COMBATE DE EPIDEMIAS UTILIZANDO CONTROLE EM MALHA FECHADA POR MEIO DO MÉTODO P-NARMAX

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1 COMBATE DE EPIDEMIAS UTILIZANDO CONTROLE EM MALHA FECHADA POR MEIO DO MÉTODO P-NARMAX Everthon de Souza Oliveira, Samir Angelo Milani Martins, Alípio Monteiro Barbosa, Erivelton Geraldo Nepomuceno Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de São João del-rei Praça Frei Orlando, 170, Centro, São João del-rei, MG, Brasil Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha, Belo Horizonte, MG, Brasil s: everthonsol@yahoo.com.br, milani.martins@gmail.com, alipiomonteiro@yahoo.com.br, nepomuceno@ufsj.edu.br Abstract Several techniques for control of epidemics are investigated with mathematical models. The development of this models are contributing to the better development of control strategies. This paper presents a methodology for a polynomial NARMAX model to predict the parameters of an epidemic. The identified model is used in proportional feedback control and applied in a epidemiological system. Keywords Epidemiological Modeling, Feedback Control, Polynomial NARMAX Model. Resumo Várias técnicas de controle de epidemias são investigadas por meio de modelos matemáticos. O desenvolvimento de tais modelos está contribuindo para a elaboração de estratégias de controle mais eficazes. Este trabalho apresenta uma metodologia para a obtenção de um modelo NARMAX polinomial para previsão dos parâmetros de uma epidemia. O modelo previamente identificado é utilizado no controle proporcional, em malha fechada, de um sistema epidemiológico. Palavras-chave Modelagem Epidemiológica, Controle Malha Fechada, Modelos NARMAX Polinomial. 1 Introdução O controle e a prevenção de doenças infecciosas têm sido foco de estudo de diversos grupos de pesquisa em todo o mundo (Nepomuceno et al., 2006). Epidemias recentes tem motivado o crescente interesse nesta área da ciência denominada epidemiologia, como a gripe suína, a dengue (Caetano e Yoneyama, 2001), e tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores que buscam o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam contribuir para a compreensão e erradicação de doenças infecciosas (Hethcote, 2000; Lamperti et al., 2007; Pereira et al., 2008). Dentre os modelos matemáticos desenvolvidos, o modelo compartimental SIR (Suscetíveis Infectados Recuperados) é um dos mais utilizados (Hethcote, 2000). O modelo SIR descreve a epidemia como um sistema de equações diferenciais que relaciona as parcelas da população contidas nos compartimentos S, I e R, de forma análoga à modelagem da interação entre partículas segundo o princípio da ação de massas (Hethcote, 2000). Entretanto, o modelo SIR não é capaz de explicar a persistência ou erradicação de doenças infecciosas (Keeling e Rohani, 2002; Lloyd, 2001). A principal razão para isso é que o modelo SIR considera a distribuição de indivíduos espacial e temporalmente homogênea (Hethcote, 2000). Uma abordagem para lidar com a questão de populações heterogêneas, estudado em ecologia, os chamados Modelos Baseados em Indivíduos, MBI (ou IBM, do inglês Individual Based Model) (Keeling e Grenfell, 2000; Grimm, 1999; Nepomuceno et al., 2006) estão em crescente estudo. Segundo Grimm (1999), cada indivíduo é tratado como uma entidade única e discreta que possui idade e ao menos mais uma propriedade que muda ao longo do ciclo da vida, tal como peso, posição social, entre outras. Várias técnicas de controle de epidemias são investigadas por meio desses modelos (Agur et al., 1993; Nepomuceno et al., 2006; Oliveira et al., 2008). Essas técnicas podem ser vistas como uma aproximação das campanhas de vacinação de controle governamentais. Diferentemente do modelo SIR, o Modelo Baseado em Indivíduos torna possível a aplicação de um maior número de técnicas de controle inteligente, visto que o controle de uma doença pode ser determinado a partir das características do indivíduo. Contudo determinar os parâmetros reais de uma epidemia não é uma tarefa trivial. Isso torna difícil a aplicação dessas técnicas, uma vez que dependem desses parâmetros (Anderson e May, 1992; Hethcote, 2000). Cada uma das características do sistema influencia na probabilidade p

