Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1 Transformações Elementares de Matrizes...... 3 1.2 Forma Escalonada de uma Matriz.......... 32 1.3 Matrizes Elementares e Aplicações......... 35 2 Resolução de Sistemas Lineares........... 42 29

3CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS O método de eliminação em sistemas de equações lineares consiste em e- fetuar repetidamente transformações elementares sobre um sistema de equações lineares, de modo a ir obtendo sistemas equivalentes, até reduzir o sistema original a um sistema de fácil resolução. Neste capítulo, reinterpretaremos na matriz ampliada associada a um sistema de equações lineares as transformações que se efetuam nos sistemas de equações ao longo do processo de eliminação, explicitando seu caráter algorítmico, ou seja, de procedimento sistemático e efetivo. Esse método é essencialmente devido a Gauss e foi aperfeiçoado por Camille Jordan (França, 1838-1922) e, por este motivo, é chamado de eliminação de Gauss-Jordan. 1 Transformação de Matrizes 1.1 Transformações Elementares de Matrizes Seja A uma matriz m n. Para cada 1 i m, denotemos por L i a i-ésima linha de A. Denimos as transformações elementares nas linhas da matriz A como se segue: 1) Permutação das linhas L i e L j, indicada por L i L j. 2) Substituição de uma linha L i pela adição desta mesma linha com c vezes uma outra linha L j, indicada por L i L i + cl j. 3) Multiplicação de uma linha L i por um número real c não nulo, indicada por L i cl i. Por exemplo, vamos efetuar algumas transformações elementares nas linhas da matriz 2 1 2 3 2 1 4. 1 2 3

1. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES 31 Temos 2 1 2 3 2 1 4 1 2 3 L 1 L 3 1 2 3 2 1 4, 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 1 2 3 L 2 1 2 L 2 2 1 2 3 1 1/2 2 1 2 3 e 2 1 2 3 2 1 4 1 2 3 2 1 2 3 2 3. L 2 L 2 L 1 1 2 3 Sejam A e B matrizes de ordem m n. A matriz A é dita ser equivalente por linhas à matriz B se B pode ser obtida de A pela aplicação sucessiva de um número nito de transformações elementares sobre linhas. Por exemplo, as matrizes 1 2 1 2 3 e 1 1 são equivalentes por linhas já que 1 1 1 1 2 1 1 1 1. L 2 L 2 2L 1 L 3 L 3 + 2L 1 L 3 L 3 3L 2 2 3 2 3 3 Observe que a noção de equivalência de matrizes por linhas corresponde à noção de equivalência de sistemas lineares quando se efetuam as respectivas transformações sobre as equações. De fato, a sistemas equivalentes, correspondem matrizes associadas equivalentes, e vice-versa.

32CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Note que se A é equivalente por linhas a uma matriz B, então B é equivalente por linhas à matriz A, já que toda transformação elementar sobre linhas é reversível. Mais precisamente, se e representa uma das transformações elementares nas linhas de uma matriz A de ordem m n, denotando por e(a) a matriz obtida de A aplicando-lhe a transformação e, temos o resultado a seguir. Proposição 2.1.1. Toda transformação elementar e nas linhas de matrizes em M(m, n) é reversível, no sentido de que existe uma transformação elementar e tal que e (e(a)) = A e e(e (A)) = A, para todo A M(m, n). Demonstração Se e é uma transformação elementar do tipo L i L j, tome e = e. Se e é uma transformação elementar do tipo L i cl i, tome e como a tranformação L i 1 c L i. Finalmente, se e é uma transformação elementar do tipo L i L i + cl j, tome e como a tranformação L i L i cl j. Não é difícil o leitor se convencer de que, em cada caso na demonstração anterior, e é a única transformação elementar com a propriedade que e (e(a)) = A para toda matriz A M(m, n). Se A é uma matriz equivalente por linhas a uma matriz B (e, então, B é equivalente por linhas a A), dizemos simplesmente que A e B são matrizes equivalentes. 1.2 Forma Escalonada de uma Matriz Nesta subseção mostraremos que toda matriz pode ser transformada por meio de uma sequência de transformações elementares sobre linhas numa matriz em uma forma muito especial, a forma escalonada, que será utilizada na próxima seção para resolver sistemas de equações lineares. Uma matriz m n será dita estar na forma escalonada se for nula, ou se: 1) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1; 2) cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero;

1. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES 33 3) toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas; 4) se L 1,..., L p são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha L i ocorre na coluna k i, então k 1 < k 2 < < k p. Por exemplo, a matriz 1 2 1 1 3 está na forma escalonada, pois todas as condições da denição anterior são satisfeitas, mas as matrizes 1 3 1 1 2 e 1 1 1 não estão na forma escalonada, pois a primeira não satisfaz a condição 2, enquanto a segunda não satisfaz a condição 1 (observe que ela também não satisfaz a condição 4). Cabe aqui uma observação acerca da terminologia que utilizamos. Usualmente, na literatura, o termo forma escalonada de uma matriz refere-se a uma forma menos especial do que a nossa, a qual vários autores chamam de forma escalonada reduzida. A nossa justicativa para o uso dessa terminologia é que não há razão para adjetivarmos a forma escalonada, pois utilizaremos apenas uma dessas noções. O resultado que apresentaremos a seguir nos garantirá que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada. O interesse desse resultado reside no fato que ao reduzir a matriz ampliada associada a um dado sistema de equações lineares à forma escalonada, encontramos um outro sistema equivalente ao sistema dado que se encontra em sua expressão mais simples. Quando aplicado aos sistemas de equações lineares, este resultado é chamado de processo de eliminação de Gauss-Jordan.

34CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Vejamos agora um algoritmo que reduz por linhas uma matriz dada não nula qualquer a uma matriz na forma escalonada. O termo reduzir por linhas signica transformar uma matriz usando as transformações elementares sobre linhas. Este processo é também chamado de escalonamento de matrizes. Passo 1. Seja k 1 a primeira coluna da matriz dada com algum elemento não nulo. Troque as linhas entre si de modo que esse elemento não nulo apareça na primeira linha, isto é, de modo que na nova matriz a 1k1. Passo 2. Para cada i > 1, realize a transformação L i L i a ik 1 a 1k1 L 1. Repita os Passos 1 e 2 na matriz assim obtida, ignorando a primeira linha. Novamente, repita os Passos 1 e 2 nessa nova matriz, ignorando as duas primeiras linhas etc., até alcançar a última linha não nula. Passo 3. Se L 1,..., L p são as linhas não nulas da matriz obtida após terminar o processo acima e se k i é a coluna na qual aparece o primeiro elemento não nulo a iki da linha L i, aplique as transformações L i 1 a iki L i para todo 1 i p. Passo 4. Realize na matriz obtida até então as transformações L l L l a lki L i, l = 1,..., i 1, para i = 2. Depois para i = 3, e assim por diante, até i = p. Dessa forma, obteremos uma matriz na forma escalonada que é equivalente por linhas à matriz dada. Estabelecemos assim o seguinte resultado: Teorema 2.1.2. Toda matriz é equivalente a uma matriz na forma escalonada. Por exemplo, a matriz 1 2 3 4 2 1/2

1. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES 35 é transformada numa matriz na forma escalonada com a seguinte sequência de transformações sobre suas linhas: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 L 2 1 4 1/2 L 1 1/2 1 1/2 2 L 3 2L 3 1/2 1 1 2 3/2 1 2 1 1/2 L 1 L 1 3 2 L 1 L 1 + 3L L 3 1. 2 1 L 2 L 2 1 2 L 3 1 Pelo algoritmo acima, deduzimos que qualquer matriz é equivalente a pelo menos uma matriz na forma escalonada. Como em cada passo do algoritmo temos certa margem de escolhas de transformações elementares sobre as linhas da matriz, não há aparentemente nenhum motivo para poder armar que a forma escalonada de uma dada matriz seja única. Fato é que, não importando qual a sequência de transformações elementares que efetuemos nas linhas de uma dada matriz, no nal do processo chegamos a uma mesma matriz na forma escalonada que é equivalente à matriz dada. Este resultado será provado na última seção do capítulo 1.3 Matrizes Elementares e Aplicações Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz quadrada de ordem n obtida da matriz identidade I n a parir da aplicação de uma transformação elementar, isto é, trata-se de uma matriz da forma E = e(i n ), onde e é uma transformação elementar. Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz elementar e as matrizes [ ] 1 e(i 2 ) =, onde e: L 1 L 2, 1

36CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS e 1 1 e(i 3 ) = 1, onde e: L 1 L 1 + L 2, 1 são matrizes elementares de ordem 2 e de ordem 3, respectivamente. Sejam A M(m, n) e e uma transformação elementar. O próximo resultado, cuja demonstração ca como exercício para o leitor (veja Problema 1.3), nos diz que a matriz e(a) pode ser obtida como o produto da matriz elementar e(i m ) pela matriz A. Por exemplo, consideremos 1 2 A = 1. 2 1 Se e 1 : L 1 L 2, e 2 : L 1 2L 1 e e 3 : L 1 L 1 + 2L 2, uma rápida vericação nos mostra que e 1 (A) = e 1 (I 3 )A, e 2 (A) = e 2 (I 3 )A e e 3 (A) = e 3 (I 3 )A. Teorema 2.1.3. Seja e uma transformação elementar sobre matrizes de M(m, n). Considere a matriz elementar E = e(i m ). Então e(a) = EA, para todo A M(m, n). Como consequência do Teorema 2.1.3, temos Corolário 2.1.4. Sejam A e B em M(m, n). Então, A é equivalente a B se, e somente se, existem matrizes elementares E 1,..., E s de ordem m tais que Demonstração E s E 2 E 1 A = B. Por denição, A é equivalente a B quando existem transformações elementares e 1,..., e s tais que e s (... (e 2 (e 1 (A)))... ) = B. Mas, pelo teorema anterior, a igualdade acima equivale a E s E 2 E 1 A = B,

1. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES 37 onde E i = e i (I m ), para cada 1 i s. Corolário 2.1.5. Toda matriz elementar é invertível e sua inversa também é uma matriz elementar. Demonstração Seja E uma matriz elementar. Seja e a transformação elementar tal que E = e(i). Se e é a transformação elementar inversa de e e se E = e (I), pelo Teorema 2.1.3 temos e Logo, E é invertível e E 1 = E. I = e (e(i)) = e (E) = e (I)E = E E I = e(e (I)) = e(e ) = e(i)e = E E. Pelo Corolário 2.1.5 sabemos como inverter uma matriz elementar. Por exemplo, se considerarmos as matrizes 1 1 2 A = 1 e B = 1, 1 1 podemos concluir que A e B são invertíveis, já que A e B são matrizes elementares. De fato, A = e 1 (I 3 ) com e 1 : L 1 L 2 e B = e 2 (I 3 ) com e 2 : L 1 L 1 + 2L 2. Pelo Corolário 2.1.5, A 1 = e 1(I 3 ), onde e 1 é a transformação elementar inversa de e 1 e B 1 = e 2(I 3 ), onde e 2 é a transformação elementar inversa de e 2. Mais precisamente, 1 1 2 A 1 = 1 e B 1 = 1. 1 1 A seguir, apresentamos o resultado central desta seção que caracteriza as matrizes invertíveis. Teorema 2.1.6. Para uma matriz quadrada A de ordem n, são equivalentes as seguintes armações: (i) A é invertível;

38CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS (ii) Se B é uma matriz na forma escalonada equivalente a A, então B = I n ; (iii) A é uma matriz elementar ou um produto de matrizes elementares. Demonstração Vamos começar provando a implicação (i) (ii). Com efeito, como B é equivalente a A, pelo Corolário 2.1.4, existem matrizes elementares E 1, E 2,..., E s tais que E s E 2 E 1 A = B. Como, pelo Corolário 2.1.5, cada E i é invertível e A, por hipótese, é invertível, temos que B é invertível (cf. Proposição 1.2.4). Por outro lado, pelo Problema 1.7, temos que B = I n. A implicação (ii) (iii) é evidente, já que A = E1 1 E2 1 Es 1 B, onde B = I n e cada E 1 i é uma matriz elementar (cf. Corolário 2.1.5). A implicação (iii) (i) é evidente, pois matrizes elementares são invertíveis e produtos de matrizes invertíveis são invertíveis (cf. Proposição 1.2.4). Observe, como decorrência do resultado acima, que uma matriz quadrada invertível é equivalente a uma única matriz na forma escalonada (a matriz identidade), cando estabelecida, neste caso, a unicidade da forma escalonada. Finalizamos esta seção apresentando um método para inversão de matrizes por meio de transformações elementares. Proposição 2.1.7. Sejam A uma matriz invertível e e 1,..., e s uma sequência de transformações elementares tais que e s (... (e 2 (e 1 (A)))... ) = I, onde I é a matriz identidade. Então essa mesma sequência de transformações elementares aplicada a I produz A 1 ; isto é, e s (... (e 2 (e 1 (I)))... ) = A 1. Demonstração Para cada 1 i s, seja E i a matriz elementar correspondente à transformação e i. Então Assim, E s E 2 E 1 A = I. (E s E 2 E 1 I)A A 1 = I A 1,

1. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES 39 donde E s E 2 E 1 I = A 1. Para ilustrarmos o uso do Teorema 2.1.6 e da Proposição 2.1.7, consideremos a matriz 1 2 A = 2 1 3. 4 1 8 Se aplicarmos uma sequência de transformações elementares em A até obtermos uma matriz B na forma escalonada, pelo Teorema 2.1.6, A é invertível se, e somente se, B = I 3. Se B = I 3, pela Proposição 2.1.7, essa mesma sequência de transformações elementares aplicada a I 3 resultará em A 1. Assim, vamos formar a matriz em blocos [ A I 3 ] e vamos reduzir esta matriz 3 6 a uma matriz na forma escalonada. De fato, 1 2 1 [ ] 1 2 1 A I3 = 2 1 3 1 L 2 L 2 2L 1 1 1 2 1 4 1 8 1 L 3 L 3 4L 1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 L 2 L 2 L 3 L 3 L 2 1 4 1 1 6 1 1 1 2 1 1 11 2 2 1 1 2 1 L 1 L 1 2L 3 1 4 1. L 3 L 3 1 6 1 1 L 2 L 2 L 3 1 6 1 1 Como obtemos uma matriz na forma [ I 3 C ], temos que A é invertível e C = A 1. Assim, 11 2 2 A 1 = 4 1. 6 1 1

4CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Consideremos agora a matriz 1 1 A = 2 1. 3 3 [ ] Ao reduzirmos a matriz em blocos A I 3 a uma matriz na forma escalonada, obtemos a matriz B C ] 1 1 [, onde B = 1 1/2 e, portanto, diferente de I 3. Logo, A não é invertível por ser equivalente a uma matriz com uma linha nula (cf. Problema 1.7). Problemas [ ] 2 1 1.1* Seja A =. 1 3 (a) Obtenha a forma escalonada de A. (b) A é invertível? Justique. (c) Se A for invertível, escreva a matriz A 1 como um produto de matrizes elementares. 1.2 Determine a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas: [ ] 12 7 (a) A = ; 5 3 2 3 1 (b) B = 1 3 1 ; 1 2 1 2 1 2 3 1 2 2 (c) C = 4 1 2 3. 3 1 1 2 1.3 Demonstre o Teorema 2.1.3.

1. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES 41 1.4 Determine a forma escalonada das matrizes: 1 3 2 1 2 1 2 1 (a) A = 2 1 4 3 ; (b) B = 2 4 1 2 3 ; 2 3 2 1 3 6 2 6 5 1 3 1 2 11 5 3 (c) C = 2 5 3 1. 4 1 1 5 1.5 Uma certa sequência de transformações elementares aplicadas a uma matriz A produz uma matriz B. A mesma sequência aplicada a AB produzirá que matriz? Justique sua resposta. 1.6 Descreva todas as possíveis matrizes 2 2 que estão na forma escalonada. 1.7 Seja A uma matriz quadrada na forma escalonada. Mostre que são equivalentes as seguintes asserções: (a) A matriz A não tem linhas nulas. (b) A é a matriz identidade. (c) A é invertível. Sugestão Use o Problema 2.13(c), do Capítulo 1. 1.8* Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. (a) Mostre que, se AB = I, então A é invertível e A 1 = B. Assim AB = I se, e somente se, BA = I. (b) Mostre que AB é invertível se, e somente se A e B são invertíveis. Por denição, uma matriz quadrada A é invertível quando existe uma matriz quadrada B tal que AB = I e BA = I. No entanto, pelo problema acima, no contexto das matrizes quadradas, basta encontrar B tal que AB = I ou tal que BA = I para que A seja invertível. Ou seja, se uma das duas igualdades é satisfeita, então a outra é automaticamente satisfeita. 1.9 Sejam E 1, E 2 e E 3 as matrizes elementares de ordem n obtidas da identidade pelas transformações elementares L i L j, L i L i + kl j e L i cl i,

42CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS onde j i, respectivamente. Mostre que E1 t = E 1, E2 t = E 2 e Et 3 = E 3, onde E 2 é a matriz elementar obtida da identidade mediante a transformação L j L j + kl i. 2 Resolução de Sistemas Lineares Finalmente, nesta seção, poremos em funcionamento a maquinária desenvolvida com as matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, culminando com o Teorema do Posto. Trata-se de um resultado central dessa teoria que descreve a resolubidade dos sistemas de equações lineares gerais. Este teorema é também conhecido no Ensino Médio como Teorema de Rouché-Capelli, em homenagem aos matemáticos Eugène Rouché (França, 18321919) e Alfredo Capelli (Itália, 1855191). Quanto a suas soluções, um sistema linear se classica como impossível, ou possível e determinado, ou possível e indeterminado. Um sistema linear é chamado impossível, quando não tem solução, possível e determinado, quando tem uma única solução e possível e indeterminado, quando tem mais de uma solução.. Já foi observado anteriormente que um sistema linear homogêneo com n incógnitas é sempre possível, pois admite como solução a n-upla (,,..., ),

