Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado

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1 1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado maio/2010 Algumas ideias sobre Fractais na Escola Básica Marisa Ortegoza da Cunha E também o mundo, Com tudo aquilo que contém, Com tudo aquilo que nele se desdobra E afinal é a mesma coisa variada em cópias iguais. Fernando Pessoa (Álvaro de Campos) Fractais na natureza Nuvens, montanhas, folhagens são exemplos de figuras que dificilmente são bem reproduzidas por meio dos objetos da geometria clássica (retas, polígonos, circunferências, esferas etc.). São formas que, em meio ao aparente caos, apresentam semelhanças entre o todo e suas partes, como um padrão que se repete em diferentes escalas. Se não conhecemos a real escala, como afirmar se a figura da direita, abaixo, representa um brócolis inteiro ou apenas um de seus talos? Características de um fractal Na segunda metade do século XIX e primeira do século XX, objetos complexos, considerados monstros matemáticos, não permitiam uma descrição geométrica e desafiavam a noção de infinito. O termo fractal para designar tais objetos - foi criado por Benoit Mandelbrot, na década de 70 do século passado, e possui origem no latim: o verbo frangere significa quebrar, fraturar, e dele deriva o adjetivo fractus (quebrado). Não existe uma definição definitiva de fractal. O que se faz, usualmente, é enumerar suas principais características:

2 2 1. um fractal possui uma estrutura fina, ou seja, apresenta detalhes em escalas arbitrariamente pequenas; 2. um fractal é demasiadamente irregular para ser descrito pela geometria euclidiana tradicional; 3. um fractal apresenta um certo grau de autossemelhança em diferentes níveis de escala; 4. pode-se atribuir a um fractal uma dimensão fracionária; 5. os fractais (em sua maior parte) podem ser descritos por meio de regras bem simples, em geral, recursivas, aplicadas infinitas vezes. Exemplos: 1. Curva de Koch: Floco de neve de Koch (o mesmo procedimento, aplicado aos lados de um triângulo): 3. Triângulo de Sierpinski: 4. Carpete de Sierpinski:

3 3 5. Esponjas de Menger: Determinação da dimensão fractal Consideremos, primeiramente, apenas os fractais ditos geométricos, de autossemelhança exata em todas as escalas. Para eles, é possível definir a dimensão fractal de forma bastante simples e intuitiva, partindo de objetos da geometria euclidiana. Se um quadrado é ampliado na escala k = 2, obteremos N = 4 quadrados de mesma área. Se a ampliação for de um fator k = 3, obteremos N = 9 quadrados. De modo geral, uma ampliação de fator k gerará N = k 2 quadrados de mesma área. Podemos escrever, então, log k N = 2. Fazendo a mesma operação com cubos, concluiremos que log k N = 3. E, considerando um segmento de reta, log k N = 1. Generalizando, se um conjunto C, ampliado na escala k, fornece N cópias de si mesmo, temos d(c) = log k N. Observação. Equivalentemente, podemos pensar em k, não como um fator de ampliação, mas de redução: k = L/n, onde L é o comprimento do lado original e n, o número de partes iguais no qual L foi dividido. Nesse caso, N indicará a quantidade de partes similares (ao original e entre si), formadas. Chegaremos, igualmente, à expressão d = log L/n N. Exemplos: A curva de Koch - Quando ampliada pelo fator k = 3, fornece N = 4 cópias de si mesma: Temos, então, d = log 3 4 = ln 4 / ln 3 1,3863 / 1,0986 = 1,2619

4 4 O conjunto de Cantor - Quando ampliado pelo fator k = 3, fornece N = 2 cópias: Logo, d = log 3 2 = 0,6309 O carpete de Sierpinski - Para k = 3, temos N = 8. Logo, d = log 3 8 = 1,8928. O triângulo de Sierpinski - Para k = 2, temos N = 3. Então d = log 2 3 = 1,5850. A curva de Hilbert-Peano: Peano (4) Peano (6) Temos N = 4, para k = 2. Logo, d = log 2 4 = 2 (Curva ou superfície???) Observações. 1. Essa definição não se aplica a fractais mais complexos, em que a autossimilaridade é apenas estatística. A dimensão pode ser calculada, então, por uma generalização da dimensão de Hausdorff-Besicovitch. A ideia é recobrir o conjunto C com caixas, e considerar o limite quando essas caixas tornam-se gradativamente menores (ou, equivalentemente, em maior quantidade). 2. Na geometria euclidiana, a dimensão de um objeto é a própria dimensão do espaço necessário para contê-lo. Assim, a dimensão de um quadrado é 2, pois está inserido no plano, enquanto que a do cubo é 3. A dimensão fractal, por sua vez, indica o nível de ocupação desse espaço; um fractal de dimensão 1,8 ocupa uma maior porção do plano do que um outro, de dimensão 1,4.