2 de um indivíduo ser infectado ou não. Isso mostra a importância de se encontrar essa probabilidade mas também a dificuldade de se determinar um modelo matemático que considere todos os parâmetros nesse cálculo. Neste trabalho é mostrada a importância dessa probabilidade também para o cálculo da vacinação a ser aplicada. Com o objetivo de estimar o valor de p, utilizou-se a representação matemática NARMAX ( Nonlinear AutoRegressive Moving Average with exogenous input ) (Chen e Billings, 1989; Leontaritis e Billings, 1985) polinomial. Uma das grandes vantagens dos modelos NARMAX polinomiais é a facilidade com que certos tipos de conhecimentos podem ser extraídos e incorporados (Aguirre, 2007). Este trabalho propõe a obtenção de um modelo NARMAX polinomial para previsão dos parâmetros de uma epidemia, em particular o parâmetro p, de forma on-line, a fim de se aplicar um controle baseado nos parâmetros encontrados. A ação de controle implementada é aqui chamada de Proporcional-Narmax (ou P-NARMAX), uma vez que atua como um controle proporcional em malha fechada. 2 Conceitos Preliminares 2.1 Modelo Baseado em Indivíduos Nepomuceno e colaboradores (Nepomuceno et al., 2006) expressaram o MBI, no qual um indivíduo é representado por I m,t = [C 1 C 2 C n ], (1) em que m é o tamanho da população, t é o instante em que o indivíduo apresenta um conjunto específico de características e C n é uma característica do indivíduo. A primeira característica é o seu estado do ponto de vista epidemiológico, ou seja, suscetível, infectado, recuperado. Outras características podem ser a idade, o tempo de duração da infecção, o sexo, a localização espacial ou quaisquer outras características do indivíduo consideradas relevantes. Para que a modelagem do sistema ocorra de modo satisfatório trabalhou-se com seis principais características: o estado (suscetível, infectado ou recuperado) do indivíduo; a idade corrente; a máxima idade em que o indivíduo viverá; a localização espacial dos indivíduos, o tempo em que o indivíduo se encontra no estado infectante, o máximo tempo em que o indivíduo permanece no estado infectante, ambos expresso em passos de integração. Para maiores detalhes acerca das características, veja (Nepomuceno et al., 2006). Por sua vez, uma população de indivíduos é representada por: P t = [I 1,t I 2,t I 3,t I m,t ] T, (2) em que I m,t é um indivíduo no instante t e P é uma matriz m n. Outros parâmetros do modelo utilizados aqui são γ (a taxa de recuperação da doença), µ (taxa de mortalidade da população), β (probabilidade de infecção em um contato), T v (período de vacinação) v (taxa de vacinação). Outras características do modelo e as premissas epidemiológicas adotadas encontram-se em (Nepomuceno et al., 2006). 2.2 Modelos NARMAX polinomiais A Identificação de Sistemas não-lineares por meio de modelos NARMAX polinomiais é detalhadamente apresentada em Aguirre (2007). Os modelos NARMAX polinomiais (Leontaritis e Billings, 1985) são modelos auto-regressivos com média móvel utilizados na identificação de sistemas e podem ser descritos por: y(t) = F l ([y(t 1),,y(t n y ), u(t 1),,u(t n u ), ξ(t 1),,ξ(t n ξ )]) + ξ(t) (3) em que F l é uma função não-linear de grau l, y(t), u(t) e ξ(t) representam a saída, a entrada e a média móvel, respectivamente. n y, n u e n ξ são os máximos atrasos correspondentes. Os modelos NARMAX polinomiais são modelos pseudo-lineares (modelos não-lineares com grande capacidade de implementação em algoritmos iterativos). Além disso, permitem com relativa facilidade a extração de informações analíticas do modelo, tais como curva e ganho estático. Para identificar um sistema, são necessárias cinco etapas descritas em (Aguirre, 2007), a saber: 1. Teste Dinâmico e Coleta de Dados. 2. Escolha da Representação Matemática a ser Utilizada 3. Determinação da Estrutura do Modelo 4. Estimação dos Parâmetros 5. Validação dos Modelos Os parâmetros do modelo NARMAX foram obtidos pelo métodos dos mínimos quadrados (MMQ) que garantem, sobre a massa de dados de identificação, parâmetros que minimizam o erro de predição. A validação foi feita por meio do índice RMSE (raiz quadrada da média dos erros quadráticos), que quantifica a qualidade do modelo. Modelos devem apresentar índice menor que a unidade, para que apresentem erro de predição inferior àquele obtido utilizando a média da série temporal. Esse índice pode ser calculado como:

