Modelo Matemático de um Problema de Suprimento de Demandas *

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1 <7. Modelo Matemático de um Problema de Suprimento de Demandas * Eduardo Camponogara camponoggdcc.unicamp.br Pedro Sérgio de Souza pssgdcc.unicamp.br Universidade Estadual de Campinas Departamento de Ciência da Computação - IMECC CX.Postal CEP Campinas - SP Resumo Este artigo trata de um problema de suprimento de demandas de derivados de petróleo. Tais derivados são processados em refinarias e transportados, através de uma rede dutos, para terminais de onde são distribuídos aos mercados consumidores. A partir da definição do problema, é apresentado um modelo em programação matemática caracterizado por uma estrutura de fluxo em rede com multi-períodos. Por fim, são apresentados resultados obtidos através da aplicação de um algoritmo exato sobre o modelo. *Este trabalho tem recebido apoio financeiro da FAPESP.

2 256 2~ SIMPÓSI BRASILEIR DE Introdução No Estado de São Paulo, a produção e distribuição dos derivados de petróleo é feita através de um conjunto de refinarias e terminais da Petrobrás. As refinarias processam o petróleo cru nos seus diversos derivados ~ os quais são distribuídos aos mercados consumidores através dos terminais. Estes mercados estabelecem o planejamento tanto da produção dos derivados nas refinarias quanto da demanda nas bases (refinarias ou terminais). Embora a distribuição seja feita nas refinarias e terminais, a produção é concentrada apenas nas refinarias por questões economicas. Isto implica na necessidade de transporte entre bases, o qual é feito, em sua grande maioria, por meio de uma rede de dutos que as interligam. Entretanto, na eminência de desabastecimento, podem ser usados caminhões. Nesse problema, o objetivo principal da Petrobrás está em encontrar uma solução que atenda as demandas e reduza os custos de transporte. Além disso, deve satisfazer as restrições tecnológicas e temporais. Este artigo propõe uma sucinta definição do problema, a qual procura agregar as suas reais características. A partir dessa definição, é desenvolvido um modelo, em programação matemática [WiI78], caracterizado por sua estrutura de fluxo em rede com multi-períodos [LN93, JB80]. As equações presentes no modelo são todas lineares e isto permite, pelo menos no âmbito teórico, a aplicação de Métodos de timização Linear. Além do modelo, são apresentados alguns resultados obtidos na sua solução para uma instância do problema. 2 Definição do Problema A definição de um problema envolve pelo menos dois aspectos: os dados e a solução. Em particular. o presente problema se classifica como de timização Combinatória [NW88] e, portanto, é caracterizado por uma função objetivo, a qual quantifica a solução encontrada. A rede de transporte é o primeiro dado do problema, exemplificada pela figura, e possui as informações das características das bases e dos dutos. As bases apresentam capacidades de armazenamento e os dutos possuem capacidades e vazões que dependem dos produtos e do sentido do transporte. s mercados consumidores estabelecem as campanhas de produção e demanda diárias de cada produto em cada base. Além desses dados, a situação da rede também faz parte dos dados de entrada. Essa situação é representada por quais produtos, e suas respectivas quantidades, estão armazenados nos dutos e bases da rede. A rede está sujeita a falhas e os mercados não são estáveis, o que implica na característica dinâmica do problema. Para resolver essa questão, assumir-se-á uma situação estática a cada evento dinâmico. A solução do problema está em encontrar o fluxo de produtos nos dutos, o qual garanta o abastecimento dos mercados e também atenda as restrições tecnológicas e temporais. Como restrição tecnológica, cita-se a seqüência em que os produtos são transportados, tendo em vista que, para cada produto existe apenas um subconjunto de produtos que podem entrar em contato com o mesmo. As restrições temporais, por sua vez, estão relacionadas com a disponibilidade de produto e a capacidade de armazenamento no momento da execução de uma operação de transporte. É interesse da Petrobrás reduzir os custos de transporte e de operação do sistema. Entretanto, o objetivo principal tem se limitado ao atendimento das demandas, dado que o sistema é programado exclusivamente através da interação humana. Isso justifica a busca de um método automático capaz de encontrar uma solução que reduza esses custos. 3 Modelo em Programação Matemática A apresentação do modelo será feita através de um pequeno exemplo cuja rede é formada por duas bases, A e B, interligadas por um duto. Dado que o duto possui capacidade CAPDUT, ele será representado por um conjunto de vértices, cada qual representando um segmento do duto, tal que cada vértice possua a capacidade equivalente à vazão durante um período de tempo. A rede resultante da representação de dutos por vértices é replicada quantos forem os períodos utilizados. Na figura 2 está ilustrada a rede do exemplo com um período e o duto com dois vértices. Nessa rede, os arcos representam os possíveis transportes (6, 7, 9, 0, 2 e 3), o estado inicial (, 2, 3 e 4) e as campanhas de produção e demanda das bases (5, 6, 2 e 22). vértice que representa o segmento do duto mais próximo à base A, no início do período, possui quatro arcos: 2, 7,..

