MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ATENDIMENTO A DEMANDAS E DIMENSIONAMENTO DE LOTES EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO ININTERRUPTA

Transcrição

1 MODELOS MATEMÁTICOS PARA O ATENDIMENTO A DEMANDAS E DIMENSIONAMENTO DE LOTES EM SISTEMAS DE PRODUÇÃO ININTERRUPTA Maurício C. de Souza Departamento de Engenharia de Produção Universidade Federal de Minas Gerais Campus Pampulha Belo Horizonte - MG mauricio@dep.ufmg.br Alfredo C. de Castro Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção Universidade Federal de Minas Gerais Campus Pampulha Belo Horizonte - MG alfredoccastro@hotmail.com RESUMO Abordamos o problema de dimensionamento de lotes capacitado em sistemas de produção ininterrupta. O estudo foi conduzido numa indústria de fundição de auto-peças em alumínio que funciona 24 horas durante os 7 dias da semana. O sistema é multi-produto, cada qual composto por uma única operação, e com máquinas paralelas porém não idênticas. Outros aspectos do sistema também são tratados. O caso mono-produto, cada máquina processa apenas um produto em cada período, pode ser tratado como extensão de um modelo da literatura. Porém observa-se que tal extensão não éválida no caso geral, onde a hipótese mono-produto não se verifica. Propomos um modelo de programação inteira para o caso geral do problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado em sistemas de produção ininterrupta. Apresentamos resultados numéricos preliminares utilizando um pacote livre de otimização na aplicação do modelo proposto sobre problemas-teste reais. PALAVRAS CHAVE: Dimensionamento de lotes. Produção ininterrupta. Modelos de programação inteira. Administração e Gestão da Produção. ABSTRACT We treat capacitated lot sizing problems in non-stop production systems. The systems is singlestage and multi-item with parallel non-identical machines. Other characteristics of these types of systems are also considered. The single-mode case, in which a machine can only process a single item in each time period, can be handled as an extension of a previously model proposed in the literature. This extension does not apply however to the general case where the assumption of single-mode does not hold. We propose thus an integer programming model for the general capacitated multi-item lot sizing problems in non-stop production systems. We report preliminary numerical results on employing a free software optimization package to solve real instances with the proposed model. KEYWORDS: Lot sizing. Non-stop production. Integer programming models. Management & Production. [ 123 ]

2 1 Introdução Problemas de dimensionamento de lotes são centrais em planejamento da produção. A problemática encontrada é definir, dentro de um horizonte de planejamento discretizado em períodos, quanto de cada produto deve ser (i) produzido em cada período e (ii) mantido em estoque de um período para o outro de forma a atender uma previsão de demanda minimizando os custos incorridos. Tais problemas têm sido tratados na literatura de pesquisa operacional e áreas correlatas por modelagem matemática e otimização (ver por exemplo Hax e Candea (1984), Pochet (2001), e Wolsey (2002)). Já na literatura tradicional de planejamento da produção, onde se enquadram sob o termo plano mestre de produção - master production scheduling, tais problemas têm sido tratados por abordagens intuitivas e menos quantitativas (ver por exemplo Krajewski e Ritzman (1993) e Vollman et al. (1997)). No que concerne a literatura de pesquisa operacional, modelos matemáticos vêm sendo propostos para incorporar diversas particularidades encontradas em situações reais: multiplosprodutos, restrições de capacidade, existência de tempos de preparação de máquinas, backlogging, etc., ver por exemplo Bitran e Yanasse (1982), Salomon (1991), Vanderbeck (1998), Pochet (2001), e Wolsey (2002). As restrições tipicamente encontradas em modelos matemáticos para problemas de dimensionamento de lotes estão associadas ao atendimento da demanda por cada produto em cada período, à viabilidade de produção em termos da capacidade instalada em cada período, e àrestrição lógica de que produzir uma quantidade estritamente positiva num período implica em tempo de preparação de máquina naquele período. Neste trabalho consideramos um problema de dimensionamento de lotes num ambiente de produção ininterrupta. Isto siginifica que aspectos de mercado e contábeis, como por exemplo a demanda por produto e o custo de manutenção de uma unidade de produto em estoque, incidem por período, mas que a produção porém ocorre ininterruptamente dentro do horizonte de planejamento. Decorre que produzir um produto num determinado período não implica necessariamente em tempo de preparação de máquina naquele período, pois o produto pode vir já em produção do período anterior não necessitando portanto de preparação. Como será visto adiante, esta característica não pode ser tratada de maneira imediata com simples adaptações de modelos previamente propostos. O presente estudo foi motivado pelo sistema de produção de uma indústria de fundição de auto-peças em alumínio que funciona 24 horas durante os 7 dias da semana. É um sistema multiproduto, cada qual composto por uma única operação. A operação de produção de uma unidade consiste na injeção sob-pressão de alumínio liqüefeito no molde com a forma do produto. O sistema de produção é tipicamente composto por máquinas paralelas porém não idênticas. Além da característica de produção ininterrupta, outros aspectos do sistema são tratados. A quantidade da demanda de mercado por cada produto a ser atendida éumavariável de decisão, estando limitada a um intervalo entre valores mínino e máximo por período. Existem também particularidades de processo e restrições sobre os recursos de moldes disponíveis. Estas condições são amplamente encontradas em indústrias cujo principal recurso de produção é o conjunto máquina-molde, tais como forjarias, estamparias, fundição sob-pressão e injeção de plástico. Otrabalhoestá organizado da seguinte forma. Na próxima seção são introduzidas as características dos problemas de dimensionamento de lotes capacitado, e a particularidade do problema em ambientes de produção ininterrupta. Na Seção 3 nós propomos um modelo de programação inteira para o problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado em sistemas de produção ininterrupta. Nesta mesma seção são descritas outras especificidades da situação estudada. Resultados de experimentos computacionais preliminares utilizando pacotes livres de otimização para se aplicar o modelo proposto sobre problemas-teste reais são apresentados na Seção 4. O artigo termina com conclusões e extensões para trabalhos futuros. 2 Problema de Dimensionamento de Lotes Capacitado A equação deequlíbrio envolvendo os níveis de estoque, de produçãoe dedemandaatendida, quando não são consideradas possibilidades de ruptura de estoques ou backlogging, foi introduzida por Wagner e Whitin (1958). Extensões para quando há possibilidade de backlogging foram propostas [ 124 ]

3 por Zangwill (1969). Wagner e Whitin (1958) consideraram a versão não capacitada do problema de dimensionamento de lotes. Decorre da hipótese de capacidade ilimitada que o problema para P produtos pode ser decomposto em P problemas independentes - fato explorado em algoritmos de decomposição (ver por exemplo Wolsey (2002)). Dado um horizonte discretizado em T períodos para o planejamento de P produtos, definem-se as variáveis x pt e s pt como sendo as quantidades respectivamente a produzir e a estocar do produto p, p =1,...,P,noperíodo t, t =1,...,T. A equação de equlíbrio se escreve: s p,t 1 + x pt s pt = d pt, p =1,...,P, t=1,...,t onde d pt é a demanda pelo produto p no período t, es p0 éoestoqueinicial. Enquanto em se tratando de lotes de compra, a versão não capacitada do problema pode representar boas aproximações da realidade, o mesmo não ocorre em se tratando de lotes de produção. Sistemas de produção são de alguma forma capacitados, o que acarreta uma concorrência dos produtos pelos recursos de produção. Manne (1958) introduziu na literatura tais restrições de concorrência por recursos acoplando e limitando as decisões sobre as quantidades dos diversos produtos a produzir e a estocar. Ainda, tempos de preparação de máquinas são geralmente não negligenciáveis, penalizando a capacidade disponível para produção quando há troca de produtos em máquina. Trigeiro et al. (1989) propuseram um modelo, derivado de Billigton et al. (1983), para o problema de dimensionamento de lotes em sistemas de produção capacitados e com com tempos de preparação de máquina para um único recurso. Além das variáveis x pt e s pt previamente definidas, definese a variável binária y pt, p =1,...,P, t =1,...,T, que assume o valor 1 se há preparação de máquina para a produção do produto p no período t, e0senão. O recurso tem uma capacidade w t, t =1,...,T, dada por exemplo em unidades de tempo. A produção de uma unidade do produto p consome a p unidades de tempo. O tempo gasto com a preparação de máquina para começar sua produção é b p. Os custos por unidade associados respectivamente à quantidade a ser estocada, à quantidade a ser produzida, e ao tempo de preparação de máquina para cada produto e período são dados por e pt, c pt,eq pt. O modelo para problemas de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado, denominado doravante por (DLMC), se escreve então: T min c pt x pt + e pt s pt + q pt y pt (1) t=1 p=1 s p,t 1 s pt + x pt = d pt p =1,...,P,t=1,...,T (2) a p x pt + b p y pt W t t =1,...,T (3) p=1 p=1 x pt M pt y pt 0 p =1,...,P,t=1,...,T (4) y pt {0, 1},x pt,s pt 0 e inteiros. (5) A função objetivo (1) contabiliza o custo total incorrido. A restrição (2) garante o atendimento da demanda como discutido acima. A restrição (3) limita o total das quantidades de produtos que podem ser produzidas no período t. Nesta restrição, não só sevê o acoplamento dos produtos, como também a redução na capacidade de produção disponível em cada período devido as preparações de máquina. A restrição (4) garante a implicação lógica de que a produção de qualquer quantidade estritamente positiva de um produto acarreta na preparação de máquina para tal. A constante M pt é um limite superior à quantidade do produto p a ser produzida no período t, e pode ser calculada por M pt = T u=t d pu. Finalmente, (5) garante que a variável de preparação de máquina ébinária e que as demais variáveis são inteiras e positivas. Maes et al. (1991) provaram que o problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado é NP-Completo. Visto isso diversas heurísticas vêm sendo propostas na literatura. Jans e Degraeve (2006) apresentam uma recente revisão de literatura sobre heurísticas e meta-heurísticas para o problema de dimensionamento de lotes capacitado. Para abordagens exatas recentes ver Miller et al. (2000) e Miller et al. (2003). Existe no modelo (DLMC) a hipótese implicita de produção independente em dois períodos consecutivos. Esta hipótese assume que: a produção de qualquer quantidade estritamente positiva de [ 125 ]

4 um produto num determinado período acarreta na preparação de máquina para tal, mesmo que este produto tenha sido produzido no período anterior. Assumindo-se a hipótese implicita de produção independente em dois períodos consecutivos, o modelo (DLMC) pode ser facilmente estendido para um sistema produtivo com K máquinas paralelas não necessariamente idênticas. Basta para isso indexar as variáveis y pt e x pt,osparâmetros que lhes são associados, e o parâmetro de capacidade W t por k, k =1,...,K. 3 Problema de Dimensionamento de Lotes Capacitado em Produção Ininterrupta Consideremos inicialmente o caso particular de sistemas de produção ininterrupta com um único recursoondeamáquina pode processar apenas um produto em cada período, denominado por modo mono-produto - single-mode. Neste caso, o produto pode prosseguir em máquina do período t para operíodo t + 1, mas um outro produto só poderáentraremmáquina no início do período t +2. Vanderbeck (1998) apresenta um modelo que pode ser estendido para o caso mais geral de máquinas paralelas, desde que cada máquina funcione em modo mono-produto. Para tal, além das variáveis e parâmetros do modelo (DLMC) generalizadas para k, k = 1,...,K, máquinas como descrito na seção anterior, define-se a variável binária v k pt que assume o valor 1 se for o produto p alocado à máquina k no período t, e 0 senão. A extensão do modelo (DLMC) para o caso de produção ininterrupta mono-produto, denominado doravante por (DLMC mp), se escreve: T min e pt s pt + c k pt xk pt + qk pt yk pt (6) t=1 p=1 s p,t 1 s pt + x k pt = d pt p =1,...,P,t=1,...,T (7) vpt k p=1 v k pt vk p,t 1 yk pt 1 k =1,...,K,t=1,...,T (8) 0 p =1,...,P,k =1,...,K,t=1,...,T (9) a k px k pt + b k py k pt W t v k pt 0 p =1,...,P,k =1,...,K,t=1,...,T (10) v k pt,y k pt {0, 1},x k pt,s pt 0 e inteiros. (11) Arestrição (7) garante o atendimento da demanda, sendo que agora o produto pode ser produzido em qualquer uma das máquinas paralelas. A restrição (8) garante que o sistema funciona no modo mono-produto, pois no máximo apenas um produto é alocado em cada máquina em cada período. A característica de produção ininterrupta está narestrição (9). Uma quantidade estritamente positiva do produto p só poderá, no período t, ser produzida sem necessidade de preparação da máquina k, se p tiver sido alocado àmáquina k no período t 1. Este é o caso que corresponde à atribuição do valor 1 a ambas as variáveis vpt k e vk p,t 1, podendo-se assim atribuir o valor 0 àvariável yk pt. Nos outros casos, ou não há produção de p na máquina k no período t, ou a restrição (9) força a preparação de máquina, i.e., vpt k =1,vk p,t 1 =0,eyk pt = 1. Em seguida, o limite de capacidade é estabelecido pela restrição (10). Neste estudo porém nós estamos interessados no problema de dimensionamento de lotes em sistemas de produção ininterrupta em que não há motivos para assumir como verdadeira a hipótese de modo mono-produto. Ou seja, a produção funciona 24 horas por dia nos 7 dias da semana enão há nenhum impedimento a que uma máquina processe mais de um produto num mesmo período. O modelo (DLMC mp) passa a não ser mais válido. O fato de um produto p ser alocado a uma máquina k em dois períodos consecutivos t e t +1não acarreta necessariamente que não há preparação da máquina k em t + 1, pois podem haver outros produtos sendo também produzidos na máquina nos períodos t e t + 1. Apenas quando o produto p atravessa de t para t +1emmáquina é que não há a necessidade de preparação da máquina k. Modelamos esta situação definindo uma variável binária θpt k quevale1seoprodutop satisfaz às seguintes duas condições: (i) éoúltimo a ocupar a máquina k dentre todos os produtos produzidos em k no período t, e(ii) p continuará aser produzido em k no período t +1. A variável θpt k que vale 0 se uma destas duas condições não forem [ 126 ]

5 satisfeitas. Assumimos implicitamente que se θp,t k =1exk p,t+1 > 0, então p é o primeiro produto a ser produzido em k no período t + 1. Isso acarreta a restrição que as variáveis θp,t k e θp,t+1 k poderão ambas valerem 1 apenas se p for o único produto a ser produzido na máquina k no período t +1. Consideramos também a decisão do nível de atendimento das demandas pelos produtos. A demanda d pt, p =1,...,P,et =1,...,T, a ser atendida é agora uma variável de decisão, sendo que existem valores d pt e d pt respectivamente mínimos e máximos estipulados que devem ser respeitados. Está associada àvariável de demanda uma margem de lucro ρ pt dada basicamente pelo preço de venda menos o custo c pt de processamento do produto em máquina. Vale ressaltar que os custos e pt de manutenção de estoque e qpt k de preparação de máquina não são incorporados à margem ρ pt, e devem portanto ser tratados na função objetivo de forma explícita. O modelo desenvolvido incorpora também algumas particularidades do chão de fábrica do sistema de produção estudado. Um produto p pode ser simultâneamente produzido em máquinas diferentes, desde que hajam moldes em número suficiente. Denotaremos por m p onúmero de moldes disponíveis para a fundição do produto p. No processo de fundição verifica-se o efeito de rampa de aproveitamento. Isto significa que, devido a necessidade de aquecimento do conjunto máquinamolde, o processo demora um tempo τ pk para atingir o regime de taxa nominal μ pk de produtos por unidade de tempo nos padrões de qualidade exigidos. Durante a fase inicial de produção podem ser aproveitados produtos, porém observa-se uma alta taxa de refugo. O efeito de rampa étratado calculando-se primeiramente qual tempo em regime corresponderia à produção da quantidade z do z produto p gerada durante a rampa e que pode ser aproveitada, i.e., μ pt.considera-sedaíotempo de preparação de máquina b k p como sendo, o tempo ˆb k p que a máquina efetivamente fica parada para troca de molde, etc., mais o tempo que a máquina ficaria parada se a quantidade z aproveitada fosse produzida em regime, i.e., b k p = ˆb k p + τ pk z μ pt. Assim o cárater não linear da produção durante o efeito de rampa pode ser tratado simplesmente incrementando o tempo de preparação de máquina. Propomos então o seguinte modelo, denominado por (DLPI), para o problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado em sistemas de produção ininterrupta: T max ρ pt d pt e pt s pt qpt k (yk pt θk p,t 1 ) (12) t=1 p=1 d pt d pt p =1,...,P,t=1,...,T (13) s p,t 1 s pt + d pt d pt p =1,...,P,t=1,...,T (14) x k pt d pt =0 p =1,...,P,t=1,...,T (15) a k px k pt + b k p(ypt k θp,t 1) k W kt k =1,...,K,t=1,...,T (16) p=1 p=1 x k pt M ptypt k 0 p =1,...,P,k =1,...,K,t =1,...,T (17) 1 p =1,...,P,k =1,...,K,t =1,...,T (18) θp,t k p=1 θ k p,t y k pt 0 p =1,...,P,k =1,...,K,t =1,...,T (19) θp,t 1 k ypt k 0 p =1,...,P,k =1,...,K,t =2,...,T (20) Pj=1 j =p θp,t 1 k + ypt k yjt k + + θp,t k 3 P p =1,...,P,k =1,...,K,t =1,...,T (21) ypt k m p p =1,...,P,t=1,...,T (22) y k pt,θ k p,t {0, 1},x k pt,d pt,s pt 0 e inteiros. (23) A função objetivo (12) visa maximizar o retorno do sistema, descontando do total obtido com as margens por produto entregue em cada período, os custos totais de manutenção de estoques e de preparação de máquinas. Vale notar a participação da variável θ na última parcela da função ob- [ 127 ]

6 jetivo. Não há preparação de uma máquina k num período t se o produto p continua em máquina. Eesteé exatamente o caso em que θp,t 1 k vale 1, anulando assim o termo yk pt θk p,t 1 enão contabilizando o custo qpt. k A demanda é tratada nas restrições de (13) a (15), que limitam a decisão de nível de atendimento de demanda aos valores mínimo e máximo e garantem tal atendimento. A restrição (16) garante a viabilidade da produção em cada máquina e em cada período segundo a sua capacidade instalada. De maneira análoga ao que ocorre na função objetivo, o tempo de preparação de máquina b k pt não é contabilizado se θk p,t 1 vale 1. A restrição (17) vincula a produção de uma quantidade estritamente positiva do um produto p na máquina k no período t ao valor 1 da variável ypt k (a efetiva necessidade de preparação da máquina estando associada à conjugação dos valores das variáveis ypt k e θp,t 1 k ). A coerência lógica entre as variáveis y e θ é garantida pelas restrições de (18) a (21). A restrição (18) garante que no máximo apenas um produto pode ser o último a ser processado na máquina k no período t e continuar em máquina no período t +1. As restrições (19) e (20) garantem que a variável θp,t k só pode assumir o valor 1 se produto p for alocado àmáquina k emambososperíodos t e t + 1, i.e., se ypt k e yk p,t+1 forem ambos iguais a 1. A restrição (21) advém da hipótese implicita que, fixado um produto p e uma máquina k, seθp,t k =1ex k p,t+1 > 0, então p é o primeiro produto a ser produzido em k no período t + 1. Deve-se então garantir que θp,t 1 k e θk pt poderão ambas valerem 1 apenas se p for o único produto a ser produzido na máquina k no período t. Este caso corresponde a uma atribuição de valores tais que P j=1 j =p yjt k =0(nenhum outro produto é produzido em k no período t) eθ k p,t 1 + θk pt + y k pt =3. Como P j=1 j =p y k jt é necessariamente menor do que P, a restrição (21) assegura que θ k p,t 1 e θk pt valem ambas 1 apenas se p for o único produto a ser produzido em k no período t. Finalmente, a restrição (22) limita a produção simultânea de um produto p em máquinas diferentes ao número de moldes m p disponíveis. 4 Resultados Computacionais Preliminares Realizamos alguns testes numéricos preliminares para ter alguma sensibilidade sobre a performance computacional do modelo visando o prosseguimento do estudo. O modelo foi implementado no pacote livre de otimização GLPK versão 4.8 instalado num PC Intel Celeron M de 1.4 GHz com 128 MB de memória RAM rodando o sistema Windows XP. O horizonte é discretizado em semanas. O intervalo entre os limites mínimo e máximo de atendimento da demanda pode variar de produto para produto, o máximo indo do dobro até 10 vezes o limite mínimo. O limite máximo de demanda para os produtos varia na faixa de a unidades. A margem de lucro por unidade de produto costuma a ser da ordem de uma dezena de unidades monetárias, enquanto o custo de manutenção de estoque gira em torno de uma unidade monetária. O tempo de preparação de máquina éconsiderável, variando na faixa de 8 a 20 horas. Isso acarreta um custo relevante associado à preparação de máquina, tipicamente entre e unidades monetárias. Embora a fábrica funcione ininterruptamente, a capacidade pode variar de um período para o outro devido a manutenções programadas. Devido a ordem de grandeza das quantidades a serem produzidas e estocadas, relaxamos a restrição de integralidade para as variáveis d, x, es, mantendo apenas a restrição 0 ou 1 para as variáveis y e θ. A Tabela 1 apresenta os resultados obtidos nos testes preliminares. Nas três primeiras colunas estãolistadososnúmeros de produtos, de máquinas, e de períodos. Logo após é listado o número de variáveis resultante. Em seguida são apresentados, o limite superior, o valor da solução viável, e o desvio percentual de otimilidade retornados pelo GLPK. Na última coluna são apresentados os tempos de computação. Inicialmente foram tratados os problemas com menos de variáveis, para os quais impôs-se um limite de tempo de 600 segundos. Para alguns destes problemas-teste deixou-se o GLPK rodar sem limite de tempo, porém após aproximadamente 12 horas não foi observado redução no desvio percentual de otimalidade. Nota-se nos problemas-teste com P = 13eP = 22 um maior desvio percentual de otimalidade quando o número de máquinas aumenta, mantendo-se os outros fatores constantes. Atribuímos esse fato a um aumento nas possibilidades de escolha de alocação de produtos a máquinas. Em particular para o problema-teste com P = 22, K = 22, e T =9,não foi possível com o GLPK obter solução viável, embora a solução para o problema-teste com P = 22, K = 20, e T =9sejaviável [ 128 ]

7 P K T #var Lim. Sup. Sol. Viável d(%) Tempo(s) , ,0 0, , ,0 0, , ,0 0, , ,0 1, , ,0 2, , ,0 1, , ,0 0, , ,0 0, , ,3 1, , Tabela 1: Resultados numéricos preliminares. para o problema-teste com 22 máquinas. Observa-se uma tendência a haverem nas soluções viáveis obtidas algumas máquinas dedicadas, produzindo um mesmo produto ao longo de todo o horizonte, embora haja concorrência entre os produtos por algumas outras máquinas. Talvez com um número de produtos significativamente superior ao número de máquinas, ou com um aumento no custo de manutenção em estoque em detrimento do custo de preparação de máquina (que na indústria de fundição de alumínio é alto) haja uma maior concorrência pelas máquinas. Conclusões e Trabalhos Futuros Neste trabalho abordamos o problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado em sistemas de produção ininterrupta. Embora o problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado seja estudado na literatura, ao nosso conhecimento, os modelos que não assumem a hipótese de modo mono-produto contabilizam o tempo de preparação de máquina para determinado produto em todo o período em que este é produzido. Ocorre que nos sistemas de produção ininterrupta, produzir um produto num determinado período não implica necessariamente em tempo de preparação de máquina, pois o produto pode vir já em produção do período anterior não necessitando portanto de preparação. Observamos que esta característica não pode ser tratada de maneira imediata com simples adaptações de modelos previamente propostos na literatura. Propomos então um modelo de programação inteira para o problema de dimensionamento de lotes multi-produto e capacitado em sistemas de produção ininterrupta. Outras características também foram tratadas, tais como: decisão sobre o nível de atendimento da demanda de mercado, e particularidades de processo e restrições sobre os recursos típicos de indústrias de processo máquina-molde. Foram apresentados resultados numéricos de testes computacionais preliminares empregando-se um pacote livre de otimização. A continuidade do estudo prevê um melhor entendimento do comportamento numérico domo- delo, segundo características que problemas reais podem apresentar. Desejamos identificar até onde a aplicação direta do modelo empregando pacotes livres ou comerciais de otimização resolve de maneira satisfatória o problema. Numa visão de mais longo prazo os trabalhos se desenvolverão em duas linhas complementares: esquemas de geração de bons limites superiores (o problema éde maximização), e heurísticas para a obtenção de soluções viáveis de qualidade. Referências Billigton, P.J., J.O. McClain, e L.J. Thomas (1983), Mathematical approaches to capacity-constrained MRP systems: review, formulation and problem reduction, Management Science 29, Bitran, G.R., e H.H. Yanasse (1982), Computational complexity of the capacitated lot size problem, Management Science 28, [ 129 ]

8 Hax, A.C., e D. Candea (1984), Production and Inventory Management, Prentice Hall. Jans, R., e Z. Degraeve (2006), Meta-heuristics for dynamic lot sizing: A review and comparison of solution approaches, European Journal of Operational Research, em impressão. Krajewski, L.J., e L.P. Ritzman (1993), Operations Management: Strategy and Analysis, 3a. edição, Addison-Wesley. Maes, J., J.O. McClain, e L.N. Van Wassenhove (1991), Multilevel capacitated lotsizing complexity and LP-based heuristics, European Journal of Operational Research 53, Manne, A.S. (1958), Programming of economic lot sizes, Management Science 4, Miller, A.J., G.L. Nemhauser, e M.W.P. Savelsbergh (2000), Solving the multi-item capacitated lot-sizing problem with setup times by branch-and-cut, CORE Discussion Paper 2000/39, CORE, Université Catholique de Louvain, Bélgica. Miller, A.J., G.L. Nemhauser, e M.W.P. Savelsbergh (2003), On the polyhedral structure of a multi-item production planning model with setup times, Mathematical Programming 94, Pochet, Y. (2001), Mathematical programming models and formulations for deterministic production planning problems, Computational Combinatorial Optimization, M.Jünger e D. Naddef (editores), Lecture Notes in Computer Science 2241, , Springer-Verlag. Salomon, M. (1991), Deterministic Lotsizing Models for Production Planning, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 355, Springer-Verlag. Trigeiro, W.W., L.J. Thomas, e J.O. McClain (1989), Capacitated lot sizing with setup times, Management Science 35, Vanderbeck, F. (1998), Lot-sizing with start-up times, Management Science 44, Vollman, T.E., W.L. Berry, e D.C. Whybark (1997), Manufacturing Planning and Control Systems, 4a. edição, McGraw-Hill. Wagner, H.M., e T.M. Whitin (1958), Dynamic version of the economic lot size model, Management Science 5, Wolsey, L.A. (2002), Solving multi-item lot-sizing problems with an MIP solver using classification and reformulation, Management Science 48, Zangwill, W.I. (1969), A backlogging model and multi-echelon model of a dynamic economic lot size production system - a network approach, Management Science 15, [ 130 ]