5 5 Perímetro / área Vamos determinar o perímetro do floco de neve, de Koch: Passo da Número de lados Medida de cada lado Perímetro iteração 0 3 = 3 x = x 1 = 3 1 3x4 = 12 = 3 x 4 1 1/3 = x 4/ x 4 = 48 = 3 x 4 2 1/9 = x (4/3) x 4 = 192 = 3 x 4 3 1/27 = x (4/3) x 4 = 768 = 3 x 4 4 1/81 = x (4/3) x 4 = 3072 = 3 x 4 5 1/243 = x (4/3) n 3 x 4 n 3 -n 3 x (4/3) n Como 4/3 > 1, para n grande, (4/3) n cresce e 3 x (4/3) n tende a infinito. E quanto à área do floco de neve de Koch? A cada iteração, os triângulos acrescentados têm o lado reduzido de um fator 1/3 em relação ao passo anterior. Logo, sua área diminui no fator 1/9. Vamos supor que a área do triângulo original seja 1. Temos, então: Passo área x (1/9) = 1 + 1/ x(1/9) + 3x4x(1/9) 2 = 1 + 1/3 + (1/3)x(4/9) x(1/9) +3x4x(1/9) 2 + 3x4 2 x(1/9) 3 = 1 + 1/3 + (1/3)(4/9) + (1/3)(4/9) n /3 + (1/3)(4/9) + (1/3)(4/9) (1/3)(4/9) n A área é expressa, então como 1 seguido de uma série geométrica, de razão 4/9. Logo, área = 1 + (1/3)/[1 4/9] = 1 + 3/5 = 1,6. Vemos, assim, que a área original é acrescida de apenas 60%, ao longo de todo o processo. O floco de neve de Koch é uma curva de comprimento infinito delimitando uma área finita!! Vamos repetir o raciocínio anterior, para o triângulo de Sierpinski. Área: a cada iteração, o triângulo perde ¼ de sua área. Ou seja: Passo área

6 6 0 A 1 A x ¾ 2 A x (3/4)A = A x (3/4) 2 3 A x (3/4) n A x (3/4) n Fazendo n crescer, como ¾ < 1, vemos a área tende a zero. Perímetro: na iteração n há 3 n triângulos, e a cada iteração o lado diminui pela metade. Então: Passo perímetro 0 3L 1 3 x 3 x L/2 = 3 2 x L/2 = 3L x (3/2) x 3 x L/4 = 3 3 x L/2 2 = 3L x (3/2) x 3 x L/8 = 3 4 x L/2 3 = 3L x (3/2) n 3 n x 3 x L/2 n = 3L x (3/2) n Como 3/2 > 1, temos que o perímetro tende a infinito. O triângulo de Sierpinski possui perímetro infinito e área zero. Números complexos: conjuntos de Julia / conjunto de Mandelbrot Seja c um número complexo qualquer. A partir de um complexo z 0, vamos construir uma sequência de números complexos, por meio da iteração: z n+1 = z n 2 + c. Chamamos de órbita de z 0 a sequência assim obtida. Após um certo número de iterações, decidimos o que ocorre: só há duas alternativas: a órbita escapa, indo para infinito (ou seja, fornece números de módulo cada vez maior, se afastando da origem), ou não. Pintando de preto os números z 0 cuja órbita não escapa, obtemos, para cada valor fixado de c, um conjunto, chamado conjunto de Julia, em homenagem ao matemático francês que o descreveu - Gaston Julia. Os conjuntos de Julia são formas fractais de grande beleza:

7 7 Conjunto de Julia para c = i Há duas grandes famílias de conjuntos de Julia: os conexos e os não conexos. A partir desse fato, Benoit Mandelbrot decidiu mapear os conjuntos de Julia, investigando os valores do parâmetro c para os quais o conjunto de Julia era conexo. Nessa pesquisa, valeu-se de um resultado poderoso, que afirma que a conectividade do conjunto de Julia só depende da órbita de (0,0): se ela escapa, o conjunto é desconexo; caso contrário, é conexo. Além disso, se algum passo da iteração fornece números z com módulo maior do que 2, pode-se concluir que a sequência escapa. Com base nisso, Mandelbrot criou seu famoso conjunto: O conjunto de Mandelbrot também é um fractal e a sequência de figuras indica a ampliação da região assinalada na figura imediatamente anterior:

8 8 Atividades em sala de aula: 1. Construindo o triângulo de Pascal, escrevendo cada número no interior de um quadradinho, e pintando os números ímpares de uma cor e os pares de outra, formamos o triângulo de Sierpinski: O que ocorre, se são pintados os múltiplos de 5? De 6? 2. O jogo do caos: São necessários: - 1 triângulo ABC desenhado num papel - 1 dado - 1 régua graduada - lápis Regra: os números 1 e 2 referem-se ao vértice A; os números 3 e 4, ao B; e os números 5 e 6, ao vértice C. Joga-se o dado e vê-se o vértice de partida. Joga-se novamente o dado até que saia um vértice diferente do primeiro. Aí, marca-se o ponto médio entre os dois. Joga-se de novo e de novo marca-se o ponto médio entre o último ponto e o vértice vencedor. Após muitas jogadas, que figura está se formando?

9 9 3. Fractal de papel Material: 1 folha de papel A4 1 tesoura 1 régua graduada Lápis Cartão ou cartolina a) Meça o comprimento (a) e a largura (b) da folha. b) Dobre a folha ao meio, pelo comprimento. c) Faça dois cortes de comprimento a?4, afastados b/4 das margens. d) Dobre segundo os segmento criado pelos dois cortes. e) Repita os passos a)-d), considerando apenas a parte dobrada. f) Repita o processo enquanto conseguir dobrar o papel. g) Abra a folha e dobre em ângulo reto. h) Dobre as partes, formando ângulos retos entre elas. i) Cole num cartão ou cartolina. Questão: Qual a área total, considerando uma infinidade de iterações? Bibliografia Barbosa, Ruy Madsen. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, Barnsley, Michael. Fractals everywhere. San Diego: Academic Press, Inc., Braun, Eliezer. Caos, Fractales y cosas raras. 3ed. México: Fondo de Cultura Económica, Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut and Saupe, Dietmar. Chaos and Fractals New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, Sametband, Moisés José. Entre El orden y El caos La complejidad. 2ed. México: Fondo de Cultura Económica, Spinadel, Vera de; Perera, Jorge G. y Perera, Jorge H. Geometria Fractal. 2ed. Buenos Aires: Nueva Libreria, Talanquer, Vicente. Fractus, Fracta, Fractal Fractales, de laberintos y espejos. 2ed. México: Fondo de Cultura Económica, 2002.

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