3 .~ ~~ ~ -~ / 2! SIMPÓSI BRASILEIR DE 257 IUICAP - CA7fJAVA Figura : representação gráfica da rede de transporte da Petrobrás no Estado de São Paulo. s rótulos dos vértices do grafo identificam as refinarias e terminais. REPLAN, por exemplo, identifica a Refinaria de Paulínea. 8 e 9, representando as quantidades, respectivamente. inicialmente armazenada, transferida para A, restante no seg~ento e transferida para o outro segmento do duto durante o período. modelo exemplo considera que apenas dois produtos (G e Q) podem ser transportados na rede. As variáveis xnp indicam a quantidade de produto p E {G, Q} que foi transportada através do arco n E {, 2,..., 22}. As variáveis Ynp são variáveis binárias que indicam qual produto está armazenado, no início de um período, em um dado segmento. Por exemplo, YnG = indica que o segmento para o qual o arco n é incidente possui o produto G no início do período correspondente. A partir das definições acima, seguem abaixo as restrições do modelo, classificadas por suas respectivas funções.. Restrições que estabelecem o estado inicial do sistema. (a) Restrições de produtos armazenados nos dutos, onde CAPDUT é a capacidade do duto. Assume-se que somente o produto G está inicialmente armazenado no duto. X2G CAPDUT/2 x2q Y2G Y2Q x3g CAPDUT/2 x3q Y3G Y3Q

4 258 2! SIMPÓSI BRASILEIR DE BASE A"""""",...'... BASE B INICI D PERID. ~ INICI D PERID Figura 2: Rede correspondente ao exemplo com duas bases, um período e dois vértices por duto. 2. (b) Restrições de estoque nas bases, onde ESTpb indica o estoque inicial do produto p E {G, Q} armazenado na base b E {A, B}.. ESTGA XQ XG ESTQA X4G ESTGB X4Q = ESTQB Conservação de fluxo no início dos períodos e 2. xlg = x5g + x6g x6g + x7g + x6g x6g + x7g xlq = x5q + x6q x6q + x7q + x5q = x6q + x7q x2g = x7g + xag + x9g x6g + xag + xl0g xlag x2q = x7q + xaq + x9q x6q + xaq + xl0q = xlaq x3g = xl0g + xllg + x2g x9g + xllg + x3g x9g x3q xl0q + xllq + x2q x9q + xllq + x3q = x9q x4g = x3g + x4g x2g + x4g + x2g x20g + x22g x4q = x3q + x4q x2q + x4q + x2q x20q + x22q 3. Produção e demanda nas bases durante o período, onde PRDpbt (DEMpbt) é a produção (demanda) do produto p na base b durante período t. x6g x5q x6g x6q X2G x2q x22g x22q PRDGAl PRDQAl DEMGAl DEMQAl = PRDGBl PRDQBl DEMGBl = DEMQBl 4. Capacidade de armazenamento nas bases no início do período 2, onde CAPpb é a capacidade de armazenamento do produto p na base b. X5G + X7G + X5G X5Q + X7Q + X5Q X2G + X4G + X2G X2Q + X4Q + X2Q < CAPGA < CAPQA < CAPGB < CAPQB

5 2 2 SIMPÓSI BRASILEIR DE Restrições que garantem armazenamento de um único produto, no início de cada período, em cada segmento do duto. XSG + XSG + xl0g = (YsG) (CAPDUT/2) xsq + xsq + xl0q (Y8Q) (CAPDUT/2) Y8G + YSQ x9g + xllg + x3g (YllG)'( CAPDUT/2) x9q + xllq + x3q (YllQ) (CAPDUT/2) YllG + YllQ 6. Restrições que garantem fluxo comum em todos os segmentos do duto. 7. Restrição de capacidade no duto. Xl0G + xl0q x3g + x3q x9g + x9q x2g + x2q {XSG + xsq + x7g + x7q ~ CAPDUT/2 8. Restrições de precedência dos produtos nos dutos, onde assume-se que o produto G pode entrar em contato com o produto Q e vice-versa. { Y8G Y8Q < YllG + YlQ < YlG + YllQ o modelo em programação matemática se completa ao acrescentar-se a função objetivo ao conjunto de restrições acima. Abaixo segue a função objetivo, a qual procura minimizar os custos de transporte. Minimize Se o modelo exemplo apresentasse três produtos, G, Q e p, tais que apenas Q e D não pudessem entrar em contato, as equações que garantem a precedência dos produtos nos dutos seriam dadas pelas equações abaixo. { YSG Y8Q Y8D < YlG + YlQ + YllD < YlG+YlQ < YllG + YllD Para uma rede com t períodos, n bases, m dutos, p produtos e q vértices correspondentes a segmentos de dutos, o número de variáveis e restrições é da ordem de (mpt + npt + qpt) [CLR90]. Dado que normalmente q > Max{m, n}, o número de variáveis e restrições pode ser aproximado para (qpt). 4 Resultados Na intenção de averiguar a aplicabilidade prática do modelo, implementou-se um código para gerar o modelo correspondente ao problema da Petrobrás. modelo foi então otimizado através do otimizador CPLEX 3.0 [CPL94], que é capaz de resolver problemas de programação linear, com variáveis contínuas e inteiras, usando os algoritmos Simplex [BJ77] e Branch-and-Bound [NW88]. s dados de entrada para o modelamento são os dados descritos na definição do problema. Em particular, existem dois parâmetros que afetam profundamente o tamanho da rede e, conseqüentemente, o número de variáveis e restrições. primeiro parâmetro é o intervalo de tempo entre cada período. Por razões operacionais, as operações de transporte entre as bases da Petrobrás não são inferiores a uma hora de duração, o que indica que o intervalo de tempo adequado para cada período deve ser de, aproximadamente, uma hora. outro parâmetro é o tempo total que a rede deve abranger a partir do instante corrente. A

