A IMPORTÂNCIA DOS DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES NO ESTUDO DE LIMITES DE FUNÇÕES REAIS NUMA VARIÁVEL COM ALUNOS DO ENSINO SUPERIOR

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1 A IMPORTÂNCIA DOS DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES NO ESTUDO DE LIMITES DE FUNÇÕES REAIS NUMA VARIÁVEL COM ALUNOS DO ENSINO SUPERIOR Silvia Teresinha Frizzarini UniCesumar - Maringá stfrizzarini@hotmail.com Claudete Cargnin UTFPR Campo Mourão claucf@gmail.com Resumo: O objetivo deste trabalho é analisar e discutir a importância das diferentes representações semióticas no estudo de limites de funções reais e como seus distintos sistemas de representação podem ajudar na aprendizagem dos alunos que cursam o ensino superior de uma Universidade Tecnológica Federal do Paraná. A metodologia utilizada é a análise bibliográfica dos livros que compõem a ementa de dois cursos, as atividades realizadas em sala de aula e as avaliações referentes à esse conteúdo. Para isso, são utilizados os pressupostos teóricos dos registros de representação de Duval. Analisamos alguns casos em que aparece a idéia informal e intuitiva sobre o conceito de limite, as regras para o seu cálculo, análise gráfica, aproximação numérica, representação algébrica e combinações dessas diferentes representações. A conclusão que tivemos é que a representação algébrica, por ser uma linguagem matemática privilegiada nos livros didáticos e no ensino fundamental e médio, é mais usada pelos alunos pesquisados, os quais destacam o uso de fórmulas na resolução das atividades com limites. Palavras-chave: Representação Semiótica. Limites de funções reais. Ensino Superior. Introdução As ideias básicas do Cálculo foram fundamentadas, durante seu desenvolvimento, nas representações geométricas com o problema da reta tangente e o problema da área, em que o conceito de limites de funções reais foi de extrema importância. Além da representação geométrica, os cientistas Newton e Leibniz, durante

2 o século XVII, descobriram o significado de "taxa de variação instantânea", tal como velocidade e aceleração, por meio da representação algébrica de limites de funções reais, resultando novas notações durante o desenvolvimento do conceito de Limites de Funções. O conceito de Limite de Funções Reais, por ser recente, teve suporte em áreas da Matemática desenvolvidas durante milênios, como a geometria, a álgebra e a aritmética, mas que se distingui dessas áreas com seu próprio campo de estudo no Cálculo. Os resultados obtidos a partir do conceito de limites permitiram as descobertas e aplicações das demais áreas do conhecimento, como a Física, a Engenharia, a Economia, a Geologia, a Astronomia, a Biologia, entre outras. A importância do conceito de Limites de Funções Reais em diversas áreas do conhecimento faz com que o seu estudo seja imprescindível, mas, muitas vezes, a sua aplicação ou até mesmo sua definição não são de simples compreensão para os alunos. Conforme experiências obtidas por professores da Instituição participante na pesquisa, cada semestre que se passa, há um grande número de reprovações na disciplina de Cálculo para os cursos superiores que envolvam conteúdos relacionados ao estudo de limites, ou seja, conceitos de funções, derivadas e integrais. A preocupação com o alto índice de reprovações em Cálculo, conforme Rezende (2003) e, aliada aos estudos de doutorado realizados pelas autoras, Cargnin (2013) e Frizzarini (2014), sobre a teoria das representações semiótica de Duval (2009 e 2011), fez com que essa teoria fosse desenvolvida em sala de aula, tendo como resultado o presente artigo. As principais implicações, obtidas durante o estudo do conteúdo sobre limite, são apresentadas de forma a elucidar a importância dos diferentes registros de representação semiótica durante o estudo de limites. Desta forma, propomos identificar as diferentes transformações, por tratamento e conversão, subjacentes às análises gráficas, aproximações numéricas, escritas algébricas e combinações dessas. A variedade de registros, segundo Duval (2009), raramente é levada em conta no ensino e, para poder estar em posição de observá-la, é preciso começar por distinguir bem os dois tipos de transformações: interna ao registro (tratamento) e externa ao registro (conversão), o que raramente ou jamais é feito. [...] Tratamento é a transformação de uma representação obtida como dado inicial em uma representação considerada como terminal em

