Exercícios 4 - Curva normal - Resolução

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Alessandra Freire da Mota
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Biometria Exercícios 4 - Curva normal - Resolução 4.. Em uma amostra de indivíduos adultos de sexo masculino, cuja estatura média é 68 cm e desvio padrão é 8 cm, qual é a.

8 =,68) A maior altura será: 68 +,68 = 83,68 e a menor altura será: 68 -,68 = 2,32 Assim sendo, 9% da população tem altura entre 2,32m e 83,68 cm. b.

1 Biometria Exercícios 4 - Curva normal - Resolução 4.. Em uma amostra de indivíduos adultos de sexo masculino, cuja estatura média é 68 cm e desvio padrão é 8 cm, qual é a. o intervalo de alturas em que 9% da população está compreendida? 9% = ±,96 9% = 68 ±,96 x 8 (sendo que,96. 8 =,68) A maior altura será: 68 +,68 = 83,68 e a menor altura será: 68 -,68 = 2,32 Assim sendo, 9% da população tem altura entre 2,32m e 83,68 cm. b. a probabilidade de um indivíduo ter estatura entre 60 e 78 cm? Calcula-se dois valores de z: z min = (60-68) / 8 = -,00 z max = (78-68) / 8 =,2 Consultando a Tabela de z, verifica-se que a área entre z = 0 e z = -,00 é de 0,343. E que a área entre z = 0 e z =,2 é de 0,3944. Portanto, a probabilidade de se encontrar alguém com estatura entre 60 e 78 cm é 0, ,3944 = 0,737 = 73,7% c. encontrar alguém com altura superior a 83,68 cm? Como visto na assertiva 4.a, 38,68 corresponde exatamente a,96, ou seja a 47,% da área, portanto P = 2,% 4.2. Uma amostra de 000 recém-nascidos mostrou peso corporal médio igual a g e desvio padrão igual a 700 g. Qual é: a. o intervalo que deve conter 9% da distribuição desses pesos? 9% = ±,96 9% = ±,96 x 700 (sendo que, =.372) O maior peso será: = e o menor peso será: =.928 e Assim sendo, 9% dos bebês têm peso entre,928 kg e 4,672 kg. b. a probabilidade de um bebê ter peso igual ou superior a 2.00 g? Calcula-se o valor de z: z = ( ) / 700 = -,4 Consultando a Tabela de z, verifica-se que a área entre z = 0 e z = -,4 é de 0,3729. Portanto, a probabilidade de um bebê ter peso igual ou superior a 2.00 g é 0, ,000 = 0,8729, ou seja, 87,29%

c. encontrar um bebê com peso inferior a.928g? Como visto na assertiva 4.2a,.928g corresponde exatamente a -,96, ou seja a -47,% da área, portanto P = 2,% d. E com peso entre 2.600 e 3.0g?

2 c. encontrar um bebê com peso inferior a.928g? Como visto na assertiva 4.2a,.928g corresponde exatamente a -,96, ou seja a -47,% da área, portanto P = 2,% d. E com peso entre e 3.0g? Calcula-se dois valores de z: z min = ( ) / 700 = -,00 z max = ( ) / 700 = 0,30 Consultando a Tabela de z, verifica-se que a área entre z = 0 e z = -,00 é de 0,343 e a área entre z = 0 e z = 0,30 é de 0,79. Portanto, a probabilidade de um bebê ter peso entre e 3.0g é 0, ,79 = 0,492 = 4,92% 4.3. Qual a probabilidade de z pertencer à cada uma das áreas coloridas? a. P z (z > 2) = 0,4772 P total ( 0 < z < + i ) = 0,000 em que i = infinito P total - P z = 0,0228 = 2,28% b. P z (- < z < 0) = - 0,343 = 34,3% c. P z min ( -2 < z < 0) = - 0,4772 ( o sinal existe para lembrar que a área se situa à esquerda da curva). P z max ( 0 < z < ) = 0,343 Portanto, P z min ( -2 < z < ) = 0,88 = 8,8% 4.4. Sabe-se que a variável X tem distribuição normal, com os seguintes parâmetros: média = 30 e variância = 6. Qual é a probabilidade de encontrarmos X > 40?

