Têmpera Simulada Aplicada ao Problema de Designação Quadrática

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Instituto de Informática Têmpera Simulada Aplicada ao Problema de Designação Quadrática Fábio A. Camargo Corrêa faccorrea@inf.ufrgs.br Porto Alegre, 03 de Dezembro de 2007

2 Índice 1. Introdução Definição do Problema Têmpera Simulada O Processo Físico Aplicação ao Problema Resultados alfa x T alfa x L L x T Onde foi que eu errei Conclusões Bibliografia...7

3 1. Introdução No campo da computação, é freqüente o número de vezes onde nos deparamos com problemas pertencentes a classe dos problemas NP. Ao longo do curso de ciência da computação, até então não tinha sido apresentada nenhuma forma de atacar estes problemas, e quando nos deparávamos com eles, não tínhamos muito que fazer além de constatar que não haveria algoritmo eficiente para resolvê-los. Nesta disciplina, foram apresentadas várias alternativas de tratar estes problemas. Em que pese que as soluções obtidas, quando aplicados estes métodos, não tenham garantia de optimalidade, muitas vezes o resultado obtido é satisfatório. Este trabalho tem como objetivo aplicar a meta-heurísica da têmpera simulada (simulated annealing) ao problema de designação quadrática e analisar seu desempenho. O foco será analisar a influência dos parâmetros desta heurística, que veremos posteriormente, na qualidade da solução obtida. 2. Definição do problema O problema de designação quadrática consiste em encontrar uma bijeção f entre os vértices de dois grafos A e B com n vértices, de tal forma que minimize o custo total, dado por: n Aij B f i f j i, j=0 Uma interpretação para este problema é que cada vértice de A é uma localidade, e o valor da aresta entre uma localidade i e j é a distância entre estas duas. Cada vértice de B é um recurso, que deve ser alocado em alguma localidade. Para cada par x e y de recursos, existe um valor de fluxo associado. Por exemplo, suponha que x seja um cinema e y seja um lugar onde vende-se pipoca. É natural que o fluxo entre estes dois seja grande e, portanto, é razoável alocar x e y em locais de tal forma que ambos não fiquem muito distantes. Este locais são os vértices i e j do grafo A. 3. Têmpera Simulada A Têmpera Simulada é uma processo físico de resfriamento gradual de determinado sólido, de forma que este possa atingir um estado de baixa energia. Em 1983, Kirkpatrick e seu colaboradores sugeriram que a simulação deste processo poderia ser utilizada para buscar soluções factíveis, com o objetivo de econtrar uma solução ótima. A estratégia é uma variante da técnica de busca local, onde são introduzidos os conceitos do processo físico. 3.1 O processo físico O processo físico da têmpera (ou recozimento) consiste em duas etapas: elevar a temperatura de um determinado sólido ao valor no qual este se funde. Feito isso, é efetuado o resfriamento do material até que este se solidifique. Este resfriamento deve ser feito de forma lenta e gradual, pois é necessário dar um tempo para os átomos do material, de forma que estes se organizem em uma estrutura cuja configuração é de energia mínima para determinada temperatura. Após este tempo, a temperatura é reduzida novamente e deve-se aguardar mais um tempo para que o material encontre, para esta temperatura, uma configuração de energia mínima. Caso a temperatura seja diminuída de forma muito rápida, o material vai conter várias imperfeições, pois não foi dado tempo suficiente para que os átomos encontrassem essa configuração de energia mínima. Para exemplificar o quão gradual deve ser este processo, lentes de telescópios científicos 1