3 relação a uma questão, a um problema ou a uma necessidade, os quais fornecem o critério de parada na série de transformações efetuadas (DUVAL, 2009, p. 57). [...] Converter é transformar a representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada num registro em uma representação desse mesmo objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num outro registro (DUVAL, 2009, p. 58). Nosso objetivo principal foi analisar e discutir a importância dessas diferentes transformações no estudo de Limites de Função Real de uma Variável Real e verificar como a diferenciação dos distintos sistemas de representação podem ajudar na aprendizagem dos alunos que cursavam o ensino superior em um câmpus da Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Dos alunos que fizeram parte desta pesquisa, 19 cursavam a disciplina de Cálculo I para o primeiro semestre do curso Tecnologia de Alimentos e 25 o curso de Licenciatura em Química. Para a consecução do objetivo, tivemos o embasamento na teoria de Duval (2009 e 2011), dos Registros de Representação Semiótica, já citado e com mais detalhes descritos na sequência, referente ao conteúdo estudado e a metodologia utilizada. Fundamentação teórica e metodológica O pressuposto teórico dos registros de representação de Duval (2009, 2011) defende que não há noésis 1 sem semiósis 2, ou seja, não há uma compreensão conceitual sem uma variedade de representações semióticas. A teoria dos registros de representações semióticas é importante para a compreensão da atividade matemática do ponto de vista cognitivo, que nos auxiliou na compreensão de como o aluno constroi seu pensamento durante o estudo. Trabalhar um objeto matemático com diferentes representações, segundo Duval (2009), é essencial para a sua compreensão, uma vez que a representação mental é possível apenas com a utilização dos diferentes registros de representação semiótica. A distinção desses diferentes registros durante seu estudo somente será possível se forem mobilizados e, ao mesmo tempo, se o objeto matemático for reconhecido em cada um 1 Duval (2009) considera a noésis como sendo os atos cognitivos (p. 15), ou seja, a apreensão conceitual de um objeto. 2 Duval (2009) considera a semiósis como sendo a apreensão ou a produção de uma representação semiótica (p. 15).

4 deles. Ao descreverem o comportamento dos valores de uma função f(x) nas proximidades de um ponto x, onde pequenas mudanças em x produzem apenas pequenas mudanças em f(x) estamos trabalhando com o conceito de Limite, de forma intuitiva. Muitas vezes, os alunos não percebem o que está sendo escrito ou falado sem uma interpretação gráfica ou numérica. Com o tratamento numérico, tabela 1, ou seja, transformações internas de um mesmo registro, neste caso o numérico, é possível sugerir que os valores da função f(x) = 1 1, na segunda linha, ficam cada vez mais próximos de 1 quando os valores x de x aumentam cada vez mais, primeira linha, ou seja, quando x tende para o infinito. x f(x) 0 0, , , , Tabela 1: Representação numérica, na forma intuitiva, para o estudo de Limites de Funções. Fonte: Arquivo das autoras A resolução intuitiva de limite da função com o tratamento numérico acima não é a mesma de acordo com a adoção do registro gráfico abaixo, figura 1, este por sua vez, não é a mesma de acordo com o tratamento algébrico: lim x (1 1 x ) = 1. Figura 1: Representação gráfica, na forma intuitiva, para o estudo de Limites de Funções Reais. Fonte: Arquivo dos autores

