UM ALGORITMO GENÉTICO PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ATIVIDADES ECONÔMICAS JACQUELINE MAGALHÃES RANGEL CORTES

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1 UM ALGORITMO GENÉTICO PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ATIVIDADES ECONÔMICAS JACQUELINE MAGALHÃES RANGEL CORTES Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Doutor em Ciências de Engenharia. Orientador: Prof. Geraldo Galdino de Paula Junior, D.Sc. Campos dos Goytacazes RJ Agosto de 2003

2 UM ALGORITMO GENÉTICO PARA SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE ATIVIDADES ECONÔMICAS JACQUELINE MAGALHÃES RANGEL CORTES Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Doutor em Ciências de Engenharia. Aprovada em 28 de agosto de Comissão Examinadora: Prof. Geraldo Galdino de Paula Junior, D.Sc. UENF Presidente Prof a. Gudelia G. Morales, D.Sc., UENF Prof. José Ramón Arica Chávez, D.Sc., UENF Prof. Rodrigo Tavares Nogueira, D.Sc., UES ii

3 DEDICATÓRIA A Deus, sempre presente. A minha vó Elvira, uma doce lembrança. iii

4 AGRADECIMENTOS Ao professor Geraldo Galdino de Paula Junior, pelo precioso conhecimento transmitido. Aos professores Arica, Gudélia e Rodrigo, pelas observações e sugestões. A Décio, companheiro de todos os momentos. A meus pais Maria Luiza e Cretom e a minha irmã Sheila pelo incentivo, amor e carinho. A Alcimar e Roberto, pela colaboração. Aos colegas do Laboratório de Engenharia de Produção. A UENF, pela oportunidade. A Fenorte, pelo apoio financeiro. A todos os que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho. iv

5 Resumo da Tese apresentada ao CCT/UENF, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Ciências de Engenharia (D.Sc.) Um Algoritmo Genético para Solução do Problema de Localização de Atividades Econômicas Jacqueline Magalhães Rangel Cortes Orientador: Geraldo Galdino de Paula Junior, D.Sc. Curso: Doutorado em Ciências de Engenharia Área de Concentração: Engenharia de Produção O problema de localização de atividades econômicas de base tecnológica é representado nesta tese por um modelo linear, multiobjetivo e dinâmico 0-1. Os objetivos aqui atingidos estão contidos em resultados que se basearam em fatores locacionais dominantes, de natureza qualitativa e quantitativa. A formulação apresentada como resultado da pesquisa se propõe a minimizar os custos de implantação das atividades econômicas, minimizar o tempo de acesso dessas atividades aos seus clientes e maximizar a obtenção de benefícios agregados às instalações e suas conexões, durante o horizonte de planejamento. Além disso, o processo de localização atende a um conjunto de restrições operacionais, de orçamento, bem como à exigência de interligação dos períodos de tempo associados ao aspecto dinâmico do problema. O esforço aqui desenvolvido resultou na formulação de um algoritmo genético e de sua adaptação à abordagem multiobjetivo do problema tratado nesta tese. Tal contribuição incorpora o uso de operadores de correção, apropriados e particulares, assim como inclui a penalização das soluções inviáveis através de uma verificação seqüencial das restrições. Ao final do processo evolutivo, as soluções não-dominadas, extraídas do conjunto das melhores soluções, são fornecidas à avaliação do decisor. Experimentos computacionais extensos foram realizados e seus resultados mostraram-se promissores, tanto em relação a aproximações de uma solução do problema em si, quanto com vistas à vantagem de se utilizar, via metáfora biológica, a inteligência da natureza em favor do cálculo de uma solução de problemas de modelagem computacional. v

6 Abstract of Thesis presented to CCT/UENF as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor in Engineering Sciences (D.Sc.). A Genetic Algorithm for Solving the Economic Activity Location Problem Jacqueline Magalhães Rangel Cortes Advisor: Geraldo Galdino de Paula Junior, D.Sc. Subject: Doctor in Engineering Science Major Subject: Production Engineering A linear, multiobjective and dynamic 0-1 model is used in this thesis to describe and solve, by a genetic algorithm, the location problem of economic activities having technological basis. The objectives achieved are contained in the results based on location dominant factors of qualitative and quantitative nature. The formulation presented aims to minimize investment costs of economic activities, minimize the access time of those activities to their customers and maximize the benefits joined to the facilities and their connections, during the planning horizon. Besides, the location process assists a group of operational restrictions, of budget, as well as the demand of interlinked periods of time, associated to the dynamic side of the problem. The effort developed results in the formulation of a genetic algorithm and its adaptation to the multiobjetive approach of the problem treated in this thesis. Such contribution incorporates the use of correction operators, appropriate and private, as well as includes the penalization of the infeasible solutions through a sequential verification of the restrictions. At the end of the evolutionary process, the non dominated solutions, extracted from the group of the best solutions, are supplied to the decisor maker s evaluation. Extensive computational experiments were accomplished and their results were shown promising, so much in relation to the solution of the problem in itself, as with views to the advantage of using, through biological metaphor, the intelligence of the nature in solution of computational modeling problems. vi

7 SUMÁRIO Lista de Figuras...ix Lista de Tabelas... x Lista de Quadros...xi CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Considerações gerais Objeto de estudo Objetivos da pesquisa Objetivo geral Objetivo específico Importância do trabalho Estrutura do texto...7 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO Principais formas de análise multiobjetivo Conceitos fundamentais da programação multiobjetivo Procedimentos para resolução de problemas PMO Alguns métodos de resolução de problemas PMO CAPÍTULO 3 PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO Teoria de localização Base histórica dos problemas de localização descritivos Base histórica dos problemas de localização normativos Redes, centros e medianas Modelos de localização Relaxação do problema de localização linear e estrutura facial do politopo Base histórica dos algoritmos para o problema de localização de atividades Relaxação lagrangeana Decomposição de Benders vii