6 260 2' SIMPÓSI BRASILEIR DE partir da experiência adquirida pelo grupo responsável pela programação do sistema da Petrobrás, a rede deve abranger não menos do que sete dias. Esta exigência é proveniente da grande capacidade e distância de alguns dutos. Tais dutos podem armazenar cerca de m 3 e o bombeamento de produto de uma extremidade para outra pode levar mais do que quatro dias. A rede resultante para o problema apresenta intervalo de uma hora para cada período, n = 4 bases, m = 28 dutos, p = 7 produtos derivados de petróleo, t = 68 períodos e um total de q = 280 vértices correspondentes a segmentos de dutos. Para uma rede com intervalo de quatro horas para cada período, q = 82 vértices, t = 2 períodos (dois dias) e p = 7 produtos, a relaxação linear consumiu cerca de quatro horas de cpu em uma máquina Sun modelo SparcServerl. 5 Conclusões Apesar dos avanços obtidos durante as últimas duas décadas na área de Transporte [DDSS93], ainda existem muitos problemas de cunho prático e teórico a serem resolvidos como, por exemplo, o da Petrobrás tratado neste artigo. A partir de uma dificuldade concreta, a qual envolve questões estratégicas de uma grande empresa, um problema foi definido e modelado matematicamente. Embora o modelo esteja bastante próximo da realidade, os métodos exatos utilizados não se mostraram eficientes para solução do problema. Para um modelo com dimensões inferiores às reais necessidades, o tempo de cpu foi exageradamente elevado, mesmo utilizando um otimizador de reconhecida eficiência (CPLEX 3.0), em uma máquina rápida como a SparcServerl. Esses resultados indicam que as abordagens exatas provavelmente não são adequadas ou faz-se necessário o desenvolvimento de técnicas exatas específicas para o problema em questão. Uma alternativa para solução do problema é o desenvolvimento de algoritmos heurísticos [MM8] que possam encontrar soluções aproximadas ou sobre o modelo matemático ou sobre os requisitos do problema. Uma abordagem heurística de decomposição do problema já foi proposta pelos autores [CdS95]. A extensão dessa abordagem decompõe o problema em três etapas. A primeira é constituída pela etapa de geração de jobs (operações de transporte) que devem ser executados a fim de suprir as demandas. A segunda etapa é formada pela busca de rotas que conectam a base produtora à base consumidora de cada job. Por fim, a última etapa corresponde ao escalonamento dos jobs através de um Job Shop Scheduling [Bak74] modificado, onde os dutos são as máquinas e as rotas são as listas de tarefas dos jobs. Referências [Bak74] K. R. Baker. Introduction to Sequencing and Scheduling. John Wiley, 974. [BJ77] M. Bazaraa and J. Jarvis. Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons, 977. [CdS95] E. Camponogara and P. S. de Souza. A solução de um problema de transporte através de sua decomposição. In XXII Seminário Integrado de Software e Hardware, 995. [CLR90] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, and R. L Rivest. Introduction to Algorithms. MIT Press, 990. [CPL94] CPLEX ptimization, Inc. Using the CPLEX Callable Library, 994. [DDSS93] J. Desrosiers, Y. Dumas, M. M. Solomon, and F. Soumis. Time Constrained Routing and Scheduling. September 993. Forthcoming in Handbooks in perations Research and Management Science. [JB80] P. A. Jensen and J. W. Barnes. Network Flow Programming. John Wiley, 980. [LN93] A. R. Lari and B. N. Nag. A model management solution system for multicommodity network flows. European Journal of perational Research, 7:398-48, 993. [MM8] H. Muller-Merbach. Heuristics and their design: a survey. European Journal of perational Research, 8, 98. [NW88] G. Nemhauser and L. Wolsey. Integer and Combinatorial ptimization. John Wiley & Sons, 988. [WiI78] H. P. Williams. Afodel Building in Mathematical Programming. John Wiley & Sons, 978.