4 chegam a ser resfriadas ao longo de cinco anos. A lente do telescópio Hubble levou dois anos para atigir a configuração de energia mínima, isto é, sem imperfeições. 3.2 Aplicação ao problema As analogias do processo físico com o problema a ser resolvido pela meta-heurística são as seguntes: a) Uma configuração do material é uma solução; b) A configuração de energia mínima é a solução ótima; c) O nível de energia é a função objetivo; d) A temperatura é um parâmetro de controle; e) O tempo que o material vai permacener em uma dada temperatura é um número de iterações L; Nesta meta-heurística, são possíveis movimentos que aumentem o valor da função objetivo. Tal comportamento inspira-se no processo físico, ende existe uma probabilidade de que o material atinja uma configuração cuja energia é aumentada. Sendo E(S) o nível de energia do material em um estado S; T a temperatura e k uma constante, esta probabilidade é dada pela fórmula: E P E =e kt, sendo E=E E ' Para o problema de designação quadrática, uma solução é um vetor com n elementos, onde i = x representa o mapeamento do vértice i de A no vértice x de B. Uma solução vizinha de é o mesmo vetor, permutando-se duas posições r e s. Para este problema, E é a diferença entre a função objetivo obtida com as configurações e '. Posto isto, o E é como segue:, r, s =A[r ][r ]. B [ s ][ s ] B[ r ][ r ] A[r ][s ]. B[ s ][ r ] B [ r ][ s ] A[s ][r ]. B[ r ][ s ] B [ s ][ r ] A[s ][ s ]. B[ r ][ r ] B[ s ][ s ] n A[k ][r ]. B [ k ][ s ] B [ k ][ r ] k=1 ;k r, s A[k ][s ]. B[ k ][ r ] B [ k ][ s ] A[r ][k ]. B[ s ][ k ] B [ r ][ k ] A[s ][k ]. B[ r ][ k ] B [ s ][ k ] Determinando o que são as soluções vizinhas, que é a parte mais difícil do algoritmo, o pseudo-código para a têmpera simulada é: 2

5 4.Resultados Em contraste com a simplicidade da implementação do algoritmo, verifica-se que é necessário determinar cada parâmetro. A falta de um conhecimento mais profundo sobre o processo físico atrapalha nesta escolha. Posto isso, a implementação teve um maior enfoque em analisar os efeitos de cada parâmetro na qualidade da solução. Sendo assim, os parâmetros testados obedeceram os seguintes limites, com incrementos definidos a seguir: L T a) α é a taxa decrescimento da temperatura, com incremento 0.05 caso α < 0.95, incremento 0.1 caso contrário; b) L é o número de iterações em que será consultada a vizinhança de uma solução em uma determinada temperatura, com incremento 250 a cada passo; c) T0 é a temperatura inicial, com incremento a cada passo; Os resultados foram obtidos baseados nas instâncias pré-determinadas na definição deste trabalho, extraídas do site QAPLib [3]. Os parâmetros na tabela se referem a primeira combinação de parâmetros em que achou a solução especificada, podendo ter sido encontrada a mesma solução com outros parâmetros, como é o caso da instância els19, que encontrou a solução ótima para uma vasta combinação de parâmetros. Instância Solução Obtida Solução QPABLib % optimalidade α L T0 had , had , chr15b esc16h , chr22a bur26c , bur26f , kra30b , kra (???) , , els19 esc32a sko90 395,45(??) O desempenho da meta-heurística mostrou-se interessante, posto que achou soluções razoáveis para a maioria dos casos. Agora, serão selecionadas as duas melhores e as duas piores soluções, analisando a relação que existe entre os parâmetros e a solução obtida. Algo que se pode 3

6 verificar somente olhando esta tabela é que, de fato, a taxa de redução da temperatura é um dos parâmetros mais relevantes, já que para a maioria dos casos o melhor valor encontrado foi sob uma taxa de redução acima de Optou-se por mostrar os gráficos em duas dimensões, sendo cada um dos eixos referentes a um parâmetro. Os gráficos foram gerados com a ferramenta MATLAB, utilizando os arquivos de log gerado para as soluções. Nos gráficos, as área escuras representam proximidade da solução ótima. 4.1 alfa x T0 A interação entre estes dois parâmetros parece não afetar muito a qualidade da solução, posto que ao longo do eixo que representa alfa, a variação é praticamente imperceptível. Note que estes gráficos são tri-dimensionais, logo uma pequena variação do resultado em relação ao alfa pode ter sido perdida por conta da intperpolação dos pontos. Mas os gráficos são consistentes, já que a melhor solução encontrada está justamente com a temperatura inicial determinado pela região mais escura do gráfico Els19 Chr22a Chr15b Esc32a 4