8 Um algoritmo de decomposição baseado na relaxação lagrangeana convexa do problema mestre de Benders Problemas de localização dinâmica Um problema específico de localização dinâmica Outros problemas de localização dinâmica Problemas de localização multiobjetivo Problemas de localização dinâmica multiobjetivo...47 CAPÍTULO 4 FATORES LOCACIONAIS Considerações iniciais Importância dos fatores locacionais Classificação dos fatores locacionais Fatores mais relevantes Custo Proximidade da matéria-prima Proximidade dos mercados consumidores Economias de aglomeração Características da localidade Disponibilidade de mão-de-obra Infra-estrutura local Tributação e incentivos fiscais Qualidade de vida CAPÍTULO 5 ALGORITMO GENÉTICO Algoritmo genético tradicional O diferencial dos algoritmos genéticos Conceituação básica Funcionamento dos algoritmos genéticos Operadores genéticos Seleção Cruzamento Mutação Elitismo...67 viii

9 5.1.5 Parâmetros genéticos Algoritmo genético para problemas com restrições Algoritmo genético para problemas multiobjetivo CAPÍTULO 6 UM MODELO DE LOCALIZAÇÃO DINÂMICA MULTIOBJETIVO Introdução Especificação do modelo Funções objetivo O modelo dinâmico multiobjetivo CAPÍTULO 7 O ALGORITMO GENÉTICO PROPOSTO Introdução Codificação do cromossomo População inicial Geração aleatória de valores para y it Garantia de instalação Garantia de viabilidade orçamentária Geração aleatória de valores para x ijt Garantia de associação Avaliação da aptidão Ordenação Seleção Cruzamento Mutação Correção Penalização Elitismo Critério de término Não-dominância O algoritmo CAPÍTULO 8 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS Características de hardware e software ix

10 8.2 Inicialização dos parâmetros Problemas teste Resultados...98 CAPÍTULO 9 CONCLUSÕES E PESQUISAS FUTURAS Conclusões Pesquisas futuras REFERÊNCIAS x

11 LISTA DE FIGURAS Capítulo 2 Figura 2.1 Espaço de decisão...14 Figura 2.1 Espaço de critérios Capítulo 5 Figura 5.1 Exemplo de cruzamento de um ponto Figura 5.2 Exemplo de cruzamento de multipontos Figura 5.3 Exemplo de cruzamento uniforme Figura 5.4 Exemplo de mutação Capítulo 7 Figura 7.1 Sentido da comparação entre a população gerada e a elite xi

12 LISTA DE TABELAS Capítulo 8 Tabela 8.1 Resultados de P1 para p c = Tabela 8.2 Resultados de P1 para p c = 0, Tabela 8.3 Resultados de P1 para p c = 0, Tabela 8.4 Resultados de P2 para p c = Tabela 8.5 Resultados de P2 para p c = 0, Tabela 8.6 Resultados de P2 para p c = 0, Tabela 8.7 Resultados de P3 para p c = Tabela 8.8 Resultados de P3 para p c = 0, Tabela 8.9 Resultados de P3 para p c = 0, xii

13 LISTA DE QUADROS Capítulo 2 Quadro 2.1 Comparação entre as abordagens PMO e MADM Capítulo 8 Quadro 8.1 Dimensões dos problemas teste Quadro 8.2 Combinações de parâmetros genéticos utilizados Quadro 8.3 Valores ótimos dos problemas P1 e P xiii

14 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Considerações gerais As empresas têm dado cada vez mais importância ao seu planejamento locacional motivadas pela obtenção de maior competitividade. As decisões relativas a este tipo de planejamento podem ser tomadas considerando uma mistura de feeling pessoal do decisor e métodos científicos de auxílio à tomada de decisão. Contudo, a utilização destes métodos não garante uma decisão fácil, pois o planejamento locacional é, por natureza, de longo prazo, intensivo em uso de dados e de complexidade elevada. Nesse sentido, a análise locacional é um tema de interesse de pesquisadores de áreas como Economia, Engenharia, Geografia, Pesquisa Operacional, Marketing, Matemática, Planejamento, Ciência Regional, entre outros. O problema de localização de atividades pode ser visto como uma subárea de um contexto mais amplo conhecido como Logística, que trata do planejamento, organização e controle das tarefas associadas a armazenagem, transporte e distribuição de bens e serviços, ou ainda definido pela seleção adequada de configurações em redes, tais como, redes de transporte, de distribuição e de comunicação. Em muitas situações, e quando for apropriada, a análise locacional é considerada, do ponto de vista econômico, como a busca do equilíbrio entre custos fixos de implantação de atividades e custos variáveis de transporte entre as atividades e os clientes atendidos por elas. Isto pode ocorrer com ou sem a consideração de restrições sobre o número de atividades a serem instaladas no cenário que é objeto de estudo.

15 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 2 De forma geral, a localização de atividades econômicas 1 consiste em escolher um ou mais locais entre um conjunto de potenciais alternativas, respeitando um conjunto de restrições 2 e considerando uma medida de avaliação 3 (objetivo) das possíveis alternativas de instalação. O planejamento da localização pode existir em muitos contextos, desde a localização de indústrias, aeroportos ou hospitais até de máquinas ou equipamentos. Em relação ao espaço geográfico, a localização pode apresentar-se em dois principais níveis: Nível macro: Na localização macrogeográfica consideram-se as características interregionais na escolha da região ou cidade para a instalação da atividade econômica; e, Nível micro: Na localização microgeográfica consideram-se as características em um nível mais local para a determinação da localização. Escolhe-se, por exemplo, o terreno dentro de um determinado bairro. A importância da decisão locacional é freqüentemente relacionada aos altos investimentos e ao impacto que tais decisões têm sobre os custos. Dessa forma, a localização representa um elemento fundamental para a vantagem competitiva das empresas. Porter (1999a) apresenta uma das razões que reforçam a necessidade da decisão locacional ser parte da estratégia global da empresa: [...] a localização afeta a vantagem competitiva através da influência sobre a produtividade e, em especial, sobre o crescimento da produtividade. Uma empresa de qualquer setor (agricultura, vestuário, educação, etc) pode tornar-se mais produtiva se forem incorporados métodos sofisticados, adotadas tecnologias avançadas e oferecidos produtos e serviços únicos. Potencialmente, todos os setores dispõem de condições para utilizar alta tecnologia 4 e podem ser intensivos em conhecimento. 1 Atividade econômica é considerada aquela socialmente organizada para produção de bens e/ou serviços e que apresenta resultado econômico. 2 Por exemplo, restrições de orçamento, de tempo, de atendimento a todos os clientes, entre outros. 3 Por exemplo, menor custo, menor contaminação, maior satisfação, entre outros. 4 O termo alta tecnologia se refere a um processo de produção cujo insumo principal é o conhecimento e a informação (CASTELLS, 1986). De acordo com Malecki (1997), dois indicadores principais podem ser utilizados para definir alta tecnologia: a participação dos gastos com Pesquisa & Desenvolvimento (P&D) no total das vendas e a percentagem de trabalho profissional (cientistas, engenheiros e técnicos) no total da força de trabalho.

