Contents 1 Derivadas Parciais de Ordem Superior 1 1.1 Em duas variáveis..................................... 1 1. Em três variáveis...................................... 1 1.3 Derivadas de Ordem................................... Matriz Hessiana.1 Pontos Críticos....................................... 3. Máximos e mínimos locais e pontos de sela....................... 4 3 Aplicação 5 1 Derivadas Parciais de Ordem Superior 1.1 Em duas variáveis Definição 1. Seja f : A R, A R, com f(x, y) a imagem da função. Fixada a variável, y, a derivada de f em relação a x, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a x, denotada por f x. Analogamente, fixada a variável, x, a derivada de f em relação a y, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a y, denotada por f f y. O vetor ( x, f y ) é denominado vetor gradiente de f Exemplo 1. Se x + 4xy y 3, então para calcularmos f x, fixamos y = k e derivamos a função x +4xk k 3 em relação a x. Assim f(x,k) x y = k, assim f(x,y) x = 4x + 4y. De forma análoga, fixamos k = x para calcularmos f(k,y) y dx (x +4xk k 3 ) = 4x+4k. Reescrevemos dy (k + 4ky y 3 ) = 4k 3y. Reescrevemos y = k, assim f(x,y) y = 4x 3y. Assim, o vetor gradiente de f é (4x + 4y, 4x 3y ). No ponto (1,-1) o vetor gradiente é (0, 1) Exemplo. Se x +y f x +y,então x é obtida fixando y = k, f(x,k) x pela regra do produto: f(x,k) x = x(x +k) (x +k )x (x +k) = xk(1 k)) (x +k). Portanto f(x,y) x Analogamente, fixamos x = k e calculamos f(k,y) y dy ( k +y y(k +y) (k +y ) (k +y) = yk +y k (k +y). Portanto f(k,y) y = x (y 1)+y (x +y) O vetor gradiente no ponto (1, ) é ( 4, 1 3 ) 1. Em três variáveis dx ( x +k x +k ) é calculada k +y ) e obtemos = xy(1 y)) (x +y). d dy ( k +y k +y ) = Definição. Seja f : A R, A R 3, com f(x, y, z) a imagem da função. Fixada a variável, y, a derivada de f em relação a x, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a x, denotada por f x. Analogamente, fixada a variável, x, a derivada de f em relação a y, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a y, denotada por f y. O mesmo ocorre para f f z. O vetor ( x, f y, f z ) é denominado vetor gradiente de f 1
Exemplo 3. Se f(x, y, z) = xz + 4x 3 yz x y z 3, então para calcularmos f x, fixamos y = k e z = c e derivamos a função xc +4x 3 kc x k c 3 em relação a x. Assim f(x,k,c) x dx (xc +4x 3 kc x k c 3 ) = c +1x kc xk c 3. Reescrevemos y = k e z = c, assim f(x,y,z) De forma análoga, fixamos k = x e c = z para calcularmos f(k,y,c) y 4k 3 c k yc 3. Reescrevemos x = k e z = c, assim f(x,y,z) y = 4x 3 z x yz 3. Podemos proceder como nos itens anteriores, ou calcular f(x,y,z) z x = z +1x yz xy z 3. dy (kc +4k 3 yc k y c 3 ) = diretamente, ou seja f(x,y,z) z = xz + 4x 3 y 3x y z O vetor gradiente é (z + 1x yz xy z 3, 4x 3 z x yz 3, xz + 4x 3 y 3x y z ), no ponto (-1,1,-1) o vetor gradiente é ( 13, 6, 5), ou seja a imagem de (z + 1x yz xy z 3, 4x 3 z x yz 3, xz + 4x 3 y 3x y z ), quando x = 1, y = 1 e z = 1 Exercício 1. Calcule as derivadas parciais da função y x +y +z Vamos estudas derivadas parciais de ordem superior, para funções do tipo f : A R, sendo A R ou A R 3. Exemplo 4. x xy + y 3 + xe y f(x, y, z) = exyz e x +e y +e f(x, y, z) = ex+y+z z e x +e y +e z 1.3 Derivadas de Ordem Seja f : R