5 Na representação algébrica, o limite lim x (1 1 ) = 1 é geralmente calculado x por meio da aplicação das propriedades de limites, segundo as quais, lim x (1 1 x ) = lim x (1) lim x ( 1 ) = 1 0 = 1, ao passo que, na representação gráfica, o limite x é resolvido usando as propriedades referentes às funções e observando o valor de sua assíntota. Na prática, percebe-se que o limite lim x ( 1 ) = 0 só é compreendido pelos x estudantes quando o professor mostra, por meios numéricos (com a tabela, por exemplo) e por meios gráficos o comportamento da função à medida que o valor atribuído a x aumenta. No caso do objeto em estudo, o conceito de Limite de Funções Reais, os alunos não tinham conhecimento algum ao iniciarem seu curso de graduação. O conteúdo foi introduzido com a apresentação dessa noção intuitiva e informal com a análise de alguns casos em que apareciam o limite finito, infinito, para o infinito, limites laterais até chegar na existência de limites e sua definição formal. Em todo o estudo, procurouse enfatizar que um mesmo limite pode ser calculado de várias maneiras. Em sala de aula, foram explicados como calcular limites num ponto e no infinito usando as representações numérica, gráfica e algébrica, sendo que a língua natural foi usada para tentar fazer o aluno compreender cada uma dessas representações. Além dos exemplos e exercícios resolvidos em sala de aula, os alunos tiveram exercícios complementares para serem resolvidos extraclasse, os quais envolviam as conversões entre as diferentes representações. As referências básicas constantes nos planos de ensino foram indicadas para consulta e estudo. Na avaliação regimental, os limites foram calculados de acordo com a representação na qual o aluno tinha maior destreza. Os tratamentos realizados de maneira diferenciada implicaram significações operatórias diferenciadas e consequentemente em custos cognitivos 3 também diferentes. Resolver um limite algebricamente, por exemplo, não tem o mesmo custo cognitivo que resolver o mesmo limite graficamente; na avaliação, foi identificado o tratamento utilizado para cada uma 3 Custo cognitivo não foi definido pelo o autor, mas entendemos como sendo uma dificuldade ou esforço mobilizado pelas atividades cognitivas fundamentais de representação ligadas à semiósis: formação, tratamento e conversão (DUVAL, 2009).

6 das representações referente ao mesmo objeto matemático e seu custo cognitivo. As dificuldades apresentadas pelos alunos no cálculo de limites, por meio da representação gráfica, nos induziu a analisar as referências básicas indicadas sob a luz da teoria de registros de representação semiótica, bem como as atividades realizadas em sala de aula e extra-classe. Nas seções seguintes, apresentamos brevemente uma análise dos livros e das produções dos alunos referentes a essas atividades aplicadas. Abordagem do conteúdo de limites em livros didáticos O livro didático ainda é, sem dúvida, um forte aliado docente e discente. Na instituição em questão, no início de cada semestre, o professor deve informar ao aluno seu plano de ensino, que deve conter ao menos três referências básicas, os quais devem estar disponíveis na Biblioteca universitária. Supondo que os alunos procurem por tais livros, fizemos uma análise dos exemplos resolvidos de três livros indicados no plano de Ensino, a saber: Larson et al (2006), Guidorizzi (2012) e Stewart (2012). Ao introduzir o tema, os três autores utilizam múltiplas representações (numérica, algébrica, gráfica e em língua natural - essa última, exceto Guidorizzi). Entretanto, no desenvolvimento do conteúdo, a representação gráfica vai perdendo espaço. São muitos os exemplos, tanto em Larson et al (2006) quanto em Stewart (2012), em que a representação gráfica é meramente uma ilustração, na qual a interpretação e correlação com as demais representações fica a cargo do leitor/estudante, o que nos faz considerar que, nesse caso, a representação gráfica não está servindo como representação intermediária. Vários estudos de Duval apontam a interpretação global de uma figura como essencial, porém, inúmeras pesquisas indicam que os alunos têm dificuldade em analisar uma figura/gráfico, daí a importância dos autores dedicarem-se a essa questão com mais afinco. No que tange à definição formal de limite, embora tenhamos percebido um certo esforço em aproximar as letras ε e δ e os módulos, em algo mais familiar ao aluno, apenas Stewart (2012) é que tenta usar a língua natural para explicá-los. Larson et al (2006) usam as letras gregas sem associá-las às diferenças infinitésimas entre o ponto limite a e f(a), como se essa passagem fosse simples e fácil de ser compreendida pelo discente.

