Métodos quantitativos para análise de parâmetros do Simulated Annealing

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1 Métodos quantitativos para análise de parâmetros do Simulated Annealing WILDERSON MOREIRA PINTO (IFMG Campus Congonhas) KENESTON SOUSA COELHO (IFMG Campus Congonhas) SILVIA MARIA SANTANA MAPA (IFMG Campus Congonhas) ALBANO CÉSAR PADULA DE MORAIS (IFMG Campus Congonhas) DANIEL APARECIDO OLIVEIRA SILVA(IFMG Campus Resumo: O Problema de Alocação de Salas é comum em diversas instituições de ensino, quando se faz necessário programar horários e alocar salas. A solução manual de problemas desta natureza é considerada difícil e pode demandar vários dias de trabalho, sendo que a utilização de técnicas matemáticas exatas se torna inviável, dependendo do tamanho do problema. Ganha destaque neste cenário técnicas metaheurísticas, como o Simulated Annealing, que a partir de requisitos classificados como essenciais e não essenciais, consegue gerar soluções de boa qualidade, escapando de ótimos locais, com relativo baixo custo computacional. O objetivo deste trabalho consiste em determinar quais dos parâmetros do Simulated Annealing possuem maior impacto na geração de soluções para um problema de caráter fictício. Para isso, foi necessaria a aplicação das ferramentas estatísticas de sumarização de dados e projeto fatorial para obter informações de como os parâmetros da metaheurística interferem nos resultados do Problema de Alocação de Salas. Palavras-chave: Simulated Annealing; Sumarização de dados; Projeto fatorial. 1. Introdução O Problema de Alocação de Salas (PAS), conhecido na literatura como Classroom Assignment Problem, diz respeito à distribuição de aulas a salas, respeitando-se certas restrições e considerando-se que as aulas dos cursos já estejam programadas, isto é, que já estejam definidos os horários de início e término das aulas de cada turma de cada disciplina e o problema, então, é o de alocar essas aulas às respectivas salas. A solução manual deste problema é uma tarefa árdua e normalmente requer vários dias de trabalho, dependendo do tamanho do problema, sendo considerado um problema NP-difícil (Even et al. 1976, Carter and Tovey 1992), o que, em casos reais, dificulta ou até mesmo impossibilita sua resolução por técnicas de programação matemática, ditas exatas. Por isto, no presente trabalho aplica-se uma técnica heurística ao problema, o que não garante a sua otimalidade, mas visa obter respostas viáveis e tão boas quanto possível. Apesar das técnicas heurísticas não garantirem a otimalidade numérica, como as técnicas exatas, elas conseguem, em geral, gerar soluções de boa qualidade sem um elevado custo computacional, medido em tempo de processamento. Dentre as heurísticas, destacam-se as chamadas meta-heurísticas, as quais, ao contrário das heurísticas convencionais, têm 1