16 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 3 Uma atividade econômica de base tecnológica se caracteriza pelo uso de tecnologias inovadoras, exigindo investimentos em Pesquisa & Desenvolvimento (P&D) e com o emprego intensivo de conhecimento técnico-científico. As áreas de informática, microeletrônica, química fina, biotecnologia, aeroespacial, mecânica de precisão, tecnologia da informação, automação industrial, entre outras, são exemplos típicos de destaque. Embora P&D represente um elemento crítico de uma atividade de base tecnológica, poucas empresas são inteiramente de alta tecnologia, no sentido de serem predominantemente engajadas na produção não rotineira, essência das atividades de P&D (MALECKI, 1987). Segundo Carvalho et al. (2000), as empresas brasileiras de base tecnológica podem ser caracterizadas como micro e pequenas empresas de capital próprio, formadas a partir de tecnologia gerada pelas transações informais entre empresário e Universidade, e por terem poucos sócios de elevado nível de escolaridade. De acordo com Porter (1990), existem várias formas da localização afetar o custo de uma empresa, seja de base tecnológica ou não, uma vez que as localidades possuem diferentes custos de logística, de mão-de-obra, de administração, de matérias-primas, de energia, entre outros. Assim, a preferência por um local em potencial geralmente depende do custo associado ou do lucro esperado. No entanto, nas decisões locacionais raramente as avaliações são baseadas exclusivamente no valor monetário, envolvendo assim mais de um objetivo (ver NIJKAMP & SPRONK, 1979). Adicionalmente, segundo Nijkamp & Spronk (1981), muitos aspectos das decisões de investimento não podem ser representados por um denominador monetário comum (por exemplo, risco e segurança). Além disso, tais decisões geralmente causam efeitos que dificilmente poderiam ser incorporados ao custo tradicional (por exemplo, danos ambientais). A decisão que envolve múltiplos objetivos é caracterizada como um problema multiobjetivo 5. Em algumas situações, as medidas de avaliação consideradas, quantitativas ou qualitativas, podem ser conflitantes. Como, por exemplo, uma situação na qual se busca a minimização dos custos totais e a maximização da qualidade, mas a redução dos custos implica na redução de qualidade o que não satisfaz um dos objetivos. Para lidar com este 5 Neste trabalho, as palavras critério e objetivo são utilizadas com significado semelhante.

17 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 4 dilema, são necessárias ferramentas de auxílio à decisão que considerem o tradeoff 6 entre os fatores relevantes que afetam a decisão a ser tomada (MELACHRINOUDIS & MIN, 2000). Alguns fatores que podem influenciar a escolha final da localização da atividade econômica podem ser destacados: proximidade dos mercados e dos fornecedores, infraestrutura local, localização dos competidores, impacto econômico, impacto na saúde, barreiras governamentais, qualidade de vida, competências locais e danos ambientais. Outros fatores podem ser encontrados em Blair (1995). A empresa que decidir por uma análise multicritério poderá melhorar sua vantagem competitiva, pois ao incorporar à análise locacional uma grande variedade de aspectos de decisão relevantes obtém-se uma representação mais próxima da situação real. No entanto, como as decisões locacionais são inerentemente de longo prazo 7, uma localização pode tornar-se um erro de investimento no futuro devido às mudanças ambientais, mesmo considerando uma abordagem de múltiplos critérios. Para tornar tal empreendimento lucrativo, é conveniente selecionar locais que não apenas tenham boa representação de acordo com o momento atual, mas que continuarão sendo lucrativos pelo período em que a atividade estiver em operação ou pelo menos durante o horizonte de tempo considerado no planejamento, mesmo em situações de mudanças ambientais, migrações populacionais e evolução das tendências de mercado. Nesse contexto, determinar as melhores localizações em um horizonte de planejamento é um importante desafio para a manutenção da competitividade da empresa, representando um dos mais importantes determinantes para o sucesso. Uma boa localização pode fornecer vantagens estratégicas difíceis de serem superadas pela concorrência. Uma outra questão importante é que a localização representa um investimento de longo prazo que freqüentemente está associada a um custo significativo no caso de relocalização, ao contrário das estratégias de marketing, por exemplo, que podem ser facilmente modificadas em resposta a uma mudança ambiental (GHOSH & CRAIG, 1983). Dessa forma, a decisão locacional é um dos elementos críticos em um planejamento estratégico. Segundo Revelle et al. (1970), essa questão é de interesse para empresas tanto do setor privado quanto público. 6 Tradeoff é a negociação ou compensação realizada entre os fatores a fim de se obter o equilíbrio. Isto significa que a melhoria de um fator só é obtida se algum outro fator piorar (GORE, 1984). 7 Os altos custos associados a aquisição de propriedades e instalação fazem dos projetos de localização e relocalização um investimento de longo prazo (OWEN & DASKIN, 1998).