7 De modo geral, vê-se a predominância da representação algébrica, nos livros analisados, especialmente ao referir-se às propriedades operatórias dos limites. Eis aí um ponto que precisa ser melhor repensado, porque quando se tenta calcular um limite por meio da representação numérica, induz-se o aluno a pensar que o valor de x nunca é igual a a (isso para o caso em que se calcula o limite de uma função quando x tende a a), porém, ao se usar as propriedades operatórias apenas como resultados de teoremas que já foram demonstrados, substitui-se, em alguns casos, o valor de x por a, e não por um valor próximo de a. Embora essa substituição seja matematicamente comprovável (nos casos em que se aplica), ela é semanticamente não congruente, por não haver univocidade semântica entre as unidades significantes respectivas dos registros numérico e algébrico, nem mesma ordem. Análise das produções dos alunos Analisamos os mesmos casos em que o conteúdo estudado foi trabalhado em sala de aula, sob a luz das análises dos livros didáticos, ou seja, as ideias informal e intuitiva sobre o conceito de limite, as regras para o seu cálculo, análise gráfica, aproximação numérica, apresentação algébrica e combinações dessas diferentes representações, até chegar a institucionalização do conteúdo de maneira formal. A avaliação, apresentada no quadro 1, foi composta de exercícios similares às listas de exercícios e explicações realizadas durante as aulas. Desta forma, analisaremos apenas seus resultados que foram de maneira formal, em que todos estavam presentes e convidados a realizar, com o objetivo de verificação dos resultados apresentados. Destaca-se na primeira questão a importância de estimular a construção de conhecimentos numéricos sobre o comportamento de funções e outros conceitos relacionados, tais como a própria construção dos conjuntos numéricos, especialmente os números reais. A conversão presente nesta questão foi da interpretação numérica, podendo o aluno escrever a resposta na representação algébrica ou por extenso, em português. Na questão 2, o objetivo foi ampliar a visão sobre a representação de gráficos a partir da ideia de continuidade de uma função a qual pode ser abordada por problemas simples envolvendo os limites de uma função e seu comportamento, na medida em que

8 tomamos valores de seu domínio cada vez maiores ou menores A conversão apresentase do registro gráfico para o algébrico, sempre com a interpretação gráfica com uma resposta no registro algébrico. Na última questão 3, ao contrário das outras duas questões com noções intuitivas sobre limites, essa questão requer o conhecimento de algumas regras básicas para o cálculo de limites a partir da representação algébrica da função sem a necessidade de conversão entre registros diferentes, mas que poderiam fazer uso destas. Problemas na língua Portuguesa com sua representação gráfica foram trabalhados em sala de aula para que os alunos apresentassem sua resposta algebricamente ou por extenso, mas que não fizeram parte desta avaliação, devido a extensão e complexidade dessas análises. Questão 1) Complete a tabela e determine o valor do limite da função quando x tende a zero ou, se ele não existe, explique o por quê. Questão 2) Para a função h(x), cujo gráfico esta abaixo, determine o valor dos limites indicados, se existir. Se não existir, explique o por quê. Questão 3) Calcule os limites a seguir: a) b) c) Quadro 1: Avaliação sobre o conteúdo de limites de uma variável real Fonte: Arquivo das autoras

9 Um dos principais resultados para a primeira questão está no fato de que alunos, mesmo completando corretamente a tabela, se detiveram em responder o enunciado com a representação algébrica, realizando seus cálculos algebricamente e, algumas vezes, não associando-os ao encontrado na representação numérica (Fig. 2a). (a) (b) Figura 2: Atividade 1 realizada pelo aluno A1 e A2, respectivamente. Fonte: Arquivo das autoras Já os alunos que não tiveram essa preocupação de resolver o limite da função na representação algébrica, escolheram apresentar sua resposta na língua Portuguesa (Fig 2b). A conversão entre os registros da linguagem matemática para a língua natural, vista no nosso exemplo acima, Duval (2009) acredita que depende de uma compreensão conceitual, isto é, de uma atividade puramente mental. Assim como Duval (2011b), acredita-se que a língua constitui o primeiro registro de representação semiótica para o funcionamento do pensamento. Mas, não é assim que ela é em geral considerada no ensino da matemática, no qual a reduzimos à função de comunicação (p. 83) e que podemos ver nos próximos resultados. Sem a presença da língua escrita, na questão 2, em que era necessária a interpretação gráfica, a falta de uma função para resolução algébrica levou os alunos a obter resultados semelhantes da primeira questão, em termos quantitativos. A dificuldade de relacionar a representação gráfica (questão 2) ou numérica (questão 1) com um resultado algébrico fez com que os alunos obtivessem acertos parciais.