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 43 chamada solução trivial. Qualquer outra solução, se existir, é dita solução não trivial do sistema. Dado um sistema linear AX = B, o sistema linear AX = é chamado de sistema linear homogêneo associado. A relação fundamental entre um sistema linear e seu sistema linear homogêneo associado é apresentada na proposição a seguir. Proposição 2.2.1. Seja AX = B um sistema linear. Suponhamos que X 1 seja uma solução do sistema AX = B e que S h seja o conjunto solução do sistema linear homogêneo associado AX =. Então S = {X 1 + Z ; Z S h } (1) é o conjunto solução do sistema AX = B. Demonstração Para demonstrarmos (1), usaremos algumas propriedades já vistas da adição e da multiplicação por escalar de matrizes. De fato, se X 2 S, podemos escrever X 2 = X 1 + Z com Z S h. Como X 1 é uma solução particular de AX = B e Z S h, segue que AX 1 = B e AZ =. Logo, AX 2 = A(X 1 + Z) = AX 1 + AZ = B + = B, mostrando que X 2 é uma solução do sistema AX = B. Por outro lado, tomemos uma solução X 2 do sistema AX = B e denamos Z = X 2 X 1. Temos, então, que AZ = A(X 2 X 1 ) = AX 2 AX 1 = B B = ; logo Z = X 2 X 1 S h. Portanto, X 2 = X 1 + Z S. Observamos que o resultado acima é apenas de interesse teórico, pois não nos ajuda a obter o conjunto solução de um sistema linear. Um método bem ecaz para se resolver um sistema linear é o método do escalonamento. Este consiste em se tomar a matriz ampliada de um sistema linear e aplicar uma sequência de transformações elementares a esta matriz, de modo a obtermos

44CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS uma matriz equivalente que seja a matriz ampliada de um sistema linear fácil de se resolver. Exemplo 1. Resolvamos o sistema linear x + y 2z + 3w = 4 2x + 3y + 3z w = 3 5x + 7y + 4z + w = 5. (2) Observemos que 1 1 2 3 4 2 3 3 1 3 5 7 4 1 5 L 2 L 2 2L 1 L 3 L 3 5L 1 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 7 7 5 1 7 7 5, L 3 L 3 2L 2 2 14 14 15 5 sendo que esta última matriz é a matriz ampliada do sistema linear x + y 2z + 3w = 4 y + 7z 7w = 5 x + y + z + w = 5. (3) (4) Note que o sistema (4) é impossível. a relação do sistema (4) com o originalmente proposto? A pergunta que fazemos é: qual A resposta é que eles têm o mesmo conjunto solução, já que (2) e (4) têm matrizes ampliadas equivalentes. Mais precisamente, temos o resultado a seguir. Proposição 2.2.2. Dois sistemas lineares com matrizes ampliadas equivalentes têm o mesmo conjunto solução. Demonstração É só lembrar que efetuar transformações elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema, equivale a efetuar transformações elementares no sistema de equações, obtendo um sistema equivalente.

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 45 A matriz ampliada do sistema linear (2) poderia ter sido reduzida por linhas a uma matriz na forma escalonada. Porém, a equação x + y + z + w = 5 obtida da última linha da matriz nal em (3) já garante, pela Proposição 2.2.2, que o sistema (2) é impossível. De fato, dado um sistema linear nas incógnitas x 1, x 2,..., x n, se após uma sequência de transformações elementares ocorrer uma equação da forma x 1 + x 2 + + x n = b, com b, então o sistema é impossível; ou seja, não tem solução. Quando aplicarmos a Proposição 2.2.2 a um sistema homogêneo não é necessário tomar a matriz ampliada, basta considerar a matriz dos coecientes do sistema. Exemplo 2. Determinemos o conjunto solução do sistema linear homogêneo x + 2y + 3z 5w = 2x + 4y + z + 2w = x + 3y + 4z = 3x + 5y + 8z 1w =. Ora, basta considerarmos a matriz dos coecientes do sistema. Assim, 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 2 4 1 2 L 2 L 2 2L 1 5 12 5 12 1 3 4 L 3 L 3 L 1 1 1 5 L 4 L 4 + L 3 1 1 5, L 3 5 8 1 4 L 4 3L 1 1 1 5 1 sendo esta última matriz, a matriz dos coecientes do sistema linear homogêneo x + 2y + 3z 5w = 5z + 12w = y + z + 5w = 1w =,

46CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS que admite apenas a solução (,,, ). Assim, o conjunto solução do sistema originalmente dado é S = {(,,, )}. Para apresentarmos o resultado central deste capítulo, necessitaremos de alguns resultados que estabeleceremos a seguir. Lema 2.2.3. Seja dada uma matriz A = [A A ] na forma escalonada, onde A é uma matriz m (n 1) e A é uma matriz m 1. Sejam k 1,..., k p as posições das colunas de A onde ocorrem os primeiros elementos não nulos das linhas não nulas L 1,..., L p, respectivamente. O sistema A X = A admite solução se, e somente se, k p n. Demonstração Observe que como A está na forma escalonada, a matriz A também está na forma escalonada. Se k p = n, então a p-ésima linha da matriz A é ( 1). Assim, o sistema A X = A tem uma equação da forma x 1 + + x n 1 = 1, que não tem solução. Se k p n, temos que p k p < n. Assim, se os a i 's são as entradas de A, temos que a p+1 = = a m =. Se denotarmos por A i a i-ésima coluna da matriz A, temos que 1 1 A. k 1 = A k1 =, A. k 2 = A k2 =,..., A. k p = A kp =, 1... onde cada matriz acima tem as últimas m r entradas nulas. A X = A se escreve, em blocos, da seguinte forma: O sistema a = [A 1 A 2... A n 1 ]X = A 1 x 1 + A 2 x 2 + + A n 1 x n 1. Para achar uma solução do sistema basta tomar x ki = a i e x j =, se j k i, para todo i = 1,..., p.

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 47 A seguir, daremos a prova da unicidade da forma escalonada de uma matriz. Teorema 2.2.4. (Unicidade da forma escalonada) Existe uma única matriz na forma escalonada equivalente por linhas a uma dada matriz. Demonstração Basta mostrar que dadas duas matrizes A e B na forma escalonada e equivalentes por linhas, então A = B (justique). O resultado será provado por indução sobre o número n de colunas da matriz. Para n = 1, as únicas matrizes na forma escalonada são 1. e.. Como qualquer transformação aplicada às linhas da primeira matriz não a altera, as duas matrizes acima não são equivalentes, daí decorre a unicidade, nesse caso. Admitamos o resultado verdadeiro para matrizes com n 1 colunas, onde n 2. Sejam A e B duas matrizes m n, ambas na forma escalonada e equivalentes. Escrevamos A = [A A ] e B = [B B ], onde A e B são os blocos formados com as n 1 colunas de A e de B, e A e B são as últimas colunas de A e de B, respectivamente. É imediato vericar pela denição que A e B estão na forma escalonada; e que A é equivalente a B, pois as mesmas operações elementares que transformam A em B, transformam A em B. Portanto, pela hipótese de indução, temos que A = B. Estamos então reduzidos a duas matrizes A = [A A ] e B = [A B ] na forma escalonada e equivalentes. Vamos desdobrar a nossa análise em dois casos. Caso 1) A matriz A é tal que k p = n. Assim, a matriz A tem as primeiras p 1 linhas não nulas e a p-ésima linha nula e as entradas a i de A são tais que a i =, se i p e a p = 1. Pelo Lema 2.2.3, o sistema A X = A não tem solução. Como as matrizes A = [A A ] e B = [A B ] são equivalentes, pela Proposição 2.2.2, os sistemas A X = A e A X = B

48CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS são também equivalentes, o que implica que o segundo sistema também não admite solução. Aplicando novamente o Lema 2.2.3 ao sistema A X = B, temos que b p = 1 e b i =, se i p, o que nos diz que A = B. Caso 2) A matriz A é tal que k p n. Pelo Lema 2.2.3 tem-se que o sistema A X = A tem uma solução X. Como os sistemas são equivalentes, temos que X é solução do sistema A X = B, logo A = A X = B. A demonstração do Teorema 2.2.4, acima, foi inspirada em [1], o qual recomendamos para estudos mais avançados de Álgebra Linear. Seja A uma matriz de ordem m n. Pelo Teorema 2.2.4, A é equivalente a uma única matriz Ã, de ordem m n, na forma escalonada. Dizemos que à é a forma escalonada de A. Portanto, faz sentido denir o posto p da matriz A como o número de linhas não nulas de sua forma escalonada Ã. Por exemplo, se 1 2 1 A = 1 3 5, 1 2 1 1 sua forma escalonada é a matriz 1 7/8 à = 1 1/4. 1 11/8 Portanto, o posto p de A é igual a 3, pois o número de linhas não nulas de à é 3. Para matrizes quadradas temos o seguinte resultado: Corolário 2.2.5. Uma matriz quadrada de ordem n é invertível se, e somente se, ela tem posto n. Demonstração Se a matriz é invertível, então pelo Teorema 2.1.6, sua forma escalonada é I n, logo tem posto n. Reciprocamente, seja dada uma matriz quadrada de ordem n e seja à sua forma escalonada. Se A tem posto n, então à não tem linhas nulas, logo,

