Combination of Box-Jenkins and MLP/RNA Models for Forecasting

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1 Combination of Box-Jenkins and MLP/RNA Models for Forecasting W. Jacobs, A. M. Souza and R. R. Zanini Abstract This study aims to predict the values of the time series of milk demand in a dairy industry by combining forecasting of Box-Jenkins and artificial neural network models and compare the results to the individual models, exemplifying the combined forecast for the production planning. Eight predictions combining methods were used and, after the use of statistical methods, the results obtained by fitting the Box- Jenkins and artificial neural network templates were compared with the results obtained in the proposed combinations. The results showed that the combination of seasonal Box-Jenkins and deseasonalize artificial neural network models by the inverse mean square method, provided a performance in the forecast for six months ahead 66.5% higher than the individual models, where the combination of forecasts provided a root mean square error of.43 and mean absolute percentage error of.6. The forecast for months ahead, the performance of the combination was 56.5% higher compared to individual models, with root mean square error of.86 and mean absolute percentage error of 3.70%. In both cases, the combination of predictions showed superior results. Temperature ou leite tipo UHT, de uma indústria de lácteos da região do Vale do Taquari, no interior do Estado do Rio Grande do Sul. II. MATERIAIS E MÉTODOS A combinação das previsões dos modelos foi realizada de três formas: (i) combinação das previsões dos modelos ARIMA e MLP, (ii) combinação das previsões dos modelos ARIMA e DMLP (modelo MLP com valores de demanda mensal dessazonalizados, conforme é explicado a seguir) e (iii) combinação das previsões dos modelos MLP e DMLP. Os resultados das combinações foram comparados com os resultados obtidos nas próprias combinações e com os resultados obtidos pelos modelos utilizados para obter as previsões, conforme na Fig., que de forma geral mostra a metodologia utilizada no presente estudo. Keywords Demand Forecast, Forecast Combination, Box- Jenkins Methodology, Artificial Neural Network, Multilayer Perceptron. I. INTRODUÇÃO PREVISÃO da demanda de produtos geralmente é obtida A por meio de modelagens. Uma das classes de modelos lineares muito utilizada é Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA), implementada por uma metodologia popularizada por George Box e Gwilym Jenkins a metodologia de Box-Jenkins [], []. Outro modelo que tem mostrado acurácia é o de Redes Neurais Artificiais (RNA), onde diversas topologias já foram aplicadas à previsão. A topologia de RNA, comumente utilizada para previsão é a Multilayer Perceptron (MLP), e tem sido eficiente, principalmente, na previsão de séries temporais com padrões não lineares, caso em que os modelos de Box-Jenkins não são eficazes [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [0], [], [], [3]. Para capturar melhor os padrões que influenciam uma série temporal e otimizar a capacidade de previsão dos modelos, muitos pesquisadores argumentam que a melhoria da capacidade preditiva nas séries se dá pela combinação de modelos de previsão [3], [4], [0], [4], [5], [6]. Neste sentido, o presente estudo tem por objetivo realizar combinação de previsões entre os modelos ARIMA e os modelos MLP/RNA para a série temporal da demanda agregada de leite produzido pelo processo Ultra High W. Jacobs, Centro Universitário Univates (UNIVATES), Lajeado, Rio Grande do Sul, Brasil, eng.williamjacobs@gmail.com A. M. Souza, Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil, amsouza.sm@gmail.com R. R. Zanini, Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil, rrzanini@terra.com.br Figura. Metodologia utilizada na previsão e comparação dos modelos e técnicas de combinação. Com o intuito de captar efeitos sazonais na série, realizouse a previsão da demanda agregada de leite futura por meio do modelo ARIMA, para 6 e para meses adiante. Para os modelos de redes neurais MLP/RNA, utilizou-se dois tipos de modos no número de neurônios da camada de entrada: (i) um