10 Houve um número menor de questões incorretas na questão 3, aumentando o número de acertos parciais e totais de questões em relação às duas primeiras questões. Isso pode ser devido ao uso da álgebra como um estudo de procedimentos ou regras para resolver certos tipos de problemas, conforme constatado na revisão bibliográfica. Para a definição do conceito de limite, observamos que os alunos não puderam compreender bem. A maioria dos alunos, mesmo tendo completado a tabela, ou deixaram de responder o valor do limite encontrado ou responderam outro valor ao encontrado na tabela, como se, ao utilizar representações diferentes, o objeto de estudo fosse diferente também (Fig 2a). Essa confusão se justifica ainda mais quando se usa as propriedades operatórias das representações algébricas, substitui-se, em alguns casos, o valor de x por um determinado valor, conforme as análises dos livros didáticos, em detrimentos das demais representações. Mas, veja que as propriedades operatórias dos limites contrasta drasticamente com a definição formal, uma vez que a definição formal indica o limite como uma aproximação, porém, ao usar as propriedades operatórias, muitas vezes usamos o próprio valor de a para o qual x tende, para determinar o valor do limite, como é o caso, por exemplo, de: lim (3x + 2) = 3 ( 1) + 2 = 1 x 1 Como pode o aluno compreender que o limite é uma aproximação se ele substitui exatamente o valor para o qual x tende, para calcular o limite? A utilização dos múltiplos registros de representação pode fazer com que o estudante atribua um significado para esse procedimento operatório que seja mais condizente com o significado conceitual que se pretende obter. Destes resultados pudemos levantar algumas possíveis considerações, conforme descrevemos a seguir. Considerações finais e possíveis articulações O trabalho intuitivo com diferentes representações, sobre o conteúdo de limites, possibilitou os alunos relacionarem, certas vezes, as funções discursivas da língua natural escrita com o sistema de numeração, mas, em outras vezes a escrita algébrica suplantou as funções não discursivas da representação gráfica cartesiana.

11 A representação algébrica ou simbólica da Matemática, por ser uma linguagem matemática privilegiada não apenas nos livros didáticos, bem como pelos próprios alunos, esteve em detrimento com os outros registros de representação, destacam-se o uso de fórmulas e regras na resolução das atividades contrapondo, sobretudo, à definição de limites, com a substituição do valor em que tendo a variável do domínio por seu valor limite, nos casos em que se aplica. Há não congruência entre as unidades significantes da escrita da língua natural para o limite de um valor tão próximo quanto se queira, não há uma correspondência com as unidades significantes do algébrico quando lim x a (sendo a um número qualquer), nesta ordem ou em ordem contrária. Além disso, o valor das unidades significantes das palavras, muitas vezes, por não serem congruentes com as demais representações, levou a custos cognitivos também diferentes, com tratamentos diferenciados. A resolução algébrica, privilegiada pelos alunos, teve um custo cognitivo menor que para resolverem o mesmo limite graficamente, uma vez que esse procedimento algébrico reduz-se a meras operações aritméticas enquanto a resolução gráfica requer uma interpretação global e mais aprofundada. A interpretação global da função no plano cartesiano não correspondia às unidades significantes da representação algébrica, sendo preciso realizar um trabalho pontual e por extensão até chegar à sua representação global, conforme a teoria adotada. Em vista disso, a proposta desse trabalho articulou-se, em outras turmas, com a utilização de materiais manipuláveis, softwares, entre outras metodologias a fim de possibilitar, além da visualização gráfica, também o trabalho algébrico e o cálculo numérico no estudo de limites. Referências DUVAL, R.. Semiósis e pensamento humano: registro semiótico e aprendizagens intelectuais (Sémiosis et Pensée Humaine: Registres Sémiotiques et apprentissages Intellectuels). Tradução: Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira São Paulo: Editora Livraria da Física, Ver e ensinar a Matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar os registros de representações semióticas, - São Paulo: PROEM, CARGNIN, C. Ensino e aprendizagem da integral de Riemann de funções de uma variável real: possibilidades de articulação da utilização de mapas conceituais com a teoria dos registros de representações semióticas. Tese de Doutorado (Programa de

12 Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática). Universidade Estadual de Maringá, Maringá, LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo. v.1. São Paulo: MAcGraw-Hill, MOLON, J. Cálculo no ensino médio: uma abordagem possível e necessária com auxílio do software Geogebra. Dissertação de mestrado. Santa Maria, RS, Brasil, REZENDE, Wanderley Moura. O ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemológica, In: MACHADO, N. ; CUNHA, M. (org). Linguagem, Conhecimento, Ação ensaios epistemologia e didática. Escrituras: São Paulo, Disponível em: Acesso em 03 de maio, STEWART, J. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning, 2012 FRIZZARINI, S.T. Estudo dos Registros de representação semiótica: Implicações no ensino e aprendizagem da álgebra para alunos surdos fluentes em língua de sinais. Tese de Doutorado (Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática). Universidade Estadual de Maringá, Maringá, GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo. v.1, 5a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.