R, x xy 3 + 3x y y + 1. As derivadas parciais de f, são também funções de domínio R e contradomínio R. Assim, x x y3 + 6xy é uma função de duas variáveis sobre os reais. A função g(x, y) = x y 3 + 6xy, pode ser derivada parcialmente por x ou y. Desse xg(x, y) = + 6y e y g(x, y) = 6y + 6x. As derivadas parciais da função g, assim descritas, quando g = x, são derivadas parciais de ordem da função f. Ocorre, que o mesmo pode ser feito g = y. Definição 3. Seja f : R R uma função cujas derivadas parciais u = x f e v = y f admitem derivadas parciais x u, y u, e x v, y v. Estas são as derivadas parciais de ordem da função f, que denotamos: x u = y u = x f yx u xy v x v = y v = y v Exemplo 5. Se x 3 5y 4 xy 3x+4y 1, as derivadas parciais são x 6x y 3 e y 0y3 x+4 e as derivadas parciais de segunda ordem são x 1x, yx, xy e y 0y Exemplo 6. Se são x e x y e y (x 1) (xe x +ye y ) (y 1) (xe x +ye y ) ex+y 1 ye x +xe, podemos escrever y ye y +xe, as derivadas parciais x e as derivadas parciais de segunda ordem são
x e x ( x(xe x +ye y )+e x (x 1) (xe x +ye y ) 3 yx e (x+y) (x 1)(y 1) (xe x +ye y ) 3 xy e (x+y) (x 1)(y 1) (xe x +ye y ) 3 y e y ( y(xe x +ye y )+e y (y 1) (xe x +ye y ) 3 Matriz Hessiana Assim como definimos para as derivadas parciais um vetor chamado vetor gradiente, para as derivadas de ordem definimos a Matriz Hessiana. Definição 4. Seja f : R R uma função cujas derivadas de ordem estão definidas. A matriz [ x f H = xy f ] yx f, y f é denominada matriz Hessiana da função f e H(x 0, y 0 ) a imagem de cada derivada no ponto (x 0, y 0 ). Exemplo [ 7. Se f(x, ] y) = x 3 5y 4 xy 3x + [ 4y 1 a matriz ] Hessiana de f é a matriz 1x 1 H = 60y. No ponto ( 1, 1), H( 1, 1) = 60 Assim como para as funções de uma variável estudamos os pontos de máximo e mínimo local a partir das derivadas de primeira e segunda ordens, as funções de várias variáveis têm conceitos análogos para os pontos de máximo e mínimo local e os resultados são obtidos a partir das derivadas parciais de ordens 1 e, estas últimas relacionadas à matriz Hessiana. Definição 5. Seja A R, A R n. Dizemos que P 0 A é um ponto de máximo (respectivamente mínimo) local se f(p 0 ) f(p ) (respectivamente f(p 0 ) f(p )) para todo ponto P próximo de P 0, ou seja existe δ > 0 tal que, se P P 0 < δ, então f(p 0 ) f(p ) (respectivamente f(p 0 ) f(p )). Se esta condição é verificada para todo ponto P A \ {P 0 }, então P 0 é denominado ponto de máximo (resp. mínimo) global. Outras denominações são máximos ou mínimos relativos, como sinônimo de local e máximos ou mínimos absolutos, como sinônimos de globais. Exemplo 8. Se x + y 4, então (0, 0) é ponto de mínimo global. Se 3 x, então (0, 0) é um ponto de máximo, em geral (0, y) são os pontos de máximo, para todo y R, ou seja, o conjunto dos pontos de máximo é o eixo y..1 Pontos Críticos A definição a seguir, em condições particulares, permite estudar os pontos de máximo ou mínimo de uma função. Definição 6. Seja f : A R, A R n. Um ponto P = (x 1, x,, x n ) A, para o qual existam as derivadas parciais x i f(p ) é um ponto crítico se ocorrer x i f(p ) = 0, para todo 1 i n. 3