tipo com 6 ou com valores de demanda mensal defasados da série denominado a partir de então como MLP; e (ii) um tipo com, além dos 6 ou valores de demanda mensal defasados da série, valores de demanda mensal defasados de uma decomposição da série nas componentes sazonal e tendência o modelo DMLP, conforme realizado por [4], [7]. Para ambos os modelos MLP/RNA utilizou-se apenas uma camada escondida, onde foram testados os seguintes números de neurônios 5, 0, 5, 0, 5, 30, 35, 40, 45 e 50, respectivamente. O neurônio da camada de saída foi representado por um único valor correspondente a demanda mensal prevista pelos modelos. O treinamento das RNA foi realizado por meio do

2 algoritmo backpropagation, que permite ajustar os pesos até que se consiga o menor erro quadrático médio [4]. Os modelos foram treinados por meio do software Matlab R00a e, após foram realizadas previsões para os valores da demanda mensal futura para cada modelo nos horizontes de tempo de 6 e de períodos adiante. A seleção do melhor modelo MLP e DMLP foi realizada com base no Root Mean Square Error (RMSE) e o Mean Absolute Percentage Error (MAPE) []. Para verificar se ocorreu um super ajustamento aos valores da demanda mensal do conjunto de treinamento, foi realizada uma regressão entre os valores de entrada da RNA e os respectivos valores gerados no conjunto de treinamento, e uma regressão entre os valores de entrada do conjunto de validação e os respectivos valores de saída deste conjunto. Caso houvesse diferença significativa entre os valores dos coeficientes de determinação entre cada conjunto, de treinamento e validação, seria necessário investigar a hipótese de super ajustamento. Os métodos de combinações de previsões adotados foram o método da variância mínima (VAR); média aritmética (MD); média geométrica (MG) e harmônica (MH); média geométrica ponderada (MGP) e harmônica ponderada (MHP). O penúltimo método foi o de mínimos quadrados (MQ) e o último método de combinação considerado no estudo foi o denominado inverse mean square (IM), desenvolvido por [7]. Para realizar a combinação por meio do método da mínima variância, o primeiro passo consistiu em verificar a correlação entre os resíduos de previsão dos modelos utilizados. Esse procedimento foi realizado para se definir qual o melhor método de combinação utilizar o que considera resíduos correlacionados ou o que não considera, conforme pode ser visto mais detalhadamente em [4]. Na combinação das previsões por meio da média geométrica ponderada, da média harmônica ponderada e de mínimos quadrados, os pesos foram obtidos por meio de busca que gerou o menor erro quadrático médio. Para a busca da melhor combinação dos pesos, utilizou-se do método evolutionary disponível no Solver do Excel, que é baseado em algoritmos genéticos evolutivos. Para a aplicação do método inverse mean square, os pesos w e w das duas previsões foram calculados por meio de uma média móvel considerando k, assim como realizado em [8]. Na última etapa deste estudo, foi realizada uma comparação entre os modelos utilizados para a previsão versus suas respectivas combinações e entre as combinações das previsões, com o objetivo de verificar qual das combinações resultaria em um melhoramento significativo na capacidade preditiva. Para isso, os resultados das previsões obtidos por meio dos modelos individuais compuseram quatro grupos de combinações de modelos, conforme disposto no Quadro. O Grupo (G) foi composto pelos resultados da previsão dos modelos ARIMA, MLP e DMLP. Os demais grupos foram compostos pelos resultados das previsões das possíveis combinações entre os modelos supracitados, conforme observa-se no Quadro, utilizando 8 métodos de combinação. Considerando que os dados não apresentaram ajuste à distribuição normal, foi utilizado o teste de Kruskal-Wallis para verificar se havia diferença significativa. A comparação dos grupos foi realizada por meio do teste Dunn dado em [9], para identificar qual(is) o(s) tipo(s) de combinação(ões) apresenta(m) diferença significativa nos resultados de previsão. Inicialmente, as combinações e os modelos foram agrupados conforme delineado no Quadro, onde foram realizados quatro testes de comparação do RMSE e do MAPE nos horizontes de previsão, denominados: KW, KW, KW3 e KW4. No teste KW e KW comparou-se os resultados dos 4 grupos no horizonte de previsão de 6 e de meses, respectivamente, com base no critério RMSE. Para o teste KW3 e KW4 os resultados foram comparados com base no critério MAPE. Grupo Resultados das previsões alocados a cada grupo Número de resultados de previsão G Modelos utilizados para as combinações das previsões: ARIMA, MLP e DMLP. 3 G Combinações do modelo ARIMA com o modelo MLP: AR_MLP_VAR, AR_MLP_MD, AR_MLP_MG, AR_MLP_MGEP, AR_MLP_MH, 8 AR_MLP_MHP, AR_MLP_MQ e AR_MLP_IM. G3 Combinações do modelo ARIMA com o modelo DMLP: AR_DMLP_VAR, AR_DMLP_MD, AR_DMLP_MG, AR_DMLP_MGP, AR_DMLP_MH, 8 AR_DMLP_MHP, AR_DMLP_MQ e AR_DMLP_IM. G4 Combinações do modelo MLP com o modelo DMLP: MLP_DMLP_VAR, MLP_DMLP_MD, MLP_DMLP_MG, MLP_DMLP_MGP, MLP_DMLP_MH, MLP_DMLP_MHP, MLP_DMLP_MQ e MLP_DMLP_IM. 8 Quadro. Formação dos grupos de resultados de previsões para a comparação dos modelos e das combinações. III. RESULTADOS O estudo foi realizado em uma empresa de grande porte do ramo alimentício da região do Vale do Taquari, Rio Grande do Sul, que possui diversas unidades de negócio, incluindo a de laticínios. Esta unidade da empresa possui 58 produtos distribuídos em sete famílias, que são: leite UHT, leite em pó, iogurtes, queijos, doces de leite, requeijão e nata. A série temporal da demanda agregada de leite UHT contém 90 meses de dados históricos. Para realizar as previsões, a série foi dividida em três grupos: (i) dos valores da demanda ocorrida entre o º e 78º mês, que compuseram o conjunto de modelagem; (ii) dos valores da demanda ocorrida entre o 79º e 85º mês, que compuseram o conjunto de previsão para 6 meses; e, (iii) dos valores da demanda ocorrida entre o 79º e 90º mês, que compuseram o conjunto de previsão para meses. Na Fig. observa-se a série da demanda agregada de leite UHT, sendo que (i) a série se desenvolve em torno de um determinado nível e (ii) há evidências de que a série possui

3 determinado grau de sazonalidade. A série temporal foi considerada estacionária por meio do teste Augmented Dickey-Fuller (ADF), conforme pode ser visto em [0], para os níveis de significância de 5% e 0%, para a componente não sazonal. Além disso, observou-se que a sazonalidade da série tornou-se estacionária após a realização de uma diferença (D). Na Tabela são mostrados os resultados da estimação dos parâmetros, os p-valores e a variância do erro associada a cada modelo escolhido a partir da Função de Autocorrelação (ACF) e da Função de Autocorrelação Parcial (PACF). Demanda agregada (x0 5 litros) Conjunto de modelagem Conjunto de previsão configurações testadas para a camada de entrada dos modelos MLP considerou 6 e valores de demanda mensal defasados. A não ocorrência de super ajustamento foi confirmada por meio de uma regressão linear simples entre os valores obtidos pelo modelo e os valores alvo apresentados ao modelo. Nas Fig. 3(a) e 3(b) são mostrados as dispersões dos processos de treinamento e validação do modelo MLP(,30,), respectivamente. O eixo das ordenadas representa os valores respondidos pelo modelo MLP(,30,) para a demanda mensal, modelo que corresponde a neurônios na camada de entrada, 30 neurônios na camada intermediária e um na camada de saída. O eixo das abscissas representa os valores alvo apresentados à rede na etapa de modelagem. A linha escura (denominada Fit) representa o modelo de regressão ajustado Período (mês) Figura. Série temporal da demanda agregada de leite tipo UHT. TABELA I. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DOS MODELOS SELECIONADOS MODELOS SARIMA(3,0,)(,,0) SARIMA(,0,)(,,0) VALOR DOS PARÂMETROS φ : 0,333 p0,08 φ : 0,3086 p0,045 φ 3 : 0,303 p0,05 θ : 0,736 p< 0,0 Φ : -0,60 p0,04 φ : 0,7050 p< 0,0 θ : 0,97 p< 0,0 Φ : -0,538 p0,037 ESTATÍSTICAS DE AJUSTES Var. erro 34,4 AIC 439,9 Var. erro 40,46 AIC 444,7 Figura 3. Dispersão dos resultados do processo de treinamento do modelo MLP(,30,) (a) e do processo de validação do modelo (b). Na etapa de treinamento foi obtido um R² 0,87 e, para o processo de validação, R² 0,868; com isso, pode-se observar que não houve super ajustamento na etapa de treinamento do modelo MLP(,30,), pois a diferença entre os coeficientes R das etapas treinamento e validação não foi significativa. Nas Fig. 4(a), 4(b) e 4(c) são mostrados os resultados da decomposição clássica que foram introduzidos nos neurônios da camada de entrada dos modelos, os valores defasados da tendência, sazonalidade e componente irregular, respectivamente. Mais detalhes sobre a técnica de decomposição pode ser visto em []. Observa-se que o modelo com menor variância residual e critério de Akaike (AIC) foi o SARIMA(3,0,)(,,0) que é um modelo ARIMA sazonal, ou, Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average. Todos os parâmetros deste modelo foram significativos ao nível de 5%. Além disso, verificou-se que o modelo selecionado atendeu aos pressupostos de ruído branco e ausência de autocorrelação residual, sendo apropriado para se realizar as previsões. Posteriormente, procedeu-se a modelagem e previsão da série temporal por meio dos modelos de RNAs da topologia MLP. Considerando-se a existência da componente sazonal, as

4 Figura 4. Componentes dessazonalizadas: tendência (a), sazonalidade (b) e componente irregular (c) da série temporal, utilizadas como entrada nos modelos DMLP. O modelo DMLP(6,5,) foi o selecionado para ser combinado com o modelo SARIMA(3,0,)(,,0) por apresentar os menores valores dos critérios de ajustes. A evidência da não ocorrência de super ajustamento do modelo DMLP(6,5,) é corroborada pelos gráficos de dispersão dos processos de treinamento e validação do modelo, conforme as Fig. 5(a) e 5(b). Figura 5. Dispersão dos resultados do processo de treinamento do modelo DMLP(6,5,) (a) e do processo de validação do modelo (b). Na etapa de treinamento obteve-se o valor R² 0,94 e, para o processo de validação, R² 0,895, concluindo-se que no treinamento do modelo DMLP(6,5,) também não ocorreu o super ajustamento. Portanto, ambos os modelos MLP apresentaram capacidade de generalização para valores out-of-sample. Na fase de combinação de previsões, o primeiro método utilizado foi o de variância mínima. Na obtenção dos pesos atribuídos a cada previsão, nenhum dos modelos apresentou correlação significativa entre os resíduos de previsão. Para o modelo AR_MLP_VAR, a correlação foi igual a 0,7 (p0,60); para o modelo AR_DMLP_VAR, a correlação foi igual a -0,5 (p0,64); no caso do modelo MLP_DMLP_VAR, a correlação foi 0,3 (p0,89). Nas Equações, e 3 foram realizadas as combinações de previsões para um período à frente. () (AR _ MLP _ VAR ) w + ( w) 0,80(49,45) + 0,0(36,3) 46,76 () (AR _ DMLP _ VAR ) w + ( w) 0,67(49,45) + 0,33(40,04) 46,38 () (MLP _ DMLP _ VAR ) w + ( w) 0,35(36,3) + 0,65(40,04) 38,74 () (3) ( AR _ MLP _ VAR ) modelos SARIMA e MLP pelo método da mínima variância; ( AR _ DMLP _ VAR ) modelos SARIMA e DMLP pelo método da mínima variância; ( MLP _ DMLP _ VAR) modelos MLP e DMLP pelo método da mínima variância; w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método da mínima variância; () ˆx UHT para um Equações e, e no caso da Equação 3, faz referência à ˆx UHT para um Equação, e no caso das Equações e 3, faz referência à A segunda combinação foi realizada utilizando-se a média aritmética, para as combinações AR_MLP_MD, AR_DMLP_MD e MLP_DMLP_MD. Nas Equações 4, 5 e 6, é exemplificado a combinação da previsão de cada modelo para um período à frente. () + (AR _ MLP_ MD) 49, ,3 4,88 () + (AR_ DMLP_ MD) 49,45+ 40,04 44,74 () + (MLP_ DMLP_ MD) 36,3 + 40,04 38,8 ( AR _ MLP _ MD ) modelos SARIMA e MLP pelo método da média aritmética; ( AR _ DMLP _ MD ) modelos SARIMA e DMLP pelo método da média aritmética; (4) (5) (6)

5 ( MLP _ DMLP _ MD) modelos MLP e DMLP pelo método da média aritmética; () ˆx UHT para um Equações 4 e 5, e no caso da Equação 6, faz referência à ˆx UHT para um Equação 4, e no caso das Equações 5 e 6, faz referência à Por meio da média geométrica foram obtidas as combinações AR_MLP_MG, AR_DMLP_MG e MLP_DMLP_MG. Nas Equações 7, 8 e 9 é exemplificado a combinação da previsão de cada modelo para um período à frente. (AR _ MLP _ MG) * 49,45* 36,3 4,38 (AR _ DMLP _ MG) () 49,45* 40,04 44,50 (MLP_ DMLP_ MG) () 36,3* 40,04 38,3 () * * ( AR _ MLP _ MG ) modelos SARIMA e MLP pelo método da média geométrica; ( AR _ DMLP _ MG ) modelos SARIMA e DMLP pelo método da média geométrica; ( MLP _ DMLP _ MG ) modelos MLP e DMLP pelo método da média geométrica; () ˆx UHT para um Equações 7 e 8, e no caso da Equação 9, faz referência à ˆx UHT para um Equação 7, e no caso das Equações 8 e 9, faz referência à As combinações AR_MLP_MGP, AR_DMLP_MGP e MLP_DMLP_MGP foram obtidas com a média geométrica (7) (8) (9) ponderada de cada previsão, conforme pode ser visto com mais detalhes em [8] e []. Os pesos w para cada combinação obtidos pela busca e que satisfazem às restrições foram, respectivamente: 0,735, 0,3394 e 0,575; obtendo, respectivamente, os seguintes valores para o MSE: 0,57,,54 e,6. Nas Equações 0, e são dadas as combinações da previsão para um período adiante. zˆ (AR _ MLP _ MGP) () w [ ] * [ ] w 0,735 0,648 [ 49,45] *[ 36,3] 45,57 (0) (AR _ DMLP _ MGP) () w [ ] *[ ] w 0,3394 0,6606 [ 49,45] *[ 40,04] 43,0 () ( MLP _ DMLP _ MGP ) () w ( ) [ ] * [ ] [ 36,3 ] 0, 575 * [ 40,04 ] 0, ,05 ( ) ( AR _ MLP _ MGP ) modelos SARIMA e MLP pelo método da média geométrica ( AR _ DMLP _ MGP ) modelos SARIMA e DMLP pelo método da média geométrica ( MLP _ DMLP _ MGP) modelos MLP e DMLP pelo método da média geométrica w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método Evolutionary; () ˆx UHT para um Equações 0 e, e no caso da Equação, faz referência à ˆx UHT para um Equação 0, e no caso das Equações e, faz referência à Por meio da média harmônica foram obtidas as combinações AR_MLP_MH, AR_DMLP_MH e MLP_DMLP_MH, exemplificado, respectivamente, para um passo adiante, nas Equações 3, 4 e 5. (AR _ MLP _ MH) () () + (49,45* 36,3) 4,88 (49, ,3) w (3)

6 (AR _ DMLP_ MH) () () + (49,45* 40,04) 44,5 (49, ,04) (MLP_ DMLP_ MH) () (36,3* 40,04) 38,09 (36,3+ 40,04) () + (4) (5) ( AR _ MLP _ MH ) modelos SARIMA e MLP pelo método da média harmônica; ( AR _ DMLP _ MH ) modelos SARIMA e DMLP pelo método da média harmônica; ( MLP _ DMLP _ MH ) modelos MLP e DMLP pelo método da média harmônica; () ˆx UHT para um Equações 3 e 4, e no caso da Equação 5, faz referência à ˆx UHT para um Equação 3, e no caso das Equações 4 e 5, faz referência à Para a média harmônica ponderada foram obtidas as combinações AR_MLP_MHP, AR_DMLP_MHP e MLP_DMLP_MHP. Os pesos w para cada combinação obtidos pela busca, e que satisfazem às restrições, foram, respectivamente: 0,7589, 0,330 e 0,43; obtendo-se, respectivamente, os MSE: 0,66,,84 e,55. Nas Equações 6, 7 e 8 são dadas as combinações para um período adiante. (AR _ MLP_ MHP) () () ( w) + w (49,45* 36,3) 45,49 ( 0,7589)49,45 + (0,7589)36,3 (AR _ DMLP_ MHP) (49,45* 40,04) 4,67 ( 0,330)49,45 + (0,330)40,04 () () ( w) + w (6) (7) (MLP_ DMLP_ MHP) () () ( w) + w (36,3* 40,04) 39,07 ( 0,43)36,3 + (0,43)40,04 (8) ( AR _ MLP _ MHP ) modelos SARIMA e MLP pelo método da média harmônica ( AR _ DMLP _ MHP ) modelos SARIMA e DMLP pelo método da média harmônica ( MLP _ DMLP _ MHP) modelos MLP e DMLP pelo método da média harmônica w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método Evolutionary; () ˆx UHT para um Equações 6 e 7, e no caso da Equação 8, faz referência à ˆx UHT para um Equação 6, e no caso das Equações 7 e 8, faz referência à As combinações utilizando-se mínimos quadrados foram as seguintes: AR_MLP_MQ, AR_DMLP_MQ e MLP_DMLP_MQ. Na primeira combinação, os pesos w e w obtidos foram 0,7085 e 0,935, respectivamente, e o erro quadrático médio igual a 0,33. Os pesos w e w obtidos para a segunda foram 0,349 e 0,6488, respectivamente, e o erro quadrático médio igual a,5. Os pesos w e w obtidos para a terceira combinação foram 0,736 e 0,783, respectivamente, e o erro quadrático médio igual a,73. Nas Equações 9, 0 e é exemplificado a combinação para a previsão de um período adiante. zˆ () w + w ( AR _ MLP _ MQ) 0,7085(49,45) + 0,935(36,3) 45,69 zˆ () w + w ( AR _ DMLP _ MQ) 0,349(49,45) + 0,6488(40,04) 43,5 zˆ () w + w ( MLP _ DMLP_ MQ) 0,736(36,3) + 0,783(40,04) 39,0 (9) (0)