2 caráter geral e são providas de mecanismos para escapar de ótimos locais. Dentre as metaheurísticas que vêm sendo aplicadas em problemas de programação de horários e alocação de salas, destacam-se: Simulated Annealing (Souza et al. 2002), Busca Tabu (Burke et al. 2001) e Programação Genética (Ueda et al. 2001). Neste trabalho será utilizada a técnica Simulated Annealing (SA) projetada para trabalhar com uma estrutura de vizinhança com movimentos de alocação. O objetivo será realizar uma abordagem quantitativa a partir da utilização de técnicas estatísticas de sumarização de dados e projeto fatorial, visando analisar quais parâmetros utilizados pelo SA possuem maior impacto na solução gerada, possibilitando melhor compreensão de como o sistema se comporta durante a execução dos experimentos. 2. Metodologia Um dos principais objetivos deste trabalho é proceder a uma análise estatística do comportamento do sistema na geração de soluções para o problema abordado. Para tanto, utilizou-se a coleta de dados e alguns métodos estatísticos para auxiliar na compreensão de como o sistema se comporta durante a obtenção de soluções para o problema. A técnica estatística de sumarização de dados foi utilizada para facilitar a compreensão e identificar características dos dados estudados, fornecendo medidas estatísticas de média, moda, mediana, variância, coeficiente de variação, intervalos de confiança, quartis, etc., além de mensurar o número de replicações necessárias para alcançar estimativas com certa confiança. Outra técnica utilizada foi o projeto fatorial, que é uma ferramenta muito eficaz para estudar sistemas complexos, pois permite identificar as interações entre as variáveis envolvidas no problema, uma vez que a cada tentativa completa ou réplica do experimento, todas as combinações possíveis dos níveis dos fatores são investigadas (Montgomery e Runger, 2012). Segundo Jain (1991), a técnica 2 k r é utilizada quando se tem k fatores que podem variar em dois níveis diferentes e a análise deseja isolar os erros experimentais. Cada conjunto de experimentos é reproduzido r vezes. Através desta classe de desenho fatorial pode-se facilmente analisar e classificar os fatores em ordem de impacto. No problema em questão, a utilização da técnica projeto fatorial foi necessária para determinar os efeitos dos parâmetros do Simulated Annealing e de suas interações na qualidade das soluções geradas e identificar qual destes parâmetros possui impacto mais significativo no desempenho do sistema. 3. Simulated Annealing (SA) O método Simulated Annealing foi desenvolvido e utilizado originalmente em simulações de termodinâmica, para análise computacional de processos de recozimento de certos materiais sólidos, onde estes eram aquecidos até determinada temperatura e então resfriados até que atinjam a energia mínima, ou seja, o equilíbrio térmico. Fazendo-se analogia a problemas combinatórios, podem-se considerar os possíveis estados do metal como as soluções, a energia de cada estado corresponde à função objetivo que, dependendo do 2

3 problema pode ser maximizada ou minimizada e a energia mínima seria a solução ótima do problema. O sistema Simulated Annealing considera alguns parâmetros que podem ser variados e estudados, sendo eles: Temperatura inicial; Temperatura final; Número máximo de iterações em certa temperatura (SAmax); Número máximo de iterações sem melhora da função objetivo (Itermax); Coeficiente de resfriamento (α). Os métodos de otimização comumente encontrados na literatura buscam, a partir de uma solução inicial aleatória, uma nova solução que, ao ser comparada com a inicial avalia se houve redução da função objetivo e, caso seja verdadeira, esta solução passa a ser considerada como corrente e os passos são repetidos até que não sejam observadas melhoras nos valores da função objetivo. O método Simulated Annealing utiliza técnicas para o refinamento de soluções do problema, buscando melhores soluções e evitando a convergência para valores de ótimos locais, uma vez que aceita movimentos de piora para explorar novas regiões e melhores soluções (Vieira, 2006). Na prática ele requer que o problema seja especificado em termos de um espaço de soluções com uma estrutura de vizinhança definida sobre ele, bem como uma função de custo mapeando cada solução em um valor numérico. O processo se inicia com um membro qualquer do espaço de soluções, normalmente gerado aleatoriamente, e seleciona um de seus vizinhos randomicamente. Se este vizinho for melhor que o original ele é aceito e substitui a solução corrente. Se ele for pior por uma quantidade, ele é aceito com uma probabilidade e - /T, onde T decresce gradualmente conforme o progresso do algoritmo. Esse processo é repetido até que T seja tão pequeno que mais nenhum movimento seja aceito, sendo esta a melhor solução encontrada durante a busca e tomada como uma boa aproximação para a solução ótima. 4. Problema de Alocação de Salas (PAS) O Problema de Alocação de Salas (PAS) é enfrentado por diversas instituições de ensino de médio e grande porte e consiste em alocar turmas às salas de aula, respeitando as restrições pré-determinadas. Trata-se de um problema combinatório cuja resolução manual pode demandar muito tempo e esforço por parte dos responsáveis e, por este motivo, é considerado pela literatura existente como um problema NP-difícil (Even et al. 1976, Carter e Tovey 1992). Em problemas de alocação de salas são considerados alguns requisitos, na qual são atribuídos pesos de acordo com o grau de importância, sendo que os mais importantes recebem pesos maiores, definindo assim os requisitos essenciais e não essenciais do problema. Os requisitos considerados essenciais na modelagem do problema neste trabalho foram: em uma mesma sala e horário não pode haver mais de uma aula; e uma sala não pode receber uma turma cuja quantidade de alunos seja superior à sua capacidade. O único 3