Exemplo. Os pontos { críticos da função 3x 3 y xy 3x + 4y 1 são determinados resolvendo o sistema: x x y 3 = 0, cuja solução é obtida a partir de y = y y x + 4 = 0 x 4 e x + x 4 3 = 0 = x + x 7 = 0, logo x = 1 e y = 3 ou x = 7 e y = 11. O conjunto dos pontos críticos de f é {{( 1, 3), ( 7, 11 )}. O próximo exemplo mostra que o conjunto de pontos críticos pode ser infinito. Exemplo 10. Os pontos críticos da função x y xy+3: temos o sistema x xy y = 0 y x y x = 0. { y(xy 1) = 0 Assim x(xy 1) = 0. Ou xy = 1 então x R e y = 1 x, ou x = y = 0. Assim o conjunto dos pontos críticos é {(0, 0)} {(x, 1 x ), x R }, que é um conjunto infinito. Exemplo 11. Para a função f(x, y, z) = e (x+y+z), temos o seguinte sistema x f(x, y, z) = (x + y + z)e (x+y+z) = 0 y f(x, y, z) = (x + y + z)e (x+y+z) = 0. z f(x, y, z) = (x + y + = 0 z)e (x+y+z) Portanto x + y + z = 0, logo o conjunto dos pontos críticos é o plano {(x, y, x y), x, y R}.. Máximos e mínimos locais e pontos de sela O resultado a seguir é para funções de várias variáveis sobre um conjunto compacto. Vamos nos restringir a funções de duas variáveis sobre intervalos fechados, de modo que podemos relacionar pontos críticos com pontos de máximo ou mínimos locais. Seja f : [a, b] [c, d] R. Se P 0 é um ponto de máximo ou mínimo local, então P 0 é um ponto crítico. Podemos verificar essa propriedade de um modo bastante natural. Vamos considerar um contorno y = y 0, então f(x, y 0 ) é uma função de uma variável. Sendo P 0 (x 0, y 0 ) um ponto de máximo local (ou de mínino), então f(x, y 0 ) é máximo local em x = x 0, logo a derivada d dx f(x, y 0) é nula em x = x 0, pois x 0 é ponto crítico de f(x, y 0 ). Mas d dx f(x, y 0) = xf(x, y), assim x f(x 0, y 0 ) = 0. Da mesma forma y f(x 0, y 0 ) = 0 e portanto (x 0, y 0 ) é um ponto crítico. Mas, não é verdade que se P 0 é um ponto crítico, então P 0 é um ponto de máximo ou mínimo local. Por exemplo a função x y. É de verificação imediata que (0, 0) é um ponto crítico. Porém, para o contorno y = 0, a função f(x, 0) = x admite ponto de mínimo em x = 0, ou seja f(0, 0) < f(x, 0), para valores de x próximo de zero. Enquanto que, no contorno x = 0, a função f(0, y) = y admite máximo local em y = 0, portanto f(0, 0) > f(0, y), para valores y próximos de zero. Então, próximo de (0, 0) ocorre que f(0, 0) < f(x, 0) e f(0, 0) > f(0, y), logo (0, 0) não é ponto de máximo nem de mínimo local. O ponto crítico (0, 0), para esta função f, é denominado ponto de sela. O próximo resultado, indica quando um ponto crítico pode ser considerado máximo ou mínimo local. O resultado pode ser obtido, estudando os contornos próximo do ponto considerado, bem como observando que as funções contínuas têm a propriedade que xy yxf(x, y), portanto, quando ocorrer que um ponto crítico (x 0, y 0 ) não é nem máximo ou mínimo local, no contorno, a curvatura das funções devem ser opostas, assim x f(x 0, y 0 ) y f(x 0, y 0 ) < 0, de modo que o determinante da matriz Hessiana H(x 0, y 0 ) será negativo, pois teremos a diferença entre um número negativo e um número quadrado, portanto sempre negativo. { 4
Teorema 1. Seja f : [a, b] [c, d] R e det(h(x, y)) = ( f(x, y) f(x, y) ( f(x, y) f(x, y)) x y xy yx o determinante da matriz Hessiana. Se (x 0, y 0 ) é um ponto crítico, então 1. Se det(h(x 0, y 0 )) > 0 e x f(x 0, y 0 )) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f;. Se det(h(x 0, y 0 )) > 0 e x f(x 0, y 0 )) > 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f; 3. Se det(h(x 0, y 0 )) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de sela de f. As hipóteses não aplicadas ao teorema anterior NÃO permitem afirmar nenhuma propriedade local ao ponto crítico considerado. Assim, quando det(h(x 0, y 0 )) > 0 e x f(x 0, y 0 )) = 0, nada sabemos do ponto (x 0, y 0 ). Da mesma forma se det(h(x 0, y 0 )) = 0. Não iremos verificar que os pontos críticos que são mínimos ou máximos locais têm o determinante da matriz Hessiana positivo. Sabemos que no contorno, as curvaturas têm mesmo sinal, assim o produto x f(x 0, y 0 ) y f(x 0, y 0 ) > 0, porém não é evidente que este número positivo seja maior que o número quadrado f(x, y) f(x, y). xy yx Exemplo { 1. Seja x y + 10x + 6y xy. Os pontos críticos são soluções do sistema x 4x + 10 y = 0,, portanto x = e y = é solução, logo (, ) é ponto y + 6 x = 0 y crítico. A matriz Hessiana é calculada a partir das derivadas de ordem. Assim, [ ] x 4, y, 4 1 xy yx 1 e H(x, y) = cujo determinante é 1 8 1 = 7 > 0, sendo x 4 < 0, o ponto crítico (, ) é ponto de máximo local. Exemplo 13. Se 3x 3 y xy 3x + 4y 1, vimos que o conjunto dos pontos críticos é {{( 1, 3), ( 7, 11 )}. As derivadas de ordem são x 18x, y, xy [ ] 18x yx. A matriz Hessiana de f é a matriz H =. O determinante é det(h(x, y)) = 36x 4, nos pontos críticos temos: det(h( 1, 3)) = 36x 4 = 36 4 = 3 > 0 e x f( 1, 4) = 18( 1) = 18 < 0 é ponto de máximo local; det(h( 7, 11 )) = 8 4 = 3 < 0 logo ( 7, 11 ) é um ponto de sela. Exemplo 14. Se x y xy + 3, vimos que o conjunto dos pontos críticos é {(0, 0)} {(x, 1 x ), x R }. As derivadas de ordem são: x y, y x, xy [ ] y yx 4xy. A matriz Hessiana de f é a matriz H = 4xy 4xy x. O determinante é det(h(x, y)) = 4x y (4xy ) = 1x y + 16xy 4. Para o ponto crítico (0, 0), det(h(x, y)) = 4 < 0, logo (0, 0) é um ponto de sela. Para os pontos críticos (x, y) os quais xy = 1, det(h(x, y)) = 1x y + 16xy 4 = 1 + 16 4 = 0, nada podemos concluir. Com efeito, x y xy + 3 = (xy 1) +, assim os pontos críticos (x, y) cujo xy = 1 são pontos de mínimo global de f, que em particular também são minimos locais. Exemplo 15. Se [ 4xy] x y 4, os pontos fixos são (0, 0), (1, 1), ( 1, 1). A matriz 4 4 Hessiana é H = 4 1y e det(h(x, y)) = 48y 16. Para (0, 0), det(h(0, 0)) = 16 < 0, 5
portanto ponto de sela. Para (1, 1) e ( 1, 1), det(h(0, 0)) = 3 > 0, sendo x 4, então ambos são pontos de máximo local. 3 Aplicação Uma empresa produz as quantidades x 0 e y 0 de dois produtos X e Y, cujo preço de venda unitário de X é 4y e o preço unitário de Y é 6xy. Um estudo revelou que o o custo da produção das quantidades x e y é C(x, y) = x 4 + y 4. Queremos saber se existe alguma produção (x, y) que maximize o lucro? Inicialmente, determinamos os preços de venda P x = (4y )x de X e P y = (6xy)y, resultando em P (x, y) = P x + P y = 10xy. Assim o lucro é L(x, y) = 10xy x 4 y 4. Os { pontos críticos: x L(x, y) = 10y 4x 3 = 0 y L(x, y) = 0xy 4y3 = 0,, reduz-se a: 5x = y e 5y = x 3 = 5(5x), então [ ] x = 5 e y = 5 4 8 1x. A matriz Hessiana é H(x, y) = 0y 0y 0x 1y e det(h( 5, 5 4 8 )) = 800( 5 4 8 ) > 0 e x 1 5 < 0, logo ( 5, 5 4 8 ) é um ponto de máximo local. 6