3 RMSE = N k=1 (y(k) ŷ(k))2 N, (4) k=1 (y(k) ȳ)2 em que ŷ(k) é a simulação livre do sinal, ȳ é o valor médio do sinal medido y(k) e N é o número de amostras existentes nos dados de validação. 3 Metodologia Para aplicação da técnica de controle foi necessário utilizar um sistema-teste. Como na literatura têm-se poucos dados reais detalhados de epidemias, adotou-se o MBI, expressando o modelo SIR (Nepomuceno et al., 2006) para tal. A proposta deste artigo é criar um controle que considere a probabilidade de um indivíduo ser infectado. Baseado nessa probabilidade é calculada a taxa de vacinação adequada para erradicação de maneira otimizada da epidemia. A seguir é dada uma definição matemática dessa probabilidade. Definição (Probabilidade de infecção): Em cada instante de tempo existe uma probabilidade p de um indivíduo suscetível ser infectado. Essa probabilidade depende de inúmeros fatores como taxa de infectados - i - (razão entre o número de infectados e a população total), taxa de suscetíveis - s - (razão entre o número de suscetíveis e a população total), forma de contatos, entre outras características do sistema. Contudo, o número de novas infecções no instante presente está diretamente ligado à probabilidade do instante anterior. Pode-se definir formalmente como sendo: p(t) = i(t) i(t 1) s(t 1) (5) em que p é a probabilidade de infecção, i é o taxa de infectados, s a taxa de suscetíveis e t é o instante considerado. Assim tem-se a probabilidade ocorrida no instante anterior (t). Porém é necessária a probabilidade do instante atual (t + 1) para prever a porcentagem da população a ser vacinada. Para obter o valor de p em um instante futuro, utilizou-se o modelo NARMAX polinomial. 3.1 Obtenção do Modelo NARMAX polinomial Para a obtenção da estrutura do modelo NARMAX polinomial, utilizou-se a técnica de taxa de redução de erro em conjunto com o critério de informação de Akaike. A priori, para aplicação dessas técnicas, foram definidos como máximo atraso para as variáveis de entrada e saída t = 2 e 2 como sendo o grau de não-linearidade do modelo. Como o MBI é estocástico, os dados são distintos em cada simulação. Com isso, simulou-se o MBI duas vezes, sendo coletados dados distintos para identificação e validação do modelo. Também pode-se afirmar que os dados utilizados para identificação e validação do modelo são distintos dos dados utilizados para a aplicação da ação de controle proporcional. Como entrada do modelo, utilizou-se a taxa de indivíduos infectados. 3.2 Ações de Controle A idéia do controle é baseada na relação existente entre a probabilidade de infecção e na necessidade de vacinação da população. Pode-se afirmar que, se não há chance do indivíduo ser infectado, não há necessidade de vaciná-lo. Por um outro lado, se é grande a chance de ser infectado, é grande a necessidade de imunizá-lo. Pode-se então, fazer uma aproximação linear entre a probabilidade de infecção e a taxa de vacinação. Neste trabalho analisou-se a vacinação pulsada. O controle por pulso é um método de otimização não-linear. O projeto de vacinação por pulso consiste em vacinar a população em períodos específicos ao longo de um intervalo de tempo de interesse. Considerou-se que a vacinação por pulso possua período constante e intensidade variável (v), durante o tempo estudado. O valor da constante de proporcionalidade k foi obtida simulando o sistema para vários valores de k e escolhido a melhor opção que minimizasse o custo da erradicação da epidemia, levando em conta parâmetros como extinção ou não da doença, instante de extinção e quantidade de vacinas. A constante k varia pouco entre epidemias distintas, sendo que o mesmo pode ser mantido constante, sem perda significativa da eficiência do método. Na Seção 4 é apresentado um estudo com os valores de k. Após determinado o valor dessa constante é estabelecida uma relação entre a probabilidade de infecção prevista pelo modelo NARMAX polinomial e a porcentagem de vacinação dos indivíduos suscetíveis da seguinte forma: v(t) = kp(t), (6) em que v é a taxa de vacinação a ser aplicada no instante t, k é a constante de proporcionalidade, dada em Suscetveis/Infectados e p é a probabilidade de infecção prevista. 3.3 Diagrama do sistema de controle O diagrama apresentado na Figura 1 mostra o controle proporcional NARMAX em malha fechada proposto neste trabalho.