4 requisito não essencial considerado na formulação foi: utilizar o espaço das salas eficientemente, evitando alocar aulas de turmas pequenas em salas de maior capacidade. Outras restrições poderiam ter sido consideradas, tais como: sempre que possível, alocar a uma mesma sala alunos de um mesmo curso e período; se possível, cada uma das salas deve ser deixada vazia em pelo menos um horário ao longo do dia, de forma a possibilitar sua limpeza, dentre outras. A função objetivo é mensurada por duas componentes, uma de inviabilidade g(s), que mede o não atendimento dos requisitos essenciais e, caso não seja atendida, gerará uma alocação inviável e outra de qualidade h(s), que mede o grau de não atendimento dos requisitos não-essenciais e cujo atendimento é desejável, mas caso não seja satisfeito não gerará soluções inviáveis. A função objetivo pode ser expressa como: Desta forma, a função objetivo associa um número real a cada solução do universo de soluções existentes e deve ser minimizada. Quanto menor for o número associado à função objetivo, melhor será a solução encontrada para problema. 5. Descrição do problema O problema considerado para análise deste estudo é um exemplo hipotético de pequeno porte, com uma centena de horários distribuídos por uma dezena de salas, com as aulas realizadas de segunda a sexta, nos períodos da manhã, tarde e noite. A solução do problema é representada por uma matriz S = (S ij ) mxn, onde m representa o número de horários reservados para a realização das aulas e n o número de salas disponíveis. Em cada célula S ij é colocado o número da turma t alocada ao horário i e sala j. Uma célula vazia indica que a sala j está desocupada no horário i. O algoritmo foi implementado na linguagem C, usando o compilador GNU GCC e testado em um microcomputador PC Intel Core 2 Duo, 1,83 GHz, com 4 GB de RAM, sob sistema operacional Windows Seven. O pseudocódigo do algoritmo é apresentado na Figura 1. 4

5 FIGURA 1 Pseudocódigo do algoritmo. Os tempos de processamento para geração de soluções não serão analisados neste trabalho, pois seu impacto no sistema analisado, por ser um problema de pequeno porte, é da ordem de segundos, e não está definido no escopo do presente trabalho. 6. Sumarização de dados Para a técnica estatística sumarização de dados foram criados dois sistemas de testes, um para a solução inicial e outro para o SA, sendo que para este último foram definidos os parâmetros mostrados na tabela 1. TABELA 1- Parâmetros do Simulated Annealing Parâmetros Simulated Annealing SAmax Itermax Temperatura_inicial Temperatura_final 0,01 Alfa 0,9 5

6 Foram coletados 32 valores de função objetivo para o problema de alocação de salas, tanto para a solução inicial quanto para o Simulated Annealing, sendo os valores obtidos mostrados na Tabela 2 e a dispersão de respostas exibida no Gráfico 1. TABELA 2 Valores de Função Objetivo obtidas Solução Inicial Solução Simulated Annealing Função Objetivo Função Objetivo GRÁFICO 1- Dispersão das respostas Estimativas estatísticas para os valores de funções objetivo dos sistemas Solução Inicial e Simulated Annealing foram calculadas e mostradas na Tabela 3. 6