18 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 5 Segundo Iakovou et al. (1997), Psaraftis et al. (1986) e Psaraftis & Ziogas (1985), a tomada de decisão sobre a localização de equipamentos específicos é estruturada em três níveis hierárquicos: estratégico, tático e operacional. Para o caso da localização de atividades econômicas, pode-se ter a seguinte caracterização: 1) Nível estratégico: As questões de investimento e de planejamento de longo prazo são consideradas. Incluem-se, portanto, as decisões de localização, número, tamanho e tipo de atividades a serem instaladas; 2) Nível tático: Determinam-se ações de agregação/associação das atividades aos clientes e os níveis de capacidade apropriados; 3) Nível operacional: A performance da atividade é examinada. De acordo com Rees & Stafford (1986), as decisões locacionais são estratégicas. Owen & Daskin (1998) destacam que, devido a sua natureza estratégica, os problemas de localização necessitam também que características dinâmicas e/ou estocásticas sejam consideradas. A formulação dinâmica trata a questão do horizonte de tempo envolvido na localização. A formulação estocástica tenta captar as incertezas nos parâmetros de entrada do problema, podendo ser tratada de duas formas: através da abordagem probabilística e da abordagem de cenários. Este trabalho não aborda as questões estocásticas dos problemas de localização. Para estudos sobre este tema, ver Mulvey et al. (1995), Bean et al. (1992), Daskin et al. (1992) e Schilling (1982). Um problema de localização multiobjetivo de característica dinâmica pode ser representado por um modelo de programação matemática. No entanto, como geralmente tal modelo possui natureza combinatorial e complexidade elevada, o custo computacional para sua resolução é alto, pois a obtenção de soluções exatas em tempo determinístico não é possível. Nesse caso, um método heurístico de resolução pode ser o mais apropriado para resolver tal modelo. O método heurístico chamado Algoritmo Genético (AG) tem obtido sucesso na resolução de problemas combinatórios complexos, o que o torna um forte candidato para resolver o problema de localização considerado. AG é um algoritmo heurístico 8 de busca estocástica baseado no processo de evolução biológica e que favorece o alcance do ótimo global. Sua utilização é adequada 8 Os AGs, assim como as técnicas Simulated Annealing e Busca Tabu, são chamados de metaheurísticas.

19 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 6 para resolver problemas complexos tais como, otimização combinatória, aprendizado de máquina, processamento de imagem, robótica, etc fornecendo soluções de boa qualidade em tempos computacionais aceitáveis a partir de fácil implementação em computadores (GOLDBERG, 1989). Além da simplicidade, uma outra característica marcante dos AGs é que eles trabalham com um conjunto de soluções ao invés de uma única solução, assim, em cada rodada do algoritmo um conjunto de soluções pode ser oferecido ao decisor. Essa última, em especial, é a característica principal que distingue e torna os AGs apropriados a resolução de problemas multiobjetivo, pois supre a necessidade que tais problemas têm de obtenção de um conjunto de soluções que sejam melhores em pelo menos um objetivo. 1.2 Objeto de estudo Neste trabalho, consideraram-se os seguintes objetos de estudo: A localização de atividades econômicas de base tecnológica do setor privado considerando um conjunto de restrições. O tratamento de soluções inviáveis através de algoritmos genéticos. 1.3 Objetivos da pesquisa Os objetivos da pesquisa são classificados em dois tipos: geral e específico Objetivo geral Propor uma abordagem para auxiliar o planejamento da localização de atividades econômicas de base tecnológica Objetivos específicos Os objetivos específicos deste trabalho são: Formular um modelo dinâmico multiobjetivo para representar o problema de localização de atividades econômicas de base tecnológica. Esse modelo deve considerar um conjunto de restrições, como também objetivos que estejam relacionados a fatores qualitativos e quantitativos potencialmente dominantes na decisão locacional de tais atividades.

20 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 7 Desenvolver um algoritmo genético para resolver, de forma interativa com o decisor, o modelo proposto para o problema de localização de atividades econômicas de base tecnológica. Tal algoritmo deve incorporar procedimentos apropriados para lidar com as soluções inviáveis do problema. 1.4 Importância do trabalho Devido a importância das decisões locacionais, modelagens mais aprofundadas devem ser desenvolvidas a fim de expressar melhor a complexidade inerente a este tipo de decisão. Em particular, as abordagens multiobjetivo e dinâmica são de natureza estratégica e tratam o problema de localização de forma mais realista. Conseqüentemente, espera-se contribuir para que a escolha locacional seja bem sucedida, no momento da decisão e nas condições futuras, do ponto de vista das considerações econômicas do empresário. Também se espera contribuir para a identificação e compreensão dos fatores, sejam qualitativos ou quantitativos, que influenciam as decisões locacionais. Um outro ponto a ser destacado é que existem relativamente poucas técnicas para a resolução de problemas complexos de decisão locacional, tal como o abordado neste trabalho. O desenvolvimento de novos métodos que forneçam boas soluções em tempo computacional aceitável ainda é um desafio. Além disso, o tratamento das soluções inviáveis dos problemas de otimização representa uma nova área de atuação dos AGs. Assim, esta tese contribui ao propor formas apropriadas de correção e penalização baseadas em restrições específicas do modelo considerado. 1.5 Estrutura do texto Este trabalho possui nove capítulos, incluindo este primeiro, onde são apresentados as considerações gerais, os objetivos e a importância desta pesquisa. No capítulo 2 tem-se uma revisão sobre as principais formas de se realizar uma análise multiobjetivo e os conceitos básicos da programação multiobjetivo, sendo particularizado para o problema linear 0-1 (PMOL-01). Por fim, os procedimentos para resolução dos problemas de programação matemática são tratados.

21 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 8 O capítulo 3 trata dos problemas de localização. Inicialmente, são apresentadas as duas principais formas de se abordar um problema de localização. Em seguida é apresentada uma revisão da base histórica referente a problemas de localização considerando essas duas correntes, com destaque para as pesquisas realizadas no âmbito da programação matemática. No capítulo 4, discutem-se os fatores que influenciam as decisões locacionais, sendo apresentados ao final do capítulo os que atualmente têm maior relevância. No capítulo 5 são apresentados os conceitos básicos relacionados aos algoritmos genéticos tradicionais. Ao final, dá-se atenção aos algoritmos genéticos específicos para os problemas com restrições como também os algoritmos para os problemas multiobjetivo. No capítulo 6 é apresentado o modelo sugerido para o problema de localização de atividades econômicas de base tecnológica. Tal modelo é multiobjetivo linear 0-1 que incorpora características dinâmicas. No capítulo 7 descrevem-se as etapas de um algoritmo genético que contém operadores de correção e penalização propostos para o tratamento de soluções inviáveis de um problema de localização específico. Além desses operadores, o algoritmo considera um processo aleatório orientado para a geração de soluções viáveis iniciais e um operador que preservar as melhores soluções obtidas em cada iteração do algoritmo. O capítulo 8 fixa-se nas implementações e testes computacionais realizados durante a implementação do algoritmo genético proposto para resolver o problema de localização de atividades de base econômica. Este algoritmo é comparado com um algoritmo genético que trabalha com uma elite, porém, utiliza apenas os operadores genéticos tradicionais. O capítulo 9 apresenta as conclusões deste trabalho, além de sugestões de temas para futuras pesquisas.