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 49 pelo Problema 1.7, à = I n. Pelo Corolário 2.1.4, temos que A = E s... E 1 à = E s... E 1, onde E 1,..., E s são matrizes elementares, logo invertíveis (cf. Corolário 2.1.5). Daí decorre que A é invertível por ser produto de matrizes invertíveis (cf. Proposição 1.2.4(ii)). Observe que o Lema 2.2.3 pode ser reinterpretado com a noção de posto do seguinte modo: Um sistema de equações lineares AX = B admite solução se, e somente se, o posto da matriz aumentada [A B] do sistema tiver posto igual ao da matriz A do sistema. De fato, o que mostramos foi que o sistema possui solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada da matriz ampliada do sistema não for da forma (... 1). Isto é parte do Teorema de Rouché-Capelli, resultado central deste capítulo e que apresentamos na íntegra a seguir. Teorema 2.2.6. (Teorema do Posto) Consideremos um sistema linear com m equações e n incógnitas AX = B. Sejam p AB o posto da matriz ampliada do sistema e p A o posto da matriz dos coecientes do sistema. Então (i) O sistema é possível se, e somente se, p AB = p A. (ii) O sistema é possível e determinado se p AB = p A = n. (iii) O sistema é possível e indeterminado se p AB = p A < n. Neste caso, n p A é o número de incógnitas livres do sistema, ou seja, incógnitas que podem assumir qualquer valor real. Demonstração Seja AX = B um sistema linear com n incógnitas. Seja C = [A B] a matriz ampliada do sistema e seja C = [à B] a forma escalonada de C. Denotaremos à = [ã ij] e B = [ b i ].

5CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS Claramente temos que à é a forma escalonada de A e como à é um bloco de C, p A = pã < p C = p AB ou p A = pã = p C = p AB. Vamos considerar os dois casos anteriores separadamente. Caso 1. Se p A < p AB, então C tem uma linha do tipo ( 1). Portanto, o sistema ÃX = B é impossível e, então, pela Proposição 2.2.2, AX = B é impossível. Caso 2. nulas. Se p A = p AB, então C e Dividiremos este caso em dois subcasos. Subcaso 2.1. p AB = p A = n. à têm o mesmo número de linhas não Sendo à uma matriz com n colunas, com p à = p A = n, e estando à na forma escalonada, ela é uma matriz em blocos da forma à = [ ] I n. Como p A = p AB = n, segue que B é tal que b n+1 = = b m =. Portanto, ÃX = B é possível e determinado com a única solução x 1 = b1,..., x n = b n. Consequentemente, AX = B também é determinado com mesma solução. Subcaso 2.2. p A = p AB < n. Ponhamos p = p A = p AB. Neste caso, à (assim como C) tem p linhas não nulas L 1,..., L p, tais que o primeiro elemento não nulo de L i está na coluna k i e k 1 < < k p. Além disso, temos b p+1 = = b m =.

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 51 Temos então que a equação ÃX = B se escreve como x k1 + ã 1k1 +1x k1 +1 + + ã 1n x n b1 x k2 + ã 2k2 +1x k2 +1 + + ã 2n x n b2.. x kp + ã pkp+1x kp+1 + + ã pn x n = bp... A igualdade matricial acima, juntamente com o fato da matriz forma escalonada, nos fornece o sistema de equações x k1 = j>k 1 ã 1j x j + b 1, onde ã 1ki =, se i > 1, x k2 = j>k 2 ã 2j x j + b 2, onde ã 2ki =, se i > 2,... Ã estar na x kp 1 = j>k p 1 ã p 1,j x j + b p 1, onde ã p 1,ki =, se i = k p, x kp = j>k p ã pj x j + b p. Isto mostra que podemos escolher arbitrariamente valores para as incógnitas no conjunto {x 1,..., x n } \ {x k1,..., x kp } (5) e com esses determinar valores para x k1,..., x kp. Como o conjunto em (5) tem n p elementos, o sistema ÃX = B tem n p incógnitas livres e, consequentemente, o mesmo ocorre para o sistema AX = B. Particularizando o Teorema do Posto para os sistemas homogêneos, obtemos o corolário a seguir. Corolário 2.2.7. Seja dado um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas AX =. (i) Se A tem posto n, então o sistema possui apenas a solução nula. Em particular, isto ocorre quando m = n e A é invertível.

52CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS (ii) Se A tem posto p < n, então o sistema possui innitas soluções. Em particular, isto sempre ocorre quando m < n. A seguir, daremos um exemplo da aplicação do Teorema do Posto. Exemplo 3. linear Com o auxílio do Teorema do Posto, resolvamos o sistema x + 2y 2z + 3w = 2 2x + 4y 3z + 4w = 5 5x + 1y 8z + 11w = 12. Ora, 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 4 3 4 5 L 2 L 2 2L 1 1 2 1 5 1 8 11 12 L 3 L 3 5L 1 2 4 2 1 2 1 4 L 1 L 1 + 2L 2 1 2 1. L 3 L 3 2L 2 Como p AB = p A = 2 < 4 = n, onde n é o número de incógnitas do sistema, o sistema linear é possível e indeterminado. Existem então duas incógnitas livres, digamos y e w, às quais podemos atribuir quaisquer valores reais a e b, respectivamente. Assim, temos y = a e w = b. Substituindo w = b na segunda equação obtemos z = 1 + 2b. Pondo y = a, z = 1 + 2b e w = b na primeira equação, segue-se que x = 4 2a + b. Portanto, as soluções do sistema são os elementos do conjunto {(4 2a + b, a, 1 + 2b, b) ; a, b R}. Observamos que, pelo Teorema do Posto, o número de incógnitas livres está bem determinado. Porém, as incógnitas livres podem ser escolhidas com alguma liberdade. No exemplo anterior, escolhemos y e w como incógnitas livres, mas, poderíamos ter escolhido x e t como incógnitas livres.

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 53 Problemas 2.1* Resolva o sistema linear homogêneo y + 3z 2t = 2x + y 4z + 3t = 2x + 3y + 2z t = 4x 3y + 5z 4t =. 2.2* Que condições devem ser impostas a m, n e p para que o sistema linear x + 2y 3z = m 2x + 6y 11z = n x 2y + 7z = p tenha solução? 2.3 Determine X tal que AX B = C, onde [ ] [ ] [ ] 1 3 2 2 1 8 4 3 A =, B = e C =. 1 4 3 1 1 8 2 2.4 Resolva o sistema linear 1 2 1 2 3 1 2 x 1 y = 4 3 1 3. z 2 4 2 4 2.5 Dadas as matrizes 1 2 1 2 1 A = 1 3 5, B 1 = 1 e B 2 = 2, 1 2 1 1 1 resolva:

54CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS (a) os sistemas AX = B 1 e AX = B 2 ; (b) o sistema AX = 3B 1 B 2, utilizando soluções particulares já encontradas no item (a). 2.6 Dada uma matriz A de ordem m n, raciocine com a forma escalonada para mostrar que: (a) a equação AC = I pode ser resolvida o sistema linear AX = B tem solução para qualquer B posto de A é m; (b) a equação CA = I pode ser resolvida o sistema linear AX = tem solução única posto de A é n. 2.7 Na matriz A de ordem 5 5 temos a seguinte relação entre as linhas: L 1 + L 2 2L 4 + 3L 5 =. Encontre uma matriz C, de posto 3, tal que CA tenha linhas L 1, L 4,. 2.8 Como devem ser escolhidos os coecientes a, b e c para que o sistema ax + by 3z = 3 2x by + cz = 1 ax + 3y cz = 3 tenha a solução x = 1, y = 1 e z = 2? 2.9 Determine os valores de k R para que os sistemas abaixo x + y + kz = 2 kx + y + z = 1 x + kz = (a) 3x + 4y + 2z = k, (b) x + ky + z = 1, (c) y = 2x + 3y z = 1 x + y + kz = 1 kx + z = tenham: (i) solução única; (ii) nenhuma solução; (iii) mais de uma solução. Determine a solução do sistema quando esta existir.

2. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 55 2.1 Que condições devem ser impostas a a, b e c para que o sistema abaixo nas incógnitas x, y e z tenha solução? x + 2y 3z = a 2x + 6y 11z = b x 2y + 7z = c. 2.11 Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (a) nenhuma solução, (b) mais de uma solução, (c) uma única solução: x + y z = 1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2. 2.12 Considere o sistema linear 2 2 nas incógnitas x e y: ax + by = e cx + dy = f. Mostre que: (a) se a c b, isto é, se ad bc, então o sistema tem solução única d x = de bf ad bc e y = af ce ad bc ; (b) se a c = b d e, então o sistema não tem solução; f (c) se a c = b d = e, então o sistema tem mais de uma solução. f 2.13 Suponha que, num sistema linear homogêneo, os coecientes de uma das incógnitas são todos iguais a zero. Mostre que o sistema tem solução não nula.

56CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÃO DE MATRIZES E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS 2.14 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Prove que as seguintes armações são equivalentes: (a) A é invertível; (b) O sistema linear homogêneo AX = só admite a solução trivial; (c) Para toda matriz B de ordem n 1, o sistema linear AX = B é possível e determinado.

Bibliograa [1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso, Coleção Textos Universitários, SBM, 26. [2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Editora Ciência Moderna, 21. [3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros, Coleção Matemática e Aplicações, IMPA, 28. [4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios, Coleção PROFMAT, SBM, 212. [5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction, HarperCollins College Publishers, 1993. [6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra, 2 nd edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1986. [7] E.L. Lima, Álgebra Linear, 3 a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1998. [8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 2 a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 21. 3