7 TABELA 3- Estimativas estatísticas para os valores de função objetivo Estimativa Solução Inicial Simulated Annealing Média , ,3125 Desvio-padrão , ,5766 Coef.Variação 0,1104 0,5703 Moda q q q Min Max IQR Analisando o coeficiente de variação, pode-se concluir que a técnica de geração de uma solução inicial é mais estável que as respostas geradas pelo SA (0,1104 < 0,5703). Isto já era de se esperar, visto que a geração de uma solução inicial não está submetida a técnicas de otimização e movimentos na estrutura de vizinhança, que explicam a maior variabilidade do SA devido aos erros experimentais. 7. Projeto Fatorial Projetos fatoriais 2 k r são usados, em geral, de maneira preliminar, antes de estudos mais detalhados. A técnica estatística Projeto Fatorial 2 k r é capaz de prever se um fator tem efeito significativo no experimento e mensurar se existem interações entre os fatores considerados. Pretende-se determinar quais fatores do SA e suas interações tem impacto mais significativo na minimização da função objetivo, á luz dos erros experimentais. Para a aplicação desta técnica, a variável resposta é o valor da função objetivo, FO. SAmax, Alfa e Itermax são os fatores do SA que serão variados, fazendo k=3. Os experimentos serão replicados 22 vezes, ou r=22, a fim de se estimar o impacto do erro experimental na variável resposta. Portanto, os níveis dos fatores assumirão valores máximo e mínimo dentro das respectivas faixas de intervalos. Sabe-se a priori que quanto maior os valores de Alfa, SAmax e Itermax, maiores são as chances de se obter melhores valores de função objetivo. Sendo assim, os efeitos são unidirecionais. A Tabela 4 mostra esta premissa para valores específicos dos fatores SAmax, Alfa e Itermax. Para cada nível de cada fator calculou-se a média da função objetivo FO. Enquanto variou-se um fator os outros foram mantidos constantes. 7

8 TABELA 4 Valores específicos dos fatores SAmax, Alfa e Itermax. Nível Variável Fator Baixo Alto Baixo Alto A SAmax , ,8 B Itermax , ,4 C Alfa 0,10 0, , ,6 Os testes foram feitos variando-se os fatores, como mostrado na Tabela 4, e foram obtidos os valores da função objetivo (Tabela 6), conforme as denominações da Tabela 5. FO TABELA 5 Denominações para funções objetivo Itermax Samax Alto Baixo Alfa Alfa Alto Baixo Alto Baixo Alto AA EE BB FF Baixo CC GG DD HH TABELA 6- Valores da função objetivo Valores de Função Objetivo r AA BB CC DD EE FF GG HH

9 média Deve-se notar que o Sistema AA atingiu uma solução com função objetivo ligeiramente melhor que todos os outros Sistemas, no valor de , refletindo em uma melhor alocação de salas, com menos penalidades por excesso ou ociosidade de salas. Este resultado é interessante, visto que variando os parâmetros do sistema, foi permitido um número maior de iterações em uma dada temperatura, um maior número de iterações sem melhorias e um coeficiente de resfriamento maior, o que faz o sistema resfriar mais lentamente. Sendo assim, com esta configuração têm-se mais chances de escapar de um ótimo local e gerar soluções de melhor qualidade. Os erros calculados são apresentados na Tabela 7. TABELA 7 Errros experimetais Tabela dos erros experimentais r AA BB CC DD EE FF GG HH Procedeu-se à construção da Tabela 8. 9

10 TABELA 8: Dados para a técnica Projeto Fatorial I A B C AB AC BC ABC Y Total q * = Total/8 SS* = Fração explicada por: 0,91% 5,27% 18,08% 0,80% 0,32% 1,39% 0,26% SSY = 3,45625E+12 SSE = 1,30358E+12 72,97% SST = ,00% 10