22 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 2.1 Principais formas de análise multiobjetivo A área de Auxílio Multicritério à Decisão (AMD), também conhecida como Tomada de Decisão com Múltiplos Critérios, está relacionada aos métodos e procedimentos pelos quais múltiplos critérios podem ser formalmente incorporados ao processo analítico. O propósito é dar ao decisor ferramentas que possam capacitá-lo a resolver um problema de decisão, onde diversos interesses, freqüentemente conflitantes, devem ser considerados. A abordagem do problema de decisão sob o enfoque do AMD visa apoiar o processo decisório através da recomendação de ações ou cursos de ações. Siskos & Spyridakos (1999) consideram que são quatro as tendências teóricas de abordagem de AMD, a saber: abordagem de sistema de valor (ou teoria de utilidade multiatributo), abordagem de relação de hierarquia, abordagem de desagregação-agregação e abordagem de otimização multiobjetivo. A abordagem de sistema de valor 1 visa a construção de uma função utilidade (ou sistema de valor) que agrega as preferências do decisor em um critério baseado em suposições rigorosas (relações de preferência transitiva e completa). O sistema de valor estimado por esta abordagem fornece uma forma quantitativa que conduz o decisor em sua decisão final (ver ZOPOUNIDIS, 1999; KEENEY, 1992; KEENEY & RAIFFA, 1976). A abordagem de relação de hierarquia 2 surgiu a partir da elaboração dos métodos ELECTRE (ELimination Et Choix Traduisant la REalité). O conceito de hierarquia nos métodos ELECTRE é devido a Bernard Roy, que foi o pioneiro nesses métodos. Tal 1 Escola Americana. 2 Escola Francesa.

23 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 10 abordagem visa a construção de uma relação de hierarquia das alternativas de ação que permita a comparação entre elas, porém, não é limitada a um modelo matemático. Adicionalmente, um processo de exploração e dedução é realizado para ajudar o decisor a verificar se uma solução é satisfatória (ver SISKOS & SPYRIDAKOS, 1999; ZOPOUNIDIS, 1999; ROY, 1990). A abordagem de desagregação-agregação é freqüentemente utilizada como uma forma de modelar as preferências de um decisor (ou de um grupo de decisores) através de análise de seu comportamento e seu estilo cognitivo. Procedimentos interativos e iterativos especiais são usados de forma que os componentes do problema e a forma de julgamento das alternativas de ação sejam analisados e seqüencialmente agregados em um sistema de valor. O objetivo desta abordagem é auxiliar o decisor a melhorar sua compreensão sobre o estado do problema e sua forma de julgar, a fim de que se consiga uma decisão consistente (SISKOS & SPYRIDAKOS, 1999; ZOPOUNIDIS, 1999). A abordagem de otimização multiobjetivo é representada por um problema de programação matemática que considera mais de um objetivo para satisfazer e um conjunto de alternativas de ação relativamente grande (MALCZEWSKI, 1999; SISKOS & SPYRIDAKOS, 1999). Uma outra forma de categorização considera basicamente a existência de dois campos distintos de atuação (DELGADILLO, 1997; CLÍMACO et al., 1996): 1) Método de análise de decisão multiatributo (MADM): refere-se a problemas de seleção, ordenação ou categorização de um número finito de alternativas explicitamente conhecidas, em um ambiente de incerteza. Nesse sentido, tal método é chamado de discreto; 2) Programação matemática multiobjetivo (PMO) ou método de otimização multiobjetivo: é mais freqüentemente aplicada a problemas determinísticos, nos quais o número de alternativas viáveis é grande e implicitamente conhecido. Nesse sentido, tal campo de atuação é chamado de contínuo. Malczewski (1999) fornece uma comparação dessas duas abordagens. Os problemas de PMO lidam explicitamente com objetivos primários do decisor e projetam as alternativas e a busca pela melhor decisão dentre um conjunto infinito ou muito grande de alternativas viáveis. O papel de PMO na tomada de decisão é fornecer uma estrutura para

24 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 11 projetar um conjunto de alternativas. Cada alternativa é definida implicitamente em termos das variáveis de decisão e avaliadas por meio de funções objetivo. Os problemas de PMO consideram que atributos de alternativas freqüentemente são meios para se alcançar o resultado essencial, os objetivos do decisor, enquanto que os MADM obtêm preferências, geralmente na forma de funções e ponderações, diretamente pelos níveis de atributos. A resolução pelo MADM é um processo de escolha, em oposição a um processo de projeto. O quadro 2.1 ilustra esta e outras comparações. Quadro 2.1 Comparação entre as abordagens PMO e MADM PMO MADM Critérios definidos por Objetivos Atributos Objetivos 3 definidos Explicitamente Implicitamente Atributos 4 definidos Implicitamente Explicitamente Restrições definidas Explicitamente Implicitamente Alternativas definidas Implicitamente Explicitamente Número de alternativas Infinito (grande) Finito (pequeno) Controle do decisor Significativo Limitado Paradigma da Orientado ao processo Orientado ao resultado modelagem Relevante a Projeto/Busca Avaliação/Escolha Fonte: Malczewiski (1999, Tabela 3.1) Considerando que o problema de localização tratado neste trabalho envolve a escolha de locais e formas de associações dentre um grande número de alternativas viáveis implicitamente conhecidas, optou-se pela abordagem de programação multiobjetivo. 3 Um objetivo é uma variável mais abstrata que possui uma especificação desejada de seus níveis, máximo ou mínimo (MALCZEWSKI, 1999). 4 Um atributo é uma variável descritiva concreta que representa uma medida de quantidade ou qualidade e é utilizada para medir a performance em relação a um objetivo (MALCZEWSKI, 1999).

25 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO Conceitos fundamentais da programação multiobjetivo Um problema de programação monobjetivo pode ser definido da seguinte forma: Minimize Z = f x Sujeitoa x S ( ) onde f ( x) é a função objetivo ou critério, x é o conjunto de variáveis de decisão e S é a região viável no espaço das variáveis de decisão. Em geral, S é definido por um conjunto de equações (e/ou desigualdades) de funções de restrição, S= { x n : g ( x ) = b, b m }, onde A é a matriz de coeficientes tecnológicos (dimensão m n) e b é o vetor de termos independentes. O propósito deste problema de otimização é encontrar um ponto x S que apresente o mínimo valor da função objetivo. De acordo com Steuer (1986), dependendo do tipo das funções do problema monobjetivo, pode-se ter uma das seguintes classes de problemas: Problema de programação linear monobjetivo: se também por funções lineares; f ( x) for linear e S for definido Problema de programação linear inteiro monobjetivo: se f ( x) for linear e S for definido também por funções lineares e pela condição adicional que as coordenadas de cada ponto em S sejam inteiras; Problema de programação não-linear monobjetivo: se restrições que definem S for não-linear. f ( x) ou qualquer uma das Muitos problemas reais envolvem diversos objetivos a serem satisfeitos simultaneamente. Este fato faz com que o problema de otimização monobjetivo seja uma abordagem inadequada e a abordagem multiobjetivo seja mais apropriada para representar tais problemas reais. Uma classe de problemas de programação multiobjetivo (PMO) é o problema de programação multiobjetivo linear (PMOL) apresentado a seguir.

26 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 13 ( PMOL) Minimize Z = f x = c 1 1 ( ) Minimize Z = f x = c x 2 2 ( ) Minimize Z = f x = c x k k ( ) k 1 2 x n m { :, } Sujeito a x S = x Ax = b b De acordo com Steuer (1986), tal problema tem a característica de ser um problema PMO que possui todos os objetivos e restrições como funções lineares. Uma representação adicional é dada a seguir. { : } Minimize Z = C x x S n m { } onde S = x : Ax = b, b, x 0 Outras representações possíveis são: { } Minimize Z = f1 ( x), f2 ( x),..., f k ( x) Sujeito a x S Minimize Z = c Sujeito a x S { 1x, c2x,..., c } k x onde C é uma matriz dos objetivos (dimensão k n), cujas linhas c i ( i = 1,..., k) são formadas pelos objetivos individuais, z i i ( i = 1,..., k) e Z é o vetor objetivo. = cx Enquanto que na programação monobjetivo o conjunto de soluções viáveis S é um subconjunto no espaço de decisão, na programação multiobjetivo, o conjunto linear k

27 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 14 k { :, } Z = Z Z = C x x S de todas os vetores objetivo, correspondentes aos vetores de soluções viáveis KORHONEN, 1998). x S, define o espaço dos critérios (ARBEL & A solução viável que otimiza simultaneamente todas as k funções objetivo é chamada de solução ideal e seu correspondente vetor critério é chamado de ponto ideal. Pelo fato da solução ideal geralmente não existir, do ponto de vista operacional, M inimize representa a operação de tradeoff para determinar soluções de compromisso. Assim, no contexto multiobjetivo, o conceito de solução ótima dá lugar ao de solução eficiente 5 ou não-dominada, dependendo do espaço onde as alternativas são consideradas. Geralmente, o termo não-dominado é usado no espaço de critérios, e eficiente, no espaço de decisão (KORHONEN, 1998). Uma solução que se refere aos piores valores para todas as soluções não-dominadas é chamado de solução antiideal ou ponto Nadir. A Figura 2.1 ilustra o espaço de decisão de um problema com duas variáveis de decisão (n = 2 ) e dois objetivos de minimização ( k = 2 ), enquanto que a Figura 2.2 ilustra seu espaço de critérios destacando o conjunto não-dominado (CND) e as soluções ideal (I) e antiideal (AI). x 2 z 2 S AI Z x 1 I CND z 1 Figura 2.1 Espaço de decisão Figura 2.2 Espaço de critérios 5 Uma solução eficiente também pode ser chamada de Pareto-ótima, não-inferior ou admissível.

28 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 15 Uma solução é chamada de eficiente, se, e somente se, não existir outra solução viável que melhore o valor de uma função objetivo sem piorar o valor de, pelo menos, uma outra função objetivo. Desta forma, as soluções do conjunto não-dominado são incomparáveis entre si; em outras palavras, não existe uma solução que seja melhor que as outras em todos os critérios. Considerando o problema PMOL, uma definição de vetor objetivo não-dominado e uma de solução eficiente para o caso de objetivos de minimização são apresentadas a seguir (CORTES, 1998): k Definição 2.1.: O vetor objetivo Z = ( z1, z2,..., zk é chamado de não-dominado, ( 1 2 k se, e somente se, não existe outro Z = z, z,..., z k tal que Z Z e { } para pelo menos um i 12,,..., k. ) ) z i < z i Definição 2.2.: x 0 S é uma solução eficiente, se, e somente se, não existir y S tal que Cy Cx 0 0 e cy cx para pelo menos um i 12,,..., k. i < i { } \ { x 0 } Quando as variáveis de decisão do problema PMOL são todas inteiras, tem-se o problema multiobjetivo linear inteiro (PMOLI). No caso das variáveis de decisão serem 0-1, tem-se a classe multiobjetivo 0-1 (PMOL-01). Uma formulação para o PMOL-01 é dada a seguir: { } ( PMOL 01) Minimize Z = C x : x S onde S = n { x n : Ax = b, b m, x Β }

29 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO Procedimentos para resolução de problemas PMO A solução de um problema PMO pode ser estimada através de procedimentos iterativos que conduzem a (SISKOS & SPYRIDAKOS, 1999): alcançar níveis de satisfação do decisor sobre cada objetivo; ou, construir um modelo de utilidade do decisor que é usado para a seleção das soluções viáveis para serem avaliadas segundo um procedimento de maximização da utilidade; ou, uma combinação dos dois métodos descritos acima. Considerando a não existência de um ponto ideal, Steuer (1986) propõe uma forma de se resolver um problema multiobjetivo a partir da definição da função utilidade U : k para o decisor. Dessa forma, deve-se resolver o seguinte problema: ( PMU ) Maximize { U( z1, z2,..., zk )} Sujeitoa z = f x, 1 i k i x S ( ) i Um ponto x S é ótimo se for eficiente e maximizar a função utilidade U do decisor do problema PMU. Desconsiderando o fato da função utilidade ser não-linear, uma das maiores dificuldades é que em muitos problemas não é possível obter uma representação matemática da função utilidade U e, apesar disso, os problemas devem ser resolvidos. Sem o conhecimento explícito da função utilidade do decisor, não se tem outra escolha a não ser a de buscar, no espaço de soluções eficientes, a solução de melhor compromisso para o decisor através de tradeoffs entre os objetivos do problema PMO, usando apenas informações implícitas e de uma forma econômica e convencional para o usuário. Como geralmente o espaço de soluções eficientes é grande, a busca não é fácil de

30 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 17 ser feita. Segundo Korhonen & Karaivanova (1998), a questão chave nos métodos de apoio à decisão multiobjetivo é gerar soluções não-dominadas para a avaliação do decisor de forma que suas preferências sejam levadas em consideração. De acordo com Korhonen (1998), apesar de existirem muitas variações entre os diferentes métodos de geração das soluções eficientes, um procedimento freqüentemente é adotado: um problema de otimização monobjetivo substituto é resolvido para gerar as novas soluções. A função objetivo deste problema substituto, chamada de função escalar substituta, é um escalar que representa o problema multiobjetivo (CLÍMACO & ANTUNES, 2000; HENIG & RITZ, 1986). Tipicamente, essa função escalar agrega em uma única dimensão os diferentes objetivos e inclui parâmetros sobre as preferências do decisor, cuja solução ótima é uma solução eficiente do problema multiobjetivo. Korhonen (1998) apresenta três classes de parâmetros possíveis para a utilização em programação multiobjetivo: 1) Coeficientes de ponderação: representam a importância relativa de cada objetivo; 2) Níveis de reserva: correspondem aos requerimentos mínimos sobre cada objetivo; 3) Níveis de aspiração/referência: representam níveis de aspiração desejáveis (ou indesejáveis) sobre cada objetivo. Baseadas nesses parâmetros, várias maneiras podem ser adotadas para especificar a função escalar citada. Uma orientação que deve ser seguida é que essa função caracterize completamente o conjunto das soluções eficientes. Segundo Clímaco et al. (1996), tradicionalmente, os métodos de programação linear multicritério classificam-se em categorias de acordo com o processo utilizado para agregar as preferências do decisor, com vista a selecionar a melhor solução de compromisso. Esta categorização é apresentada abaixo: 1) Métodos em que não há articulação de preferências do decisor ou métodos geradores Esses métodos dão pouca responsabilidade ao decisor e podem ser aplicados onde há decisores inacessíveis ou não identificados. Várias técnicas podem ser utilizadas para a

31 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 18 geração de soluções eficientes, entre elas, tem-se o método ponderado e o método de ε- restrição (ou restritivo). Uma característica comum dessas técnicas é que elas transformam o problema de decisão multiobjetivo em um problema de um único objetivo para gerar uma solução eficiente, e então geram o conjunto completo ou um subconjunto de soluções eficientes por variação paramétrica. As soluções eficientes geradas pelas sucessivas etapas de cálculo são apresentadas ao decisor para a escolha da solução de maior aceitação. A diferença básica entre estes dois métodos está na forma como é feita a transformação de um problema multiobjetivo em um problema monobjetivo. O método ponderado envolve a designação de pesos para cada uma das funções objetivo e então as múltiplas funções são convertidas em uma forma monobjetivo através da combinação linear dos objetivos e seus correspondentes pesos. Um subconjunto de soluções nãodominadas pode ser gerado pela variação paramétrica dos pesos. O método de ε-restrição maximiza apenas uma das funções objetivo, enquanto que as outras são convertidas em restrições de desigualdades com limites ε para cada nova restrição. Um subconjunto de soluções não-dominadas pode ser gerado pela variação paramétrica dos limites. Ambos os problemas podem ser resolvidos por técnicas convencionais de programação linear (MALCZEWSKI, 1999). 2) Métodos em que há articulação de preferências do decisor 2.1) a-priori Esses métodos requerem a intervenção do decisor no início do processo através da informação de suas preferências e/ou pesos. Uma função utilidade é construída a partir dessas preferências. Assim, o problema multiobjetivo é reduzido a um problema monobjetivo. Alguns métodos que podem ser considerados são: programação por metas e teoria de utilidade multiatributo, além do método ponderado e do método de ε restrição. Uma das críticas é baseada em estudos empíricos que demonstraram que os decisores não são sempre coerentes com as funções destinadas a agregar os critérios e representar as suas preferências, agindo geralmente mais de acordo com a sua própria maneira de ver o problema do que procurando conciliar esta com os axiomas que são a justificativa teórica