4 p(t-1) p(t-2) i(t-2) i(t-1) p(t) v(t) NARMAX K SISTEMA i(t) Figura 1: Representação do sistema de controle P NARMAX em malha fechada. A partir dos valores de entrada do modelo NARMAX, é calculado a probabilidade de infecção. Esse valor é multiplicado pela constante k e determinado o valor da taxa de vacinação a ser aplicada no sistema. Após aplicada a vacinação, os valores de i e p são atualizados, fechando a malha do sistema. Varias transições influenciam no valor de p, contudo, foi considerado apenas uma. Essa medida pode gerar valores incoerentes, tais como valores negativos de p. Porém, ainda assim garante um bom resultado e uma correlação entre a taxa de vacinação e a probabilidade de infecção. Para garantir a ação de controle adequada, considera-se que para p < 0 a vacinação será v = 0. Por outro lado, quando o produto k p > 1, a vacinação será saturada em 100 % da população. 4 Resultados e Discussões A Figura 2 mostra a dinâmica do sistemateste sem qualquer ação de controle. Nota-se que a epidemia entra em estado de endemia, ou seja, estabiliza-se sem erradicar. Figura 3: Dinâmica do sistema usado com a ação de controle pulsado com taxa de vacinação constante. Os parâmetros utilizados foram γ = 1 30 ; µ = 1 60 ; N = 1000 ; β = 0,2; T v = 10 e v = 0,4. Utilizando a metodologia abordada, obtevese um modelo NARMAX para a probabilidade de infecção, conforme Equação 7. p(t) = 2,6939i(t 1)p(t 1) + (7) +0,0254p(t 2) 0,0174i(t 1) + 2,6204i(t 2)p(t 1) + 4,5038p(t 2) 2 + 0,0016i(t 2) + 4,0500p(t 1) ,7208p(t 2)p(t 1) + +4,4770i(t 1)p(t 2) + 0, ,0381i(t 2) 2 + 4,2017i(t 2)p(t 2) + 0,0354i(t 1) 2 + 0,0908p(t 1), em que p é a probabilidade de infecção, i é a taxa de infectados (razão entre o número de infectados e o tamanho da população) e t é o instante considerado. Figura 2: Dinâmica do sistema usado sem nenhuma ação de controle. Os parâmetros usados foram γ = 1 30 ; µ = 1 60 ; N = 1000 e β = 0,2. A Figura 3 mostra a ação de controle pulsada, com período de vacinação T v = 10. Figura 4: Séries temporais da probabilidade de infecção. Em azul os valores reais de p e em vermelho os valores previstos.

5 Para validação do modelo utilizou-se o índice RMSE. O valor encontrado foi de 0,6938, o que indica que o modelo é adequado para predição desta série. Tabela 1: Escolha de qual valor de k utilizar. O valor do tempo de extinção é dado em passos de integração, sendo que o mesmo pode ser em anos, meses, ou dias, dependendo da epidemia em questão. Extinções Tempo de Vacinas extinção (média) (média) k = 5 4/ ,75 684,00 k = 10 8/10 573,67 751,50 k = 15 10/10 432,50 450,10 k = 20 10/10 339,10 433,00 k = 25 10/10 346,30 503,80 k = 30 10/10 325,00 519,30 k = 35 10/10 330,20 592,30 k = 40 10/10 326,30 663,50 k = 45 10/10 304,10 660,30 k = 50 10/10 303,00 690,20 Figura 5: Dinâmica do sistema usando controle pulsado P-NARMAX em malha fechada. Os parâmetros usados foram γ = 1 30 ; µ = 1 60 ; N = 1000; β = 0,2; T v = 10 e v = 0,4, em que γ é a taxa de recuperação da doença, µ é a taxa de mortalidade da população, β é a probabilidade de infecção em um contato e T v = 10 é o período de vacinação. A evolução da taxa de vacinação é mostrada na Figura 6. A decisão de qual valor de k será escolhido é um problema multi-objetivo. Deseja-se minimizar concomitantemente o tempo de extinção da doença e a quantidade de vacinas aplicada. Contudo, tais objetivos são inversamente proporcionais. O que se pode fazer é escolher uma solução que possua um compromisso mútuo entre os funcionais em questão. Por meio da tabela 4, escolheu-se k = 20, pelo fato do mesmo apresentar um compromisso mútuo entre o tempo médio de erradicação da doença e a quantidade de vacina gasta para tal. Uma vez determinado o valor de k, pode-se obter o valor de v, por meio da equação 6, que varia com o valor previsto da probabilidade de infecção. Para uma comparação entre os métodos, a Figura 5 mostra a taxa de vacinação para controle pulsado com v constante e a taxa de vacinação do método proposto. A Figura 5 mostra a simulação Monte Carlo da dinâmica da doença para o valor de k escolhido. Figura 6: Evolução da taxa de vacinação. Em vermelho, valores referentes ao controle P-NARMAX em malha fechada e em azul, técnica de vacinação pulsada com taxa constante. Utilizando a abordagem do controle pulsado, com taxa de vacinação contínua, obteve-se uma extinção da doença em todos os casos simulados (simulação Monte-Carlo). O valor médio do tempo de extinção da doença, para essa abordagem é de 408, dado em passos de integração. O valor médio da quantidade de vacinas para essa abordagem foi de 523 vacinas, para uma taxa de vacinação de 40%; A nova técnica proposta minimizou a quantidade de vacinas em 17,21% e o tempo de extinção em 16,89%. Mostrou-se eficiente também pela livre escolha do valor da constante de proporciona-

6 lidade k. Outro ponto importante é o fato da não necessidade de um modelo matemático da epidemia para a aplicação de controle. Somente são necessários dados estatísticos da epidemia, para a identificação e validação do modelo NARMAX, e posterior aplicação de controle. 5 Conclusões Neste trabalho implementou-se um controle proporcional em malha fechada por meio de um modelo NARMAX polinomial em um sistema epidemiológico. Utilizando o modelo NARMAX polinomial, calculou-se a probabilidade de um indivíduo ser infectado, de acordo com o número de infectados e suscetíveis no sistema. Baseado no valor de probabilidade previsto, foi possível aplicar a ação de controle. Uma vantagem do método proposto é que é preciso conhecer apenas os dados estatísticos sobre a epidemia (número de indivíduos suscetíveis, infectados e número total de indivíduos) não sendo necessário conhecer os parâmetros da epidemia. Esse método ainda possibilita a otimização no gasto com vacinas. No caso da vacinação pulsada convencional, por exemplo, o valor da taxa de vacinação é fixa, vacinando ora desnecessariamente, outrora aquém do necessário. Pesquisas futuras versam sobre a obtenção de novos métodos para a determinação da constante de proporcionalidade k. O modelo NARMAX encontrado pode ser reajustado utilizando dados estatísticos reais de epidemias, proporcionando uma melhor eficácia numa possível aplicação direta. Referências Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação de Sistemas: técnicas lineares e nãolineares aplicadas a sistemas reais, Editora da UFMG. 3 a edição. Agur, Z., Cojocaru, L., Mazor, G., Anderson, R. M. e Danon, Y. L. (1993). Pulse mass measles vaccination across age cohorts, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 90(24): Anderson, R. M. e May, R. M. (1992). Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control, Oxford University Press, Oxford. Caetano, M. A. L. e Yoneyama, T. (2001). Optimal and sub-optimal control in the dengue epidemics, Optimal Control: Applications and Methods 22(2): model, International Journal of Control 49(3): Grimm, V. (1999). Ten years of individual-based modelling in ecology: what have we learned and what could we learn in the future?, Ecological Modelling 115(2-3): Hethcote, H. W. (2000). The mathematics of infectious diseases, SIAM Review 42(4): Keeling, M. e Grenfell, B. (2000). Individualbased perspectives on R-0, Journal of Theoretical Biology 203(1): Keeling, M. J. e Rohani, P. (2002). Estimating spatial coupling in epidemiological systems: a mechanistic approach, Ecology Letters 5(1): Lamperti, R., Oliveira, E., Neves, L., Agostinho, N. e Nepomuceno, E. (2007). Vacinação pulsada em sistemas epidemiológicos utilizando o modelo baseado em indivíduos, Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Florianópolis SC Brasil, pp Leontaritis, I. J. e Billings, S. A. (1985). Inputoutput parametric models for non linear systems - part i: deterministic non linear systems, International Journal of Control 41(2): Lloyd, A. L. (2001). Realistic distributions of infectious periods in epidemic models: changing patterns of persistence and dynamics, Theoretical Population Biology 60(1): Nepomuceno, E. G., Aguirre, L. A., Takahashi, R. H. C., Lamperti, R. D., Alvarenga, L. R. e Kurcbart, S. M. (2006). Modelagem de sistemas epidemiológicos por meio de modelos baseados em indivíduos, Anais do XVI Congresso Brasileiro de Automática, Salvador BA Brasil, pp Oliveira, E., Lacerda, M., Barbosa, A. e Nepomuceno, E. (2008). Desenvolvimento de estratégia de controle epidemiológico: análise espacial e vacinação a partir do foco da doença, Anais do XVII Congresso Brasileiro de Automática, Juiz de Fora MG Brasil, pp Pereira, E., Galvão, R. e Yoneyama, T. (2008). Uma abordagem de controle preditivo pulsado baseado em modelo aplicado a sistemas epidemiológicos, Anais do XVII Congresso Brasileiro de Automática, Juiz de Fora MG Brasil, pp Chen, S. e Billings, S. A. (1989). Representations of non-linear systems: the NARMAX