3 Se variância = 6, o desvio padrão (= raiz 6) = 4. Como z = ( x - ) / z = ( ) /raiz 6) = 0 / 4 = 2, Verificando na tabela de z: P total ( 0 < z < + i ) = 0,000 em que i= infinito P z ( 0 < z < 2, ) = 0,4938 P total - P z = 0,0062. Portanto, P = 0,62% 4.. Sabe-se que a variável X tem distribuição normal, com os seguintes parâmetros: média = 60 e variância = V. Se P (X > 70) = 0,047, qual é o valor de V? Se a probabilidade correspondente à metade direita da curva normal é 0,000, a probabilidade da região entre = 0 e o ponto 0,047 é 0,000-0,047 ou seja, 0,42 Localizando a probabilidade 0,42 na tabela de z, encontra-se z =,67 Como z = ( x - ) /,67 = ( ) / = 0 /,67 = =,988 Como variância = 2 = 3, Sabe-se que a variável X tem distribuição normal, com os seguintes parâmetros: média = M e variância = 9. Se P ( X > 28 ) = 0,87, qual é o valor de M? Como z = ( x - ) / então z = ( 28 - M ) / (raiz 9) = (28 - M) / 3 Como P total ( M < z < + i ) = 0,000 P z ( 0 < z < 2, ) = 0,87 Portanto, P ( M <z < + 28 ) = 0,343 em que i = infinito Verificando na tabela de z, obtém-se z =,00. Então, z = ( 28 - M ) / 3... = ( 28 - M ) / 3 3 = 28 - M = - M ou seja, M = Considerando-se os dados do exercício anterior, z poderia ser -? Como z = ( x - ) / -= ( 28 - M ) / 3-3 = 28 - M = -M M = 3 A área seria 0,343-0,000 = 0,843 Este valor não coincide com 0,87 dado no enunciado, portanto não se pode aceitar - como valor de z Suponha que os dados abaixo referem-se a altura em cm de uma amostra de 00 universitários de sexo masculino. Agrupe-os com considerando i = 4. Depois, para os dados tabelados:

4 a. Calcular a média b. Calcular o desvio padrão Mínimo Máximo x f fx fx , , , , , , , , , , , , , ,00... f = N fx fx 2 a. Média = fx / n = 73,6800 b. Variância = s 2 = fx 2 - [( fx) 2 / N]} / (N - ) 7,64 Desvio padrão = s = raiz s 2 raiz 7,64 = 8,4649 c. Traçar um gráfico em colunas da distribuição d. Sobrepor ao gráfico uma curva normal.

n = 00 M = 73,6800 s = 8,4649 n/s =,83.... z=.. 00.(yn/s )/ Min Max x x - M (X-M)/s y y.

5 n = 00 M = 73,6800 s = 8,4649 n/s =, z=.. 00.(yn/s )/ Min Max x x - M (X-M)/s y y.n/s / (yn/s) ,6800-2,80 0,0079 0,0933 0, ,6800-2,32 0,0270 0,390, ,6800 -,8 0,072 0,88 3, ,6800 -,38 0,39,88 7, ,6800-0,9 0,2637 3,2 2, ,6800-0,43 0,3637 4,2966 6, ,3200 0,04 0,3986 4,7089 8, ,3200 0, 0,303 4,383 6, ,3200 0,98 0,2468 2,96, ,3200,46 0,740 2,06 8, ,3200,93 0,0632 0,7466 2, ,3200 2,40 0,0224 0,2646, Totais 2,323 00, Considere as 3 amostras tabeladas abaixo. Responda para cada uma delas: a. É simétrica? b. É mesocúrtica? (C = Centro de classe) : Altura em 00 universitários de sexo masculino 2: Distribuição da distância inter-pupilar em 300 homens. 3: Distribuição da atividade da NADH redutase de metemoglobina em 37 homens C f C f C f

6 Total Total Total 37 Amostra : Altura em 00 universitários de sexo masculino (i= 3). Real x f fx fx² fx³ fx N = f fx fx² fx³ fx 4 m 2 = { (f X 2 )/ n - [( f X) 2 / n 2 ] } i 2 m 2 = 69,24 m 3 = { (f X 3 )/ n - (3 f X f X 2 )/ n 2 ) + [ 2 ( f X) 3 / n 3 ] } i 3 m 3 = -42,798 m 4 = { (f X4 )/ n - [(4. f X. f X 3 )/ n 2 ] + [ 6 ( f X) 2.( f X 2 )/ n 3 ] - [3 ( f X) 4 / n 4 ]} i 4 m 4 = 4720,879 Simetria da distribuição g = m 3 / (raiz m 2 3 ) g = -0,0743

7 s g = raiz (6/n) s g = 0,2449 t = g /s g... t = -0,3032 t crítico =, ,60 < P < 0,70 Como -,96 < t <,96, o valor de g não difere significativamente de zero, portanto é simétrica. Curtose da distribuição g 2 = (m 4 /m 2 2 ) - 3 g 2 = 0,070 s g2 = raiz(24/n) s g2 = 0,4899 t = g 2 /s g2... t = 0,43 t crítico =, ,80 < P < 0,90 Como -,96 < t <,96, o valor de g 2 não difere significativamente de zero, portanto é mesocúrtica. Amostra 2: Tabela 3.4: Distribuição de 300 homens segundo a distância inter-pupilar (i = ). Real x f fx fx² fx³ fx N = f fx fx² fx³ fx 4 m 2 = { (f X 2 )/ n - [( f X) 2 / n 2 ] } i 2 m 2 = 8,208 m 3 = { (f X 3 )/ n - (3 f X f X 2 ) / n 2 ) + [ 2 ( f X) 3 / n 3 ] } i 3 m 3 = -2,398 m 4 = { (f X4 )/ n - [(4. f X. f X 3 ) / n 2 ] + [ 6 ( f X) 2.( f X 2 ) / n 3 ] - [3 ( f X) 4 / n 4 ] } i 4 m 4 = 9,732

8 Simetria da distribuição g = m 3 / (raiz m 2 3 ) g = -0,092 s g = raiz (6/n) s g = 0,44 t = g /s g... t = -0,638 t crítico =,96... Como -,96 < t <,96, o valor de de g não difere significativamente de zero, portanto é simétrica. Curtose da distribuição g 2 = (m 4 /m 2 2 ) - 3 g 2 = -0,0320 s g2 = raiz(24/n) s g2 = 0,2828 t = g 2 /s g2... t = -0,30 t crítico =,96... Como -,96 < t <,96, o valor de g 2 não difere significativamente de zero, portanto é mesocúrtica. Amostra 3: Tab.4 - Distribuição da atividade da NADH redutase de metemoglobina em 37 homens (i=4). Real x f fx fx² fx³ fx

9 .. N = f fx fx² fx³ fx 4 m 2 = { (f X 2 )/ n - [( f X) 2 / n 2 ] } i 2 m 2 = 67,890 m 3 = { (f X 3 )/ n - (3 f X f X 2 ) / n 2 ) + [ 2 ( f X) 3 / n 3 ] } i 3 m 3 = 630,472 m 4 = { (f X4 )/ n - [(4. f X. f X 3 ) / n 2 ] + [ 6 ( f X) 2.( f X 2 ) / n 3 ] - [3 ( f X) 4 / n 4 ] } i 4 m 4 = 09079,32 Simetria da distribuição g = m 3 / (raiz m 2 3 ) g = 0,2898 s g = raiz (6/n) s g = 0,2093 t = g /s g... t =,3849 t crítico =,96... Como -,96 < t <,96, o valor de de g não difere significativamente de zero, portanto é simétrica. Curtose da distribuição: g 2 = (m 4 /m 2 2 ) - 3 g 2 = 0,8698 s g2 = raiz(24/n) s g2 = 0,48 t = g 2 /s g2... t = 2,0782 t crítico =,96... Como -,96 < t <,96, o valor de g 2 não difere significativamente de zero, portanto é leptocúrtica. Copie esse texto (comprimido) como pdf clicando na extensão desejada com o botão direito do mouse. Depois, clique em algo semelhante a "Salvar destino como" Escolha um drive e uma pasta e clique em OK. Este "site", destinado prioritariamente aos alunos de Fátima Conti, está disponível sob FDL (Free Documentation Licence), pretende auxiliar quem se interessa por Bioestatística, estando em permanente construção. Sugestões e comentários são bem vindos.

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