32 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 19 da existência da função de valor (BELL & FARQUHAR, 1986, apud CLÍMACO & ANTUNES, 2000). 2.2) progressivamente ou métodos interativos Nesses métodos existe uma articulação progressiva das preferências do decisor ao longo do processo interativo, podendo considerar uma estrutura de preferências preexistente. Nos métodos interativos, a existência de uma função de utilidade do decisor pode ser assumida implicitamente. Todos os procedimentos interativos consistem de duas fases que se alternam, uma fase de cálculo e uma fase julgamento. Na fase de cálculo, uma solução, ou um conjunto de soluções, é gerada, e então fornecida ao decisor. Na fase de julgamento, o decisor avalia a informação recebida e articula suas preferências com respeito aos valores dos critérios. Esta troca de informação continua até que uma solução eficiente seja satisfatória para o decisor. Alguns métodos que podem se utilizados de forma interativa são: ponderado, ε-restrição, STEM (step method), programação por metas interativa, procedimento Tchebychef (aumentado e lexicográfico), Pareto Race (CLÍMACO,1986). Os métodos interativos mostram-se mais eficientes para lidar com os problemas multiobjetivo do que os métodos geradores citados no item 1, pois estão habilitados a reduzir o esforço computacional, especialmente no caso de problemas de grande porte (ALVES & CLÍMACO, 2000). 2.4 Alguns métodos de resolução de problemas PMOL-01 Existe um número relativamente pequeno de métodos eficientes para a resolução dos problemas PMOL-01. A seguir são descritos alguns métodos que podem ser utilizados. O método de enumeração implícita de Bitran (1977, 1979) é um método não interativo de enumeração. O autor propõe um problema auxiliar sem restrições, da forma PMOL-01 e mostra que as soluções deste problema são também eficientes para o problema original. Inicialmente, o método exclui as soluções não-eficientes viáveis do problema auxiliar. Então são utilizados vetores de direção (definidos pelo cone polar inverso ao cone definido pelas filas da matriz de função objetivo) e um ponto a ser mapeado para encontrar as soluções eficientes. Para encontrar o resto das soluções eficientes, são determinadas e examinadas as soluções não-eficientes do problema auxiliar. Bitran também propõe um

33 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 20 método que trabalha com grafos direcionados. Estes métodos apresentam alto custo computacional para resolver problemas de médio e grande porte. Korhonen & Laakso (1986) desenvolveram o método interativo visual apropriado para problemas multiobjetivo lineares ou não. O propósito desse método é projetar um segmento ilimitado no espaço critério sobre a superfície não-dominada da região viável. A projeção sobre a superfície não-dominada é obtida pelo uso de uma função escalar e de um programa paramétrico. A função escalar considerada é aquela que projeta um ponto de referência, viável ou inviável, sobre o conjunto de vetores critério não-dominado. Essa função foi introduzida por Wierzbicki (1983, 1982). A projeção sobre o conjunto nãodominado de um segmento ilimitado é feita pela resolução de um programa paramétrico escalarizado. O método ponderado Tchebychef é um método interativo para resolução do espaço vetorial ponderado, sendo também apropriado para resolver problemas multiobjetivo lineares, não-lineares e inteiros. Tal método é baseado na norma generalizada de Tchebychef z λ λ = ( λ 1,...,λ k ), que é da forma z = λ i = 1,... k max λ z, onde z = ( z,..., k ) e i i 1 zk k com λ i sendo constantes positivas, e a exigência que λ i =1. Tem- i= 1 se o problema chamado de métrica ponderada de Tchebychef. Inicialmente, é obtido um conjunto representativo maximamente disperso de vetores de ponderação gerados aleatoriamente. O problema é resolvido para estes apenas uma solução para cada parâmetro λ (STEUER & CHOO, 1983). que são λ s e os vetores eficientes são fornecidos ao decisor. Uma nova área em torno dos pesos do vetor selecionado é calculada com a seleção de um vetor eficiente, dando origem a novos vetores de ponderação e é encontrado um conjunto representativo maximal disperso dos pesos a partir dessa área. Os vetores eficientes calculados são fornecidos ao decisor, e assim sucessivamente. A cada interação um conjunto de problemas de programação inteira é resolvido, fornecendo O método de enumeração implícita apresentado por Delgadillo (1997) é um método interativo de enumeração implícita, de forma que em cada interação, um conjunto de soluções eficientes é calculado através da resolução de um único problema de programação inteira. Inicialmente, um problema auxiliar monobjetivo é construído, baseado na métrica ponderada de Tchebychef, de forma que uma solução ótima desse problema é uma solução λ

34 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO 21 eficiente para o problema original. Em seguida, o problema auxiliar é resolvido por um algoritmo de enumeração implícita para gerar um conjunto de soluções eficientes para o problema original, que é apresentado ao decisor. Caso as soluções sejam satisfatórias, o procedimento é finalizado, caso contrário, o decisor introduz novos parâmetros e um novo problema auxiliar é construído, repetindo as etapas anteriores até que o decisor encontre alguma solução eficiente que seja satisfatória.

35 CAPÍTULO 3 PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO 3.1 Teoria de localização A teoria de localização foi formalmente iniciada por von Thünen (1866) através da consideração de atividades agrícolas. Porém, deve-se a Weber (1909) a primeira tentativa de obtenção de uma teoria geral para a localização (apud ZOOK, 2000). De acordo com Seppälä (1997), a partir deste ponto, as teorias de localização seguiram dois caminhos distintos. Em um caminho, os economistas seguem von Thünen e se concentram na explicação do comportamento das atividades econômicas. No outro caminho, estudiosos da pesquisa operacional seguem Weber. Estes dois caminhos podem ser considerados, respectivamente, como abordagens descritiva e normativa da teoria de localização. Os dois tipos principais de modelos resultantes destas abordagens são: Modelos descritivos: explicam o comportamento espacial das atividades, ou seja, sua distribuição no espaço geográfico; Modelos normativos 1 : fornecem orientações para as decisões locacionais. Beckmann (1968) afirma que os métodos de Pesquisa Operacional (PO) para o problema de localização de atividades são baseados na abordagem de equilíbrio da atividade econômica que é derivada da teoria econômica neoclássica 2, embora, como já visto, o desenvolvimento das técnicas de PO tenha seguido independentemente das teorias econômicas. Desta forma, os modelos de PO são baseados na busca por um equilíbrio, por 1 De acordo com Galvão et al. (1999), os modelos normativos são chamados assim pelo fato de se caracterizarem pela otimização de uma norma (medida de eficiência), sujeita a restrições operacionais relevantes. 2 A teoria econômica neoclássica considera hipóteses de informação perfeita, existência de equilíbrio, racionalidade, alocação ótima dos recursos, maximização do lucro e desconsideração do tempo (CÁRIO & PEREIRA, 2002).