundo lugar, as impurezas apri-

16 06 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS Figure 5.6: FQHE: Resistência Hall (R H ) e Magnetorresistência (R) como funções do campo magnético aplicado, agora no caso de heteroestruturas de GaAs/AlGaAs. Deve ser notado o aparecimento de mais platôs em R H e de mais quedas em R do que na Fig [Segundo HL Stormer, Rev.Mod.Phys.7, 875 (999)]. sionam alguns elétrons, que ficam em estados localizados, não participando, portanto, da condução; estes estados ocupam as regiões entre as bandas de Landau, como mostra a Fig. 5.5(b). Suponha agora que, para um dado valor de H, oníveldefermiesteja no meio de uma das bandas de Landau; neste caso a magnetorresistência não é nula, e R H não está em um platô. ÀmedidaemqueH diminui, o nível de Fermi agora aumenta continuamente, passando pela região de estados localizados, como indicado pela reta pontilhada na Fig. 5.5(b). Nesta região, os elétrons deslocalizados sentem um gap efetivo e, como no caso puro, não apresentam resistência; ademais, como as bandas de Landau permanecem totalmente preenchidas, R H se mantém nos valores quantizados. Posteriormente, os MOSFET s de Si foram substituídos por heteroestruturas de GaAs/AlGaAs, com um ganho significativo na mobilidade dos elétrons; isto é, diminuíram significativamente a presença de impurezas e a rugosidade nas interfaces [veja HL Stormer, op. cit.]. Isto, aliado à disponibilidade de campos magnéticos mais intensos, permitiu estabelecer a presença de platôs também para valores racionais não-inteiros de, dando origem ao Efeito Hall Quântico Fracionário (FQHE); veja a Fig A origem do FQHE reside na interação entre os elétrons, sendo, portanto, um efeito de muitos corpos. Todavia, a análise pode ser reduzida, de modo engenhoso, a um outro

17 5.4. THERMODYNAMICS OF BLACKBODY RADIATION 07 problema de partículas não interagentes. Para ver isto, devemos notar inicialmente que um campo magnético H, cujo fluxo é dado por = HL 2 (L 2 é a área), aplicado a uma distribuição uniforme de carga produz vórtices, cada um dos quais associado a um quantum de fluxo magnético 0 = hc/e. A Eq. (5.3.7) nos permite escrever a degenerescência de cada nível em termos de uma razão entre fluxos como g =, (5.3.4) 0 de modo que a Eq. (5.3.40) fornece = N 0. (5.3.42) O efeito das interações entre os elétrons pode ser levada em conta, de modo efetivo, ao fixarmos quanta de fluxo nos elétrons, criando as chamadas partículas compostas (PC s). Isto leva a uma transmutação estatística, pois ao trocarmos duas PC s, a função de onda fica multiplicada por um fator de fase ( ) + / 0. Assim, elétrons com um número par de quanta de fluxo são férmions compostos, enquanto que elétrons com um número ímpar de fluxos se tornam bósons compostos. A partir destas idéias pode-se compreender uma boa parte dos platôs e das correspondentes magnetorresistências nulas [veja HL Stormer, op. cit., RB Laughlin, Rev. Mod. Phys. 7, 863 (998), e referências lá citadas]. 5.4 Thermodynamics of Blackbody Radiation Uma das mais importantes aplicações da estatística de Bose-Einstein é na descrição de radiação eletromagnética em equilíbrio termodinâmico, chamada de radiação de corpo negro. Ela pode ser pensada como um gás de fótons. A linearidade das equações da eletrodinâmica implica na ausência de interações entre os fótons, de modo que este gás é, de fato, um gás ideal. Para tratar a radiação em um meio material e não no vácuo ainda como um gás ideal, a interação entre os fótons e a matéria deve ser pequena. Para gases, esta condição é satisfeita para todo o espectro, com exceção de frequências próximas dos picos de absorção; para meios materiais mais densos, a interação só pode ser considerada pequena a altas temperaturas. Por outro lado, deve-se ter em mente que a matéria deve sempre estar presente, pois é ela que fornece o mecanismo através da emissão e absorção de fótons para a radiação atingir o equilíbrio termodinâmico. Por esta razão, o número de fótons N não é definido, ao contrário do que ocorre em um gás material. Assim, para radiação em equilíbrio em uma cavidade de volume V, à temperatura T (fixos), N deve ser determinado a partir das condições de equilíbrio do sistema; a condição de mínimo da energia livre do gás de fótons = µ =0, T,V

18 08 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS ou seja, o potencial químico do gás de fótons é zero. Esta condição ocorre sempre que as partículas em estudo corresponderem a excitações de algum sistema como, por exemplo, fônons, mágnons, etc. Os fótons se distribuem entre os diferentes modos normais, caracterizados por vetores de onda k, com energias " k = ~! k e relação de dispersão! = c k ; os valores possíveis de k dependem das condições de contorno impostas à cavidade. Consideraremos sempre condições de contorno periódicas em uma caixa cúbica de volume V, que fornecem k = 2 V /3 n, n =0, ±, ±2,..., (5.4.2) onde = x, y, z. O número médio de fótons com vetor de onda k é dado pela Eq. (4.3.2) com µ = 0, hn k i = e ~! k, (5.4.3) que é a conhecida distribuição de Planck. Supondo o volume grande o suficiente, podemos passar para uma distribuição contínua de modos normais. O número de modos com vetores de onda no intervalo dk centrado em k é ( V/(2 ) 3 )dk, que, devido à isotropia da relação de dispersão, deve ser o mesmo que o número de modos, com módulo do vetor de onda no intervalo dk centrado em k. Temos então, para a densidade de modos (isto é, o número de modos por intervalo) g(k) = V (2 ) 3 4 k2. (5.4.4) Para relacionar g(k) com g(!), usamos a relação de dispersão e notemos que o campo eletromagnético tem apenas duas direções de polarização (denotadas por ê e ê 2,de modo que a densidade de modos com frequência entre! e! + d! fica, finalmente, g(!) =2 V 2 2 c 2!2. (5.4.5) O número de fótons com frequência neste intervalo é obtido multiplicando-se a Eq. (5.4.3) por g(!)d!: dn! = V! 2 d! 2 c 3 e ~!. (5.4.6) A energia irradiada nesta faixa do espectro é obtida como ~! dn!, ou de! = V ~ 2 c 3! 3 d! e ~!, (5.4.7) que é conhecida como a fórmula de Planck para a radiação de corpo negro; veja a Fig A baixas frequências (~! k B T ), recupera-se o resultado de Rayleigh-Jeans, de! = V!2 2 c 3 k BTd!, (5.4.8)

19 5.4. THERMODYNAMICS OF BLACKBODY RADIATION 09 Figure 5.7: Distribuição espectral da energia [(u 0 de! /d!, Eq. (5.4.7)] na radiação de corpo negro, mostrando os resultados de Planck, Rayleigh-Jeans e Wien; x ~!/k B T. enquanto que a altas frequências obtemos a lei de Wien, de! = V ~ 2 c 3!3 e ~! d!. (5.4.9) Para o cálculo de outras grandezas termodinâmicas necessitamos a função de partição, Z = X {n k },ê e P k,ê ~! kn k,ê = Y k,ê X e n=0 ~! k n = Y k,ê e ~! k, (5.4.0) cujo logaritmo nos dá ln Z = X k,ê ln( e ~! k )= 2 X k ln( e ~! k ). (5.4.) A energia interna é dada por ln Z = X k 2~! k e ~! k e ~! k = X k 2~! k hn k i, (5.4.2) onde hn k i é dado pela Eq. (5.4.3) e não inclui a degenerescência devido aos dois modos transversos de polarização. De modo análogo, a pressão fica ln Z = 3V X 2~! k hn k i, (5.4.3) k