11 Dentre os fatores considerados, os mais significativos são: B, C e BC, ou Itermax, Alfa e a interação entre eles, capazes de explicar 24,74% da variação da resposta FO. Pela equação, percebe-se que ao se aumentar os fatores Alfa, Itermax e SAmax é possível uma redução no valor da função objetivo, porém todas as interações que envolvem o fator Alfa fazem aumentar a função objetivo, em proporções menores em termos de significância. Se a finalidade é minimizar a função objetivo manipulando apenas estes três parâmetros do SA, vale investir inicialmente no fator Alfa (coeficiente de resfriamento), elevando-o ao máximo possível, em detrimento aos outros fatores considerados. O impacto desta decisão na resolução do problema é o aumento do tempo de execução do algoritmo. Portanto, os fatores do SA devem ser elevados até quanto tempo se está disposto a esperar por uma resposta. Ainda analisando a Tabela 8, conclui-se que a fração da variação da resposta explicada pelos fatores SAmax (A), Itermax (B), Alfa (C) e suas interações somam 27,03% apenas, e os restantes 72,97% da variação está atrelada aos erros experimentais, ou à parcela não controlada pelo modelo proposto. Esta análise motiva o estudo da variação da resposta em função da solução inicial gerada, sendo então proposto como trabalho futuro o desenvolvimento de um Modelo de Regressão para prever a variação da resposta com relação aos valores das soluções iniciais aleatoriamente geradas, então submetidas à metaheurística SA. 8. Conclusões A aplicação das técnicas estatísticas Sumarização de dados e Projeto Fatorial 2 k r ofereceu informações relevantes para o melhor entendimento de como os parâmetros da metaheurística Simulated Annealing interferem na geração de soluções ao Problema de Alocação de Salas implementado. Definidos os fatores do SA que seriam analisados no escopo do trabalho, os mesmos foram variados e os dados analisados com o auxílio da técnica Projeto de Experimentos. Notou-se que o fator Coeficiente de Resfriamento (Alfa) é o que possui maior impacto na variação da resposta (função objetivo), seguido pelo fator Número máximo de iterações sem melhora da função objetivo (Itermax) e a interação entre eles. O fator Número máximo de iterações em uma mesma temperatura (SAmax) não é significativo para explicar a variação da resposta para o problema analisado, mas também pode auxiliar na redução da função objetivo. Com a aplicação da técnica, chegou-se também à conclusão de que os fatores do SA analisados explicam apenas 27%, e o restante da variação da resposta está atrelado a outros fatores não controlados pelo modelo proposto no escopo do trabalho. Sumarizando os dados, pode-se concluir que valores de Alfa a partir de 0,9 produzem soluções de melhor qualidade para o Problema de Alocação de Salas, com 80% de confiança, sendo vantajosa a análise deste fator do SA, por ser, entre os outros parâmetros do SA, o de maior impacto na geração de soluções. Sendo assim, os objetivos iniciais traçados neste trabalho foram alcançados, possibilitando um melhor entendimento do comportamento do sistema na geração de soluções 11

12 para o problema variando-se parâmetros do Simulated Annealing, definindo quais fatores possuem maior impacto na minimização da função objetivo, tomada como métrica. Como trabalho futuro recomenda-se o desenvolvimento de um modelo de regressão para prever a variação da resposta com relação ao fator de maior impacto do SA. Referências Bibliográficas BURKE, E.K., COWLING, P., LANDA SILVA, J.D. and McCOLLUM, B. Three Methods to Automate the Space Allocation Process in UK Universities, Lecture Notes in Computer Science, 2079: CARTER, M.V. and TOVEY, C.A. (1992).When Is the Classroom Assignment Problem Hard?, Operations Research, 40:S28-S39. EVEN, S., ITAI, A. and SHAMIR A. (1976) On the complexity of timetabling and multicommodity flow problems, SIAM Journal of Computation, 5: JAIN, R. Art of Computer Systems Performance Analysis Techniques For Experimental Design Measurements Simulation And Modeling. Wiley Computer Publishing, John Wiley & Sons, Inc LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando EXCEL. 4. ed: Elsevier Campus, p. MONTGOMERY, D.C; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, SOUZA, M.J.F.; MARTINS, A.X.; ARAÚJO, C.R. Uma metaheurística híbrida baseada em Simulated Annealing e Busca Tabu para o Problema de Alocação de Salas. In: Proceedings XI Congreso Latino-Ibero- Americano de Investigación de Operaciones y Sistemas, Concepción, 2002a. 1 CD-ROM. SOUZA, M.J.F., XAVIER, A.X. E ARAÚJO, C.R. (2002). Experiências com a utilização de Simulated Annealing e Busca Tabu na resolução do Problema de Alocação de Salas. In: XXXIV Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO, Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, Brasil. Anais do XXXIV SBPO. UEDA, H., OUCHI, D., TAKAHASHI, K. and MIVAHARA, T. (2001). A Co-evolving Timeslot/Room Assignment Genetic Algorithm Technique for Universities Timetabling, Lecture Notes in Computer Science, 2079: VIEIRA, L.E. Algoritmo Evolutivo para o Problema do Caixeiro Viajante com Demandas Heterogêneas. Dissertação (Mestrado em Engenharia da Produção) - Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria,