Fractais: progressão e série geométrica Uma metodologia de ensino

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1 Fractais: progressão e série geométrica Uma metodologia de ensino Andrios Bemfica Graduado em Licenciatura Matemática na Faculdade Cenecista de Osório FACOS 2010/2 Cassiana Alves Graduada em Licenciatura Matemática na Faculdade Cenecista de Osório FACOS 2010/2 Resumo: O presente trabalho teve como foco o tema referente à Geometria Fractal que é uma nova maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico Buscamos apresentar o que são os fractais, como construir fractais em software matemático e através de dobraduras Além disso, procuramos mostrar alguns dos fractais mais conhecidos como o Triângulo e Tapete de Sierpinsky e Conjunto de Cantor Assim, na busca da aplicação da geometria fractal nos conceitos matemáticos, realizamos o cálculo da área e volume do Triângulo de Sierpinsky após n interações, cálculo da área do Tapete de Sierpinsky Para realizarmos tal trabalho de calcular, fizemos uso dos conceitos de progressões e séries geométricas oriundos do cálculo, geometria e da álgebra Com isso, buscamos abordar o tema não somente como uma curiosidade geométrica, mas também discutir as possibilidades do uso deste como uma metodologia para a matemática do ensino médio Palavras-chave: Geometria Fractal, Séries Geométricas, Cálculos Algébricos, Progressões Geométricas Abstract: This paper focuses on the subject on the Fractal Geometry is a new way of seeing and conceiving the geometric knowledge We present what are fractals, how to build fractals in mathematical software and by folding Furthermore, we show some more of fractals known as the Sierpinski Triangle and Carpet Set and Cantor So, in seeking the application of mathematical concepts in fractal geometry, we calculate the area and volume of the Sierpinski Triangle after n interactions, calculating the area of the Sierpinski carpet To make this work, to calculate, we use the concepts of geometric progressions and series from the calculation, geometry and algebra With this, we address the issue not only as a geometrical curiosity, but also discuss the possibilities of using this as a methodology for high school math Keywords: Fractal Geometry, Geometric Series, algebraic calculations, Geometric Progressions Introdução O presente artigo vem mostrar um assunto ainda pouco utilizado como metodologia de ensino da matemática, os fractais, que em especial podem ser aplicados nos conteúdos de progressões geométricas do ensino médio Mesmo sendo pouco utilizado é visto em diversas formas em nossas vidas cotidianas 6

2 Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoit Mandelbrot De acordo com Sallum (2005): Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo Não podemos ver um fractal porque é uma figura limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma idéia da figura toda Seu nome se deve ao fato de que a dimensão de um fractal não é um número inteiro (Ibidem, p1) Sendo assim, os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita Os fractais podem ser divididos em duas categorias: os fractais geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão, e os aleatórios que são feitos através dos computadores Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais apresentam determinadas características: auto-semelhança, dimensionalidade e complexidade infinita A auto-semelhança é a simetria através das escalas, que consiste em cada pequena função do fractal, é tal qual uma réplica do original, porém numa escala menor Esta propriedade pode ser vista em variados elementos da natureza (conforme anexo 1) A teoria do caos Muitos fenômenos não podem ser previstos por leis matemáticas, assim, os fenômenos ditos caóticos são aqueles onde não há previsibilidade As variações climáticas, oscilações do coração, do cérebro e as oscilações da bolsa de valores são fenômenos ditos caóticos Atualmente, com o desenvolvimento da matemática e das outras ciências, a teoria do caos surgiu com o objetivo de compreender e dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na natureza Assim, nas últimas décadas depois de um árduo trabalho de matemáticos e físicos, elaboraram teorias para explicar o caos Hoje se sabe muito a respeito de fenômenos imprevisíveis, e já é possível ver os resultados Por exemplo, em noventa e sete, dois americanos conseguiram encontrar uma fórmula para prever 7

3 aplicações financeiras e com isso ganharam o prêmio Nobel de economia, logo, caos tem aplicações em todas as áreas Assim, podemos dizer que: Essa ciência trouxe consigo o ver ordem e padrões, onde anteriormente só se observava o irregular, o aleatório, o imprevisível, digamos mesmo o caótico Entretanto, notasse que o Caos as colocou entre temas não relacionados justamente pelas suas irregularidades (SALLUM, p10, 2002) Desta forma, uma lei básica para a teoria do caos afirma que a evolução de um sistema dinâmico depende principalmente das suas condições iniciais O comportamento do sistema dependerá então da sua situação de início Se analisarmos o mesmo sistema, sob outras condições iniciais, logicamente ele assumirá outros caminhos e mostrar-se-á totalmente diferente do anterior Um exemplo tradicional de caos no mundo cotidiano, e também conhecido como um provérbio é o efeito borboleta, que diz que: uma borboleta bate as asas na China e causará um furacão na América, por mais absurdo que pareça esta metáfora, os fenômenos climáticos são de comportamento caótico e de difícil previsibilidade E também podemos citar as formas do litoral e das ilhas, umas são alongadas, outras circulares, diferem de tamanho, mas podem ser de formas análogas São como fractais, a sua formação deve-se a um conjunto de forças complexas que resultaram num formato padrão, pois se observarmos a natureza não veremos ilhas quadradas Aqui muitos outros exemplos poderiam ser citados, mas não nos esqueçamos que na natureza existem também fenômenos simples como a queda de um objeto, o som, o movimento dos astros e muitos outros Nem tudo é caótico, quando falamos num sistema complexo não estamos nos referindo somente à complexidade operacional, mas também à complexidade de elementos Geometria fractal Foi da necessidade de se calcular e descrever certos fenômenos da natureza ou objetos intricados que não possui forma definida, que surgiu a Geometria Fractal, uma geometria que apresenta estruturas geometricamente complexas e infinitamente variadas Sua nomenclatura se origina do adjetivo em latim fractus O 8

4 verbo latino corresponde frangere que significa quebrado ou fraturado : criar fragmentos irregulares Caracterizam-se por repetir um determinado padrão com ligeiras e constantes variações Como conseqüência dessa auto-similaridade, as diferentes partes de um fractal se mostram similares ao todo Assim, os fractais têm cópias aproximadas de si em seu interior Ainda podemos dizer que os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas Porém somente há poucos anos, com o desenvolvimento e aperfeiçoamento dos computadores, a Geometria Fractal vem se consolidando O matemático francês, Benoit Mandelbrot, escolheu a palavra fractal para nomear os estudos que ele se dedicou e trouxe mais conhecimento a nós Pois na verdade os fractais não foram descobertos nem criados por Mandelbrot, ele apenas os nomeou, visto que estes já eram conhecidos antes de sua descoberta Existem indicações de que os fractais já existiam antes do século XX Na época eram conhecidos como monstros matemáticos, na Grécia Homérica, Índia e China Até mesmo Euclides, a mais de dois mil anos, observou que a areia da praia se assemelhava a uma espécie que é bidimensional, embora fosse constituída por pequenas partes tridimensionais Mandelbrot ao definir os fractais se apoiou muito em matemáticos, cientistas, que já haviam se dedicado a este estudo sistemático dos fractais, mas não chegaram a ter uma conclusão exata dos seus estudos Podemos citar: o Georg Cantor ( ), David Hilbert ( ), Giusepe Peano ( ), Helge von Koch ( ), Waclaw Sierpinski ( ), entre outros Fractais como metodologia de ensino A sociedade em que vivemos está passando por muitas transformações, a globalização e as tecnologias têm mudado o nosso cotidiano Estas evoluções têm provocado algumas mudanças também na educação Atualmente, muito se tem discutido sobre a abordagem dos conteúdos em sala de aula e o uso das novas tecnologias no ensino Nesta esteira de discussões é que o ensino de matemática se insere, tendo em vista que a preocupação é crescente no que diz respeito a 9

5 adaptação dos profissionais aos aparatos que a tecnologia disponibiliza Estas novas abordagens vão de encontro ao perfil moderno do educando, que está cada vez interagindo mais com as novas tecnologias As tecnologias no ensino são novas ferramentas que auxiliam tanto professores quanto alunos nas aulas de matemática, porém não são únicas A prática escolar nos permite acreditar que a apresentação de novas formas de abordar conteúdos torna as aulas da disciplina de Matemática mais atraentes e produtivas Nesse sentido, entendemos que as pessoas precisam sair das escolas, não sabendo somente calcular e escrever, tão pouco sabendo a capital de algum país do outro lado do mundo, precisam sair das salas de aula sabendo questionar, sabendo reconhecer, relacionar, criar Para Barbosa (2002), a própria matemática [] fornece ao matemático, ao professor, e é bom que ofereça ao educando, prazeres oriundos de várias formas de pensar e ver, ou de suas próprias ações Muitas vezes eles emergem de superação de dificuldades; assim é, por exemplo, o estado prazeroso emergente da simples busca com sucesso das raízes na resolução de uma equação ou de uma situaçãoproblema numérica ou geométrica cuja solução leva a encontrar apenas alguns números ou determinados pontos de um plano (BARBOSA, p 13, 2002) Seguindo estes princípios, a geometria fractal possui um vasto campo de aplicação dos conceitos matemáticos em suas diversas áreas, tais como álgebra, cálculo, geometria plana e espacial, e progressões Cabe ao educador utilizar dos recursos dispostos pela escola, bem como dos conteúdos curriculares, para inserir este tema em suas aulas e cativar o aluno no aprendizado de conceitos Segundo Nunes (2010): A exploração da geometria fractal, em contexto de sala de aula, proporciona o desenvolvimento das atitudes, dos valores e das competências dos alunos, na medida em que promove a curiosidade e o gosto de aprender, de pesquisar e de investigar; impulsiona a utilização da matemática na interpretação do real, reconhecendo formas e processos que envolvem conceitos matemáticos; ajuda na compreensão dos conceitos de perímetro, área e volume; promove a pesquisa de padrões e regularidades formulando em seguida generalizações em situações diversas, nomeadamente em contextos numéricos e geométricos (Ibidem, 74) 10

6 Nesse sentido, podemos afirmar que esta área da geometria passa a ser uma importante e eficaz metodologia de ensino, visto que possibilita a abordagem e aplicação de vários conceitos, diversificando assim a prática do professor Propor uma aula com situações novas, onde o educando possa descobrir e fazer relações entre o que visualiza e o que estuda, torna o acontecimento em sala de aula favorável a aprendizagem Esta abordagem possibilitará ao educando a visualização do conteúdo trabalhado, não ficando apenas na formalidade que é própria da disciplina de matemática Cremos que [] para os fractais, em especial para a geometria fractal, faz-se necessário ao educador conseguir captar o educando com o transparecer de sua própria vibração, e talvez evidenciando o êxtase na complementação na beleza de seus visuais, conduzindo-o ao prazer pelas informações e conhecimentos culturais da vasta variedade de fractais (BARBOSA, p 14, 2002) Além do campo extenso de aplicações dos fractais é necessário que o professor perceba a potencialidade que existe nesta área da geometria, podendo assim trabalhar conceitos de simetria, relacionando arte com matemática Triângulo de Sierpinski O Triângulo de Sierpinski foi descoberto pelo matemático Waclav Sierpinski ( ) É obtido através de um processo iterativo de divisão de um triângulo equilátero em quatro triângulos semelhantes, visto que um destes triângulos está invertido, em relação ao original e é retirado do triângulo original sobrando apenas os outros três Assim, repete-se no passo seguinte o mesmo procedimento em cada um dos três novos triângulos com a orientação original, e assim sucessivamente O fractal obtido é estritamente auto-semelhante, ou seja, as partes da figura são cópias reduzidas de toda a figura Pode-se generalizar o triângulo de Sierpinski para uma terceira dimensão, obtendo assim a Pirâmide de Sierpinski 11

7 Figura1 Triângulo de Sierpinski e suas interações Fonte: Internet, 2010 O triângulo de Sierpinski e as séries geométricas Os fractais podem ser explorados no desenvolvimento de diversos conteúdos; como na álgebra, geometria, cálculo, modelagem matemática e números complexos, com o propósito de despertar o interesse dos educandos, pelas formas, cores e luminosidade que os mesmos apresentam ao serem criados tanto no computador como manualmente Fazendo uso dos conceitos oriundos do cálculo mais especificamente, as séries geométricas, buscamos construir fórmulas para encontrar as áreas do Triângulo e do Tapete de Sierpinsky para n interações Partindo primeiramente da análise do triângulo e sua primeira interação, vimos que a cada interação cada triângulo que compunha o Triângulo de Sierpinsky dava origem a quatro novos triângulos, sendo que destes quatro o do centro é removido 12

8 Figura 2 Triângulo de Sierpinski após várias interações Fonte: Internet, 2010 Área do triangulo de Sierpinski O cálculo da área vazada do Triângulo de Sierpinski se dará pelo somatório das áreas dos triângulos para n interações, obtidas através de uma série geométrica convergente Área do triangulo inicial: Área do triangulo da 1ª interação: Área do triangulo da 2ª interação: Área do triangulo da 3ª interação: Interações Nº de Triângulos retirados Área de um novo Triângulo

9 n Tabela 1 Cálculo da área do triangulo de Sierpinski após as interações Logo, para descobrirmos a área que resta do triângulo original realizamos o seguinte cálculo: faremos a área do triângulo original pela fórmula da área do triângulo equilátero menos o somatório das áreas vazadas obtidas através da série geométrica Série geométrica 2 2 l 3 l 3 4 n n 3 n Para calcular a soma de uma série geométrica usamos: Neste caso temos: 14

10 Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão era menor que um, ao fazermos o cálculo da área restante no Triângulo de Sierpinsky provamos essa convergência para zero Portanto, quando tivermos n interações no Triângulo de Sierpinsky a área restante converge para zero Portanto a soma das áreas das n interações do Triângulo de Sierpinsky resultam na mesma área do triângulo inicial Isso quer dizer que, se tivéssemos um triângulo e fossemos retirando os novos triângulos gerados pelas interações deste fractal a área resultante seria zero Volume da pirâmide de Sierpinski O cálculo do volume restante da Pirâmide de Sierpinski se dará pelo somatório dos volumes dos octaedros para n interações, obtidas através de uma série geométrica convergente Volume do tetraedro inicial: Volume do octaedro da 1ª interação: Volume do octaedro da 2ª interação: Volume do octaedro da 3ª interação: Interações Nº de Tetraedros Nº de Octaedros Volume de um novo Gerados Retirados Octaedro

11 n Tabela 2 Cálculo do volume do triângulo de Sierpinski após as interações Série Geométrica 3 a2 2 a 12n a2 3 a 12 n0 3 4 n n n 4 n 8 Como vimos anteriormente calculamos a soma de uma série geométrica a partir de: Neste caso temos: r < 1 a série converge 16

12 Como verificamos ao montar a série geométrica que ela convergia, pois sua razão era menor que um, ao fazermos o cálculo do volume restante da Pirâmide de Sierpinsky provamos essa convergência para zero Portanto, quando tivermos n interações na Pirâmide de Sierpinsky o volume restante converge para zero Portanto a soma dos volumes das n interações da Pirâmide de Sierpinsky resultam no mesmo volume da pirâmide inicial Isso quer dizer que, se tivéssemos uma pirâmide e fossemos retirando as novas pirâmides geradas pelas interações deste fractal o volume resultante seria zero Tapete de Sierpinski Neste partimos de um quadrado, dividindo-o em nove pequenos quadrados congruentes, e eliminando o central Em seguida, vamos aplicando esse mesmo procedimento em cada um dos oito quadrados restantes, e assim sucessivamente, o resultado é conhecido como Tapete de Sierpinski 2010 Figura 3 Tapete de Sierpinski após a segunda interação Fonte: Internet, Agora fazendo a verificação da área do Tapete de Sierpinski, começamos analisando como se formava esse fractal, o Tapete de Sierpinski é formado por um quadrado que posteriormente é dividido em nove quadrados menores onde retiramos o quadrado do centro 17

13 Figura 4 Tapete de Sierpinski após as interações Fonte: Internet, 2010 Assim, com o intuito de demonstrarmos a área que restava após n interações para o Tapete de Sierpinski, realizamos o cálculo da área de um quadrado menos o somatório das áreas dos quadrados retirados para n interações obtidos através de uma série geométrica convergente, pois tal série para o Tapete de Sierpinski tem razão menor que um logo é convergente Portanto, ao fazermos o cálculo da área que resta verificamos que tal área convergia para zero quando tivermos n interações, fato também verificado para o Triângulo de Sierpinski Área do tapete de Sierpinski O cálculo da área vazada do Tapete de Sierpinski se dará pelo somatório das áreas dos quadrados para n interações, obtidas através de uma série geométrica convergente Área do quadrado inicial = 18

14 Área do quadrado da 1ª interação = Área do quadrado da 2ª interação = Área do quadrado da 3ª interação = Interações Nº de quadrados retirados 0 1 Área de um novo quadrado n Tabela 3 Cálculo da área do Tapete de Sierpinski após as interações Série Geométrica Para calcular a soma de uma série geométrica usamos: Neste caso temos: 19

15 Portanto a soma das áreas das n interações do quadrado de Sierpinski resultam na mesma área do quadrado inicial Isso quer dizer que, se pegarmos um quadrado e retirarmos os novos quadrados gerados pelas interações deste fractal, a área resultante seria zero Intervalos do conjunto de cantor A construção do Conjunto se faz por indução matemática Indução matemática Indução Matemática é um método de prova matemática usado para demonstrar a verdade de um número infinito de proposições Efeito dominó Parte-se do intervalo No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo: 1 2 2A,0 1, 3 3 No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo passo A,0 2, 6, 1, No passo 3, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo 2 Portanto, Interações Nº de segmentos retirados Comprimento do segmento retirado 20

16 n Tabela 4 Cálculo dos Intervalos do Conjunto de Cantor Série Geométrica Para calcular a soma de uma série geométrica usamos: Neste caso temos: 21

17 Podemos concluir que a soma dos intervalos gerados pelas n interações do Conjunto de Cantor, resultam no mesmo tamanho do intervalo inicial Isso quer dizer que, se tivéssemos um segmento de reta e fossemos retirando novos intervalos gerados pelas interações deste fractal, o intervalo resultante seria zero Curva de Koch A Curva de Koch recebeu esse nome devido ao fato de ser criada por Helge Von Koch, matemático polonês, por volta dos anos de 1904 a 1906 Essa curva é um belo exemplo de curva sem tangente, ela pode ser modificada com outras construções análogas e deve ter influenciado bastante Mandelbrot A Curva de Koch tem seu início de construção a partir de uma reta, já para fazermos a construção das Ilhas de Koch partimos de um triângulo equilátero em vez de um segmento de reta Figura 5 Formação da Curva de Koch Fonte: Internet,

18 Figura 6 Formação da Ilha de Koch Fonte: Internet, 2010 Uso do software Shapari na construção de fractais Shafari é uma ferramenta com uma linguagem de programação de fácil compreensão e que possibilita que o aluno desenvolva o raciocínio É muito bom para o ensino de geometria e pode ser usado em todos os níveis escolares Shapari é uma exploração do computador das formas e dos testes padrões Fornece as ferramentas simples que podem ser usadas pelas crianças a partir dos 4 anos até os alunos de nível universitário para produzir uma variedade rica de testes padrões abstratos e fractal Em vez de oferecer uma disposição larga das ferramentas que permitem que você crie o desenho, oferece um jogo limitado das ferramentas simples que podem ser usadas produzir uma escala simples diversa dos testes padrões Pretende-se promover pensar abstrato e a exploração de conceitos matemáticos Shapari oferece 5 níveis da operação Os níveis são distinguidos primeiramente pela complexidade das manipulações da forma disponíveis O Shapari armazena seleções niveladas individuais para todo o usuário e também fornece o armazenamento para os desenhos criados pelo usuário Shapari é projetado para mentes curiosas de todas as idades Os controles simples, diretamente acessíveis e permitem que os usuários os mais novos, usando o mouse, sintam um a possibilidade da coloração da alteração das formas Os usuários avançados podem projetar seus próprios manipuladores da forma usando um editor gráfico e/ou umas descrições Matemáticas Estes manipuladores podem então ser 23

19 aplicados iterativos para criar testes padrões fractal Shapari oferece algo para apenas aproximadamente todos Uma exploração clara de muitos conceitos matemáticos incluindo a forma, o tamanho, a contagem, a multiplicação, a simetria, as transformações, a periodicidade, a convergência, o crescimento exponencial, a recursividade e a geometria fractal Figura 7 Imagem Software Shapari Fonte: Shapari, 2010 Referências : BARBOSA, Ruy Madsen Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2002 NUNES, Raquel Sofia Rabelo Geometria Fractal e Aplicações Dissertação de Mestrado Departamento de Matemática Pura - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 2006 Disponível em: 24

20 Acesso em: 6 de junho de 2010 SALLUM, Élvia Mureb Fractais no ensino médio Revista do Professor de Matemática Nº 57, 2ºquadrimestre de