7 4.2 Alfa x L A interação entre alfa e L também parece não afetar a solução. Estes gráficos indicam que, selecionando um L adequado, é provável que encontremos uma solução boa. O único caso, destes gráficos apresentados, que verificou-se uma forte ligação entre L e alfa foi a instância chr22a, já que a solução ótima só poderia ser encontrada em uma região delimitada no canto superior direito, do gráfico, isto é, o L entre 250 e 500 e com alfa valendo acima de Els9 Chr22a Chr15b Esc32a 5

8 4.3 L x T0 Estes dois parâmetros tem um comportamento que, verificou-se, depende dos valores que a função objetivo assume. Quanto mais próximo são os valores da função objetivo e da temperatura inicial, menor é a chance de se encontrar a solução ótima, que está representado nos gráficos como sendo a distribuição de regiões claras e escuras. Para a instância Els19, cuja função objetivo assume valores bastante elevados, as soluções ótimas se distribuem ao longo de praticamente todo valor de L e T0, onde o T0 é maior que Tal falha de raciocínio é detalhada a seguir, e sua correção não fez parte da implementação por ter sido detectada após o prazo estipulado da apresentação. Em que pese que para a instância chr15b, os valores ótimos (região escura) não sejam tão abundantes quanto a outra instância, a solução ótima foi encontrada com um alfa valendo Se a temperatura reduzisse de forma mais rápida, não chegaríamos a um resultado tão bom. Para os casos de teste onde os valores assumidos para a função objetivo são bem pequenos, são abuntantes as regiões claras no gráfico, isto é, existem poucas combinações adequadas para se encontrar uma solução boa. Els9 Chr22a Chr15b Esc32a 6

9 4.4 Onde foi que eu errei Analisando os resultados obtidos, claramente havia alguma coisa errada na minha implementação. O padrão para as melhores soluções encontradas era que o valor da função objetivo assumia valores muito altos (comparados a temperatura inicial), enquanto as piores soluções ocorria o contrário. Ora, não deve ser correto a qualidade da heurística estar subjugada a estrutura da instância do problema. A falha proveio do fato de T0 não ter sido dimensionado de forma correta. Recapitulando, a probabilidade da função objetivo ter seu valor aumentado é: P E =e E kt E, maior será a probabilidade de se realizar um kt movimento aleatório. Para as instâncias cujo valor de E é muito baixo, impostos os limites determinados para a temperatura inicial, a heurística se assemelha-se a um randon walk, posto que a cada passo se efetua uma transição sem saber se esta irá aumentar ou diminuir o valor da função objetivo. A correção necessária seria estimar os valores máximo e mínimo de E e somente então, determinar um valor adequado para T0. Isto significa que, quanto menor for 5. Conclusões A têmpera simulada é uma heurística que alcança resultados bastante satisfatórios. Além de ser de fácil implementação, há garantia de convergência, dado tempo suficiente para encontrar-se uma configuração de energia mínima. As desvantagens são : a) O número de parâmetros envolvidos; b) A velocidade da redução da temperatura implica visitar um número exponencial de vizinhos c) Um processo lento de redução da temperatura leva a tempos de processamento elevados Quando trata-se de heurísticas, conhecimento prático é valoso, já que através dele eu pudecompreender a falha da minha implementação sem conhecimento profundo sobre o processo físico. 6. Bibliografia [1] KIRKPATRICJ, S.; GELATT, C. D.; VECCHI M.P. Optimization by Simulated Annealing, Science v.220, n.4598, 1983 [2] STÜTZLE, T.; DORIGO; M.; Local Search and Metaheuristics for the Quadratic Assignment Problem [3] BURKARD R.E. ; KARISCH S.E. ; RENDLL F., QAPLib Home Page 7