7 ( AR _ MLP _ MQ ) modelos SARIMA e MLP pelo método de mínimos quadrados; ( AR _ DMLP _ MQ ) modelos SARIMA e DMLP pelo método de mínimos quadrados; ( MLP _ DMLP _ MQ) modelos MLP e DMLP pelo método de mínimos quadrados; w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método Evolutionary, para a previsão do modelo SARIMA, no caso das Equações 9 e 0, e, no caso da Equação, para a previsão do modelo MLP; w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método Evolutionary, para a previsão do modelo MLP, no caso das Equação 9, e, no caso das Equações 0 e, para a previsão do modelo DMLP; () ˆx UHT para um Equações 9 e 0, e no caso da Equação, faz referência à ˆx UHT para um Equação 9, e no caso das Equações 0 e, faz referência à Para o último método utilizado, o Inverse Mean Square (IM), fez-se necessário o cálculo dos pesos de cada uma das previsões, realizado por meio do MSE dos modelos de previsão, em cada período de tempo. O MSE, conforme [8], foi calculado por meio de uma média móvel de três períodos a partir dos resíduos quadráticos de cada previsão. Os pesos w e w foram obtidos por meio das equações que podem ser verificadas em [7] e [8], e os parâmetros de entrada foram o erro quadrático médio do modelo ARIMA e o erro quadrático médio do modelo combinado. Nas Equações, 3 e 4 são exemplificados as combinações para um período adiante. () (AR _ MLP_ IM) w + w 0,8(49,45) + 0,9(36,3) 47,00 (AR_ DMLP_ IM) () w + w 0,69(49,45) + 0,3(40,04) 46,55 (MLP_ DMLP_ IM) () w + w 0,34(36,3) + 0,66(40,04) 38,77 () (3) (4) ( AR _ MLP _ IM ) modelos SARIMA e MLP pelo método inverse mean square; ( AR _ DMLP _ IM ) modelos SARIMA e DMLP pelo método inverse mean square; ( MLP _ DMLP _ IM ) modelos MLP e DMLP pelo método inverse mean square; w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método inverse mean square, para a previsão do modelo SARIMA, no caso das Equações e 3, e, no caso da Equação 4, para a previsão do modelo MLP; w : peso ótimo da combinação obtido por meio do método inverse mean square, para a previsão do modelo MLP, no caso das Equação, e, no caso das Equações 3 e 4, para a previsão do modelo DMLP; () ˆx UHT para um Equações e 3, e no caso da Equação 4, faz referência à ˆx UHT para um Equação, e no caso das Equações 3 e 4, faz referência à Após realizadas as combinações das previsões, pode-se calcular os resultados de cada combinação para o conjunto de modelagem e para o conjunto de previsão para, posteriormente, selecionar aquela considerada a melhor para a série temporal em estudo. A combinação de previsões que forneceu o melhor resultado foi a AR_DMLP_IM. Nas Fig. 6(a) e 6(b) são mostrados os valores previstos pela combinação, além dos valores reais da série. Os testes de comparação realizados indicaram que, no caso do teste KW, os grupos que diferem de forma estatisticamente significativa ao nível de significância de % são os seguintes: G e G; G e G3; G e G4; e, G3 e G4. No caso do teste KW, os grupos são os seguintes: G e G3; e, G3 e G4. O teste KW3 mostrou diferenças significativas, ao nível de significância supracitado, nos seguintes grupos: G e G; G e G3; G e G4; e, G3 e G4. Por fim, no caso do teste KW4, os grupos que diferem são: G e G3; e, G3 e G4. Após, foram verificados os grupos que diferem por meio do teste de Dunn [9]. Pode-se concluir que as combinações das previsões dos modelos MLP e DMLP não melhoraram significativamente o desempenho em relação aos modelos individuais, do G. Para o horizonte de previsão de 6 meses, em geral, a combinação dos modelos ARIMA e MLP apresentou o melhor

8 desempenho, mas a diferença não foi significativa quando comparada ao desempenho da combinação dos modelos ARIMA e DMLP. Para o horizonte de previsão de meses, a combinação dos modelos ARIMA e DMLP apresentou o melhor desempenho, mas que também não é significativo quando comparado a combinação dos modelos ARIMA e MLP. Para o horizonte de previsão de 6 meses, em geral, a combinação dos modelos SARIMA e MLP apresentou o melhor desempenho, mas a diferença não foi significativa quando comparada ao desempenho da combinação dos modelos SARIMA e DMLP. Para o horizonte de previsão de meses, a combinação dos modelos SARIMA e DMLP apresentou o melhor desempenho, mas também não foi significativa quando comparada à combinação dos modelos SARIMA e MLP. Demanda agregada (x0 5 litros) AR_DMLP_IM Valores reais da série IV. CONCLUSÕES A melhor combinação de previsões da série temporal da demanda agregada de leite UHT, utilizando os modelos de Box-Jenkins e MLP/RNA como previsores na combinação, possibilitou a flexibilidade na captura dos diversos padrões existentes nas séries. Observou-se um melhor desempenho no caso da combinação dos modelos SARIMA(3,0,)(,,0) e DMLP(6,5,) pelo método inverse mean square. No horizonte de 6 meses, a combinação forneceu um desempenho de até 56,0% melhor que o SARIMA e até 66,5% melhor que o DMLP, que foram os modelos utilizados na combinação. Desempenho (%) Desempenho (%) Período (meses) G (M) G(R) G3(M) G3(R) G4(M) G4(R) Grupos (critérios) AR_DMLP_IM Valores reais da série Período (meses) Figura 6. Valores previstos pela combinação AR_DMLP_IM para 6 meses adiante (a) e valores previstos pela combinação para meses adiante (b). Nas Fig. 7(a) e 7(b) são mostrados os box-plot para o desempenho obtido nos grupos de combinações em relação às previsões dos modelos individuais, conforme os critérios utilizados. O G(M), por exemplo, corresponde ao box-plot do grupo calculado por meio do critério MAPE, enquanto o G(R), o do grupo calculado pelo critério RMSE. Pelo RMSE, o melhor desempenho na previsão 6 meses adiante foi a AR_MLP_IM. No horizonte de previsão de meses, o melhor desempenho foi obtido pela combinação AR_DMLP_IM. A combinação escolhida para realizar a previsão da série, para ambos os horizontes, foi a AR_DMLP_IM. A diferença média do desempenho desta na previsão para 6 meses, comparado a AR_MLP_IM, conforme o MAPE, é de 4% superior em relação à segunda e, pelo RMSE, a segunda combinação é,6% superior em relação à AR_DMLP_IM. Desempenho (%) Desempenho (%) G (M) G(R) G3(M) G3(R) G4(M) G4(R) Grupos (critérios) Figura 7. Box-plot do desempenho percentual obtido com as previsões de cada grupo em relação aos resultados do G no horizonte de previsão para 6 meses (a) e no horizonte de previsão para meses adiante (b). No horizonte de meses, o desempenho da combinação foi de até 40,% e até 56,5% superior, respectivamente. Pode-se concluir que as combinações das previsões dos modelos MLP e DMLP não melhoraram significativamente o desempenho em relação aos modelos individuais, inclusive o SARIMA. As combinações dos modelos ARIMA e MLP, e ARIMA e DMLP, melhoraram significativamente o desempenho das previsões na comparação com os resultados do G, mas não houve diferença estatisticamente significativa no desempenho entre estas combinações. As técnicas de combinação são simples de serem utilizadas e, em geral, melhoram a capacidade preditiva da série. Porém, devem ser utilizados bons modelos como previsores onde, para a obtenção de maior acurácia na previsão, tendo em vista os diversos padrões existentes nas séries, recomenda-se a

9 utilização dos modelos de Box-Jenkins e os modelos MLP/RNA. Considerando o crescente número de pesquisas na área de previsão de séries temporais por meio de modelos híbridos [4], [6], [8], [9], [0], [] e [3], sugere-se a realização estudos comparativos do desempenho dessa classe de modelos na previsão de demanda, em relação aos tradicionais métodos de combinação estudados na literatura, a exemplo dos métodos utilizados neste artigo. Finalizando, conclui-se que as metodologias propostas podem contribuir significativamente para orientar tomadas de decisão e no planejamento de processos produtivos, podendo ser eficientes para inúmeras séries temporais. AGRADECIMENTOS À CAPES, pela bolsa concedida para a realização deste estudo. REFERÊNCIAS [] G. E. P. Box, G. M. Jenkins, Time series analysis. San Francisco, EUA: Holden-Day, 976. [] S. Makridakis, S. C. Wheelwright and R. J. Hyndman, Forecasting: Methods and Applications, Wiley & Sons, 998. [3] G. P. Zhang, B. E. Patuwo, M. Y. Hu, A simulation study of artificial neural networks for nonlinear time series forecasting, Computers & Operations Research, No. 8, p , 00. [4] F. M. Tseng, H. C. Yu, G. H. Tzeng, Combining neural network model with seasonal time series ARIMA model, Technological Forecasting and Social Change, No. 69, p.7-87, 00. [5] S. L. Ho, M. Xie, T. N. Goh, A comparative study of neural network and Box-Jenkins ARIMA modeling in time series prediction, Computers & Industrial Engineering, No. 4, p , 00. [6] G. P. Zhang, Time series forecasting using a hybrid ARIMA and neural network model, Neurocomputing, No. 50, p.59-75, 003. [7] G. P. Zhang, M. Qi, Neural network forecasting for seasonal and trend time series, European Journal of Operational Research, No. 60, p.50-54, 005. [8] L. Aburto, R. Weber, Improved supply chain management based on hybrid demand forecasts, Applied Soft Computing, No. 7, p.36-44, 007. [9] D. O. Faruk, A hybrid neural network and ARIMA model for water quality time series prediction, Engineering Applications of Artificial Intelligence, No. 3, p , 00. [0] M. Khashei, M. Bijari, An artificial neural network (p,d,q) model for time series forecasting, Expert Systems with Applications, No. 37, p , 00. [] E. Guresen, G. Kayakutlu, T. U. Daim, Using artificial neural network models in stock market prediction, Expert Systems with Applications, No. 38, p , 0. [] T. M. Choi, Y. Yu, K. F. Au, A hybrid SARIMA wavelet transform method for sales forecasting, Decision Support Systems, No. 5, p.30-40, 0. [3] Y. S. Lee, L. I. Tong, Forecasting time series using a methodology based on autoregressive integrated moving average and genetic programming, Knowledge-Based Systems, No. 4, p.66-7, 0. [4] J. M. Bates, C. W. J. Granger, The combination of forecasts, Operational Research Quarterly, No. 4, p , 969. [5] R. T. Clemen, Combining forecasts: a review and annoted bibliography, International Journal of Forecasting, No. 5, p , 989. [6] J. H. Stock, M. Watson, Combination forecasts of output growth in a seven-country data set, Journal of Forecasting, No. 3, p , 004. [7] J. H. Stock, M. W. Watson, A comparison of linear and nonlinear univariate models for forecasting macroeconomic time series, In. R. F. Engle, H. White, Cointegration, causality and forecasting: a festschrift in honour of Clive W. J. Granger. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 999. [8] R. R. Andrawis, A. F. Atiya, H. El-Shishiny, Combination of long term and short term forecasts, with application to tourism demand forecasting, International Journal of Forecasting, No. 7, p , 0. [9] S. Siegel, J. Castellan, Nonparametric statistics for the behavioral sciences, McGraw-Hill, 988. [0] D. Dickey, W. A. Fuller, Distribution of the Estimates for Autoregressive Time Series with a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, No. 74, p.47-43, 979. [] A. J. Patton, K. Sheppard, Optimal combinations of realized volatility estimators, International Journal of Forecasting, No. 5, p.8-38, 009. William Jacobs é graduado em Engenharia de Produção pelo Centro Universitário Univates (UNIVATES), em Lajeado, RS, Brasil. É Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), RS, Brasil. É professor nos cursos de graduação em Administração e Engenharia na UNIVATES, onde leciona disciplinas voltadas ao apoio à decisão por meio de métodos quantitativos. Adriano Mendonça Souza é formado em Matemática e Física pela Faculdade Imaculada Conceição (FIC), em Santa Maria, RS, Brasil. Tem o título de Especialista em Estatística e Modelagem Quantitativa, e Mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), RS, Brasil. Realizou Doutorado em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Atualmente é professor Associado no Departamento de Estatística da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e suas pesquisas se concentram na área de Modelagem Estatística com Séries Temporais, Controle de Qualidade e Análise Multivariada. Roselaine Ruviaro Zanini possui licenciatura em Matemática e Física pela Faculdade Imaculada Conceição (FIC), em Santa Maria, RS, Brasil. Tem o título de Especialista em Estatística e Modelagem Quantitativa, e Mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), RS, Brasil. Realizou, em 007, Doutorado em Epidemiologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). Desde 996 é professora no Departamento de Estatística da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) e suas pesquisas se concentram na área de Modelagem Estatística e Estatística Aplicada.