Glossário Temático. Em Matemática, são chamados números naturais. Estes outros não são números inteiros, são fracionários:

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1 5 o Glossário Temático Sobre números Você já conhece vários tipos de números. Veja alguns exemplos: Estes são números inteiros e positivos: Em Matemática, são chamados números naturais. Estes outros não são números inteiros, são fracionários: 3 8 0,71 37,895 Já estes não são números positivos, são negativos: 15 8,3 Números naturais São os números que se conhece primeiro. Servem para contar, mas também podem indicar ordem (1- o, 2- o, 3- o,...), identificar localidades (os números do Código de Endereçamento Postal, CEP, identificam uma rua) etc. Ao longo do tempo, os números naturais foram representados de várias maneiras: Vinte e nove no antigo sistema egípcio. Vinte e nove no antigo sistema romano. Atualmente, usamos um sistema de numeração inventado na Índia e divulgado pelos árabes. Por isso, esse sistema é chamado indo-arábico. Para escrever os números, utilizamos dez símbolos, os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Cada algarismo indica um valor que depende de sua posição no número. Exemplo 1: Na escrita 525, o 5 da esquerda indica 5 centenas, o 2 indica 2 dezenas e o 5 da direita indica 5 unidades. Assim, 525 = e se lê quinhentos e vinte e cinco. Com três algarismos, o maior número é 999. Para os números seguintes, é preciso usar mais algarismos. Eles ocupam as posições das unidades de milhar, dezenas de milhar, centenas de milhar, unidades de milhão, dezenas de milhão etc. Exemplo 2: Na escrita , o 3 indica 3 unidades de milhão, o 8 indica 8 centenas de milhar, o 6 indica 6 dezenas de milhar e o 7 indica 7 unidades de milhar; assim, = e se lê três milhões, oitocentos e sessenta e sete mil. Esse sistema de escrita é chamado decimal porque: 10 unidades formam 1 dezena. 10 dezenas formam 1 centena. 10 centenas formam 1 unidade de milhar etc. 1

2 Números fracionários Indicam partes da unidade. São as frações e os números com vírgula. Em Matemática, os números com vírgula são chamados números decimais. Frações São indicadas com símbolos como estes: 3 5, 7 etc., escritos com dois números 10 naturais: o numerador e o denominador. Veja o exemplo: numerador 3 denominador 5 O denominador denomina, quer dizer, dá o nome da fração. Quando é 5, temos quintos. O numerador dá a quantidade de quintos. No exemplo acima, a fração é três quintos. Essa fração indica que uma quantidade, ou um objeto, ou uma figura, foi dividida em 5 partes iguais, das quais consideramos 3 partes. Exemplo 1: A parte verde representa 3 da figura. 5 Exemplo 2: Calculamos 3 de uma 5 turma de 30 alunos fazendo 30 5 = 6 (que correspondem a 1 da turma) e, 5 depois, 3 6 = 18. Assim, 3 de 30 alunos são 18 5 alunos. Números decimais São muito usados para indicar quantias em dinheiro (R$ 36,25), medidas de temperatura (27,3 C), comprimentos (2,05 m), massas (8,507 kg) etc. Na escrita desses números, à esquerda da vírgula temos unidades, dezenas etc. À direita temos décimos, centésimos, milésimos etc. Por exemplo: 6 3, dezenas unidades décimos centésimos milésimos Esse número tem três algarismos à direita da vírgula, ou seja, tem três casas decimais. Os números decimais têm esse nome porque são escritos no mesmo sistema decimal usado para os números naturais: 10 centésimos formam 1 décimo. 10 décimos formam 1 unidade. 10 unidades formam 1 dezena, e assim por diante. Algumas pessoas estranham esta igualdade: 0,70 = 0,7. Nessa igualdade, à esquerda, temos 7 décimos e 0 centésimo; à direita, temos 7 décimos. Portanto, a diferença entre 0,70 e 0,7 é 0 centésimo, ou seja, nada. Por isso, 0,70 e 0,7 são iguais. Números negativos Esses números servem para indicar temperaturas abaixo de zero. Por exemplo, em locais onde neva, a temperatura pode ser 10 C. Prosseguindo seus estudos, você saberá mais sobre esses números. 2

3 Porcentagens São escritas numéricas como estas: 3% (lê-se três por cento), 20% (lê-se vinte por cento) etc. A porcentagem 100% indica sempre o total. Veja duas maneiras de calcular 20% de R$ 300,00. 20% é igual ao total (100%) dividido por 5. Por isso, efetuamos: R$ 300,00 5 = R$ 60,00 Encontramos 1%, que é o total dividido por 100, e multiplicamos por 20. Então: R$ 300, = R$ 3,00 e 20 R$ 3,00 = R$ 60,00 Sobre operações Você conhece quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vamos ver como são usadas e como são efetuadas. Adição É usada para juntar quantidades, ou para acrescentar uma quantidade a outra. Na adição = 41, os números adicionados (13 e 28) chamam-se parcelas, e o resultado (41) chama-se soma ou total. Subtração É usada em várias situações. Por exemplo: Para tirar uma quantidade de outra. Se uma fruteira tem 23 laranjas e você tira 7 para fazer um suco, restam 16 laranjas na fruteira. Essa situação é indicada com a subtração: 23 7 = 16. Para saber quanto falta em uma quantidade para chegar a outra. Se tenho 36 reais e quero comprar um livro que custa 50 reais, quanto me falta? Para responder, tiro de 50 reais a quantia que já tenho. Assim, faço a subtração: = 14. Para encontrar a diferença (quanto a mais ou quanto a menos) entre duas quantidades. Se André tem 15 anos e Paula tem 22 anos, quanto ela tem a mais? O que Paula tem a mais é a diferença entre as duas idades. Para obter essa diferença, tira-se 15 de 22, obtendo-se 7. Assim, fazemos a subtração: = 7. Na subtração 7 3 = 4, o número 7 é chamado minuendo, o número 3 é chamado subtraendo e o resultado 4 é chamado diferença. Multiplicação É usada em diferentes situações. Para obter o total em uma adição de parcelas iguais. Se um feirante vendeu 5 caixas de caquis e cada caixa tem 8 caquis, ele vendeu , ou seja, 5 vezes 8 caquis, situação que pode ser indicada pela multiplicação: 5 8 = 40. Para saber o total de objetos arrumados em fileiras e colunas. Na embalagem da figura, em cada partição há um enfeite, então o total 3

4 Sergey Skleznev/ShuttERStock de enfeites de natal é 4 6 = 24 (ou 6 4 = 24). Se tenho 36 maçãs e quero fazer embalagens com 9 maçãs cada uma, efetuo 36 9 = 4. Assim, fico sabendo que posso formar 4 embalagens. Repare como essa situação é diferente da anterior. Neste exemplo, também se diz que a divisão foi usada para descobrir quantas vezes 9 cabe em 36. Veja os nomes dados aos números envolvidos em uma divisão: 4 fileiras de 6 ou 6 colunas de 4 Para saber o total de possibilidades em certas situações. Se há 3 meninos e 4 meninas que querem formar um casal para dançar, o total de casais que podem ser formados é: 3 4 = 12. Na multiplicação 7 9 = 63, os números multiplicados (7 e 9) chamam-se fatores, e o resultado (63) produto. Nos próximos anos, você vai conhecer outros usos da multiplicação. Divisão É usada em diferentes situações: Para repartir igualmente. Se 36 bananas são repartidas igualmente entre 9 macaquinhos, cada um recebe 4 bananas. Essa situação se indica pela divisão: 36 9 = 4. Para saber quantos grupos de mesma quantidade podem ser formados com certo total. dividendo resto divisor quociente Operações inversas Dizemos que adição e subtração são operações inversas, porque somar uma quantidade a um número e, em seguida, do resultado subtrair a mesma quantidade nos faz voltar ao número inicial: Multiplicação e divisão também são operações inversas. Essa relação aparece em um problema como este: Uma quantia foi dividida entre 5 pessoas, e cada uma recebeu 7 reais. Qual era a quantia? O problema refere-se a uma divisão, mas a resposta é obtida com uma multiplicação: 5 7 = 35. Técnicas de cálculo Para encontrar o resultado de adições, subtrações, multiplicações e divisões, pode-se calcular mentalmente, usar calculadora ou empregar técnicas de cálculo escrito. Para entender as técnicas de cálculo escrito, é preciso conhecer o sistema decimal com que representamos os números. 4

5 Exemplo 1: Para efetuar 13 27, usa- -se este fato: 13 = Por isso, multiplicar 27 por 13 é o mesmo que: multiplicar 27 por 3: 3 27 = 81; depois multiplicar 27 por 10: = = 270; e, finalmente, somar os produtos obtidos: = 351. Esses cálculos podem ser organizados como indicado abaixo Exemplo 2: Para efetuar 736 3, usa- -se este fato: 736 = 7 centenas + 3 dezenas + 6 unidades. Assim, dividem-se as centenas por 3, depois as dezenas por 3 e então as unidades por 3. Observe abaixo o início da divisão: C D U C D Na divisão das dezenas sobrou 1 dezena. Então, ela é adicionada às 6 unidades, formando 16 unidades. O cálculo termina com a divisão dessas 16 unidades por 3. Veja: C D U C D U 1 Exemplo 3: Nos exemplos anteriores só apareceram números naturais, mas podemos dar exemplos com números decimais. Somar ou subtrair números decimais é parecido com somar ou subtrair números naturais. Na adição, somamos centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades etc. Veja: Unidades décimos centésimos milésimos 1 3, , , Observe que, na posição dos centésimos: 3 centésimos + 7 centésimos = = 10 centésimos. Esses 10 centésimos são trocados por 1 décimo, que é indicado pelo pequeno algarismo 1 na coluna dos décimos. Essas trocas são parecidas com as trocas que ocorrem quando se somam números naturais. Sobre formas geométricas planas Quadrados e triângulos são exemplos de formas geométricas planas. Uma forma plana não tem espessura, ao contrário das formas espaciais, como o cilindro ou o bloco retangular. A seguir são apresentadas as formas planas mais comuns e algumas noções de ângulo, linhas paralelas, linhas perpendiculares e simetria que permitem conhecer melhor essas formas. 5

6 Ângulo Nos cantos de um triângulo temos ângulos. Daí vem o nome triâ ngulo, notou? Os cantos de uma folha de sulfite dão ideia de ângulo reto. Também temos ângulos retos nos cantos de portas e janelas. Veja alguns ângulos: Observe o quadrado amarelo e o losango roxo. Nos dois quadriláteros, os quatro lados medem 2 cm. Portanto, a diferença entre as duas figuras não está no comprimento dos lados. Qual a diferença entre esses polígonos? Ângulo reto: mede 90 A diferença mais visível entre os dois quadriláteros está nos ângulos. Os ângulos dos quadrados sempre são retos. O losango roxo não tem ângulos retos. Ângulo menor que o reto. É chamado ângulo agudo. Figura com simetria O quadrilátero vermelho abaixo tem simetria. Dizemos isso porque se dobrarmos o papel na linha azul, que é o eixo de simetria, um lado da figura irá se sobrepor exatamente ao outro. Ângulo maior que o reto. É chamado ângulo obtuso. O giro do ponteiro grande de um relógio entre 5h e 5h15min corresponde a um ângulo de 90. Os quadrados têm 4 eixos de simetria. O losango verde tem 2 eixos de simetria, que estão sobre as diagonais. 6

7 Linhas retas paralelas São linhas retas que mantêm uma mesma distância entre si, não se aproximando nem se afastando. Por exemplo: em um paralelogramo há dois pares de lados paralelos. Hexágono Quadrilátero Há formas planas que não são polígonos. Veja algumas: Linhas retas perpendiculares São linhas retas que se cortam formando ângulos retos. Por exemplo, dois lados consecutivos de um retângulo são perpendiculares. lados perpendiculares Círculo Forma oval O contorno do círculo chama-se circunferência. O círculo tem um ponto interno chamado centro. Quando se traça uma circunferência com o compasso, a ponta-seca dele é fixada no centro. Polígono e não polígono Polígono é uma forma geométrica plana de contorno retilíneo. O nome de um polígono depende do seu número de lados. Exemplo: Um quadrilátero tem 4 lados. Notou que quadri tem a ver com quatro e látero significa lado? Veja exemplos de polígonos: Centro centro Circunferência circunferência A linha reta que une o centro a um ponto do contorno chama-se raio. A linha reta que une dois pontos do contorno e que passa pelo centro chama-se diâmetro. diâmetro centro raio Triângulo Pentágono 7

8 Quadrilátero É um polígono de quatro lados. Formas de quadriláteros são comuns nas coisas construídas pelos seres humanos (folhas de papel são retangulares; ladrilhos podem ter forma de quadrado etc.). Alguns quadriláteros têm nomes especiais: Quadrado (tem dois pares de lados paralelos, 4 ângulos retos, 4 lados de mesmo comprimento) Retângulo (tem dois pares de lados paralelos, 4 ângulos retos, lados opostos de mesmo comprimento) Losango (tem dois pares de lados paralelos, 4 lados de mesmo comprimento) Paralelogramo (tem dois pares de lados paralelos, lados opostos de mesmo comprimento) Trapézio (tem um par de lados paralelos) Sobre formas geométricas espaciais Vamos ver as formas geométricas espaciais mais comuns. Cilindro Veja abaixo como é a forma do cilindro. As latas de alimentos em conserva, em geral, se parecem com o cilindro. Bloco retangular Os tijolos e blocos de construção lembram essa forma geométrica. O bloco retangular é formado por seis faces, que são retângulos. Coprid/Shutterstock FABLOK/SHUttERSTOCK Cone Veja na próxima página como é a forma do cone. Exemplos de objetos que 8

9 PAUlo MANzi têm forma parecida com a do cone: casquinha de sorvete e funil. Alis Photo/Shutterstock Cubo Forma geométrica do mesmo tipo do bloco retangular, mas no cubo as seis faces são quadradas. Os dados usados em certos jogos lembram a forma do cubo. PAUlo Manzi Esfera Bolas em geral, lembram essa forma geo métrica. Prisma Forma geométrica que tem duas faces iguais e paralelas, chamadas de base. Essas bases podem ser polígonos com qualquer número de lados. No prisma desenhado abaixo, as bases são triângulos e as faces laterais são retângulos. Vistas base face lateral base Você pode ver um objeto de várias posições. Conforme a posição, você tem uma vista dele. Se o objeto é uma forma geométrica espacial, ele não cabe na folha de papel, que é plana, mas podemos desenhar suas vistas. Veja a vista fotográfica da pilha de caixas de fósforos e duas vistas simplificadas dessa pilha. Pirâmide Forma geométrica cujas faces laterais sempre são triângulos. face lateral Vista superior Vista lateral 9

10 Se você está em um avião sobrevoando uma cidade, você tem a vista superior da cidade. O mapa de uma cidade é sua vista superior simplificada. A planta de uma casa seria sua vista superior, se a imaginássemos sem telhado e forro. Sobre medidas Medimos muitas grandezas: comprimento, área, massa, intervalo de tempo, ângulo, temperatura etc. Para medir, em geral, usamos algum instrumento de medida. Por exemplo, em uma prova de atletismo o cronômetro é usado para medir o tempo de cada atleta. Para expressar a medida, usamos um número e uma unidade de medida. Exemplo: A pista de caminhada tem 7 km de comprimento. Na medida 7 km, a unidade de medida é o quilômetro, indicado por km. Perímetro É o comprimento do contorno de uma forma geométrica plana. Para encontrar o perímetro de um triângulo, por exemplo, somamos as medidas de seus três lados. Peso e massa Consideramos que massa é a quantidade de matéria que há em objetos e seres. Por isso, a massa de um ser ou objeto não muda, quer estejam na Terra ou em Marte. E peso, o que é? Observe que as coisas tendem a cair no solo. Se você larga um corpo no ar, ele cai no chão; se você salta, acaba voltando ao solo. Dizemos que o planeta Terra atrai ou puxa as coisas, fazendo-as cair. A força com que a Terra atrai as coisas é o peso delas. O peso muda conforme o lugar. Se estivéssemos na Lua, ela é que nos atrairia para o solo e nosso peso seria cerca um sexto do peso que temos na Terra, porque a força de atração da Lua é menor que a da Terra. O quilograma é uma unidade para medir massa e não peso, mas no dia a dia todo mundo diz que pesa tantos quilogramas, isto é, confunde-se peso com massa. Unidades de medida A seguir são apresentadas as unidades de medida mais usadas e seus símbolos. Para medir o comprimento de uma linha, usamos: metro (m), decímetro (dm), centímetro (cm), milímetro (mm) e quilômetro (km). 1 m = mm 1 m = 100 cm 1 m = 10 dm 1 cm = 10 mm 1 km = m Para medir a área de uma superfície, usamos: centímetro quadrado (cm²), metro quadrado (m²) e quilômetro quadrado (km²); também se usa o hectare (ha), que corresponde à área de um quadrado com lados de 100 m. Para medir massa (no dia a dia, dizemos peso), usamos: grama (g), quilograma (kg), miligrama (mg) e tonelada (t). 1 kg = g 1 t = kg 1 g = mg 10

11 Para medir quantidade de líquido ou capacidade de um recipiente, usamos: litro (L) e mililitro (ml) 1 L = ml Um litro é exatamente a quantidade de líquido que cabe em um cubo com arestas internas de 1 dm. Esse cubo corresponde a 1 decímetro cúbico e, portanto, 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico. Outra unidade usada para expressar quantidade de líquidos é o metro cúbico, que corresponde a um cubo com arestas internas de 1 m. Nesse cubo cabem exatamente 1000 L. Portanto, 1 metro cúbico equivale a L. Para medir temperatura, usamos: grau Celsius ( C). Para medir a duração de um intervalo de tempo, usamos: hora (h), minuto (min), segundo (s), além de dia, semana, mês, ano, década, século etc. Para estudar, trabalhar, fazer compras, ir a lugares etc., as pessoas precisam de certas informações. Muitas dessas informações dependem de números, símbolos de unidades de medida, formas geométricas, isto é, essas informações estão relacionadas com Matemática. A planta de uma casa contém informações que ajudam na construção da casa. As informações da planta baseiam-se em formas geométricas. A placa da foto abaixo dá uma informação com números e símbolos, indicando que você está na rodovia federal BR-226, a 80 quilômetros do quilômetro zero da estrada. MAURICIO SIMONEtti/PulSAR IMAgens 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 ano comum = 365 dias 1 ano bissexto = 366 dias 1 década = 10 anos 1 século = 100 anos Sobre tratamento da informação Chance Muitas vezes queremos saber se um acontecimento tem muita ou pouca chance de ocorrer. Às vezes, podemos expressar a chance com números. Por exemplo, a chance de obter resultado jogando um dado comum de seis faces é perto de 17%, resultado da divisão de 100% por 6. A chance de obter cara lançando uma moeda é 50%; a chance de obter coroa também é 50%. 11

12 Gráficos São maneiras de representar informações por meio de figuras, facilitando o entendimento da informação. Número de alunos Número de alunos da Escola Azul Ano O gráfico de barras acima permite perceber que o número de alunos da Escola Azul vem aumentando a cada ano. Há vários tipos de gráficos. Os mais comuns são de barras, de setores (ou circulares) e de linhas (ou segmentos). A situação retratada no gráfico anterior também pode aparecer em um gráfico de linhas: Número de alunos da Escola Azul Pesquisa estatística Para saber qual é o time de futebol preferido em uma grande cidade, é difícil entrevistar cada morador porque há muitos moradores. É mais fácil fazer uma pesquisa estatística, ou seja, entrevistar parte dos moradores (que precisa ser muito bem escolhida) e, com base nos resultados, fazer uma estimativa da preferência da cidade toda. Ao entrevistar parte dos moradores, fazemos uma coleta de dados. Os resultados das entrevistas podem ser apresentados em um gráfico como este, chamado gráfico de setores: Número de alunos Ano De acordo com o gráfico, podemos fazer uma estimativa: 1 dos moradores da cidade prefere o Fraco F. C. Nessa 4 cidade, esse time tem mais torcedores que qualquer outro sozinho, não é? 12