20 0 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS onde deve-se lembrar que a dependência em V vem através de! k = ck, com k dado pela Eq. (5.4.2). Comparando as Eqs. (5.4.2) e (5.4.3), obtemos a equação de estado, PV = E, (5.4.4) 3 que é um resultado bastante conhecido para a pressão da radiação de corpo negro. Devese notar que o fator /3 representa, na realidade, a razão entre o expoente s da relação de dispersão (" p p s ) e a dimensão espacial d. Tomando agora V!, as somas em k podem ser substituídas por integrais, e ou E = V (2 ) 3 Z dk 4 k 2 ~ck e ~ck = V ~ 2 c 3 O calor específico do gás de fótons fica sendo Z 0 d!! 3 e ~!, (5.4.5) E V = 2 (k B T ) 4 5 (~c) 3. (5.4.6) C V = 4 k4 B 5(~c) 3 T 3, (5.4.7) Devemos comparar as diferentes contribuições do calor específico a baixas temperaturas. Para o gás de bósons materiais a 3 dimensões, temos C V T 3/2 e para o gás de fótons também a 3 dimensões, C V T 3. Estes resultados podem ser generalizados da seguinte forma: C V T d/s para um gás de bósons. Esta dependência com o expoente da relação de dispersão e com a dimensionalidade do sistema deve ser contrastada com o comportamento de um gás de férmions, C V T, para quaisquer s e d. 5.5 Phonons O problema de modos vibracionais de um sólido pode ser estudado considerando o sistema tanto como um conjunto de osciladores harmônicos, quanto como um gás de quanta de som, os chamados fônons. Para ilustrar isto, consideremos a Hamiltoniana de um sólido clássico de N átomos, cujas posições no espaço são especificadas pelas coordenadas (x,x 2,x 3,...x 3N ). As vibrações dos átomos em torno de suas posições de equilíbrio ( x, x 2, x 3,... x 3N ) são descritas pelos deslocamentos i =(x i x i ), onde i =,...3N. A energia cinética do sistema na configuração {x i } é, então, dada por e a energia potencial por = (x i )= ( x i )+ X E c = 2 m 3N i i= ẋ 2 i = 2 m X i {x i }={ x i } i + X i,j 2 i, 2 i j +... (5.5.2) j {x i }={ x i }

21 5.5. PHONONS Otermo ( x i ) representa a energia (mínima) do sólido, 0, quando todos os N átomos estão em repouso em suas posições de equilíbrio. O termo seguinte é identicamente nulo porque deve ter um mínimo em ( x i ). Os termos de segunda ordem representam, então, a componente harmônica das vibrações atômicas. Trabalharemos aqui na aproximação harmônica, baseada na hipótese de que as vibrações têm pequenas amplitudes, permitindo-nos desprezar termos de ordem mais alta. Podemos então escrever a Hamiltoniana como 8 9 < X H = 0 + : 2 m i 2 + X = ij i j ;, (5.5.3) i i,j onde ij = j, (5.5.4) inclui também o acoplamento entre vibrações em torno de diferentes sítios. Agora introduzimos uma transformação linear, das coordenadas i para as chamadas coordenadas normais, q i, de modo que a nova expressão para a Hamiltoniana não contém termos cruzados, H = 0 + X 2 m( q2 i +! i 2 qi 2 ), (5.5.5) i onde os! i, i =, 2,...,3N são as frequências características dos chamados modos normais do sistema. Elas são determinadas, essencialmente, pelos ij, que refletem detalhes do potencial de interação (x i ). Ademais, a Eq. (5.5.5) sugere que o sólido se comporta como um conjunto de 3N osciladores harmônicos não-interagentes com um espectro de frequências naturais,! i. Classicamente, então, cada um dos 3N modos normais corresponde a uma distorção dos pontos da rede; isto é, a uma onda sonora. Quânticamente, estes modos dão origem a quanta, chamados de fônons, em analogia com os modos do campo eletromagnético dando origem a fótons. Uma diferença importante entre estes dois casos é que, enquanto o número de modos normais no caso do campo eletromagnético é indefinido, o número de modos normais no caso de sólidos é especificado pelo número de sítios da rede. Todavia, o número de fônons, bem como o número de fótons, é também indefinido, resultando num potencial químico identicamente nulo; veja Seção 5.4. Estas diferenças se manifestam apenas nos comportamentos termodinâmicos destes sistemas envolvendo modos de altas frequências, como pode ser verificado pelos resultados que serão deduzidos nesta seção. A contribuição dos fônons para a termodinâmica do sólido pode então ser obtida da maneira usual, lembrando, em primeiro lugar, que os autovalores da Hamiltoniana quântica são dados por E{n i } = 0 + X n i + ~! i, (5.5.6) 2 i onde os números n i definem o estado de excitação dos diversos osciladores; equivalentemente, estes números definem as ocupações dos vários níveis dos fônons. A energia

22 2 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS interna do sistema é, então, E(T )= ( 0 + X i ) 2 ~! i + X i ~! i e ~! i/k B T. (5.5.7) A expressão entre colchetes é a energia do sólido no zero absoluto e determina a energia de ligação da rede. O último termo é que determina o calor específico, C V V X (~! i /k B T ) 2 e ~! i/k B T = k B (e ~! i/k B T ) 2 (5.5.8) Para prosseguirmos além deste ponto necessitaríamos de informações sobre o espectro de frequências, que não é simples de ser obtido a partir de primeiros princípios. Alternativamente, lança-se mão de espectros obtidos experimentalmente, ou faz-se hipóteses simplificadoras a seu respeito. No modelo de Einstein (907), supõe-se que todas as frequências têm o mesmo valor:! i =! E 8 i. O calor específico é, então, dado por onde a função de Einstein é E(x) = i C V (T )=3Nk B E(x), (5.5.9) x2 e x (e x ) 2, x = ~! E k B T E T, (5.5.0) definindo a temperatura de Einstein E. A altas temperaturas, T E, obtemos C V 3Nk B, que é o resultado clássico (c.f., o teorema da equipartição da energia) como deveria ser. Já a baixas temperaturas, T E, temos C V e x, que decai muito mais rápido que o previsto experimentalmente (em 3 dimensões) T 3. Como vimos anteriormente, o comportamento exponencial do calor específico sinaliza a presença de um gap de energia que, neste caso, é atribuído à artificialidade do modelo. No modelo de Debye (92) considera-se um espectro contínuo, até uma determinada frequência de corte,! D, a qual é determinada impondo que o número total de modos de vibração seja igual a 3N; istoé, Z!D 0 g(!) d! =3N, (5.5.) onde g(!)d! fornece o número de modos normais entre! e! + d!. Para g(!) podemos usar a expressão (5.4.5), desde que adaptada para levar em conta os seguintes aspectos: () os modos de vibração podem ser longitudinais e transversais (estes últimos são duplamente degenerados); (2) as velocidades de propagação dos modos longitudinais (c L ) e transversais (c T ) podem ser diferentes. Assim, g(!) = V!2 2 2 c 3 + V!2 L 2 c 3, (5.5.2) T

23 5.5. PHONONS 3 de modo que! 3 D = 8 2 N V Deste modo o espectro de frequências de Debye é dado por ( (9N/! D 3 g(!) = )!2, se! apple! D 0, se!>! D. c 3 L + 2 c 3. (5.5.3) T (5.5.4) Neste ponto devemos fazer duas observações. Em primeiro lugar, o espectro de freqüências de Debye é, claramente, uma idealização, como fica aparente ao ser comparado com um espectro real típico; veja a Fig Se para os modos de baixa frequência os chamados fônons acústicos a aproximação de Debye é razoável, para os modos de alta frequência fônons óticos as discrepâncias são aparentes. Felizmente, para quantidades médias como a energia interna e, por conseguinte, para o calor específico, detalhes finos do espectro não são muito importantes. Em segundo lugar, os modos longitudinais e transversais têm suas próprias frequências de corte,! D,L e! D,T, ao invés de um valor comum,! D, simplesmente porque há 2N modos transversos e N longitudinais. Todavia, ambas as frequências de corte correspondem a um mesmo comprimento de onda mínimo, min =(4 V/3N) /3, que é da ordem da distância interatômica no sólido. Retomando os cálculos na aproximação de Debye, e lembrando que na Eq. (5.5.8) a passagem para o contínuo contribui com g(!) /! 2, obtemos onde D(x 0 ) é a função de Debye, com C V (T )=3Nk B D(x 0 ), (5.5.5) D(x 0 )= 3 x 3 0 Z x0 0 dx x 4 e x (e x ) 2, (5.5.6) x 0 = ~! D k B T D T, (5.5.7) o que define a temperatura de Debye para o sólido. Fazendo a integral em (5.5.6) por partes, obtemos 3x 0 D(x 0 )= e x Z x0 x 3 x 3 dx 0 0 e x. (5.5.8) Para T D, a função D(x 0 ) pode ser expressa em uma série de potências em x 0 : e o calor específico neste limite fica D(x 0 ) ' x , (5.5.9) C V ' 3Nk B, (5.5.20)

24 4 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS Figure 5.8: Distribuição de frequências, g(!), para o Al. A linha cheia é obtida por espalhamento de raios-x [C B Walker, Phys. Rev , (956)] e a linha tracejada corresponde à aproximação de Debye. que é o resultado clássico. A baixas temperaturas, T D, podemos estender o limite superior de integração para em (5.5.8), D(x 0 )= 2 x 3 0 Z 0 dx x 3 e x + O(e x 0 ), (5.5.2) recaindo nas conhecidas integrais bosônicas, g n (z); veja Eq. (4.5.8). Logo, D(x 0 ) ' 2 x 3 (4)g 4 () = 4 4 T 3, (5.5.22) 0 5 D e, portanto, 2 4 T C V ' Nk B 5 D 3, (5.5.23) reproduzindo o comportamento conhecido como a Lei-T 3 de Debye, indicando a ausência de um gap, contrariamente ao previsto pelo modelo de Einstein. Deve-se notar que a dependência de C V com T a baixas temperaturas pode ser extraída sem nos referirmos às integrais bosônicas: com efeito, a integral em (5.5.2) contribui com um número, enquanto que a dependência com T já está contida em x0 3 que, por sua vez, resultou de uma mudança de variável de integração.

25 5.6. EXERCISES 5 Medidas experimentais do calor específico de sólidos a baixas temperaturas servem de teste para o modelo de Debye, através de estimativas para D, que devem ser comparadas com as obtidas a partir de constantes elásticas; o resultado favorece a teoria de Debye. Valores típicos de D cobrem o intervalo de 00 a 000K. Finalizando, esta análise indica que se o calor específico a baixas temperaturas de um dado sistema obedece à lei-t 3, então suas excitações térmicas são explicadas apenas por fônons. 5.6 Exercises. Obtenha os resultados (5.2.8), (5.2.9) e (5.2.20). 2. Mostre que, para um gás de férmions a baixas temperaturas temos, de uma maneira geral, µ ' " F " 2 6 d ln g(") # kb T 2 d ln " "=" F " F e C V ' S ' 2 3 k2 BTg(" F ), onde g(") é a densidade de estados de uma partícula. Discuta estes resultados para um gás com espectro de energia " p = ap n em um espaço d-dimensional. 3. Mostre que o diamagnetismo não existe na Física Clássica. [Sugestão: A Hamiltoniana para partículas carregadas em presença de um campo magnético B = r A é u m a função de p j +(e j /c)a(r j ). Deve-se mostrar, então, que a função de partição do sistema é independente do campo aplicado.] 4. Considere um gás ideal de elétrons bi-dimensional, cuja densidade (número de elétrons pela área do sistema) é n. Obtenha a contribuição dos momentos magnéticos intrínsecos para a suscetibilidade deste sistema a T = Considere elétrons não interagentes em 3 dimensões, em presença de um campo magnético uniforme H; a Hamiltoniana de uma partícula é dada pela Eq. (5.3.). (a) Mostre que a energia de uma dada configuração de spins pode ser escrita como E = X p E p (n p",n p# ), onde n p (= 0 ou ) é o número de partículas com spin = ± (ou ", #) e momento p, e E p (n p",n p# )=n p p 2 2m m pµ B H, com n p n p" + n p# e m p n p" n p#.

26 6 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS (b) Mostre que a gran-função de partição pode ser escrita como Z = Z 0 (µ + µ B H) Z 0 (µ µ B H), onde Z 0 ( ) = Y p h +e ( p2 /2m) i. (c) Mostre que o gran-potencial pode ser expresso como J = k B T V 3 hf 5/2 (ze µ BH )+f 5/2 (ze i µ B H ), onde as integrais fermiônicas f 5/2 (w) foram definidas na Eq. (4.4.). (d) Denotando por N o número médio de partículas com spin total de elétrons e a magnetização são dados por e N = N " + N # = V 3 hf 3/2 (ze µ BH )+f 3/2 (ze M = µ B (N " respectivamente. N # )=µ B V 3 h f 3/2 (ze µ BH ) f 3/2 (ze, mostre que o número i µ B H ), i µ B H ), (e) Discuta os limites de altas e baixas temperaturas, comparando com os resultados da Seção Ondas de spin são perturbações a baixas temperaturas sobre um estado com spins (clássicos) totalmente alinhados [parte (a) da figura abaixo]. Elas correspondem, essencialmente, a um desvio transversal sendo compartilhado por todos os spins; veja a parte (b) da figura abaixo. Mágnons são os quanta destas excitações, que têm relação de dispersão! = Ak 2, onde A é uma constante. Figure 5.9: Problema 6 (a) Faça esboços das densidades de estados de mágnons, D("), como funções da energia ", para dimensões espaciais d =, 2 e 3. Coloque no mesmo gráfico o número médio de mágnons com energia ".

27 5.6. EXERCISES 7 (b) Obtenha o número médio total de mágnons em um sistema de dimensão d. (c) Discuta cuidadosamente seus resultados. Comente, em particular, as consequências para o alinhamento quando d apple 2. (d) Suponha agora que lim "!0 g(") =, onde é uma constante positiva. Como isto alteraria as conclusões do ítem anterior? 7. Supondo que a relação de dispersão para vibrações em sólidos seja! = Ak s, mostre que a respectiva contribuição para o calor específico a baixas temperaturas é proporcional a T 3/s. Generalize este resultado para d dimensões. (Obs.: s = corresponde a fônons, e s = 2 corresponde a mágnons.) 8. Um gás ideal de bósons se movimenta em bloco com velocidade v em relação a um referencial inercial. (a) Mostre que o número médio de ocupação hn p i de um estado com energia " p é dado por hn p i = e ("p µ v p), onde µ é o potencial químico. (b) Mostre, a partir daí, que a densidade de massa inercial de um gás de fônons, com relação de dispersão! = ck, movendo-se em bloco com velocidade v é = 6 5 (k B T ) 4 45h 3 c 5 ( v 2 /c 2 ) 3.

28 8 CHAPTER 5. APPLICATIONS OF IDEAL QUANTUM SYSTEMS